Vectori probleme propuse Virgil-Mihail Zaharia

x O

y

B

A

u

i

j

M

x

y

B

A

x O

y

B M

u

A

Vectori

Se numete versor (notat i

) al dreptei d un vector de lungime 1 , care are direcia dreptei d . Dac A aparine lui d i asociem un numr real , unic x, numit coordonata sa . Atunci OA xi=

. Dac x>0 atunci A este n sensul pozitiv al axei Ox . Dac x = +

4. Suma a doi vectori

1 1u x i y j= +

2 2 v x i y j= +

( ) ( )1 2 1 2 u v x x i y y j+ = + + +

5. Condiia de paralelism

1 12 2

2 2

|| , . , 0x y

u v pt x yx y

=

6. Condiia de coliniaritate a 3 puncte

A,B,C coliniare AB||AC => 2 1 2 1

3 1 3 1

x x y y

x x y y

=

7. Conditia de perpendicularitate

1 2 1 2u v x x y y =0 +

Vectori probleme propuse Virgil-Mihail Zaharia

Probleme propuse

1. Fie punctele A(2,1) i B(1,3) . S se determine numerele reale a i b astfel nct

AB ai b j= +

.

2. n reperul cartezian xOy se consider punctele A(4,8) i B(6,3). S se determine coordonatele vectorului OA OB+

. 3. S se determine numrul real a tiind c vectorii 2 u i a j= +

i ( )3 2v i a j= +

sunt

coliniari. 4. n reperul cartezian ( ), ,O i j

se consider vectorii 3 2u i j= +

i 5v i j=

. S se

determine coordonatele vectorului 5 3u v+

.

5. S se determine coordonatele punctului B, tiind c A(3,4) i AB i j= +

.

6. Se consider vectorii 3 4 i 2 3v i j u i j= + =

. S se determine coordonatele vectorului 2 3w v u=

. 7. S se calculeze AB BC CA+ +

, tiind c A,B i C sunt vrfurile unui triunghi.

8. Se consider triunghiul echilateral ABC nscris ntr-un cerc de centru O. S se arate c OA OB OC O+ + =

.

9. n reperul cartezian xOy se consider vectorii ( )2, 3OA

i ( )1, 2OB

. S se determine

numerele reale i pentru care vectorul 3 5OA OB

are coordonatele ( , ).

10. Dac 2 0AB CB+ =

, s se determine valoarea raportului AB

BC.

11. n reperul cartezian xOy se consider vectorii ( )2, 1OA

i ( )1,2OB

. S se determine

coordonatele vectorului OM

, unde M este mijlocul segmentului AB .

12. Fie ABC un triunghi echilateral nscris ntr-un cerc de centru O. S se calculeze 3AB AC AO+

. 13. S se determine numrul real m pentru care vectorii 2 3v i j= +

i w i mj= +

sunt coliniari.