winkler

Teorie grinzi continue pe mediu Winkler Proiect C.F.D.P.

1

CALCULUL GRINZILOR CONTINUE PE MEDIU WINKLER 1. Grinda continua pe o singura directie Pentru calculul momentelor, fortelor taietoare si sagetilor grinzii se porneste de la ecuatia diferentiala a fibrei medii deformate a unei grinzi care lucreaza la încovoiere:

pdx

zdEI

4

4

= (1)

unde p este încarcarea pe unitatea de lungime, iar EI reprezinta rigiditatea grinzii. Între p si presiunea de contact la nivelul talpii de fundare se poate scrie urmatoarea relatie:

pBp = (2) unde B este latimea grinzii. Înlocuind ecuatia (2) în ecuatia (1) obtinem:

0pBdx

zdEI

4

4

=+ (3)

Luând în considerare ecuatia zkp s= se obtine:

0zBkdx

zdEI s4

4

=+ (4)

0zEI

Bkdx

zd s4

4

=+ (5)

Se înmulteste si se împarte al doilea termen cu 4:

0zEI4

Bk4dx

zd s4

4

=+ (6)

Se introduce notatia 4 s

EI4Bk

=λ unde λ se masoara în m-1. Ecuatia diferentiala devine:

0z4dx

zd 44

4

=λ+ (7)

Solutia generala a acestei ecuatii diferentiale este:

( ) ( )xsinCxcosCexsinCxcosCez 43x

21x λ+λ+λ+λ= λ−λ (8)

Constantele de integrare Ci, i=1÷4, se determina din conditiile de margine.


2

1.1. Grinda de lungime infinita încarcata cu o forta concentrata (Fig. 1).

Px

z

B

h

Figura 1.

Din conditiile de margine se obtine: - pentru ±8=x M=0, T=0 deci C1=C2=0.

- pentru 0=x 0=dydx

deci C3=C4

- pentru 0=x 2P

=T deci Bk2

P

EI4Bk

EI8

PEI8P

EI8P

CCss

4343

λ=

λ=

λλ

=λ

==

Solutia ecuatiei diferentiale devine:

)x(fBk2

P)xsinx(cose

Bk2P

z 1s

x-

s

λλ

=λ+λλ

= λ (9)

unde ( ) )xsinx(cosexf x-1 λ+λ=λ λ

)x(fBk

P-xsine

BkP

-dxdz

2s

2x-

s

2

λλ

=λλ

=θ= λ (10)

unde xsine)x(f x-2 λ=λ λ .

Se introduce notatia ?1

=le .

( ) ( )

( )

( ) ( )xfPl41

xsinxcose41

PlM

xsinxcoseBkEI4Bk

P

xsinxcoseBk

Pxsinxcose

BkP

EIM

dxzd

3ex

e

x

s

s

x

s

4x

s

3

2

2

λ=λ−λ−=

λ−λλ

−=

λ−λλ

λ−=λ−λ

λ−=−=

λ−

λ−

λ−λ−

(11)

unde ( ) )xsin-x(cosexf x-3 λλ=λ λ

( )xPf21

xcose21

PT

xcoseBkEI4Bk

P2xcose

BkP2

EIT

dxzd

4x

x

s

s

x

s

4

3

3

λ−=λ−=

λλ

−=λλ

−=−=

λ−

λ−λ−

(12)

unde x?cose=)x?(f x?-4

În figura 2 sunt reprezentate variatiile functiilor f1÷f4.


3

P

?4p3z

x

θ

x

?p

M

x

?4p

T

x

?2p

Figura 2.

1.2. Grinda de lungime infinita actionata de mai multe forte concentrate În situatia în care grinda este actionata de mai multe forte concentrate Pi, i=1÷n, determinarea valorilor pentru z, θ, M, T într-o sectiune data se face prin suprapunerea efectelor (Fig. 3).

