web viewscopul lecției de față este acela de a familiariza elevii de clasele vii-ix care se...

1 | P a g e

Clasele VII-IX

INTRODUCERE ÎN INEGALITĂȚI. METODE

Manuela Prajea1)

Scopul lecției de față este acela de a familiariza elevii de clasele VII-IX care se pregătesc pentru concursuri cu câteva din principalele metode de demonstrare a inegalitatilor simetrice și/sau nesimetrice , omogene și/sau neomogene. Lecția poate fi parcursă și fără profesor, exercițiile fiind prezentate gradual, având în vedere (sau nu) metodele specificate la acel paragraf. La final sunt prezentate indicații de rezolvare dar recomandabil este ca acestea să fie consultate doar în cazul exercițiilor cu )* sau )** sau la primele aplicații din cadrul fiecărei metode.

A) INEGALITĂȚI UZUALE, SIMETRICE ȘI OMOGENE -CALCUL DIRECT, DESCOMPUNERI ÎN FACTORI, ÎNSUMAREA UNOR INEGALITĂȚI ANALOAGE și/sau INEGALITATEA MEDIILOR

Inegalitatea mediilor pentru două numere:

,

Inegalitatea mediilor pentru trei numere:

,

Inegalitatea mediilor pentru numere, :

,

1) 2)

3) 4)

1)prof.dr., Colegiul National “Traian” , Drobeta Tr.Severin, e-mail:[email protected]*) exercițiu cu grad ridicat de dificultate**) exercițiu care necesită cunoștințe de analiză matematică

2 | P a g e

5) 6)

7) 8)

9) 10)

11) 12)

13) 14)

15) 16)

17)

18)

19)

20)

21)

Concursul Gazeta Matematică și ViitoriOlimpici.ro-Etapa finală, clasa a VII-a, 2010

22) 23)

24) 25)

26) 27)


3 | P a g e

28) 29)

30)

31) a)

b)

Olimpiada Națională de Matematică-Etapa județeană, clasa a IX-a, 2009

32) Dacă sunt lungimile laturilor unui triunghi, arătați că:

B) INEGALITĂȚI OMOGENE- SUBSTITUȚII si/sau INEGALITATEA CAUCHY-BUNIAKOVSKI

Inegalitatea Cauchy-Buniakovski

, ,

Aplicație: Inegalitatea Panaitopol

1)

2)

3)

4)

5)1)prof.dr., Colegiul National “Traian” , Drobeta Tr.Severin, e-mail:[email protected]*) exercițiu cu grad ridicat de dificultate**) exercițiu care necesită cunoștințe de analiză matematică

4 | P a g e

6)

7)

8) ,

9)

10) Dacă astfel încât , arătați că

11) (Euler)

C) INEGALITĂȚI NEOMOGENE ȘI/SAU NESIMETRICE –SUBSTITUȚII ȘI/SAU SIMETRIZARE/ OMOGENIZARE

1)

2)

3)

4)*

5)*

6)*

Test OBMJ, 2008

7)

D) INEGALITĂȚI DE TIP CEBÂȘEV

Dacă și avem două secvențe de aceeași monotonie, adică :

și , atunci: 1)prof.dr., Colegiul National “Traian” , Drobeta Tr.Severin, e-mail:[email protected]*) exercițiu cu grad ridicat de dificultate**) exercițiu care necesită cunoștințe de analiză matematică

5 | P a g e

1) , unde

reprezintă o permutare a numerelor .

2) .

Dacă și avem două secvențe de monotonie inversă, adică :

și , atunci:

1) , unde

reprezintă o permutare a numerelor .

2) .

1)

2)

3) (Nesbitt)

4)

5)

6)

7)

E) INEGALITATEA LUI HOLDER/ INEGALITATEA LUI JENSEN**

HOLDER) Dacă și , atunci:


6 | P a g e

JENSEN)** Dacă este o funcție convexă (concavă) pe atunci

, avem:

1)

Test selecție OIM, Moldova, 2002

2)

3)**

4)**

5)**

6)**

F) INEGALITĂȚI CU DEMONSTRAȚII GEOMETRICE

1)

2)

3)

4)

5)

6)

G) INEGALITĂȚI TRIGONOMETRICE


7 | P a g e

1)

2)

3)

H) INEGALITĂȚI CARE SE DEMONSTREAZĂ CU AJUTORUL PROPRIETĂȚILOR UNOR FUNCȚII

1)

2)

3)**

4)**

5)**

6)

7)** , lungimile laturilor unui triunghi

8)* lungimile laturilor unui triunghi Test OIM, Moldova, 2006

Bibliografie:

(1) A. Petrușel și alții Algebră pentru clasele IX-XII, Ed.Studia, 2010(2) L.Panaitopol, M.Lascu, V.Băndilă Inegalități, Ed.Gil, 1996(3) I.V.Maftei, M.Piticari, Cezar Lupu și alții Inegalități alese în matematică, Ed.Niculescu, 2005(4) Vo Quoc Ba Can Old and New Inequalities, Ed.Gil, 2008


8 | P a g e

INDICAȚII:

Prescurtări utilizate:

IM –inegalitatea mediilor, ma- media aritmetică , mg- media geometrică , mh- media armonică , MS- membrul drept , MD- membrul stâng , ICB- inegalitatea Cauchy-Buniakovski , IP- inegalitatea Panaitopol , IC- inegalitatea Cebâșev, IH- inegalitatea Holder, IJ- inegalitatea Jensen

