TEORIA CMPULUI ELECTROMAGNETIC Curs predat la Facultatea Electrotehnic 1996-1998, 2001-2002pag. 1.SISTEMUL LEGILOR ELECTROMAGNETISMULUI1 1.1.Recapitularea mrimilor electromagnetismului1 1.2.Regimurile mrimilor electrice i magnetice.2 1.3.Recapitularea legilor electromagnetismului2 1.4.Discuie asupra sistemului legilor electromagnetismului10 1.5.Ecuaiile lui Maxwell i Maxwell-Hertz13 1.6.Unda electromagnetic plan13 2.ENERGIA ELECTROMAGNETIC17 2.1.Elemente de termodinamic17 2.2.Teorema energiei electromagnetice 18 2.3.Identitatea energetic fundamental (Poynting)18 2.4.Fluxul de energie electromagnetic. Vectorul lui Poynting19 2.5.Energia electromagnetic20 2.6.Schimbul de putere prin histerezis. Teorema lui Warburg22 2.7..Pierderi n circuitele magnetice24 2.8.Teorema transferului de putere pe la bornele unui multipol (teorema lui R. Rdule) 25 2.9.Teorema de unicitate a soluiilor ecuaiilor cmpului electromagnetic27 3.FORE ELECTROMAGNETICE29 3.1.Teoremele forelor generalizate n cmpul electromagnetic 29 3.2.Fora de atracie ntre armturile unui condensator30 3.3.Fora portant a unui electromagnet30 3.4.Teorema densitii de volum a forei electromagnetice31 3.5.Tensiuni maxwelliene n cmpul electromagnetic31 4.CMPUL ELECTROSTATIC34 4.1.Teorema relaxaiei sarcinii electrice34 4.2.Teorema potenialului electrostatic34 4.3.Conductoarele n cmp electrostatic.37 4.4.Condiii de trecere prin suprafee de discontinuitate a proprietilor electrice39 4.5.Ecuaiile potenialului electrostatic40 4.5.1.Potenialul electric scalar40 4.5.2.Formulele lui Green pentru cmpuri de scalari40 4.5.3.Condiii de frontier de tip Dirichlet i Neumann41 4.5.4.Teorema unicitii soluiilor ecuaiilor Poisson i Laplace pentru potenialul scalar 41 4.6.Teorema unicitii i superpoziiei cmpurilor electrostatice.42 5.SISTEME DE CONDUCTOARE N ECHILIBRU ELECTROSTATIC43 5.1.Condensatorul electric i capacitatea electrostatic43 5.2.Relaiile lui Maxwell referitoare la capaciti45 53.Capacitile liniilor electrice aeriene48 6.ENERGIA I FORELE CMPULUI ELECTROSTATIC51 6.1.Energiaelectrostaticacmpului unui sistem de conductoare51 6.2.Densitatea de volum a energiei cmpului electrostatic53 6.3.Teoremele forelor generalizate n cmp electrostatic55 7.METODE PENTRU DETERMINAREA CMPULUI ELECTROSTATIC58 7.1.Clasificarea metodelor58 7.2.Metoda elementar58 7.3.MetodarezolvriiecuaiilorluiLaplaceiPoissonpentrucmpul electrostatic 60 7.4.Metoda separrii variabilelor63 7.4.1.Separarea variabilelor i dezvoltarea n serie de funcii ortogonale (problema Sturm-Liuville) 63 7.4.2.Separarea variabilelor n reperul cartezian65 7.5.Metoda imaginilor electrice67 7.5.1.Principiul metodei67 7.5.2.Imagini electrice n raport cu planul conductor68 7.5.3.Imagini electrice n dielectrici omogeni pe straturi69 7.5.4.Alte configuraii care se pot trata cu ajutorul metodei imaginilor electrice70 7.6.Metoda aproximrii formei liniilor de cmp70 7.7.Metoda funciilor de variabil complex71 7.7.1.Funcii analitice. Condiiile Cauchy-Riemann72 7.7.2.Potenialul electrostatic complex73 7.7.3.Metoda transformrii conforme74 8.CMPUL ELECTRIC STAIONAR (CMPUL ELECTROCINETIC)75 8.1.Formele legilor cmpului electromagnetic n regim electrocinetic staionar75 8.2.Prize de pmnt76 9.CMPUL MAGNETIC STAIONAR79 9.1.Ecuaiile cmpului magnetic staionar79 9.2.Condiiidetrecerelasuprafeedediscontinuitatealeproprietilor magnetice 80 9.3.Potenialul magnetic vector81 9.4.Ecuaiile potenialului magnetic vector82 9.5.Formula Biot-Savart-Laplace83 9.6.Ecuaia de ordinul doi a intensitii cmpului magnetic86 9.7.Formulele lui Green pentru cmpuri de vectori86 10.CIRCUITE MAGNETICE87 10.1.Consideraii generale i definiii.87 10.2.Metoda direct de rezolvare a unui circuit magnetic88 10.3.Teoremele lui Ohm i Kirchhoff referitoare la circuite magnetice.89 10.4.Calculul circuitelor magnetice neliniare.93 11.CMPUL MAGNETOSTATIC AL MAGNEILOR PERMANENI95 11.1.Relaiile fundamentale ale magnetostaticii.95 11.2.Circuit magnetic cu magnet permanent.97 12.INDUCTIVITI100 12.1.Fluxuri i inductiviti proprii i mutuale100 12.2.Relaiile lui Maxwell referitoare la inductiviti102 12.3.Calculul inductivitilor103 12.4.Inductivitatea echivalent107 12.5.Inductivitatea de dispersie108 12.6.Inductivitile liniilor aeriene bifilare108 12.7.Inductivitile barelor n cresttura dreptunghiular110 13.ENERGIA MAGNETIC I FORELE GENERALIZATE N CMPUL MAGNETIC 113 13.1.Energia magnetic a unui sistem de circuite electrice113 13.2.Densitateade volum a energiei cmpului magnetic116 13.3.Densitatea de volum a energiei magnetice ca funcie de J i 118 13.4.Forele generalizate n cmpul magnetic118 14.METODE DE CALCUL AL CMPULUI MAGNETIC STAIONAR122 14.1.Formularea problemelor de cmp magnetic staionar122 14.2.Metoda direct123 14.3.Metoda integrrii ecuaiilor Poisson i Laplace prin separarea variabilelor124 14.4.Metoda imaginilor magnetice127 14.5.Metoda funciilor de variabil complex128 14.5.1.Funcii analitice. Condiiile Cauchy-Riemann128 14.5.2.Folosirea funciilor de variabil complex129 14.5.3.Metoda transformrii conforme130 14.6.Metoda aproximrii formei liniilor de cmp magnetic132 14.7.Metoda diferenelor finite135 15.CMPUL ELECTROMAGNETIC CVAZISTAIONAR136 15.1.Regimul cvazistaionar al cmpului electromagnetic136 15.2.Premizelestudiuluicmpuluielectromagneticcvazistaionarnconductoare masive imobile 136 15.3.Ecuaiilecmpuluielectromagneticcvazistaionarnconductoaremasive imobile 137 15.4.Ptrunderea cmpului electromagnetic n semispaiul conductor infinit138 15.5.Probleme de cureni turbionari140 15.6.Efectul pelicular142 15.7.Efectul Field147 15.8.Cmpul electromagnetic cvazistaionar amagnetic152 16.RADIAIA ELECTROMAGNETIC155 16.1.Potenialele electrodinamice retardate155 16.2.Rezistena de radiaie158 16.3.Radiaia oscilatorului electric elementar159 16.3.1.Potenialele electrodinamice ale oscilatorului electric elementar159 16.3.2.Cmpul de radiaie al dipolului oscilant160 16.3.3.Rezistena de radiaie a dipolului electric elementar161 ANEXE 1. INTRODUCERE LA METODA DIFERENELOR FINITE 1 1.1.Introducere1 1.2.Operatori de diferen1 1.3.Aproximarea derivatelor prin diferene2 1.4.Aproximare integralelor prin diferene3 2. Metoda diferenelor finite pentru cmp staionar4 2.1.Ecuaiile cmpului4 2.2.Metoda diferenelor finite5 2.3. Aproximarea ecuaiei difereniale6 2.4.Aproximarea formei integrale a ecuaiilor7 2.4.1.Cmpul electric7 2.4.2.Cmpul magnetic9 2.5.Simularea condiiilor la limit10 2.6.Sistemul de ecuaii i rezolvarea12 INTRODUCERE LA METODA ELEMENTELOR FINITE 1 3.Calculul cmpului electrostatic n medii liniare, neomogene, folosind metoda elementelor finite. 1 3.1.Prezentarea metodei elementelor finite1 3.2.Tipuri de elemente finite folosite5 3.2.1.Elemente izoparametrice5 3.3.Elementele finite de tip plan pentru calculul potenialului electric11 3.4.Elementelefinitedetipplan-radial(axialsimetric)pentrucalculul potenialului electric 15

1 TEORIA CMPULUI ELECTROMAGNETIC 1. SISTEMUL LEGILOR ELECTROMAGNETISMULUI 1.1. RECAPITULAREA MRIMILOR ELECTROMAGNETISMULUI Pentru caracterizarea fenomenelor electromagnetice i a strilor corespunztoare, teoria macroscopic utilizeaz ase specii de mrimi primitive, adic ase specii a cror introducere nu este posibil fr a face apel la experien - sau la teoria microscopic - i un numr mare de mrimi derivate, care completeaz i uureaz caracterizarea acestor stri. Mrimile de stare electric i magnetic ale corpurilor sunt: - sarcina electric q (caracterizeaz starea de ncrcare electric), - momentul electric p (caracterizeaz starea de polarizaie electric), - intensitatea curentului electric de conducie i (caracterizeaz starea electrocinetic), - momentul magnetic m (caracterizeaz starea de magnetizaie). Aceleaistrisecaracterizeazlocalprimmrimiderivate,dintrecarecelemai importantesunt:densitateadevolumasarciniiv,polarizaiaelectric P ,densitateade curent J , magnetizaia M. Alte mrimi derivate importante sunt: densitatea de suprafa i de linie a sarcinii S i l, sarcina de polarizaie qp, densitatea superficial de curent JS, curentul amperian im, solenaia .a. Mrimile de stare local ale cmpului electromagnetic sunt: - intensitatea cmpului electric E i inducia electric D, ambele mrimi fiind derivate dinvectorulcmpelectricnvidEvicaracterizeazlocalaspectulelectricalcmpului electromagnetic (cmpul electric), -intensitateacmpuluimagnetic Hiinduciamagnetic B,ambelemrimisunt derivate din vectorul inducie magnetic n vidBv i caracterizeaz local aspectul magnetic al cmpului electromagnetic (cmpul magnetic). Mrimile derivate mai importante corespunztoare sunt: - tensiunea electric (n lungul unei curbe C)u =E s dC, (cu sensul de referinds ) - fluxul electric (printr-o suprafa S) = Dnd AS, (cu sensul de referin n ) - tensiunea magnetic (n lungul unei curbe C) umC= H s d , (cu sensul de referinds ) - fluxul magnetic (printr-o suprafa S) = Bnd AS, (cu sensul de referin n ) 2 - curentul electric (printr-o suprafa S) i A = J ndS, (cu sensul de referin n ) 1.2. REGIMURILE MRIMILOR ELECTRICE I MAGNETICE nteoriafenomenologic(macroscopic)acmpuluielectromagnetic,mrimilefizice potficonsideratefunciunidetimp,iardupconsecinelevariaieilorntimp,strile electromagnetice se pot gsi n urmtoarele regimuri: -regimulstatic,ncaremrimiledestarenuvariazntimp(sauvariazsuficientde lent,pentruaputeaneglijaefectulvariaieilor)inuseproductransformrienergetice;n acest caz fenomenele electrice se produc independent de cele magnetice i cele dou laturi ale cmpului electromagnetic se pot studia separat, n cadrul electrostaticii i magnetostaticii; -regimulstaionar,ncaremrimilenuvariazntimp,nsinteraciunilecmpului electromagnetic cu substana sunt nsoite de transformri energetice; -regimulcvasistaionar,caracterizatprinvariaiasuficientdelentntimpa mrimilor, astfel nct s se poat neglija efectele asociate variaiei n timp a unor mrimi. In acest regim se disting: -regimulcvazistaionaranelectric,ncareseneglijeazefectelemagneticeale curenilor de deplasare peste tot, cu excepia dielectricului condensatoarelor (acest regim este numit n mod curent cvazistaionar) i -regimulcvazistaionaramagnetic,ncareseneglijeazefecteledeinducie electromagnetic n producerea cmpului electric; - regimul nestaionar, corespunde celui mai general caz de variaie n timp a mrimilor, n care apare radiaia electromagnetic. 