teorie Şi aplicaŢii.doc

8/20/2019 TEORIE ŞI APLICAŢII.doc

1/101

Neculai STANCIU

ELEMENTEDE

TEORIE ŞI APLICAŢIIMATEMATICÃ

GIMNAZIU

&LICEU

Buzãu, !!"


2/101

Ele#e$%e e %e'(ie )i *('+le#e (ez'la%e

Re-e(e$.i )%ii$.i-ici/Prof. gr. I Constantin Apostol, Colegiul Naţional „Alexandru Vlahuţã”, Râni!u "ãratProf. gr. I #heorghe #hiţã, Colegiul Naţional „$ihai %ines!u”, &u'ãu

Reda!tor( Cosin Ciurea)ehnoreda!tare !oputeri'atã( Roxana $ihaela "tan!iu


3/101

Neculai S%a$ciu , Be(ca, Buzãu

PREFAŢÃ00Deic acea1%ã ca(%e c'*iil'( i$%eli2e$.i ca(e, e1c'*e(ã

#a%e#a%ica 1i$2u(i la #a1a l'( e luc(u300Soluţia unei probleme trebuie privitã ca o sursã de metode şi idei care se

vor dovedi utile şi în alte împrejurãri.Dintr-o problemã elevul trebuie sã obţinã şi

sã reţinã cât mai multe informaţii .Pornind de la aceste motive, cartea de faţã se adreseazã elevilor care se

preãtesc pentru concursurile de matematicã.Problemele selectate suntproblemele oriinale ale autorului - în marea lor majoritate publicate ! în cãrţi şireviste de specialitate ca" #$atematicã de vacanţã%%, %%&azeta matematicã%%,%%'evista matematicã din (imişoara%%, %%'evista de informare matematicã din)raşov%%, %%Sã înţeleem matematica%% *)acãu+, %%'ecreaţii matematice *aşi+ etc.

Soluţiile problemelor sunt clare, concise, imediat dupã enunţ.ceastareprezintã de fapt nota de oriinalitate şi factorul de utilitate al cãrţii.$ai spun cãlucrarea este utilã şi prin faptul cã are un caracter complet, unitar, conţinândprobleme din clasele / ! 0.

)erca, 1223 utorul

*


4/101


I3 ISTORICUL NOŢIUNILOR MATEMATICE STUDIATE 4N GIMNAZIU ŞILICEU

aria triunghiului, paralelograului +i trape'ului -oluul prisei, piraidei

+i trun!hiului de piraid ptrate +i triunghiuri e!hilaterale /ns!rise /n !er! 0 papirusurileegiptene +i !ri'ile !aldeene 0 *111 /. e. n. egalitatea +i asenarea triunghiurilor 0 )ales 0 se!. VI /. e. n. teorea !atetei +i /nlţiii, sua unghiurilor unui triunghi, nuere prie,

nuere perfe!te, nuere prietene, edia ariteti!, geoetri! +i aroni! 0 Pitagora 0 se!. VI /. e. n.

teorea !osinusului, teorea lui Pitagora generali'at, raţionaentuldedu!ti-, !onstru!ţii !u !opasul, lunulele lui Ipo!rat 0 Ipo!rat 0 0 se!. IV /. e. n.

etoda exhausti- pentru deonstrarea forulei ariei !er!ului +i a-oluului piraidei 0 %udoxiu se!. IV /. e. n.

hiper2ola +i para2ola 0 $ene!us 0 se!. IV /. e. n.

teorea /prţirii !u rest +i algoritul lui %u!lid pentru aflarea !. . . d.!. a dou nuere /ntregi, fora nuerelor perfe!te, exist o infinitate de nuere prie,* este iraţional priul text !are sa pstrat 3„%leentele”4 0 %u!lid 0 se!. III /. e. n.

!on!urenţa /nlţiilor +i edianelor unui triunghi, axioa de !ontinuitate,deterinarea nurului 5 !u dou 'e!iale exa!te, deterinarea ariei elipsei 35 a 24 prinetode exhausti-e, 6 7 87997 : 3*n ;64 < n* *n 7 6 < 3n 7 64* 0 n* 6* 7 ** 79..7 n* < n: 3n 7 64 : 3*n 7 64 = > 0 Arhiede 0 se!. III /. e. n.

!er!ul lui Apoloniu 0 Apoloniu 0 se!. III /. e. n. pro2lee i'operietri!e 0 ?enodor 0 se!. III /. e. n. !iurul lui %ratostene pentru deterinarea nuerelor prie 0 %ratostene 0

se!. III /. e.n.

siplifi!area fra!ţiilor, rd!ina ptrat +i !u2i!, progresii ariteti!e +igeoetri!e, etoda „fan !en” pentru re'ol-area sisteelor de e!uaţii liniare, re'ol-areae!uaţiei de gradul II 0 „$ateati!a /n nou !rţi” 0 de la !hine'i 0 se!. II /. e.n.

teorea lui $enelau 0 $enelau 0 se!. I forulele s* < p : 3p;a4 : 3p;24 : 3p;!4, p < 3a 7 2 7 !4 = * " < p : r, a : 2 : ! <

@ : R : " 0 eron 0 se!. II 3se!. I4. teoreele lui Ptoleeu +i forulele( sin* 3B = * 4 < 6 !os 3B = *4, !os 3B 7

D4 < !os B :!os D sin B : sin D 0 Ptoleeu 0 se!. II teorea edianei, teorea !elor trei perpendi!ulare, teorea 2ise!toarei

exterioare, 2iraportul, proprietatea !oun a !oni!elor 0 Papus 0 se!. III introdu!erea operaţiilor +i notaţiilor pres!urtate pentru ne!unos!ute 0

Eiofant 0 pre!ursorul alge2rei 0 se!. III nuerele negati-e ar!hea' diferenţa dintre ariteti! +i alge2ra 0 !onsiderate pentru pria data de indieni

teorea !ongruenţelor +i deterinarea lui F !u +ase 'e!iale exa!te 0 de la!hine'i 0 se!. III

alge2ra +i trigonoetria 0 !reate de ara2i regulile de !al!ul !u nuere negati-e 0 de la !hine'i

8


5/101


regula de tre!ere a terenilor dintr;o parte /n alta, pro!edeu nuit al EGa2r,de la !are a -enit si nuele dis!iplinei alge2ra 0 AH ore'i 0 se!. I

1

nC 7 C6

n 79..7C n

n J4 0

6J@J in-entarea logaritilor 0 Neper 36JJ1 0 6>6M4 0 6>6@ teorea lui Eesargues 0 Eesargues 36JK8 0 6>>*4 0 6>8> area teore Lerat 3„ConGe!tura” lui Lerat4(e!uaţia xn 7 n < 'n, n *, n

Q N, nu are soluţie /n ? 0 Pierre Lerat 36>16 0 6>>J4 0 6>8M !rearea geoetriei analiti!e 0 Ren Ees!artes 36JK> 0 6>J14 +i Pierre

Lerat 0 6>8M triunghiul lui Pas!al +i teorea lui Pas!al pentru hexagon 0 &laise Pas!al

36>*8 0 6>>*4 0 6>@1 noţiunea de pro2a2ilitate 0 &laise Pas!al +i Pierre Lerat !reatorul pro2a2ilitţi 0 Sa!o2 &ernoulli 36>J@ 0 6M1J4 !reatorii !al!ulului diferenţial +i integral 0 Isaa! NeTton 36>@* 0 6M*M4 +i

#ottfried Uilhel Hei2ni' 36>@> 0 6M6>4. NeTton a ela2orat etodele sale din 6>>J dar nu le;a pu2li!at. Hei2ni' a pu2li!at des!operirile sale /n anali'a /n 6>MJ.

deonstrarea teoreei i!i a lui Lerat 3p 1, pri, a ?, 3a, p4 < 66> 0 6M184

si2olul \ Sohn Uallis regula li f 3x4 = g 3x4 < li f]3x4 = g] 3x4 3pentru x ^ a4 a fost dat de Sohann

&ernoulli, dar pu2li!at de H] ospital 36>>6 0 6M1@4 /n 6>K> forula lui )alor 0 )alor 36>ZJ 0 6M864 0 6M6* introdu!erea nurului e 0 Eaniel &ernoulli 36M11 0 6MZ*4 teorea lui "teTart 0 6M8J notaţiile F, e, i, f 3x4 !al!ulul lui e !u *8 de 'e!iale exa!te +i !al!ulul lui F

!u 611 de 'e!iale exa!te li 36 7 x = n4n < ex 3pentru n ^ \4 36M@84 lista !oplet aderi-atelor !u deonstrarea a!estora, +i extinderea regulilor lui H]ospital la forelenedeterinate \ = \, 1 : \ +i \ 0\ 36MJJ4 generali'area teoreei i!i a lui Lerat 3n _ *,

@


6/101


n Q N, a Q ?, 3a, n4< 6 KZ 0 6M@>4 0 6M@Z

regula lui Craer0 #a2riel Craer 36M11 0 6MZ*4 0 6MJ1

notaţia a 7 2 i pentru nuere !oplexe +i teorea fundaental a alge2rei 0 Sean E]Ale2ert 36M6M 0 6MZ84 0 se!. VIII F este iraţional 0 einri!h Ha2ert 36M*Z 0 6MMM4 0 6M>M notaţiile f]3x4, f 3n4 3x4,0 Soseph Houis Hagrange 36M8> 0 6Z684 0 0 6MM* introdu!erea si2olului b : c, pentru partea /ntreaga Arien $arie Hegendre

36MJ* 0 6Z884 0 6MKZ introdu!erea nuerelor trans!endente 0 Soseph Hiou-ille 36Z1K 0 0 6ZZ*4 denuirea de deterinant 36Z164 denuirea de nur !oplex +i

repre'entarea /n plan a nuerelor !oplexe 36Z8*4 re'ol-area pro2leei !onstruirii poligoanelor regulate 36Z164 6 7 * 79..7 n < n 3n 7 64 = * notaţia ` 3n4 pentru indi!atorullui %uler inelul ? b i c deonstrarea teoreei fundaentale a alge2rei 0 Carl Lriedri!h

#auss 36MMM 0 6ZJJ4 noţiunile de liit, !on-ergenţ, !on-ergenţa seriilor +i !ontinuitate a+a !usunt pre'entate ast'i regula lui H]ospital pentru 1o, \o +i 6\ denuirile de linii,!oloane, ordine, eleente, diagonala prin!ipal +i se!undar pentru deterinanţi 36Z6J4!reatorul teoriei grupurilor 36Z6J4 0 Augustin Houis Cau!h 36MZK 0 6ZJM4

notaţia X ba f 3x4 dx 0 Soseph Lourier 36M>Z 0 6Z814 0 6Z** notaţia de fun!ţie de ast'i +i notaţiile f 3a 7 14, f 3a 0 14 0 Peter Eiri!hlet

