media1.wgz.romedia1.wgz.ro/files/media1:4c88c301ef045.pdf.upl/curs matematici...media1.wgz.ro

Capitolul 1

FUNCTII COMPLEXE

1.1 Multimea numerelor complexe

Multimea numerelor complexe a aparut din incercarea de a extinde multimeanumerelor reale R astfel ca orice ecuatie de gradul al doilea sa aiba solutiiin noua multime. Ca multime, C nu difera de R2, adica C este multimeaperechilor ordonate de numere reale

C = {(x, y)|x ∈ R, y ∈ R} (1.1)

Pe multimea se C definesc doua operatii algebrice interne, adunarea siinmultirea,

z + z′ = (x + x′, y + y′), (1.2)

z · z′ = (xx′ − yy′, xy′ + x′y).

astfel ca (C, +, ·) sa fie corp, iar (R, +, ·) sa poata fi asimilat cu un subcorpal lui C.

Elementele neutre ale corpului C sunt

0 = (0, 0), 1 = (1, 0). (1.3)

Avem

−z = (−x,−y) si z−1 =

(x

x2 + y2,− y

x2 + y2

).

Numarul complex (0, 1) a fost notat de Euler prin i, numit unitatea com-plexa. Avem

i2 = (0, 1) · (0, 1) = (−1, 0) = −1.

1

2 CAPITOLUL 1. FUNCTII COMPLEXE

Numarului complex z i se asociaza in planul xOy (multimea R2) punctulM de coordonate carteziene (x, y) numit imaginea geometrica a lui z. Re-ciproc fiecarui punct M(x, y) i se asociaza un numar complex z numit afixullui M . Axa Ox se numeste axa reala, axa Oy se mai numeste axa imagi-nara, iar planul xOy se mai numeste planul complex sau planul lui Gauss alvariabilei z.

Pentru orice z = (x, y) ∈ C avem z = (x, 0)+(0, y) = (x, 0)+(0, 1) · (y, 0)de unde, prin identificarea x ≡ (x, 0) si y ≡ (0, y), se obtine scrierea uzualaa numerelor complexe z = x + iy.

Pentru orice z = x + iy ∈ C se defineste conjugatul z = x− iy, parteareala Re z = x si partea imaginara Im z = y. Avem

Re z =1

2(z + z) , Im z =

1

2i(z − z) .

Pentru orice z ∈ C se defineste modulul sau |z| =√

x2 + y2 =√

z · z .Au loc urmatoarele proprietati:

• z = 0 daca si numai daca |z| = 0;

• |z1 + z2| ≤ |z1|+ |z2| , ∀z1, z2 ∈ C (inegalitatea triunghiului);

• |z1 · z2| = |z1| · |z2| , ∀z1, z2 ∈ C;

• |Re z| ≤ |z|, |Im z| ≤ |z|.

Functia C× C→ C, (z, z′) 7−→ 〈z, z′〉 = z · z′ este un produs scalar pe Csi norma definita cu ajutorul acestui produs scalar este modulul

‖z‖ =√〈z, z′〉 =

√z · z′ = |z| .

In identificarea C cu R2 modulul in C corespunde normei euclidiene dinR2. Cu ajutorul acestui produs scalar putem defini o distanta pe C prin

d (z, z′) = |z − z′| ,∀z, z′ ∈ C.

Astfel C devine spatiu metric complet.Pentru orice z ∈ C\ {0}, unicul numar real ϕ ∈ (−π, π] (sau ϕ ∈ [0, 2π)

in unele cazuri) astfel incat

cos ϕ =x

|z| si sin ϕ =y

|z| ,

1.1. MULTIMEA NUMERELOR COMPLEXE 3

se numeste argumentul lui z (determinarea principala a argumentului) sise mai noteaza arg z. Multimea solutiilor in R ale sistemului de ecuatii demai sus se numeste argumentul numarului complex z si o notam cu Arg z.Argumentul numarului complex 0 = (0, 0) nu este definit. Avem

Arg z = arg z + 2kπ, k ∈ Z.

Fie z ∈ C\ {0} arbitrar. Notand ρ = |z| si folosind ϕ cu semnificatia demai sus rezulta

x = ρ cos ϕ, y = ρ sin ϕ.

Rezultaz = x + iy = ρ (cos ϕ + i sin ϕ)

numita forma trigonometrica a numarului complex z.Doua numere complexe scrise sub forma trigonometrica

z1 = ρ1 (cos ϕ1 + i sin ϕ1) ,

z2 = ρ2 (cos ϕ2 + i sin ϕ2) ,

sunt egale daca si numai daca

ρ1 = ρ2, ϕ1 = ϕ2 + 2kπ, k ∈ Z.

Folosind formula a lui Euler

eiϕ = cos ϕ + i sin ϕ, ∀ϕ ∈ R,

obtinem forma exponentiala a lui z

z = ρeiϕ.

De exemplu se verifica imediat ca avem

1 + i =√

2(cos

π

4+ i sin

π

4

)=√

2eiπ/4.

Scrierea numerelor complexe in forma trigonometrica sau exponentialaare avantaje evidente in operatiile de inmultire, impartire, ridicare la puteresau extragere de radacina. Avem

z1z2 = ρ1ρ2 (cos (ϕ1 + ϕ2) + i sin (ϕ1 + ϕ2)) = ρ1ρ2ei(ϕ1+ϕ2)


z1

z2

=ρ1

ρ2

(cos (ϕ1 − ϕ2) + i sin (ϕ1 − ϕ2)) =ρ1

ρ2

ei(ϕ1−ϕ2)

zn = ρn (cos nϕ + i sin nϕ) = ρneinϕ.

Daca in formula de mai sus luam ρ = 1 se obtine formula lui Moivre

(cos ϕ + i sin ϕ)n = cos nϕ + i sin nϕ.

Avem de asemenea

n√

z = n√

ρ

(cos

ϕ + 2kπ

n+ i sin

ϕ + 2kπ

n

)= n√

ρeiϕ+2kπn , k = 0, (n− 1).

De exemplu se verifica imediat ca ecuatia

z4 + 1 = 0

rescrisa astfelz4 = −1 = eiπ

are solutiilezk = ei(π+2kπ)/4, k = 0, 1, 2, 3.

Inegalitatile intre numere complexe nu au sens, corpul C nefiind totalordonat. Se pot scrie inegalitati doar intre numere reale asociate numerelorcomplexe.

Pe multimea C am definit o distanta prin

d(z1, z2) = |z1 − z2| ,∀z1, z2 ∈ C

si se cunoaste ca (C, d) este un spatiu metric complet.Fie z0 ∈ C si r > 0. In planul complex o vecinatate a punctului z0 este

discul deschis centrat in z0 de raza r

B(z0, r) = {z ∈ C| |z − z0| < r}

O multime D ⊂ C este deschisa daca ∀z ∈ D, ∃r > 0 astfel ca B(z, r) ⊂D. Daca C\A este deschisa se spune ca A este inchisa.

O multime D ⊂ C este conexa daca orice doua puncte din D pot fi uniteprintr-un contur poligonal continut in D. Multimile deschise si conexe senumesc domenii. Multimea M ⊂ C este marginita daca este continuta intr-un disc. O multime K ⊂ C este compacta daca este inchisa si marginita.

1.1. MULTIMEA NUMERELOR COMPLEXE 5

Un sir de puncte {zn}n≥0 din C este convergent catre un punct z0 ∈ Cdaca d(zn, z0) = |zn − z0| tinde catre zero cand n →∞.

Tinand cont ca zn = (xn, yn) ∈ R2,∀n ≥ 0, rezulta ca sirul de numerecomplexe {zn = xn + iyn}, n ∈ N , este convergent in C daca si numai dacasirurile de numere reale {xn}n∈N, {yn}n∈N sunt convergente in R.

Se spune ca sirul de numere complexe {zn}n∈N are limita infinita daca

limn→∞ |zn| = +∞ in R. Aici R = R∪{−∞, +∞} poarta numele de dreaptareala incheiata sau compactificata.

Este util dupa modelul dreptei reale sa extindem modelul numerelor com-plexe prin introducerea, de data aceasta, a unui singur punct la infinit, notatcu simbolul ∞.

Pe multimea C = C ∪ {∞} numit planul complex compactificat sauplanul lui Gauss s-au extins operatiile de adunare si de inmultire cu anu-mite reguli de calcul in cazul cand unul din elemente este ∞. Avem prindefinitie

a +∞ = ∞+ a = ∞, ∀a ∈ Ca · ∞ = ∞ · a = ∞,∀a ∈ C\ {0}

a

0= ∞,∀a ∈ C\ {0}

Prin definitie ∞ · ∞ = ∞, iar operatiile ∞ +∞,∞−∞ si 0 · ∞ nu sedefinesc.

Pe C se introduce o topologie in care multimile deschise sunt reuniunioarecare de discuri deschise.

Vecinatatile lui ∞ sunt complementarele multimilor compacte din C. Inparticular, exteriorul unui cerc cu centrul in origine este o vecinatate a punc-tului de la ∞,

C\B(0, r) = {z ∈ C| |z| > r}Daca consideram sirurile cu limita infinita, deci {zn}n∈N ⊂ C cu propri-

etatea

limn→∞ |zn| = +∞ in R

vom observa ca numai un numar finit de termeni ai acestui sir se afla ininteriorul unui cerc cu centrul in origine. Pentru aceste siruri putem scrielimn→∞zn = ∞.


In figura 1.1 se observa cum punctele lui C pot fi reprezentate pe o sfera(sfera lui Riemann) prin proiectie stereografica.

Punctului M ′ oarecare de pe sfera (distinct de N , opus lui O) ii core-spunde M din C obtinut prin intersectia dreptei NM ′ cu planul. Daca punc-tului N ii asociem punctul de la infinit si reciproc, se realizeaza o bijectieintre punctele de pe sfera lui Riemann si planul lui Gauss.