1.3. RECAPITULAREA LEGILOR ELECTROMAGNETISMULUI Legilegeneraleiprincipalelelegidematerialaleteorieimacroscopiceafenomenelor electromagneticesuntprezentatendiferitelelorforme,integraleilocale.Legilevorfi numerotate cu cifre romane. I. Legea induciei electromagneticeet= dd,S (1.3-1) ncareeestetensiunea(electromotoare)indusnlungulconturuluinchis,iarSeste fluxul magnetic prin suprafaa S sprijinit pe conturul : e AD D = = E s Bn d , d . S SS (1.3-2) Versorulnormalei nSivectorulelementdearcdssuntasociaidupregulaburghiului drept, ca n figura 1.3-1a. Legea se poate prezenta i sub forma integral explicit E s Bn dddd . = tASS (1.3-3) 3 Fig. 1.3-1. Convenii la scrierea legii induciei electromagnetice (a) i cazul unei suprafee de discontinuitate (b). CurbaisuprafaaSseconsidersolidarecucorpurileaflatenmicare(sunt antrenatenmicareacorpurilor),deciderivareaineseamaattdevariaiantimpa integrandului, ct i de deplasarea suprafeei. Se folosete derivata substanial, de flux: dddddd ,tAtAGnGnSSfSS =(1.3-4) unde ( )dddiv rot ,f G Gw G G wt t= + + (1.3-5) unde weste viteza punctelor suprafeei S. Transformndintegraladeconturnintegraldesuprafa(cuteoremaluiStokes)i folosindderivatadefluxpentruadouaintegral,ndomeniidecontinuitateinetezimea cmpurilor de vectori se obine forma local rotdd.EB= ft(1.3-6) Pentru suprafee de discontinuitate, scriind forma integral pe un mic contur S strns de o parte i de alta a suprafeei de discontinuitate, pe o lungime l (figura 1.3-1b), se obine ( ) Et E t2 l l + =10,sau ( ) n E E E12 2 = =10 rot ,S(1.3-7) respectiv Et1 = Et2, adic la trecerea prin suprafaa de discontinuitate se conserv componenta tangenial a intensitii cmpului electric. II. Legea fluxului electric = q , (1.3-8) unde este fluxul electric prin suprafaa nchis , iar q este sarcina electric coninut de suprafaa . Cu notaiile din figura 1.3-2a = = D DDA q v Dn d , d ,v (1.3-9) pentru o repartiie continu de sarcini electrice n volumul D. Versorul n pe normal, este orientat spre exteriorul suprafeei nchise . 4 Fig. 1.3-2. Notaii pentru legea fluxului electric (a) i cazul suprafeei de discontinuitate (b). TransformndintegraladesuprafanintegraldevolumcuformulaGauss-Ostrogradski, se obine forma local a legii, n domenii de continuitate i netezime a cmpului de vectori D div .D= v (1.3-10) Pentrusuprafeedediscontinuitate,sescrieformaintegralalegiipeosuprafaS, strns-deoparteidealta-asuprafeeidediscontinuitate,carepoatefincrcatcu densitatea de suprafa a sarcinii S (figura 1.3-2b) i se obine ( )Dn D n2 12 1 12 A A A + = S, sau ( ) n D D D12 2 1 = = div ,S S (1.3-11) respectivD2n-D1n=S,adicsaltulcomponenteinormaleainducieielectriceeste proporional cu densitatea de suprafa a sarcinii electrice. Pe suprafee nencrcate electric se conserv componenta normal a induciei. III. Legea legturii dintre D E P , i D E P = + 0,(1.3-12) ncare P estevectorulpolarizaieielectrice,iar0estepermitivitateavidului,numiti constant electric. IV. Legea polarizaiei electrice temporare Polarizaiaareocomponentpermanent Pp,independentdevaloareaactuala intensitii cmpului electric i o component temporar Pt, care depinde de valoarea actual a acestui cmp P P P = +p t.(1.3-13) Legeapolarizaieitemporareexprimdependenadeintensitateacmpuluielectrica polarizaiei temporare () P Et = f . (1.3-14) In dielectrici izotropi, liniari i fr polarizaie permanent P Et e= 0,(1.3-14') iar mpreun cu legile III i IV se ajunge la relaia constitutiv D E E = = 0 r.(1.3-15) 5 V. Legea circuitului magnetic utmm SS= +dd, (1.3-16) n care umm este tensiunea magnetomotoare pe conturul nchis , S este solenaia calculat pesuprafaaSsprijinitpeconturul,iarSestefluxulelectricprinaceeaisuprafaS (figura 1.3-3a) u A AD D Dmm S SSS SS = = = H s Jn Dn d , d , d . (1.3-17) iaicisepstreazaceeairegulaburghiuluidreptpentruasociereantrevectorul element de arcds i versorul normalei nS. Legea se poate prezenta i sub forma integral explicit H s J n Dn d dddd . = +SSSSAtA (1.3-18) Fig. 1.3-3. Notaii pentru legea circuitului magnetic (a) i cazul unei suprafee de discontinuitate (b). CurbaisuprafaaSseconsidersolidarecucorpurileaflatenmicare(sunt antrenate de acestea), deci derivarea ine seama att de variaia n timp a integrandului, ct i dedeplasareasuprafeei,adicsefolosetederivatasubstanial,deflux,(1.3-4).Astfel, forma integral explicit devine H s J nDn d dddd . = +SSfSSAtA(1.3-19) Transformnd membrul stng cu formula lui Stokes, se stabilete forma local a legii (n domenii de continuitate i netezime) rotdd. H JD= +ft (1.3-20) Pentru suprafee de discontinuitate, scriind forma integral pe un mic contur S strns de o parte i de alta a suprafeei de discontinuitate, pe o lungime l (figura 1.3-3b), se obine ( ) Ht H t2 1 l l J l + =S,sau ( ) n H H H J12 2 1 = = rot ,S S(1.3-21) respectivHt2-Ht1=JS,adiclatrecereaprinsuprafaadediscontinuitatecomponenta tangenialaintensitiicmpuluimagneticareunsaltegalcudensitateasuperficiala curentului.Dac nu exist cureni pe suprafa, componenta tangenial se conserv la trecerea prin suprafaa de discontinuitate. 6 VI. Legea fluxului magnetic = 0, (1.3-22) unde =DA Bn d(1.3-23) este fluxul magnetic calculat pe suprafaa nchis (figura 1.3-4a). TransformndcuformulaGauss-Ostrogradskiintegraladevolumnintegralde suprafa, se obine forma local pentru domenii de continuitate i netezime div .B = 0(1.3-24) Fig. 1.3-4. Notaii pentru legea fluxului magnetic (a) i cazul unei suprafee de discontinuitate (b). Pentrusuprafeedediscontinuitate,sescrieformaintegralalegiipeosuprafaS, strns - de o parte i de alta - a suprafeei de discontinuitate (figura 1.3-4b) i se obine ( )Bn B n2 12 1 120 A A + = , sau ( ) n B B B12 2 10 = = div ,S(1.3-25) respectivB2n=B1n,adiclatrecereaprintr-osuprafadediscontinuitateseconserv componenta normal a induciei magnetice. Observaie.Adeseaseintroduceuncmpdevectoriauxiliar A,numitpotenial magnetic vector, prin relaia B A = rot . (1.3-26) Astfel este satisfcut identic forma local (1.3-24). Cmpuldevectori Aestedeterminatnumaidacsecunoateidivergenasa,care poate fi dat de - condiia de etalonare Coulomb:div ,A = 0- condiia de etalonare Lorentz:div .Aee= Vt Ultima etalonare este folosit pentru potenialele electrodinamice: potenialul vector Ae i potenialul scalar Ve. VII. Legea legturii dintre. si , M H B ( ) B H M = + 0, (1.3-27) unde M este vectorul magnetizaiei. 7 VIII. Legea magnetizaiei temporare Magnetizaiaareocomponentpermanent Mp,independentdevaloareaactuala intensitiicmpuluimagneticiocomponenttemporar Mt,caredepindedevaloarea actual a acestui cmp M M M = +p t.(1.3-28) Legeamagnetizaieitemporareexprimdependenamagnetizaieitemporarede intensitatea cmpului magnetic ( ) M Ht = f . (1.3-29) In materiale magnetice liniare, izotrope i fr magnetizaie permanent M Ht m= ,(1.3-29') iar cu legile VII i VIII se obine relaia constitutiv B H H = = 0 r.(1.3-30) IX. Legea conservrii sarcinii electrice iqt= dd, (1.3-31) n carei A q vDD = = J n d , d . v (1.3-32) Fig. 1.3-5. Notaii pentru legea conservrii sarcinii electrice (a) i cazul unei suprafee de discontinuitate (b). Curentul este calculat cu versorul normalei norientat spre exteriorul suprafeei nchise (figura 1.3-5a). Legea exprim curentul electric de conducie ca un flux de sarcini electrice, sau sarcina electric ca o integral n timp a curentului de conducie. Legea se poate prezenta i sub forma integral explicit J ndddd . AtvD = v(1.3-33) Dinnou,suprafaaesteconsideratsolidarcucorpurileaflatenmicare.Pentrua introducesubsemnulintegraloperatoruldederivarenraportcutimpultrebuiefolosit derivata substanial de volum. Pentru un cmp scalar g dddddd ,tg vgtvD D =v(1.3-34) unde 8 ( )dddivvgtgtg = +w (1.3-35) estederivatasubstanialdevolumnraportcutimpul.Maisuss-anotatcu wvectorul vitezei punctului n raport cu sistemul de referin. Cu aceast derivat, forma integral a legii conservrii sarcinii electrice devine J ndddd . AtvD = v v(1.3-36) TransformndmembrulstngcuformulaGauss-Ostrogradskinintegraldevolum,n domenii de continuitate i netezime a cmpului densitii de curent se stabilete forma local divdd.J = v vt(1.3-37) Pentrusuprafeedediscontinuitate, sescrieformaintegralpeosuprafaS,strns- deoparteidealta-asuprafeeidediscontinuitate,ncrcatcudensitateadesuprafaa sarcinii S (figura 1.3-5b) i se obine ( )Jn J n2 12 1 12 A A A + = St, sau ( ) n J J J12 1 2 = = div ,SS t(1.3-38) respectivJ2n-J1n=-S/t,adicsaltulcomponenteinormaleadensitiicurentuluide conducie este proporional cu derivata n raport cu timpul a densitii de suprafa a sarcinii electrice.Pe suprafee nencrcate se conserv componenta normal a densitii de curent. X. Legea conduciei electricese prezint nti n formele locale ( ) E E J J E E + = = +i isau , , (1.3-39) unde Eiestevectorulintensitiicmpuluielectricimprimat(careesteexprimareanlimbaj electricalunorcmpurideforedenaturneelectric)iapoinformeleintegrale,pentru circuite filiforme ( ) u e Ri i G u ef i f isau+ = = + , ,(1.3-40) unde, cu notaiile din figura 1.3-6, Fig. 1.3-6. Notaii pentru forma integral a legii conduciei electrice. Fig. 1.3-7. Notaii pentru forma integral a legii transformrii energiei n conductoare. 9 u e RsAGRi A JD D DfCi iC C= = = = = E s E s d , d ,d, , . 1(1.3-41) S-apresupusodistribuieuniformacurentuluipeseciuneatransversal(dearieA)a conductorului filiform, care are curba ax C, pe care se definete tensiunea n lungul firului uf, tensiunea electromotoare imprimat ei i rezistena R, respectiv conductana G.In expresia ultimelor mrimi = 1/ este rezistivitatea n punctul curent, iar A este aria seciunii transversale pe liniile de curent; ambele mrimi pot fi variabile de la punct la punct. XI. Legea transformrii energiei n conductoare se prezint nti n forma local, care exprim densitatea de volum a puterii electromagnetice cedat corpurilor n procesul de conducie pJ = EJ,(1.3-42) sau, innd seama de legea conduciei electrice p J p pJ i R g= = 2 EJ ,(1.3-43) undepRestedensitateadevolumaputeriidisipateprinefectJoule,iarpgestedensitateade volum a puterii generate sub influena cmpurilor imprimate. Pentruconductoarefiliforme(figura1.3-7),integrndpevolumulconductorului,se stabileteformaintegralalegii.PutereaPJprimitdeconductornprocesuldeconducie este PJ = uf i,(1.3-44) innd seama de legea conduciei electrice se obine PJ = R i2 - ei i = PR - Pg,(1.3-45) undePResteputereadisipatprinefectJoule,iarPgesteputereageneratdatorittensiunii electromotoare imprimate. XII. Legea electrolizei exprim efectul electrochimic al curentului electric de conducie, sub forma mq=AF,0(1.3-46) ncaremestemasadepusprinelectrolizdesarcinaelectricq(integralacurentuluide conducie), dintr-o substan cu masa atomic A i valene, F0 fiind constanta lui Faraday. * = * = * Se reamintete c n forma integral a legilor vectorul element de arcdscare d sensul de parcurgere al curbei nchise ce mrginete suprafaa deschis S i versorul normalei la suprafa nSsuntasociaidupregulaburghiuluidrept,iarpentrusuprafaanchis versorul normalei n este orientat spre exterior. Domeniiledeintegrareseconsiderafiantrenatedecorpurinmicarealor,decise folosesc derivatele substaniale de flux i de volum. n legi intervin trei constante universale: 10 - constanta electric (permitivitatea vidului) 0 = 1/(4 9.109) [F/m], - constanta magnetic (permeabilitatea vidului) 0 = 4 10-7 [H/m], - constanta lui Faraday (echivalentul electrochimic) F0 = 96490 [C/g]. 