36Z1J 0 6ZJK4 0 6Z*Z denuirea de grup 0 %-ariste #alois 36Z66 0 6Z8*4 0 6Z81 noţiunile de argine inferioar +i superioar ale unei fun!ţii, !on-ergenţ

unifor 0 Ueierstrass 36Z6J 0 6ZKM4 0 6Z@6 spaţiul !u n diensiuni 0 Arthur Cale +i erann #rasann 0 0 6Z@8 studiul alge2relor 36Z@84 +i grupurilor 36ZJ@4 noţiunea de atri!e 0 0

Arthur Cale 36Z*6 0 6ZKJ4 integrala Rieann X ba f 3x4 dx 0 &ernhard Rieann 36Z*8 0 6Z>>4 0 6ZJ@ spaţiu -e!torial, !al!ul -e!torial, !lase, operaţiile de aso!iati-itate,

!outati-itate, distri2uti-itate, sietrie, tran'iti-itate 0 Uillia ailton 36Z1J 06Z>J4 0 6ZJ8

notaţia aiG < det 3aiG4 rone!er 36Z*8 0 6ZK64 0 6ZJ8 noţiunile de inel +i !orp alge2ri! 0 R. Eedeind 36Z86 0 6Z8>4 0 0 6ZM6 teoria ulţiilor 0 #. Cantor 36Z@J 0 6K6Z4 0 6ZM* introdu!erea nuerelor raţionale prin tieturi 0 Eedeind 0 6ZM* trans!endenţa nurului e 0 Charles erite 36Z** 0 6K164 0 6ZM8 denuirea de su2grup 0 "ophus Hie 36Z@* 0 6ZKK4 0 6ZM@ teorea Rou!he 0 %. Rou!he 0 6ZMJ trans!endenta nurului F 0 Lerdinand Hindeann 36ZJ* 0 6K8K4 0 6ZZ* introdu!erea axioati! a nuerelor /ntregi 0 Ea-id il2ert 36Z>* 0 6K@84 0

6K11 re'ol-area pro2leei paralelisului(

J


7/101


; geoetria hiper2oli! 0 Niolai I-ano-i!i Ho2a!e-si 36MK* 0 0 6ZJ>4 0 6Z*K

; geoetria hiper2oli! 0 Sno+ &olai 36Z1* 0 6Z>14 0 6Z86; geoetria elipti! 0 Rieann &enhard 0 36Z*> 0 6Z>>4 0 6ZJ@ ; geoetria neeu!lidi! este geoetria proie!ti- !are las o !uadri! fix 0

Cale Arthur 36Z*6 0 6ZKJ4 0 6ZJK; ori!e grup de transforri generea' o geoetrie 3axio4 0 prograul de la%rlangen 36ZM*4 0 Lelix lein 36Z@K 0 6K*J4

; sisteul axioati! al lui il2ert 0 Ea-id il2ert 36Z>* 0 6K@84 0 „&a'elegeoetriei” 0 6ZKK

Prin profun'iea ideilor +i a odului de expriare, „&a'ele geoetriei” lui il2erta de-enit !artea de teelie a ateati!ilor oderne +i etoda axioati'rii /n sensulil2ert a fost generali'at pentru toate raurile noi ale ateati!ii. )otu+i, pentru u+urarea/nţelegerii geoetriei afine +i eu!lidiene, ast'i se adopt o !onstru!ţie a geoetriei !uaGutorul unei axioati'ri 2a'ate pe alge2ra liniar. A!est fapt este /n !on!ordanţ !us!hi2rile deterinate de noul !urri!ulu, de noul siste de e-aluare +i de noile

anuale.Bi+li'2(a-ie/

6. N. $ihileanu 0 Istoria ateati!ii, -ol. 6, %ditura %n!i!lopedi! Roân,&u!ure+ti, 6KM@.

*. N. $ihileanu 0 Istoria ateati!ii, -ol. *, %ditura tiinţifi! +i %n!i!lopedi!,&u!ure+ti, 6KZ6.

>


8/101


II

{ } { }43aredu!ti2ileste

Lra!tia(re#enerali'a

a.redu!ti2ilestefra!tiasi

*!udi-idesefra!tieinuitorulsilnuaratoru!are'ultaai!iEe

pare.nueresunt43forade Nuerele

("olutie

.re'ultatul'atia.#eneraliredu!ti2ileste43

(fra!tia!aAratati

a,;Va!lasa pentruPro2lea

m ,...,2 ,1 j ,n ,...,2 ,1i , N d ,c , N b ,a

d cd c...d cd cd cd cbaba...babababa

baababba

N d ,c ,b ,a ,

cd d c

abba

j jii

2

mmm

2

m

2

222

2

2

2

111

2

1

2

nnn

2

n

2

222

2

2

2

111

2

1

22

22

22

∈∈∈∈∀

++++++++++++

+=+

∈∀+

+

∗∗

∗

P('+le#a *e$%(u cla1a a 56a

Arãtaţi !ã fra!ţia

par.nuar

un; printr siplifi!ãsenu ) N d ,c , N b ,a( , )ba( ab

d 27 53 cba∈∈

++++ ∗

"oluţie(

par.nuar

un; printr siplifi!ãsenudatãfra!tiade!i parnuãruniar

,sa4a!ifrãultia!al!ulea'a3se

ipar nuaruneste*d8!ausor'ãdeonstrea"e

)ba( ab

7 5 cba

+

+++



par.nuarun; printr siplifi!asenu ) N b ,a( , )ba( ab

12007 2005 ba ∗∈+

++

M


9/101


"oluţie(

par.nuarun; printr siplifi!asenudatafra!tiade!i parnuaruniar

sa4,a!ifraultia!al!ulea'a3se

iparnuaruneste*11J!ausor'adeonstrea"e

)ba( ab

12007 ba

+

++


par.nuarun; printr siplifi!asenufra!tia!are'ultaai!iEe

par.nuarunnuitoruliariparnuarunestelnuaratoru!afaptulo2tine

(!a!ont)inand

(s!riesedataLra!tia

3 parnuarun; printr siplifi!asenu

fra!tia!aArãtati

,impar 7 , par 6 , par )d c( cd , par )ba( ab

.6 )d c( cd

7 )ba( ab

:Solutie

). N m; N n ,d ,c ,b ,a ,6 cd d c

7 abba

nm

m

n

m22

n22

===+=+

++++

∈∀∈∀++++ ∗



par.nuarun; printr siplifi!asenu ) N b ,a( ,

)ba( ab

17 5 ba

∗∈+

++

"oluţie(

par.nuarun; printr siplifi!asenudatafra!tiade!i parnuaruniar

sa4,a!ifraultia!al!ulea'a3se

iparnuarunesteJ!ausor'adeonstrea"e

)ba( ab

17 ba

+

++


"ã se afle x +i nuere naturale astfel /n!ât

Z


10/101


{ }.48,@34,J,*34,3Ee!i8.si@6*;si86.*

Jsi*8*si666.

(ti posi2ilitaeuratoarelA-e

.84*4363da!aae!hiunitar estedatafra!tia

("olutie

a.e!hiunitar fiesa4*4363

8

∈==⇔==−==⇔=−=−

=−−

−−

!

! ! ! !

!

! "ractia


"ã se afle x +i nuere naturale astfel /n!ât

.su2unitarafiesa8

*;*;

! ! "ractia

+

"oluţie(

.*1

*.6

6.

(solutiileo2tine!al!ulele%fe!tuand*.si1,6sunt4643*3 produsuluiale posi2ileValorile4.643*3463*463**A-e

==

∈=

−+−+=−+−=−+−

!

N !

!

! ! ! !

P('+le#a *e$%(u cla1a a 56aArãtaţi !ã fra!ţia

.siplifi!a poatese N4,3n>@

* ∈

++nn

n

"oluţie(

*.!usiplifi!a poatese*.Lra!tia!udi-i'i2ilestede!i4,8*3*s!riesel Nuaratoru par.estee!onse!uti-naturalenueredouaaProdusul4.63s!riese Nuitorul

++

n

nn

P('+le#a *e$%(u cla1a a 56aArãtaţi !ã fra!ţia

.siplifi!a poatese43,661

> ∗∈

−

N nn

"oluţie(

8.!usiplifi!aseori!e pentru8!udi-idesenuitorulde!i,K...KK61...61661!a2ser-a

"ractia

N nn ∗∈=−=−



K


11/101


par.nuarun; printr

siplifi!ãsenu ) N d ,c , N b ,a( , )ba( ab

d 22007 20052003 cba∈∈

++++ ∗

"oluţie(

par.nuarun; printr siplifi!ãsenudatãfra!tiade!i parnuãruniar

,sa4a!ifrãultia!al!ulea'a3seipar nuaruneste*d*118!ausor'ãdeonstrea"e

)ba( ab

2007 2005 cba

+

+++

P('+le#ã *e$%(u cla1a a 56a

.*

si6

!uforadenuerelorsuaaflese"a N a

b N

b

aab ∈

+∈

+

"oluţie({ }

{ }

=⇒=

=⇒=⇒

∈−⇒

∈⇒∈+−

∈−+=−+⇒∈−+⇒−=

+−−∈+≤+≤

3b5a

1b3a

3 ,12a

N 1 N a

22a

N 2a

312a1a N

2a1a

2ab )1(

.1a ,a ,1a ,2ab ,2ba1ab

Pentru

de!isi!ane!esar%ste

61


12/101


{ } [email protected]!erutasuasiAsadar,

6

6

6a2Pentru

a2Pentru

6;a2Pentru

3# ,12 ,11 ,53 ,31ab

#b3a

2b1a

N a

31

a

3a N

a

3a

N 1 N a

a

)#(

1b1a

N a

2a

N a

1a

)3(

a

N a

11

a

1a N

a

1a

N

1a

21

1a

1a N

1a

1a

)2(

∈

=⇒=

=⇒=⇒

∈+=+

⇒∈+

∈⇒∈+

+

⇒+=

=⇒=⇒

∈+

∈+

⇒=

Φ∈⇒

∈+=+

⇒∈+

∈

−

+=

−

+⇒∈

−

+

⇒=


@.,6(estee!uatieisolutiaurareinPr

.8si1undedeM,6;*respe!ti-66;*si1!ajrea'a

M.64;3**si664;3**s!riuaiserelatiidouajltiile

M*;*respe!ti-6,*;* si Re'ulta

.*M,*6,*Lie

("olutie

.*4M4363

(e!uatieialenaturalesolutiileiEeterinat

=======

==

===++

=+=+=

=++

−−

−−

!

t $u

t $u

! ! !

! ! !

ut u$

ut uu$u

ut u$

t $u

P('+le#ã *e$%(u cla1a a 56a,

66


13/101


Re'ol-aţi /n NxN e!uaţia (

. N ! ,12007

2007

2006 !

