Amplitudinea si margimea de faza pentru regulatoare LQG cu bucle multiple

Abstract Se arata ca regulatoarele (LQSF) cu feedback pe spatiul starilor, liniar-patratice cu bucle multiple sunt robuste la o gama larga de variatii temporale nonliniare fara memorie si variatii ample dinamice liniare si invariante in timp, in bucla deschisa. Rezultatele sunt interpretate in termenii clasici de amplitudine si margine de faza, astfel intarind legatura dintre teoria moderna a feedback-ului si cea clasica.

I. INTRODUCEREIn trecut, feedback-ul a fost folosit in proiectarea sistemelor de conducere ca mijloc pentru a satisface constrangerile de proiectare care cereau:1) stabilizarea sistemelor insuficient de stabile;2) reducerea raspunsului sistemului la zgomot;3) realizarea unei conexiuni dedicate intrare/iesire (de exemplu poli si zerouri specificate);4) imbunatatirea robustetei sistemului la variatiile acestuia in arhitectura in bucla deschisa;Tehnicile clasice de sinteza a feedback-ului includ proceduri care asigura in mod direct ca fiecare dintre aceste constrangeri de proiectare este satisfacuta [1], [2]. Din nefericire, metodele directe ale teoriei clasice a feedback-ului devin coplesitor de complicate pentru aproape toate configuratiile de feedback, cu exceptia celor mai simple. In particular, teoria clasica nu se poate imbina simplu si eficient cu feedback-ul in bucle multiple.Teoria controlului liniar patratic Gaussian (LQG) a facut ca solutia multor probleme de sinteza a conducerii in bucle multiple sa fie relativ simpla. Algoritmul LQG [3] ofera mijloace directe pentru sintetizarea sistemelor de feedback stabile liniare care sunt insensibile la zgomotul alb Gaussian. Variatii ale algoritmului LQG au fost create de asemenea pentru sinteza sistemelor de feedback cu poli specificati [4, pag. 77 87], [5], [6]. Astfel, algoritmul LQG este un ajutor valoros de proiectare pentru satisfacerea primelor trei dintre constrangerile de poiectare mentionate anterior.Rezultatele care urmeaza arata cum proiectarea LQG multivariabila poate satisface constrangerile de al patrulea tip, spre exemplu constrangeri care cer ca un sistem sa fie robust la variatiile in comportamentul in bucla deschisa. Va fi utilizat regulatorul liniar patratic de stare cu feedback, la care ne vom referi ca regulatorul LQSF. Robustetea in proiectarea regulatorului LQSF la variatii in bucla deschisa este masurata in termeni ai generalizarii in bucle multiple a notiunilor clasice de amplitudine si margine de faza. La fel ca si amplitudinea si marginea de faza clasice, rezultatele de fata considera robustetea ca o proprietate intrare - iesire ce caracterizeaza variatiile in functii de transfer in bucla deschisa care nu vor conduce la instabilitate in bucla inchisa. Variatiile parametrilor sistemului (de exemplu locatiile polilor/zerourilor) sunt luate in calcul mai intai prin determinarea modului in care aceste variatii se potrivesc cu variatiile matricei raspunsului in frecventa in bucla deschisa. S-a demonstrat ca proiectarea multivariabila LQSF are proprietatea unei margini de amplitudine infinite si cel putin 60 margine de faza pentru fiecare canal de control. Rezultate similare au fost derivate din perturbatii neliniare in bucla de feedback.Astfel de rezultate de robustete pot parea incorecte la prima vedere, in special inginerilor familiari cu proiectarea clasica a servomecanismelor. Ar trebui mentionat ca in proiectarea clasica a servomecanismelor natura compensatoarelor utilizate (de exemplu retele cu latenta in conducere) conduce in general la o latent excesiva in faza la frecvente inalte, astfel incat este posibil sa nu fie obtinuta niciodata proprietatea de margine de amplitudine infinita. Totusi, ar trebui subliniat ca atunci cand este folosit feedback pe intreg spatiul starilor, sunt introduse, de fapt, in compensator, o multitudine de zerouri ce corecteaza latenta in faza, fara sa fie introdusi polii corespunzatori care sa introduca latenta. Aceasta abundenta de zerouri, alaturi de procedura de proiectare optima liniar-patratica determina proprietatile de robustete surprinzatoare ale proiectarii LQSF.Exploatand dualitatea matematica dintre filtrele Kalman si controllerele de feedback optimal liniar-patratice, autorii au aratat ca rezultatele in robustete ale acestei lucrari conduc catre conditii pentru non-divergenta estimarilor generate de filtre neliniare de acest tip, luate in calcul de Gilman si Rhodes [33]; aceste rezultate duale vor face obiectul unei publicatii viitoare. In contrast cu rezultatele prezentate aici, rezultatele de filtrare neliniara duale necesita disponibilitatea unei descrieri exacte a sistemului considerat si ca urmare nu au nicio interpretare de robustete comparabila. Se poate arata ca inlocuirea estimarii de stare non-divergenta din acest tip de filtru cu starea de adevar intr-un regulator neliniar de feedback pe stare, nu va destabiliza sistemul in bucla inchisa.Pentru a pune la dispozitie o punte mai detaliata si realistica intre abordarile moderna si clasica, in special cu privire la probleme de robustete, trebuie examinat cazul in care nu toate variabilele de stare sunt disponibile pentru feedback. In abordarile moderne de conducere va trebui folosit un reconstructor de stare (observator Luenberger sau filtru Kalman cu amplitudine constanta). In ansamblu, proprietatile de robustete ale unor astfel de tehnici de proiectare nu sunt definite in intregime pana in momentul de fata; acestea for fi adresate intr-o publicatie viitoare. De asemenea, exista probleme interesante si pana in acest moment nerezolvate, ale proprietatilor de robustete ale proiectarii cu feedback al variabilelor de iesire folosind crieri ide performanta patratice [31].

