UNIVERSITATEA ”OVIDIUS” CONSTANTAFACULTATEA DE MATEMATICA SI INFORMATICA

SCOALA DOCTORALA

TEZA DE DOCTORATREZUMAT

CONDUCATOR STIINTIFICPROF. UNIV. DR. MIRELA STEFANESCU

DOCTORANDOANA-STEFANIA OLTEANU

CONSTANTA 2011

INVARIANTI AI UNOR CLASE DEIDEALE MONOMIALE

Multumiri

Doresc sa adresez multumiri tuturor celor care au contribuit la realizarea sifinalizarea acestui demers stiintific.

Ii multumesc doamnei profesor Mirela Stefanescu pentru sprijinul oferit pe totparcursul studiilor doctorale.

Multumirile mele se ındreapta catre domnul profesor Jurgen Herzog, pentruinestimabilele discutii matematice si sfaturile oferite.

De asemenea, doresc sa adresez multumiri domnului profesor Naoki Terai, pentrusugestiile sale oferite ın cadrul vizitelor sale efectuate la Universitatea Ovidius.

Ii sunt profund recunoscatoare doamnei profesor Viviana Ene, pentru invalua-bila rabdare si ındrumare, necesare pentru realizarea si finalizarea acestui demersstiintific.

Nu ın ultimul rand, doresc sa adresez profunde multumiri parintilor mei si celordoua surori ale mele, pentru permanentele ıncurajari si pentru sprijinul lor incomen-surabil oferite ın toata aceasta perioada.

3

Introducere

Algebra comutativa are un rol important ın dezvoltarea actuala a matematicii.Prin combinarea diverselor tehnici specifice geometriei, combinatoricii sau statis-ticii, de-a lungul timpului s-au dezvoltat noi ramuri ale sale, dintre care amintimgeometria algebrica, algebra combinatoriala si statistica algebrica.

Algebra polinoamelor peste un corp comutativ a fost intens studiata si rezultatesemnificative au fost obtinute. Pentru un ideal polinomial, folosirea teoriei bazelorGrobner permite trecerea la idealul initial. Multi invarianti ai idealului initial coincid(sau reprezinta margini bune) pentru invariantii idealului original.

Idealele monomiale radicale, fiind generate de monoame libere de patrate, au ofrumoasa interpretare combinatoriala ın termeni de complexe simpliciale. Mai exact,unui complex simplicial i se poate asocia un ideal monomial liber de patrate, generatde monoamele libere de patrate corespunzatoare non–fetelor minimale ale complexu-lui simplicial. In literatura de specialitate, acesta este numit idealul Stanley–Reisnerasociat complexului simplicial. Procesul este auto–dual, adica pentru un ideal mono-mial liber de patrate I ⊂ S = k[x1, . . . , xn], putem considera un complex simplicial∆, al carui ideal Stanley–Reisner coincide cu idealul I. Astfel, proprietatile com-binatoriale ale complexelor simpliciale pot fi descrise folosindu-se metode algebriceaplicate idealului Stanley–Reisner, iar invarianti ai acestui ideal pot fi studiati prinaplicarea metodelor combinatoriale complexelor simpliciale asociate. Un alt instru-ment deosebit de util este dualul Alexander. Teorema Eagon–Reiner [18] este unadintre cele mai cunoscute, coreland datele omologice ale idealului Stanley–Reisnercu proprietatile combinatoriale ale dualului Alexander. R. Stanley a extins notiuneade complex simplicial Cohen–Macaulay, pentru cazul complexelor simpliciale care nusunt pure, definind astfel complexele simpliciale secvential Cohen–Macaulay. Maimult, J. Herzog and T. Hibi au stabilit conexiunea ıntre notiunile de secventialCohen–Macaulay si de ideal cu rezolutie liniara pe componente, via dualitate Alexan-der.

In aceasta lucrare suntem interesati sa descriem invarianti omologici si algebriciai unor clase de ideale monomiale. O atentie deosebita este acordata idealelor lexseg-ment (libere de patrate). Importanta acestora se datoreaza rolului major pe care ıl

i

au ın studiul functiei Hilbert. Este cunoscut faptul ca idealele lexsegment initiale,printre toate idealele graduate avand aceeasi functie Hilbert, poseda numerele Bettimaximale.

Scopul acestei teze este de a expune rezultatele originale obtinute ın acest dome-niu. Acestea sunt cuprinse ın urmatoarele lucrari:• [59] A. Olteanu, O. Olteanu, L. Sorrenti, Gotzmann lexsegment ideals, Le

Matematiche, 63(2008) Fasc. II, 229–241;• [25] V. Ene, O. Olteanu, N. Terai, Arithmetical rank of lexsegment edge ideals,

Bull. Math. Soc. Sci. Math. Roumanie, 53(101) no.4 (2010), 315–327;• [60] O. Olteanu, Classes of sequentially Cohen–Macaulay squarefree lexsegment

ideals, acceptat spre publicare ın Algebra Colloquium;• [23] V. Ene, K. Kimura, O. Olteanu, N. Terai, Invariants of squarefree lexseg-

ment ideals of degree 3, ın lucru.Lucrarea de fata este structurata ın patru capitole, dupa cum urmeaza.Primul capitol reprezinta o scurta introducere a notiunilor si conceptelor in-

tens utilizate de-a lungul acestei teze. Incepem prin a reaminti definitia dimensi-unii Krull, a depth-ului unui modul si continuam cu modulele Cohen–Macaulay sisecvential Cohen–Macaulay.

Idealele monomiale au un rol important ın topica acestei lucrari, acesta fiindmotivul pentru care o atentie deosebita este acordata expunerii unor notiuni siproprietati ale acestora, printre care descompunere primara, caturi liniare si rezolutieliniara.

O abordare combinatoriala ın studiul idealelor monomiale se realizeaza cu aju-torul functiei Hilbert. Teorema lui Macaulay si teorema de persistenta a lui Gotz-mann sunt doua rezultate fundamentale pe care le enuntam. De asemenea, suntexpuse proprietatile idealelor Gotzmann. Mai mult, demonstram identitatile com-binatoriale din lucrarea [59] (Lema 65 si Lema 66, Sectiunea 1.2.5).

O alta metoda de a obtine proprietati ale idealelor monomiale, folosind tehnicicombinatoriale, este polarizarea. Prin procesul de polarizare, putem trece de laun ideal monomial la unul liber de patrate, pastrand astfel invariantii idealului.Polarizarea evidentiaza importanta studiului idealelor monomiale libere de patrate.O alta abordare pur combinatoriala a idealelor monomiale libere de patrate se reali-zeaza cu ajutorul complexelor simpliciale. De aceea, mentionam cateva proprietatiale acestora, care prezinta importanta pentru aceasta lucrare.

Pentru un ideal polinomial I ⊂ S = k[x1, . . . , xn] este interesant de determinat

numarul minim de polinoame care genereaza√I. Acest numar se numeste rangul

aritmetic al idealului I. De fapt, aceasta problema ısi are originea ın geometriaalgebrica. Rangul aritmetic al unui ideal I este numarul minim de ecuatii caredefinesc varietatea algebrica V (I). In ultima sectiune a primului capitol reamintimcateva margini superioare si inferioare importante ale rangului aritmetic.

Idealele lexsegment libere de patrate reprezinta subiectul principal al celui de-aldoilea capitol. Fie S = k[x1, . . . , xn] inelul de polinoame ın n nedeterminate pesteun corp comutativ k. Pe multimea monoamelor din S consideram fixata ordonarealexicografica cu x1 > x2 > . . . > xn. Dat un numar ıntreg q ≥ 2, notam cu Mons

q(S)

ii

multimea monoamelor libere de patrate de grad q din S. Multimea lexsegment liberade patrate de grad q determinata de monoamele u, v ∈ Mons

q(S) este o submultimea multimii Mons

q(S) de forma L(u, v) = {w ∈ Monsq(S) : u ≥lex w ≥lex v}. Un ideal

generat de o multime lexsegment libera de patrate se numeste ideal lexsegment liberde patrate. In particular, se pot defini multimile lexsegment initiale libere de patratesi finale ca fiind multimi de forma Li(v) = {w ∈ Mons

q(S) : w ≥lex v}, respectiv

Lf (u) = {w ∈ Monsq(S) : u ≥lex w}, iar corespunzator obtinem notiunile de ideale

lexsegment initiale, respectiv finale, libere de patrate.Conceptul de ideal lexsegment liber de patrate a fost introdus de A. Aramova, J.

Herzog si T. Hibi ın [3], corespunzand acum cu notiunea de ideal lexsegment initialliber de patrate. De asemenea, aceasta clasa de ideale a fost considerata si ın [2],[3], [8] si [10].

In acest capitol, ne propunem sa studiem idealele lexsegment libere de patratecomplete. De aceea, ın Sectiunea 2.1 determinam descompunerea primara minimalapentru idealele lexsegment libere de patrate initiale si finale, rezultate continute ınlucrarea Classes of sequentially Cohen–Macaulay squarefree lexsegment ideals, [60].

Teorema 1. [60] Fie I ⊂ k[x1, . . . , xn] idealul lexsegment initial liber de patrate,generat ın grad q, determinat de monomul liber de patrate v = xj1 · · ·xjq , cu 2 ≤j1 < . . . < jq ≤ n. Consideram multimile At = [jt]\{j1, . . . , jt−1}, pentru 1 ≤ t ≤ q.Atunci descompunerea primara minimala a lui I este:

I =

(q⋂

t=1

(xi : i ∈ At)

)∩

⋂F⊂[n], |F |=q−1F∩At 6=∅, ∀t

PF c

.

Din acest rezultat, reiese faptul ca descompunerea primara poate fi scrisa usor,uitandu-ne doar la capetele lexsegmentului.