1.4. DISCUIE ASUPRA SISTEMULUI LEGILOR ELECTROMAGNETISMULUI LegileI,II,III,V,VI,VII,IXiXIsuntlegilegeneralealeteorieimacroscopicea cmpului electromagnetic. LegileIV,VIII,XiXIIsuntprincipalelelegidematerialineleintervin,nafara constantelor universale, anumitemrimi de material (dependente local de natura acestuia, de temperatur,destareadedeformaresautensionarelocaletc.):susceptivitateaelectrice, permitivitatea = 0 r, susceptivitatea magnetic m, permeabilitatea = 0 r, rezistivitatea sauconductivitatea=1/,intensitateacmpuluielectricimprimat Ei,masaatomicA, valena.Existialtelegidematerialcuaplicativitatemairestrnsndeterminarea cmpuluielectromagnetic:legeacmpurilorimprimatevoltaice,legeaemisiuniielectronice din metale .a. Legile I, II, III i IV stabilesc toate condiiile producerii cmpului electric (prin faptul c permit precizarea circulaiei n lungul oricrei curbe nchise i a fluxului prin orice suprafa nchis, pentru fiecare dintre vectorii cmp E D sau). LegileV,VI,VIIiVIIIstabilesctoatecondiiileproduceriicmpuluimagnetic(prin faptulcpermitprecizareacirculaiei n lungul oricrei curbe nchise i a fluxului prin orice suprafa nchis, pentru fiecare dintre vectorii cmp H B sau). LegileIXiXstabilescproprietialecurentuluielectricdeconducieipermit determinareavectoruluicmp J ,iarlegeaXIstabileteefectulenergeticalprocesuluide conducieacurentuluielectric.LegeaXIIprecizeazefectulchimicalcurentuluide conducie. PrincipaleledependenepecareleimplicsistemullegilorI-Xdemainainte,n condiiileobinuitentlnitenaplicaiitehnice,potfireprezentateschematiccanfigura 1.4-1. Sgeile indic sensul cauzal, iar sgeile cu linie ntrerupt indic legturile care exist numainstrivariabilentimp(regimne-staionar).Sgeilecuambelesensuriindicate corespunduneiinterdependeneacreiinterpretarecauzaldepindedecondiiiconcrete suplimentare. Principalele idei exprimate n aceast reprezentare sunt urmtoarele. a) In regim staionar nu exist practic influenreciprocntre fenomenele electrice i magnetice,singuralegturntreacestecategoriidefenomenefiindexprimatdelegealui Ohm(X),conformcreiarepartiiacmpuluiimprimat(adicasurselor)determinatt cureniidinconductoare(idecicmpulmagneticprodusdeaceticureni),ctirepartiia cmpuluielectricdinconductoare.Cmpulelectricicmpulmagneticsuntnlegtur exclusiv prin intermediul corpurilor conductoare, parcurse de curent electric de conducie. n lipsacurenilorelectricideconducie,aceastlegturdispareirezultdoucmpuride vectori complet independente: cmpul electrostatic i cmpul magnetostatic. b)Inregimstaionar,cmpulelectricnizolaniestedeterminatderepartiia sarcinilorelectriceiamomentelorelectrice(legileIIiIII);totodatcmpulelectric influeneazrepartiiamomentelorelectrice(partealortemporar)prinlegeademateriala polarizaiei temporare (IV), iar n conductoare, cmpul electric impune repartiia de sarcin electric(deobicei,superficial),fiinddeterminatderepartiiacmpuluielectricimprimat 11 (princondiiadeechilibruelectrostatic,carerezultdinX).Cmpulelectricstaionareste produs de corpuri ncrcate electric sau polarizate electric. Fig. 1.4-1. Principalele relaii i dependene ntre legile I-X ale cmpului electromagnetic. c) In regim staionar (i cvasistaionar) cmpul magnetic este determinat de repartiia curenilor electrici i a momentelor magnetice (legile V, VI i VII); totodat cmpul magnetic influeneaz repartiia momentelor magnetice (partea lor temporar), prin legea de material a magnetizaiei temporare (VIII). Cmpul magnetic staionar este produs de corpuri magnetizate sau parcurse de curent electric. d) In regim variabil n timp apare o condiionare reciproc ntre repartiia de sarcin i cea de curent prin legea conservrii sarcinii (IX); totodat mai apare o dubl legtur direct (nuprinintermediulcorpurilor)ntrecmpulelectricicmpulmagnetic:cmpulmagnetic variabilntimpdeterminapariiaunuicmpelectricsolenoidal(indus)prinfenomenul inducieielectromagnetice(I);cmpulelectricvariabilntimpdeterminapariiaunuicmp magneticsolenoidalprodusdecurentuldedeplasare,careintervinenlegeacircuitului magnetic(V).Aceastlegturdublcondiioneazexistenacmpuluielectromagnetic "desprins"decorpuri,subformdeundeelectromagnetice,caresepropagcuovitez finit. * = * = * Sistemullegilorcmpuluielectromagnetictrebuiesndeplineascpatrucondiiide natur metateoretic: a) sistemul s fie complet, adic s permit descrierea complet a unei anumite clase de striidefenomene.Pentrucmpuriledevectori,legiletrebuiespermitcunoaterea circulaieivectoruluicmppeoricecurbnchisiafluxuluicmpuluiprinoricesuprafa nchis.Sistemulprezentatpermitendeplinireaacesteicondiiipentruoricaredintre cmpurile E D HBJ , , , , ; b)sistemulsfienecontradictoriu,condiiecareestesatisfcutdesistemullegilor teoriei Maxwell-Hertz; c)legilesistemuluisfieindependente,adicsistemulsnuconinafirmaii deductibile din altele ale aceluiai sistem. Dinpunctdevederestrictaxiomatic,legeaIX(aconservriisarciniielectrice)nueste independent de legile II i V (a fluxului electric, respectiv a circuitului magnetic), ci rezult 12 dinele.Defapt,peneconcordanadintreteoremaluiAmpreilegeaconservriisarcinii electrice i-a bazat Maxwell raionamentul prin care a stabilit forma legii circuitului magnetic. ExistenunurimaigeneraledectnacestcurspentrulegileIIiV,careasigur independena logic a tuturor legilor generale prezentate. Dacseapliclegeacircuituluimagnetic(V)unuiconturcaresereducenceledin urm la un punct, lsnd o suprafa S finit (fig. 1.4-2), care devine o suprafa nchis , se stabilesc urmtoarele limite Fig. 1.4-2. Suprafa i contur pentru stabilirea legii conservrii sarcinii electrice din legea circuitului magnetic. H s d , , 0S Si (1.4-1) i, innd seama de legea fluxului electric ( = q) rezult legea conservrii sarcinii electrice i + dq/dt = 0, ca o consecin a legii circuitului magnetic. Esteposibilssepstrezeconservareasarciniielectricecalege,atuncilegilefluxului electric i fluxului magnetic devin teoreme. Intr-adevr, aplicnd legea circuitului magnetic i legea induciei electromagnetice pe suprafaa definit anterior (al crei contur de sprijin se va reduce la un punct, fig. 1.4-1) se obin relaiile . 0 d d si 0 d d = = + t t i(1.4-2) inndseamadelegeaconservriisarciniielectriceiintegrndexpresiile,sestabilesc relaiile d d d d , ,d d , . t q t q constt const= = += =sau sau 10 2 Condiiile de coeren intern a teoriei, ca i constatarea de natur experimental c prin mijloaceadecvatesepoateanulacmpulelectromagneticntr-oregiuneoarecaredinspaiu, impuncaceledouconstantesfienule.Astfelrezultteoremafluxuluielectriciteorema fluxului magnetic. nlucrareadefa,cainmultealtele,datoritimportaneipracticedeosebiteacelor trei legi implicate se trece peste aceast redondan i se pstreaz sistemul legilor sub forma enunat anterior, cu 12 legi. d)Maitrebuieadugatcondiiacalegilesfieverificatedeexperien(criteriulde adevr),deiaceastcondiienuestenecesardinpunctuldevedereaxiomatic,nseste esenial pentru aplicaiile practice. Din acest punct de vedere legile teoriei Maxwell-Hertz au fostverificateexperimental,fiindconfirmateaproapetoateconsecinelelor.Excepiefac uneleexperienecucorpuripolarizateaflatenmicare(RoentgeniEichenwald)saucu corpuricaresemiclavitezefoartemari.Acestecazurisuntexplicatecompletdeteoria relativistacmpuluielectromagnetic(Minkowski,Einstein),carensimplicredefinirea unor concepte fundamentale i se aplic numai sistemelor ineriale. Limitrileintrodusede"deficienele"electrodinamiciiMaxwell-Hertzprezinto importan redus pentru practica inginereasc, fapt pentru care aceast electrodinamic st la baza tuturor metodelor inginereti. 13 1.5. ECUAIILE LUI MAXWELL I MAXWELL-HERTZ Cmpulelectromagneticpoatefistudiatsistematiccuajutorulformelorlocaleale legilor. Se numesc ecuaiile lui Maxwell ecuaiile cu derivate pariale care reprezint formele localealelegilorgeneralealecmpuluielectromagneticnmediiimobile(vitezalocal w0)indomeniidecontinuitateinetezimeaproprietilorfizicelocale.nscriere vectorial aceste ecuaii sunt: ( ) rot , H JD= + tlegea V (1.5-1) ( ) rot ,EB= tlegea I (1.5-2) ( ) div ,D= vlegea II(1.5-3) ( ) div ,B = 0 legea VI(1.5-4) EcuaiileluiMaxwellsecompleteazcurelaiiledintre D E B H i dintre i, idintre E J i (legile III, IV, VII, VIII i X), care n medii liniare sunt relaiile constitutive D E = ,(1.5-5) B H = ,(1.5-6) ( ) J E E = + i. (1.5-7) Rezolvarea sistemului de ecuaii (1.5-1)...(1.5-7) este posibil n principiu, dac se dau , , sursele i ( ) J E sau i i , condiiile pe frontiera domeniului n care se determin cmpul (componenta tangeial a lui H E sau a lui) i condiiile iniiale (teorema unicitii ecuaiilor cmpului electromagnetic);lasuprafee de discontinuitate a proprietilor de material se ine seama de condiiile de trecere, formulate n capitolele anterioare. Observaie.EcuaiileMaxwell-Hertz,pentrucorpurinmicare,seobinnlocuindn primele dou ecuaii derivata parial n raport cu timpul prin derivata de flux t t d d .f(1.5-8) 1.6. UNDA ELECTROMAGNETIC PLAN OconsecinimportantaecuaiilorluiMaxwellesteexistenacmpului electromagnetic"desprins"decorpurisubformaundelor electromagnetice.Existenaacestor unde este determinat de o legtur dubl ntre cmpul electric i cmpul magnetic (prin legea induciei electromagnetice i legea circuitului magnetic), care nu este mijlocit de corpuri. Pentru a pune n eviden unele proprieti ale undelor electromagnetice se va studia cel mai simplu caz, al unei unde electromagnetice plane, n care mrimile dintr-un plan depind numaideocoordonatde-alunguluneidrepteperpendicularepeplanidetimp.Sealege planulperpendicularpeaxaOx,iardireciaaxeivafinumitdireciedepropagare. Mrimile de stare ale cmpului vor fi 14 ( ) ( ) E E H H = = x t x t , , , .(1.6-1) Oundelectromagneticplanexist(practic)ladistanesuficientdemarideorice sursdecmpelectromagnetic,ntr-unmediuliniar,izotrop,omogeniimobil.Fiepermitivitatea i permeabilitatea mediului. Se caut soluiile variabile n timp ale ecuaiilor lui Maxwell, n ipoteza (1.6-1), considernd c in mediu nu exist nici sarcini electrice (v = 0), nici cureni de conducie ( J = 0). In aceste condiii, innd seama c derivatele spaiale n raport cu y i z sunt nule, ecuaiile componentelor mrimilor de stare devin E t H x E t H x E tH t E x H t E x H tE x H xx z y y zx z y y zx x= = == = = = =000 0, , ,, , ,, . (1.6-2) (1.6-2) (1.6-3) Din aceste ecuaii rezult dou consecine importante: a) Unda electromagnetic plan este transversal, adic nu are componente variabile ndireciadepropagare:Ex=const1,Hx=const2.Componentelevariabilentimpale vectorilor E H i se afl n plane transversale fa de direcia de propagare. b) Sistemele de ecuaii rmase (1.6-2) i (1.6-3) se pot grupa n dou perechi de ecuaii: unaserefernumailaEyiHz,iarcealaltnumailaEziHy.Celedouperechi{Ey, Hz}i {Ez, Hy} nu sunt legate prin nici un fel de relaii, deci sunt independente ntre ele. Exist deci cel puin dou unde suprapuse care nu se influeneaz reciproc. O und format dintr-o asemenea pereche se spune c este polarizat liniar. Deci o und electromagneticplanprovinedinsuprapunereaadouundecupolarizriliniare,dup direcii ortogonale, care sunt independente ntre ele. Ultimaobservaiepermiterestrngereastudiuluilaunadintreacesteunde:perechea {Ey, Hz},adicsepresupuneEz=0iHy=0.Vectoriicmpului E j H k = = E Hy z, sunt perpendiculari ntre ei i ambii sunt perpendiculari pe direcia de propagare (figura 10.1-1). Sistemul de ecuaii rmas este = = H x E t E x H tz y y z, . (1.6-5) Fig. 1.6-1. Notaii pentru unda electromagnetic plan. Eliminnd cte una dintre funciunile Ey i Hz, se obin ecuaiile de ordinul doi 2 2 2 22 2 2 200E x E tH x H ty yz z = =,, (1.6-6) (1.6-7) care sunt de tipul numit ecuaia undelor. Din teoria ecuaiilor cu derivate pariale e tie c ecuaia undelor are soluia sub forma unei funciuni arbitrare f de argument = t x v , (1.6-8) adic are forma ( ) ( ) E f f t x vy = = .(1.6-9) 15 naceastexpresievesteoconstantalecreivaloriposibilesedeterminsubstituind soluia n ecuaia de ordinul doi. Cu regulile de derivare cunoscute rezult succesiv ExfxfvEtftfEx vfx xfvEtftfy yy y= = = == = = =dd',dd' ,dd",dd",22 2221 adic se obine ecuaia ( )f v " . 