1 ∗∈−=+

++

da!a

"oluţie(

{ }

este"olutiaPentru

solutiea-enuPentru

undeEe

A-e

Ein

.1 ,2 !

.2 !1

02006 !10

.1 ,0

1 2007

200%1

2007

200%

2007

2007

2007

1

2007

2007

2006 !

1

2007

1

2006 !

12007 2006 !1 !1 ! N !

===⇒=

⇒=+

⇒=

∈

≤⇒+

≤⇒+

=+

++

≤+

++

+≤

+⇒+≥+⇒+≥⇒≥−⇒∈− ∗

P('+le#ã *e$%(u cla1a a 56a"ã se !opare nuerele(

.22327 32007 2006 2007 6021#01210032007 2006 ⋅+⋅⋅+ Z1*@* si

"oluţie(

6*


14/101


.7 322232

.2006 27 3 )2(

17 16

5&

23

17 16

5&

23

;5&17 22006

.2007 2232 )1( 2007 22322007 223232

;22332007

#0121003%02#2007 6021

2006 %02##0121003

2006 2006

2006 2006

2006 10032

2007 2007 60212007 2007 2007 3323

2

⋅⋅+⋅+⇒

⋅⋅⇔

⇔

⋅⋅=

⋅⇔⋅⇔⋅⇔

⋅=⋅

>

<

<

<

<

<

<

<


15/101


.2237 32

.2006 27 3 )2(

17 16

5&

23

17 16

5&

23

;5&17 22006

.2007 2232 )1( 2007 22322007 223232

;22332007

2007 #01210031#0#5

2006 %02##0121003

2006 2006

2006 2006

2006 10032

2007 2007 60212007 2007 2007 3323

2

⋅⋅⋅⋅⇒

⋅⋅⇔

⇔

⋅⋅=

⋅⇔⋅⇔⋅⇔

⋅=⋅

>

<

<

<

<

<

<

<


16/101


"oluţie(

==⇒=+=+

==⇒=+=+

⇒⋅+⋅+⋅+=⇒

⋅⋅⋅=⇒

*@,n86siJ6nsau

@*,nJ6si86n

...643f643643n6Jdi-i'ori6Jau

86J!udi-i'i2ile n

abcd

... p5abcd abcd ' m

{ }.5625 ,2025abcd .20255abcd 56255abcd 2#

∈

=⋅==⋅=

8sau8 (A-e @*


"ã se gãseas!ã nuerele de fora di-i'ori.*Jau!are6J!udi-i'i2ileabcde

"oluţie(

@[email protected] 643643n*Jdi-i'ori*Jau

86J!udi-i'i2ile n

==⇒=+=+⇒⋅+⋅+⋅+=⇒

⋅⋅⋅=⇒

abcd

... p5abcd abcde ' m

{ } .50625abcde506255abcde #

∈

=⋅=

.8 (A-e@


"ã se gãseas!ã nuerele de fora di-i'ori.6Jau!are8J!udi-i'i2ileabcde

"oluţie(

6J


17/101


==⇒=+=+

==⇒=+=+

⇒⋅+⋅+⋅+=⇒

⋅⋅⋅=⇒

*@,n86siJ6n

sau

@*,nJ6si86n

...643f643643n6Jdi-i'ori6Jau

J8J!udi-i'i2ile n

abcd

... p7 abcd abcde ' m

{ }.60025 ,30625abcde.306257 abcde600257 abcde 2#

∈

=⋅==⋅=

JsauJ (A-e@*


"ã se afle nuerele naturale n +i !are -erifi!ã !ondiţiile(

di-i'ori.6*are3i-4di-i'ori6Jaren3iii4663ii4

66Jn3i4'x

'

;2

;

⋅=

⋅=

"oluţie(

6>


18/101


=⋅=⇒

=⋅=⇒

⇒

⇒

==

=

⇒

=+=+

=+

⇒

=+⋅+⇒

=+⋅+⇒

&6%

75625

31 (

*8

*@

66*3ii4din

66Jn3i4din

*'@P

8x

@6x

J6P

6*643'643x3i-4din

6J643'643P3iii4din

P('+le#ã *e$%(u cla1a a 5I6a,

Aflaţi restul /pãrţirii nuãrului Z.la2007 2006 33 +

"oluţie(

( )@.este!erutrestulde!i

8*11>

,#% )1% ( #

)1%( #3#3# )31( 33 1003100322006 2007 2006

+=+⋅==+⋅=⋅=⋅=+=+

P('+le#7 *e$%(u cla1a a 5I6 a,

" se arate ! *8 di-ide *8*8*8 6JJ8 ++ .

"oluţie."e apli! $i!a teore a lui Lerat( .6,, 6 +=⇒≠=∈∀ − p p

aa p prim p * a

kn !a'ul nostru a-e *8*8*8 6JJ8 ++ < ****** 6J6JJJ88 ⋅+⋅+⋅ <=+⋅++⋅++⋅ 4636J463J4638 *8*8*8 *8*8 6JJ8 =+++=

P('+le#ã *e$%(u cla1a a 56a,

6M


19/101


" se deterine ulţiea { }@*1,>',8,= baba ! N ! + +==+=∈= .

"oluţie.364 N baba ! ∈+⋅=+=+= 4*38>8 .Ein @*1 ba + +i 364 re'ult

3*4

∈+

8

66,

8

61,8,

8

Z,

8

M,*,

8

J,

8

@,6,

8

*,

8

6*ba .Ein 364 +i 3*4 a-e

{ }66,61,K,Z,M,>,J,@,8,*,6= + .

P('+le#ã *e$%(u cla1a a 56a,Lie }∗∈+==+=∈= N nbanb na ! N ! + ,@*1,*,,= ." se deterine A +i !ardA.

"oluţie.364 4*3* bannbna ! +=+=+=

−++++++∈+∈ ⇒

n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

nnnba N !

@,...,

*8,

68,

8,...,

**,

6*,

*,...,

*,

6,,...,

8,

*,

6*

463

A-e { }6@,...,8,*,6 −= n + +i !ardA


20/101


3*4 pn !mn pbam ⇔+463

* .Eeoare!e .6,, −−=⇒∈ ∗ mn pncard+ N pnmn !


Lie ! ,, nuere /ntregi nenule +i *** ++ ⋅⋅= pmn ! + ,

***@ pmn ! ⋅⋅= ++ .

" se arate ! A +i & au a!ela+i sen.

"oluţie.A-e 1*@@***

++++++ ⋅⋅=⋅ p pmmnn ! + 3deoare!e mmnn ++ ** , +i p p +* sunt

nuere pare4⇒ A +i & au a!ela+i sen.


Lie nurul *11M*11> *11M*11> +=n .Eeterinaţi restul /prţirii lui n prin J.

"oluţie."e !al!ulea' ultia !ifr a lui n , K43 =nu .A-e ! KJ += n , de unde re'ult! restul /prţirii lui n prin J este @.


" se arate ! nuerele *11M*11> *11M*11> += + +i *11Z*11M *11Z*11M += dau a!ela+irest prin /prţirea lor la J.

"oluţie."e !al!ulea' ultia !ifr a !elor dou nuere +i o2ţine u3A4−=⇒ ! .

6K


21/101


P('+le#ã *e$%(u cla1a a 5I 9a

EC%4.3siCE%43deterinese"a

AC4.dreaptadefatadiferiteseiplaneinsuntsauACdreptei

desi parteodesunt%si3E%siE pun!teleseparaACin!atastfel&CAAE%te!onstruies"e

&C.AEin!atastfel3A&4Esi*1A434,AC3A&A&Cisos!elltriunghiuda"e 1

∠∠

∆≡∆=∈=∠= m

"oluţie(

A

E %

& C

.M1*

@16Z1CE%43EC%43@1*1>1A%E43;A%C43E%C43

isos!el.;E%CC%E%%AC%E%

%AC%ACle!hilatera;AC%>1CA%43siACA%,>1EAC43EA%43CA%43

Z1C&A43EA%43

*1&AC43A%E43

E%AC&AA%

&CAAE%

isos!el;A&C

111

111

11

1

1

=−=∠=∠⇒=−=∠∠=∠

∆⇒=⇒==⇒⇒==⇒∆⇒=∠==∠−∠=∠

=∠=∠

=∠=∠

===

⇒

∆≡∆∆


*1


22/101


.1

1

sEEadi!a,EAAEde!iAE,&C.EarEA&C

N$N$C&C

isos!el;E$N

isos!el;E NA

le!hilatera;C$N

isos!el;&C$

!ao2ser-a"e

*14EAN3!u3A&4ELie

("olutie

N$3!u3AC4 Nsi*1&C$43!u3A&4$Lie

*A43!areinAC43A&A&Cisos!elltriunghiuda"e

′=′==′=⇒

===⇒

′∆

′∆

∆

∆

=′∠∈′

∠∈=∠∈

=∠=

A

E′ ,E

N

$

& C


2ise!;ECECA43EC%43EACE%C3H.H.H4ECECAC,%CAE,%E

ACC%CA%A&C4H.j.H3

A%&C

Z1CA%43A&C43

CAA&

("olutie

AC%. unghiului a 2ise!toare este CE !a arate se "a

.% siC pun!tele separa A&in!atastfel AE% le!hilatera iul triunghte!onstruies "e

&C.AEin!atastfel 3A&4E,*1A43AC4,3A&A&C isos!el ul triunghida "e

1

1

⇒∠=∠⇒∆=∆⇒===

=⇒∆=∆⇒

=

=∠=∠

=

∠

=∈=∠=

*6


23/101


A

%

E

& C

P('+le#ã *e$%(u cla1a a 5I 9a&C.AEsi3A&4E,*1A43!areinAC43A&A&Cisos!elltriunghiuda"e

1 =∈=∠=

.702

#0

#060

,

00

00

=−

=∠

=−=∠∠=∠

∆⇒=∆⇒=∠=∠

====⇒∆≡∆⇒

=

=∠=∠

=

∠

∈

1

1

11

1

6Z1%EC43

611L%E43;L%C43E%C43

isos!el;E%C%C%Ele!hilatera;LE%>1EL%43*1ALE43

L%A&ACLELAA&CLAE

&CAE

Z1A&C43LAE43

LAA&

("olutie

%EC4.3deterinese"a

C.si% pun!teleseparaA&si&C%AC%L,ro2ulte!onstruies"e

L A

E

**


24/101


% & C


&C.AEsi3A&4E,*1A43!areinAC43A&A&Cisos!elltriunghiuda"e1 =∈=∠=

.