Teorema 2. [60] Fie I ⊂ S, I 6= In,q, idealul lexsegment final liber de patrate,generat ın grad q, determinat de monomul u = x1xi2 · · ·xiq , 2 ≤ i2 < . . . < iq ≤ n.Notam cu F = {i2, . . . , iq} si cu xF =

∏i∈F

xi. Atunci I are descompunerea primara

minimala:

I =

⋂G⊂[n], |G|=n−q+1

xG≥lexxFc

PG

∩ ⋂

G⊂[n]\{1}, |G|=n−q+1xG\min(G)≥lexxFc\{1}

PG

∩ ⋂

G⊂[n], |G|=n−qxFc\{1}>lexxG

PG

.

Aceste doua teoreme ne permit determinarea formulelor pentru doi invariantiextrem de importanti: dimensiunea Krull si depth-ul (Corolar 12, Corolar 18). Des-crierea acestora se face numai ın termeni de capetele ce determina lexsegmentul,respectiv de gradul monoamelor din lexsegment. Descompunerile standard ale ide-alelor lexsegment initiale libere de patrate, respectiv finale, ne permit calcularea mul-tiplicitatilor inelelor Stanley–Reisner corespunzatoare (Corolar 14, respectiv Corolar18).

iii

Un rezultat util este faptul ca orice ideal lexsegment liber de patrate completI = (L(u, v)) poate fi scris ca intersectia dintre (Li(v)) cu (Lf (u)). Aceasta nepermite sa determinam descompunerea primara minimala a unui ideal lexsegmentliber de patrate complet (Teorema 20). Drept consecinta, obtinem formule pentrudimensiunea Krull si pentru multiplicitatea lui S/I (Corolar 23).

R. Stanley [67, Section III.2] a definit conceptul de complex simplicial secventialCohen–Macaulay, o generalizare a complexelor simpliciale Cohen–Macaulay. Uncomplex simplicial ∆ este secvential Cohen–Macaulay daca orice skeleton pur esteCohen–Macaulay. Este cunoscut [32] faptul ca idealul Stanley–Reisner asociat I∆

este secvential Cohen–Macaulay, adica S/I∆ este modul secvential Cohen–Macaulay,daca si numai daca I∨ = I∆∨ este liniar pe componente, ceea ce ınseamna ca, pentruorice d ≥ 0, idealul I∨〈d〉 generat de toate elementele de grad d din I∨ are rezolutie

liniara. Aici am folosit notatia uzuala ∆∨ pentru dualul Alexander al complexuluisimplicial ∆.

Ca o aplicatie a descompunerii primare minimale, ın Sectiunea 2.2 caracterizamtoate idealele lexsegment libere de patrate complete care sunt secvential Cohen–Macaulay (Propozitia 29, Propozitia 30 si Teorema 35).

In capitolul 3 ne propunem sa calculam unii invarianti ai idealelor lexsegmentlibere de patrate arbitrare. Din capitolul precedent, se poate remarca faptul ca de-terminarea acestor invarianti devine dificila, chiar si ın cazul idealelor lexsegmentlibere de patrate complete. La ınceputul acestui capitol, determinam margini infe-rioare si superioare ale depth-ului unui ideal lexsegment liber de patrate oarecare.Continuam studiul invariantilor cu idealele lexsegment libere de patrate generate ıngrade mici. Pentru ınceput, analizam idealele lexsegment libere de patrate generateın grad 2, numite si ideale muchie lexsegment. Pentru aceasta clasa de ideale de-terminam formule de calcul ale dimensiunii Krull, ale depth-ului si ale regularitatii.Toti acesti invarianti au o frumoasa descriere, deoarece exprimarea lor depinde doarde capetele lexsegmentului, rezultatele putand fi gasite ın lucrarea Arithmetical rankof lexsegment edge ideals, ın colaborare cu V. Ene si N. Terai.

Propozitia 3. [25] Fie I = (L(u, v)) idealul muchie lexsegment, care nu estenici initial, nici final, determinat de monoamele u = x1xi si v = xjxr. Atuncidim(S/I) = n− j.

Propozitia 4. [25] Fie I = (L(u, v)) idealul muchie lexsegment, determinat deu = x1xi si v = xjxr, j ≥ 2. Atunci

reg(I) =

{3, daca i ≥ j + 2 si xn 6 |v2, altfel.

In ceea ce priveste dimensiunea Krull si regularitatea, ın aceasta teza prezentamdemonstratii diferite fata de cele din lucrarea originala.

De asemenea, este calculat rangul aritmetic al idealelor muchie lexsegment.

Teorema 5. [25] Fie I = (L(u, v)) un ideal muchie lexsegment. Atunci

ara(I) = proj dimS(S/I).

iv

In Sectiunea 3.3 analizam idealele lexsegment libere de patrate generate ın grad3, cu scopul de a observa similitudini cu rezultatele din cazul anterior. Pentru acesteideale am determinat depth-ul, calcularea acestuia impunand folosirea unor tehnicidiverse.

Teorema 6. [23] Fie u = x1xi2xi3 si v = xj1xj2xj3, cu j1 ≥ 2, doua monoamelibere de patrate de grad 3 si I = (L(u, v)) idealul lexsegment liber de patrate deter-minat de ele. Atunci:

(a) depth(S/I) = 2 daca xi2−1xi3−1xn ≥lex v.(b) depth(S/I) = 4 daca i2 = 4, i3 ≥ 6 si j1 = 2, j2 = 3, j3 < i3−1 sau i2 ≥ 5

si j1 = 2, j2 = 3, i2 − 1 ≤ j3 ≤ n− 1.(c) depth(S/I) = i2 − j3 + 3 daca i2 > 4, j2 = 2 si j3 ≤ i2 − 1.(d) depth(S/I) = 3 ın toate celelalte cazuri.

Rezultatele obtinute pentru idealele lexsegment libere de patrate generate ıngrad 2 si 3 ne permit formularea unor conjecturi asupra depth-ului si regularitatiiidealelor lexsegment libere de patrate arbitrare, acestea fiind expuse ın ıncheiereaacestui capitol.

Ultimul capitol este dedicat idealelor lexsegment arbitrare. Un ideal monomialI ⊂ S se numeste lexsegment daca, ın fiecare grad nenul Ij este generat de o multimelexsegment de grad j, adica o multime de monoame de grad j de forma

Lj(u, v) = {w ∈ Monj(S) : u ≥lex w ≥lex v}.

pentru niste monoame u, v de grad j, u ≥lex v.Pentru aceasta clasa de ideale demonstram ca proprietatea de a fi liniar pe com-

ponente este echivalenta cu proprietatea de a avea caturi liniare. In cele ce urmeaza,consideram o clasa mai restransa de ideale lexsegment, pe care le numim idealelexsegment pe componente. Pentru acestea, notam cu d gradul minim al genera-torilor minimali monomiali si presupunem ca Ld(u, v) genereaza Id. Atunci pentruorice j ≥ d+ 1, componenta de grad j, Ij, este generata peste k de multimea lexseg-

ment Lj(xj−d1 u, xj−d

n v). Cu alte cuvinte, fiecare componenta Ij este generata pestek de multimea lexsegment de grad j determinata de cel mai mare, respectiv celmai mic monom, ın ordonarea lexicografica, din umbra multimii lexsegment caregenereaza componenta anterioara Ij−1.

Pentru I un ideal lexsegment pe componente, aratam ca proprietatea de a filiniar pe componente este echivalenta cu liniaritatea rezolutiei idealului I〈d〉, undeId este prima componenta nenula a lui I.

Teorema 7. [59] Fie I un ideal lexsegment pe componente si d ≥ 1 gradul minimal generatorilor minimali monomiali ai lui I. Fie u, v ∈ Mond(S), x1|u astfel ıncatI〈d〉 = (L(u, v)). Urmatoarele afirmatii sunt echivalente:

(a) I este liniar pe componente.(b) I〈d〉 are rezolutie liniara.(c) I〈d〉 are caturi liniare.(d) I are caturi liniare pe componente.

v

In ultima parte caracterizam idealele lexsegment generate ıntr-un singur gradcare sunt Gotzmann. Idealele lexsegment initiale, generate ıntr-un singur grad, suntevident Gotzmann.

Idealele lexsegment arbitrare, generate ıntr-un singur grad, care au rezolutieliniara au fost caracterizate ın [2]. Descrierea acestora distinge ıntre idealele lexseg-ment complete si cele care nu sunt complete. Pentru a caracteriza idealele lexseg-ment Gotzmann, generate ıntr-un singur grad, se impune sa distingem ıntre celedoua clase de ideale. Acestea sunt prezentate ın Sectiunile 4.2 si 4.3 ale acestei teze.

Teorema 8. [59] Fie u, v ∈ Mond(S), x1 | u astfel ıncat I = (L(u, v)) este ideallexsegment complet al lui S care nu este initial. Fie j exponentul variabilei xn ın vsi a = |Mond(S) \ Li(u)|. Urmatoarele afirmatii sunt echivalente:

(a) I este ideal Gotzmann.(b) a ≥

(n+d−1

d

)− (j + 1).

Teorema 9. [59] Fie u = xatt · · ·xan

n , v = xbtt · · ·xbn

n doua monoame de grad d,u >lex v, at 6= 0, t ≥ 1 si I = (L(u, v)) un ideal lexsegment care nu este complet.Atunci I este ideal Gotzmann daca si numai daca I = m(xl, xl+1, . . . , xl+p), pentruun ıntreg t ≤ l ≤ n, un 1 ≤ p ≤ n− l si un monom m.

Rezultatele acestui capitol sunt cuprinse ın lucrarea Gotzmann lexsegment ideals,ın colaborare cu A. Olteanu si L. Sorrenti.

vi

Rezumat

In acest rezumat ne vom concentra numai asupra rezultatelor originale din teza.Acestea sunt cuprinse ın capitolele 2, 3 si 4. Rezultatele cunoscute, utile pentruaceasta lucrare, sunt expuse fara demonstratii si cu citari precise ın primul capitolal tezei.

