7/17/2019 T.lalescu.sect.BII

http://slidepdf.com/reader/full/tlalescusectbii 1/1

Concursul de Matematica ”TRAIAN LALESCU” - faza nationala

Anul II mai 2008- profil electric si mecanic -

1. Fie functia u(x, y) = ln(x2 + y2) + ex · cos y.a) Aratati ca  u(x, y) este functie armonica.b) Construiti f (z) olomorfa pe  C∗, f (z) =  u(x, y) + i · v(x, y), unde  u(x, y) estefunctia precizata ın enunt, cu conditia f (1) = e.

c) Fie  R ∈  (0,∞) \

1

2,√ 5

2

. Calculati integrala:

I  =

 |z−

1

2 |=R

f (z) − 2 ln z

z2(z + i)  dz,

unde  f   este functia olomorfa determinata la punctul b).

2. Calculati integrala

I  =

   2π

0

sin x · einx

(13 − 5 cos x)2  dx, n ∈ N

∗.

3. Sa se rezolve ecuatia diferentiala:

x − 2x +  x =  et, x(0) = 0, x(0) = 1,

folosind transformarea Laplace.

4. Sa se rezolve sistemul de ecuatii diferentiale:

x =  −x + y + z

y =  x − y + z

z =  x  + y + z,

unde  x  =  x(t), y =  y(t), z =  z(t) si care verifica conditiile initiale

x(0) = 0, y(0) = 0, z(0) = 1.

Nota: Timp de lucru 3 ore. Toate subiectele sunt obligatorii.

1