1.2 Functii complexe de o variabila reala

Daca se tine seama de bijectia intre multimea numerelor complexe C simultimea R2

z ∈ C⇐⇒ (Re z, Im z) ∈ R2

rezulta ca o functie complexa de o variabila reala este o functie vectorialabidimensionala de o variabila reala

t ∈ [α, β] ⊂ R 7−→z(t) ∈ C⇐⇒t ∈ [α, β] ⊂ R 7−→ (x(t), y(t)) ∈ R2

Functia z(t) poate fi privita ca un drum parametrizat in C daca estecontinua pe [α, β]. Deci reprezentarea parametrica a curbei γ

{x = x(t)y = y(t), t ∈ [α, β]

poate fi scrisa in notatie complexa z = z(t) = x(t) + iy(t), t ∈ [α, β] undez(α) = a si z(β) = b. In aceasta reprezentare nu exista nici o indicatieasupra modului in care se obtine z(t) pentru un t dat in [α, β] ci numai caz = z(t) ∈ γ, ∀t ∈ [α, β].

Continuitatea

z : I ⊂ R → C, z (t) = x (t) + iy (t) este continua daca si numai dacax, y : I ⊂ R→ R sunt continue.

Derivabilitatea

z : I ⊂ R → C, z (t) = x (t) + iy (t) este derivabila in t0 daca si numaidaca x, y : I ⊂ R→ R sunt derivabile in t0. In plus

z′ (t0) = x′ (t0) + iy′ (t0)

1.3. FUNCTII COMPLEXE DE O VARIABILA COMPLEXA 7

1.3 Functii complexe de o variabila complexa

Prin definitie se numeste functie complexa de variabila complexa, o aplicatie

f : D ⊂ C→ C

Functia f poate fi privita fie ca functie de variabila z = x + iy ∈ D, fieca functie de variabilele independente x si y cu (x, y) ∈ D.

Se poate deci scrie sub forma

f(z) = f(x + iy) = u(x, y) + iv(x, y)

Se pun in evidenta aplicatiile

z 7−→ u(x, y) = Re f(z)

z 7−→ v(x, y) = Im f(z)

care sunt functii complexe particulare si anume sunt functii reale de o vari-abila complexa.

Se observa ca definitia lui f(z) este echivalenta cu definirea simultana adoua functii reale u si v, de varibile reale x si y.

Topologia planului complex, fiind de fapt topologia spatiului R2 cu struc-tura topologica de spatiu euclidian real, notiunile de limita si continuitate seextind cu usurinta si in complex, spre exemplu considerand o functie com-plexa de variabila complexa ca o functie vectoriala f : D ⊂ R2 → R2.

O functie complexa de o variabila complexa se va deosebi esential de ofunctie vectoriala bidimensionala de doua variabile reale in problema deriv-abilitatii.

Pe cand la acestea din urma se studiaza existenta si proprietatile matriceiformate din derivatele partiale ale functiilor componente, la functii complexede o variabila complexa se pune problema existentei unei derivate globale afunctiei complexe (nedesfacute in componente reale). Ajungem astfel la im-portanta notiune de olomorfie a unei functii complexe de variabila complexa(olos = intreg, morfos = forma).Definitia 1. Functia f : D → C se numeste C-derivabila (sau monogenasau olomorfa) intr-un punct z0 ∈ D daca exista si este finita limita

limz→z0

f(z)− f(z0)

z − z0


Limita, daca exista, se noteaza f ′(z0) si se numeste derivata complexa a luif in z0.

Functia f se numeste olomorfa pe D, daca este derivabila in fiecarepunct al lui D.

Observand ca in ipoteza existentei derivatei, relatia de definitie a ei areaceeasi structura formala ca in domeniul real, se deduc exact aceleasi reguliformale de derivare si in C ca si in R (pentru suma, produs, raport, compunerede functii, etc)

Se va vedea ca functiile olomorfe au unele proprietati pe care functiilereal derivabile nu le au, deoarece in conceptul de olomorfie existenta limiteide definitie a derivatei implica independenta ei de directia dupa care z tindecatre z0 (ceea ce este mai restrictiv decat trecerea la limita pe dreapta reala).

Daca f este olomorfa in z0 atunci conform definitiei

f ′(z0) = limh→0f(z0 + h)− f(z0)

h= limh→0

f(z0 + ih)− f(z0)

ih

si tinand cont ca f = u(x, y) + iv(x, y), avem

f ′(z0) = limh→0u(x0 + h, y0)− u(x0, y0)

h+ i

v(x0 + h, y0)− v(x0, y0)

h

= limh→0u(x0, y0 + h)− u(x0, y0)

ih+ i

v(x0, y0 + h)− v(x0, y0)

ih

Daca presupunem ca u si v admit derivate partiale in raport cu x si y inpunctul (x0, y0) rezulta prin trecere la limita ca

f ′(z0) =∂u

∂x(x0, y0) + i

∂v

∂x(x0, y0) =

1

i

∂u

∂y(x0, y0) +

∂v

∂y(x0, y0)

de unde se deduc celebrele conditii Cauchy-Riemann

(C-R)

{ ∂u∂x

= ∂v∂y

∂u∂y

= − ∂v∂x

Teorema 1. Fie D ⊂ C o multime deschisa si o functie f : D → C,f = u + iv. Functia f este olomorfa in z0 = x0 + iy0 ∈ D daca si numai dacafunctiile u si v : D ⊂ R2 → C sunt diferentiabile in (x0, y0) si derivatele lorpartiale verifica conditiile C-R in punctul (x0, y0). In aceste conditii derivatacomplexa f ′ (z0) este data de

f ′(z0) =

(∂u

∂x+ i

∂v

∂x

)(x0, y0) =

(∂v

∂y− i

∂u

∂y

)(x0, y0)


Cauchy a descoperit conditiile de mai sus efectuand cercetari privind inte-gralele duble reale, in timp ce Riemann a ajuns la aceleasi conditii efectuandcercetari in domeniul ecuatiilor cu derivate partiale.

Criteriu de olomorfie Fie D ⊂ C o multime deschisa si o functie f : D →C, f = u + iv. Daca u, v ∈ C1(D) si in orice punct z ∈ D au locconditiile C-R atunci functia f este olomorfa pe D.

Exemplul 1. Fie functia f = u + iv de forma f = (x2 − y2) + i · 2xy. Sase verifice ca f este olomorfa in tot planul.

Functiile polinomiale u = x2 + y2 si v = 2xy sunt de clasa C1 in totplanul, in plus conditiile C-R se verifica in fiecare punct din C, deci f esteolomorfa in C conform criteriului de olomorfie.Exemplul 2. Sa se verifice ca in coordonate polare conditiile C-R, sunt:

∂u

∂r=

1

r

∂v

∂θsi

∂v

∂r= −1

r

∂u

∂θ

Una din contributiile matematicianului roman Dimitrie Pompeiu in anal-iza complexa a fost definirea derivatei areolare.

Se porneste de la faptul ca daca u si v au derivate partiale in raport cu xsi y rezulta ca si f are derivate partiale in raport cu x si y (ca suma de douafunctii, neavand importanta ca f are valori complexe). Avem:

∂f

∂x=

∂u

∂x+ i

∂v

∂x,

∂f

∂y=

∂u

∂y+ i

∂v

∂y

Notam derivatele partiale ale lui f in raport cu z = x+iy si z = x− iy astfel

∂f

∂z=

1

2

(∂f

∂x− i

∂f

∂y

)si

∂f

∂z=

1

2

(∂f

∂x+ i

∂f

∂y

)

Prin definitie numarul ∂f∂z

(z0) se numeste derivata areolara a lui f inpunctul z0 ∈ D. Importanta acestei notiuni este data de urmatoarea teorema.Teorema 2. Fie D ⊂ C este o multime deschisa si f : D → C, f = u + iv.Daca u, v ∈ C1(D) si ∂f

∂z= 0 pe D, atunci functia f este olomorfa pe D.

Intr-adevar se verifica imediat ca relatia ∂f∂z

= 0 pe D este echivalenta cuconditiile Cauchy-Riemann.Exemplul 3. Se da functia f : C→ C definita prin f(z, z) = z5 + zz −

2z + 4z. Sa se determine punctele din plan in care f este derivabila.


Evident functiile u si v sunt de clasa C1 in tot planul. Ramane sa verificamconditiile C-R; vom utiliza derivata areolara. Avem

∂f

∂z= z + 4 = 0 ⇒ x + iy + 4 = 0 ⇒

{x = −4y = 0

Rezulta ca f este derivabila intr-un singur punct, (-4,0).Se reaminteste in continuare ca o functie u : D → R de clasa C2 pe

deschisul D se numeste armonica daca avem ∆u = ∂2u∂x2 + ∂2u

∂y2 = 0, in fiecarepunct al lui D.Teorema 3. Fie D ⊂ C o multime deschisa si f : D → C, f = u + iv cu

u, v ∈ C2(D). Daca f este olomorfa pe D, atunci functiile u, v sunt functiiarmonice pe D.

Demonstratie In fiecare punct din D avem

∂2u

∂x2+

∂2u

∂y2=

∂

∂x(∂u

∂x) +

∂

∂y(∂u

∂y)

C−R=

∂

∂x(∂v

∂y) +

∂

∂y(−∂v

∂x)

=∂2v

∂x∂y− ∂2v

∂y∂x= 0

conform criteriului lui Schwarz.Deci ∆u = 0 pe D. Asemanator se verifica ∆v = 0.Daca pentru f(z) = u(x, y) + iv(x, y) se da de exemplu u(x, y) de clasa

C2(D) armonica pe D, atunci putem determina pe v(x, y) astfel ca f sa fieolomorfa pe D.

Avem

dv(x, y) =∂v

∂xdx +

∂v

∂ydy = −∂u

∂xdx +

∂u

∂ydy

si

v(x, y) =

∫ (x,y)

(x0,y0)

(−∂u

∂x)dx +

∂u

∂ydy + K (K ∈ R)

integrala fiind independenta de drum, conditionata de armonicitatea lui u(x, y)in D.

Analog putem proceda daca ni se da v(x, y).Exemplul 4. Sa se determine functia olomorfa, f = u + iv, stiind ca

u(x, y) = x2 − y2 si f(0) = 0.Verificam daca ∆u = 0; Avem

∂u

∂x= 2x;

∂u

∂y= −2y;


∂2u

∂x2+

∂2u

∂y2= 2 + (−2) = 0

Ramane sa determinam functia v(x, y).