Descompunere primara pentru ideale lexsegment complete libere depatrate

Idealele lexsegment libere de patrate reprezinta subiectul central al capitoluluial doilea. Mai ıntai, determinam descompunerile primare minimale ale idealelorlexsegment initiale si finale libere de patrate. Acestea ne permit caracterizarea unorinvarianti extrem de importanti, cum ar fi dimensiunea Krull si depth-ul. Cal-cularea acestor invarianti se dovedeste a fi facila, acestia fiind determinati doar deextremitatile lexsegmentului, respectiv de gradul ın care este generat idealul conside-rat. Tot pe baza descompunerii primare minimale, putem calcula multiplicitateainelului Stanley–Reisner asociat.

Mai apoi, folosind faptul ca orice ideal lexsegment complet liber de patrate poatefi descompus ıntr-o intersectie de doua ideale lexsegment libere de patrate initial,respectiv final, suntem ın masura sa determinam descompunerea primara standarda acestora. Drept consecinte, obtinem formule pentru a calcula dimensiunea Krullsi multiplicitatea.

Ca o aplicatie a descompunerii primare, caracterizam toate idealele lexsegmentcomplete libere de patrate secvential Cohen–Macaulay.

Pentru ınceput, consideram I = (Li(v)) ⊂ k[x1, . . . , xn] un ideal lexsegmentinitial liber de patrate, unde v = xj1 · · · xjq . Fara a restrange generalitatea, putem

presupune ca j1 ≥ 2. In caz contrar, daca j1 = 1, atunci I = (x1)∩(L(x2 · · ·xq, v/x1)),iar problema se restrange la a determina descompunerea primara minimala a unuiideal lexsegment initial liber de patrate ıntr-un inel de polinoame ın mai putinenedeterminate.

1

2

Teorema 10. Fie I ⊂ k[x1, . . . , xn] un ideal lexsegment initial liber de patrategenerat ın grad q, determinat de monomul v = xj1 · · ·xjq , cu 2 ≤ j1 < . . . < jq ≤n. Consideram multimile At = [jt] \ {j1, . . . , jt−1}, pentru 1 ≤ t ≤ q. Atuncidescompunerea primara minimala a lui I este:

I =

(q⋂

t=1

(xi : i ∈ At)

)∩

⋂F⊂[n], |F |=q−1F∩At 6=∅, ∀t

PF c

.

Se poate observa ca descompunera primara standard nu depinde de monoameledin ideal, ci doar de monomul care determina lexsegmentul initial.

In general, dat un complex simplicial ∆ pe multimea de varfuri [n] = {1, 2, . . . , n},putem sa asociem un ideal monomial liber de patrate, numit idealul Stanley–Reisner.Descompunerea primara standard se poate scrie doar cunoscandu-se fatetele com-plexului simplicial, astfel

I∆ =⋂

F∈F(∆)

PF c .

Acest rezultat va fi intens utilizat si ın cazul nostru, unde determinarea idealelorprime minimale se va face mentionand fatetele complexului simplicial atasat.

Descompunerea standard a idealelor lexsegment initiale libere de patrate esteexemplificata ın cele ce urmeaza.

Exemplul 11. Consideram idealul I = (Li(x2x4x5)) ⊂ k[x1, . . . , x6] lexsegmentinitial liber de patrate. Construim multimile A1 = {1, 2}, A2 = {1, 3, 4} si A3 ={1, 3, 5}. Descompunerea primara minimala a lui I este de forma:

I = (x1, x2)∩(x1, x3, x4)∩(x1, x3, x5)∩(x3, x4, x5, x6)∩(x2, x4, x5, x6)∩(x2, x3, x5, x6)∩∩(x2, x3, x4, x6) ∩ (x2, x3, x4, x5) ∩ (x1, x4, x5, x6).

O metoda de a calcula depth-ul inelului Stanley–Reisner al unui complex sim-plicial ∆ este datorata lui T. Hibi [38], anume

depth(k[∆]) = max{i + 1 : k[∆(i)] este Cohen–Macaulay }.Am aplicat acest rezultat pentru caracterizarea depth-ul idealelor lexsegment initialelibere de patrate.

Dimensiunea Krull a idealelor lexsegment initiale libere de patrate a fost cal-culata ın [3], dar aceasta poate fi dedusa din descompunerea primara standarddeterminata. De asemenea, putem caracteriza idealele lexsegment initiale liberede patrate care sunt Cohen–Macaulay. Util este faptul ca orice complex simplicialCohen–Macaulay este pur.

Corolarul 12. Fie I = (Li(v)) ⊂ S un ideal lexsegment initial liber de patratedeterminat de monomul v = xj1 · · ·xjq si ∆ complexul simplicial pe multimea devarfuri [n], cu proprietatea ca I = I∆. Atunci:

(a) Dimensiunea inelului Stanley–Reisner a lui ∆ este n− j1.(b) Depth-ul inelului Stanley–Reisner k[∆] este q − 1.

3

(c) ∆ este pur daca si numai daca v = xn−q+1 · · ·xn. Mai mult, ∆ este uncomplex simplicial pur daca si numai daca ∆ este Cohen–Macaulay.

Este cunoscut faptul ca acoperirile cu varfuri minimale ale unui graf sunt ınstransa legatura cu idealele prime minimale.

Corolarul 13. Fie G un graf astfel ıncat idealul muchie I(G) este un ideallexsegment initial liber de patrate, generat ın grad 2, determinat de monomul v =xj1xj2. Atunci

I(G) = (xi : i ∈ A1) ∩ (xi : i ∈ A2) ∩

(j1−1⋂i=1

P[n]\{i}

),

unde A1 = [j1], A2 = [j2]\{j1}. Multimile A1, A2 si [n]\{i}, pentru i = 1, . . . , j1−1,sunt acoperirile cu varfuri minimale ale grafului G.

Multiplicitatea inelului Stanley–Reisner poate fi determinata din f−vectorul aso-ciat complexului simplicial.

Corolarul 14. Fie I ⊂ S un ideal lexsegment initial liber de patrate generatın grad q, determinat de monomul v = xj1 · · ·xjq , cu 2 ≤ j1 < . . . < jq ≤ n,v 6= xn−q+1 · · ·xn, si ∆ complexul simplicial avand idealul Stanley–Reisner I. Dacas este unicul numar ıntreg astfel ıncat ji = j1 + (i − 1), pentru orice 1 ≤ i < s sijs ≥ j1 + s, atunci multiplicitatea lui k[∆] este e(k[∆]) = s− 1.

In cele ce urmeaza, analizam cazul idealelor lexsegment finale libere de patrate(Lf (u)), unde u este un monom ın S. Se poate observa ca putem reduce problema

doar la cazul x1 | u. Intr-adevar, ın caz contrar, x1, . . . , xmin(u)−1 sunt regulate peS/I, deci nu apartin nici unui ideal prim asociat lui I. Deci, a calcula descompunereaprimara minimala a lui I ın S este echivalent cu a determina descompunerea primarastandard a lui I ∩ k[xmin(u), . . . , xn].

Lema 15. Fie I = (Lf (u)) ⊂ S un ideal lexsegment final liber de patrate,determinat de monomul u = x1xi2 · · · xiq , 2 ≤ i2 < . . . < iq ≤ n. Notam cu∆ complexul simplicial al carui ideal Stanley–Reisner este I = I∆. Atunci idealulStanley–Reisner asociat dualului Alexander al lui ∆, I∨ = I∆∨, este generat ın gradn− q si n− q + 1.

Descompunerea primara minimala a unui ideal lexsegment final liber de patrateeste prezentata ın urmatorul rezultat.

Teorema 16. Fie I ⊂ S, I 6= In,q, un ideal lexsegment final liber de patrategenerat ın grad q, determinat de monomul u = x1xi2 · · · xiq , 2 ≤ i2 < . . . < iq ≤ n.Consideram F = {i2, . . . , iq} si monomul xF =

∏i∈F

xi. Atunci I are descompunerea

primara minimala:

I =

⋂G⊂[n], |G|=n−q+1

xG≥lexxFc

PG

∩ ⋂

G⊂[n]\{1}, |G|=n−q+1xG\min(G)≥lexxFc\{1}

PG

∩ ⋂

G⊂[n], |G|=n−qxFc\{1}>lexxG

PG

.

4

Ca si ın cazul idealelor lexsegment initiale libere de patrate, de remarcat estefaptul ca descompunerea primara standard este determinata doar de monomul caregenereaza lexsegmentul final.

Descompunerea primara standard este exemplificata ın cele ce urmeaza:

Exemplul 17. Fie I = (Lf (x1x2x5)) ⊂ k[x1, . . . , x6] un ideal lexsegment final

liber de patrate. In acest caz, monomul xF c este x1x3x4x6. Descompunerea primaraminimala a lui I este:

I = (x1, x2, x3, x4)∩ (x1, x2, x3, x5)∩ (x1, x2, x3, x6)∩ (x1, x2, x4, x5)∩ (x1, x2, x4, x6)∩

∩(x1, x2, x5, x6) ∩ (x1, x3, x4, x5) ∩ (x1, x3, x4, x6) ∩ (x3, x5, x6) ∩ (x4, x5, x6)∩

∩(x2, x3, x4, x5) ∩ (x2, x3, x4, x6).

Ca o consecinta, descompunerea primara minimala ne permite calcularea dimen-siunii Krull si a depth-ului inelului S/I. Mai mult, pentru multiplicitatea ineluluiStanley–Reisner obtinem urmatorul rezultat:

Corolarul 18. Fie I ⊂ S un ideal lexsegment final liber de patrate determinat demonomul u = x1xi2 · · ·xiq = x1xF , 2 ≤ i2 < . . . < iq ≤ n si ∆ complexul simplicialcu proprietatea ca I este idealul Stanley–Reisner. Atunci:

(a) dim(S/I) = q.(b) depth(S/I) = q − 1.(c) Multiplicitatea inelului k[∆] este

e(k[∆]) = |{xG : xF c\{1} >lex xG, |G| = n− q}|.

In particular, daca vom considera cazul unui ideal lexsegment final liber depatrate generat ın grad 2, putem determina acoperirile cu varfuri minimale alegrafului avand ca ideal muchie idealul considerat.

