bazele sistemelor automate

8/17/2019 Bazele sistemelor automate

1/212


2/212


3/212

Prefaţă

Cartea se adresează în primul rând studen ţ ilor specializării AUTOMATIC Ă

Ş I INFORMATIC Ă APLICAT Ă – învăţământ la zi şi cu frecven ţă redusă, care au

în planul de învăţământ disciplina cu acela şi nume Teoria sistemelor automate, dar

poate fi utilizat ă pentru completarea şi aprofundarea cuno ştin ţ elor şi de studen ţ ii dela specializările ELECTRONIC Ă APLICATA, CALCULATOARE, ELECTROME-

CANIC Ă , INFORMATICA PROCESELOR CHIMICE şi INGINERIE ECONOMIC Ă

ÎN DOMENIUL MECANIC.

In primul capitol sunt reamintite principalele propriet ăţ i şi caracteristici ale

sistemelor automate, câteva aspecte esen ţ iale privind locul, rolul şi clasificarea

sistemelor automate, sunt prezentate defini ţ ia şi rolul disciplinei Teoria sistemelor

automate în preg ătirea profesional ă a studen ţ ilor automati şti de la ciclul licen ţă.

In al doilea capitol este prezentat ă metoda opera ţ ional ă Laplace pentru

studiul sistemelor liniare continue. Caracteristica principal ă a acestei metode,

numit ă şi metoda func ţ iei de transfer , este forma simpl ă de descriere matematică a

corela ţ iei dinamice intrare-ie şire, cu consecin ţ e remarcabile în simplificarea formalismului matematic implicat în analiza şi sinteza sistemelor compuse tip serie,

paralel , cu reac ţ ie, mixte, chiar dacă aceast ă metod ă implică mărirea gradului deabstractizare. O parte important ă a capitolului este destinat ă calculului analitic al

r ă spunsului sistemelor elementare (de ordinul unu şi doi) şi compuse (de ordin

superior). In încheierea capitolului este expus şi analizat, într-o manier ă original ă,

cadrul general al problematicii sistemelor monotonice.

In capitolul trei este tratat ă problema stabilit ăţ ii sistemelor în ambelevariante: stabilitatea internă (a st ării) şi stabilitatea externă (a ie şirii). Sunt

prezentate şi demonstrate principalele teoreme şi criterii de stabilitate internă şi

externă ale sistemelor liniare continue şi discrete.

Capitolul patru este destinat analizei sistemelor în domeniul frecven ţ ei. Este prezentat ă şi demonstrat ă teorema de interpretare fizică a func ţ iei de frecven ţă, numit ă şi teorema filtr ării, sunt definite şi analizate caracteristicile de frecven ţă ale

sistemelor liniare cu şi f ăr ă timp mort, apoi sunt prezentate criteriile frecven ţ iale de

stabilitate de tip Nyquist.

In capitolul cinci este tratat ă problema calit ăţ ii regl ării în regim sta ţ ionar şi

dinamic. Este demonstrat ă teorema erorii sta ţ ionare şi sunt prezenta ţ i principalii

indicatori de performan ţă ai regl ării automate în regim dinamic. Cele două teoreme

de alocare a polilor unui sistem continuu de reglare automat ă , pe baza factorului de

magnitudine al comenzii regulatorului, sunt contribu ţ ii originalei ale autorului.

Ultimul capitol abordează teoria structural ă a sistemelor. Sunt prezentate

principalele propriet ăţ i structurale ale sistemelor , conceptul de reglare prin reac ţ iedupă stare, analiza şi proiectarea estimatoarele de stare de ordinul unu..

Toate capitolele con ţ in un număr semnificativ de aplica ţ ii rezolvate sau

propuse spre rezolvare. Rezultatele problemelor de autotestare sunt date la sfâr şitul

căr ţ ii.

Vasile Cîrtoaje


4/212


5/212

CUPRINS

1. INTRODUCERE 7

2. METODA OPERAŢIONALĂ LAPLACE 112.1. Transformarea Laplace ……………………………………………… 13

2.2. Funcţia de transfer ………………………………………………….. 15

2.3. Matricea de transfer …………………………………………………. 21

2.4. Funcţia de transfer a sistemelor compuse …………………………… 27

2.5. Calculul r ăspunsului sistemelor compuse …………………………… 30

2.6. R ăspunsul sistemelor elementare ……………………………………. 32

2.7. Sisteme monotonice …………………………………………………. 49

2.8. Aplicaţii ………………………………………………………………. 52

3. STABILITATEA SISTEMELOR LINIARE 71

3.1. Stabilitatea internă ………………………………………………….. 71

3.2. Stabilitatea externă …………………………………………………. 75

3.3. Criteriul de stabilitate Hurwitz ……………………………………… 80

3.4. Aplicaţii ……………………………………………………………… 82

4. FUNCŢIA DE FRECVENŢĂ 954.1. Definiţie şi proprietăţi ..……………………………………………. 95

4.2. Interpretare fizică ...………………………………………………… 96

4.3. Caracteristici de frecvenţă …………………………………………… 97

4.4. Sisteme cu timp mort .……………………………………………… 107

4.5. Criteriile de stabilitate Nyquist ………………………………………. 1154.7. Aplicaţii ……………………………………………………………… 117

5. CALITATEA REGLĂRII 1305.1. Calitatea reglării în regim staţionar …………………………………. 130

5.2. Calitatea reglării în regim dinamic ………………………………….. 133

5.3. Aplicaţii ……………………………………………………………… 147

6. PROPRIETĂŢI STRUCTURALE ALE SISTEMELOR 1636.1. Controlabilitatea şi stabilizabilitatea ..…………………………….. 163

6.2. Observabilitatea şi detectabilitatea ..……………………………….. 173

6.3. Reglarea cu reacţie după stare şi estimator de stare ………………… 178

6.4. Aplicaţii ………………………………………………………………. 186

7. REZULTATE ALE APLICAŢIILOR DE AUTOCONTROL ………... 199

BIBLIOGRAFIE 211


6/212


7/212

1

INTRODUCERE

Sistemul este un ansamblu de elemente care func ţ ioneaz ă şi interac ţ ioneaz ă

între ele şi cu exteriorul după anumite reguli şi legi, în vederea realiz ării unui sens

sau scop.

Un sistem este o conexiune de elemente, fiecare element constituind la rândul

său un sistem (subsistem). Interacţiunea dintre elementele sistemului poate conferi

acestuia proprietăţi, caracteristici şi moduri de manifestare pe care fiecare element în

parte nu le posedă.

In cazul sistemelor fizice (reale), interacţiunea se realizează prin intermediul

fluxurilor de masă şi energie, purtătoare de informaţie.

Teoria sistemelor reprezintă un ansamblu de concepte, cuno ştin ţ e, principii şi

metode independente de aplica ţ ii, necesare şi utile în studiul structurii,

propriet ăţ ilor şi caracteristicilor sistemelor în general, al sistemelor automate în

mod special . Teoria sistemelor introduce şi dezvoltă un mod de gândire logic, aşa zis

sistemic, bazat pe respectării principiului cauzalit ăţ ii, care permite abordarea

interdisciplinar ă a realităţii înconjur ătoare. Conform principiului cauzalităţii, orice

efect este rezultatul unei cauze, efectul este întârziat fa ţă de cauz ă şi, în plus, două

cauze identice genereaz ă în acelea şi condi ţ ii efecte identice.

Sistemele au următoarele tr ă sături fundamentale:

• caracterul structural-unitar , care reflectă proprietatea unui sistem de a fi

reprezentat ca o conexiune de subsisteme a căror acţiune este orientată spre un

anumit scop (sens) final;

• caracterul cauzal-dinamic, care reflectă proprietatea unui sistem de a evolua în

timp sub acţiunea factorilor interni şi externi, cu respectarea principiului cauzalit ăţ ii;

• caracterul informa ţ ional , care reflectă proprietatea unui sistem de a primi,

prelucra, memora şi transmite informaţie.


8/212

TEORIA SISTEMELOR AUTOMATE 8

In sensul teoriei sistemelor, prin informa ţ ie se înţelege orice factor care serveşte

la descrierea calitativ-cantitativă a comportamentului sistemului. La sistemele

tehnice, mărimile fizice constituite ca suport pentru informaţie se numesc semnale.

Teoria sistemelor operează cu conceptul de sistem abstract , care este în fapt un model matematic pentru descrierea caracteristicilor şi comportamentului dinamic al

unei clase de sisteme fizice (reale).

Mărimile fizice variabile asociate unui sistem sunt de trei feluri: mărimi de

intrare, mărimi de stare şi mărimi de ieşire.

M ărimile de intrare sunt independente de sistem (deci sunt de tip cauz ă) şi

influenţează din exterior comportamentul sistemului.

M ărimile de stare sunt dependente de mărimile de intrare (deci sunt de tip efect ),

sunt întârziate faţă de acestea şi au rolul de a caracteriza starea internă curentă asistemului.

M ărimile de ie şire sunt dependente de mărimile de stare, uneori şi direct şi

instantaneu de mărimile de intrare (deci sunt de tip efect ), şi au rolul de-a transmite

în exterior (sistemelor învecinate) informaţie despre starea curentă a sistemului.

Mărimile de ieşire ale unui sistem sunt deci mărimi de intrare pentru sistemele

învecinate. Unele mărimi de ieşire pot fi mărimi de stare. Dacă mărimile de ieşire se

identifică cu mărimile de stare, atunci întreaga informaţie despre starea curentă a

sistemului este transmisă în exterior.Un sistem interacţionează cu sistemele învecinate numai prin intermediul

mărimilor de intrare şi de ieşire.

Mărimile de ieşire ale sistemelor tehnice sunt măsurabile, în timp ce mărimile de

stare nu sunt întotdeauna accesibile măsur ării.

In afara mărimilor de intrare, de stare şi de ieşire, în descrierea compor-

tamentului unui sistem intervin şi unele mărimi constante sau lent variabile, numite

parametri. La sistemele fizice, parametrii sunt de regulă mărimi ce caracterizează

proprietăţile fizico-chimice ale sistemului: densitate, viscozitate, lungime, volum,

conductivitate termică sau electrică etc.