Metoda 1 Folosim expresia diferentialei lui v

dv(x, y) =∂v

∂xdx +

∂v

∂ydy

C−R= −∂u

∂ydx +

∂u

∂xdy = 2ydx + 2xdy

Expresia 2ydx + 2xdy este o diferentiala totala, deoarece am verificat cafunctia u este armonica; integrand, obtinem:

v(x, y) =

∫ x

0

2 · 0 dt +

∫ y

0

2xdt + K = 2xy + K

Rezulta:

f = u + iv = (x2 − y2) + i(2xy + K)|x=z,y=0 = z2 + iK

Dar f(0) = 0 ⇒ K = 0, deci f(z) = z2

Metoda 2 Folosim expresia derivatei lui f obtinuta in decursul demonstratieiconditiilor C-R.

Avem

f ′ =∂u

∂x+ i

∂v

∂x=

∂u

∂x− i

∂u

∂y= 2x + i · 2y|x=z,y=0 = 2z

Deoarece si functia f ′ este olomorfa, asa cum se va vedea ea admite oprimitiva pe C. Integrand avem f(z) = z2 + K. Deoarece f(0) = 0 rezultaK = 0, deci f(z) = z2.

Metoda 3 Deoarece conform conditiilor C-R:

{ ∂u∂x

= ∂v∂y

∂u∂y

= − ∂v∂x

⇒{

∂v∂x

= 2y∂v∂y

= 2x

Integram in raport cu x prima ecuatie si folosind drept constanta deintegrare g(y) pentru a obtine pe v drept functie de doua variabile, avem

v(x, y) = 2xy + g(y)

Functia v astfel obtinuta trebuie sa verifice ecuatia a doua.

2x + g′(y) = 2x ⇒ g′(y) = 0 ⇒ g(y) = K

Obtinem v(x, y) = 2xy + K si procedam ca la metoda 1.


1.4 Puncte singulare ale functiilor olomorfe

Fie D un domeniu (deschis si conex).Definitia 2. Prin definitie a ∈ D este punct ordinar pentru f : D →C daca exista o vecinatate a punctului a in care f este olomorfa. Cazuriparticulare de puncte ordinare sunt zerourile lui f .Definitia 3. Daca f(z) se poate prezenta sub forma f(z) = (z−a)pg(z) undep ∈ N, g(a) 6= 0 si g(z) olomorfa in vecinatatea lui a, atunci punctul a estezero de ordinul p al lui f .Definitia 4. Se numesc puncte singulare izolate ale lui f toate punctelea ∈ C pentru care exista r ∈ R∗+ astfel incat functia este olomorfa pentru

0 < |z − a| < r, insa nu este monogena in punctul a. (f poate sa nici nu fiedefinita in a)Definitia 5. Punct singular neizolat este un punct a in care functia nu esteolomorfa si in orice vecinatate a lui a exista cel putin un alt punct singular.Definitia 6. Punctul singular izolat a se numeste pol pentru f (si anumede ordinul p ∈ N), daca este un zero (si anume de ordin p) pentru 1

f(z).

Deci din definitia polului a de ordin p, rezulta ca el este un punct ordinarce nu este zero pentru g(z) = f(z)(z−a)p (deci g este olomorfa in vecinatatea

lui a) si ca putem scrie f(z) = g(z)(z−a)p .

Definitia 7. Se numeste punct singular aparent (sau singularitateeliminabila) un punct singular izolat a ∈ D pentru care f nu este definita,insa exista limita finita: limz→af(z).Definitia 8. Orice punct singular al lui f care nu este eliminabil sau pol

se numeste punct singular esential. El poate fi izolat sau nu.Definitia 9. Functia f se numeste intreaga daca este olomorfa in tot

planul complex eventual cu exceptia punctului de la infinit.Definitia 10. Functia f se numeste meromorfa in D daca are in D numaisingularitati de tip poli.

Pentru a determina natura punctului ∞ ∈ C, pentru o functie f , seconsidera h(z) = f(1

z) si se studiaza natura punctului 0 fata de h.

Exemplul 5. Sa se studieze singularitatile functilor

f1(z) =z2 − 4

z2 + z − 2

f2(z) =1

(z − i)3

1.4. PUNCTE SINGULARE ALE FUNCTIILOR OLOMORFE 13

f3(z) =1

sin 1z

Scriind functia f1(z) = z2−4z2+z−2

= (z−2)(z+2)(z−1)(z+2)

, se observa ca z = 2 este un

zero de ordinul intai, z = −2 este singularitate inlaturabila, iar z = 1 esteun pol de ordinul intai.

Functia f2(z) are pe z = i drept pol de ordin 3.Cercetam polii functiei f3(z). Avem sin 1

z= 0 deci ak = 1

kπ(k ∈ Z) sunt

poli simplii.Se observa ca numarul 0 apare ca punct de acumulare a multimii polilor

deci este un punct singular neizolat. Punctul z = ∞ este un pol simplu.

1.4.1 Functii elementare

Acestea sunt extensiile la multimea C ale functiilor elementare definite pe R.

a) Functia f : C→ C, f(z) = zn, este olomorfa pe C.

Intr-adevar, ∀z0 ∈ C, avem:

limz→z0

zn − zn0

z − z0

= nzn−10

deci f ′(z) = nzn−1,∀z ∈ C. Rezulta ca functiile polinomiale sunt olomorfepe C (ca sume de functii olomorfe). Functia polinomiala este evidento functie intreaga avand (conform teoriei fundamentale a algebrei) atateazerouri (distincte sau nu) cat este gradul sau n, iar punctul ∞ ii este pol deordinul n.

De asemenea functiile rationale sunt olomorfe pe domeniul lor de definitie;intr-adevar, daca f = P

Q, cu P,Q polinoame, atunci f este olomorfa pe de-

schisul C \ {z ∈ C| Q(z) = 0}. Zerourile lui f coincid cu ale lui P iarsingularitatile lui f sunt poli ce coincid cu zerourile lui Q, cu ordinele demultiplicitate corespunzatoare. Rezulta ca f functie rationala este o functiemeromorfa in tot planul.

b) Functia exponentiala complexa:

f : C→ C, f(z) = ez


este functia f(z) = ρeiϕ, unde ρ = |f(z)| = ex si ϕ = arg f(z) = y. Intr-adevar, putem scrie ez = ex+iy = ex · eiy = ρ · eiϕ; ∀z ∈ C.

Functia exponentiala a fost definita astfel incat sa se mentina si in C,relatia functionala caracteristica exponentialei reale:

f(z1 + z2) = f(z1) · f(z2); ∀z1, z2 ∈ C

Se verifica usor ca ez este o functie intreaga si are punctul ∞ ca punctsingular esential:

Daca ϕ ∈ R are loc formula

eiϕ = cos ϕ + i sin ϕ (formula lui Euler); ∀ϕ ∈ R

Rezulta ca functia exponentiala este periodica de perioada 2πi.

c) Functiile circulare si cele hiperbolice se definesc prin functia exponentialain modul urmator:

cos z = 12(eiz + e−iz), z ∈ C

sin z = 12i(eiz − e−iz), z ∈ C

tg z = sin zcos z

, z ∈ C\{2k+1

2π, k ∈ Z}

ctg z = 1tg z

, z ∈ C\ {kπ, k ∈ Z}

si respectiv:

ch z = 12(ez + e−z), z ∈ C

sh z = 12(ez − e−z), z ∈ C

th z = sh z

ch z, z ∈ C\{

2k+12

πi, k ∈ Z}

cth z = 1

th z. z ∈ C\ {kπi, k ∈ Z}

d) Functia logaritm complex: w = f(z) =Ln z

Aceasta functie se defineste ca o functie inversa a exponentialei. Fie deciecuatia

ew = z, z ∈ C \ 0

Ecuatia aceasta admite o infinitate de solutii.Intr-adevar, notand w = u + iv si z = ρeiϕ, avem

eu+iv = ρeiϕ ⇐⇒ eu(cos v + i sin v) = ρ(cos ϕ + i sin ϕ)


Din egalitatea modulelor rezulta

eu = ρ, deci u = ln ρ = ln |z| = ln√

x2 + y2

iar pentru argumente avem

v = ϕ + 2kπ = arg z + 2kπ, k = 0, ±1, ±2, ...

Rezulta

Ln z = ln |z|+ i(arg z + 2kπ), z 6= 0, k ∈ Z

deci

Re (Ln z) = ln |z| ; Im (Ln z) = arg z + 2kπ, z 6= 0, k ∈ Z

Se observa ca pentru un numar complex z = x + iy dat, z 6= 0, parteaimaginara a numarului Ln z nu este unic determinata (fiind dependenta deparametrul k ∈ Z, ea poate lua o infinitate de valori). In fapt, functialogaritmica complexa asociata fiecarui numar z ∈ C, z 6= 0, nu are o singuraimagine (ca in cazul functiei logaritmice reale), ci o infinitate de imagini(corespunzatoare valorilor k ∈ Z).

O astfel de functie se numeste multiforma. Functia multiforma Ln z areo infinitate de determinari sau ramuri distincte

(Ln z)0 = ln |z|+ i arg z; k = 0

(Ln z)1 = ln |z|+ i(arg z + 2π); k = 1

(Ln z)−1 = ln |z|+ i(arg z − 2π); k = −1

...

Se poate fixa o determinare principala a lui Ln z, daca practicam deexemplu o taietura pe axa reala negativa. Consideram argumentul lui z cafiind cuprins intre −π si π. Pentru z situat pe taietura (figura 1.6) pe parteay pozitiv, luam ϕ = π. Daca descriem un contur inchis in jurul punctuluiz = 0, ajungem pe partea taieturii situata inspre y negativ cu valoarea ϕ =−π. Daca nu traversam niciodata taietura T = {z ∈ C| Im z = 0, Re z ≤ 0}functia Ln z este bine determinata convenind sa luam k ∈ Z fixat. Se spuneca ea este uniforma pe C \T .


Se numeste determinare principala valoarea logaritmului complex core-spunzatoare lui k = 0 si se obisnuieste sa se noteze ln z. Avem

ln z = ln |z|+ i arg z, (−π < arg z < π)

Din aceasta functie obtinem celelalte determinari (ramuri) ale logarit-milor, descriind cu incepere din z, un contur inchis care ocoleste origineain sensul trigonometric sau in sensul opus, de un anumit numar de ori sitraverseaza taietura.

Cand z traverseaza taietura T , fiecare ramura Ln kz trece in ramuraLn k+1z sau in ramura Ln k−1z, dupa cum traversarea se face in sensul pozitivtrigonometric sau in sensul contrar. Punctul z = 0 in vecinatatea caruiafunctia are o asemenea comportare, il numim punct critic. In generalnumim punct critic al unei functii de o variabila complexa, orice punct invecinatatea caruia functia respectiva este multiforma.