1 02 = (1.6-10) Ecuaia este satisfcut dac v v21 1 = = , . sau(1.6-11) Semnificaiafizicaconstanteivsepoatestabiliastfel.Sescadeiseadunla argumentul mrimea t. Se obine ( ) ( ) ( ) ( )f t x v f t t x v t v = .(1.6-12) Dinaceastidentitateseobservcvaloareafunciuniifdepindedetimpidepunct astfelnctnpunctulxlamomentultarevaloareapecareoaveanpunctulx-vtla momentul t-t.Deci repartiia spaial a funciunii se deplaseaz n lungul axei Ox cu viteza v, numit vitez de faz a undei. Aceasta este viteza pe care trebuie s o aib un observator, pentru ca n raport cu el repartiia spaial s apar invariabil. Exist dou valori ale vitezei de faz, egale i de semn contrar, care arat c pot exista douunde,caresedeplaseaznsensuriopusede-alungulaxeiOx:undadirectse deplaseznsensulcresctoralaxeiOx(v>0),iundainvers-nsensuldescresctoral axei (v < 0). Observaie. Fiecare dintre aceste unde exist numai dac, undeva, departe, n partea din care "vine" unda, a existat o surs de radiaie electromagnetic. Mai departe se va studia numai unda direct i se va nota cu c simbolul vitezei v i cu c0 - viteza n vid a undelor electromagnetice (viteza luminii) c ccu cr r= = = 1 10 0 0 0 , . (1.6-13) Cu aceast notaie unda direct pentru intensitatea cmpului electric are expresia ( ) E f t xy = c ,(1.6-14) n care f este o funcie arbitrar, de exemplu de forma ( ) ( ) ( )f t x E t xy = c cmaxsin (1.6-15) n cazul unei variaii sinusoidale n timp ntr-un punct dat. Cunoscndintensitateacmpuluielectric,sepoatecalculaintensitateacmpului magnetic: ( ) H t E x f x fz y= = = 1 1 ' , c iar apoi prin integrare 16 ( ) ( ) H f t f constz = = +' d . c c (1.6-16) Constanta de integrare se poate considera nul, ntruct se caut numai soluiile variabile n timp. Se noteaz cu( ) = = = c =1 c E Hy z(1.6-17) o mrime caracteristic a mediului, numit impedan de und, care n vid are valoarea 0 0 0120 377 = = (1.6-18) esteoconstantuniversal,numitimpedanadeundavidului.Cuaceastnotaie, intensitatea cmpului magnetic se scrie ( ) H E f t xz y= = c ,(1.6-19) adic n fiecare punct din spaiu este proporional i n faz cu intensitatea cmpului electric (E [V/m], H [A/m] E/H []). Expresia(1.6-19)rezolvcompletproblemadeterminriimrimilordestareale cmpului electromagnetic n unda plan.Concluzii referitoare la undele electromagnetice plane. a)nmediiomogene,izotrope,liniare(,constante),imobile( v = 0),nencrcate (v = 0), izolante ( J = 0) i indefinit extinse, soluiile ecuaiilor lui Maxwell care depind de o singurcoordonatspaialxde-alunguluneiaxeOx,suntsuprapunerideundeplane elementare, care se propag cu vitezele de faz constante c de-a lungul axei. Unda plan se compune din cel mult patru unde elementare, care difer fie prin direcia de propagare, fie prin direcia de polarizare liniar. b)nfiecareundelementar,vectoriiH E si suntperpendicularintreeii perpendiculari pe direcia de propagare; vectorii vEH , ,formeaz un triedru ortogonal drept, adic produsul vectorial E H are direcia de propagare. c) Variaia n timp a mrimilorH E sieste arbitrar i este determinat de condiiile de producere a undei. In fiecare punct al undei elementare i n fiecare moment, valorileH E sisunt proporionale, raportul lor fiind impedana de und a mediului. 17 2. ENERGIA ELECTROMAGNETIC 2.1. ELEMENTE DE TERMODINAMIC Concepia despre cmpul electromagnetic considerat ca sistem fizic capabil s schimbe, s acumulezeistransmitenergie,permitesseinterpretezeenergeticoanumitconsecina ecuaiilor lui Maxwell, respectiv Maxwell-Hertz, numit teorema energiei electromagnetice. nainte de a stabili aceast teorem, se vor reaminti cteva noiuni de termodinamic. Termodinamicastudiazstriledeechilibrualesistemelorfizicemacroscopice, transformrile i interaciunile lor cu alte sisteme fizice. Un sistem fizic este o poriune de materie bine definit i delimitat. Sistemul are o stare, definit prin totalitatea proprietilor lui la un moment dat, caracterizat prin valorile mrimilor destare.Instrideechilibrumrimiledestarenuvariazntimp.Evoluiasistemuluieste numittransformareicuprindemulimeaordonatastrilorprincaretrecesistemuln evoluiasa.Sedistingtransformrireversibile,caresepotparcurgeinsensinversprin schimbareacondiiiloriniialeifrefectenecompensatenexteriorConformprimuluiprincipiualtermodinamicii(principiulconservriienergiei),oricrui sistem i se poate asocia o funciune de stare numit energie intern (W). Creterea elementar a energieiinterneesteegalcusumadintrecantitateadecldurQprimitdesistemi echivalenii n lucru mecanic L ai altor aciuni exercitate asupra sistemului .Transformrilecarela parcurgere invers las efecte necompensate n exterior se numesc transformri ireversibile. W Q LD= + . (2.1-1) Pentru o transformare elementar se obine d . W Q L = + (2.1-2) n cursul transformrii ntre dou stri, cantitatea de cldur Q (sau Q) i lucrul mecanic L (sau L) pot depinde de modul particular n care se trece de la o stare la alta, pe cnd variaia energiei nu depinde de drumul parcurs, ci numai de mrimile de stare n cele dou stri. Pentru a atrageateniaasupraacesteideosebiris-aufolositsimboluridediferenierediferitepentru energie (dW) i pentru lucrul mecanic L, respectiv pentru cantitatea de cldur Q. Lucrul mecanic elementar se exprim, de regul, cu ajutorul forelor generalizate L X xD= i id .(2.1-3) Aldoileaprincipiualtermodinamiciipermiteintroducereauneimrimifizicedestarea unuisistemfizicnechilibru,numitentropie.Intransformrilereversibilevariaiaentropiei este dat de relaia d , S QTD= (2.1-4) n care T este temperatura absolut. In transformri ireversibile entropia satisface inegalitatea d , S QT (2.1-4') mbinnd cele dou principii ale termodinamicii se obine relaia fundamental de bilan n transformri reversibile ( ) d , d d . WS T S X x Q Lk kx = + = + (2.1-5) 18 Se numete energie liber a unui sistem mrimea de stare definit prin relaia ( ) ( ) UT WS T SD, , . x x = (2.1-6) Cu aceasta, relaia fundamental devine ( ) d , d d d . UT S T X x S T Lk kx = + = + (2.1-7) Creterea energiei interne a unui sistem este egal cu lucrul mecanic primit n transformri adiabatice (Q = 0). Cretereaenergieilibereaunuisistemesteegalculucrulmecanicprimitntransformri izoterme (dT = 0). 2.2. TEOREMA ENERGIEI ELECTROMAGNETICESeconsiderunsistemfiziccareocupdomeniulD,mrginitdesuprafaanchis,n care se afl corpuri i cmp electromagnetic. Partea energiei interne a sistemului care depinde de mrimile de stare electromagnetic se numete energie electromagnetic. Cmpulelectromagneticseconsiderunsistemfizicdistinctdecorpuri,cucare interacioneaz.Atuncisepoateaplicacmpuluielectromagneticrelaiadebilanstabilit anterior, care ia forma ( ) = + + + d d , W P P P P tem J m h (2.2-1) undeWemesteenergiaasociatcmpuluielectromagnetic,PJesteputereacedatdecmp corpurilor prin conducie electric, Pm este puterea mecanic cedat de cmp corpurilor, Ph este puterea suplementar cedat de cmp corpurilor prin alte efecte, iar P este puterea transmis n exterior prin suprafaa . Admindconcepteledecmpideaciuneprincontiguitate,toateacestemrimipotfi exprimate cu ajutorul unor densiti de volum (wem, pJ, pm, ph), respectiv a unui cmp de vectori S pe suprafa: W w v P p v P p vP p v P AD D DDem em J J m mh h= = == = d , d , d ,d , d . Sn(2.1-2) Din legea transformrii energiei prin conducie se cunoate pJ = E J. (2.2-3) 2.3. IDENTITATEA ENERGETIC FUNDAMENTAL (POYNTING) Se consider ecuaiile lui Maxwell i Hertz rot d d , rot d d , E B H J D = = +f ft t (2.3-1) n care df este simbolul diferenialei subtaniale (de flux). Se folosete identitatea vectorial ( )div rot rot . E H H E E H = nlocuind expresiile rotorilor mrimilor din ecuaiile anterioare se obine 19 ( ) ( )div d d d d , E H E J E D H B = +f ft t (2.3-2) numit forma local a identitii energetice fundamentale. Integrnd pe domeniul D i aplicnd teorema lui Gauss-Ostrogradski, se obine ( ) ( ) + = + E D H B E J E H n d d d d d d d ,f ft t v v AD D (2.3-3) relaie cunoscut ca identitatea energetic fundamental a cmpului electromagnetic. EstedeobservatcdomeniulDpoateconineisuprafeedediscontinuitatea proprietilordematerial;atuncidomeniulsedecompunentr-osumdesubdomeniide continuitate,nfiecaresubdomeniufiindvalabileformelelocalealeecuaiilorcmpului electromagneticfolositelastabilireaidentitiienergeticefundamentale.Sumndputerilepe aceste subdomenii, acrorreuniuned domeniul D, i innd seama de anularea perechilor de puteri transmise prin suprafeele adiacente ale subdomeniilor, se regsete relaia dat mai sus. nconcluzie,identitateaenergeticfundamental,careesteoconsecindirectalegilor cmpului electromagnetic, este valabil n orice regim i pentru orice structur a domeniului. 2.4. FLUXUL DE ENERGIE ELECTROMAGNETIC. VECTORUL LUI POYNTING n regim staionar, pentru medii imobile ( w = 0) i fr histerezis (Ph = 0) teorema energiei electromagnetice i identitatea energetic fundamental se reduc la formele 0 = + P PJ , (2.4-1a) ( )0 = + E J E H n d d . v AD(2.4-1b) ntruct cu legeatransformriienergiei n conductoare se identific primultermen, rezult c puterea transmis P este P A = = Sn S E H d , . cu(2.4-2) Mrimea SsenumetevectorulluiPoyntingireprezintdensitateadesuprafaa fluxului de energie electromagnetic. Observaia1.Relaia(2.4-2)nudefineteunivocvectorul S,ntructacestuiaisepoate adugaoricecmpdevectori S0solenoidal.nsconformprincipiuluilocalizriiaciunilor fizice, vectorul S0 trebuie s fie funciune de mrimile locale ale cmpului i s se anuleze odat cuacestea.Verificrileexperimentalefcutepnnprezentconfirmexpresia(2.4-2)a vectorului lui Poynting. Observaia2.Restriciareferitoarelahisterezissepoateeliminaprinurmtorul raionament. n corpul cu histerezis se duc dou suprafee nchise i i e foarte apropiate una de alta, iar din spaiul dintre ele este evacuat materialul cu histerezis. Prin aceast operaie nu este afectatcmpulnrestuldomeniului,ntructcavitateaastfelformatreprezintlocalunstrat dubludesarcinielectrice,respectivdepnzedecurent,caredaucmpurinulenexterior. ntructcomponenteletangenialealeH E si seconservpesuprafeeledediscontinuitate(i, e), singurele care intervin n expresia schimbului de putere electromagnetic prin suprafa, iar n cavitate este valabil expresia (2.4-2), rezult c aceast expresie poate fi pstrat i n cazul mediilor cu histerezis.Observaia 3. Intruct n expresia vectorului lui Poynting intervin numai mrimi de stare ale cmpului,sepoateadmitecaceeaiexpresie(2.4-2)avectoruluiestevalabilinregimuri nestaionare. Experiena nu infirm aceast afirmaie. 20 Aplicaie.Putereaelectromagneticprimitdeunconductornformdecilindrucircular drept, parcurs de curent continuu (figura 2.4-1) Fig. 2.4-1. Puterea electromagnetic transmis unui conductor, n curent continuu. Considerndconductorulderaza,avndrezistivitateaifiindparcursdecurentuli, vectorul intensitii cmpului electric E va fi orientat axial i are valoarea E Jia= = 2. Vectorulintensitiicmpuluimagnetic Hpesuprafaaexterioaresteorientattangentla suprafa, este coninut n planul transversal,are sensulasociat sensului lui E (omoparalelcuJ ) dup regula burghiului drept i are valoarea Hia=2.Vectorul Poynting S E H = este orientat spre interiorul conductorului i are valoarea S E Hia= =22 32. Pentruoporiunedelungimelaconductorului,cuariasuprafeeilaterale(pecareSare valoareaconstantdemaisus)A=2alrezultputereaprimitdeconductor(cuversorul normalei norientat spre interior) P A S Aia = = = S n d . 