Teoria sistemelor operează cu două concepte de sistem: sistem de tip I-S-E

(intrare-stare-ieşire) şi sistem de tip I-E (intrare-ieşire). Sistemele de tip I-S-E au

mărimi de intrare, mărimi de stare şi mărimi de ieşire, iar transferul intrare-ieşire se

realizează în mod indirect, prin intermediul stării. La sistemele de tip I-E, numai


9/212

INTRODUCERE 9

mărimile de intrare şi mărimile de ieşire intervin în mod explicit, iar transferul

intrare-ieşire se realizează direct, cu întârziere sau instantaneu (în cazul sistemelor

triviale de tip static). Unui sistem fizic i se poate asocia un sistem abstract (model

matematic) de tip I-E sau de tip I-S-E.Sistemele automate sunt sisteme tehnice cu ajutorul cărora se realizeaz ă

supravegherea, comanda şi conducerea proceselor şi instala ţ iilor tehnologice, f ăr ă

interven ţ ia direct ă a omului.

Teoria sistemelor automate este un domeniu particular de studiu care vizează în

special descrierea, înţelegerea, aprofundarea şi rezolvarea problemelor specifice

domeniului reglării automate a instalaţiilor şi proceselor tehnice.

Un sistem automat SA este format din două mari subsisteme: procesul (instalaţia)

de automatizatP

şi dispozitivul de automatizareDA

(fig. 1.1). Sistemele automatecu structurile (a) şi (b) sunt sisteme deschise (în buclă deschisă), cu flux de

informaţie unidirecţional), iar cele cu structura (c) sunt sisteme închise (cu buclă

închisă), în care ieşirea unui subsistem influenţează intrarea şi starea acestuia, prin

intermediul altor subsisteme. Sistemul cu structura (c) este un sistem de reglare

automat ă după eroare (abatere), în buclă închisă.

Fig. 1.1. Structuri posibile ale unui sistem automat.

La sistemele de reglare automată cu structur ă închisă, dispozitivul de

automatizare DA primeşte informaţie despre starea curentă a procesului reglat P şi,

pe baza acestei informaţii, generează comenzi convenabile asupra acestuia, în

vederea aducerii şi menţinerii mărimii lui de ieşire în jurul unei valori de referinţă,

în condiţiile acţiunii perturbaţiilor (externe) asupra procesului, acţiunii unor

perturbaţii interne şi/sau modificării mărimii de referinţă.


10/212


In raport cu funcţia îndeplinită, sistemele automate se clasifică în [9]:

- sisteme automate de supraveghere (de măsurare şi/sau semnalizare);

- sisteme automate de protec ţ ie;

- sisteme automate decomand

ă în bucl

ă deschis

ă (dup

ă un program prestabilit

sau în raport cu o mărime de intrare);

- sisteme automate de comand ă în bucl ă închisă (de reglare);

- sisteme automate de conducere (de supraveghere, protecţie, comandă, reglare).

Sistemele automate pot fi continue sau discrete. Sistemele continue sunt acele

sisteme la care mărimile de intrare, de stare şi de ieşire iau valori la toate momentele

de timp din mulţimea numerelor reale şi, în plus, mărimile de stare şi de ieşire

variază continuu la orice variaţie continuă a mărimii de intrare. Sistemele discrete

sunt acele sisteme la care mărimile de intrare, de stare şi de ieşire iau valori numai la

momentele de timp echidistante kT t k = , unde k apar ţine mulţimii numerelor

întregi, iar T este perioada (tactul, pasul) de discretizare a timpului. Sistemele care

conţin atât elemente continue cât şi elemente discrete se numesc sisteme cu

e şantionare sau sisteme e şantionate.

Sistemele pot fi liniare sau neliniare. Sistemele liniare sunt acelea care, în orice

condiţii, verifică principiul superpozi ţ iei (suprapunerii efectelor): suma efectelor

cauzelor este egal ă cu efectul sumei cauzelor . Sistemele

neliniare sunt acelea care

nu satisfac principiul superpoziţiei, adică acele sisteme care nu sunt liniare. Modul

neconstructiv de definire a sistemelor neliniare (prin negarea unei proprietăţi) şi

multitudinea modurilor de manifestare a neliniarităţilor conduc la ideea imposibi-

lităţii construirii unei teorii unitare a sistemelor neliniare.

Sistemele pot fi monovariabile sau multivariabile. Sistemele monovariabile au o

singur ă intrare şi o singur ă ieşire. Sistemele multivariabile au cel puţin două intr ări şi

două ieşiri; în plus, cel puţin o ieşire este influenţată de minimum două intr ări.

Sistemele dinamice, spre deosebire de sistemele statice (f ăr ă memorie), se

evidenţiază prin prezenţa regimurilor tranzitorii, ca o consecinţă a faptului că includ

în componenţa lor elemente capabile să acumuleze şi să transfere, cu viteză finită,

cantităţi semnificative de masă şi energie.


11/212

2

METODA OPERAŢIONALĂ LAPLACE

Acest capitol este axat pe analiza de tip intrare-ie şire (I-E) a sistemelor liniare

continue (netede) cu ajutorul formalismului operaţional Laplace.

Caracteristica principală a metodei operaţionale Laplace este forma simplă dedescriere matematică a corelaţiei dinamice între intrarea şi ieşirea unui sistem liniar.

Anticipând, modelul operaţional dinamic al sistemului va avea o formă similar ă celei a modelului staţionar, la care ieşirea se obţine prin multiplicarea intr ării u

cu un factor constant de propor ţionalitate K :

u K y = .

Forma simplă a modelului operaţional dinamic are consecinţe pozitive în special

în analiza şi sinteza sistemelor compuse, cu una sau mai multe legături de reacţie.

Simplificarea formalismului matematic se realizează însă cu preţul creşterii graduluide abstractizare. Aceasta presupune, în primul rând, trecerea de la studiul sistemelor

în domeniul timpului la studiul în domeniul complex şi, în particular, în domeniul

frecvenţei.

Reamintim că modelul primar de tip I-E al unui sistem liniar continuu

monovariabil de ordinul n are forma:

ubububub ya ya ya ya r r r

r n

nn

n 01)1(

1)(

01)1(

1)( +′+++=+′+++ −−

−− .

Prin eliminarea derivatelor mărimilor de intrare şi de ieşire se obţine modelul

staţionar

u K y = , 00 /ab K = .

In condiţiile aplicării la intrarea sistemului a unui semnal de tip treaptă, modelul

staţionar este utilizabil pentru 0


12/212


(teoretic, pentru ∞→t ). Modelul primar în domeniul timpului are două neajunsuri,

forma relativ complicată (mai ales la sistemele de ordin superior) şi prezenţa

derivatelor mărimii de intrare, care fac modelul neoperabil în cazul mărimilor de

intrare discontinue şi/sau nederivabile (cazul intr ării de tip treaptă).

Modelul secundar de tip I-E , cu forma

⎪⎩

⎪⎨⎧

+++=

=++++ −−

wbwbwb y

uwawawawa

r r

nn

nn

0

0

1)(

1)1(

1)(

...

...

,

înlătur ă al doilea neajuns, dar îl accentuează pe primul, prin introducerea mărimii w

care mediază transferul intrare-ieşire [8].

Ambele neajunsuri sunt eliminate în cazul modelului de convolu ţ ie

)(*)()()()( 0 t ut g d ut g t y

t

=τττ−= ∫ ,care exprimă r ăspunsul )(t y la o intrare )(t u dată, de tip original (nulă pentru 0


13/212

METODA OPERAŢIONALĂ LAPLACE 13

unde s este variabila complexă Laplace, iar )( sY , )( sG şi )( sU sunt transformatele

Laplace ale funcţiilor de timp )(t y , )(t g şi )(t u . Modelul opera ţ ional este deci un

model abstract (în domeniul complex), dar care exprimă, într-o formă algebrică simplă, faptul că ieşirea complexă )( sY este produsul dintre funcţia complexă )( sG

asociată caracteristicilor dinamice ale sistemului şi intrarea complexă )( sU .

Aşa cum vom vedea în continuare, determinarea modelului operaţional al unui

sistem liniar compus din modelele operaţionale ale subsistemelor componente este o

operaţie mult mai simplă decât aceea de obţinere, în domeniul timpului, a ecuaţiei

diferenţiale a sistemului din ecuaţiile diferenţiale ale subsistemelor. Modelul

operaţional poate fi dedus pe cale algebrică, printr-o metodologie similar ă celei

utilizate la studiul sistemului în regim staţionar sau la studiul unui sistem format

numai din subsisteme statice (de ordinul zero). In plus, metodologia analitică de

calculul al r ăspunsului unui sistem pe baza funcţiei de transfer este mai simplă decâtcea din domeniul timpului, prin rezolvarea ecuaţiei diferenţiale a sistemului.

2.1. TRANSFORMAREA LAPLACE

Variabilele de intrare, de stare şi de ieşire ale sistemelor liniare continue, aflate

în regim staţionar pentru 0 B astfel încât Bt At f e)( ≤ .

Pentru a fi satisf ăcută prima proprietate, vom considera (aşa cum am procedat şi în

analiza în domeniul timpului) că variabilele unui sistem reprezintă variaţiile

mărimilor fizice respective faţă de valorile lor iniţiale (la momentele de timp

negativ, când sistemul se află în regim staţionar). In cazul sistemelor liniare,r ăspunsul stare )(t X şi r ăspunsul ieşire )(t Y la orice semnal de intrare de tip

original sunt r ăspunsuri for ţate de tip original.

Transformata Laplace sau imaginea Laplace a funcţiei original f este dată de

relaţia

∫∞−

−Δ

==0

e)()]([)( dt t f t f s F st

L , C∈ s .