Pentru uniformizarea ramurilor unei functii multiforme se face in planulcomplex o taietura printr-o semidreapta cu originea in punctul critic, prinaceasta operatie devenind imposibila ocolirea punctului critic. Daca functiaare mai multe puncte critice sunt posibile taieturi numai prin segmentecuprinse intre acestea.

Pentru functia logaritmica punctul z = 0 este punct critic impreunacu z = ∞; ele se numesc puncte critice logaritmice sau puncte deramificatie logaritmica.

In privinta functiilor multiforme, Riemann a avut ideea de a le considerafunctii in sensul uzual, inlocuind insa variabila complexa cu un punct variabilpe o anumita suprafata avand mai multe foi, fiecare foaie fiind obtinuta dinplanul complex. Astfel de suprafete se numesc suprafete riemanniene.

Fie determinarea principala

f(z) = ln z = ln√

x2 + y2 + i arctgy

x= u(x, y) + iv(x, y)

Conditiile de monogenitate ale lui Cauchy sunt satisfacute pentru x 6=0, y 6= 0, adica pentru z 6= 0.

Avem apoi

f ′(z) =∂u

∂x+ i

∂v

∂x=

x− iy

x2 + y2=

1

z

Rezulta

(ln z)′ =1

z


e) Functia radical: w = f(z) =√

z

Aceasta functie se defineste ca inversa functiei

z = w2.

Daca se noteaza z = ρeiϕ si w = reiθ, avem

ρeiϕ = r2e2iθ

deciρ = r2, 2θ = ϕ + 2kπ

adicar =

√ρ, θ =

ϕ

2+ kπ, k ∈ Z

Rezultawk =

√ρei(ϕ

2+kπ), k ∈ Z

Sunt doua determinari distincte numai pentru k = 0 si k = 1. Avem

w0 =√

ρeiϕ2 si w1 =

√ρei(ϕ

2+π) = −√ρeiϕ

2 .

Cele doua determinari sunt legate intre ele. Intr-adevar daca z descrie ocurba inchisa in jurul lui z = 0 atunci ϕ = arg z creste sau desreste cu 2π,deci plecand din A, de afix z0 6= 0, cu prima determinare pentru

√z revenim

in A cu a doua determinare. Astfel cele doua determinari ne apar ca ramuriale unei functii multiforme.

Punctul z = 0 se numeste punct critic algebric (sau de ramificatiealgebrica). Uniformizarea functiei multiforme

√z, consta in alegerea uneia

dintre ramurile sale si practicarea unei taieturi T in planul complex de la0 la ∞; in acest fel ramura aleasa va avea ca domeniu maxim de olomorfieD = C \T . Punctul z = ∞ este de asemenea critic algebric.

In mod corespunzator functia n√

z va avea n ramuri si se uniformizeaza lafel ca

√z.

Exemplul 6. Sa se uniformizeze functia

f(z) =√

(z + 1)(z − 1), z ∈ C.

Sa consideram numerele

z + 1 = ρ1eiϕ1 ; ρ1 > 0, ϕ1 ∈ [0, 2π]

z − 1 = ρ2eiϕ2 ; ρ2 > 0, ϕ2 ∈ [0, 2π]


Avemf(z) =

√ρ1ρ2e

i(ϕ1+ϕ2)+2kπ

2 , k = 0, 1

Functia are deci ramurile

f0(z) =√

ρ1ρ2eiϕ1+ϕ2

2

f1(z) = −√ρ1ρ2eiϕ1+ϕ2

2

Studiind toate variantele de deplasare a variabilei z din pozitia z0 cu revenirein aceasta pozitie se ajunge la concluzia ca taieturile efectuate de la cele douapuncte critice z = 1 si z = −1 trebuie sa nu permita ocolirea lor individuala,dar sa permita ocolirea lor simultana. Pentru aceasta trebuie ca taietura sase faca pe segmentul [−1, 1]. Cele doua ramuri sunt uniforme in C \ [−1, 1].

1.5 Serii de puteri

Teoria seriilor de puteri in corpul complex C este analoaga teoriei in corpulreal R. Astfel se demonstreaza la fel:Teorema 4. (Abel) Pentru orice serie de puteri

∑∞n=0

cnzn = c0 + c1z + ... + cnzn + ...

exista un numar R ≥ 0 (raza de convergenta) cu urmatoarea proprietate:

1 daca |z| < R, seria este absolut convergenta, (R > 0)

2 daca |z| > R, seria este divergenta.

Seria de puteri este uniform convergenta pe cercul plin |z| ≤ ρ, oricare arfi ρ < R (R > 0).Remarca 1. Discul B(0, R) = {z ∈ C| |z| < R} se numeste discul de

convergenta al seriei de puteri.Calculul razei de convergenta se face conform cu

Teorema 5. (Cauchy si Hadamard) Fie ω = limn→∞ n√|cn|. Raza de

convergenta a seriei∑∞

n=0cnzn este R = 1

ωdaca ω 6= 0 si R = ∞ daca ω = 0.

• Din studiul seriilor cu termeni pozitivi se stie ca daca sirul∣∣∣ cn+1

cn

∣∣∣ are

limita l, atunci si n√|cn| are aceeasi limita. Uneori este mai usor sa de-

terminam raza de convergenta calculand ω = limn→∞∣∣∣ cn+1

cn

∣∣∣ in situatia

ca limita exista.

1.5. SERII DE PUTERI 19

• Teorema lui Abel nu da nici o indicatie cu privire la natura seriei inpunctele cercului |z| = R. Se poate arata pe exemple ca in unele puncteseria este convergenta, in alte puncte seria este divergenta.

• Pentru seria de puteri centrata in z0 (serie Taylor)

∑∞n=0

cn(z − z0)n = c0 + c1(z − z0) + ... + cn(z − z0)

n + ...

discul de convergenta este B(z0, R) = {z ∈ C| |z − z0| < R}.

Facem urmatoarea conventie: pentru R = 0, B(z0, 0) = {z0}, iar pentruR = ∞, B(z0,∞) = C.Exemplul 7. Seria

1 +z

12+

z2

22+ ... +

zn

n2+ ...

are raza de convergenta R = limn→∞∣∣∣ cn

cn+1

∣∣∣ = limn→∞(n+1)2

n2 = 1. Pentru

z = −1 seria este convergenta pentru z = 1 seria este divergenta. Deci pecercul |z| = 1 exista puncte in care seria este convergenta si puncte in careseria este divergenta.Exemplul 8. Seria :

∑∞n=0n! zn, are raza de convergenta nula,

R = limn→∞

∣∣∣∣cn

cn+1

∣∣∣∣ = limn→∞n!

(n + 1)!= limn→∞

1

n + 1= 0

deci seria este convergenta numai pentru z = 0.Exemplul 9. Seria

∑∞n=0

zn

nn are raza de convergenta infinita

ω = limn→∞n

√1

nn= limn→∞

1

n= 0

deci R = 1ω

= ∞.

1.5.1 Echivalenta notiunilor de analicitate si olomorfie

Fie z0 ∈ C un punct fixat si fie

S(z) =∑∞

n=0cn(z − z0)

n, ∀z cu |z − z0| < R


suma seriei centrate in punctul z0.Se poate demonstra ca functia S(z) este olomorfa in orice punct z ∈

B(z0, R). In plus, functia S(z) are derivate complexe de orice ordin in oricepunct z ∈ B(z0, R) si

ck =S(k)(z0)

k!, ∀k ∈ N.

Intr-adevar derivand succesiv pe S(z)

S ′(z) = c1 + 2!c2(z − z0) + ...S ′′(z) = 2!c2 + 3!c3(z − z0) + ...S ′′′(z) = 3!c3 + 4!c4(z − z0) + ......

deci S ′(z0) = c1, S ′′(z0) = 2!c2, S ′′′(z0) = 3!c3, ... si se obtine relatia de maisus.Definitia 11. Fie D ⊂ C o multime deschisa. Functia f : D → C

se numeste analitica pe D daca ∀z0 ∈ D, ∃ o serie de puteri convergentaintr-un disc B(z0, R) ⊂ D de raza R > 0, astfel incat

f(z) =∑∞

n=0cn(z − z0)

n, ∀z ∈ B(z0, R)

Identificand pe f(z) cu S(z), rezulta conform observatiilor facute ca f (z)este olomorfa, are derivate de orice ordin si

cn =S(n)(z0)

n!=

f (n)(z0)

n!.

Deci o functie analitica pe deschisul D, admite local o dezvoltare in serieTaylor

f(z) =∑∞

n=0

f (n)(z0)

n!(z − z0)

n, ∀z ∈ B(z0, r) ⊂ D

In plus aceasta dezvoltare este unica.Echivalenta notiunilor de analicitate si olomorfie a fost demonstrata prin

urmatoarea teorema fundamentala a celor trei fondatori ai analizei complexe.Teorema 6. (Weierstrass-Riemann-Cauchy) Fie D ⊂ C o multime deschisasi f : D → C o functie complexa. Atunci f este analitica pe D daca si numaidaca f este olomorfa pe D.

1.6. SERII LAURENT 21

Se prezinta in continuare cateva dezvoltari in serie utilizate in mod curentpentru a dezvolta in serie functii diverse

ez = 1 +z

1!+

z2

2!+ ... +

zn

n!+ ...; R = ∞

sin z =z

1!− z3

3!+ ... + (−1)n z2n+1

(2n + 1)!+ ...; R = ∞

cos z = 1− z2

2!+

z4

4!+ ... + (−1)n z2n

2n!+ ...; R = ∞

1

1− z= 1 + z + z2 + z3 + ...; R = 1

1

1 + z= 1− z + z2 − z3 + ...; R = 1

ln (1 + z) = z − 1

2z2 +

1

3z3 + ... +

(−1)n

n + 1zn+1 + ...; R = 1

(1 + z)α =∑

k=0

Ckαzk, R = 1, unde α ∈ R∗, C0

α = 1, Ckα =

α (α− 1) ... (α− k + 1)

k!

Exemplul 10. Sa se dezvolte in serie Taylor in vecinatatea punctuluiz = 0, functia

f(z) = e−z2 .

