Transformata Laplace

Definiie. Se numete funcie original, o funcie : ,f , care satisface condiiile:

- 0, 0.f t t - f este derivabil pe poriuni.

- exist 0 00, 0M s , astfel nct 00 e .s t

f t M

0s se numete indicele de cretere al funciei f.

Observaie. Funcia treapt unitate, definit prin

0, pentru 0

1, pentru 0

2

1, pentru 0

t

t t

t

este funcie original cu indicele de cretere 0 0.s

Se noteaz cu 0F spaiul liniar al funciilor original.

Definiie. Operatorul 0:L F F , unde :F , definit prin

0

e d , ip tL f p f t t p s

, se numete operatorul lui

Laplace, iar L f t p se numete transformata Laplace a funciei 0.f F

Reguli de calcul cu Transformata Laplace

Fie 0f F cu indicele de cretere 0s i F p L f t p .

1. e pL f t p F p , teorema ntrzierii.

2. eq tL f t p F p q , teorema deplasrii.

3.

11 20 0 ... 0

n n

nn n

L f t p p F p

p f p f f

, teorema de derivare

a originalului.

4. n n

L t f t p F p

, teorema de derivare a imaginii.

5. 0

1d

t

L f p F pp

, teorema de integrare a originalului.

6. Produsul de convoluie

Fie funciile , : 0, ,f g t . Se numete produsul de convoluie al funciilor f i g , funcia

0

d .

t

f g t f g t

L f g t p F p G p , unde F p L f t p i

.G p L g t p

7. Teoreme de dezvoltare

a) Dac F p L f t p i

A pF p

B p este o funcie raional,

n care gradul numrtorului este mai mic dect gradul numitorului, iar numitorul

B p are numai rdcini simple, acestea fiind ___0,k k n

p

, atunci funcia

original corespunztoare este 0

e .kn

k p t

kk

A pf t

B p

b) Dac F p L f t p i 1

nn

n

aF p

p

, atunci funcia original

corespunztoare este

1

1

.1 !

nn

n

af t t

n

Proprieti

1. 1

1L pp

2. 1

e , .tL pp

2 2 2 2

cos , sin .p

L t p L t pp p