14/212


In mod natural, limita inferioar ă a integralei s-a ales −0 pentru a include în

rezultatul transformării şi efectul funcţiilor original generalizate (tip distribuţie), aşacum este funcţia impuls Dirac )(

0t δ . In plus, această alegere simplifică formula

transformatei Laplace a derivatei )(k f a funcţiei original f , deoarece derivatele

iniţiale

)0( − f , )0( −′ f , … , )0()1(

−−k f ,

sunt nule şi nu mai intervin în expresia transformatei Laplace (vezi proprietatea

derivării de mai jos).

In continuare, prezentăm câteva propriet ăţ i uzuale ale transformării Laplace:

• proprietatea de liniaritate

)]([)]([)]()([22112211

t f k t f k t f k t f k L L L +=+ , (1)

valabilă oricare ar fi funcţiile original 1 f , 2 f şi constantele reale 1k , 2k ;• proprietatea de derivare (integrare) în domeniul real1

)()]([ )( s F st f k k =L , Z∈k ; (2)

• proprietatea de derivare în domeniul complex

)()]([ s F t tf ′−=L ; (3)

• proprietatea de translaţie în complex

)()]([ a s F t f e at +=−L , C∈a ; (4)

• proprietatea de translaţie în real

)()]([ s F et f sτ

τ −=−L ; (5)

• proprietatea valorii finale

)(lim)(lim0

s sF t f st →∞→

= , (6)

valabilă în condiţiile în care toţi polii funcţiei )( s sF au partea reală negativă, deci

sunt situaţi în stânga axei imaginare;

• proprietatea valorii iniţiale

)(lim)(lim0

s sF t f st ∞→→

=+

, (7)

1 In relaţia (2), derivata )()( t f k poate fi şi funcţie de tip distribu ţ ie, definită inclusiv în punctele de

discontinuitate ale functiei f (t ). Astfel, prima derivată a funcţiei discontinue )(1)( e t t f at ⋅= − este

distribuţia )(1e)()(0

t at t f at ⋅−=′ −δ , unde )(0 t δ este funcţia impuls Dirac.


15/212


valabilă atunci când limita din dreapta există şi este finită;

• proprietatea produsului de convoluţie

)()(])()([0

sU sGd ut g t =−∫ τ τ τ L . (8)

Transformarea Laplace inversă este operaţia de obţinere a funcţiei original)(t f din imaginea Laplace )( s F . Transformata Laplace inversă a imaginii )( s F este

dată de relaţia

∫ ∞+

∞−=

j

je)(

π j2

1)(

σ

σ ds s F t f ts , (9)

în care integrala se calculează de-a lungul dreptei cu abcisa constantă σ suficient de

mică pentru a asigura convergenţa integralei. In majoritatea aplicaţiilor, pentru

determinarea transformatei Laplace inverse se utilizează metoda descompuneriiimaginii )( s F în fracţii simple, pentru care se cunosc transformatele Laplace inverse

(funcţiile original).

Dintre transformatele Laplace mai frecvent utilizate, menţionăm următoarele:

1)]([0

=t δ L , s

t 1

)](1[ =L ,2

1)](1[

st t =⋅L ,

1

!)](1[

+=⋅

k k

s

k t t L ,

a st at

+=⋅− 1)](1[eL ,

2)(

1)](1e[

a st t at

+=⋅−L ,

22

)(

)](1cos[e

ba s

a st bt at

++

+=⋅−L ,

22

)(

)](1sin[e

ba s

bt bt at

++

=⋅−L ,

22)](1[cos

b s

st bt

+=⋅L ,

22)](1[sin

b s

bt bt

+=⋅L .

2.2. FUNCTIA DE TRANSFER

Prin defini ţ ie, funcţia de transfer a unui sistem liniar continuu şi monovariabileste transformata Laplace )( sG a funcţiei pondere )(t g a sistemului. Aplicând

transformarea Laplace modelului de convoluţie

τ τ τ d ut g t y t )()()(0 −= ∫ , (10)

şi ţinând seama de proprietatea produsului de convoluţie (8), se obţine modelul

opera ţ ional dinamic intrare-ieşire

)()()( sU sG sY = , (11)


16/212


unde )( sU este transformata Laplace a funcţiei de intrare )(t u , iar )( sY este

transformata Laplace a funcţiei de ieşire )(t y . Scriind modelul (11) sub forma

)(

)()(

sU

sY sG = ,

rezultă

Teorema func ţ iei de transfer. Func ţ ia de transfer a unui sistem liniar continuu

monovariabil este egal ă cu raportul dintre transformata Laplace a r ă spunsului

sistemului la o func ţ ie de intrare de tip original dat ă şi transformata Laplace a

func ţ iei de intrare.

Modelul operaţional (11) este modelul dinamic cu cea mai simplă formă

posibilă, similar ă celei a modelului staţionar

u K y = ,

unde K reprezintă factorul static de propor ţionalitate al sistemului. Modelul

operaţional este însă un model abstract, deoarece nu realizează o corelare directă a

mărimile fizice reale ale sistemului, ci o corelare a transformatelor Laplace ale

acestor mărimi, care sunt funcţii de variabilă complexă.

Să consider ăm acum forma primar ă a modelului de tip I-E al unui sistem liniar

continuu monovariabil:

ubububub ya ya ya ya r r r

r n

nn

n 01)1(

1)(

01)1(

1)( +′+++=+′+++ −−

−− , 0≠na .

Aplicând transformarea Laplace ambilor membri ai ecuaţiei diferenţiale a sistemuluişi ţinând seama de proprietatea de liniaritate şi de proprietatea derivării în domeniul

real, obţinem forma primar ă a funcţiei de transfer

011

1

011

1)(

a sa s sa

b sb sb sb sG

...a

...

nn

nn

r r

r r

++++

++++−

−

−−= . (12)

care are la numitor chiar polinomul caracteristic al sistemului.

La sistemele proprii (fizic realizabile), polinomul de la număr ătorul funcţiei de

transfer are gradul mai mic sau cel mult egal cu gradul polinomului de la numitorul

funcţiei de transfer )( nr ≤ .In ecuaţia diferenţială de tip I-E a sistemului, dacă

0a şi

0b sunt coeficienţi

adimensionali, atunci toţi coeficienţiii

a şii

b sunt, din punct de vedere dimensional,

constante de timp la puterea i . Prin urmare, putem considera că variabila s dinexpresia funcţiei de transfer )( sG are, formal, dimensiunea inversului timpului.


17/212


Prin definiţie, ordinul func ţ iei de transfer este egal cu gradul numitorului

funcţiei de transfer simplificate (aduse la forma ireductibilă), adică este egal cu

numărul total de poli sau cu gradul polinomului polilor func ţ iei de transfer . In

consecinţă, dacă polinoamele de la număr ător şi numitor sunt coprime (nu aur ădăcini comune), atunci )( sG are ordinul n . Diferenţa r n − dintre gradul polinoa-

melor de la numitorul şi număr ătorul funcţiei de transfer reprezintă ordinul relativ al

func ţ iei de transfer sau excesul poli-zerouri.

Iner ţia unui sistem (caracterizată prin numărul condiţiilor iniţiale nule ale

r ăspunsului la aplicarea unui semnal treaptă la intrare) este cu atât mai mare cu cât

ordinul relativ al acestuia este mai mare. Mai exact, conform teoremei condi ţ iilor

ini ţ iale nule, numărul condiţiilor iniţiale nule ale r ăspunsului indicial )(t h al

sistemului este egal cu ordinul relativ r n − al funcţiei de transfer, adică

0)0()0()0( )1( ===′= ++−++ r nhhh .

Astfel, aplicând proprietatea derivării şi proprietatea valorii iniţiale, pentru1,,1,0 −−= r ni , avem

0)(lim)(lim)]([lim)(lim 1)()(0

====∞→∞→∞→→

+

+ sG s s H st h st h iiii

s s st L .

Un sistem se numeşte de faz ă minimă atunci când funcţia de transfer este proprie

( nr ≤ ) şi nu are zerouri (r ădăcini ale număr ătorului funcţiei de transfer simplificate)

cu partea reală pozitivă, adică situate în semiplanul din dreapta axei imaginare.

In general, funcţia de transfer )( sG este un factor de propor ţionalitate complex

ce caracterizează corelaţia între transformatele Laplace (complexe) ale mărimilor de

intrare şi de ieşire. In cazul particular 0= s , funcţia de transfer coincide cu factorul

static de propor ţionalitate al sistemului:

K a

bG ==

0

0)0( . (13)

La sistemele de tip propor ţ ional , caracterizate prin 00

≠a şi 00 ≠b , funcţia de

transfer )( sG nu are pe s factor comun la număr ător sau numitor, deci nu are zerou

sau pol în origine. La sistemele de tip integral , caracterizate prin 00 =a şi 00 ≠b ,funcţia de transfer )( sG are variabila s factor comun la numitor, iar la sistemele detip derivativ, caracterizate prin 0

0≠a şi 0

0=b , funcţia de transfer )( sG are pe s

factor comun la număr ător.


18/212


Observaţii. 1°. Din relaţia operaţională intrare-ieşire )()()( sU sG sY = , rezultă că transformata Laplace )( s H a r ă spunsului indicial )(t h al sistemului are expresia

s

sG s H

)()( = .

Din )()( s sH sG = , regăsim relaţia dintre funcţia indicială )(t h şi funcţia pondere)(t g , anume

)()0()(d

)(d)( 0 t ht ht

t ht g δ ++′== .

Din proprietatea valorii ini ţ iale rezultă

n

n

a

bG sG s sH h

s s=∞===

∞→∞→+ )()(lim)(lim)0( . (14)

Dacă 0)0( =+h ( 0=nb ), atunci

n

n

ab s sG s H st h sh

s s s

12 )(lim)(lim)]([lim)0( −===′=′∞→∞→∞→

+ L . (15)

Prin urmare, un sistem semipropriu ( 0≠nb ) are r ăspunsul indicial )(t h discontinuuîn origine, un sistem strict propriu cu ordinul relativ unu ( 0=nb şi 01 ≠−nb ) are

r ăspunsul indicial )(t h continuu şi nederivabil în origine (tangent la o dreaptă oblică), iar un sistem strict propriu cu ordinul relativ doi sau mai mare ( 0=nb şi

01 =−nb ) are r ăspunsul indicial )(t h continuu şi derivabil în origine (tangent la axa

timpului).