Folosind dezvoltarea in serie a functiei eu cu u = − z2

obtinem

e−z2 = 1 +

1

1!(−1)1 z

2+

1

2!(−1)2 z2

22+ ... +

1

n!(−1)n zn

2n+ ...

R = limn→∞

∣∣∣∣cn

cn+1

∣∣∣∣ = limn→∞

∣∣∣∣(−1)n

n!

1

2n· (n + 1)! 2n+1

(−1)n+1

∣∣∣∣ = ∞.

1.6 Serii Laurent

Definitia 12. Se numeste serie Laurent centrata in punctul z0 ∈ C oriceserie de functii de forma

∑+∞−∞

cn(z − z0)n =

∑∞1

c−n(z − z0)−n +

∑+∞0

cn(z − z0)n

Prima dintre seriile din partea dreapta a semnului egal se numeste parteaprincipala a seriei Laurent iar a doua, se numeste partea intreaga sau


partea tayloriana. Seria Laurent este convergenta daca ambele serii suntconvergente in punctul respectiv.

Putem scrie seria Laurent ca o serie infinita in ambele sensuri

... +c−n

(z − z0)n+ ... +

c−1

z − z0

+ c0 + c1(z − z0) + ... + cn(z − z0)n + ...

Teorema 7. Fie seria Laurent∑n=∞

n=−∞cn(z− z0)n si fie r = limn→∞ n

√|cn|,

1R

= limn →∞ n√|cn|. Presupunem ca 0 ≤ r < R. Atunci:

• In coroana circulara

B(z0, r, R) = {z ∈ C| r < |z − z0| < R}seria Laurent converge absolut si uniform pe compacti.

• In multimea C \B(z0; r, R) seria Laurent diverge.

• Suma seriei Laurent S(z) =∑n=∞

n=−∞cn(z − z0)n este functie olomorfa

pe coroana B(z0, r, R)

Remarca 2. Daca r = 0 si R < +∞ atunci coroana B(z0; r, R) se numestedisc punctat de raza R.Teorema 8. Fie f : B(z0; r, R) → C o functie olomorfa pe coroana

circulara D = B(z0; r, R) (0 ≤ r < R). Atunci exista o serie Laurent unica∑n = −∞n=∞cn(z− z0)

n a carei coroana de convergenta include coroana Dastfel incat in D avem

f(z) =∑n=∞

n=−∞cn(z − z0)

n.

Observatii

1. Dezvoltarea in serie Laurent a unei functii f intr-o coroana circularaeste unica.

2. Daca punctul z = z0 este un punct singular izolat pentru f(z) (adicapol sau punct singular esential izolat) atunci seria Laurent, convergentain orice coroana ce consta din intregul interior al unui cerc cu centrulin z0, mai putin acest punct (disc punctat) zicem ca reprezinta o dez-voltare a functiei f(z) in vecinatatea punctului z0. Raza acesteivecinatati este egala cu distanta de la centrul sau z = z0 pana la celmai apropiat punct singular z1 al lui f(z).

1.6. SERII LAURENT 23

3. Daca z = z0 este un pol de ordinul p al lui f(z) atunci dezvoltareaLaurent in vecinatatea lui z0 va avea in partea principala numai unnumar finit de termeni ≤ p, (printre ei figurand termenul cp

(z−a)p ). Intr-

adevar din definitia polului de ordin p rezulta ca: ϕ(z) = (z− z0)pf(z)

este olomorfa in vecinatatea lui z1, deci va avea, aici, o dezvoltareatayloriana

ϕ(z) = c0 + c1(z − z0) + ... + cn(z − z0)n + ...

de unde

ϕ(z)

(z − z0)p= f(z) =

c0

(z − z0)p+

c1

(z − z0)p−1+ ... +

cp−1

z − z0

+ cp + ...

4. Daca z = z0 este un punct singular esential izolat, dezvoltarea Laurentin vecinatatea sa va contine o infinitate de termeni in partea principala,fiindca in caz contrar conform celor de mai sus ar fi un pol.

5. Dezvoltarea unei f(z) dupa puterile lui (z−z0) in vecinatatea punctuluide la infinit, z0 fiind oarecare, este o dezvoltare Laurent a lui f(z) intr-ocoroana de olomorfie ce coincide cu exteriorul unui cerc |z − z0| = Rde raza R = |zn − z0| , unde zn este cel mai indepartat punct singularde z0 pentru f(z).

Exemplul 11. Sa se dezvolte functia f(z) = e1z in serie Laurent in jurul

originii.Punctul z = 0 reprezinta pentru functie un punct singular esential izolat.

Inlocuind in dezvoltarea

eu = 1 +u

1!+

u2

2!+ ... +

un

n!+ ...

pe u = 1z, z ∈ C \ {0}, obtinem

e1z = 1 +

1

1!

1

z+

1

2!

1

z2+ ... +

1

n!

1

zn+ ..., ∀z ∈ C \ {0}

Se observa ca partea principala a seriei Laurent contine o infinitate de ter-meni.Exemplul 12. Sa se dezvolte in serie de puteri ale lui (z − 1) functia

f(z) = 1z+2

, in coroana circulara 2 < |z − 1| < 3.


Deoarece |z − 1| < 3, rezulta |z−1|3

< 1. Avem

f(z) =1

z + 2=

1

3

1

1 + z−13

=∑∞

n=0

(−1)n

3n+1(z − 1)n.

Exemplul 13. Sa se dezvolte in vecinatatea lui z = ∞ functia f(z) = zz−1

in serie de puteri ale lui z.Avem

f(z) =z

z − 1=

1

1− 1z

= 1 +1

z+

1

z2+ ... +

1

zn+ ..., |z| > 1.

1.7 Reziduurile unei functii complexe

Prin definitie numim reziduul unei functii f(z) in raport cu punctul z =a ∈ C, presupus punct singular izolat, numarul definit prin

rez(f, a) = c−1

unde unde c−1 este coeficientul lui 1z−a

din dezvoltarea lui f(z) in discul

punctat B(a; 0, r), adica in coroana circulara de olomorfie a lui f(z) careizoleaza pe a de celelalte singularitati..

Reziduul functiei f(z) fata de punctul de la infinit se defineste prin

rez (f,∞) = −c−1

unde unde c−1 este coeficientul lui 1z−a

din dezvoltarea lui f(z) in discul

punctat B(a; r,∞), adica in coroana circulara de olomorfie a lui f(z) invecinatatea lui ∞. (C (a,R) este un cerc cu centrul in z = a si in exteriorulcaruia nu se gasesc puncte singulare ale lui f(z) cu eventuala exceptie a luiz = ∞.)

1.7.1 Calculul reziduurilor

a) Metoda seriei Laurent

Este o metoda universala indiferent daca z = a este un pol (simplu saumultiplu) sau este punct singular esential izolat.

1.7. REZIDUURILE UNEI FUNCTII COMPLEXE 25

Exemplul 14. Sa se calculeze reziduul functiei f(z) = e1z

z, in punctul

z = 0.Avem

1

ze

1z =

1

z

(1 +

1

1!

1

z+

1

2!

1

z2+ ... +

1

n!

1

zn+ ...

)

=1

z+

1

1!

1

z2+ ... +

1

n!

1

zn+1+ ...

Rezulta rez (f, 0) = 1.Remarca 3. Calculul reziduului fata de punctul de la infinit a lui f(z),

poate fi redus la calculul reziduului fata de punctul zero astfel

rez f(∞) =1

2πi

∮

yΓ

f(z)dz =1

2πi

∮

xΓ∗

f(1

u)

(− 1

u2

)du,

daca se efectueaza schimbarea de variabila z = 1u. Curba Γ∗ este un cerc ce

izoleaza originea de restul punctelor singulare si este parcurs in sens directatunci cand Γ este parcurs in sens retrograd. Rezulta

rez (f,∞) = rez

(− 1

u2f

(1

u

), 0

)

reziduu care poate sa aiba valoare nenula chiar daca pentru f(z) punctulz = ∞ este un punct ordinar.

b) Cazul in care z = a este un pol de ordin p

Daca a este un pol al functiei f(z) si p este ordinul sau de multi-plicitate exista functia ϕ(z) care are in z = a un punct ordinar si

f(z) = ϕ(z)(z−a)p , ϕ(a) 6= 0.

Tinand seama de definitia reziduului avem

rez (f, a) =1

(p− 1)!ϕ(p−1)(a); p ≥ 1

Inlocuind pe ϕ(z) cu expresia sa, obtinem

rez f(a) =1

(p− 1)!limz→a

dp−1

dzp−1[(z − a)pf(z)]


Pentru cazul particular in care z = a este un pol simplu formula demai sus se simplifica astfel

rez f(a) = limz→a(z − a)f(z)

Exemplul 15. Sa se calculeze reziduurile functiei f(z) = z+1z2(z−1)

in poliiz = 0 si z = 1.

In z = 0, pol dublu, avem

rez f(0) =1

1!limz→0

d

dz

[(z − 0)2 z + 1

z2(z − 1)

]= limz→0

d

dz

[z + 1

z − 1

]=

= limz→01 · (z − 1)− (z + 1) · 1

(z − 1)2= −2

In z = 1, pol simplu, avem

rez f(1) = limz→1(z − 1)z + 1

z2(z − 1)= limz→1

z + 1

z2= 2.

c) Cazul in care z = a este pol simplu iar functia f(z) se poate scrieca un cat de doua functii g(z) si h(z), olomorfe intr-o vecinatatea punctului a.

f(z) =g(z)

h(z)

Daca f(z) are in a un pol simplu, atunci h(a) = 0.Functiile olomorfe g(z) si h(z) pot fi dezvoltate in serie Taylor in vecinatatea

punctului a si avem

f(z) =c0 + c1(z − a) + c2(z − a)2 + ...

γ1(z − a) + γ2(z − a)2 + ..., c0 6= 0, γ1 6= 0

Folosind formula de calcul a reziduului intr-un pol simplu avem

rez f(a) = limz→a(z − a)f(z) =c0

γ1

Dar c0 = g(a), iar γ1 = h′(a) si avem in final formula de calcul

rez f(a) =g(z)

h′(z)

∣∣∣∣z=a

1.8. INTEGRALA UNEI FUNCTII COMPLEXE 27

Exemplul 16. Sa se calculeze reziduurile functiei f(z) = tg z.