( )∑ λλ

=n

1i1i

s

xfPBk2

z (13)

?n

1ii2i

s

2

)x(fPBk =

λλ

=θ (14)

?n

1ii3ie )x(fPl

41

M=

λ= (15)

?n

1ii4i )x(fP

21

T=

λ= (16)


4

Pixi

z

B

h

Pi-1P2P1 Pi+1 Pn

xi-1x2x1

Sectiune decalculT

M

p Figura 3

1.3. Grinda de lungime infinita actionata de un moment încovoietor Momentul încovoietor M0 este înlocuit în calcul prin cuplul x?P (Fig. 4).

P

M0

0

0

dx

P

x Figura 4

Pentru determinarea tasarii grinzii într-o sectiune situata la distanta x fata de punctul de aplicare al cuplului se utilizeaza relatia (11) în cazul a doua forte concentrate:

)x(fBk2

Mxsine

Bk2M

dxdf

Bk2M

dx)]dx-x([f-)x(f

Bk2M

dxdx

)]}dx-x([f-)x(f{PBk2

-)]dx-x([fBk2

P)x(f

Bk2P

-z

2s

20x-

s

201

s

011

s

0

11s

1s

1s

λλ

=λλ

=λ

=λλλ

=λλλ

=λλ

+λλ

=

λ

(17)

Astfel, pentru calculul sagetii în cazul grinzii infinite actionata de un moment încovoietor M0? este utilizata functia ( )x?f 2 , functie care descrie rotirea în cazul grinzii infinite actionate de o forta concentrata P. Aceasta înseamna ca pentru θ?, M si T se vor utiliza, prin permutare, tot functiile f1, f3 si f4 dupa corespondenta descrisa în tabelul 2.

Tabelul 2 Functii utilizate în cazul

grinzii actionate de:

P M0 z

1f 2f θ 2f 3f M

3f 4f T

4f 1f


5

1.4. Grinda de lungime finita Pentru folosirea functiilor determinate în cazul grinzii de lungime infinita, grinda de lungime finita se calculeaza prin metoda fortelor fictive. Se considera grinda de lungime finita care este transformata în grinda infinita prin prelungirea fictiva a capetelor A si B (Fig. 5). Asupra grinzii de fundatie considerata ca grinda infinita actioneaza sistemul de încarcari Pi, i=1÷n, împreuna cu fortele fictive Vi, i=1÷4 amplasate de o parte si de cealalta a grinzii cu valori astfel determinate încât starea de eforturi si deformatii în grinda de lungime finita sa nu se modifice.

P1 P2 P3 P4V1 V2 V3 V4

BA Figura 5

Pentru determinarea fortelor fictive se impun conditiile pentru capetele libere ale grinzii si anume: MA=0, TA=0, MB=0, TB=0. Utilizând functiile ( )

i3 x?f si ( )i4 x?f definite anterior si impunând conditiile pentru capetele libere ale grinzii se obtin patru ecuatii liniare pentru determinarea valorilor fortelor fictive. Pentru simplificarea calculelor se alege distanta de la forta V1 la capatul A al grinzii astfel încât momentul încovoietor sa fie egal cu zero, iar punctul de aplicatie pentru V2 astfel încât forta taietoare corespunzatoare în sectiunea A sa fie egala cu zero. În acelasi mod se procedeaza si cu fortele V3 si V4 cu privire la momentele si fortele taietoare în capatul B al grinzii. Din tabelele pentru functiile ( )

i3 x?f si ( )i4 x?f rezulta ca, pentru ca fortele fictive care apar într-o ecuatie sa se anuleze alternativ, distantele de la capetele grinzii finite la punctele de aplicatie ale fortelor fictive sa fie alese dupa cum urmeaza:

?4p

=x pentru care 04

f3 =

π (18)

?2p

=x pentru care 02

f 4 =

π (19)

Fortele Vi, i=1÷4 astfel obtinute se introduc în schema de încarcare a grinzii finite iar calculul deformatiilor si al eforturilor sectionale se poate face utilizând tabelele si diagramele pentru grinda infinita.

winkler

Documents