22 Se recunoate uor expresia cunoscut a puterii disipate prin efect Joule (R i2). Din rezultatele obinute mai sus se rein cteva concluzii importante: -fluxuldeenergiepoateficalculatcuaceeaiexpresieattnregimvariabilntimp(n condiiile n care a fost dedus expresia sa), ct i n regim staionar; - n conductoare intensitatea cmpului electric E are orientare predominant axial (sau pur axial), iar vectorul S este perpendicular pe E, ceea ce arat c energia este transmis nu prin conductoare, ci prin cmpul electromagnetic care le nconjoar. Conductoarele au rolul de ci (ghidaje)pentru curentuldeconducie (care produce cmpul magnetic); ele nu transmit energia electromagnetic, dar pot consuma o parte din ea prin efect Joule-Lenz.2.5. ENERGIA ELECTROMAGNETIC ncazulmediilorimobileifrhisterezis(Pm=Ph=0)expresiileteoremeienergiei electromagnetice i a identitii energetice fundamentale se reduc la = + d d , W t P Pem J (2.5-1a) ( ) ( ) + = + E D H B EJ E H n t t v v AD Dd d d . (2.5-1b) 21 inndseamaderezultateleprecedente,seobineexpresiadiferenialeienergiei electromagnetice sub forma ( ) ( ) d d d d d d d . W v w w vD Dem e m= + = + E D H B (2.5-2) Not. Transformarea expresiilort t d D i . dt t B Fie difereniala vectorului D n reperul cartezian d d d d d . DD D D D= + + + ttxxyyzzntr-un punct fix (n acela n care se consider elementul de volum dv) ultimii trei termeni suntnuliirezultc D D t t d d = inacelaimod B B t t d d = .Cuobservaiac simbolul diferenierii se refer la un punct fix n spaiu. n expresia (2.5-2) se identific diferenialele a dou densiti de volum, a energiei electrice i a energiei magnetice d d , d d . w we m= = E D H B (2.5-3) Integrnd ntre dou stri (1) i (2) ale cmpului se obine w w w wDDe e2 e1 e= = = d d ,1212 E D (2.5-4) w w w wBBm m2 m1 m= = = d d .1212 H B(2.5-5) ncazulmaterialelorfrhisterezis,frpolarizaiepermanentifrmagnetizaie permanentsepoateadoptacastaredereferinpentruenergiaelectromagneticstareancare mrimile de stare ale cmpului sunt nule. Expresiile densitii de volum a energiilor devin w wD Be m= = E D H B d , d .0 0 (2.5-6) n cazul unui mediu izotrop, aceste mrimi reprezint aria unui triunghi curbiliniu, cuprins ntre curba D(E), respectiv B(H), axa ordonatelor i dreapta de nivel D, respectiv B (figurile 2.5-2 a i b). Fig. 2.5-2. Diferenialele densitilor energiilor i densitile energiilor electrice i magnetice. Se pot defini i densitile de volum ale coenergieiw wE H' d , ' d ,e m= = D E B H0 0 (2.5-7) carencazulmediilorizotropesuntreprezentatedeariileunortriunghiuricurbiliniinchisede curba materialului, axa absciselor i dreapta vertical E = const respectiv H = const (v. fig. 2.5-2 a i b). Cele dou densiti de volum, a energiei i a coenergiei, satisfac relaia evident 22 w w w we e m m+ = + = ' , ' . ED HB(2.5-8) ncazulparticularalmediilorliniare(frpolarizaiepermanentifrmagnetizaie permanent) se obine w w w we e m m= = + = ' , ' .1212 ED HB(2.5-9) ncazulmediilorcuhisterezis,cupolarizaiepermanentsau/icumagnetizaie permanent starea de referin pentru energie se alege arbitrar, ne mai existnd un criteriu natural de alegere, n care cmpul este nul. Deoareceexpresiiledensitilordevolumaleenergieielectromagneticesuntfunciuni numaidemrimiledestarealecmpului,sepoateafirmacelermnvalabilenoriceregim (inclusiv n regimuri nestaionare). Observaia 1. Fcnd raportul densitilor de volum ale energiilor magnetice i electrice n mediul "aer", se obine ( ) ( ) ( ) w w B E BEm eaerc = =20 02 22 ,n care c este viteza luminii. Pentru valorile uzuale B = 1 T i E = 10 kV/cm = 106 V/m, se obine valoarea90.000,adicdensitateadevolumaenergieimagneticenntrefieruldispozitivele magnetice uzuale este cu aproape 5 ordine de mrime mai mare dect n interstiiile izolante ale dispozitivelorelectrice,faptcareexplicpreferinadatdispozitivelormagneticeninstalaiile de for. Observaia2.Ladeducerearelaiilordemaisuss-aconsiderattacitctransformrilesunt izoterme,ntructproprietiledematerial,caredepinddetemperatur,s-auconsiderat neschimbate.Rezultcexpresiilestabilitepentruenergiaelectromagneticreprezint,defapt, energia liber. 2.6. SCHIMBUL DE PUTERE PRIN HISTEREZIS. TEOREMA LUI WARBURG Seconstatexperimentalcvariaiantimpacmpuluielectromagneticnmediicu histerezis este nsoit de un schimb de energie ntre cmp i corp. Acest schimb de energie a fost luat n consideraie n teorema energiei electromagnetice cu ajutorul puterii Ph.Fie o transformare ntr-un mediu imobil, cu histerezis. n aceste condiii expresiile teoremei energiei electromagnetice i a identitii energetice fundamentale devin = + + d d , W t P P Pem J h (2.6-1a) ( ) ( ) + = + E D H B EJ E H n t t v v AD Dd d d , (2.6-1b) ntruct Pm = 0, iar la corpuri imobile df/dt /t. Scznd una din alta cele dou relaii i innd seama c ultimele dou integrale reprezint puterea PJ, disipat prin efect Joule i puterea P, transmis prin suprafaa , rezult ( ) + + =d d d d . W t t t v P tDem h E D H B (2.6-2) Pentru energia electromagnetic nu se pot folosi expresiile (2.5-7), ntruct acestea au fost stabilite pentru medii fr histerezis. Deocamdat nu exist o teorie a schimbului instantaneu de putere ntre cmp i un mediu cu histerezis. Aceastdificultatesepoatedepicalculndschimbuldeenergiepentruunciclucomplet dehisterezis,cazulcelmaifrecventntlnitnpractic(alcorpuriloraflatencmp electromagnetic variabil alternativ n timp). 23 Integrnd pe un ciclu Cem, se obine ( ) + + = d d d d d . W v P temC ChCem em em E D H B (2.6-3) Primaintegralestenul,ntructenergiaelectromagneticesteofunciunedestare, respectiv dWem este o diferenial total exact, iar pe un ciclu are variaie nul. Energia cedat de cmp corpurilor la parcurgerea unui ciclu (de histerezis) este ( )W P t vDDh ciclu hC Cem em= = + d d d d . E D H B(2.6-4) n ultima integral, termenii A AeCmCem em= = E D H B d , d (2.6-5) reprezintariaunuicicludehistereziselectric,respectivmagnetic,nplanele{E,D},respectiv {H,B} (figurile 2.5-3 a i 2.5-3 b), iar suma lor ( ) w A Ah e m= +(2.6-6) reprezint densitatea de volum a energiei cedat corpurilor prin histerezis. Fig. 2.5-3. Ciclurile de histerezis electric (a) i magnetic (b). n final se obine expresia ( ) W A A vDh ciclu e m= +d . (2.6-7) Acest rezultat constituie teorema lui Warburg. ntr-un cmp electromagnetic periodic, care variaz alternativ cu frecvena f, n unitatea de timpseparcurgfcicluridehisterezis.Atunciputereamediecedatdecmpcorpurilorprin fenomenul de histerezis se exprim sub forma ( ) P f W f A A vDh h ciclu e m= = +d . (2.6-8) Dac mediul este omogen, cu volumul V, iar cmpul este uniform n acest volum, atunci se poate folosi expresia simpl ( ) P Vf A Ah e m= + .(2.6-9) Densitatea de volum a puterii cedate corpurilor prin histerezis n cmp periodic este ( ) p f A Ah e m= + .(2.6-10) 2.7. PIERDERI N CIRCUITELE MAGNETICE Mainile, transformatoarele i bobinele au circuite magnetice, care pot fi parcurse de fluxuri magneticealternativeinacestcazneleseproducpierderinfier,datoritefenomenuluide 24 histerezismagneticicurenilorFoucaultindui.Celedoucomponentealepierderilorse numesc pierderi prin histerezis i pierderi Foucault P P PFe H F= + . (2.7-1) Aceste pierderi se exprim ca integrale de volum ale unor pierderi specifice pFe, pH i pF

P p v P p v P p vD D DFe Fe H H F F= = = d , d , d . (2.7-2) Observaie.Intehnicsepreferaselucracudensitialepierderilorraportatelamas, adic cu pFe, pH, pF, dac este densitatea materialului.n cazul unui cmp magnetic care variaz sinusoidal n timp, de forma ( ) ( ) B t B t B f t = =m msin sin , 2 pierderilespecificedepinddeproprietidematerial,defrecvenafideamplitudineaBma induciei magnetice. Pierderile specifice prin histerezis se exprim, practic, prin formula lui Steinmetz [ ] [ ]p k f BH H mn 3W dmsau W kg = . (2.7-3) CoeficientulkHreprezintdensitateadevolumaenergieicedatepecicludehistereziscu amplitudineade1T.Exponentulndepindedetipulmaterialuluiideinduciamaxim,avnd valori cuprinse ntre 1,6 i 2,7. Pierderile specifice Foucalt sunt proporionale cu ptratul induciei maxime i cu ptratul frecvenei [ ] [ ]p k f BF F m2 3W dmsau W kg =2. (2.7-4) Observaie.SemaipunenevidenfaptulcpierderileFoucaltvariazproporionalcu conductivitateaamaterialuluiiptraticcugrosimeaatolelorncareestefracionat seciuneacircuituluimagnetic.Deregul,pentrudispozitiveleelectromagneticefuncionndla frecvenaindustrialsefolosesctolecugrosimicuprinsentre0,3i0,5mm,dinoelelectro-tehnic, aliat cu siliciu, aliere care reduce piederile prin histerezis i conductivitatea. Pierderile specifice n fier reprezint suma celor dou pierderi specifice definite anterior p p pFe H F= + .(2.7-5) Lafrecvenaindustrial(50Hz),pondereaprimuluitermenestedeobiceimaimare(cam 80%). Valorilepierderilornfiersedausubformdediagrame,iarmaterialelemagneticese caracterizeaz sintetic prin pierderile specifice la 1 T i la 1,5 T (i 50 Hz). Pierderile specifice la 1Taletolelordeoelelectrotehnicvariazntre0,4...0,5W/kg(pentrutransformatoare)i 2,5...3,5 W/kg (pentru maini electrice rotative). 2.8. TEOREMA TRANSFERULUI DE PUTERE PE LA BORNELE UNUI MULTIPOL (TEOREMA LUI R. RDULE) SeconsiderundomeniuD,delimitatdesuprafaanchis,dielectriciimobil,prin care trec n conductoare, avnd curenii de conducie ik, k = 1, ...,n, cu sensuri de referin intrnd nsuprafaa.SuprafeeledeseciuneSbk,k=1,...,naleconductoarelorcusuprafaase numesc borne. 25 Se va considera cazul, important n practic, al regimului cvasistaionar particular, n care, n exteriorul surselor i al receptoarelor, respectiv pe toat suprafaa : - curentul de deplasare prin suprafaa este neglijabil, - cmpul magnetic are o component variabil n timp, normal pe , neglijabil, - curentul electric trece numai prin cele n conductoare. Condiiile de mai sus, satisfcute de liniile de transport i de distribuie a energiei electrice (electromagnetice) i de multe dispozitive electromagnetice, se exprim matematic prin relaiile DnBn J nt tkkn= = = ==0 0 001 pe,pe,pe S Sb \ .(2.8-1) Inacesterelaiicu n s-anotatversorulnormaleilasuprafaa,orientatspreinteriorul domeniului,cuS0s-anotatparteadinsuprafaanchiscaretreceexclusivprindielectrici (izolani). Pentrusimplificarearaionamentelor,sevaconsiderasuplimentarcdensitateacurenilorde conducie Jn conductoare este perpendicular pe suprafeele de seciune, adic J n ==01 peSbkkn. (2.8-2) Semainoteazcu1,2,...,ncontururilesuprafeelordeseciuneSbk,cusensuride parcurgere asociate sensurilor de referin ale curenilor dup regula burghiului drept.n condiiile de mai sus, innd seama de prima i de a treia condiie, din legea conservrii sarcinii electrice rezult ikkn==10. (2.8-3) Fig. 2.8-1. Notaii pentru teorema transferuilui de putere pe la bornele unui multipol. A doua condiie conduce la concluzia c pe suprafaa cmpul electric are o component solenoidal neglijabil rot E= 0 pe, (2.8-4) decipeaceastsuprafasepoatedefiniunpotenialV,dincarederivintensitateacmpului electric E= grad . V(2.8-5) ntruct,nbazalegiiluiOhm( E J = nconductoare)iaipotezei(2.8-2)intensitatea cmpului electric este perpendicular pe suprafeele de seciune Sbk, rezultc vectorul Poynting S E H = nu are component axial n conductoare. Ca urmare energia electromagnetic nu se 26 transmite prin conductoare, ci numai prin suprafaa S0 din exteriorul lor, pe care S poate avea o component longitudinal, paralel cu normala nla suprafa. Totdincondiiademaisus,seobservcsuprafeeleSb1,Sb2,...,Sbnsuntechipoteniale (ntruct Enuarecomponenttangentlaacestesuprafee)iaupotenialeleV1,V2,...,Vn; aceleai poteniale le au i contururile 1, 2, ..., n. Puterea electromagnetic care intr n domeniul D, prin suprafaa , va fi P A A= = S n S n d d .S0(2.8-6) innd seama de (2.8-5), vectorul Poynting poate fi exprimat sub forma ( ) ( ) ( ) ( ) S E H H H H H H = = = + = + V V V V V rot rot .