Functia f(z) = tg z = sin zcos z

are polii simplii ak = π2

+ kπ, puncte in carecos z se anuleaza. Conform formulei de calcul de mai sus, avem

rez f(ak) =sin z

− sin z

∣∣∣∣z=ak

= −1.

1.8 Integrala unei functii complexe

Se numeste drum orice aplicatie continua a unui interval inchis [a, b] in C.Multimea valorilor unui drum injectiv se numeste arc de curba.

Fie ν : [a, b] → D ⊂ C, unde D este o multime deschisa si ν(t) =x(t) + iy(t), o curba de clasa C1 pe portiuni in D. Fie apoi f : D → C ofunctie complexa continua, f = u + iv.

Fie ∆n : a = t0 < t1 < ... < tn = b o diviziune a intervalului [a, b].Punctele de afix zk = ν(tk) impart arcul de curba ν in n arce. Alegemarbitrar in fiecare interval [tk, tk+1] o valoare αk, careia ii corespunde punctulPk de afix ξk = ν(αk) pe arcul de curba (figura 1.7).

Suma∑n−1

k=0f(ξk)(zk+1−zk) se numeste suma integrala complexa (rel-ativ la f, ν, ∆n, ξk).

Notam cu ν(∆n), norma diviziunii ∆n.

Prin definitie, limita

lim∀ξk,ν(∆n)→0

∑n−1

k=0f(ξk)(zk+1 − zk)

se numeste integrala complexa a functiei f de-a lungul curbei γ si senoteaza

∫γ

f(z)dz.

Se defineste in acest fel, de fapt, o integrala curbilinie in planul complex.Separand suma integrala in parte reala si parte imaginara si trecand la limitaobtinem

∫

γ

f(z)dz =

∫

γ

u(x, y)dx− v(x, y)dy + i

∫

γ

v(x, y)dx + u(x, y)dy

Rezulta ca o integrala complexa revine la o pereche de integrale curbiliniireale. Calculam aceste integrale curbilinii reale prin reducere la integrale


Riemann. Avem

∫

γ

u dx− v dy =

b∫

a

{u(x(t), y(t))x′(t)− v(x(t), y(t))y′(t)} dt

∫

γ

v dx− u dy =

b∫

a

{ v(x(t), y(t))x′(t) + u(x(t), y(t))y′(t)} dt

Rezulta

∫

γ

f(z)dz =

b∫

a

{u(x(t), y(t)) + iv(x(t), y(t))} (x′(t) + iy′(t)) dt =

=

∫ b

a

f (z(t)) · z′(t)dt (1.4)

Se observa ca in final calculul integralei complexe revine la calculul uneiperechi de integrale Riemann reale.

Proprietatiile integralei complexe se deduc din proprietatiile integraleicurbilinii reale. Avem:

a)∫−γ

f(z)dz = − ∫γ

f(z)dz (schimbarea sensului de percurgere a curbei

γ)

b) ∀λ1, λ2 ∈ C, f1, f2 : D → C, continue

∫

γ

(λ1f1 + λ2f2)dz = λ1

∫

γ

f1dz + λ2

∫

γ

f2dz (linearitatea)

c) Fie γ1 : [a, b] → D, γ2 : [b, c] → D, drumuri de clasa C1 pe portiuni cuγ1(b) = γ2(b) si γ = γ1 ∪ γ2. Atunci

∫

γ

f(z)dz =

∫

γ1

f(z)dz +

∫

γ2

f(z)dz (aditivitate)

d)∣∣∣∫

γf(z)dz

∣∣∣ ≤∫

γ|f(z)| dz


e) Fie L lungimea drumului γ si fie M = supz∈D |f(z)| < ∞. Atunci

∣∣∣∣∫

γ

f(z)dz

∣∣∣∣ ≤ M · L (majorarea modulului integralei)

Exemplul 17. Sa se calculeze integrala I =∫

γz dz unde arcul de curba γ

este reprezentat in figura 1.8.

Se observa ca arcul de curba este reprezentat de segmentul OM asezat peprima bisectoare. Parametrizarea drumului dintre punctele O si M de afix1 + i este {

x = t,y = t,

t ∈ [0, 1] .

Avem

z(t) = x(t) + iy(t) = t + it

z′(t) = x′(t) + iy′(t) = 1 + i

I =

∫ 1

0

(t + it)(1 + i)dt =

∫ 1

0

(t− t)dt + i

∫ 1

0

2t dt = i.

In aplicatii se intalnesc si integrale luate pe o curba simpla inchisa Γ,neteda sau neteda pe portiuni ce reprezinta frontiera unui domeniu marginit∆. In acest caz stabilim ca sensul de parcurgere a frontierei este acela carelasa punctele domeniului la stanga. Parametrizarea fiecarui arc neted din careeste compusa frontiera se face cu functii injective de clasa C1 care pastreazaorientarea stabilita.Exemplul 18. Sa se calculeze I =

∫Γ

1(z−a)n dz, cu n ∈ Z, pe un cerc Γ cu

centrul in a de raza r.Se considera parametrizarea t → z(t) = a + reit, t ∈ [0, 2π]. Conform

formulei de calcul: I =∫ b

af (z(t)) z′(t)dt, avem

- pentru n = 1

I =

∫ 2π

0

1

reitireitdt = i

∫ 2π

0

dt = 2πi.

- pentru n 6= 1

I =

∫ 2π

0

1

rneintireitdt = ir1−n

∫ 2π

0

ei(n−1)tdt =ir1−n

i (n− 1)ei(n−1)t

∣∣∣∣2π

0

= 0.


Se prezinta in continuare cateva consideratii referitoare la clasificareadomeniilor.

Distingem doua situatii posibile

• domenii simplu conexe, cu frontiera formata dintr-o singura com-ponenta (figura 1.9.a) si ca atare un punct mobil o poate parcurge inintregime fara ca el sa paraseasca planul figurii;

• domenii multiplu conexe, ce reprezinta enclave. Frontiera lor esteformata din mai multe componente disjuncte (γ1 ∪ γ in figura 1.9.b)si ca atare un punct mobil nu o poate parcurge in intregime fara saparaseasca planul figurii.

Un domeniu multiplu conex poate deveni simplu conex prin efectuareaunor taieturi in planul complex, intre diferite componente ale frontierei sale.Astfel in domeniul din figura 1.9 b) facand o taietura intre punctul M ∈ γsi N ∈ γ1, acesta devine ca in figura 1.10. Un punct mobil care pleaca dinM si se deplaseaza in sensul indicat in figura parcurge in intregime frontieradomeniului fara a parasi planul figurii.

Domeniul multiplu conex din figura 1.11 avand n enclave excluse este deordinul n+1, fiind necesare n taieturi pentru a-l transforma intr-un domeniusimplu conex. In mod optional pentru a preciza ca integrala este luata de-alungul unei curbe inchise Γ se poate folosi simbolul:

∮Γ.

1.8.1 Teorema lui Cauchy. Formulele integrale Cauchy

Un rezultat fundamental datorat lui Cauchy este dat de urmatoarea teorema.Teorema 9. (Teorema lui Cauchy pentru domenii simplu conexe) Fie in

domeniul simplu conex D un drum inchis Γ de clasa C1 pe portiuni si fief o functie olomorfa pe D. Atunci

∮

Γ

f(z)dz = 0

Demonstratie Derivatele partiale ale lui u = Re f si v = Im f suntcontinue. Avem aplicand formula lui Green

∮

Γ

f(z)dz =

∮

Γ

(u dx− v dy) + i

∮

Γ

(v dx + u dy) =


=

∫

D

(−∂v

∂x− ∂u

∂y

)dxdy + i

∫

D

(∂u

∂x− ∂v

∂y

)dxdy

unde D este domeniul limitat de Γ. Pe baza olomorfiei lui f folosind conditiileC-R fiecare din integralele duble se anuleaza si se obtine afirmatia teormei.

In enuntul acestei teoreme ipoteza despre domeniul D ca este simpluconex a fost esentiala.Remarca 4. In conditiile teoremei daca z0 ∈ D este un punct fix, iar

z ∈ D este un punct arbitrar pentru orice drum γ de clasa C1 pe portiunicu capetele in z0 si z, integrala

∫γf(ξ)dξ nu depinde de alegerea drumului

γ (deoarece este nula pe orice domeniu inchis), ci numai de capetele z0 si z.Vom nota

F (z) =

∫ z

z0

f(ξ)dξ.

Se poate verifica usor ca F este olomorfa pe D si F ′(z) = f(z), ∀z ∈ D, deciF reprezinta o primitiva a lui f pe D.

Se poate demonstra ca o functie olomorfa intr-un domeniu D simpluconex, admite o infinitate de primitive care difera una de alta prin cate o con-stanta complexa. In plus ramane valabila formula Newton-Leibniz cunoscutapentru integrala Riemann

∫ z2

z1

f(z)dz = F (z2)− F (z1)

Exemplul 19. Sa se calculeze integrala din exemplul 1.8 folosind formulaNewton-Leibniz.

Avem

I =

∫ 1+i

0+0i

z dz

Functia integrant f(z) = z este olomorfa in orice domeniu simplu conex finitcare contine segmentul OM si are drept primitiva pe z2

2. Rezulta

I =

∫ 1+i

0+0i

z dz =z2

2

∣∣∣∣1+i

0+0i

=(1 + i)2

2=

2i

2= i.

Remarca 5. Se poate obtine o varianta a teormei Cauchy pentru domeniimultiplu conexe. In cazul in care D este multiplu conex, exista curbe simpluinchise Γ ⊂ D, netede sau netede pe portiuni care sunt frontiere ale unordomenii marginite ∆ ⊂ D, simplu conexe pentru care integrala luata de-a


lungul acestor curbe se anuleaza. Sa presupunem insa ca Γ contine in interiorenclava exclusa ∆ (figura 1.12 a).

Inconjuram enclava ∆ cu o curba inchisa C si folosind o taietura trans-formam domeniul D in unul simplu conex ( figura 1.12 b). In domeniul ast-fel transformat aplicam teorema lui Cauchy pentru domenii simplu conexe.Avem: ∮

Γ

f dz +

∫

BA

f dz +

∮

yC

f dz +

∫

AB

f dz = 0

Deorece integrala pe BA are valoare egala cu integrala pe AB dar de semncontrar, suma acestor integrale este egala cu 0. Rezulta

∮

Γ

f(z) dz = −∮

yC

f(z) dz =

∮

C

f(z) dz.