In general, pentru orice sistem propriu , avem

2

11)0(n

nn

n

n

a

ba

a

bh −− −=′ + .

Această relaţie poate fi dedusă cu ajutorul proprietăţii valorii iniţiale, ţinând seama

că sistemul cu funcţia de transfern

n

a

b sG sG −= )()(1 este strict propriu şi are funcţia

indicială )(1)()(1

t a

bt ht h

n

n ⋅−= ; deci

2

1111

21 )(lim)(lim)0()0(

n

nn

n

n

a

ba

a

b

s sG s H shh s s

−−

−===′=′ ∞→∞→++ . (16)

2°. Din proprietatea valorii finale rezultă că dacă r ăspunsul indicial )(t h al unui

sistem tinde la o valoare finită pentru ∞→t , atunci această valoare este egală cufactorul static de propor ţionalitate al sistemului:


19/212


K abG sG s sH h s s

=====∞→→

00 /)0()(lim)(lim)(00

. (17)

Acest rezultat era cunoscut de la analiza în domeniul timpului, din faptul că pentru

orice r ăspuns indicial )(t h care se stabilizează la o valoare finită, deosebim două

regimuri staţionare, unul trivial, pentru )0,(−∞∈t , şi unul final, la încheierea

regimului tranzitoriu (teoretic, pentru ∞→t ), iar în condiţiile celui de-al doilea

regim staţionar, din ecuaţia modelului staţionar ( Ku y = ), rezultă

K Ku y =∞=∞ )()( .

Prin urmare, la sistemele de tip propor ţional (cu factorul static de propor ţionalitate K finit şi nenul), r ăspunsul indicial )(t h tinde la o valoare finită şi nenulă, în timp

ce la sistemele de tip derivativ (cu factorul static de propor ţionalitate egal cu zero),r ăspunsul indicial )(t h tinde la valoarea zero (fiind deci sub formă de “impuls”).

La sistemele de întârziere de ordinul unu, cu funcţia de transfer

1)(

1 +=

sT

K sG , 01 >T ,

r ăspunsul indicial )(t h poate fi reprezentat grafic pe baza relaţiilor

0)()0( =∞=+ Gh , K Gh ==∞ )0()( , 1)4...3( T T tr ≅ , (18)

unde tr T este durata regimului tranzitoriu.

3°. Regulatoarele continue de tip PID, cu ecuaţia improprie

0)

ddd

0

1( ct

T t T

K cd

i R

t +++= ∫ ε ε ε ,

au funcţia de transfer

)1

1()( sT sT

K sGd

i R R ++= . (19)

Această funcţie de transfer este improprie (cu gradul număr ătorului mai mare decât

cel al numitorului) datorită componentei derivative. Caracterul impropriu al acestei

componente reiese şi din faptul că la intrare treaptă, componenta derivativă este de

tip impuls Dirac. In realitate, funcţia de transfer a regulatorului PID are forma

semiproprie

)1

11()(

1 +++=

sT

sT

sT K sG d

i R R , (20)


20/212


unde 1T este constanta de timp de întârziere a componentei derivative (cu valoarea,

de regulă, mult mai mică decât cea a constantei de timp derivative d T ). Ţinând

seama de (18), r ăspunsul la intrare treaptă unitar ă a componentei derivative

semiproprii cu funcţia de transfer 11 + sT

sT d

creşte instantaneu la valoarea maximă

1/T T d , apoi coboar ă spre zero, durata regimului tranzitoriu fiind 1)43( T T tr ≅

(egală cu timpul în care exponenţiala 1/e T t − scade de la valoarea iniţială 1 lavaloarea 05,0e 3 ≅− sau 02,0e 4 ≅− ).

Prin utilizarea formei improprii a componentei derivative, în calculul r ăspunsului

unui sistem de reglare nu apar erori semnificative, deoarece caracterul impropriu al

regulatorului este compensat de caracterul strict propriu al păr ţii fixate (reprezentate

de sistemul format din elementul de execuţie, proces şi traductor). In plus, constanta

de timp de întârziere dominantă a păr ţii fixate este de zeci sau sute de ori mai maredecât constanta de timp de întârziere 1d T a componentei derivative semiproprii. Aşa

se explică faptul că, de cele mai multe ori, funcţia de transfer a regulatorului PID

apare în literatura de specialitate în forma improprie (19). Sub această formă,

proprietăţile şi rolul componentei derivative sunt relativ uşor de înţeles şi de

interpretat, inclusiv de către personalul din domeniu f ăr ă studii superioare.

4°. La sistemele semiproprii de tip propor ţional (caracterizate printr-un r ăspunsindicial care tinde la o valoare finită şi nenulă), cu funcţia de transfer )( sG , definim

factorul (raportul ) de magnitudine m f ca fiind raportul dintre valoarea iniţială şi

valoarea finală a r ăspunsului indicial )(t h , adică

)(

)0(

∞= +

h

h f m . (21)

Din (14), (17) şi (21) rezultă

)0(

)(

G

G f m

∞= . (22)

Regulatorul pur propor ţional, cu funcţia de transfer R R K sG =)( , are factorul de

magnitudine egal cu 1, iar regulatorul de tip propor ţional-derivativ, cu funcţia de

transfer

)1

1()(1 +

+= sT

sT K sG d R R ,

are factorul de magnitudine 1/1 T T f d m += . Factorul de magnitudine al regulatorului

PD este supraunitar, f ăr ă a depăşi însă valoarea 20, deoarece o valoare mai mică a


21/212


acestuia asigur ă un semnal de comandă mai neted (mai puţin agresiv), o amplificare

mai mică a zgomotului, o uzur ă mai redusă a instalaţiei comandate, un consum mai

mic de energie şi combustibil. In cazul regulatorului cu componentă derivativă improprie (cu 01 =T ), factorul de magnitudine are valoarea ∞ .

5°. Modelul operaţional

)()()( sU sG sY =

permite confirmarea imediată a veridicităţii teoremei de echivalen ţă intrare-ie şire,

conform căreia două sisteme liniare continue sunt echivalente I-E (au acelaşi r ăspuns

la orice intrare de tip original comună) dacă şi numai dacă funcţiile de transfer ale

sistemelor sunt egale (sunt reductibile la aceeaşi expresie, deci au aceleaşi valori

pentru orice C∈ s din domeniul comun de definiţie).

6°. Un sistem cu ecuaţia diferenţială de ordinul n , deci având polinomul

caracteristic de gradul n , se numeşte minimal dacă nu există un alt sistem echivalent

intrare-ieşire care să aibă ordinul mai mic decât n .

Teorema de minimalitate a sistemelor monovariabile. Un sistem liniar monova-

riabil este minimal dacă şi numai dacă polinomul caracteristic şi polinomul polilor

au acela şi grad .

Din teorema de minimalitate rezultă că un sistem monovariabil de tip I-E este

minimal atunci când forma primar ă (12) a funcţiei de transfer este ireductibilă

(număr ătorul şi numitorul nu au r ădăcini comune). Aducerea unui sistem neminimalla forma minimală constă în aducerea funcţiei de transfer la forma ireductibilă.

2.3. MATRICEA DE TRANSFER

In conformitate cu principiul superpoziţiei, pentru un sistem continuu liniarmultivariabil cu m intr ări şi p ieşiri, dependenţa ieşirii )( sY

i în raport cu intr ările

)(1 sU , )(

2 sU , … , )( sU

m, este dată de relaţia

)()()()()()()( 2211 sU sG sU sG sU sG sY mimiii +++= ,

unde )( sGij

este funcţia de transfer a canalului cu intrarea j

U şi ieşireai

Y . Relaţiile

pot fi scrise pentru toate ieşirile sub forma vectorial-matriceală

)()()( s s s U G Y = , (23)

echivalentă cu


22/212


23/212


⎩⎨⎧

)()()(

)()()(

t +DU t CX =t Y

t +BU t AX =t X ,

obţinem

⎩⎨⎧

+=−= −

)()()()()I()(

1

s DU sCX sY s BU A s s X .

Mai departe, înlocuind vectorul de stare )( s X din ecuaţia stării în ecuaţia ieşirii,

rezultă matricea de transfer a sistemului (de tipul m p× ), sub forma

D B A sC s +−= −1)I()(G . (27)

Funcţia matriceală 1)I()( −−= A s s , (28)

de tipul nn× , reprezintă transformata Laplace a matricei fundamentale (de tranziţiea stării) )(1e)( t t At ⋅=Φ . Intr-adevăr, aplicând transformarea Laplace relaţiei

)()0()()(' 0 t t At δ Φ Φ Φ ++= ,

unde I)0( =+Φ ,obţinem

I)()( += s A s s , I)()I( =− s A s , 1)I()( −−= A s s .

Aşadar, în afara metodelor în domeniul timpului (metoda diagonalizării şi metoda

Sylvester), exponenţiala matriceală At e poate fi calculată şi cu relaţia

])I[(e

11 −−

−= A s At

L . (29)

Matricea fundamental ă )( s este o funcţie matriceală pătrată, raţională, strict

proprie. Ea poate fi scrisă sub forma

)(

)()(

s

s s

P

E = , (30)

unde

)Idet()( A s s −=P

este polinomul caracteristic, iar )( s E - matricea de inversare asociată matricei A s −I . Elementele )( s E

ij

ale matricei pătrate )( s E sunt polinoame cu gradul mai

mic sau egal cu 1−n .Ţinând seama de (30), matricea de transfer )( sG a sistemului poate fi scrisă

astfel

D s

B sC D B A sC s +=+−= −

)(

)()I()( 1

P

E G ,


24/212


de unde rezultă că )( sG este o funcţie matriceală raţională proprie (strict proprie în

cazul 0= D ).Observaţii. 1°. Din relaţia )()()( sU s sY G = , rezultă că două sisteme cu funcţiile

sau matricele de transfer egale au acelaşi r ăspuns for ţat la orice intrare comună detip original, deci sunt echivalente intrare-ieşire. Acest rezultat constituie o extindere

a teoremei de echivalen ţă intrare-ie şire la sistemele multivariabile:

Două sisteme liniare continue sunt echivalente intrare-ie şire dacă şi numai dacă

au matricele de transfer egale.