(2.8-7) innd seama de prima ecuaie a lui Maxwell rot , H JD= + t(2.8-8) ideprimaidetreiacondiiedin(2.8-1),rezultcpesuprafaaS0suntnulecomponentele normale ale rot H n H rot . = 0 pe S0 (2.8-9) Atunci fluxul de energie este ( )P V A = rot d .H nS0 (2.8-10) Se aplic teorema lui Stokes termenului rmas, innd seama c n raport cu suprafeele Sbk contururile k sunt parcurse n sens antiorar (stng) atunci cnd reprezint contur al gurilor din suprafaamultipluconexS0,iarapoiseineseamacacestecontururisuntechipoteniale.Se obine succesiv P V V Vik kknkknk kkn = = = = = =H s H s d d .1 1 1 (2.8-11) Expresiaobinutarat cn regim cvasistaionar puterea electromagnetic transmis unui domeniunchisD,cuajutoruluneiliniielectricemultifilare,esteegalcusumaproduselor intensitilor curenilor care intr n domeniu prin potenialele conductoarelor liniei pe suprafaa domeniului.Dacsuprafaadelimiteazunreceptor,relaia(2.8-11)exprimputerea electromagnetic primit pe la borne de acest receptor. Observaie.inndseamadecondiia(2.8-3)pecareosatisfaccureniiliniei,rezultc alegereaoriginiipotenialelornuinflueneazvaloareaexpresieiputeriitransmise,ntruct pentru orice V0 avem ( ) P Vi V V ik kknk kkn = = = = 101. Alegnd potenialul V0 egal cu potenialul unei borne, de exemplu V0 = Vn, expresia de mai sus se simplfic, ntruct va conine numai n-1 termeni, exprimai cu ajutorul tensiunilor la borne ( ) P V V i u ik n kknk n kkn = === 1111.(2.8-12) 27 Totodatnacestcaznumaitrebuieverificatcondiia(2.8-3)decompletitudinea curenilor,ntructprinconductorulluatcareferinapotenialelor(aiciconductoruln)se ntoarce suma celorlali cureni. n cazul particular al liniei bifilare, cu n = 2 i cui1 = - i2 = i, V1 - V2 = u, rezult P Vi Vi ui = + =1 1 2 2. (2.8-13) 2.9. TEOREMA DE UNICITATE A SOLUIILOR ECUAIILOR CMPULUI ELECTROMAGNETIC SeconsiderundomeniuDmrginitdesuprafaanchis,cuprinzndcorpuriicmp electromagnetic. Se presupune c sunt ndeplinite urmtoarele condiii: - corpurile sunt imobile, -mediilesuntliniare,izotrope,frpolarizaiesaumagnetizaiepermanentifrcmp electric imprimat. nschimbnuexistrestriciiprivitoarelacontinuitateaproprietilorde material(cums-a artat la 2.3). n aceste condiii relaiile constitutive ale mediilor capt formele: D E B H J E = = = , , , (2.9-1) n care i sunt mrimi strict pozitive (, > 0), iar este mrime nenegativ ( 0). nacestecondiiiidentitateaenergeticfundamentaliaoformparticular,carepermite stabilirea teoremei de unicitate ( ) ( ) = + + E H n EJ ED HB d d d . A vtvD D 1212(2.9-2) Se noteaz ( )( )P AP vW vDD= = = + E H nEJED HBd ,d ,d .Jem001212 (2.9-3) (2.9-4) (2.9-5) Cu aceste notaii, identitatea energetic fundamental devine = + P P W t J emd d . (2.9-6) Se poate enuna urmtoarea teorem de unicitate: Ecuaiilecmpuluielectromagneticausoluiiunivocdeterminate ( ) ( ) E H M, M, t t , , pentru orice MD, t 0, n toate punctele M ale domeniului i n toate momentele de timp t 0, dac se dau: - valorile iniiale ale intensitii cmpului electric i a cmpului magnetic n toate punctele domeniului ( ) ( ) ( ) ( ) E H M,0 M iM,0 Mpentru orice ME H= = f f D , , -condiiilelalimitprinvalorilecomponentelortangenialealeintensitii cmpului electric i ale cmpului magnetic n toate punctele suprafeei i n toate momentele de timp t > 0 ( ) ( ) ( ) ( ) E Ht E t HM, M, M, M,pentru orice M , t > 0. t g t t g t = = , , 28 Acestea sunt condiiile de unicitate pentru problema de cmp electromagnetic. Demonstraiasefacendouetape.Intisedemonstreazcunorcondiiideunicitate identic nule le corespunde un cmp electromagnetic identic nul. Pentru gE = 0 sau/i gH = 0, rezult P = 0, iar pentru fE = 0 i fH = 0 rezult Wem(0) = 0. Integrnd n timp relaia (2.9-6), se obine ( ) ( ) ( ) 0 00= + =P W t WtJ em em d , sau ( ) ( ) W t Ptem J= = d .00 (2.9-7) Singura situaie care nu contrazice (2.9-5) este Wem(t) = 0. Atunci, ntruct > 0 i > 0, singura soluie acceptabil este ( ) ( ) E H M, M, t t 0 0 , .(2.9-8) Mai departe, teorema de unicitate se demonstreaz prin reducere la absurd. In acest scop se presupunecexistdousoluiidistincte( ) ( ) " , " si ' , ' H E H E ,corespunztoareunorcondiiide unicitatedate.Seformeazcmpuldiferen E E E H H Hd d= = ' ", ' ". Acestcmpsatisface ecuaiileluiMaxwell,darncondiiideunicitatenule.Inconformitatecuteoremaajuttoare cmpul diferen este nul, deci cele dou soluii coincid. n medii liniare se poate formula teorema de superpoziie: Soluiile corespunztoare superpoziiei unor condiii de unicitate sunt superpoziia soluiilor determinate de fiecare condiie de unicitate n parte. 29 3. FORE ELECTROMAGNETICE 3.1. TEOREMELE FORELOR GENERALIZATE N CMPUL ELECTROMAGNETICSeconsidercazulparticularalmediilorfrhisterezis(Ph=0),ncarecorpurilepot efectuamicideplasrisubefectulforelorelectromagnetice.nacestecondiii,teorema energiei electromagnetice i identitatea energetic fundamental se prezint sub forma = + + d d , W t P P Pem J m (3.1-1a) ( ) ( ) + = + E D H B EJ E H n d d d d d d d ,f ft t v v AD D (3.1-1b) din care se deduce relaia general ( )L P t W t t vD= = + +m em f fd d d d d d d . E D H B (3.1-2) Aceastrelaiesesimplific n cazul unei transformri la fluxuri constante (astfel nct diferenialele substaniale s fie nule) i lucrul mecanic elementar se exprim sub forma L Wconst= =d,em. (3.1-3) Energiaelectromagneticesteofunciedemrimiledestarealecmpului electromagneticidecoordonatelecorpurilor.Teoremadeunicitateasoluiilorecuaiilor cmpuluielectromagneticaratcenergiaelectromagneticpoatefiexprimatnumaicu ajutorul fluxurilor (i a coordonatelor), adic ( ) W W xem em= , , ,(3.1-4) n care toate cele trei argumente pot fi vectori generali (primii doi pot fi chiar cu numr infinit decomponente).Lunddiferenialaacesteiexpresiiaenergieielectromagnetice,n restricia constanei fluxurilor, se obine d,d . WconstWxxkk emem ==(3.1-5) Pedealtpartelucrulmecanicelementarseexprimcuajutorulforelorgeneralizate sub forma L X xk k=d .(3.1-6) Identificnd termenii corespondeni, se stabilete relaia general XWxconstkk= = em,,(3.1-7) cunoscut ca prima teorem a forelor generalizate n cmpul electromagnetic. Sepoatestabilioexpresiealternativ,carefolosetecoenergiaelectromagnetic. Intruct calculele corespunztoare sunt ceva mai lungi, demostraia nu se mai reproduce aici ci se d direct rezultatul final 30 XWxU U constkk==',,emm (3.1-8) unde U este tensiunea electric, iar Um este tensiunea magnetic n lungul unor curbe arbitrare. W'em este coenergia electromagnetic, exprimat ca funcie de U, Um i x. Ultima expresie este cunoscut caa doua teorem a forelor generalizate n cmpul electromagnetic. Uneori acest teorem este exprimat cu ajutorul energiei electromagnetice i atunci este valabil numai pentru medii liniare (la care energia este egal cu coenergia). ncazulregimurilorstaticesaustaionareexpresiileenergieiiacoenergieise simplific, obinndu-se expresii care se vor da n cadrul exemplelor urmtoare. 3.2. FORA DE ATRACIE NTRE ARMTURILE UNUI CONDENSATOR Seconsideruncondensatorplan,cuarmturiavndariaAspredielectriculseparator, distanantrearmturifiindd,iardielectriculavndpermitivitatea(Fig.3.2-1).Se neglijeaz efectele de margine. Atunci cmpul ntre armturi este uniform i este nul n afar. Sarcinacondensatoruluisedistribuieuniformpesuprafaa din spre dielectricul separator, cu densitatea=q/A,iardin legeafluxului electric rezultD = =q/A. Intensitatea cmpului electric este E= D/ i ntre armturi rezult o tensiune U = E d. Energia electric a condensatorului este ( ) ( ) W w V E DA d qd A U A de e= = = =12122122 . Fig. 3.2-1. Notaii pentru calculul forei de atracie ntre armturile unui condensator. Coordonata generalizat este distana d ntre armturi, iar fora generalizat asociat este fora de respingere X. Folosind prima teorem a forelor generalizate rezult ( ) XqdAdqAUd A = = = 122122122, iar cu a doua teorem se obine acelai rezultat ( )X U A d d U Ad = = 122122 2.Armturile se atrag cu tensiunea 12212E E D = .Observaie.Inmodtacits-aadmiscdielectriculestecompresibilinuopunenicio rezisten la deformare (este fluid). Cazul dielectricului rigid va fi abordat mai departe. 3.3. FORA PORTANT A UNUI ELECTROMAGNET SeconsiderunelectromagnetnformdeU,avndceledountrefieruridelrgimi egale , i aria de trecere a fluxului magnetic prin ntrefier A. Se neglijeaz dispersia. Atunci cmpulmagneticdinntrefieresteuniform,culiniidecmpperpendicularepefeele armturilor feromagnetice. 31 Fig. 3.3-1. Notaii pentru calculul forei portante a unui electromagnet. Fr a apela la vre-o metod de rezolvare a problemei magnetice, se consider cunoscut nducia magnetic n ntrefier B i atunci se pot face urmtoarele raionamente. Energiamagneticaelectromagnetuluipoatefiprezentatsubformasumeidintre energia magnetic n fierul circuitului magnetic WFe i energia magnetic n ntrefieruri W W W Wm Fe= +, iaraldoileatermensepoateexprimacuajutoruldensitiidevolumaenergieimagnetice 121220BH B = ,sub forma W B A =12202 , unde 2A este "volumul ntrefierului", iar 0 este permeabilitatea vidului. Considernd o transformare elementar la flux constant, se observ c energia magnetic nfiernuseschimb,pecndceadinntrefiersepoateschimbadincauzamodificrii volumuluintrefierului.Coordonatageneralizatvafilrgimeantrefierului,iarfora generalizat asociat va fi de respingere. Cu prima teorem a forelor generalizate se obine ( )X B A B A = = 122012202 2 . Fora este de atragere, cu o tensiune 1220B . Numeric, pentru o inducie n ntrefier de 1Tseobineotensiunedeatraciede40N/cm2=4.105Pa.Estepresiuneacreatdeo coloan de ap cu nlinea de aproximativ 40 m. Rezult c cu ajutorul electromagneilor se pot obine fore importante. 3.4. TEOREMA DENSITII DE VOLUM A FOREI ELECTROMAGNETICE Teoremele forelor generalizate permit determinarea forelor generalizate, fr a preciza repartiia acestora n cuprinsul corpurilor. Puterea mecanic transmis corpurilor de cmpul electromagneticse poate exprima sub forma P vDm = f v d , n care feste densitatea de volum a forei electromagnetice iar veste viteza. Se pot pune n eviden componentele electrice i magnetice ale forelor, sub forma f f f = +e m,(3.4-1) ale cror expresii, n mediu izotrop, sunt ( ) f Ee v= + 122122E E grad grad d d , (3.4-2) 32 ( ) f J Bm = +122122H H grad grad d d , (3.4-3) undecus-anotatdensitateademas.Acesteexpresiinusedemonstreazaici,darsevor discuta unele consecine ale acestor relaii. Densitatea de volum a forei electricefe Primul termen este densitatea de volum a forei coulombiene exercitate de cmp asupra corpurilor ncrcate cu sarcin electric. Aldoileatermenreprezintdensitateadevolumaforelordatorateneomeogenitii dielectricului.Deexemplu,pentruuncondensatorcudielectriculintrodusparialntre armturi(fig.3.4-1),aproximndvariaiapermitivitiiprintr-ofunciecontinu(x)i considernd cmpul calculat simplu E = U/a, rezult ( )f = = 122122E Ua x grad d d . Foraseobineintegrndpevolum,pentruarmturidelimeb(dupdirecia perpendicular pe planul din fig. 3.4-1) ( ) F f = = = d d d d . vUab a x x UbaD1221220 La acelai rezultat se poate ajunge i cu teoremele forelor generalizate n cmp electric. Fig. 3.4-1. Notaii pentru calculul densitii de volum a forelor electrice Altreileatemen,numitfordeelectrostriciune,aparenmaterialeleacror permitivitateelectricvariazcudensitatea.Rezultantaforelordeelectrostriciuneasupra unuicorpizolatestenul,eacontribuindnumailastareadetensiunidincorpipoate determina deformri ale acestuia. Densitatea de volum a forei magnetice fm