In cazul unui domeniu D multiplu conex de ordinul n + 1 (fig. 1.11)rezultatul de mai sus se generalizeaza astfel

∮

Γ

f(z)dz =∑n

k=1

∮

Ck

f(z)dz

considerand ca toate cele n enclave excluse se situeaza in interiorul lui Γ.Teorema lui Cauchy in cazul domeniilor multiplu conexe permite calcu-

larea simpla a unor integrale complexe.Astfel, daca conturul de integrare Γ delimiteaza un domeniu in care

functia care se integreaza are singularitatile z1, z2, ..., zn acestea se izoleazaprin cercuri Ck, k = 1, 2, ..., n cu centrele in aceste puncte si raze suficient demici astfel incat sa delimiteze domenii disjuncte (figura 1.13).

Conform teoremei lui Cauchy in cazul domeniilor multiplu conexe vomavea ∮

Γ

f(z) dz =∑n

k=1

∮

Ck

f(z) dz

Exemplul 20. Sa se calculeze integrala

I =

∮

|z|=2

dz

z − 1

orientarea cercului |z| = 2 fiind directa (figura 1.14).Functia 1

z−1este olomorfa pe C \ {1}. Domeniul D este dublu conex.

Avem

I =

∮

|z|=2

dz

z − 1=

∮

γ

dz

z − 1


unde γ este un cerc cu centrul in punctul 1 de raza r < 1. Rezulta conformexemplului 1.9, I = 2πi.

Se prezinta in continuare o formula deosebit de importanta de reprezentareintegrala a functilor olomorfe.Teorema 10. (Formula integrala a lui Cauchy pentru domenii simplu

conexe)Daca f(z) este olomorfa in D simplu conex si C este o curba simpla din

D de clasa C1 pe portiuni ce inchide domeniul ∆ ⊂ D, atunci valorile luif(z) in toate punctele a ∈ ∆ sunt cunoscute daca se dau valorile lui f(z) peconturul C si anume, ele se obtin din formula

f(a) =1

2πi

∮

c

f(z)

z − adz

Demonstratie Tinand seama de olomorfia lui f(z) in D, deducem cafunctia

g(z) =f(z)

z − a

este meromorfa in D cu z = a pol simplu; deci pentru g(z) domeniul D1 =D−{a} este un domeniu de olomorfie dublu conex in care C este echivalentacu un cerc γ de centru a si raza r arbitrara, pentru care γ ⊂ D, deci

∮

C

f(z)

z − adz =

∮

γ

f(z)

z − adz

Pentru cea de-a doua integrala vom scrie∮

γ

f(z)

z − adz =

∮

γ

f(z)− f(a)

z − adz + f(a)

∮

γ

dz

z − a

adica ∮

γ

f(z)

z − adz = 2πi f(a) +

∮

γ

f(z)− f(a)

z − adz

Folosind continuitatea lui f(z) in D si aplicand majorarea modulului inte-gralei, se poate arata ca integrala din partea dreapta a semnului egal esteegala cu 0.

Pentru γ avem parametrizarea z (θ) = a + reiθ, θ ∈ [0, 2π] . Calculam∣∣∣∣∮

γ

f(z)− f(a)

z − adz

∣∣∣∣ =

∣∣∣∣∫ 2π

0

f(a + reiθ)− f(a)

a + reiθ − aireiθdθ

∣∣∣∣ =

∣∣∣∣i∫ 2π

0

(f(a + reiθ)− f(a)

)dθ

∣∣∣∣ ≤

≤ 2π∣∣f(a + reiθ)− f(a)

∣∣


Deci

f(a) =1

2πi

∮

γ

f(z)

z − adz.

Remarca 6. Pentru domenii multiplu conexe de ordinul (n + 1) formulaintegrala a lui Cauchy de mai sus, devine

f(a) =1

2πi

[∮

C

f(z)

z − adz −

∑n

k=1

∮

Ck

f(z)

z − adz

]

1.8.2 Integrale de tip Cauchy

Definitia 13. Fie f o functie continua definita pe arcul neted pe portiuniC. Se numeste integrala de tip Cauchy integrala

F (z) =

∫

C

f(ξ)

ξ − zdξ

definita pentru z ∈ C\C.Teorema 11. Functia F este olomorfa in C\C si derivata sa este

F ′ (z) =

∫

C

f(ξ)

(ξ − z)2dξ.

Demonstratie Pentru z0 ∈ C\C notam 2δ distanta de la z0 la arcul C(raza celui mai mare cerc cu centru in z0 care nu intersecteaza C). Fie z cu|z − z0| < δ. Rezulta

F (z)−F (z0) =

∫

C

f(ξ)

(1

ξ − z− 1

ξ − z0

)dξ = (z − z0)

∫

C

f(ξ)

(ξ − z) (ξ − z0)dξ.

Avem |ξ − z0| ≥ 2δ si |ξ − z| ≥ |(ξ − z0)− (z − z0)| ≥ |ξ − z0|− |z − z0| ≥ δ,deci

1

|ξ − z| · |ξ − z0| ≤1

2δ2.

De asemenea∣∣∣∣∫

C

f(ξ)

(ξ − z) (ξ − z0)dξ

∣∣∣∣ ≤ 1

2δ2max

C|f(ξ)| · lung (C)

|F (z)− F (z0)| ≤ |z − z0| · 1

2δ2max

C|f(ξ)| · lung (C)


Rezulta limz→z0 F (z) = F (z0), deci integrala de tip Cauchy este continua.

limz→z0

F (z) = F (z0)

Apoi

F (z)− F (z0)

z − z0

=

∫

C

f(ξ)ξ−z0

ξ − zdξ

In dreapta este o integrala de tip Cauchy ( cu f(ξ)ξ−z0

continua pe C), decicontinua. Se obtine

F ′ (z) = limz→z0

F (z)− F (z0)

z − z0

=

∫

C

f(ξ)ξ−z0

ξ − z0

dξ =

∫

C

f(ξ)

(ξ − z0)2dξ.

Aceasta teorema spune ca in cazul integralelor de tip Cauchy, se poatederiva sub semnul integrala. Posibilitatea exprimarii derivatelor succesive alefunctiei f(z) prin valorile sale pe conturul C este acum o consecinta imediata.Teorema 12. (Formula Cauchy pentru derivate)

O functie f olomorfa intr-un domeniu D simplu conex, admite in acestdomeniu derivate de orice ordin, care sunt si ele olomorfe in D avand:

f (n)(z) =n!

2πi

∮

C

f(ξ)

(ξ − z)n+1dξ

daca conturul C ⊂ D, inchide un domeniu DC simplu conex ce il continepe z.

(Enuntul teoremei se modifica corespunzator cu o formula analoaga for-mulei lui Cauchy pentru cazul domeniului multiplu conex DC)

f (n)(z) =n!

2πi

[∮

C

f(ξ)

(ξ − z)n+1dξ −∑n

k=1

∮

Ck

f(ξ)

(ξ − z)n+1dξ

]

Exemplul 21. Folosind formulele integrale ale lui Cauchy sa se calculezeintegralele

a) I =

∮

|z|= 12

dz

z(z − 1), b) J =

∮

|z|= 12

dz

z2(z − 1)3

a) Avem I =∮|z|= 1

2

1z−1

z−0dz = 2πi 1

z−1

∣∣z=0

= −2πi folosind formula lui

Cauchy I =∮

Cf(z)z−a

dz = 2πi f(a) si observand ca z = 0 este situat in interi-

orul cercului |z| = 12.


b) Se foloseste formula lui Cauchy pentru derivate∮

C

f(z)

(z − z0)n+1dz =

2πi

n!f (n)(z0)

Rezulta∮|z|= 1

2

1(z−1)3

(z−0)2= 2πi

1!f ′(0) = 2πi −3(z−1)2

(z−1)6

∣∣∣z=0

= 6πi.

1.9 Teorema reziduurilor

Prin definitie numim reziduul unei functii f(z) in raport cu punctul z = a,presupus punct singular izolat, este coeficientul c−1 din reprezentarea in serieLaurent in coroana de olomorfie a lui f punctata in a. Rezulta imediat

rez (f, a) = c−1 =1

2πi

∞∑n=−∞

∮

γ

cn (z − a)n dz =1

2πi

∮

γ

∞∑n=−∞

cn (z − a)n dz =

=1

2πi

∮

γ

f(z)dz

unde γ este orice cerc situat in coroana de olomorfie a lui f .Reziduul functiei f(z) fata de punctul de la infinit se defineste prin

rez (f,∞) = −c−1 = − 1

2πi

∞∑n=−∞

∮

Γ

cnzndz = − 1

2πi

∮

Γ

f(z)dz =1

2πi

∮

yΓ

f(z)dz

unde Γ este orice cerc cu centrul in z = 0 si in exteriorul caruia nu se gasescpuncte singulare ale lui f(z) cu eventuala exceptie a lui z = ∞.Teorema 13. (Teorema reziduurilor) Daca curba inchisa γ este situata

intr-un domeniu D multiplu conex de olomorfie a functiei f(z) si inchide ininteriorul sau numai un numar finit de puncte singulare a1, a2, ..., an poli saupuncte singulare esentiale avem

∮

γ

f(z)dz = 2πi∑n

k=1rez f(ak)

Demonstratia rezulta imediat din teorema lui Cauchy pentru domeniimultiplu conexe, dupa ce izolam fiecare punct singular cu cate un cerc γk

∮

γ

f(z)dz = 2πi∑n

k=1

1

2πi

∮

γk

f(z)dz = 2πi∑n

k=1rez f(ak).