,

1

1

1

61%EC43 !on!lu'ie,In

isos!el.;E%C adi!a%C,E%Re'ulta

%&4.3E%isos!el;&E% adi!a*1&E%43Asadar

%L.AE si %L!u paralelaAE Eeoare!e

%C4.3%Lisos!eltriunghi;%LC

*1LC%43%LC43A&.Ein!u paralela %Lin!atastfel3AC4,L Lie("olutie

%EC4.3 deterine se "a

%.siA pun!tele separanu&Cin!atastfelle!hilatera triunghi&C%te!onstruies"e

=∠

∆==∆=∠

=

=∆⇒⇒=∠=∠∈

∠

A

E L

%

& C


*8


25/101


isos!el.;&E%&%%E&C%&%Cdinsi%C%E

isos!el;%EC61%CE43%EC4361EC%43EA%43

&AC4 2ise!t.;A%&C,A%61%AC43%EC43

isos!eltrape';AC%E*1%CA43EAC43

%CAE%C&C&C,AE("olutie

isos!el.este &E%ltriunghiu!aarate se"a

l.e!hilatera;&C%in!atastfel Int3A&C4%Lie

&C.AE3A&4,E*1A43AC4,3A& A&Cisos!elltriunghiuda"e

11

1

1

1

∆⇒=⇒===⇒⇒∆⇒=∠=∠=∠=∠

∠⊥=∠=∠⇒

⇒⇒

=∠=∠

=⇒==

∆∈=∈=∠=

,

(

,

A

E

%

& C

P('+le#ã cla1a a 5I6a

N.nlairedu!ti2ieste>6M6*n

JMn

fra!tia!aAratati

*

∈∀++

+n

"oluţie(

[ ] 66=4JM3@48@3M=48@3M=48@=3

4JM3@=4JM=384J,@n3Mnd

4*8438@3JM

>6M6*nJMn A-e

4.*8438@348@3*48@38>ZK6*>6M6*n

(fra!tieinuitorulEes!opune

*

**

=⇒⇒+−+⇒

⇒

+⇒+

+⇒+⇒++=

++

+=++

+

++=+++=+++=++

d d nnd

nd nd

nd nd -ie

nnn

n

nnnnnnnnn

*@


26/101


[ ]

la.iredu!ti2ieste3*4si364Ein6.*4J,8n3Mn4*3

66=4*83M4JM38=

*4d=M38n*4d=38nJ4d=83MnJ4d=3Mn

d*4J,8n3MnLie

684J,@n3Mn463

"ractia

d d nnd

⇒=++⇒

⇒=⇒⇒+−+⇒

⇒

+⇒++⇒+

⇒=++

=++⇒

P('+le#ã cla1a a 5I6aArãtaţi !ã fra!ţia(

N.nlairedu!ti2i6*6M>

MJ*

∈∀++

+

ete

nn

n

"oluţie(

[ ]

[ ]

la.iredu!ti2iestefra!tia3*4si364Ein6.@4M,8n3Jn4*3

66=4@83J4MJ38=@4d=J38n@4d=38n

M4d=83JnM4d=3Jn

d@4M,8n3JnEa!a

6.@4M,8n3Jn46366=4MJ3*48*3J=

48*3J=48*=34MJ3*=4MJ=3

d84M,*n3Jn

4@8438*3MJ

6*6M>nMJn

4@8438*34@8384@83*6*ZK>6*6M>

*

**

⇒=++⇒

⇒=⇒⇒+−+⇒

+⇒+

+⇒+

⇒=++

=++⇒⇒=⇒⇒+−+⇒

⇒

+⇒++⇒+

⇒=++

+++

=++

+++=+++=+++=++

d d nnd

d d nnd

nd nd

nd nd daca

nn

n

n +$em

nnnnnnnnnn

P('+le#ã *e$%(u cla1a a 5II6a )i a 5III6a,

"ã se re'ol-e /n NxN e!uaţia(

M

*11M*11>*11J*11@*118*11**116 2a

********* ++++++=+

"oluţie(

*J


27/101


"e o2ser-ã !ã( *116


28/101


"oluţie(

81 >1

A & C

.846*

3*

8

*43(=

*

8

*

6

*

sinK1AC

*

sin>1C&

*

sin81&AAria3AC4Aria3&C4Aria3A&4(

111

=−⋅⇒=+⇒⋅⋅=⋅⋅+⋅⋅⇒

⋅⋅=

⋅⋅+

⋅⋅⇒=+

/C //+

/

/+

/C

/+/C //C /+/C ///+

+$em

P('+le#ã *e$%(u cla1a a 5II6a

isos!el.esteAN$da!anuaisida!aEA&CCEA& !aaratese"a

AE$43&CA4,3$AE43CAE4,3A&N43ECA4,3&AN43

(in!atasa %xt3A&CE4 N$, pun!tele si A&CE!on-ex patrulater un

∆⋅=⋅=∠∠=∠∠=∠∠=∠

∈Conideram

"oluţie(

EA.&CCEA&3*4si364dinA$ANisos!eleste A$N("ufi!ienta

isos!el.este A$NA$AN3*4si364dinEA&CCEA&(a Ne!esitate

4*3

CA

AE

CA&AE$&AC43AE$43si&CA43$AE43

463

CA

A&CAEA&NCAE43A&N43siECA43&AN43

⋅=⋅⇒=⇒∆∆⇒=⇒⋅=⋅

⋅=⇒

⇒=⇒∆≈∆⇒∠=∠∠=∠

⋅=⇒

⇒=⇒∆≈∆⇒∠=∠∠=∠

+C

+ C +

C

+

in

+C

C + +N

C

N+ in


R.si 2a,defun!tieinAC!al!ule'esesa 2&Csia,A&.K14343in!atastfel4,3,,, 1

===∠=∠∈

aca

Cm +m /C C + -ie

"oluţie(

*M


29/101


−⋅=⋅=∠=∠=

−⋅=⋅=∠=∠=

⇒

+=⇒=

∠=∠

∠=∠

⇒=

=

⇒

1

a 1b

,0

+0 ,C ,0+ ,C ,C) ,C )C

1

b 1a

,0

0C +, ,0C +, ,+) +, +)

din

)C +) +C , ) -ie

patrulater +,C0

1 ,0

ipote(adin

+C

*

@!os!os

*

@!os!os

483364

4*3Pr

&EA&CA

&EC&AC

ilins!ripti2

*

463

**

**

4@@3*6

384si3*4 **** a bb a

+C in −+−=⇒


isos!el.esteAE%!aaratese"ã&%.ACC%A&si

%CE43&CA43C%E4,3A&C43!areinA&CE%!on-ex poligonul!onsiderã

∆⋅=⋅∠=∠∠=∠Se

"oluţie(

isos!el.este

6%EAE

384si3*4

483463

4343

4*3E%A&

364

E%CA&Ca-e%CE43&CA43siC%E43A&C43

+ +

C +

+C

C +

C

C

+C in

C

+C +

+

C

C

+C

C +C C

C

C

+C

C

+Cm C m

C

C +

C

C+

C

C

in

∆⇒=⇒

⇒=⋅⋅

=⋅

⋅⋅

=⇒

⋅=⇒==⇒∆≈∆⇒

=⇒

∠=∠

⋅=⇒==⇒

⇒∆≈∆∠=∠∠=∠

*Z


30/101


P('+le#ã *e$%(u cla1a a 5II6a,

"e !onsider triunghiul isos!el A&C !u 16J143 =∠ +C m +i $ iGlo!ul lui A&." se

arate ! aria triunghiului A&C este egal !u aria ptratului A$Pm.

"oluţie.Ein datele pro2leei re'ult ! 16J4343 =∠=∠ +Cm +C m .Ea! A$


31/101


364 Aria3A&CE4


32/101


4433 acbacb −+++ tre2uie s fie di-i'i2il !u *, adi! unul din fa!torii 43 acb ++ , sau43 acb −+ tre2uie s fie par .Lie un nur natural (

364 " presupune ! ' acb *=++ 43* a' acb −=−+⇒ , +i prin urare din 43∗ ⇒

par a' ' bc =−= 43*

∈=++

=

∈−==

⇒ N '

cba p

N a' ' bc

S

*

43

* ,

3*4 " presupune ! 43** a' acb' acb +=++⇒=−+ , +i prin urare din

⇒∗43

∈+=++

=

∈+==⇒=+=

N a' cba

p

N a' ' bc

S

par a' ' bc

*

43*

43*

Ein 364 +i 3*4 re'ult ! /n a2ele !a'uri aria +i seiperietrul sunt nuere naturale.

P('+le#8 *e$%(u cla1a a 5II6 a,

Consider patrulaterul !on-ex A&CE +i { } C +/ ∩= .Prin pun!tele A, &, C, E +i du!e 666 00CC // , *6* 00 ++// , 6*8 ++// , **@ CC // , unde

,6 C/ ∈ +/ ∈* , +/ ∈8 , C/ ∈@ /C + ∈66, /C + ∈** , /+ ∈*6,

/C ∈6* , ." se arate !(

6@

@

*

*

*

*

8

8

6

6

*

*

*

*

*

*

6

6

6

6

6

6

6

6 =⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅C /

/

C

/

/C

C

/

+/

+

/

/ +

+

/

+/

+

/

/ +

+

/

C /

C

/

/C

C .

"oluţie. Pentru re'ol-area pro2leei se apli! urtoarea( Le#7 3)eorea lui Ce-a !u pun!t ipropriu4 3Ea! prin -ârfurile triunghiului A&Cdu!e 111 CC ++ , unde +C C+ C + ∈∈∈ 111 ,, , atun!i a-e 43∗

61

1

1

1

1

1 =⋅⋅ +

C

C +

+

C

+C .

Eeonstraţie.A-e C C ++ 11 ∆≈∆ ⇒ 36411

1

+ C

+ C = +i 4*311 ⇒∆≈∆ ++CC

C

C+

C

+C 1

1

1 = . "e o2ser- ! relaţiile 364 +i 3*4 se pot o2ţine ai u+or utili'ând teorea

lui )hales /n triunghiurile 1 C +i 1 CC !u paralela 1 ++ .Prin /nulţirea relaţiilor 364 +i 3*4 se o2ţine relaţia de deonstrat.Pentru re'ol-area pro2leei propuse se apli!a a!east He

86


33/101


/C ∆ 3!u 666 00CC // 4, /+∆ 3!u *6* 00 ++// 4, /+∆ 3!u6*8 ++// 4 +i /C ∆ 3!u **@ CC // 4.Re'ult relaţiile(

66

6

6

6

6

6 =⋅⋅ /

C /

C

/

/C

C , 6

*

*

*

*

6

6 =⋅⋅ /

+/

+

/

/ +

+, 6

8

8

6

6

*

* =⋅⋅ /

+/

+

/

/ +

+ +i

6@

@

*

*

*

* =⋅⋅ C / /

C

/

/C

C

!are, prin /nulţire deonstrea' relaţia din pro2le.

P('+le#ã *e$%(u cla1a a 5III6a

"ã se re'ol-e /n R 8 e!uaţia (

.unde 0m ,0m ) ( ) ! ( ) ( ) ! ( ) !( ) !( 333333 ≥=+−−+−−+−−

"oluţie(

1. 2ada!ãlo!are%galitatea

.e-identãeste!are

a-esinotã Ea!ã

Nota

==≥++−+=

≥≥+=−−=−=≤≤−−+−−+−−=

,0b )ba( ba )ba( a ) , , !(

.0b ,0a ,ba ! b , ! a , !