2°. Deoarece două sisteme echivalente I-S-E sunt, de asemenea, echivalente I-E,

rezultă că două sisteme echivalente I-S-E au aceea şi matrice de transfer . Acest

rezultat poate fi obţinut şi pe baza relaţiilor date de teorema de echivalenţă I-S-E.

Astfel, dacă sistemele ),,,( DC B AΣ şi ),,,( DC B AΣ sunt echivalente I-S-E, iar S

este matricea de transformare a stării ( X S X = ), atunci:

=+−=+−= −−−− D BS AS S sCS D B A sC sG 1111 )I()I()(

)()I(])I([ 1111 sG D B A sC D BS AS S sS C =+−=+−= −−−− .

Două sisteme cu aceeaşi matrice (funcţie) de transfer nu sunt însă, în mod necesar,

echivalente I-S-E (de exemplu, în cazul sistemelor de ordin diferit).

3°. Din teorema de minimalitate a sistemelor monovariabile rezultă că un sistem

monovariabil de tip I-S-E de ordinul n (cu dimensiunea vectorului de stare X egală

cu n ) este minimal atunci când funcţia de transfer D B A sC sG +−= −1)I()( areordinul n , adică are n poli.

In toolbox-ul CONTROL din MATLAB, sistemul cu funcţia de transfer (12) seconstruieşte cu funcţia tf , care are ca argumente de intrare vectorii linie

][ 011 bbbbnum nn −= şi ][ 011 aaaaden nn −= ,

formaţi cu coeficienţii de la număr ătorul şi respectiv numitorul funcţiei de transfer:

stf = tf (num,den) ;

In cazul nr < , vectorul num poate fi scris şi sub forma][

011bbbbnum

r r −= .

Alt mod de a construi un sistem în MATLAB constă în definirea prealabilă a variabileiLaplace s , urmată de scrierea expresiei funcţiei de transfer cu ajutorul operatorilor uzuali.

De exemplu, sistemul stf cu funcţia de transfer245

13)(

2 +++= s s

s sG poate fi construit astfel:


25/212


s=tf (‘s’),

stf=(3*s+1)/(5*s^2+4*s+2);

In cazul sistemelor multivariabile, construcţia se face prin concatenarea subsistemelormonovariabile. De exemplu, sistemul stf cu matricea de transfer

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

+++

++

+++

=

2

1215

3

12

2

1

)(

2

22

s s s

s s

s

s s

s

sG ,

se construieşte astfel:

s11=tf([1 1], [1 1 2]);

s12=tf([2 1], [1 3 0]);

s21=tf([5 1], [1 2]);

s22=tf(1, [1 0 2]);

stf=[s11 s12;s21 s22];

saus=tf('s ');

s11=(s+1)/(s^2+s+2);

s12=(2s+1)/(s^2+3*s);

s21=(5s+1)/(s+2);

s22=1/(s^2+2);

stf=[s11 s12;s21 s22];

De asemenea, sistemul multivariabil poate fi construit prin crearea a două mulţimi devectori linie asociaţi număr ătorilor şi numitorilor funcţiilor de transfer din componenţamatricei de transfer:

Num={[1 1] [2 1];[5 1] 1};

Den={[1 1 2] [1 3 0];[1 2] [1 0 2};

stf=tf(Num,Den);

Sistemul de ordinul zero stf 0 cu matricea de transfer ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

43

21)( sG poate fi construit astfel:

stf0=tf([1 2;3 4]);

Cu comanda

s1=stf(i,j);

din sistemul multivariabil stf se extrage subsistemul 1 s cu funcţia de transfer )( sGij .

Sistemul stf de tip I-E poate fi transformat în sistemul sis de tip I-S-E, astfel:

sis=ss(stf);

Invers, sistemul sis de tip I-S-E poate fi transformat în sistemul stf de tip I-E, astfel:

stf=tf (sis);


26/212


2.4. FUNCTIA DE TRANSFER A SISTEMELOR COMPUSE

La sistemelor compuse, alcătuite din subsisteme liniare continue, obţinerea

modelului matematic pe baza ecuaţiilor diferenţiale ale subsistemelor componente

este o operaţie complicată, care presupune eliminarea tuturor variabilelorintermediare şi a derivatelor acestora. In cazul metodei operaţionale, determinarea

modelului unui sistem liniar compus este echivalentă cu determinarea funcţiilor de

transfer ale acestuia, operaţie care se realizează pe cale algebrică, ca în cazul

studiului unui sistem în regim staţionar sau al unui sistem format numai din

subsisteme statice (de ordinul zero).

In cazul conexiunii serie din figura 2.1, formată din subsistemul 1Σ cu funcţia detransfer

1G şi subsistemul 2Σ cu funcţia de transfer 2G , din modelele operaţionale

)()()( 2 sV sG sY = şi)()()(

1 sU sG sV = ,

rezultă )()()()(12

sU sG sG sY = . Prin urmare, sistemul compus are funcţia de transfer

)()()(12 sG sG sG = . In general, func ţ ia de transfer a unei conexiuni serie de n

subsisteme monovariabile este egal ă cu produsul func ţ iilor de transfer ale

subsistemelor componente, adică:

nGGGG 21= . (31)

Fig. 2.1. Conexiune serie.

Toţi polii conexiunii serie sunt poli ai subsistemelor componente. In consecinţă,

comportamentul dinamic al unei conexiuni serie nu difer ă radical de cel al

subsistemelor componente. Reamintim, în acest sens, că în cazul unui sistem cu

funcţia de transfer ireductibilă, polii acestuia coincid cu r ădăcinile ecuaţieicaracteristice a sistemului, iar acestea determină sub aspect calitativ comportamentul

dinamic al sistemului, adică forma r ăspunsului indicial.


27/212


Dacă toate funcţiile de transferi

G şi produsul acestoran

GGG 21

sunt funcţii

raţionale ireductibile, atunci ordinul funcţiei de transfer a conexiunii serie este egal

cu suma ordinelor funcţiilor de transfer ale subsistemelor componente.

La conectarea în serie a sistemelor multivariabile trebuie îndeplinită condiţia ca

numărul de ieşiri ale unui subsistem să fie egal cu numărul de intr ări ale

subsistemului următor. Matricea de transfer a conexiunii este egală cu produsul

matricelor de transfer ale subsistemelor componente, în ordine inversă, adică

11G G G G −= nn . (32)

In cazul conexiunii paralel din figura 2.2, avem

)()()()()()()(212121

sU GG sU G sU G sV sV sY +=+=+= ,

deci21

GGG += . In general, func ţ ia de transfer a unei conexiuni paralel de n

subsisteme monovariabile este egal ă cu suma algebrică a func ţ iilor de transfer ale

subsistemelor componente, adică

nGGGG +++=

21. (33)

Ca şi în cazul conexiunii serie, toţi polii conexiunii serie sunt poli ai

subsistemelor componente. In plus, dacă funcţiile de transfer ale subsistemelor n-au

niciun pol comun, atunci ordinul funcţiei de transfer a conexiunii este egal cu suma

ordinelor funcţiilor de transfer ale subsistemelor componente.

Fig. 2.2. Conexiune paralel .

Sistemele multivariabile pot fi conectate în paralel numai dacă au acelaşi numărde intr ări m şi acelaşi număr de ieşiri p . Matricea de transfer a conexiunii este

egală cu suma algebrică a matricelor de transfer ale elementelor componente –relaţia (33).

In cazul conexiunii cu reac ţ ie negativă din figura 2.3, notând cu1

G şi2

G

funcţiile de transfer ale subsistemelor 1Σ şi 2Σ , avem

)()(2111Y GU GV U G E GY −=−== ,


28/212


deci )1/(211

GGU GY += . Prin urmare, funcţia de transfer a sistemului cu intrarea U

şi ieşirea Y este

21

1

1 GG

GG

+= . (34)

Dacă produsul )()( 21 sG sG este o funcţie raţională ireductibilă, atunci toţi polii

conexiunii închise (cu reacţie) sunt diferiţi de polii subsistemelor componente. In

consecinţă, sistemele închise, spre deosebire de sistemele deschise, pot avea un

comportament dinamic radical diferit de cel al subsistemelor componente. Ordinul

funcţiei de transfer a conexiunii este egal cu suma ordinelor funcţiilor de transfer ale

subsistemelor componente.

Fig. 2.3. Conexiune cu reac ţ ie.

Să consider ăm acum sistemul de reglare automată după eroare (abatere) din

figura 2.4, având ca mărimi de intrare referinţa R şi perturbaţia V (aditivă la ieşirea

procesului).

Fig. 2.4. Sistem de reglare automat ă.

Toate celelalte mărimi ale sistemului (Y , E , C , U şi ) pot fi considerate mărimi

de ieşire. Formula funcţiei de transfer a unuia din cele zece canale intrare-ieşire ale

sistemului de reglare poate fi obţinută după următoarea regulă:

- număr ătorul este produsul funcţiilor de transfer ale elementelor (canalelor) de

pe traseul direct intrare-ieşire;- numitorul este acelaşi, egal cu suma )(1 sG

d + , unde

T P E Rd GGGGG = (35)


29/212


reprezintă funcţia de transfer a sistemului deschis (a conexiunii serie cu intrarea R

şi ieşirea , obţinută prin întreruperea buclei închise, după traductor). Aplicând

această regulă, avem

d

P E RYR GGGGG += 1 ,

d YV

GG

+= 1G V , (36)

d ER G

G+

=1

1,

d

T V EV

G

GGG

+−

=1

)1(, (37)

d CR

G

GG

+=

1

R ,d

RT V CV

G

GGGG

+

−=

1

)1(. (38)

Formulele (36) ale funcţiilor de transfer YRG şi YV G pot fi deduse procedând astfel:

se scriu succesiv relaţiile de dependenţă cauzală ale mărimii )( sY , până se ajunge la

mărimile de intrare )( sV şi )( s R , şi din nou la mărimea )( sY , adică

)()()()()()()( sV G s E GGG sV G sC GG sV G sU G sY V R E P V E P V P +=+=+=

)()]()([)()]()([ sV G sY G s RGGG sV G s M s RGGG V T R E P V R E P +−=+−= .