A) 1)-4)calcul direct cu descompunere în factori sau binoame sau mg&ma 5),6)calcul direct sau 7)binoame sau mh&ma 8)calcul direct- binoame si mg&ma sau mg&ma de doua ori 9) calcul-binoame sau mg&ma

10) de doua ori ineg sau binoame de doua ori 11) de doua ori mp&ma 12)mh si ma 13)nr.si inv.sau sau mg&ma 14) suma de cuburi in dreapta 15)calcul direct 16) mg&ma sau calcul direct si binoame 17) binoame 18)însumare de ineg analoage –ineg de la 2) 19) însumare de ineg analoage- fiecare fracție e mai mică ca 1/3 20)însumare de mg&ma 21)mg&ma 22),23) calcul direct și binoame 24)-29) mg&ma 30) se obtine prin însumarea unor ineg analoage 31)a) de doua ori mg&ma b) însumarea ineg tip a) 32) descompunere în factori

B) 1)Substituții sau ICB: și cu tranzitivitatea,etc. sau IP.

2)analog 3)

4) etc. sau IP .

5) ,etc. sau IP . 6) ICB

7)

8) im de două ori pentru 3 numere sau binoame,etc

9)


9 | P a g e

10) IM de două ori pentru două câte două din numere și adunate relațiile.

11) cu substituțiile: , etc se ajunge la ieg de la A)16) 12) mh&ma

C) 1) In vederea omogenizarii, fie etc 2) analog cu 1) . 3) În vederea omogenizării: IM

etc. 4)*MS asimetric, MD simetric. În vederea simetrizării MS, obs că

, deci . și astfel ineg devine una simetrică:

care se va obține prin însumarea ineg analoage de tipul 5)* Se

aplica IP sau, alta abordare:MS asimetric, MD simetric. Prin însumarea ineg de tipul (*).

Apare întrebarea :De ce (*)?Caut o ineg de tipul: , care aplicată pentru

, după însumare să conducă la un MD simetric.Deoarece egalitatea

are loc pentru , adică , deducem că și obținem:

, (descompunerea are loc deoarece

iese factor comun- egalitatea avea loc pt ), deci din paranteza dreaptă mai iese factor a.î. ineg

precedentă să aibe loc. Atunci pt în paranteza dreaptă, ea devine nulă, adică a

. 6) ineg este echivalentă cu: și

considerăm, în vederea omogenizării: ,deci

, conform IP. 7) cu se obține ineg de la B) 9).

D) 1) Ineg fiind simetrică în , putem presupune fără a afecta generalitatea problemei că .Atunci

secvențele sunt la fel ordonate, etc 2)inegalitatea nu este simetrică în deci nu putem

presupune că fără a afecta generalitatea problemei. Dar se poate observa că secvențele


10 | P a g e

sunt la fel ordonate, etc. 3) Se poate presupune, datorită simetriei, că și atunci

tripletele sunt la fel ordonate.Sau se aplică CP al ICB. 4),5) Analog cu 3).

6) Cu IC și IC sau IM, avem: . 7) și se aplică ineg de tip Cebâșev.

E) 1) Cu IH avem: , etc. 2) Cu IH generalizată. avem:

. 3)** convexă și

etc. 4)** Jensen pentru , ,cu ,deci f convexă. 5)**

este convexă deoarece și Jensen. 6)** Dacă normăm inegalitatea cu

( se înmulțește inegalitatea cu și se simplifică apoi cu .se notează

tot cu , etc), ineg devine la fel cu cea precedentă.

F) 1) Se consideră un triunghi echilateral de latură 1 și astfel ca

.Se utilizează arii. 2) analog 3)Se consideră un triunghi având două laturi și unghiul

dintre ele de 60 grade,etc.4)Dacă în reperul cartezian alegem punctele atunci ineg

devine una geometrică, anume: , adică etc. 5) Se aleg în reperul cartezian

punctele ,etc.

G) 1) Pentru orice , există și sunt unice numerele a.î. și

Ineg. devine : , evident adevărat. 2) , ineg devine

. 3) ,etc


11 | P a g e

H) 1) Fie și cum este funcție de gradul I, deci monotonă,

se va realiza în 0 sau 1, etc. 2) Cu obținem:

și , ordonând după variabila considerăam funcția de gradul

al II-lea în care va avea ,etc. 3)** Fie , ,

. Din tabelul de variație avem: , având loc pentru și

.Analog se consideră funcțiile de variabile b,c și considerând

, deducem că și are loc

pentru și, după calcule- sunt deci 8 triplete în care se va calcula , obținem

.4)** analog . 5)** analog cu 3)** doar că derivata întâi a funcției nu ne furnizează

rapid informații, în timp ce derivata a doua a funcției ne arată că este convexă deci își atinge maximul

în și atunci și își atinge maximul în unul din punctele .Se obține

6) .Dacă b=1 se arată că

, dacă atunci maxf are loc pentru x=0 sau x=1,etc.

7)Putem presupune fără a afecta generalitatea problemei, de exemplu, că a este cel mai mic dintre

numerele a,b,c și fie

Deoarece , deducem că ,etc.

8) Cu ICB: și se continuă apoi cu ineg precedentă.


web viewscopul lecției de față este acela de a familiariza elevii de clasele vii-ix care se...

Documents