. ) ( ) ! ( ) ( ) ! ( ) !( ) !( ) , , !(

333333

333333

. !0m

nuecuatia0m

==⇒=⇒

Ea!a

solutii.areEa!a >


"ã se re'ol-e /n R * e!uaţia (

0 ) ( )1 ( ) ( )1 ( ) 1( ) 1( 333333 =−−+−−+−− .

"oluţie(


.e-identãeste!are

a-esinotã Ea!ã

Nota

==

≥++−+=

≥≥+=−−=−=≤≤−−+−−+−−=

,0b )ba( ba )ba( a ) , , !(

.0b ,0a ,ba ! b , ! a , !

. ) ( ) ! ( ) ( ) ! ( ) !( ) !( ) , , !(

333333

333333

.1 !. !0 ) , , !( =====⇔= solutiaa-esi6nostru!a'ulIn


"ã se re'ol-e /n R * e!uaţia (.0 ) ( )2007 ( ) ( )2007 ( ) 2007 ( ) 2007 (

333333 =−−+−−+−− ."oluţie(

8*


34/101



.e-identãeste!are

a-esinotã Ea!ã

Nota

==

≥++−+=

≥≥+=−−=−=≤≤−−+−−+−−=

,0b )ba( ba )ba( a ) , , !(

.0b ,0a ,ba ! b , ! a , !

. ) ( ) ! ( ) ( ) ! ( ) !( ) !( ) , , !(

333333

333333

.2007 !. !0 ) , , !( =====⇔= solutiaa-esi*11Mnostru!a'ulIn


.C&AA&C!orpului-oluul',x,!, 2,a,defun!tiein!al!ule'ese.>144C&A33A&C4,3si'AC,C&x,&A!CC 2,&&a,AA

in!atastfelCC si&&,AAlarele perpendi!uridi!aseA&Cluitriunghiu planul1

′′′=′′′∠=′′=′′=′′=′=′=′

′′′

Sa

4e

"oluţie(

=′′′

′=′= =′′′ ′∈′ ==

p3p4C&AVol3A&C

(este!erutVoluul

N.*"!os>1"" 343 ,Aa.i planul!u Ari" 3A&C4, 1

0ar +5ol C , + +,C 5ol -ie

α α α

P('+le#ã *e$%(u cla1a a 5III6a, a :6a

i4C&AVol3A&C!al!ule'ese"a

.!CC!,CC',AC

C3CC4,&3&&4,A3AA

p4,C&A3 planuldeteinterse!ta

ene!oplanar dreptele!onsidera

′′′

′=′′′=′′=′′′′

∈′′′∈′′′∈′′

′′′′′′

Se

"olutie(

=′′′

′′′′′′ =′′′′′′ ′∈ =′′′′′′=

4C&AVol3A&C

(este!erutVoluulAC&AVol3log 43 Aa.i planul!u " 4,C&A3

5o

+na 5o +,C C , +5ol -ie

α α α

P('+le#ã *e$%(u cla1a a 5III6a, a :6a

{ }

4.C&A-ol3-ol3A&C4!aaratese"a

.C&AC&Ain!atastfel3CC3&,&3A,Asi

!C 2,&a,A pun!tele.! 2ain!atastfelspatiudin,,dreptele

′′′=

′⋅′⋅′=⋅⋅∈′∈′∈′∈∈∈=∩∩ Conideramcba -ie

"oluţie(

4C&AVol3

Vol3A&C4

C

Vol3A&C4A-e

e proie!tiil,AA& !C&AsiA&C

11

11

0eci

C C /C 0in

+ -ie

=′′′

′∆≈∆

=

′ ′′′

P('+le#ã *e$%(u cla1a a 5III6a 1au a I:6a,

"ã se re'ol-e /n ?8 sisteul (

88


35/101


=−−−

=−−−+

1

16*

*

! ! !

! ! !

"oluţie(

{ }

(su!!esi-o2tinesee!uatie pria

.>8.4@

>*.48

11.4*

16.46

.6,1,*,8;xRe

.*6;sau x66;xadi!a6=*,;xRe'ulta

?.6;x

**x'forasu2' pes!rie

,6

x64;'3xs!riesee!uatiedoua

*

*

in

! pt

! pt

! pt

! pt

ulta

apoi

!

! ! ! +

=⇒=

=⇒=

=⇒=

=⇒−=

∈

±=±=

∈++=

−+=⇔+=

( ) ( ) ( ) ( ) ( ){ }>,6,*,1,6,1,1,*,6,1,1,6',x,(solutiilede!iA-e

?.si1@*88.4

*

8;sau618**!4pt.x

;6si16;;1 24pt.x

;*sauosi1*;;6x.4

*

*

*

−−−−∈

∉=−+⇒=

∉===−+⇒=

==⇒====−⇒=

! pt d

* i

pt a


Eeonstraţi inegalitatea (

. , , ! ,0 ) ( ) ! ( ) ( ) ! ( ) !( ) !( 333333 ∈∀≥−−+−−+−−

"oluţie(

.e-identãeste!arede-ineeaInegalitat

a-esinotã Ea!ã

,0b )ba( ba )ba( a

.0b ,0a ,ba ! b , ! a , !

333333 ≥++−+

≥≥+=−−=−=≤≤

%galitatea are lo! da!ã a


36/101


*,1*11>

6

*11J

6...

M

6

>

6

J

6

@

6


37/101


kn !a'ul nostru a-e6**6**6**

6JJ8 +++ ++ pmn < pmn ****** 6J6JJJ88 ⋅+⋅+⋅ <

=+⋅++⋅++⋅= pmn 4636J463J4638 *8*8*8=+⋅++⋅++⋅= 4636J463J4638 *8*8*8 *8*8 6JJ8 =+++= .

P('+le#ã *e$%(u cla1a a I:6a

"ã se re'ol-e /n R 8 e!uaţia (

.unde 0m ,0m ) ( ) ! ( ) ( ) ! ( ) !( ) !( 2007 2007 2007 2007 2007 2007 ≥=+−−+−−+−−

"oluţie(


.e-identãeste!are

a-esinotã Ea!ã Nota

==≥++−+=

≥≥+=−−=−=≤≤ −−+−−+−−=

,0b )ba( ba )ba( a ) , , !(

.0b ,0a ,ba ! b , ! a , !. ) ( ) ! ( ) ( ) ! ( ) !( ) !( ) , , !(

2007 2007 2007 2007 2007 2007

2007 2007 2007 2007 2007 2007

. !0m

nuecuatia0m

==⇒=⇒

Ea!a

solutii.areEa!a >


"ã se re'ol-e /n R * e!uaţia (.0 ) ( )1 ( ) ( )1 ( ) 1( ) 1(

2007 2007 2007 2007 2007 2007 =−−+−−+−−

"oluţie(

.e-identãeste!are

a-esinotã Ea!ã

Nota

,0b )ba( ba )ba( a ) , , !(

.0b ,0a ,ba ! b , ! a , !

. ) ( ) ! ( ) ( ) ! ( ) !( ) !( ) , , !(

2007 2007 2007 2007 2007 2007

2007 2007 2007 2007 2007 2007

≥++−+=

≥≥+=−−=−=≤≤−−+−−+−−=

.1 !. !0 ) , , !( =====⇔= solutiaa-esi6nostru!a'ulIn


"ã se re'ol-e /n R * e!uaţia (.0 ) ( )2006 ( ) ( )2006 ( ) 2006 ( ) 2006 (

2007 2007 2007 2007 2007 2007 =−−+−−+−−

"oluţie(

8>


38/101



.e-identãeste!are

a-esinotã Ea!ã

Nota

==≥++−+=

≥≥+=−−=−=≤≤−−+−−+−−=

,0b )ba( ba )ba( a ) , , !(

.0b ,0a ,ba ! b , ! a , !

. ) ( ) ! ( ) ( ) ! ( ) !( ) !( ) , , !(

2007 2007 2007 2007 2007 2007

2007 2007 2007 2007 2007 2007

.2006 !. !0 ) , , !( =====⇔= solutiaa-esi*11>nostru!a'ulIn

P('+le#7 *e$%(u cla1a a I:6a,

" se re'ol-e /n N e!uaţia a ! ! nm += , da! N anm ∈,, +i a ipar .

"oluţie.%ste ne!esar !a nm .Ein a ! ! nm =− a-e a ! ! nmn =−− 463 , apoia ! ! ! ! nmnmn =+++− −−−− 46...4363 *6 ⇔ a ! ! ! ! ! nmnmn =+++−⋅⋅ −−−−− 46...4363 *66 .

Eeoare!e 463 −⋅ ! ! este un nur par +i a este un nur ipar re'ult ! e!uaţia nu aresoluţii.


.&&!al!ule'ese"a

.n1,i$, pr & pun!teleConsidera

. n6,i4,,6Z113i4AA3d,$4d3,

in!atastfelA...,,A,A,A$,, pun!teleeu!lidian planulin

6;n

1i 6ii

Ai

11i6;i

n*61

i

∑= +

==

=∈=∠= α

-ie

S'lu.ie/A-e doua situatii(

);/+ +( nt )1 1ii +∠∈ 434* 6+∠∈ ii /+ + !t

.. )1i in( d

d / 2 )1i in(

/1%0 ) ) eoarece

1ii

1ii1i

1ii

0

+=⇒

⇒===+

⇒=

⇒=+∠

+

++

++

i

6ii

&iurilein triunghrsinusuriloead.Ein teor $diaetrude!er!ul

inilins!ripti2 patrulater este3&&3

8M


39/101


2

)1n( in

2 in

2

n in

d obtinem

2

)1n(

in

2 in

2

n in

n in...3 in2 in8inand

).n in...3 in2 in(ind )1i in( d +$em

1ii

1n

0i

1ii

+⋅⋅=

+

⋅=++++

++++=+=

∑

∑ ∑

=+

=

−

=+

6;n

1i

6;n

1i

sin!unos!utaegalitateade!ont

P('+le#ã *e$%(u cla1a a I:6a, a :6a

"e !onsiderã /n planul eu!lidian pun!tele( A36,14,&3;6,*4 +i C3*,;64."ã se s!rie (

.4

4

44

4

8

*

π −

−

+

C

C

C

rotatieiecuatiilee

S a!iale imetrieiecuatiiled

S centrale imetrieiecuatiilec

omotetieiecuatiileb

t itranlatieecuatiilea

"oluţie (

⋅

+=′−=′

⇒−

+=′+=′

88

(4348,83C&

(43tsunt4,3--e!tordeeitranslati4-

! !t eoarece

b

a ! !baecuatiilea

C

+−=′−−=′

−+=′−+=′

>*8*

(43ha-enostru!a'ul

463463

(43hdedatesuntootetiei4

*;&

&

! !

n

' '

!' '! !ecuatiileb

−−=′−=′

−=′−=′

! ! ulta

! ! !ecuatiilec

C

C

*@

(43"Re

*

*(43"dedatesunt!entralesietriei4

C

C

8Z


40/101


+−=′+−=′

⇒=+

+

−

+

−+

+

=′

+−

+−

+−

=′

=++

66

(43"16;xe!uatiaare3&C4

*

a

*a2;

** 2x

e!uatiilededataeste3d4dreapta!uraportin

axialasietriaatun!i1! 2axe!uatiede3d4dreptaoa-e4

&C

****

**

**

******

**

!