Corolarul 19. Fie G un graf si I(G) idealul muchie asociat. Daca I(G) este unideal lexsegment final liber de patrate, determinat de monomul u = x1xi2, cu i2 > 2,atunci

I(G) =

(⋂s≥i2

P[n]\{s}

)∩

(⋂s<i2

P[n]\{1,s}

).

Acoperirile cu varfuri minimale ale grafului G sunt multimile [n] \ {s}, cu s ≥ i2,ımpreuna cu multimile de forma [n] \ {1, s}, cu s < i2.

In cele ce urmeaza ne concentram asupra idealelor lexsegment complete liberede patrate. Este cunoscut faptul ca un ideal lexsegment complet liber de patrateI = (L(u, v)) poate fi scris ca intersectia dintre un ideal lexsegment initial liber depatrate cu un ideal lexsegment final liber de patrate, astfel I = (Li(v)) ∩ (Lf (u)).Cunoscand descompunerile primare minimale pentru idealele lexsegment initialelibere de patrate, respectiv finale, obtinem descompunerea primara a unui ideallexsegment complet. Ramane ınsa problema eliminarii tuturor redundantelor.

5

Teorema 20. Fie I ⊂ S un ideal lexsegment complet liber de patrate generat ıngrad q, determinat de monoamele u = x1xF si v = xj1 · · ·xjq , 2 ≤ j1 < . . . < jq ≤ n.Descompunerea primara minimala a lui I este:

I =⋂

|At|≤n−q

PAt ∩⋂

|At|=n−q+1u/x1≥lexv/xjt

PAt ∩⋂

G⊂[n], |G|=q−1, G∩At 6=∅, ∀tu/x1≥lexxG

PGc ∩⋂

P∈Min(LfS(u))

htP=n−q

P,

daca x2 - u, si

I =⋂

|At|≤n−q

PAt ∩⋂

|At|=n−q+1u/x1≥lexv/xjt

PAt ∩⋂

G⊂[n]\{1}, |G|=q−1, G∩At 6=∅, ∀tu/x1≥lexxG

PGc∩

∩⋂

G⊂[n]\{1}, |G|=n−q+1xG\min(G)≥lexxFc\{1}

PG ∩⋂

P∈Min(LfS(u))

htP=n−q

P, altfel.

Descompunerea primara, ın cele doua cazuri ale sale, este discutata ın urmatoareleexemple.

Exemplul 21. Consideram I = (L(x1x3x4x5, x3x4x6x7)) ⊂ k[x1, . . . , x7] unideal lexsegment complet liber de patrate. Descompunerea primara minimala alui I este de forma:

I = (x1, x2, x3) ∩ (x1, x2, x4) ∩ (x1, x2, x5, x6) ∩ (x1, x2, x5, x7) ∩ (x1, x2, x6, x7)∩

∩(x3, x4, x5) ∩ (x3, x4, x6) ∩ (x3, x4, x7) ∩ (x3, x5, x6) ∩ (x3, x5, x7)∩

∩(x3, x6, x7) ∩ (x4, x5, x6) ∩ (x4, x5, x7) ∩ (x4, x6, x7) ∩ (x5, x6, x7).

Exemplul 22. Pentru I = (L(x1x2x4x5, x3x4x5x7)) ⊂ k[x1, . . . , x7] idealul lexseg-ment complet liber de patrate, descompunerea primara minimala este:

I = (x1, x2, x3) ∩ (x1, x2, x4) ∩ (x1, x2, x5) ∩ (x1, x2, x6, x7) ∩ (x1, x3, x6, x7)∩

∩(x1, x3, x5, x7) ∩ (x1, x3, x5, x6) ∩ (x1, x3, x4, x7) ∩ (x1, x3, x4, x6)∩

∩(x1, x3, x4, x5) ∩ (x2, x3, x4, x5) ∩ (x2, x3, x4, x6) ∩ (x2, x3, x4, x7)∩

∩(x2, x3, x5, x6) ∩ (x2, x3, x5, x7) ∩ (x2, x3, x6, x7) ∩ (x4, x5, x6)∩

∩(x4, x5, x7) ∩ (x4, x6, x7) ∩ (x5, x6, x7).

Din descompunerea primara se pot extrage cateva consecinte imediate.

Corolarul 23. Fie I ⊂ S un ideal lexsegment complet liber de patrate determinatde monoamele u = x1xi2 · · ·xiq = x1xF , 2 ≤ i2 < . . . < iq ≤ n si v = xj1 · · ·xjq ,2 ≤ j1 < . . . < jq ≤ n, iar ∆ complexul simplicial avand idealul Stanley–Reisner I.Atunci:

(a) dim(S/I) = n− j1.

6

(b) Notam cu s cel mai mic numar ıntreg cu proprietatile ji = j1+(i−1), pentruorice 1 ≤ i < s si js ≥ j1 + s, iar t = |{xG : xF c\{1} >lex xG, |G| = n− q}|.Multiplicitatea inelului k[∆] este

e(k[∆]) =

{s− 1 , daca j1 < n− q

s + t− 1 , daca j1 = n− q.

(c) Daca I este generat ın grad 2 si u 6= x1x2, v 6= xn−1xn, atunci

I = PA1 ∩ PA2 ∩

( ⋂i2≤s<j1

P[n]\{s}

)∩

(⋂s<i2

P[n]\{1,s}

), daca j2 ≤ n− 1

si

I = PA1 ∩

( ⋂i2≤s≤j1

P[n]\{s}

)∩

(⋂s<i2

P[n]\{1,s}

), daca j2 = n,

unde A1 = [j1] si A2 = [j2] \ {j1}.

Altfel spus, dimensiunea Krull este determinata doar de cea mai mica variabilace divide cel mai mare monom, ın ordonarea lexicografica, din lexsegmentul consi-derat. De asemenea, acest rezultat ne permite caracterizarea acoperirilor cu varfuriminimale ale grafului G.

Ideale lexsegment complete libere de patrate secvential Cohen–Macau-lay. Pentru cazul complexelor simpliciale care nu sunt pure, ın analogie cu notiuneade complex simplicial shellable introdusa de A. Bjorner and M. Wachs, R. Stanley[67] a definit conceptul de secvential Cohen–Macaulay.

Reamintim ca un complex simplicial este secvential Cohen–Macaulay daca sinumai daca orice skeleton pur este Cohen–Macaulay.

In cele ce urmeaza, suntem interesati de caracterizarea idealelor lexsegment com-plete libere de patrate care sunt secvential Cohen–Macaulay.

Pentru un ideal I, notam cu I∨ dualul sau Alexander. Generalizarea teore-mei Eagon–Reiner ne asigura ca a demonstra ca idealul I este secvential Cohen–Macaulay este echivalent cu a arata ca dualul sau Alexander este liniar pe compo-nente.

Daca I ⊂ S este un ideal graduat, notam cu I〈j〉 idealul generat de toate poli-noamele omogene de grad j din I. Reamintim ca un ideal graduat I ⊂ S este liniarpe componente daca I〈j〉 are rezolutie liniara, pentru orice j.

In aceeasi maniera ca si ın cazul descompunerii primare, studiul idealelor secven-tial Cohen–Macaulay se va face plecand de la idealele lexsegment initiale libere depatrate, si mai apoi continuand cu cele finale. Mai mult, demonstram un rezultatmai general, care ne determina o noua clasa de ideale libere de patrate liniare pecomponente.

In [55], idealele canonic critice au fost studiate. Reamintim ca un ideal omogenI ⊂ S se numeste canonic critic daca este de forma

I = (f1x1, f1f2x2, . . . , f1 · · · fs−1xs−1, f1f2 · · · fs),

7

pentru niste polinoame omogene f1, . . . , fs, cu fi ∈ k[xi, . . . , xn], pentru fiecare1 ≤ i ≤ s si cu deg(fs) > 0, pentru 1 ≤ s ≤ n.

Consideram clasa idealelor monomiale libere de patrate canonic critice. FieS = k[x1, . . . , xn] inelul de polinoame ın n nedeterminate peste corpul comutativk, I un ideal monomial liber de patrate si G(I) sistemul minimal monomial degeneratori.

Definitia 24. Un ideal monomial liber de patrate I ⊂ S se numeste critic dacapoate fi obtinut dupa urmatoarea procedura recursiva:

(a) Idealul I este de forma I = (xi,m), pentru un monom liber de patrate mcu xi - m,

(b) Exista o nedeterminata xj, un monom liber de patrate m′ si J un idealmonomial liber de patrate critic, cu proprietatile xj - mm′ si supp(m) ∩supp(m′) = ∅, pentru orice m ∈ G(J), astfel ıncat I = (xj) + m′J .

Definitia 25. Un ideal monomial liber de patrate I ⊂ S este canonic critic dacaexista un monom w ın S astfel ıncat I = wJ , unde J este un ideal monomial liberde patrate critic.

Am demonstrat ca idealele monomiale libere de patrate critice au caturi liniare,asa cum reiese din urmatorul rezultat.

Propozitia 26. Fie I ⊂ S un ideal monomial liber de patrate critic. Atunci Iare caturi liniare.

Idealele monomiale libere de patrate canonic critice, fiind obtinute dintr-un idealcritic, pastreaza proprietatea de a avea caturi liniare.

Corolarul 27. Orice ideal monomial liber de patrate canonic critic are caturiliniare.

Este cunoscut faptul ca idealele monomiale libere de patrate care au caturi liniaresunt liniare pe componente. Astfel, obtinem o noua clasa de ideale liniare pe com-ponente, reprezentata de idealele monomiale libere de patrate canonic critice.

Corolarul 28. Daca I este un ideal canonic critic, atunci I este liniar pe com-ponente.

Idealele monomiale libere de patrate canonic critice sunt importante ın studiuldualului Alexander al unui ideal lexsegment liber de patrate. Proprietatea de a filiniare pe componente este esentiala ın cele ce urmeaza.

Propozitia 29. Fie I ⊂ k[x1, . . . , xn] un ideal lexsegment initial liber de patrate,generat ın grad q, determinat de monomul v = xj1 · · ·xjq , cu 2 ≤ j1 < · · · < jq ≤ n.Atunci I este ideal secvential Cohen–Macaulay.