Primul temen d densitatea de volum a forei lui Laplace, exercitat de cmpul magnetic asupraconductoarelorparcursedecurent.Unexempluinteresantestecelalunuiconductor izolatdealtele,parcursdecurent,careestesupusuneiforedecomprimare,datorit interaciunii dintre curentul electric i cmpul magnetic propriu (efectul Pintch). Aldoileatermenreprezintdensitateadevolumaforelormagneticedatorite neomogenitii materialului. Al treilea termen reprezint densitatea de volum a forelor de magnetostriciune. 3.5. TENSIUNI MAXWELLIENE N CMPUL ELECTROMAGNETIC Foreleexercitatedecmpulelectromagneticsepotdeterminaprinintegrareape suprafaa domeniului respectiv a unor tensiuni electromagnetice (maxwelliene) ( ) F T Tem e m= +d , A(3.5-1) unde, n absena fenomenului de striciune electric sau magnetic ( ) T E Dn ne e= w , (3.5-2) 33 ( ) T H Bn nm m= w . (3.5-3) Fig. 3.5-1. Notaii pentru tensiunile maxwelliene n cmp electromagnetic. nmediiliniare,dac n E T n , , atunci e e= w iardac n E T n = ,atunci e ew (v. fig. 3.5-1). Relaiie sunt similare i pentru fora magnetic. Tensiunilemaxwellienepermitdeterminareaforeirezultante asupra domeniului, fr a permite determinarea repartiiei sale. 34 4. CMPUL ELECTROSTATIC 4.1 TEOREMA RELAXAIEI SARCINII ELECTRICE naplicaiiadeseaseasimileazcuregimulelectrostaticianumiteregimurilent variabile n timp. Atunci este important s se stabileasc condiiile n care repartiia de sarcin este apropiat de cea electrostatic. Fieuncorpomogennalcruivolumexistlaunmomentdatuncmpelectricio repartiie de sarcin v. Se pot scrie urmtoarele relaii J ED E = = ,i rezult J D = . Introducnd ultima expresie n forma local a legii fluxului electric se obine ( ) div div . J D = = v (4.1-1) Cu aceast expresie, forma local a legii conservrii sarcinii electrice devine ( ) v v+ = t 0. (4.1-2) Notnd cu = / mrimea de material numit timp de relaxaie, soluia acestei ecuaii este ( ) ( ) ( ) v v0 r r , , exp . t t t = (4.1-3) Dup4...5densitateadevolumasarciniisepoateconsideraneglijabil.Variaia densitiidevolumasarciniiestensoit,evident,deuncurentelectric.Durataacestui proces la metale este de (1019...1017) s, la semiconductori de (1015...102) s, iar la dielectricii tehnici de (103...107) s. Rezultatulobinutestevalabilnumainmediiomogene.Inmediineomogene (grad(/) 0) poate aprea o distribuie de volum a sarcinii n regim electrocinetic staionar. 4.2TEOREMA POTENIALULUI ELECTROSTATIC Uncmpelectrostaticodatstabilitsemeninefrafinevoiedevre-unaportde energiedinexterior.Dinprincipiuldeconservareaenergieirezultnacestcazurmtoarea proprietate: n cmp electrostatic nu se poate obine lucru mecanic prin efectuarea unui ciclu de transformare reversibil. Seconsideruncicludetransformarereversibil,constnddindeplasareapeocurb nchisaunuicorpdeprobncrcatcuosarcinelectricqp(fig.4.2-1);micarease efectueazsuficientdencet,pentruaputeaconsidera,ncontinuare,osuccesiunedestri electrostatice. Fig. 4.2-1. Notaii pentru stabilirea teoremei cmpului electrostatic. Lucrul mecanic efectuat de fora electric F Ee p= qcare se exercit asupra corpului de prob, are expresia 35 L q W W = = = F s E se p in find d , (4.2-1) n care Win i Wfin sunt energiile sistemului (cmp + corp de prob) n starea iniial i n cea final. ntruct la deplasarea pe o curb nchis starea iniial coincide cu starea final, rezult egalitateaenergiilorWin=Wfiniseobineurmtoareaproprietateimportant:circulaia intensitii cmpului electrostatic este nul pentru orice curb nchis E s d .= 0 (4.2-2) Aceasta este forma integral a teoremei potenialului electrostatic. Teorema rezult n regim static din legea induciei electromagnetice i are mai multe consecine. a)ncmpelectrostaticnuexistliniidecmpnchise.nadevr,dacarexistao asemenealinie,peaceastaprodusul E s d araveamereuacelaisemniintegraladecontur nu ar putea fi nul (dect dac E 0). b)ncmpelectrostatic,tensiuneaelectricntredoupunctenudepindededrum.n adevr, considernd ntre dou puncte A i B dou drumuri C1 i C2 (fig. 4.2-2), pe conturul nchis format prin reunirea celor dou drumuri, rezult E s E s E s E s E s d d d d d . = + = =C C C C1AB 2BA 1AB 2AB1 20 Fig.4.2-2. Notaii pentru stabilirea tensiunii ntre dou puncte n regim electrostatic. TensiuneaelectricUAB,ntreceledoupuncteAiB,areaceeaivaloarepeoricare dintre drumuri. c)ncmpelectrostaticsepoatedefiniofunciunescalardepunct,numitpotenial, determinat cu urmtoarea regul de calcul () ( ) VP VPPP= 00E s d ,(4.2-3) curba pe care se calculeaz integrala fiind arbitrar. d)ncmpelectrostatictensiuneaelectricntredoupuncteesteegalcudiferena potenialelor acelor puncte ( ) () U V V VABABABA B = = = E s d d . (4.2-4) e) Forma diferenial a relaiei (4.2-3) este d d . V = E s(4.2-5) Dinaceastexpresiesededucecnlunguluneiliniidecmppotenialulscade.ntr-adevr,nlunguluneiliniidecmp E s id suntvectoriomoparaleli,deciprodusullor scalar este pozitiv i atunci dV < 0. f) Teorema potenialului electrostatic se poate exprima i n forma local E= grad , V(4.2-6) 36 adic se poate defini o funciune scalar de punct, numit potenial, al crei gradient cu semn schimbat este intensitatea cmpului electric. ndomeniidecontinuitateinetezimeaproprietilorfizicesepoateobineoalt formlocal,aplicndexpresiei(4.2-2)teoremaluiStokes:circulaiaunuivectorcmp G pe orice curb nchis este egal cu fluxul rotorului su prin orice suprafa S mrginit de acea curb (fig. 4.2-3) G s G n d rot d . = AS(4.2-7) n aceast expresie elementul de arcdsi versorul normalei nau sensuri asociate dup regula burghiului drept. Fig. 4.2-3. Notaii pentru teorema lui Stokes.Fig. 4.2-4. Demonstrarea proprietii de atingere a extremului potenialului electrostatic pe frontier. Rezult alt form local a teoremei potenialului electrostatic rot .E= 0(4.2-8) Aceastrelaiesepoateobineiformal,inndseamadeexpresia(4.2-6)ide proprietile produsului vectorial ( ) ( ) rot .E= = V V 0(4.2-9) g)nmediiliniare, omogene, fr distribuii de sarcin electric, potenialul electric i atinge extremele pe frontiera domeniului. Aceast proprietate se demonstreaz prin reducere la absurd. S presupunem c s-a gsit n interiorul domeniului un punct M0 n care potenialul are un maxim V0. Fie 1 o suprafa nchisnjurulpunctului M0 n care toate punctele au potenialul V1 mai mic dect V0: V1 = V(M) V0, pentru orice M 1 (fig. 4.2-4). Conform proprietii (4.2-5) n aceast vecintate toateliniiledecmptrebuiesfieorientatedelapunctulM0 spre punctele suprafeei1 (n sensuldescdereapotenialului).Intructmediulesteliniariomogen, D E = ,deci vectorulinducieielectriceesteorientatspresuprafaa1,iarfluxulelectricprin1este pozitiv Dn d d . A D A 1 10 = > (4.2-10) nbazalegiifluxuluielectricninteriorulsuprafeei1artrebuisexisteosarcin electricpozitiv,ceeacecontraziceafirmaiainiial,cdomeniulnuaredistribuiide sarcin electric. Deci nu exist puncte interioare n care potenialul s aib maxime.Odemonstraieasemntoaresefaceipentruexistenaunuipunctdeminim.n concluzie, n medii liniare, omogene, fr sarcini electrice, valorile extreme ale potenialului electric sunt atinse pe frontiera domeniului.Aplicaie.Cmpulipotenialulelectrostaticalunuifirrectiliniuinfinit,ncrcatcu sarcina lineic lconstant. 37 Cmpulelectricsedetermininndseamadesimetriaaxial(cilindric):vectorul cmpesteconinutnplanultransversal,aredirecieradialidepindenumaiderazar (distana fa de fir). Suprafaa nchis luat n consideraie este compus dintr-o suprafa lateral cilindric Sl, coaxial cu firul, de lungime l i de raz r, nchis prin dou discuri S1 i S2 , de raz r (fig. 4.2-5): = S1SlS2. Fig. 4.2-5. Fir rectiliniu ncrcat cu sarcin lineic constant. Fluxul electric prin cele dou discuri este nul, vectorul cmp D fiind perpendicular pe normalele la aceste suprafee Dn = 0peS i peS1 2. Atunci rezult succesiv = = = = == = Dn DnErd d d , ,.A A D A rlD q lDllr rlS Slll C i 2121202 Considerndnulpotenialulnpunctulsituatladistanar0defir,potenialulvaavea expresia Vrrrrrrr= = = E sr rddln .0 0 2 20200l l Potenialulobinutestenumitpoteniallogaritmic.Deobiceiseconsider (convenional) r0 = 1 i atunci Vr=l210ln .(4.2-11) 4.3. CONDUCTOARELE N CMP ELECTROSTATIC. Experienaaratcunconductorneutruseelectrizeazlaintroducerealuincmp electric. Acestfenomen se numete electrizare prin influeni const n repartizarea unor sarcinielectricepesuprafaaconductorului,frmodificareasarciniielectrice(adevrate) totale a conductorului (nul n cazul conductorului izolat i iniial neutru). nteoriamicroscopic,acestfenomenseexplic-lametale-prinschimbareapoziiei electronilorliberi(deconducie),subinfluenacmpuluielectricdinconductor.Instarea final,cmpulelectricnconductoareleomogeneineaccelerateE= 0 estenul,iar intensitateacmpuluielectrostaticnfiecarepunctalsuprafeeiconductoarelorarenumai componentperpendicularpesuprafa;ncazcontrarparticulelepurttoaredesarcini 38 electrices-ardeplasanconductorsaupesuprafaasainuarfindeplinitcondiiade echilibru electrostatic. ncazulconductoareloromogeneineaccelerate,nregimelectrostaticrezult urmtoarele proprieti: a)Toatepuncteledininteriorulunuiconductorauacelaipotenial(diferenade potenialntrediferitelepunctealecorpului,egalcutensiuneaelectricntreacelepuncte, estenul,ntructE0);decisuprafeeleconductoarelorsuntsuprafeeechipotenialei liniile de cmp sunt perpendiculare pe aceste suprafee; b)Sarcinaelectricaconductoareloresterepartizatstrictsuperficial,iarsarcinadin interiorul conductoarelor este nul (este o consecin a legii fluxului electric: ntruct E= 0 , rezult D= 0 i apoi q = 0); c) La suprafaa conductoarelor, inducia electric este egal cu densitatea de suprafa a sarcinii electrice. In adevr, aplicnd legea fluxului electric unei suprafee ca n figura 4.3-1,ntructnconductorinduciaestenul,iarlasuprafaesteperpendicularpesuprafaa conductorului, rezult = = = = = Dn n n d , A D A D A q An S undeDnestecomponentainducieielectricedupnormala n exterioarasuprafeei conductorului i atunci Dn S= . (4.3-1) d)ncavitilefrsarcinielectricedininteriorulconductoareloromogenei neacceleratecmpulelectricestenul(efectulFaraday),ntructconductorulfiind echipotenial,ncavitipracticatenelcmpulelectrictrebuiesfienul.Acestefectse folosete n instalaiile de nalt tensiune pentru ecranarea (prin conductoare legate la pmnt) Fig. 4.3-1. Notaii pentru stabilirea componentei normale a induciei la suprafaa unui conductor Fig. 4.3-2. Folosirea efectului Faraday pentru ecranarea electrostatic a locurilor de observaie i comand. alocurilordeobservaieidecomandncareseaflpersoane(fig.4.3-2),astfelnct acestea s poat fi aezate n apropierea platformelor de experimentare. e)Oricesuprafaechipotenialdincmppoatefinlocuitprintr-osuprafa conductoare("foimetalic"),fraperturbacmpul("principiulmetalizrii"suprafeelor echipoteniale). n conductoare neomogene sau accelerateEi pot s apar cmpuri imprimate, caracterizate prin valoarea local a intensitii cmpului electric imprimat. Atunci condiia de echilibru electrostaticdevine E E + =i0,condiiecareanuleazforadenaturelectricexercitat asupra purttorilor de sarcin electric. 