! reapta

ba

bc

ba

ba !

b

ba

ac

ba

ab !

ba

a

dacad

++−=′

++=′

=′

=′

−=′

+=′

′++=′

′+−=′

*

8

**

8

*

6

*

8

*(43Re!uatiilere'ultaundede

*

8

*

6

a-enostru!a'ul

sin4*

3

sin4

*

3

!ossin

sin!os4R3dedatesuntrotatiei4

8;

A

1

1

1

1

1

1

A

!

! !

!

6n

!t9

t9 ! !

unde

!

! ! !ecuatiilee

+ +

+ +

π

θ

θ θ

θ θ

θ θ

θ θ

P('+le#ã *e$%(u cla1a a I:6a, a :6a"e !onsiderã /n planul eu!lidian pun!tele( A36,14,&3;6,*4 +i C3*,;64."ã se !al!ule'e !entrul de greutate al triunghiului E%L,unde

8K


41/101


⋅=== − 434,34,3 * S - C +t C C

4!entrude"raportsi!entrude--e!torde3 o imetriaomotetiatranlatiat '

o$

===

"oluţie (

48,*3438

8(4348,83C&

(43tsunt4,3--e!tordeeitranslati4-

−=⇒⋅

+=′

−=′⇒−

+=′

+=′

+t

! !t eoarece

b

a ! !baecuatiilea

CC

4Z,M343>*8*(43ha-enostru!a'ul

463

463(43hdedatesuntootetiei4

**;&

&

−=⇒ +−=′ −−=′

−+=′

−+=′

− 2 C 3 ! ! 6n

' '

!' '! !ecuatiileb

,

,

,

4@,J343*

@(43"Re

*

*(43"dedatesunt!entralesietriei4

C

C

−=⇒

−−=′

−=′

−=′

−=′

- S

! ! ulta

! ! !ecuatiilec

C

C

C

Ein a4,24,!4 re'ultã !oordonatele !entrului de greutate sunt

@1


42/101


48M

,8@

348

@Z8,

8JM*

3 −

⇒−++−−

P('+le#ã cla1a a I:6a

"ã se arate !ã(

spatiu.din pun!tesunt$siC&,A,unde,64

14

***

=⋅

+⋅

+⋅

=⋅

+⋅

+⋅

C +C

C

C +

C+ +

+b

C +C

C

C +

C+ +

+a

"oluţie(

[ ]

[ ]

.6443433

434343

443*3443*3443*3434343

6

4343

43

4343

43

4343

43

ACA&&A4

1434343

6

434343434343AC

$C

A&

$&

&A

$Aa4

.defata$siC&,A, pun!telorai po'itiede-e!toriixsi,,

!unotasispatiudinoare!are pun!tun

***

******

***

***

=−−−

−+−+−=

=−⋅⋅−++−⋅⋅−++−⋅⋅−+−⋅−⋅−

=−⋅−

−+

−⋅−−

+−⋅−

−=

=⋅

+⋅

+⋅

=⋅+⋅−⋅−⋅+⋅+⋅−⋅−⋅+⋅+⋅−⋅−⋅−⋅−⋅−

=

=−⋅−

−+−⋅−

−+−⋅−

−=⋅

+⋅

+⋅

accbba

abccabbca

ab !c !cca !b !bbc !a !aaccbbabcac

!c

cbab

!b

caba

!a

C

C

C

C+

+b

!aca !bcb !ccb !aba !bba !ccaaccbba

bcac

!c

cbab

!b

caba

!a

C CC+

cba

Conideram

3 A utili'at forula !unos!utã(

443433434343 *** accbbaabccabbca −−−=−+−+− 4.

P('+le#a cla1a a I:6a

"ã se afle lo!ul geoetri! al pun!telor $ din spaţiu !are -erifi!ã relaţia(

spatiu.dinC&,A,,1***

∀=

⋅

⋅+

⋅

⋅+

⋅

⋅

C +C

C C

+C

C+ +

+ +

"oluţie(

@6


43/101


[ ] }

[ ]

A&C.luitriunghiualgreutatede!entrul#,$.8A3J4"ti

8Aipote'a

,8844343384434343344343a3

63@4%384si3*4364,Ein

alge2ra.lade!unos!ute4,43433434343a384

si44343433434343a3*4(relatiile

4343438434343

44343a3

6364%

(a-ertereniloredu!ereasinuitora!elasilaadu!erea

4433

43

4433

43

4433

43%

$.siC&,A, pun!telorai po'itiede

xsi,,asispatiudinoare!are pun!tun

***

888

***888

888***

≡=++

=++⇒

−++=−++=−−−−−−−++⋅−−−

=⇒

−−−=−+−+−

−−−++=−+−+−

−+−+−−−

+−+−

−−−

=

−−−

+−−

−+

−−−

=⋅⋅

+⋅⋅

+⋅⋅

=

eci/:/C /

/ /C / in

/ /C //+ !cbaaccbba !accbbacbaaccbb

accbbaabccabbc

accbbacbaabccabbc +$em

abccabbca !abccabbca

accbb

upa

bcbc

!c

cbab

!b

caba

!a

C +C

C C

+C

C+ +

+ +

$ectorii

cbConideram

P('+le#ã *e$%(u cla1a a I:6a, a :6a"e !onsiderã /n planul eu!lidian pun!tele( A36,14,&3;6,*4 +i C3*,;64."ã se arate !ã iGlo!ul segentului E% se aflã pe pria 2ise!toare, unde

43si438

+S C + ==

−π

.d4axadeaxialaunghidesi!entrude3 imetriaS rotatia d o == θ

θ

"oluţie (

41,63436

6(43"16;Pxe!uatiaare3&C4

*

a

*a2;P

** 2x


axialasietriaatun!i1! 2Paxe!uatiede3d4dreptaoa-e4

&C

****

**

**

******

**

2 +S !

! 0reapta

ba

bc

ba

ba !

b

ba

ac

ba

ab !

ba

a

dacaa

,C =⇒

+−=′

+−=′⇒=+

+−

+

−+

+=′

+

−

+

−

+

−=′

=++

@*


44/101


468,8343

*

8

**

8

*

6

*

8


*

8P

*

6

a-enostru!a'ul

sin4*

3

sin4*

3

!ossin


88;

A

1

1

1

1

1

1

A

+=⇒

++−=′

++=′

=′

=′

−=′

+=′

′++=′

′+−=′

−

0 , 1 !

! !

!

6n

!t9

t9 ! !

unde

!

! ! !ecuatiileb

+

+ +

+ +

π π

θ

θ θ

θ θ

θ θ

θ θ

Ein a4 +i 24 a-e

4*

68,

*68

3 ++

P('+le#ã *e$%(u cla1a a I:6a, a :6a"e !onsiderã /n planul eu!lidian pun!tele( A36,14,&3;6,*4 +i C3*,;64."ã se arate !ã iGlo!ul segentului E% se aflã pe pria 2ise!toare, unde

43si438 +S C + == −

π

.d4axadeaxialaunghidesi!entrude3 imetriaS rotatia

d o

== θ θ

"oluţie (

@8


45/101


41,63436

6(43"16;Pxe!uatiaare3&C4

*

a

*a2;P

** 2x


axialasietriaatun!i1! 2Paxe!uatiede3d4dreptaoa-e4

&C

****

**

**

******

**

2 +S !

! 0reapta

ba

bc

ba

ba !

b

ba

ac

ba

ab !

ba

a

dacaa

,C =⇒

+−=′

+−=′⇒=+

+−

+

−+

+=′

+

−

+

−

+

−=′

=++

468,8343

*

8

**

8

*

6

*

8


*

8P

*

6

a-enostru!a'ul

sin4

*

3

sin4*

3

!ossin


88;

A

1

1

1

1

1

1

A

+=⇒

++−=′

++=′

=′

=′

−=′

+=′

′++=′′+−=′

− 0 , 1

!

!

!

!

6n

!t9

t9 ! !

unde

!

! ! !ecuatiileb

+

+ +

+ +

π π

θ

θ θ

θ θ

θ θ

θ θ

Ein a4 +i 24 a-e

@@


46/101


4*

68,

*68

3 ++

P('+le#ã cla1a a :6a

"ã se afle rãdã!inile polinoului[ ] !.ad 2da!a,*8 +=+∈+++= ∗ d c b a "

"oluţie(

( )

( ) ( ).61464364363

14643631661616

6(=

8*68*6

68*8*8*8*8*8*6

8*6688**68*68*6

−===⇒=+++⇒

⇒=++++⇒=+++++++⇒ ⇒=+++++++⇒=+++⇒

⇒−=−+−⇒−=−+⇒+=+

! ! ! ! ! !

! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! !S S S

a

d

a

c

a

baacd bcad b

P('+le#ã cla1a a :6a

[ ]alteia.opusul!uegalarada!inaoareda!anuaisida!a!aaratese"a

.Lie *8

" ad bc

d c b a "

=∈+++= ∗

"oluţie(

.

1443314434331

8*6

8*6688**68*6

688**6*6*6

ad bca

d

a

c

a

bS S S

! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! !

! ! ! ! ! ! ! ! ! !

=⇔−=⋅−⇔=⇔

⇔=−++++⇔⇔=+++⇔=+⇔−=

P('+le#ã *e$%(u cla1a a :6a"ã se arate !ã /n ori!e triunghi A&C, are lo! inegalitatea(

] [ ).,61,3,88

sinsinsin∞∪−∞∈∀

≥

++n

pC + nnnn

"oluţie(

@J


47/101


( ] [ )

enunt.dineainegalitato2tine

sinsinsinaidentitatedeseaatinandsi

48

sinsinsin

38

sinsinsin

re'ulta,sin,sin,sinPunand

.,6.1;nsi1,...,,unde

,4...

3...

!unos!utaeainegalitatLolosi

8*6

*6

*6*6

pC +

C +C +

C ! ! + !