Din descompunerea primara reiese ca, pentru orice j ≤ n− q, I∨〈j〉 este un idealmonomial liber de patrate canonic critic, ceea ce ne asigura existenta rezolutieiliniare. Mai departe, aratam ca I∨〈n−q+1〉 coincide cu idealul generat de toate monoamelelibere de patrate de grad n− q + 1, deci are rezolutie liniara.

8

Pentru idealele lexsegment finale libere de patrate demonstram ca sunt secventialCohen–Macaulay.

Propozitia 30. Fie I ⊂ S idealul lexsegment final liber de patrate generat ıngrad q, determinat de monomul u = x1xi2 · · ·xiq , 2 ≤ i2 < . . . < iq ≤ n. Atunci Ieste secvential Cohen–Macaulay.

Demonstratia acestui rezultat se bazeaza pe faptul ca idealul Stanley–Reisnerasociat dualului Alexander este generat doar ın grad n− q si n− q + 1.

Ne ındreptam atentia, ın cele ce urmeaza, pe cazul idealelor lexsegment completelibere de patrate. Pentru a caracteriza idealele lexsegment complete libere de patratesecvential Cohen–Macaulay, trebuie sa stabilim conditiile ın care idealul I∨〈j〉 arerezolutie liniara, pentru orice j ≤ n − q + 1. Analizand descompunerea primaraminimala obtinuta ın cazul x2 | u si x2 - u, observam ca:

I∨〈j〉 = (xAt : |At| ≤ n− q)〈j〉 pentru orice j < n− q (1)

I∨〈n−q〉 = (xAt : |At| ≤ n− q)〈n−q〉 + (xG : xF c\{1} >lex xG, |G| = n− q), (2)

unde u = x1xF si At = [jt] \ {j1, . . . , jt−1}, pentru 1 ≤ t ≤ q. De remarcat ca doarpentru I∨〈n−q+1〉 trebuie sa consideram doua cazuri, corespunzatoare ipotezelor x2 | usau x2 - u.

Si ın acest caz, facem apel la proprietatile idealelor monomiale libere de patratecanonic critice.

Lema 31. Pentru orice j < n− q, idealul I∨〈j〉 are rezolutie liniara.

Pentru a determina conditiile ın care

I∨〈n−q〉 = (xAt : |At| ≤ n− q)〈n−q〉 + (xG : xF c\{1} >lex xG, |G| = n− q)

are rezolutie liniara, avem nevoie de o serie de rezultate.Mai ıntai, fie 1 ≤ s ≤ q cel mai mic index cu proprietatea ca js ≤ n− q+ s− 1 si

js+1 > n−q+1. Obtinem astfel ca (xAt : |At| ≤ n−q)〈n−q〉 = (xA1 , xA2 , . . . , xAs)〈n−q〉.

Propozitia 32. Idealul (xAt : |At| ≤ n− q)〈n−q〉 este un ideal lexsegment initialliber de patrate determinat de monomul xAsxq+js−s+2 · · ·xn.

Intorcandu-ne la idealul I∨〈n−q〉, din relatia (2) deducem ca I∨〈n−q〉 este suma a douaideale lexsegment libere de patrate generate ın acelasi grad, unul fiind initial, iarcelalalt final. Astfel, pentru a determina cazurile ın care idealul I∨〈n−q〉 are rezolutieliniara, putem sa analizam o problema mai generala, expusa ın cele ce urmeaza.

Consideram J = (Li(w)) si K = (Lf (m)) ideale lexsegment initial, respectivfinal, libere de patrate, generate ın grad d, cu proprietatile x1 | w si x1 - m. IdealeleJ si K au rezolutie d−liniara. Suntem interesati sa determinam conditiile ın careJ + K are rezolutie liniara.

9

Propozitia 33. Fie J = (Li(w)) si K = (Lf (m)), cu x1 | w si x1 - m. IdealulJ + K are rezolutie d−liniara daca si numai daca idealul J ∩K are rezolutie (d +1)−liniara.

Mai mult, putem conchide ca idealul J ∩K este generat ıntr-un singur grad dacasi numai daca este un ideal lexsegment liber de patrate.

Lema 34. Fie J = (Li(w)) si K = (Lf (m)), cu x1 | w si x1 - m. Idealul J ∩Keste generat ın grad d + 1 daca si numai daca J ∩K = (L(x1m,wxmax([n]\supp(w)))).

Toate aceste rezultate sunt de un real folos ın caracterizarea idealelor lexsegmentcomplete libere de patrate care sunt secvential Cohen–Macaulay.

In cele ce urmeaza, reamintim contextul ın care lucram si revenim la notatiilefolosite. Consideram I ⊂ S un ideal lexsegment complet liber de patrate generat ıngrad q, determinat de monoamele u = x1xi2 · · ·xiq = x1xF , 2 ≤ i2 < . . . < iq ≤ n siv = xj1 · · ·xjq , cu proprietatile 2 ≤ j1 < . . . < jq ≤ n. Mai mult, putem presupuneca lexsegmentul nu este nici initial, nici final. Notam cu At = [jt] \ {j1, . . . , jt−1},pentru 1 ≤ t ≤ q. Fie s cel mai mic numar cu proprietatile |As| ≤ n − q si|As+1| = n− q + 1.

Reamintim ca daca x2 - u, atunci, din descompunerea primara, obtinem:

I∨〈n−q+1〉 = (xAt : |At| ≤ n− q)〈n−q+1〉 + (xAt : |At| = n− q + 1, u/x1 ≥lex v/xjt)+

+(xGc : G ⊂ [n], |G| = q − 1, G ∩ At 6= ∅, 1 ≤ t ≤ q, u/x1 ≥lex xG)+

+(xG : xF c\{1} >lex xG, |G| = n− q)〈n−q+1〉.

In caz contrar, daca x2 | u, atunci:

I∨〈n−q+1〉 = (xAt : |At| ≤ n− q)〈n−q+1〉 + (xAt : |At| = n− q + 1, u/x1 ≥lex v/xjt)+

+(xGc : G ⊂ [n] \ {1}, |G| = q − 1, G ∩ At 6= ∅, 1 ≤ t ≤ q, u/x1 ≥lex xG)+

+(xG : xF c\{1} >lex xG, |G| = n−q)〈n−q+1〉+(xG : xG\min(G) ≥lex xF c\{1}, |G| = n−q+1).

Teorema 35. Fie I ⊂ S un ideal lexsegment complet liber de patrate generat ıngrad q, determinat de monoamele u = x1xi2 · · ·xiq = x1xF , 2 ≤ i2 < . . . < iq ≤ nsi v = xj1 · · ·xjq , cu 2 ≤ j1 < . . . < jq ≤ n. Idealul I este secvential Cohen–Macaulay daca si numai daca idealul (Li(xAsxq+js−s+2 · · ·xn))∩ (Lf (succ(xF c\{1})))are o rezolutie (n− q + 1)−liniara.

Demonstratia se bazeaza pe rezultatele mentionate anterior, utilizand proprietatileidealelor canonic critice si scrierea idealului I ca suma de doua ideale, astfel:

I = (L(x1xF , x1xn−q+2 · · ·xn)) + (L(x2 · · ·xq+1, v)).

Invarianti omologici ai idealelor lexsegment libere de patrate

Se poate observa ca ın cazul idealelor lexsegment initiale libere de patrate, res-pectiv finale, depth-ul poate fi calculat, acesta fiind determinat doar de gradul ıncare idealul este generat. Pentru idealele lexsegment libere de patrate arbitrare,rezultatele obtinute cu ajutorul unui program informatic nu au condus la o completa

10

caracterizare a depth–ului. Totusi, ın capitolul al treilea, este determinata limitasuperioara si cea inferioara a acestui invariant.

Pentru ınceput, ne intereseaza sa obtinem o conditie echivalenta pentru propri-etatea unui ideal lexsegment liber de patrate de a avea rezolutie liniara.

Lema 36. Fie I = (L(xG, xH)) ⊂ S un ideal lexsegment liber de patrate, generatıntr-un singur grad, |G| = |H|. Atunci I are rezolutie liniara daca si numai dacaidealul (L(x[n]\H , x[n]\G)) are rezolutie liniara.

Acest rezultat va fi extrem de util ın scopul determinarii marginilor superioare siinferioare ale valorilor posibile ale depth-ului unui ideal lexsegment liber de patratearbitrar.

In general, un ideal lexsegment liber de patrate I ⊂ S generat ın grad q areproprietatea ca depth(S/I) ≥ q − 1. Acest lucru are loc deoarece, daca ∆ estecomplexul simplicial asociat lui I, atunci orice submultime cu cel mult q−1 elementeeste fata ın ∆. Obtinem astfel ca I∆(q−2) este generat de toate monoamele libere depatrate de grad q, deci este Cohen–Macaulay. Prin aplicarea formulei lui T. Hibi decalculare a depth-ului, obtinem inegalitatea dorita.

Idealele I lexsegment libere de patrate generate ın grad q, cu proprietatea cadepth(S/I) > q−1 sunt caracterizate ın urmatorul rezultat. Pentru aceasta, pentruun monom m notam cu succ(m) = max{w : m >lex w} si pred(m) = min{w : w >lex

m}.

Propozitia 37. Fie I = (L(u, v)) un ideal lexsegment liber de patrate generatın grad q, cu x1 | u si x1 - v. Atunci depth(S/I) > q − 1 daca si numai daca

succ(v)/xmax(succ(v)) ≥lex pred(u)/x1

si idealul (L(succ(v)/xmax(succ(v)), pred(u)/x1)) are o rezolutie liniara.

O margine superioara a depth-ului unui ideal lexsegment liber de patrate esteprezentata ın urmatoarea propozitie.

Propozitia 38. Daca I = (L(u, v)) ⊂ S este un ideal lexsegment liber de patrategenerat ın grad q, cu u 6= v, atunci depth(S/I) ≤ n− 2.