Rezultă

)()()()1( sV G s RGGG sY GGGG V R E P T R E P +=+ ,

adică )()()( sV G s RG sY YV YR

+= , unde YRG şi YV G au expresiile (36).

Deoarece toate funcţiile de transfer ale sistemului au acelaşi numitor, sistemul de

reglare are ecua ţ ia polilor

01 =+ T P E R GGGG , (39)

echivalentă cu

01 =+ F RGG , (40)

unde

T P E F GGGG =

este funcţia de transfer a păr ţii fixate.

La sistemele de reglare automată multivariabile, vectorul referinţă R , vectorul

ieşire Y , vectorul perturbaţie V , vectorul măsur ă şi vectorul eroare E au, de

regulă, aceeaşi dimensiune. Sistemul de reglare are matricele de transfer:

R E P T R E P YRG G G G G G G G 1)I( −+= , 1)I( −+=

T R E P YV G G G G G , (41)

1)I( −+= R E P T ER

G G G G G ,T R E P T EV

G G G G G G 1)I( −+−= . (42)


30/212


In MATLAB, pentru construirea conexiunilor serie, paralel şi cu reac ţ ie seutilizează funcţiile:

s = series(sis1,sis2) ;

p = parallel(sis1,sis2) ;

f = feedback (sis1,sis2,sign);

sau operatorii “+”, “*” şi “/”:s=sis1*sis2*sis3;

p=sis1+sis2+sis3;

f=sis1/(1+sis1*sis2);

2.5. CALCULUL RASPUNSULUI SISTEMELOR COMPUSE

Metoda operaţională Laplace permite determinarea pe cale algebrică a

r ă spunsului for ţ at al unui sistem liniar continuu compus la funcţii de intrare

analitice de tip original, atunci când se cunosc ecuaţiile diferenţiale ale fiecărui

subsistem.

Calculul analitic al r ăspunsului )(t yi al sistemului compus la o funcţie de intrare

)(t u j dată (tip impuls Dirac, treaptă, rampă, sinusoidal etc.) se face după

următoarea metodologie:

• se determină transformata Laplace )( sU j a funcţiei de intrare )(t u j ;

• se determină funcţiile de transfer ale subsistemelor componente;

• se calculează funcţia de transfer )( sGij a sistemului compus, corespunzătoare

intr ării )( sU j şi ieşirii )( sY i , în raport cu funcţiile de transfer ale subsistemelor;

• se calculează transformata Laplace )( sY i a r ăspunsului sistemului, cu relaţia

)()()( sU sG sY jiji = ;

• se calculează r ăspunsul sistemului )]([)( 1 sY t y ii−=L , prin metoda dezvoltării

funcţiei )( sY i în fracţii simple.

Calculul funcţiei pondere )(t g ij şi al funcţiei indiciale )(t hij se face cu relaţiile

)]([)( 1 sGt g ijij

−=L , )](1[)( 1 sG s

t hijij

−=L .

Dacă )( sGij are toţi polii situaţi în stânga axei imaginare, atunci r ăspunsul

indicial are valorile iniţială şi finală

)()0( ∞=+ ijij Gh , )0()( ijij Gh =∞ .


31/212


In general, r ăspunsul indicial )(t hij satisface un număr de condiţii iniţiale nule egal

cu ordinul relativ al funcţiei de transfer )( sGij . Prima condiţie iniţială nenulă a

r ăspunsului indicial este egală cu raportul coeficienţilor termenilor de grad maximde la număr ătorul şi numitorul funcţiei de transfer )( sGij . Astfel, dacă )( sGij este

strict proprie ( 0=nb ), atunci

0)0( =+ijh ,n

nij a

bh 1)0( −=′ + , )0()( ijij Gh =∞ . (43)

Dacă )( sGij este de ordinul unu, cu constanta de timp de întârziere (de la

numitor) 01 >T şi constanta de timp de avans (de la număr ător) 1τ , 110 T nT T T ,

atunci durata regimului tranzitoriu al r ăspunsului indicial are valoarea aproximativă

))(4...3( 21 ntr T T T T +++≅ .

O justificare a acestei relaţii este dată de aproximaţia

≅+++ )1()1)(1( 21 sT sT sT n 1)( 21 ++++ sT T T n ,

prin care un sistem de ordinul n poate fi redus (cu aproximaţie, desigur) la un

sistem de ordinul unu. Si mai geenral, dacă număr ătorul are forma

)1()1)(1( 21 +++ sτ sτ sτ n ,

cu ii T τ


32/212


In MATLAB, pentru calculul şi reprezentarea grafică a r ăspunsului indicial, ar ăspunsului pondere şi a r ăspunsului la o intrare arbitrar ă de tip original U , în formă de

scar ă, se utilizează funcţiile:

• [Y,t] = step (sis,t) ;• [Y,t] = impulse (sis,t) ;• [Y,t] = lsim (sis,U,t) ;

Argumentul de intrare t , reprezentând vectorul timp, poate fi introdus printr-o comandă de forma

• t=t0:T:t1,

unde t 0 este valoarea iniţială (de regulă egală cu 0), T este pasul de calcul, iar t 1 - valoarea

finală. Argumentul de intrare t poate fi omis la funcţiile step şi impulse, caz în care acestaeste generat automat de funcţia respectivă. Argumentele de intrare U şi t ale funcţiei lsim sunt vectori cu aceeaşi dimensiune. Componentele vectorilor U şi Y reprezintă respectivvalorile mărimilor de intrare şi de ieşire la momentele de timp specificate de vectorul t .

Dacă funcţiile sunt apelate f ăr ă specificarea vreunui argument de ieşire, atunci seefectuează numai reprezentarea grafică a r ăspunsului. In cazul contrar, se efectuează evaluarea acestor argumente, f ăr ă reprezentarea grafică a r ăspunsului.

2.6. RASPUNSUL SISTEMELOR ELEMENTARE

In cele ce urmează vor fi calculate, interpretate şi analizate r ăspunsurile

sistemelor liniare elementare de tip pur integral, de întârziere de ordinul unu,

derivativ de ordinul unu, de avans-întârziere de ordinul unu, de întârziere de ordinul

doi, derivativ de ordinul doi şi de avans-întârziere de ordinul doi.

2.6.1. R ăspunsul sistemului pur integral

Sistemul pur integral (integrator) de ordinul unu, cu factorul de amplificare K şiconstanta de timp integrală

iT , are modelul I-E de forma

Ku

t

yT i =

d

d (45)

şi funcţia de transfer

sT K

sGi

=)( . (46)

Sistemul are funcţia pondere


33/212


ii

T K

sT K

t g == − ][)( 1L ,

funcţia indicială

ii T

t K

sT

K t h == − ][)(

2

1L

şi r ăspunsul la intrare rampă unitar ă, )(1 t t u ⋅= ,

iiT

t K

sT t h K

2][)(

2

31

1 == −L .

Se observă că sistemul pur integral de ordinul unu are funcţia pondere sub formă de

treaptă, funcţia indicială sub formă de rampă şi r ăspunsul la intrare rampă unitar ă

sub formă parabolică (fig. 2.5).

Fig. 2.5. Ră spunsul sistemului pur integral de ordinul unu.

Sistemul pur integral de ordinul q ( 1≥q ), cu factorul de amplificare K şiconstanta de timp integrală

iT , are modelul I-E de forma

Ku yT qqi

=)(


qi sT

K sG

)()( = .

2.6.2. R ăspunsul sistemului de întârziere de ordinul unuSistemul de întârziere de ordinul unu este cel mai simplu sistem dinamic liniar de

tip propor ţional. Acesta are modelul dinamic

Ku yt

yT =+

d

d1

, 01

>T , (47)


34/212


modelul staţionaru K y = ,

funcţia de transfer

1)( 1 += sT K

sG , (48)

unde K este factorul static de propor ţionalitate, iar1

T - constanta de timp.

Funcţia indicială )(t h are următoarele proprietăţi (fig. 2.6):

0)()0( =∞=+ Gh ,1

)(lim)0(T K

s sGh s

==′∞→

+ ,

K Gh ==∞ )0()( ,

1)4...3( T T tr ≅ .

Fig. 2.6. Ră spunsul sistemului de întârziere de ordinul unu.

Funcţia pondere, funcţia indicială şi r ăspunsul la intrare rampă unitar ă se calculează

astfel:

1/

11

1 e]1

[)(T t

T K

sT K

t g −− ⋅=+

=L ,

)e1(]1

1[]

)1([)( 1

/

1

11

1

1 T t K sT

T

s K

sT s K

t h −−− −=

+−=

+= L L , (49)

)]e1([]1

1[])1(

[)( 1/

11

1

2112

1

12

11

T t

T t KT

sT T

sT

s K

sT s K t h −−− −−=

+−=

+= +L L .

Funcţia indicială )(t h tinde simplu exponenţial şi concav spre valoarea finală

K , atingând valorile K 95,0 şi K 98,0 respectiv la momentele de timp195

3T T tr

≅ şi

1984T T

tr ≅ . Mărimile

95tr T şi

98tr T caracterizează durata regimului tranzitoriu


35/212


(timpul de r ăspuns) şi permit o interpretare geometrică simplă a constantei de timp

1T . Altă interpretare geometrică a constantei de timp

1T este ilustrată în figura 2.7, în

care segmentul AC este tangent la exponenţiala )(t h în punctul A, situat arbitrar pe

exponenţială. In cazul 01


36/212


uT K y yT d =+1 , 01 >T , (50)

modelul staţionar0= y ,


1)(

1 +=

sT

sT K sG d , (51)

unde K este factorul de propor ţionalitate, d T constanta de timp derivativă şi 1T

constanta de timp de întârziere.