! ! !

m

! ! !

m

! ! !

nnnn

m

nm

n

m

nn

=++

++≥

++

===

∞∪∞∈

+++≥

+++

>

P('+le#ã *e$%(u cla1a a :6a"ã se arate !ã /n ori!e triunghi A&C, are lo! inegalitatea(

] [ ).,61,3,*

!os*

!os*

!os8@

8sinsinsin

∞∪−∞∈∀

≥

++n

c +C + nnnnnnn

"oluţie(

( ] [ )

enunt.dineainegalitato2tine

*

!os*

!os*

!os@sinsinsinaidentitatedeseaatinandsi

48

sinsinsin3

8

sinsinsin

re'ulta,sin,sin,sinPunand

.,6.1;nsi1,...,,unde

,4...

3...

!unos!utaeainegalitatLolosi

8*6

*6

*6*6

c +C +

C +C +

C ! ! + !

! ! !

m

! ! !

m

! ! !

nnnn

m

nm

n

m

nn

=++

++≥

++

===∞∪∞∈

+++≥

+++

>

P('+le#ã cla1a a :I6a

[ ] .R ,iarintrega parteaeste.

ax

(!al!ule'ese"a

1.e*dx si1 2*ax,1dx,1ax(e!uatiile pentrusolutie,xLie

*

*

xx

**

1

li1

∗

→

∈

++++

=+=+=++=++∈

unde

" e!d!

'

m

cb!

" e!cb!

"oluţie(

@>


48/101


( )

( )

⋅=++

⋅=++++

⋅=

→++

++ ++⋅≤

++++++−++ ++⋅

++

++≤

++−

++

→→ md

a'

ed!

ba!

m

'

" e!d!

cb!a!

m

'

m

cb!a!8inand

" e!d!cb!a!

m'

" e!d!'

mcb!a!

mcb!a!

" e!d!cb!a!

m

cb!

" e!d!

'

" e!d!

'

" e! +$em

! ! *

*l a-e

ospital;lluiteoreasienuntdin!onditiile!lestelui,adin teore,1!a!ont

(o2tinesiax

!u6relatianultiintregi4.I partiidefinitia3din

6dx

6(

lili11

*

*

xx

*

*

*

*

**

*

*

*

***

<

<

P('+le#ã *e$%(u cla1a a :I6a"ã se s!rie e!uaţia dreptei perpendi!ularei !oune dreptelor ( !d i !d =+−=−−−=−=− *6(,8*6( *6

"oluţie(

18*1

1**

666

8*6

14-,-,3(P

(e!uatiileau planedoua!ele

dsiddreaptadedeterinat planulPrespe!ti-dsiddreapta dedeterinat,P

.**

666

666---

ested!ounalare perpendi!udrepteialdire!tor-e!torulRe'ulta

d drepteial!urent pun!tulrespe!ti-,dire!torulsunt -etor 41,*,63$si46,6,63-Analog

4.8,*,63$,ddreapta pe!urent pun!tunsi46,6,63-,ddrepteialdire!tor-e!torul

(,6

8

6

*

6

6(ddrepteie!uatia

666

p.!** p.!66

*6

p.!

***

6666

6

=+−+⇔=

−

−−−

⇔=−

−=

−−

=×=

−−−=

−=

−=

−

!

!

r r

+tunci

planul -ie

ji

' ji

reulta !

0in

@M


49/101


=−++

=+−+

=−++⇔=−−−−+

⇔=−

16*

18*

(deste!ounelarei perpendi!u

.16*11**666

*614-,-,3(

p.!

***

!

! cuatia

!

!

r r 4

P('+le#ã *e$%(u cla1a a :6a 1au a :I6a"ã se s!rie e!uaţia dreptei !are tre!e prin pun!tul A36,;6,64 +i se spriGinã pe

=+=++

=−=−1

16(dsi6*( *6

!

! !d

"oluţie(

@Z


50/101


⋅

=++

=

−==⇒

=+++−

=−−+−+⇒∈

=++++

=−−+−−

=++++=−−+−−

1*';*x

1@;';*;8x(d

!autatedrepteie!uatiao2tinedinsi pe

.

*

6,

*

6

14663666

14*663666dA

.d pesid pespriGinase!espatiudindreptelortuturor,1436

14*36(

,d pe!ontine!e plane de,1436(

d pe!ontine!e planede,14*36(P

A. pun!tul!ontine!edreaptafas!i!oldinextragese

!aredupa,dsid pespriGinase!espatiudindreptelortuturorultieao2tinesesi

a'ainterse!tese,dsiddreptele!ontin!e planedeefas!i!olels!riu

,

,

*6

*

6

*6

*6

µ λ

µ λ

λµ

λ

µ λ

µ λ

µ

λ

µ

λ

µ µ

λ

inlocuind

0in

multimea ( ! !

( ! !d

"a.cicolul ( ! ! 4

"a.cicolul ( ! !

apoiSe

P('+le#ã *e$%(u cla1a a :6a 1au a :I6a

"ã se s!rie e!uaţia dreptei d ,!e se spriGinã pe dreptele

66

8J

*8;x

(d

dreapta!u paralelaestesi68

6

(dsi6

*

( *6

−=

+=

+=

+=

−=

=

!

!

!

!

d

"olutie(

@K


51/101


=+−=+−

⇔

⇔=−

=+

⇒−⇒

⇒=−=⇒

+−

=

+−

=

−

⇒

+−+−−=

++⇒∈∀−⇒∈∀

16>816

(

688*

*86

(41,8*

,86

3

8

M

tsi8

6

6

*8

8

6*

*

46,8,*3-!u!oliniareste$Penunt4.*8,6*,3$P

468,6,346,*,3

*

6

!

!d

!

d 4

t t t

int t t reulta

4 d 4

t t t d

P('+le#ã *e$%(u cla1a a :6a 1au a :I6a

"ã se deterine e!uaţia dreptei !e tre!e prin proie!ţia pun!tului A36,1,14 pe dreapta

=+−=−

=−−=−−

==16

1*(dsi

161

(ddreptele pespriGinasesi( *6 !

!

! !d

"oluţie(

Proie!ţia pun!tului A pe dreaptã o aflã interse!tând dreapta d( !u planul P(!are !onţine pun!tul A +i este perpendi!ular pe dreapta d.

J1


52/101


[ ] { }

⋅

=+−−

=+−

⇒=−=⇒∈

=+−+−=−−+−−

=+−+−=++

⇒===⇒

==

=−++⇒=++−⇒=

⇒==∩==

168M

16*(d

este!autatedreptei%!uatia8

6,6Adin

1463*

1463(

dsid pespriGinase!aredreptelortuturor

ultieadRe.1463*(P,164';3';;x(P

.drespe!ti-

ddreptele!ontin!arePsiP planedeefas!i!olel!onsidera!ontinuare

48

6,

8

6,

8

63

8

6

16(1463(41,1,63(

46,6,63(,A,Pr

8

66,;

,1,

*6

,

*

6

1

1

11

( !

!

d ( ! !

( ( !d

(ulta ( ! !

6n

+ ( !

( !

( ! + ( ! 4 $ N + 4

$ ( !d 4 d +d +

µ λ µ

λ

µ λ

µ λ µ λ

µ λ µ λ

µ λ

P('+le#7*e$%(u cla1a a :I6a ,

" se arate ! e!uaţia d c!b!a ! ++= * are !el ult trei rd!ini reale6a

∀ ,2 +

∈ !,d ∈ ."oluţie.Ne folosi de proprietatea(kntre dou rd!ini ale fun!ţiei a-e !el puţin ord!in a deri-atei.Lie " →( , d c!b!a ! " ! −−−= *43 +i presupune prin redu!ere la a2surd ! are @rd!ini de!i o ! " =′′ 43 are !el puţin * rd!ini.Ear !u baa ! " ! *ln43 * −=′′


53/101


"oluţie(

[ ]

(-ariatiedeta2eluratorulRe.6*6

68ln

6*6

*ln868ln

66

inanulea'ase68ln463843463843fun!tia

1

1

ultann !n

+$emn !

!n ! " eri$ata !n ! " Conideram

!

!

++

⇒⇒⋅−+=

−+−=′⋅+−=


54/101


−−−

−−

−+

−

=

2ab )1n( n1

2a )1n( nna

2

b )1n( n

2

ab )1n( n1nb

nbna1

+

2

2n

si

P('+le#ã *e$%(u cla1a a :I6a

.*,4*3463483

(e!uatiare'ol-ese

dat aundeaaaa

Sa

! ! ! ! ≥+++=++

"olutie(

[ ] [ ]

{ }.6,1sunt

.6166,61

1143de-inee!uatia3*4si364

4643*3

x43f f3a4;64f3aa.i46,3

4*3484363

x43f *4f3a;84f3aa.i84a*,3a(

6aa,sipe8a*,a pe43fun!tieiHagrangeluiteorea

4634*3843a!uae!hi-alenteste

6

66;x

6666

6

6;x

6

6;x

x

∈

=⇔=−⇔=

⇔=−

=⇔=−⇔=

=−+⇒

⇒=′=++∈∃

=+−+⇒

⇒=′=++++∈∃

+++=

−+=+−+

−

−

−−−−

−

−

!Solutiile

! ! au

! ! ! ! in

!aa

aa

!aa

a$em i

" +plicam

aaa cuatia

!

!

! ! ! !

! ! !

! ! !

!

! ! !

>

ξ

θ

ξ

θ ξ θ

ξ θ ξ θ

ξ

ξ ξ ξ

θ

θ θ θ


po'iti-i.!u tereniariteti!a

progresieoeste43asirulsi1,43434343

(e!uatiare'ol-ese

n6*6 dat aundeaaaaaaaa

Sa

!

n

!

n

!

n

!

n >++− +++=+++

"olutie(

J8


55/101


[ ] [ ]

{ }.6,1sunt

.616,61

1143de-inee!uatia384si3*4,364

483

ariteti!aa4343443*34xa;343f 4a;34af3a;4f3aa.i4,3

434344363

4xa;343f 4a;34af3a;4f3aa.i4a,a3a(

a,aa pesia,a pe43fun!tieiHagrangeluiteorea

4343434a3a!uae!hi-alenteste

6

66;x

6666

66*

n

6

6666

6;x

6;n66;n66;n666

6

**

6;x

n*n*n**n

66;n*

66

x

*n

∈

=⇔=−⇔=

⇔=−

=⇔=−⇔=

−=−⇒

⇒=−=+−+⇒⇒=′=++++∈∃

−=+−+⇒

⇒=′=++++∈∃

++++=

+−+=+−+

−

−

−−−−

−++

−−+−+

++++−

−++

++++

++

−++

!Solutiile

! ! au

! ! ! ! in

aaaa

pro9reiedeoarece !aaaaaaaaaaaaa

!aaaaaa

aaaaa$em i

aaa " +plicam

aaaaaa cuatia

!

!

! ! ! !

nnnn

!

nn

!

n

!

n

nnnnn

!

nn

!

n

!

n

nnnn

nnn

!