Ideale muchie lexsegment. Cu scopul de a determina invarianti ın cazul gen-eral ai idealelor lexsegment libere de patrate, analizam, mai ıntai, cazul idealelorlexsegment libere de patrate generate ın grad 2. Aceste ideale le vom numi muchielexsegment.

Consideram u = x1xi, v = xjxr doua monoame libere de patrate de grad 2 astfelıncat u >lex v si I = (L(u, v)) idealul muchie lexsegment generat de multimeaL(u, v). Ne propunem sa determinam dimensiunea Krull a inelului factor S/I.Demonstratia acestui rezultat implica ınsa distingerea ıntre idealele muchie lexseg-ment complete si cele care nu sunt complete. De aceea, se impune sa determinam,mai ıntai, idealele muchie lexsegment care sunt complete.

Corolarul 39. Fie u = x1xi, v = xjxr si I = (L(u, v)) idealul muchie lexseg-ment. Atunci I este ideal muchie lexsegment complet daca si numai daca j ≥ i− 2.

11

Dimensiunea Krull a idealelor muchie lexsegment reiese din urmatorul rezultat.

Propozitia 40. Daca I = (L(u, v)) ⊂ S este idealul muchie lexsegment deter-minat de monoamele u = x1xi si v = xjxr, unde u 6= x1x2, v = xn−1xn, atuncidim(S/I) = n− j.

Mai departe, suntem interesati ın calcularea unui alt invariant, depth-ul. Acestlucru ıl vom face ın mai multe etape.

Propozitia 41. Fie u = x1xi, v = xjxr, unde j ≥ 2 si I = (L(u, v)) ⊂ S idealulmuchie lexsegment. Atunci depth(S/I) = 1 daca si numai daca xi−1xn ≥lex v.

In particular, se obtine dimensiunea proiectiva.

Corolarul 42. In aceleasi ipoteze, proj dimS(S/I) = n− 1 daca si numai dacaxi−1xn ≥lex v.

Ramane sa calculam depth-ul inelului S/I, ın cazul ın care v = xjxr cu j ≥ 2 si

v >lex xi−1xn. In lema urmatoare investigam cazul j ≥ 3.

Lema 43. Daca I = (L(u, v)) este idealul muchie lexsegment determinat deu = x1xi si v = xjxr, cu j ≥ 3, si v >lex xi−1xn, atunci depth(S/I) = 2.

Pentru o caracterizare completa a depth-ului ramane sa analizam cazul v = x2xr,cu r ≥ 3.

Lema 44. Fie u = x1xi, v = x2xr >lex xi−1xn si I = (L(u, v)) idealul muchielexsegment. Atunci

depth(S/I) =

{2 , daca r ≥ i,i + 1− r , daca i > r.

Bazandu-ne pe formulele obtinute ın calcularea depth-ului si a dimensiunii Krull,regasim caracterizarea idealelor muchie lexsegment Cohen–Macaulay, mentionata ın[11].

Corolarul 45. Fie I = (L(u, v)) un ideal muchie lexsegment cu x1|u si u 6= v.Atunci I este Cohen–Macaulay daca si numai daca are loc una dintre urmatoareleconditii:

(i) I = In,2.(ii) u = x1xn si v ∈ {x2x3, xn−2xn−1, xn−2xn}, pentru n ≥ 4.(iii) u = x1xn−1, v = xn−2xn, pentru n ≥ 3.

In ceea ce priveste regularitatea, observam ca daca I este ideal muchie lexsegmentinitial sau final, atunci reg(I) = 2, avand rezolutie liniara.

Deci ramane sa consideram cazul ın care u 6= x1x2, adica i ≥ 3, si v 6= xn−1xn,ceea ce ınseamna 2 ≤ j ≤ n− 2.

Lema 46. Fie I = (L(u, v)) un ideal muchie lexsegment. Atunci reg(I) ∈ {2, 3}.

Aceasta lema ne arata ca trebuie sa distingem ıntre cele doua valori posibile aleregularitatii.

12

Demonstratia originala a acestui rezultat, asa cum apare ın [25], utilizeaza ca-racterizarea idealelor lexsegment libere de patrate cu rezolutie liniara, data ın [8] si

[10]. In aceasta lucrare, formulam o demonstratie diferita, folosind Propozitia 33.

Propozitia 47. Fie I = (L(u, v)) un ideal muchie lexsegment determinat deu = x1xi, v = xjxr, j ≥ 2. Atunci

reg(I) =

{3, daca i ≥ j + 2 si xn 6 |v2, ın rest.

De asemenea, calculam rangul aritmetic al idealelor muchie lexsegment.

Teorema 48. Fie I = (L(u, v)) un ideal muchie lexsegment. Atunci

ara(I) = proj dimS(S/I).

Demonstratia acestui rezultat utilizeaza Lema Schmitt–Vogel, un instrumentextrem de important ın calcularea rangului aritmetic al unui ideal. Ca o consecinta,deducem faptul ca idealele muchie lexsegment Cohen–Macaulay coincid cu idealeleset–theoretic intersectie completa.

Corolarul 49. Fie I un ideal muchie lexsegment. Urmatoarele afirmatii suntechivalente:

(a) I este Cohen–Macaulay.(b) I este set–theoretic intersectie completa.

Pentru un ideal muchie lexsegment I = (L(u, v)), notam cu I∨ idealul asociatdualului Alexander. Atunci

I∨ = (x1, xi) ∩ (x1, xi+1) · · · ∩ (x1, xn) ∩ (x2, x3) ∩ (x2, x4) ∩ · · · ∩ (x2, xn)

∩(x3, x4) ∩ (x3, x5) ∩ · · · ∩ (x3, xn) ∩ · · · ∩ (xj, xj+1) ∩ · · · ∩ (xj, xr),

este un ideal nemixtat de ınaltime 2 ([69, Proposition 1.1]).Folosind egalitatea proj dimS(S/I∨) = reg(I), obtinem urmatoarele:

Propozitia 50. Fie I = (L(u, v)) un ideal muchie lexsegment determinat deu = x1xi, v = xjxr, j ≥ 2. Atunci

proj dimS(S/I∨) =

{3, daca i ≥ j + 2 si xn 6 |v2, ın rest.

Acest lucru ne permite calcularea rangului aritmetic pentru I∨.

Teorema 51. Fie I = (L(u, v)) un ideal muchie lexsegment. Atunci

ara(I∨) = proj dimS(S/I∨).

13

Ideale lexsegment libere de patrate generate ın grad 3. In continuare,suntem interesati ın analizarea cazului idealelor lexsegment libere de patrate ge-nerate ın grad 3. Scopul este de a determina invarianti omologici ai acestora si dea gasi similitudini cu rezultatele obtinute ın cazul anterior. Rezultatele referitoarela idealele lexsegment libere de patrate generate ın grad 3 sunt cuprinse ın lucrarea[23].

Caracterizarea depth-ului este cuprinsa ın urmatorul rezultat:

Teorema 52. Fie u = x1xi2xi3 si v = xj1xj2xj3, cu j1 ≥ 2, doua monoame liberede patrate de grad 3 si I = (L(u, v)) idealul lexsegment liber de patrate determinatde ele. Atunci:

(a) depth(S/I) = 2 daca xi2−1xi3−1xn ≥lex v.(b) depth(S/I) = 4 daca i2 = 4, i3 ≥ 6 si j1 = 2, j2 = 3, j3 < i3−1 sau i2 ≥ 5

si j1 = 2, j2 = 3, i2 − 1 ≤ j3 ≤ n− 1.(c) depth(S/I) = i2 − j3 + 3 daca i2 > 4, j2 = 2 si j3 ≤ i2 − 1.(d) depth(S/I) = 3 ın toate celelalte cazuri.

Demonstratia acestui rezultat se bazeaza pe o serie de propozitii ajutatoare.Pentru ınceput, analizam cazul idealelor lexsegment libere de patrate I = (L(u, v)),avand depth(S/I) = 2.

Propozitia 53. Fie I = (L(u, v)) idealul lexsegment liber de patrate determinatde u = x1xi2xi3 si v = xj1xj2xj3. Atunci depth(S/I) = 2 daca si numai dacaxi2−1xi3−1xn ≥ v.

Conditiile necesare pentru a obtine depth(S/I) = 3 sunt cuprinse ın urmatorulrezultat.

Propozitia 54. Daca este ındeplinita una dintre urmatoarele conditii:

(a) x1x3x4 ≥lex u = x1xi2xi3 ≥lex x1x4x5 si v >lex xi2−1xi3−1xn,(b) x1x4x6 ≥lex u = x1xi2xi3 ≥lex x1x4xn si x2x3xi3−1 ≥ v >lex x3xi3−1xn,(c) x1x5x6 ≥lex u = x1xi2xi3 si x2x3xn ≥lex v >lex xi2−1xi3−1xn,

atunci depth(S/I) = 3.

Pentru a determina idealele lexsegment libere de patrate cu depth(S/I) = 4,folosim inegalitatea proj dim(S/I) ≤ ara(I). De aceea, calculam rangul aritmetic ınacest caz.

Propozitia 55. Fie u = x1xi2xi3 si v = x2x3xj3 doua monoame libere de patrate.Fie I = (L(u, v)) idealul lexsegment liber de patrate generat de L(u, v). Daca unadintre conditiile (1) i2 = 4, i3 ≥ 6, j3 < i3 − 1 sau (2) i2 ≥ 5, i2 − 1 ≤ j3 ≤ n− 1are loc, atunci ara(I) ≤ n− 4.

Folosind marginea inferioara data de rangul aritmetic, obtinem:

Propozitia 56. Daca este ındeplinita una dintre conditiile

(a) x1x4x6 ≥lex u = x1x4xi3 ≥lex x1x4xn si v >lex x2x3xi3,(b) x1x5x6 ≥lex u = x1xi2xi3 ≥lex x1xn−1xn si x2x3xi2−1 ≥lex v ≥lex x2x3xn−1,

atunci depth(S/I) = 4.