1.9. TEOREMA REZIDUURILOR 37

Daca f(z) are in tot planul numai un numar finit de puncte singulare(evident, atunci sunt toate izolate), suma tuturor reziduurilor sale in acestepuncte, inclusiv in z = ∞, este nula

∑krez f(ak) + rez f(∞) = 0

Intr-adevar luand un contur γ care cuprinde in interior toate punctele sin-gulare ak (izoland deci in acelasi timp punctul ∞) avem conform teoremeireziduurilor si a definitiei reziduului in z = ∞

∑krez f(ak) =

1

2πi

∮

γ

f(z)dz

rez f(∞) = − 1

2πi

∮

γ

f(z)dz

deci relatia data este demonstrata.Rezultatul de mai sus permite ca in calculul unei integrale prin terorema

reziduurilor sa inlocuim suma reziduurilor fata de singularititatile interioarelui γ daca ele sunt prea numeroase cu opusul sumei reziduurilor fata desingularitatiile din exterior (inclusiv z = ∞), facand astfel o economie decalcul, in ipoteza ca aceste ultime reziduri, mai putine, nu se calculeaza preadificil.Exemplul 22. Sa se calculeze cu ajutorul reziduurilor integrala

I =

∮

|z|=R

dz

1 + zn, n ∈ N, R > 1

Putem calcula pe I in doua moduria) Functia f(z) = 1

1+zn are polii simplii ak = eiπ+2kπn , k = 0, 1, ..., (n− 1)

situati pe cercul de raza 1. Avem

rez (f, ak) =1

nzn−1

∣∣∣∣z=ak

=1

nan−1k

=ak

nank

= − 1

nak

deoarece ak verifica ecuatia zn + 1 = 0. Conform teoremei reziduurilor avem

I = 2πi∑n−1

k=0rez (f, ak) = −2πi

n

∑n−1

k=0ak =

{0, n > 12πi, n = 1

folosind pentru calculul sumei∑n−1

k=0ak relatii dintre radacini si coeficienti(relatiile lui Viete).


b) Dezvoltam functia f(z) in vecinatatea punctului z = ∞, adica pentru|z| > 1 avem

f(z) =1

1 + zn=

1

zn

1

1 + 1zn

=1

zn

(1− 1

zn+

1

z2n− 1

z3n+ ...

)=

=1

zn− 1

z2n+

1

z3n− ...

Se obtine

rez f(∞) = −c−1 =

{0, n > 1−1, n = 1

I = −2πi rez f(∞) =

{0, n > 12πi, n = 1

1.10 Calculul unor integrale reale

Se pot calcula cateva tipuri de integrale definite reale, fara a calcula primi-tivele. In acest scop sunt necesare urmatoarele leme.Lemma 1. Fie f(z) o functie continua definita in sectorul z = a+reiϕ,(0 ≤ r ≤ R, ϕ1 ≤ ϕ ≤ ϕ2). Daca limz→a (z − a) f(z) = 0, (ϕ1 ≤ arg z ≤ ϕ2),atunci limr→0

∮γf(z)dz = 0, unde γ este arcul de cerc centrat in a de raza r

continut in sectorul ϕ1 ≤ ϕ ≤ ϕ2 .Demonstratie Din ipoteza existentei limitei nule, avem |z f(z)| < ε

pentru |z| < ηε (|z| = r → 0 daca z → 0). Se poate scrie

∣∣∣∣∮

γ

f(z)dz

∣∣∣∣ =

∣∣∣∣∮

γ

z f(z)

zdz

∣∣∣∣ ≤1

rmax

γ|z f(z)| · L ≤ ε

rL ≤ 2πε

daca r < ηε unde L este lungimea arcului γ, avand deci L ≤ 2πr. Inegalitateade mai sus implica

limr→0

∮

γ

f(z)dz = 0.

Lemma 2. Fie f(z) o functie definita continua in sectorul ϕ1 ≤ ϕ ≤ ϕ2

(z = reiϕ). Daca lim|z|→∞ zf(z) = 0, atunci limr→∞∮

γf(z)dz = 0, unde γ

este arcul de cerc centrat in origine de raza r continut in sectorul ϕ1 ≤ ϕ ≤ϕ2.

1.10. CALCULUL UNOR INTEGRALE REALE 39

Demonstratia decurge analog cu a primei leme, cu deosebirea ca delim-itarea modulului integralei de catre 2πε, are loc in conditia |z| = R > ηε.Lemma 3. Fie f(z) o functie continua pe orice arc γ al cercului|z| = R, R suficient de mare situat in Im z > −a (a dat). si λ > 0.Daca lim|z|→∞ f(z) = 0 (ϕ1 ≤ arg z ≤ ϕ2), atunci limr→∞

∮γf(z)eiλxdz = 0,

unde γ este arcul de cerc centrat in origine de raza r continut in sectorulϕ1 ≤ ϕ ≤ ϕ2.

Metoda generala de lucru in calculul integralelor reale, prin reziduuri,consta in completarea segmentului de integrare cu alte curbe pana la com-pletarea unui contur inchis pe care integrala din f(z) (dedusa din f(x) prininlocuirea lui x cu z) se poate calcula usor folosind teorema reziduurilor.

Se prezinta in continuare cateva integrale ce pot fi calculate astfel.

a) Integrale de forma

I =

∫ +∞

−∞R(x)dx,

unde R(x) este o functie rationala continua pe toata axa reala, avandpolinomul de la numitor de grad cu cel putin 2 unitati mai mare decat gradulpolinomului de la numarator, in plus diferit de zero oricare ar fi x ∈ R.

Consideram extinderea in complex R(z), z ∈ C, si integram pe curbainchisa Γ = [−r, r] ∪ γ. Obtinem

∮

Γ

R(z)dz = 2πi∑

krez R(ak)

unde ak sunt polii lui R ce se afla in semidisc. Avem∮

Γ

R(z)dz =

∫ r

−r

R(x)dx +

∮

γ

R(z)dz

Cand r →∞, toti polii din semiplanul y > 0 se afla in semidisc,∫ r

−rR(x)dx →

I, iar a doua integrala tinde catre 0 conform lemei a doua (datorita diferenteide grad intre polinoamele ce formeaza pe R). Rezulta

I =

∫ ∞

−∞R(x)dx = 2πi

∑k,Im ak>0

rez R(ak);

Exemplul 23.

I =

∫ +∞

−∞

dx

x2 + 9= 2πi rez

(1

z2 + 9

)∣∣∣∣z=3i

= 2πi1

2 · 3i=

π

3


deoarece R(z) are in semiplanul superior numai polul simplu a1 = 3i.

b) Integrale de tipul ∫ +∞

−∞R(x) eiλx dx

unde λ > 0 si R(x) este o functie rationala continua pe toata axareala, avand polinomul de la numitor de grad cu cel putin 1 unitatimai mare decat gradul polinomului de la numarator, in plus diferit dezero oricare ar fi x ∈ R. Astfel de integrale se intalnesc in studiultransformarii Fourier.

Avem∫ +∞

−∞R(x) eiλx dx = 2πi

∑krez

(R(z)eiλz

)z=ak

; Im ak > 0

Exemplul 24. Sa se calculeze integrala lui Laplace

I =

∫ +∞

−∞

cos x

x2 + a2dx, a > 0

Avem

I =

∫ +∞

−∞

cos x

x2 + a2dx = Re

[2πi

∑rez

(eiz

z2 + a2

)]

unde suma se face dupa polii din semiplanul y > 0.Singurul pol in acest caz este z = ai si reziduul sau este e−a

2ai, deci I = πe−a

a.

Remarca 7. Daca trebuie sa calculam∫ +∞−∞R(x) dx si R are in z = 0 un

pol simplu, conturul din figura 1.15 trebuie inlocuit cu cel din figura 1.16, cain exemplul urmator.Exemplul 25. Sa se calculeze integrala Poisson

I =

∫ ∞

0

sin x

xdx

Se incepe cu calculul integralei∮Γ

eiz

zdz unde Γ = [−r,−ε]∪γ1∪ [ε, r]∪γ.

Conform teoremei lui Cauchy pentru domenii simplu conexe, avem∫Γ

eiz

zdz =

0. Rezulta∫ −ε

−r

eix

xdx +

∫

yγ1

eiz

zdz +

∫ r

ε

eix

xdx +

∫

xγ

eiz

zdz = 0

1.10. CALCULUL UNOR INTEGRALE REALE 41

Dar eiz

z= 1

z

(1 + iz

1!+ (iz)2

2!+ ...

)= 1

z+ i

1!− z

2!+..., z ∈ C. Rezulta rez eiz

z

∣∣∣z=0

=

1 deci∫yγ1

eiz

zdz = −∫

xγeiz

zdz = −1

2

∮xγ1

eiz

zdz = −1

2· 2πi rez eiz

z

∣∣∣z=0

= −πi.

Pentru z = r(cos ϕ + i sin ϕ) ∈ γ incercam sa verificam conditia lemei 2.Avem

∣∣∣∣zeiz

z

∣∣∣∣ =∣∣eiz

∣∣ =∣∣e−r sin ϕ · eir cos ϕ

∣∣ = e−r sin ϕ

limr→∞e−r sin ϕ = limr→∞1

er sin ϕ= 0

Deci conform lemei 2, integrala∫xγ

eiz

zdz la limita, devine zero.

Rezulta∫ ε

r

e−iu

−u(−du) +

∫ r

ε

eix

xdx =

∫ r

ε

− e−ix

xdx +

∫ r

ε

eix

xdx =

=

∫ r

ε

cos x + i sin x− cos x + i sin x

xdx =

= 2i

∫ r

ε

sin x

xdx

Rezulta in final

limε → 0, r →∞∫ r

ε

sin x

xdx =

∫ ∞

0

sin x

xdx =

π

2.

La conturul din figura 1.17: |z| = 1, adica la cercul unitate, se ajungepentru calculul integralei

I =

∫ 2π

0

R(sin ϕ, cos ϕ)dϕ; unde Reste functie rationala.

In urma substitutiei z = eiϕ, z parcurge cercul |z| = 1 cand ϕ parcurgeintervalul [0, 2π].

Obtinem

I =

∮

|z|=1

1

izR

(1

2i

(z − 1

z

),1

2

(z +

1

z

))dz = 2πi

∑k,|ak|<1

rez (R1, ak),

unde s-a notat R1(z) = 1izR

(12i

(z − 1

z

), 1

2

(z + 1

z

))


Exemplul 26. Sa se calculeze I =∫ 2π

0dϕ

2+sin ϕ.

Notand eiϕ = z se obtine

I =

∮

|z|=1

1

iz

1

2 + z2−12iz

dz =

∮

|z|=1

2

z2 + 4iz − 1dz

Unicul pol continut in discul unitate este a1 = −2 + i√

3 si reziduul sau este2

a1+2+i√

3= 1

i√

3. Rezulta I = 2πi · 1

i√

3= 2π√

3.

media1.wgz.romedia1.wgz.ro/files/media1:4c88c301ef045.pdf.upl/curs matematici...media1.wgz.ro

Documents