Funcţia indicială )(t h are următoarele proprietăţi (fig. 2.8):

1

)()0(T

T K Gh d =∞=+ , 0)0()( ==∞ Gh , 1)43( T T tr ≅ .

Sistemul are func ţ ia pondere

]e1

)([]1

11[]

1

)[)( 1/

10

11

1

11

1 T t d d d

T t

T

T K

sT T

T K

sT

sT K t g −−− −=

+−=

+= δ L L ,

şi func ţ ia indicial ă

1/

11

1 e]1

[)( T t d d

T

T K

sT

T K t h −− =

+=L . (52)

Sistemul derivativ de ordinul unu este frecvent utilizat în generarea semnalelor

de comandă cu caracter anticipativ, deoarece r ăspunsul indicial este de tip „impuls”,

cu valoarea iniţială 1T

T K d şi valoarea finală zero. Timpul de r ăspuns, în care )(t h are

o variaţie de 95 % din valoarea iniţială (exponenţiala 1/

eT t −

scade de la valoarea

iniţială 1 la valoarea 05,0e 3 ≅− ), este195

3T T tr

≅ .

Fig. 2.8. Ră spunsul indicial al sistemului derivativ de ordinul unu.


37/212


Scriind funcţia de transfer sub forma

)1

11()(

11 +−=

sT T

T K sG d ,

rezultă că sistemul derivativ de ordinul unu poate fi obţinut prin conectarea paralel-opusă a unui sistem de tip static şi a unui sistem de întârziere de ordinul unu, ambele

având acelaşi factor static de propor ţionalitate.

2.6.4. R ăspunsul sistemului de avans-întârziere de ordinul unu

Sistemul de avans-întârziere de ordinul unu are modelul dinamic

)(11

uu K y yT +=+ τ , 01>T , (53)

modelul staţionaru K y = ,


1

)1()(

1

1

++

= sT

s K sG

τ , (54)

unde K este factorul static de propor ţionalitate,1

T - constanta de timp de întârziere,

iar1τ - constanta de timp de avans. Efectul de avans este dominant în cazul 11 T >τ ,

iar efectul de întârziere este dominant în cazul 110 T


38/212


Sistemul de avans de ordinul unu (cu11

T >τ ) este frecvent utilizat în generarea

semnalelor de comandă cu caracter anticipativ, deoarece r ăspunsul indicial are ovaloare iniţială de 11 /T τ ori mai mare decât valoarea finală. Raportul 11 /T τ dintre

valoarea iniţială (maximă) şi cea finală a r ăspunsului indicial reprezintă factorul de

magnitudine. Scriind funcţia de transfer sub forma

]1

)(1[)(

1

11

+−

+= sT

sT K sG τ

, (56)

am obţinut funcţia de transfer a unui regulator de tip PD cu constanta de timpderivativă 11 T T d −=τ .

Fig. 2.9. Ră spunsul indicial al sistemului de avans-întârziere de ordinul unu.

Scriind funcţia de transfer sub forma

)1

1/()(

1

11

1

1

+−−=

sT

T

T K sG

τ τ ,

rezultă că sistemul de avans-întârziere de ordinul unu poate fi obţinut prin

conectarea paralel-opusă a unui sistem de tip static şi a unui sistem de întârziere de

ordinul unu.

2.6.5. R ăspunsul sistemului de întârziere de ordinul doi

Sistemul de întârziere de ordinul doi are ecuaţia diferenţială

u K y y y nnn222 ω ω ω ξ =++ , 0>n , (57)

modelul staţionaru K y =



39/212


22

2

2)(

nn

n

s s

K sG

ω ξω

ω

++= , (58)

unde K este factorul static de propor ţionalitate, ξ factorul de amortizare, iar n

pulsaţia naturală.Deoarece excesul poli-zerouri este egal cu doi, funcţia indicială )(t h este

continuă în origine şi tangentă la axa timpului, adică 0)0()0( =′= ++ hh . In plus,

pentru 0>ξ , avem 1)0()( ==∞ Gh .

Funcţia de transfer a sistemului poate fi scrisă şi sub forma

1)(

122

2 ++=

sT sT

K sG ,

unde1

T şi2

T sunt constante de timp pozitive. In continuare, vom considera 1= K .

Cazul 10


40/212


din care reiese că punctele de extrem sunt situate pe exponenţialelet nt f

ξω −−= e1)(2,1

.

Fig. 2.10. Ră spunsul indicial al sistemului de întârziere de ordinul doi,

pentru 0


41/212


Cazul 0=ξ (regim oscilant între ţ inut ). Sistemul are r ăspunsul indicial

t s

s s s s

t yn

nn

n ω ω ω

ω cos1]

1[]

)([)(

221

22

21 −=

+−=

+= −− L L . (61)

R ăspunsul indicial este sinusoidal, cu amplitudinea constantă (egală cu 1) şi cu pulsaţia egală cu pulsaţia naturală

n (fig. 2.12).

Fig. 2.12. Ră spunsul indicial al sistemului de întârziere de ordinul doi,

pentru 0=ξ şi 1=ξ .

Aplicând la intrare semnalul armonic t un

cos= cu pulsaţian, se obţine

r ăspunsul

t t s

st y

nnn

n ω ω ω

ω sin

21

])(

[)(222

21 =

+= −L ,

caracterizat prin oscilaţii sinusoidale cu amplitudinea liniar crescătoare în timp.

Cazul 1=ξ (regim critic). Sistemul are r ăspunsul indicial

)1(e1])(

11[]

)([)(

21

2

21 t

s s s s st y

n

t

n

n

nn

n n ω ω

ω

ω ω

ω ω +−=+

−+

−=+

= −−− L L .

R ăspunsul indicial este strict crescător pentru 0≥t (fig. 2.12).

Cazul 1>ξ (regim supraamortizat ). Funcţia de transfer a sistemului poate fi

scrisă sub forma


42/212


)1)(1(

1)(

21 ++

= sT sT

sG , 021 >≥T T , (62)

Forma convex-concavă crescătoare şi cu punct de inflexiune a r ăspunsului indicial

(fig. 2.13) rezultă intuitiv din observaţia că sistemul poate fi descompus în două subsisteme de întârziere de ordinul unu, conectate în serie, cu funcţiile de transfer

1

1)(

11 +

= sT

sG ,1

1)(

22 +

= sT

sG .

Prin eliminarea termenului de gradul doi de la numitorul funcţiei de transfer obţinem

funcţia de transfer a unui sistem de întârziere de ordinul unu, cu constanta de timp

21 T T + . In consecinţă, durata regimului tranzitoriu este

))(43( 21 T T T tr +≅

Intre parametrii formelor echivalente (58) şi (62) de reprezentare a funcţiei detransfer, există următoarele relaţii:

n

T ω ξ ξ 12

2,1

−±= , 122

1 −+= ξ ξ T

T ,

21

1T T n

=ω ,21

21

2 T T

T T +=ξ .

Sistemul are r ăspunsul indicial

21 // e1

e1

11)( T t T t

k

k

k t y −−

−+

−−= , (63)

unde 1/12

1.

Parametrii asociaţi punctului de inflexiune I depind de constantele de timp1

T şi

2T , după relaţiile [9]:


43/212


z T

t ln

1

1 −= , k T

T +=

′1

1

, z T

T 1

1

= , z z

k T

t ln

11

1

0 −−+= , z k y )1(11 +−= , (64)

unde

1),e1(1 ∈−= k

k

k z .

Intre constantele de timp1

T şi2

T ale sistemului şi timpii0

t ,1t , T şi T ′ ai

r ăspunsului indicial există următoarea relaţie de ordonare:

011120t T T t T t T t −′


44/212


Dacă se cunosc0

t şi T , atunci din relaţiile T t z k z /1)ln1( 0=−−+ şi k k

k z −= 1 se

obţine k , apoi cu relaţia Tz T =1

se obţine1

T , iar din relaţia 12 kT T = se obţine 2T .

Mai simplu, constantele de timp1

T şi2

T pot fi determinate din caracteristicile

grafice )/(/ 01 T t T T f = şi )/(/ 02 T t g T T = – figura 2.15.

Fig. 2.15. Caracteristicile )/(/ 01 T t f T T = şi )/(/ 02 T t g T T = .

Cazul 01


45/212


2.6.6. R ăspunsul sistemului derivativ de ordinul doi

Sistemul derivativ de ordinul doi are ecuaţia

uT K y yT T yT T d =+++ )( 2121 , 120 T T ≤< , (66)


1)1)(()(

21 ++=

sT sT

s KT sG d , (67)

unde d T este constanta de timp derivativă, iar 1T şi 2T sunt constantele de timp de

întârziere. De remarcat faptul că pentru 02

=T , sistemul devine derivativ de ordinul

unu. Ca şi acesta, sistemul derivativ de ordinul doi este utilizat în generarea

semnalelor de comandă cu caracter anticipativ, r ăspunsul indicial fiind de tip

„impuls” (creşte în primele momente la o valoare maximă, după care tinde spre zero,creşterea fiind însă mai lentă decât la sistemul derivativ de ordinul unu, unde

creşterea este bruscă). Acest comportament mai puţin agresiv rezultă şi din faptul că

sistemul derivativ de ordinul doi poate fi obţinut prin conectarea în serie a

sistemului derivativ de ordinul unu, cu funcţia de transfer

1)(

11 +

= sT

sT K sG d ,

cu sistemul de întârziere de ordinul unu, cu funcţia de transfer

11)(2

2 += sT sG .

Funcţia indicială )(t h are următoarele proprietăţi:

0)()0( =∞=+ Gh ,21

)(lim)0(T T

KT s sGh d

s==′

∞→+ ,

0)0()( ==∞ Gh .