14

A ramas sa consideram u = x1xi2xi3 , v = x2x3xj3 si j3 ≤ i2 − 1. Pentru ınceput,determinam rangul aritmetic.

Propozitia 57. Fie u = x1xi2xi3 , v = x2x3xj3, cu j3 ≤ i2 − 1. Atunci

ara(I) ≤ n− (i2 − j3 + 3).

Propozitia 58. Daca u = x1xi2xi3 , v = x2x3xj3, astfel ıncat j3 ≤ i2 − 1, atuncidepth(S/I) = i2 − j3 + 3.

Calcularea depth-ului ın acest caz prezinta o dificultate sporita fata de cazul an-terior. Determinarea sa presupune folosirea unor tehnici noi, cele din cazul idealelormuchie lexsegment neputand fi aplicate.

Intrebari deschise. Dificultatea aparuta ın calcularea depth-ului idealelor lex-segment libere de patrate generate ın grad 3, precum si exemplele realizate ın acestsens, au condus la formularea unor conjecturi si ıntrebari deschise referitoare lainvariantii omologici ai acestor ideale.

Urmatoarele conjecturi si probleme deschise ar putea avea un rspuns favora-bil, acestea dovedindu-se adevarate ın cele doua cazuri studiate, mai precis pentruidealele lexsegment libere de patrate generate ın grad 2 si 3.

Conjectura 59. Fie u = x1xi2 · · ·xiq , v = xj1 · · ·xjq cu j1 ≥ 2 si I = (L(u, v))idealul lexsegment liber de patrate. Atunci depth(S/I) = q − 1 daca si numai dacaxi2−1xi3−1 · · ·xiq−1xn ≥lex v.

Intrebarea 60. Fie q − 1 ≤ d ≤ n − 2 un numar ıntreg. Exista monoamelelibere de patrate u, v ∈ Mons

q(S) astfel ıncat depth(S/I) = d?

Idealele lexsegment initiale si finale libere de patrate generate ın grad q aurezolutie liniara, fiind cazuri particulare de ideale libere de patrate stabile. Deaceea, aceste ideale au regularitate q. O posibila metoda de a aborda problema cal-cularii regularitatii Castelnuovo–Mumford este descrisa ın cele ce urmeaza. Putemscrie idealul I = J + L, unde am notat cu J = (L(u, x1xn−q+2 · · ·xn)) si L =(L(x2x3 · · · xq+1, v)). Evident, idealele J si L au rezolutii q−liniare. Cunoscandu-sefaptul ca reg(J + L) ≤ reg(J) + reg(L)− 1, [68], obtinem inegalitatea q ≤ reg(I) ≤2q − 1.

Din urmatorul sir exact

0→ J ∩ L→ J ⊕ L→ I → 0,

rezulta ca reg(I) = reg(J ∩ L)− 1. Calcularea regularitatii lui J ∩ L este destul dedificila. Totusi, rezultatele obtinute prin efectuarea mai multor exemple au condusla conturarea urmatoarei probleme.

Intrebarea 61. Fie q ≤ r ≤ 2q − 1 un numar ıntreg. Exista monoamele liberede patrate u, v ∈ Mons

q(S) astfel ıncat reg(L(u, v)) = r?

15

Ideale lexsegment Gotzmann

In ultimul capitol analizam idealele lexsegment care nu mai sunt libere de patrate.Acestea au fost introduse de H. Hulett si H.M. Martin [41]. Un ideal I ⊂ S =k[x1, . . . , xn] se numeste ideal lexsegment daca pentru u ≥lex v, u, v ∈ I douamonoame de acelasi grad d, toate monoamele u ≥lex m ≥lex v, cu deg(m) = d,apartin idealului I.

In cele ce urmeaza, definim idealele lexsegment pe componente.

Definitia 62. Fie I ⊂ S un ideal monomial si d gradul minim al generatorilorminimali monomiali. Idealul I este lexsegment pe componente daca, pentru oricej ≥ d, componenta de grad j, Ij, este generata ca spatiu vectorial peste k, de

multimea lexsegment L(xj−d1 u, vxj−d

n ).

Reiese imediat faptul ca idealele lexsegment complete sunt ideale lexsegment pecomponente.

Exemplul 63. Idealul I = (x1x23, x

32, x1x

22x3) este ideal lexsegment pe compo-

nente. Intr-adevar, avem I3 este k−spatiul vectorial generat de L(x1x23, x

32) si I4

este k−spatiul vectorial generat de L(x21x

23, x

32x3). Cum L(x2

1x23, x

32x3) este multime

lexsegment completa, din caracterizarea idealelor lexsegment complete data ın [16],obtinem ca Ij este generat de lexsegmentul L(xj−2

1 x23, x

32x

j−33 ) pentru orice j ≥ 4.

In cele ce urmeaza, caracterizam idealele lexsegment pe componente care suntliniare pe componente. In acelasi timp, demonstram echivalenta notiunilor de liniarpe componente si caturi liniare pe componente pentru aceasta clasa particulara deideale graduate.

Putem presupune ca x1 | u, deoarece, ın caz contrar, putem considera idealulıntr-un inel de polinoame ın mai putine nedeterminate.

Teorema 64. Fie I un ideal lexsegment pe componente si d ≥ 1 gradul cel maimic al generatorilor minimali monomiali ai lui I. Fie u, v ∈ Mond(S), x1|u astfelıncat I〈d〉 = (L(u, v)). Urmatoarele conditii sunt echivalente:

(a) I este liniar pe componente.(b) I〈d〉 are rezolutie liniara.(c) I〈d〉 are caturi liniare.(d) I are caturi liniare pe componente.

Mai departe, consideram ideale lexsegment generate ıntr-un singur grad. Carac-terizarea idealelor Gotzmann necesita demonstrarea urmatoarelor doua rezultate.

Lema 65. [59] Fie c > b > 0 doua numere ıntregi. Fie b =(bdd

)+ . . . +

(bjj

),

bd > bd−1 > . . . > bj ≥ j ≥ 1 si c =(cdd

)+ . . . +

(cii

), cd > cd−1 > . . . > ci ≥ i ≥ 1

dezvoltarile d−binomiale ale lor. Urmatoarele afirmatii sunt echivalente:

(i) b(d) = c(d).(ii) j ≥ 2 si c− b ≤ j − 1.

Lema 66. [59] Fie c > 0 un numar ıntreg avand dezvoltarea binomiala

c =

(cdd

)+ . . . +

(cii

), cd > . . . > ci ≥ i ≥ 1.

Urmatoarele afirmatii sunt echivalente:

(a) c(d) = 0.(b) c ≤ d.

Mai departe, dorim sa caracterizam idealele lexsegment Gotzmann. Pentruaceasta, distingem ıntre idealele lexsegment complete si cele care nu sunt complete.

Teorema 67. Fie u, v ∈ Mond(S), x1 | u astfel ıncat I = (L(u, v)) este ideallexsegment complet al lui S care nu este un ideal lexsegment initial. Fie j exponen-tul variabilei xn ın scrierea monomului v si a = |Mond(S) \ Li(u)|. Urmatoareleafirmatii sunt echivalente:

(a) I este ideal Gotzmann.(b) a ≥

(n+d−1

d

)− (j + 1).

Idealele lexsegment Gotzmann care nu sunt complete sunt caracterizate:

Teorema 68. Fie u = xatt · · ·xan

n , v = xbtt · · ·xbn

n doua monoame de grad d,u >lex v, at 6= 0, t ≥ 1 si I = (L(u, v)) un ideal lexsegment care nu este complet.Atunci I este ideal Gotzmann al lui S daca si numai daca I = m(xl, xl+1, . . . , xl+p),pentru un indice t ≤ l ≤ n, un indice 1 ≤ p ≤ n− l si un monom m.

Bibliografie

[1] A. Aramova, J. Herzog, Koszul cycles and Eliahou–Kervaire resolutions, J. Algebra,183(1996), 347–370.

[2] A. Aramova, E. De Negri, J. Herzog, Lexsegment ideals with linear resolutions, Illinois J.Math., 42(3)(1998), 509–523.

[3] A. Aramova, J. Herzog, T. Hibi, Squarefree lex-segment ideals, Math. Z., 228(1998), 353–378.[4] M. Barile, On the arithmetical rank of the edge ideals of forests, Comm. Algebra, 36(2008),

4678–4703.[5] M. Barile, N. Terai, Arithmetical ranks of Stanley–Reisner ideals of simplicial complexes with

a cone, to appear in Comm. Algebra, arXiv:0809.2194.[6] M. Barile, N. Terai, The Stanley–Reisner ideals of polygons as set–theoretic complete inter-

sections, Preprint, arXiv:0909.1900.[7] A. Bigatti, Upper bounds for the Betti numbers of a given Hilbert function, Comm. Algebra,

21(1993), 2317–2334.[8] V. Bonanzinga, Lexsegment ideals in the exterior algebra, in: Geometric and Combinatorial

Aspects of Commutative Algebra (J. Herzog, G. Restuccia, Eds.), Lecture Notes in Pure andAppl. Math., Dekker, New York, 4(1999), pp. 43–56.

[9] V. Bonanzinga, V. Ene, A. Olteanu, L. Sorrenti, An overview on the minimal free resolutionsof lexsegment ideals, in: Combinatorial Aspects of Commutative Algebra (V. Ene, E. Miller,Eds.), Contemp. Math., AMS, 502(2009), pp. 5–24.

[10] V. Bonanzinga, L. Sorrenti, Squarefree lexsegment ideals with linear resolutions, BollettinoUMI(Serie IX), 1(2) (2008), 275–291.

[11] V. Bonanzinga, L. Sorrenti, Cohen–Macaulay squarefree lexsegment ideals generated in degree2, in: Combinatorial Aspects of Commutative Algebra (V. Ene, E. Miller, Eds.), Contemp.Math., AMS, 502(2009), pp. 25–33.