II. CERCETARE ANTERIOARACercetarea fundamentala asupra robustetii sistemelor bazate pe feedback se datoreaza lui Bode, [1, pag. 451 488]. Folosing criteriul de stabilitate Nyquist, Bode a aratat cum notiunile de amplitudine si margine de faza pot fi exploatate pentru a ajunge la un mijloc simplu si util pentru caracterizarea claselor de variatie in comportament in bucla inchisa care nu vor destabiliza sistemele cu feedback cu o singura intrare. Desi atentia lui Bode era concentrata in principal asupra amplificatoarelor de feedback decat asupra sistemelor de conducere, ideile lui au jucat un rol cheie in proiectarea sistemelor de conducere. Implicatiile tehnice in conducere ale ideilor lui Bode sunt cercetate si dezvoltate mai departe. spre exemplu, de Horowitz[2]. Desi criteriul Nyquist a fost extins asupra sistemelor cu feedback in bucle multiple [7] si [8], pana acum a existat un succes limitat in explotarea versiunii in bucle multiple a analizei robustetei sistemelor cu feedback in bucle multiple. [9] [14].In ceea ce priveste proprietatile de robustete specifice regulatoarelor LQSF, poate ca cel mai semnificativ rezultat este datorat lui Anderson si Moore [4, pag. 70 76]. Exploatand faptul ca regulatoarele LQSF cu o singura intrare au o diferenta returnata mai mare decat unitatea pentru orice frecventa [15], acesti autori arata ca modelele de proiectare a regulatoarelor LQSF cu o singura intrare au 60 margine de faza, margine de amplitudine infinita si 50% toleranta a reducerii amplitudinii. A fost de asemenea demonstrat ca proprietatile de amplitudine se extind si asupra amplitudinilor neliniare fara memorie de tipul prezentat in Fig. 1([16] si [4, pag. 96 98])1. Rezultate de acelasi tip obtinute de Barnett si Storey [18] si Wong [19], [35] parametrizeaza o clasa de perturbatii constante, liniare, in feedbackul amplitudinii, care nu vor destabiliza un regulator LQSF in bucle multiple. O generalizare a rezultatului de mai sus pentru neliniaritati in bucle multiple in regulatoare cu feedback pe stare, neliniare si optime, cu index de performanta patratic este incorect atribuita [16] de catre [20]. Atata timp cat generalizarea declarata in [20] se aplica regulatoarelor LQSF,aceasta este in esenta echivalenta Teoremei I a acestei lucrari.Au fost obtinute diferite alte rezultate, care sunt mai mult sau mai putin legate indirect de intrebarea pusa aici. Aspecte legate de problema inversa de control optimal, de exemplu caracterizarea proprietatilor sistemelor optimale, sunt abordate de [15] si [20 24]. Problema sensibilitatii in regulatoarele LQSF este abordata de [10], [15] si [25] [28]. Conditiile de stabilitate ale lui Zames [29], [30] ce includ amplitudinea in bucla, conicitatea, si pozitivitatea au multe trasaturi in comun cu rezultatele care sunt prezentate aici.

III. DEFINITII SI NOTATIEUrmatoarele conventii de notatie si terminologie sunt folosite:1) AT(xT) denota transpusa matricei A (a vectorului x).2) A* denota adjuncta matricei A (de exemplu, conjugata complexa a lui AT)3) Spunem ca functia x:[0,) Rn este integrabila patratic daca[equation here]Pentru toate valorile patratic integrabile ale lui x, valoarea ||x|| este numita norma a lui x.4) Termenul operator este rezervat pentru functii care fac legatura unor functii in alte functii. De exemplu, un sistem dinamic poate fi vazut ca un operator care face legatura intre functii temporale de intrare si functii temporale de iesire5) Spunem ca un operator cu 0 = 0 are amplitudine finite daca exista o constanta k < astfel incat[equation here]pentru toate valorile u integrabile patratic.6) Spunem ca un operator care face legatura intre functii temporale de intrare si functii temporale de iesire este nonanticipativ daca valoarea functiei de iesire in orice moment t0 depinde doar de valorile functiei de intrare la momente t t0.7) Daca o functie x:[0,) Rn are proprietatea ca [equation here]atunci spunem ca x este asimptotic stabil. Un sistem de ecuatii diferentiale ordinare este asimptotic stabil pe ansamblu daca fiecare solutie este asimptotic stabile.8) Daca (S) denota sistemul (t) = ( x)(t) unde 0 = 0, spunem ca perechea [H, S] este detectabila daca pentru fiecare x:[0,) Rn care satisface (S) cu x nonintegrabil patratic, Hx este de asemenea nonintegrabil patratic. Semnificatia detectabilitatii este cea mai aparenta daca consideram x(t) ca o descriere a dinamicii interne a unui sistem fizic si (Hx)(t) ca iesirea observabila. Vazuta in acest fel, detectabilitatea inseamna in esenta ca comportamentul instabil in dinamica interna a sistemului determina totdeauna o iesire care este instabila. De exemplu, daca H este o matrice patratica nesingulara, atunci [H, S] va fi detectabila.9) Spunem ca un operator care face legatura intre doua seturi de functii temporale nu are memorie daca valoarea functiei sale de iesire in orice moment t0 depinde doar de t0 si de valoarea instantanee a functiei de intrare la momentul t0.10) A > 0 (A > 0) este folosit pentru a indica ca matricea A este pozitiv definita (semidefinita).11) Spunem ca o functie rationala de transfer P(s) este proprie daca P(s) are cel putin la fel de multi poli ca zerouri.