In cazul 21 T T ≠ şi 1= K , r ăspunsul indicial este dat de relaţia:

)ee(]1)1)((

[)( 212121

1 T

t

T

t

d d T T

T sT sT

T t h−−

− −⋅−=++=L . (68)

Pentru21

T T = , r ăspunsul indicial are expresia (fig. 2.17)

1e]1)(

[)(2

12

1

1 T

t

d d

T

t T

sT

T t h

−− ⋅=

+=L . (69)


46/212


Valoarea maximă, atinsă la momentul 1T t = , este dată de formula

1max

eT

T h d = . (70)

Fig. 2.17. Ră spunsul indicial al sistemului derivativ de ordinul doi cu 121 ==T T , pentru diferite valori ale constantei de timp derivative d T .

2.6.7. R ăspunsul în timp al sistemului de avans-întârzierede ordinul doi

Sistemul de avans-întârziere de ordinul doi are ecuaţia

)()( 12121 uu K y yT T yT T +=+++ τ , 120 T T ≤< , (71)


1)1)((

1)()(

21

1

+++

= sT sT

s K sG

τ , (72)

unde1τ este constanta de timp de avans, iar

1T şi

2T sunt constantele de timp de

întârziere.

De remarcat faptul că pentru21

T =τ şi11

T =τ , sistemul devine de întârziere de

ordinul unu, cu funcţia de transfer1

1

1 + sT , respectiv

1

1

2 + sT .

Sistemul de avans-întârziere de ordinul doi poate fi obţinut prin conectarea în

serie a unui sistem de avans-întârziere de ordinul unu, cu funcţia de transfer

1

)1()(

1

11 +

+=

sT

s K sG

τ ,


47/212


cu un sistem de întârziere de ordinul unu, cu funcţia de transfer

11

)(2

2 +=

sT sG .

Din această reprezentare rezultă că r ăspunsul la o intrare dată a sistemului de avans-întârziere de ordinul doi este mai lent decât r ăspunsul sistemului de avans-întârzierede ordinul unu cu funcţia de transfer )(1 sG . Pentru 02 =T , sistemul devine de avans-

întârziere de ordinul unu.

Funcţia indicială )(t h are următoarele proprietăţi:

0)()0( =∞=+ Gh ,21

1)(lim)0(T T

K s sGh

s

τ ==′

∞→+ , K Gh ==∞ )0()( .

In cazul 1= K şi 021

>>T T , r ăspunsul indicial este dat de relaţia (fig. 2.18):

21 ee1]1)1)((

1[)(

21

21

21

11

21

11 T t

T t

T T

T

T T

T

sT sT s

st h

−−− ⋅−−−⋅

−−+=

+++= τ τ τ L . (73)

Fig. 2.18. Ră spunsul indicial al sistemului de avans-întârziere de ordinul doi, pentru diferite valori ale constantei de timp de avans 1τ .

R ăspunsul indicial este crescător pentru },max{0211

T T ≤≤τ . Pentru },max{211

T T >τ ,

r ăspunsul indicial este nemonotonic, având suprareglajul (depăşirea valorii finale)


48/212


2112/1

1

21

/11

11)1/()1( /

T T T T T T

−− −⋅−= τ τ σ . (74)

Formula suprareglajului se obţine ţinând seama că ecuaţia 0)( =t h are soluţia0

t

dată de relaţia

1

1ln

11

21

21

210

/

/

−−

−=

T

T

T T

T T t

τ

τ .

Sistemul de avans de ordinul doi, cu },max{211

T T >τ , este utilizat în generarea

semnalelor de comandă cu caracter anticipativ, deoarece r ăspunsul indicial creşte în

primele momente la o valoare mai mare decât valoarea sa finală. Creşterea este însă

mult mai lină decât la sistemele de avans de ordinul unu (unde creşterea este bruscă).

In cazul21

T T = , r ăspunsul indicial are expresia

1e]1)1[(1)1(1

1])1(

1[)(11

12

1

11

12

1

11 1 T

t

T T sT T

sT T

s sT s st h t

−− −−+=+−++−=++=

τ τ τ L .

Dacă 211

T T =>τ , atunci din ecuaţia 0)( =t h rezultă soluţia

11

0 −=

x

xT t

şi suprareglajul

1e)1( −−

⋅−= x x

xσ , (92)

unde 11

1

>= T x

τ

(fig. 2.19). Pentru 4> , avem 2,84

8,0

−

+≈

x

σ .

Fig. 2.19. Dependen ţ a suprareglajului σ în func ţ ie de raportul 11 /T x τ = ,

pentru 21 T T = .


49/212


2.7. SISTEME MONOTONICE

Reamintim că, prin definiţie, un sistem este crescător monotonic (C-monotonic)

atunci când r ăspunsul său la orice intrare de tip original crescătoare este crescător.

De asemenea, un sistem este descrescător monotonic (D-monotonic) atunci când

r ăspunsul său la orice intrare de tip original crescătoare este descrescător. Un sistem

care nu este C-monotonic sau D-monotonic este nemonotonic. Conform teoremei

fundamentale a sistemelor monotonice, un sistem liniar, invariant şi monovariabil

este C-monotonic dacă şi numai dacă are funcţia pondere )(t g nenegativă (cu valori

pozitive sau nule la toate momentele de timp R ∈t ) sau, echivalent, dacă şi numaidacă are funcţia indicială )(t h crescătoare. O conexiune serie de subsisteme mono-

tonice este un sistem monotonic deoarece, aplicând la intrarea conexiunii un semnal

treaptă unitar ă, r ăspunsul primului subsistem este monotonic, r ăspunsul următoruluisubsistem este monotonic ş.a.m.d.

In continuare ne vom referi numai la sistemele continue şi liniare. In mod

evident, dacă un sistem cu funcţia de transfer )( sG este C-monotonic, atunci

sistemul cu funcţia de transfer )( sG− este D-monotonic.

Prima teoremă de conservare a monotonicit ăţ ii [10]. Un sistem liniar

monotonic î şi conservă proprietatea de monotonicitate prin:

a) eliminarea sau mic şorarea unei constante de timp2 de avans pozitive;

b) introducerea sau mărirea unei constante de timp3 de întârziere pozitive.

Pentru demonstrarea teoremei, consider ăm un sistem Σ de tip C-monotonic, cufuncţia de transfer )( sG . Presupunem că )( sG are constanta de timp de avans 1τ

( 01 >τ ). Prin înlocuirea constantei de timp 1τ cu 1T ( 110 τ


50/212


De asemenea, presupunând că )( sG are constanta de timp de întârziere 1T ( 01 ≥T ),

prin înlocuirea ei cu 1τ ( 11 T >τ ), obţinem sistemul Σ cu funcţia de transfer )( sG

dată de (93). Demonstrarea teoremei 1 de conservare a monotonicităţii se reduce la a

ar ăta că sistemul Σ cu funcţia de transfer )( sG este monotonic. Acest lucru esteadevărat deoarece sistemul Σ este o conexiune serie de două subsisteme C-monotonice: subsistemul de avans-întârziere de ordinul unu cu funcţia de transfer

1

1)(

1

10 +

+=

s

sT sG

τ

şi subsistemul Σ cu funcţia de transfer )( sG .

Sistemul cu funcţia de transfer

)1()1)(1(

)1()1)(1()(

21

21

+++

+++=

sT sT sT

s s s sG

n

r

τ τ τ , (94)

unde nr ≤ şi 0>≥ iiT τ pentru r i ,,2,1 = , este C-monotonic deoarece poate fi

reprezentat ca o conexiune serie de n subsisteme monotonice, anume subsistemele

de avans-întârziere de ordinul unu cu funcţiile de transfer

1

1)(

++

= sT

s sG

i

ii

τ , r i ,,2,1 =

şi subsistemele de întârziere de ordinul unu cu funcţiile de transfer

1

1

)( += sT sG ii , nr r i ,,2,1 ++= .

Sistemul cu funcţia de transfer (94), în care toate constantele de timp sunt

pozitive, iar cea mai mare constant ă de timp este una de avans, este un sistem

nemonotonic. Pentru a demonstra acest lucru în cazul particular în care toate

constantele de timp de întârziere sunt distincte, să consider ăm, de exemplu, că

nT T T >>>> 211τ şi să presupunem, prin reducere la absurd, că sistemul este

monotonic. Din valoarea finală a r ăspunsului indicial 1)0()( ==∞ Gh , rezultă că

sistemul este C-monotonic. In conformitate cu teorema 1 de conservare a monoto-

nicităţii, sistemul cu funcţia de transfer

)1()1)(1(

1)(

21

11 +++

+=

sT sT sT

s sG

n

τ

este, de asemenea, C-monotonic. Acest sistem are funcţia pondere de forma


51/212


nT t nT t T t C C C t g //2

/11 eee)( 21

−−− +++= ,

care satisface proprietatea

0

)1()1(

)1(1

)(elim

11

2

1

1

111/1 <

−−

−

==∞→

T

T

T

T T T C t g

n

T t

t

τ

.

Prin urmare, funcţia pondere nu satisface condiţia 0)(1 ≥t g pentru orice 0≥t ,

deci sistemul cu funcţia de transfer )(1 sG nu este C-monotonic, ceea ce este fals. O

consecinţă a rezultatului obţinut este aceea că sistemul cu funcţia de transfer )(1 sG ,

având toate constantele de timp pozitive, este C-monotonic dacă şi numai dacă

},,,{max 211 nT T T ≤τ . (95)

A doua teoremă de conservare a monotonicit ăţ ii [10]. Un sistem liniar

monotonic î şi conservă proprietatea de monotonicitate prin:

a) contractarea inversă4 a două constante de timp de avans pozitive ;

b) dispersarea inversă5 a două constante de timp de întârziere pozitive.

Pentru demonstrarea teoremei, consider ăm un sistem Σ de tip C-monotonic, cufuncţia de transfer )( sG . Presupunem că )( sG are constantele de timp de avans 1τ şi

2τ ( 021 >>τ τ ). Prin contractarea inversă a celor două constante de timp de avans

1τ şi 2τ , obţinem sistemul Σ cu funcţia de transfer

)()1)(1(

)1)(1()(

21

21 sG s�

bazele sistemelor automate

Documents