[12] W. Bruns, J. Herzog, Cohen–Macaulay Rings, Cambridge University Press, Cambridge, 1993.[13] CoCoATeam, CoCoA: a system for doing Computations in Commutative Algebra, Available

at http://cocoa.dima.unige.it .[14] A. Conca, J. Herzog, Castelnuovo–Mumford regularity of products of ideals, Collect. Math.,

54(2003), no. 2, 137–152.[15] T. Deery, Rev–lex segment ideals and minimal Betti numbers, in: The Curves Seminar at

Queen’s, Vol. X, Queens Papers in Pure and Appl. Math., no. 102, Queen’s Univ., Kingston,ON, (1996), pp. 193-219.

[16] E. De Negri, J. Herzog, Completely lexsegment ideals, Proc. Amer. Math. Soc., 126(1998),3467–3473.

17

[17] A.M. Duval, Algebraic shifting and sequentially Cohen-Macaulay simplicial complexes, Elec-tron. J. Combin., 3(1996), no. 1, Research Paper 21.

[18] J.A. Eagon, V. Reiner, Resolutions of Stanley–Reisner rings and Alexander duality, J. PureAppl. Algebra, 130(1998), 265–275.

[19] D. Eisenbud, Commutative Algebra with a view toward Algebraic Geometry, Springer–Verlag,New York, 1995.

[20] D. Eisenbud, E.G. Evans, Every algebraic set in n−space is the intersection ofn−hypersurfaces, Invent. Math. 19(1973), 107–112.

[21] S. Eliahou, M. Kervaire, Minimal resolutions of some monomial ideals, J. Algebra, 129(1990),1–25.

[22] V. Ene, J. Herzog, Grobner Bases in Commutative Algebra, to appear.[23] V. Ene, K. Kimura, O. Olteanu, N. Terai, Invariants of squarefree lexsegment ideals of degree

3, ın lucru.[24] V. Ene, A. Olteanu, L. Sorrenti, Properties of lexsegment ideals, Osaka J. Math., 47(2010),

67–87.[25] V. Ene, O. Olteanu, N. Terai, Arithmetical rank of lexsegment edge ideals, Bull. Math. Soc.

Sci. Math. Roumanie, 53(101), no. 4 (2010), 315–327.[26] S. Faridi, Simplicial trees are sequentially Cohen-Macaulay, J. Pure Appl. Algebra, Volume

190, Issues 1–3, 121–136 (June 2004).[27] S. Faridi, The facet ideal of a simplicial complex, Manuscripta Math., 109(2002), 159–174.[28] G. Gotzmann, Eine Bedingung fur die Flachheit und das Hilbertpolynom eines graduierten

Ringes, Math. Z., 158(1978), 61–70.[29] H.G. Grabe, Uber den arithmetischen Rang quadratfreier Potenzproduktideale, Math. Nachr.,

120(1985), 217–227.[30] G.-M. Greuel, G. Pfister and H. Schonemann, Singular 2.0. A Computer Algebra System

for Polynomial Computations, Centre for Computer Algebra, University of Kaiserslautern,(2001), http://www.singular.uni-kl.de

[31] J. Herzog, T. Hibi, Monomial Ideals, Graduate Texts in Mathematics, Springer–Verlag, 2011.[32] J. Herzog, T. Hibi, Componentwise linear ideals, Nagoya Math. J., 153(1999), 141–153.[33] J. Herzog, T. Hibi, S. Murai, Y. Takayama, Componentwise linear ideals with minimal or

maximal Betti numbers, Ark. Mat., 46(2008), 69–75.[34] J. Herzog, T. Hibi, X. Zheng, Dirac’s theorem on chordal graphs and Alexander duality, Eu-

ropean J. Combin., 25(7) (2004), 949–960.[35] J. Herzog, T. Hibi, X. Zheng, Monomial ideals whose powers have a linear resolution, Math.

Scand., 95(2004), no. 1, 23–32.[36] J. Herzog, V. Reiner, V. Welker, Componentwise linear ideals and Golod rings, Michigan

Math. J., 46(1999), no. 2, 211–223.[37] J. Herzog, Y. Takayama, Resolutions by mapping cones, Homology Homotopy Appl., 4(2)

(2002), 277–294[38] T. Hibi, Quotient algebras of Stanlay–Reisner rings and local cohomology, J. Algebra,

140(1991), 336–343.[39] A.H. Hoefel, Gotzmann edge ideals, preprint, arXiv.org:0908.1946.[40] H. Hulett, Maximum Betti numbers of homogeneous ideals with a given Hilbert function,

Comm. Algebra, 21(1993), 2335–2350.[41] H.A. Hulett, H.M. Martin, Betti numbers of lexsegment ideals, J. Algebra, 275(2) (2004),

629–638.[42] M. Ishaq, Lexsegment ideals are sequentially Cohen–Macaulay, arXiv.org:1010.5615v2.[43] A. S. Jahan, X. Zheng, Ideals with linear quotients, J. Comb. Series A, 117(1) (2010), 104–110.[44] G. Kalai, R. Meshulam, Intersections of Leray complexes and regularity of monomial ideals,

J. Combin. Theory Ser. A, 113(2006), 1586–1592.[45] G. Katona, A theorem for finite sets, in: Theory of Graphs (P. Erdos, G. Katona, Eds.),

Academic Press, (1968), pp. 187–207.

18

[46] K. Kimura, Arithmetical rank of squarefree monomial ideals of height two whose quotient ringsare Cohen-Macaulay, Preprint.

[47] K. Kimura, N. Terai, K. Yoshida, Arithmetical rank of squarefree monomial ideals of smallarithmetic degree, J. Algebraic Combin., 29(2009), 389–404.

[48] K. Kimura, N. Terai, K. Yoshida, Arithmetical rank of squarefree monomial ideals of devi-ation two, in: Combinatorial Aspects of Commutative Algebra (V. Ene, E. Miller, Eds.),Contemporary Mathematics, AMS, 502(2009), pp. 73–112.

[49] J. Kruskal, The number of simplices in a complex, in: Mathematical Optimization Techniques(R. Bellman Eds.), University of California Press, (1963), pp. 251–278.

[50] M. Kummini, Regularity, depth and arithmetical rank of bipartite edge ideals, to appear in J.Algebraic Combin., arXiv:0902.0473.

[51] G. Lyubeznik, On the local cohomology modules Hia(R) for ideals a generated by monomials in

an R-sequence, in: Complete Intersections, Acireale, 1983 (S. Greco, R. Strano, Eds.), LectureNotes in Mathematics, Springer–Verlag, 1092(1984), pp. 214–220.

[52] F.S. Macaulay, Some properties of enumeration in the theory of modular systems, Proc. LondonMath. Soc., 26(1927), 531–555

[53] S. Iyengar, G.J. Leuschke, A. Leykin, C. Miller, E. Miller, A.K. Singh, U.W. Miller, Twenty–four hours of local cohomology, Graduate Studies in Mathematics, 2007.

[54] M. Morales, Simplicial ideals, 2−linear ideals and arithmetical rank, arXiv:math/0702668v1.[55] S. Murai, T. Hibi, Gotzmann ideals of the polynomial ring, Math. Z., 260(2008), 629–646.[56] M. Okudaira, Y. Takayama, Monomial ideals with linear quotients whose Taylor resolutions

are minimal, arXiv:0610168v1.[57] A. Olteanu, Constructible ideals, Comm. Algebra, 37(2009), 1656–1669.[58] A. Olteanu, Classes of monomial ideals: Algebraic and homological invariants, LAP, 2010.[59] A. Olteanu, O. Olteanu, L. Sorrenti, Gotzmann lexsegment ideals, Le Matematiche, 63(2008)

Fasc. II, 229–241.[60] O. Olteanu, Classes of sequentially Cohen–Macaulay squarefree lexsegment ideals, Algebra

Colloq., acceptat spre publicare.[61] K. Pardue, Deformation classes of graded modules and maximal Betti numbers, Illinois J.

Math., 40(1996), 564–585.[62] G.A. Reisner, Cohen–Macaulay quotients of polynomial rings, Adv. in Math., 21(1976), 30–49.[63] T. Romer, Generalized Alexander duality and applications, Osaka J. Math., 38(2001), 469–485.[64] P. Schenzel, On the dimension filtration and Cohen–Macaulay filtered modules, in: Commu-

tative Algebra and Algebraic Geometry (Ferrara), Lecture Notes in Pure and Appl. Math.,Dekker, New York, 206(1999), pp. 245–264.

[65] P. Schenzel, W. Vogel, On set–theoretic complete intersections, J. Algebra, 48(1977), 401–408.[66] Th. Schmitt, W. Vogel, Note on set–theoretic intersections of subvarieties of projective space,

Math. Ann., 245(1979), 247–253.[67] R. Stanley, Combinatorics and commutative algebra, 2nd ed., Birkhauser, Boston, 1995.[68] N. Terai, Eisenbud–Goto inequality for Stanley–Reisner rings, in: Geometric and Combinato-

rial Aspects of Commutative Algebra (J. Herzog, G. Restuccia, Eds.), Lecture Notes in Pureand Appl. Math., Dekker, 217(2001), pp. 379–391.

[69] N. Terai, Alexander duality in Stanley–Reisner rings, in: Affine Algebraic Geometry, in honorof Professor Masayoshi Miyanishi on the Occasion of His Retirement from Osaka University(T. Hibi, Eds.), Osaka University Press, (2007), pp. 449–462.

[70] N. Terai, Generalization of Eagon–Reiner theorem and h-vectors of graded rings, Preprint2000.

[71] N. Terai, T. Hibi, Alexander duality theorem and second Betti numbers of Stanley–Reisnerrings, Adv. Math., 124(1996), 332-333.

[72] R.H. Villarreal, Cohen–Macaulay graphs, Manuscripta Math., 66(1990), no. 3, 277–293.[73] R.H. Villarreal, Monomial algebras, Monogr. Textbooks Pure Appl. Math., Dekker, New York,

2001.

19

[74] Z. Yan, On Stale analog of the Goresky–MacPherson formula for subspace arrangements, J.Pure Appl. Algebra, 146(2000), 305–318.