!

n

!

n

!

n

ξ

θ ξ θ

ξ θ ξ θ

ξ ξ ξ ξ

θ

θ θ θ


∑

∑

=

=

∞→

∈

⋅⋅⋅

n

i i

n

i

i

4+

4+

6*

6

*

n

n8*6

46

in3

(!al!ule'esesaC3164PEa!a

C3164.inins!risregulat poligonunAAAAsiunitate!er!ulC3164Lie

li

"oluţie(

( )

( ) ( )

( ) .#n2

1n

n2

lim

4+

1min

4+

lim

n2

1n

+ +

1min )

4+

1min( )2(

n2

1n

+ +

1

+ +

1

+ +

1

1n ) + +

1

+ +

1

+ +

1 )( + + + + +

.n2 + +

.n2 + + + + +

2nn

1i2

i

n

1i

2

i

n

2n

2' 2

' 1

n

1i2

i

2

2

n1

2

31

2

21

2

2

n1

2

31

2

21

2

n1

2

31

2

2

2n

2'

' 1

2

22

n1

2

31

2

2

=−=

⇒

⇒⋅−

=

=⇒

−≥+⋅⋅⋅++⇒

⇒−≥+⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅++

==⇒==

=+⋅⋅⋅++⋅=

⋅⋅⋅⋅

∞→

=

=

∞→

==

==

∑

∑

∑∑

∑∑

3*4si364Ein

A3(a-eediiloreainegalitatEin

PA3646R siAPCu

A!astie"eAPPresupune

AAAi poligonuluiledin -arfur unulesteP3I4

6

n

6i

i6

66

n*6

J@


56/101


@.!uegalaeste!autataliitaC3164P

.@

*

*li

46

in3

li3J4si3@4

*4

6in34J3

*

6

4666

43PA3(a-eediiloreainegalitat

.*3@4C3164P.*PA384!astie

.,6,AP43

6*

6

*

n

6*

*

6*

*

**

*

*

6

**

*

*

6

*n

6i

*

*n

6i

i

i

∈∀

==⇒

=⇒≥

⇒≥+⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅++

=⇒∈=

=≠

∞→

=

=

∞→

==

==

∑

∑

∑∑

∑∑

eci

n

n

4+

4+

in

n

4+n

n

4+

n 4+ 4+ 4+

4+ 4+ in

n 4+CumnSe

ni

nn

i i

n

i

i

n

i i

n

i i

n

n

i


⋅⋅⋅

∈∀

⋅

=

∞→

∗

nn

nn

nnn

nnn

nn

d c

ba

abc

bd b

cb

-ie

n

nn

li

(!al!ulatisi Nn,a

foraareA!aAratati6686J6866

A

"oluţie(

[ ]....ea proprietat!u,...,,eleenteleedeterinatuni!suntsiexista!onditiia!estedoua.In!atedoua

,...,,rada!inile!orpulinare!are polino ,6 pgradde f polinoun-erifi!a!aea proprietat!ueleentunILie

.in!hisalge2ri!!outati-!orpulsu2inel!a!ontine!e-ne!outatiunitarinelunILie(Hea

(leauratoareaapli!a

**66

n

*6

*6

p

n

p

nn

p

p

ditincte

Se

β λ β λ β λ α β β β

λ λ λ α

+++=∈

≥∈∈

JJ


57/101


{ }

.

*

61

*

6111*

61

*

6

,

>

6

8

6

>

68

6

8

*

8

6>

6

8

6

>

6

,

8

6

8

6

8

68

6

8

6

8

68

6

8

6

8

6

A

(o2tinesisteulRe.

A

(tipuldesisteun-erifi!esa!are43A,A,Aatri!ileEeterina

.*,>,8( proprii-alorileo2tinesi1f e!uatiaRe'ol-a.8>M

668

6J6

866

detf

f. polinoulA -erifi!aatri!eaCale,;ailtonlui)eoreeiA.Conforatri!iial4,I;det3Af

siunitateatri!eafiind,4,3$I!onsideraleadinnotatiileCu

8*6

*

8

*

8*

*

*6

*

6

88**66

88*6

88*6

8*

*8

8

888

−

−

=

=

−

−−

−

=

=++

=++=++

∈

−====−+−=

−−

−=

=

∈==

+ +

ol$and

+ + + +

+ + + +

+ +

C

ticcaracteri polinomul

C aa

*34

>

836>

4634>

*34

>

836>

lili

.*88,463*>84,6*38,>8*463a

>8*46346*38>8*463

46*38*8846*38

463*>846*38>8*463

A(a-ea-oleeiuire'ultatul

6

6

666

666

6666666666

n

6666666

66666

6666666

88**66

n

nn

nn

nnnnn

nnnn

nnn

nn

n

nnn

n

nnnn

n

nn

n

nnnn

nnnnnnnnnn

nnnnnnn

nnnnnnnnnn

nnn

d c

ba

d cb +$em

+ + +Con"orm λ λ λ


detA. !al!ule'ese

4.3

6...66........................

6...6666...66

6...666

Aatri!ea *11>

Sa

C

iiii

iii

iiii

iii

-ie ∈

−−

−−−−−−

−−

=

J>


58/101


"oluţie(Hea6

unitatii.alenordinulde

rada!inilesunt6,1,unde4,...3adetA

si!ir!ulantnuestese

a...aa............

a...aa

a...aaa...aa

foradeatri!e

6

*

6;n

16

68*

*;n6;n

6;n6n

n*6

−=+++=

−

=∏ n' aa

/

n

' n'

n

ε ε ε

Eeonstraţia leei 6(

∏−

=

−−

−

−−

−−

−

−

+++==

=

+++=

+++=

+++=

+++=

6

1

6

*6661

n6

6

68*

6

6

66

6

*6

6

*6

4....3...detARe'ultadistin!te. propriin -alorisi distin!ti

propriin -e!torio2tinedistin!terada!ininare6u!etor.Eeoare!orespun'a propriu-e!toruleste4,...,36,iar

proprie-aloareoeste a!eeade,

...

........................................

...

...

!a.... notasiunitatiianordinulderada!inao

n

'

n

' n' n

t n

'

n

' '

n

'

n

' n' n'

n

' n'

n

' n'

aaa

aaa

aaa

aaa

/ber$amaaa -ie

ε ε λ λ λ

ε ε

λ

ε ε λ ε

ε ε λ ε

ε ε λ

ε ε λ ε

Hea *

.4x;36detA

atun!i

6...xxx...............

x...6xxx...x6x x...xx6

A

6n

8*

8;n6;n*;n

*;n6;n

6;n*

−=

=

n

aca

Eeonstraţia leei *(

JM


59/101


.463463463

46366

detA 6

6

6

6433xu4...xu6

atun!i,6uda!a,!ao2ser-a, partealtade

4...63detA6lea

66

1

6;n

n

666

1

−−

=

−−−

=

−=−−

−=

−−

=−

−=

−

−=+++

=

+++=⇒

∏

∏

nn

nn

nnn

'

n

nn

n

'

n

'

n

'

! !

!

!

! +t"el

!u

!

!u

!u

4e

! ! in

ε

ε ε

"oluţia pro2leei

.*4i;36detA,i pentru x*Headin,Re

6...iiiii.....................

i...ii6iii...iii6ii...iiii6

foradeesteA

*11J*11J*11>

J@8*

*118**11J*11@

*11@8**11J

*11J@8*

===

ulta

eoarece


distin!te. paraleledreptetreidupa'einterse!tese!4sadreaptaa!eeasio; printr trea!a 24sa

pun!tun!ounin4

16(431(4316(43P planelein!atastfelR 2a,deterinese

8*6

aiba aa

a b ! 4 a ! 4 !

Sa

=+++=+++=−+−∈

"oluţie(

R 2,61**6

666666

('ero.Ee!idediferitfiesasisteuluituldeterinan!asufi!ientsine!esaresteurare,.Prindeterinat!opati2ilfiesa planelor

alee!uatiitrei!ele!uforatsisteul!asufi!ientsine!esareste pun!tsingurun!ouninai2asa planetrei!ele!a4

∈≠⇒≠−=−

=∆ aaab

4entrua

JZ


60/101


6. 2si6a

(solutiileo2tinedoi,!uegalsi extinseatri!eirangul!uegalfiesasistea!estuiatri!eirangul!a!onditiaPunand

.atnedeterinsiplu!opati2ilfiesa1,1,1Pe!uatiidesisteul!asufi!ientsine!esarestedreaptaa!eeasi printrea!asa planetrei!ele!a4

8*6

==

=== 4 4 4entrub

6. 2si6a

o2tine!onditiia!este plan.Eintreileaal!u paralelaeste!aredreaptaodupaa'ainterse!tese

planedintredouafie!areeltrei.Astf fiesasisteuluiaextinseatri!eiranguliar,doifie

sa1,1,1Psisteuluirangul!atre2uie!a'a!est4 8*6

≠=

=== 4 4 nc


⋅

⋅

−

=

n + eSa

m

m

mm

+ -ie

!al!ule'e

61

16

6

"oluţie(

−−

−

−−

−+

−

=

−−=

⋅++=

≥=⇒=

−=+=

*

4636

*

463 *

463

*

4636

6

si

1

1

111

o2tinesi!al!ulele

(o2tinesi NeTtonlui 2inouluiforulaLolosi

8. pentru,!a

11

11

1

,

**

**

**

***

**6

8

8

8

mnnmnnna

mnnmnnnm

nmnm

+

mm

mm "ectuam

C C +

/ / Contatam

m

m

mm

unde +Scriem

n

nn

n

'

JK


61/101


P('+le#ã *e$%(u cla1a a :II6a

Lie apli!aţiile liniare (

>1


62/101


63/101


( ){ }( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ){ }*,8,6,8;AesteIf in 2a'ao

*,8,si8,6,

1,6,1,,xsi6,1,1,,x.,,xlui-aloridaIf in 2a'eueio2tinerea

,8*8,8*3,f3x4a.i.(I4

*6*6

8*68*68*6

8*68*6*6

8*

−=−=−=

==+−−+−===∈∃∈=

reulta

a$em

! ! ! ! 4entru ! ! pentru

! ! ! ! ! ! ! " d

2a'a.a-enu!are'ultati,independenliniari-e!toria-enude!i,14di34 =

"oluţie(

{ }

'ero.este!autataliita

*J

ln4J43843*3

66643

de!isixx;6

f3x4a-e46,n8

63x

.x

6xf3x4,

86

,nJ

6 pentru x

de!isixxa-e!a'a!est.* 6,nJ 6 x!onsiderasasufi!ient

*6

86

*6

J6

86

J6

eci

n

n

nnn

nd!

!

!d!

!

!d! ! "

4entru

n

nn

te

n

n

n

n

n

n

⋅++

++++

−=

−+

+=

=+

∈

+=

++∈

= ++∈

∫ ∫ ∫ +

+

+

+

+

+

>*


64/101

Ele#e$%

teorie Şi aplicaŢii.doc

Documents