39 4.4. CONDIII DE TRECERE PRIN SUPRAFEE DE DISCONTINUITATE A PROPRIETILOR ELECTRICE Seconsiderosuprafadediscontinuitate,frdensitatesuperficialdesarcin electricadevrat,caredespartedoumediicupermitivitidiferite1i2.Condiiilede trecere se pot stabili folosind legea fluxului electric i teorema potenialului electrostatic. SeapliclegeafluxuluielectricuneisuprafeenchiseS,deformauneiprisme elementarefoarteplate,avndbazeledearieAsituatedeoparteidealtaasuprafeeide separaie (fig. 4.4-1) i cu nlimea h foarte mic n comparaie cu dimensiunile bazelor. Se obine succesiv ( ) Dn d , A D D A qSn1 n2= = = 0sauD Dn1 n2= .(4.4-1) Latrecereaprintr-osuprafadediscontinuitate,nencrcatcusarcinielectrice,se conserv componenta normal a induciei electrice. Fig. 4.4-1. Notaii la aplicarea legii fluxului electric. Fig. 4.4-2. Notaii la aplicarea teoremei potenialului electrostatic. Fig. 4.4-3. Refracia liniilor de cmp electric. Se aplic teorema potenialului electrostatic unui mic contur nchis S, care trece pe cte o lungime l de o parte i de alta a suprafeei de discontinuitate (fig. 4.4-2). Se obine ( )E s d ,= = E E lt1 t20sau E Et1 t2= .(4.4-2) Latrecereaprintr-osuprafadediscontinuitateseconservcomponentatangeniala intensitii cmpului electric. Cu ajutorul acestor dou condiii de trecere, se poate stabili teorema refraciei liniilor de cmp electric. Se noteaz cu 1 unghiul de inciden i cu 2 unghiul de refracie al unei linii a cmpului electric (fig. 4.4-2). Atunci rezult succesiv tgtg.121 12= = = =D DD DDDEEt1 n1t2 n2t1t2t12 t2 La trecerea printr-o suprafa de discontinuitate, liniile de cmp electric se refract astfel nct tangentele unghiurilor fa de normala suprafeei s fie proporionale cu permitivitile. Atuncilaieiredintr-unmaterialcupermitivitatemaimarentr-unulcupermitivitatemai mic liniile de cmp se apropie de normal. 40 4.5. ECUAIILE POTENIALULUI ELECTROSTATIC 4.5.1. POTENIALUL ELECTRIC SCALAR Ecuaia (4.2-6) arat c orice cmp electrostatic deriv dintr-un potenial scalar E= grad . V(4.5-1) Cuajutorullegiilegturiidintre D E P , iialegiipolarizaieielectricetemporare, considerndnulpolarizaiapermanent( Pp = 0),induciaelectricsepoateexprimasub forma D E = , iar apoi cu legea fluxului electric se pot stabili succesiv urmtoarele relaii ale potenialului scalar ( ) ( ) v = = = div div div grad . D E V (4.5-2) Se obine, astfel, ecuaia potenialului scalar al cmpului electrostatic ( ) div grad . , V= v (4.5-3) n care poate fi funciune de punct, iar n cazul mediilor neliniare (univoce) este funciune i de intensitatea cmpului electric (4.5-1). In medii anizotrope, permitivitatea electric poate fi un tensor ( ). nmediiliniare,omogeneiizotropepermitivitateaesteoconstantscalarintruct div grad = , potenialul satisface ecuaia lui Poisson V = v. (4.5-4) ndomeniilefrsarcinelectricv=0potenialulelectrostaticsatisfaceecuaialui Laplace V = 0.(4.5-5) Soluiile ecuaiei lui Laplace se numesc funcii armonice. Pentru a rezolva ecuaia lui Laplace ntr-un domeniu D trebuie cunoscut funcia spaial apermitivitii(M),pentruoriceM Dianumitecondiiilalimitpefrontiera domeniului D. Pentru ecuaia Poissoneste necesar n plus cunoaterea repartiiei spaiale a surselor v(M). Oproblemcucondiiilalimitestecorectformulatdacsoluiaexist,esteunici depinde continuu de datele problemei. Condiiiledeunicitateasoluiilor se pot stabili cu ajutorul formulelor lui Green pentru cmpuri de scalari. 4.5.2. FORMULELE LUI GREEN PENTRU CMPURI DE SCALARI FieUiVdoucmpuridescalari,definitendomeniulD.AplicndformulaGauss-Ostrogradski fluxului cmpului biscalarF = U V grad , se obine prima formul a lui Green pentru cmpuri de scalari ( ) ( ) U V A U V v UV U V vD D Dgrad d div grad d grad grad d .n = = + (4.5-6) Pentru U = V, ultima relaie devine ( )V V A VV V vD Dgrad d grad d .n = + 2(4.5-7) 41 nlocuind n (4.5-6) V cu U i scznd din (4.5-6), membru cu membru relaia obinut, se stabilete a doua formul a lui Green pentru cmpuri de scalari ( ) ( ) U V V U A UV VU vD Dgrad grad d d . = n (4.5-8) 4.5.3. CONDIII DE FRONTIER DE TIP DIRICHLET I NEUMANN SenoteazformalCf{V}condiiilela limit (de frontier) prescrise potenialului scalar V i derivatelor sale. Fie V1(M) i V2(M) dou soluii ale ecuaiei (4.5-4), cu valori diferite n punctele M ale domeniului D, ( ) ( ) ( ) ( ) V V D1 2M M M Mpentru orice Mv v= = , , ,(4.5-9) cu aceleai condiii de frontier ( ) ( ) ( ) ( )C M C Mpentru orice Mf fV V D1 2= , . (4.5-10) Se notez Vd(M) cmpul scalar diferen ( ) ( ) ( ) V V V DdM M Mpentru orice M = 1 2, . (4.5-11) Acest cmp satisface ecuaia lui Laplace i are condiii de frontier nule. Formula (4.5-7) scris pentru cmpul diferen este ( )V V A V V V vD Dd d d d dgrad d grad d .n = + 2(4.5-12) SedefinescprilefrontiereiFD(MD),pentruoriceMDDiFN(MN),pentruorice MN D, iar FD FN = D, FD FN = 0.Integrandul primului membru al ecuaiei (4.5-12) se anuleaz dac Vd(M) = 0, pentru orice M FD(M); acestea se numesc condiii Dirichlet sau de prima spe (trebuie dat valoarea potenialului n punctele frontierei FD(MD)); ( ) ( )n grad , V V nd dM M = = 0 pentruoriceMFN(M);acesteasenumesccondiii Neumannsaudeadouaspe(trebuiedatvaloareaderivateidupnormalnpunctele frontierei FN(MN)); ocombinaieliniaraprimelordou;acesteasenumesccondiiiRobinsaudeatreia spe. O condiie de frontier este omogen sau natural dac valorile date sunt nule. Observaie.CondiiileNeumannprescrisetrebuiessatisfacocondiiesuplimentar, rezultat din legea fluxului electric. Condiia se obine integrnd ecuaia (4.5-4) pe domeniul D i transformnd integrala de volum din membrul stng (ntruct = div grad). Se obine V v V A vqD D DDd grad d d . = = = n v (4.5-13) Semaidemonstreaz(Lebesgue)cpentrufrontierecuvrfuriproblemaluiDirichlet nu are n general soluie unic. 4.5.4 TEOREMA UNICITII SOLUIILOR ECUAIILOR POISSON I LAPLACE PENTRU POTENIALUL SCALAR 42 Teorema are urmtorul enun. Ecuaiile Poisson (4.5-4) i Laplace (4.5-5), cu condiii pe frontierdetipDirichletausoluiiunice,iarcucondiiiNeumannsuntunicepnlao constant aditiv. Teoremasedemonstreazcontinundraionamentuldinsubcapitolulprecedent.n ecuaia(4.5-12),attpentruproblemaDirichlet,ctipentruproblemaNeumannestenul membrul stng i primul integrand din membrul drept. Prin urmare ( ) grad , , V DdMpentru orice M = 0(4.5-14) deci Vd(M) = const. In problema Dirichlet Vd este nul pe frontier i constanta este nul, adic V1(M) = V2(M), pentru orice M D D. Soluia este unic. n problema Neumann V1(M) - V2(M) = const i soluia este unic pn la o constant aditiv.4.6. TEOREMA UNICITII I SUPERPOZIIEI CMPURILOR ELECTROSTATICE Aceste teoreme sunt enunate fr demonstraie, ele fiind consecine directe ale teoremei de unicitate i superpoziie a cmpurilor electromagnetice. Teorema unicitii n cmpul electrostatic. Cmpulelectrostaticdintr-undomeniualspaiuluiocupatdeunmediudielectric,cu permitivitatea ( ) r datiindependentdecmp,esteunivocdeterminatderepartiian spaiuasarcinilorelectriceadevratedindomeniulrespectividecomponentanormala intensitiicmpuluielectricpesuprafeele-frontierale domeniului (teorema lui Neumann), sauderepartiianspaiuasarcinilorelectriceadevrateiderepartiiapotenialului electrostatic pe suprafeele-frontier ale domeniului (teorema lui Dirichlet). Dac suprafeele- frontiersedeprteazlainfinit,repartiianspaiuasarciniigsindu-senumaintr-un domeniu mrginit, condiiile la limit suntE r const V r const2= =sau . Teorema superpoziiei cmpurilor electrostatice. Intensitateacmpuluielectricrezultant,produsdecorpuricundistribuiidesarcini electrice adevrate ( ) kr , k = 1,2, ..., n, situate ntr-un mediu liniar, ntr-o regiune mrginit a spaiului,esteegalcusumaintensitilorcmpurilorelectricecares-arproducedacar exista fiecare distribuie n parte, n lipsa celorlalte. Teorema este valabil pentru medii liniare i pentru ntregul domeniu n care exist cmp electric produs de aceste sarcini. n cazul particular a n conductoare n regim electrostatic i avnd potenialele V1, V2, ..., Vn (cu V = 0), potenialul rezultant V, ntr-un punct cu vectorul de poziie r , are expresia ( ) ( ) V v Vk k kkn r r ==1, unde ( ) vk kreste potenialul n punctul considerat, n ipoteza c potenialul conductorului k ar fi egal cu unitatea, potenialele toturor celorlalte conductoare fiind nule. Aceast teorem are i urmtoarea form particular: dac este nul potenialul punctelor de la infinit i sarcinile electrice adevrate ale tuturor conductoarelor cresc de ori, atunci i potenialele conductoarelor, respectiv potenialul fiecrui punct din spaiu, cresc de ori. 43 5. SISTEME DE CONDUCTOARE IN ECHILIBRU ELECTROSTATIC 5.1. CONDENSATORUL ELECTRIC I CAPACITATEA ELECTROSTATIC Seconsiderunsistemformatdindouconductoareomogene,ncrcatecusarcinile electrice adevrate q1, q2, egale i de nume contrar: q1 = q i q2 = - q (fig. 5.1-1). Un asemenea sistemsenumetecondensatorelectric.Dacconductoarele(numiteiarmturi)sunt separateprindielectriciomogenisauneomogeni,nencrcaiifrpolarizaiepermanent (v = 0, S = 0 pe suprafee interioare, Pp = 0), atunci mrimea pozitiv, definit prin raportul dintre sarcina unui conductor i tensiunea electric de la acel conductor la cellalt conductor, se numete capacitate electric a condensatoruluiCqV VqV VqUqUD=== =11 222 1112. (5.1-1) Fig. 5.1-1. Notaii pentru definirea capacitii electrostatice Practic,unsistemdedouconductoareformeazuncondensator,dacaplicndo tensiune ntre cele dou rmturi, toate liniile de cmp care pleac de la o armtur ajung pe cealalt;nacestcazarmturilesencarccusarcinielectriceegaleidenumecontrar(cu sum nul). n ansamblul su, condensatorul este neutru. Capacitatea unui condensator cu dielectric liniar nu variaz cu tensiunea aplicat ntre armturi (n conformitate cu teorema superpoziiei). nsistemulinternaionaldeuniti(SI)unitateademsuracapacitiisenumete farad,simbolizat[F]iesteegalcucapacitateacondensatoruluicarencrcatcusarcina electric de un coulomb stabilete ntre armturile sale o tensiune de un volt. Capacitatea se exprim, de obicei, n submultipli ai unitii fundamentale:mF (10-3 F),F (10-6 F),nF (10-9 F), pF (10-12 F). Calcululcapacitiiunicondensator cu armturi de form dat, separate prin dielectrici cucaracteristiciistructurcunoscut,sereducelarezolvareauneiproblemedecmp electrostatic,ncareceledouarmturisuntncrcatecusarcinielectricede1C,respectiv -1 C.Tensiuneaelectricntrearmturi,calculatfiecadiferenapotenialelorcelordou armturi, fie ca integrala de linie a intensitii cmpului electric ntre armturi, va fi numeric egalcucapacitateacondensatorului.Pentruconfiguraiitipice(condensatorplan,cilindric, sferic) au fost stabilite expresii la cursul de Bazele Electrotehnicii, n anul II. Aplicaie. Condensatorul cilindric. Armturile condensatorului sunt doi cilindri de raze R1 i R2 > R1, de lungime l, separai printr-un dielectric omogen, de permitivitate . Se va examina numai cazul n care cele dou armturi sunt coaxiale (fig. 5.1-2). Fie q sarcina armturii interioare. Dacseneglijeazefectuldemargine(delacapetelearmturilor),dinmotivede simetrie liniile de cmp sunt radiale i cmpul electric depinde numai de distana r a punctului curentfa de axacilindrilor. Cmpul se calculeaz utiliznd legea fluxului electric, aplicat 44 pe o suprafa nchis , de forma unui cilindru co