PROIECT DIDACTIC

Data: 28.05.2013

Profesor: Fănăţan Teofil

Unitatea de învăţământ: Liceul de Artă – Baia Mare

Aria curriculară: Matematică şi ştiinţe ale naturii

Disciplina: Matematică- Geometrie

Clasa: a IX-a A

Unitatea de învăţare: Teorema cosinusului

Tema lecţiei: Aplicaţii ale trigonometriei în geometrie

Tipul lecţiei: Mixtă

Durata: 50min.

Locul de desfăşurare: Sala de clasă

Scop: să rezolve un triunghi oarecare cu ajutorul teoremei cosinusului.

Obiective operaţionale : La sfârşitul lecţiei, elevii vor fi capabili să : O1 : Enunţe teorema cosinusului O2: Exprime cosinusul unghiului unui triunghi în funcţie de laturi O3: Aplice teorema cosinusului în aplicaţii O4: Identifice elementele necesare pentru rezolvarea unui triunghi oarecare

O5: Determine lungimii laturilor și măsurilor unghiurilor unui triunghi când se cunosc o parte dintre ele

Strategii didactice :

Metode şi procedee : problematizarea, învăţarea prin descoperire, expunerea, exerciţiul, observaţia.

Mijloace şi materiale didactice: manual, fișă de lucru, tabla, liniar, creta

Forme de organizare: frontală, individuală.

Surse informaţionale: Manual cls.a IX-a, C. Niţă, C. Năstăsescu, ed. Did. și Pedagogică

1

Etapele lecţieiConţinutul lecţiei

Strategiile didactice Evaluare

Metode şi procedee

Forme de activitate

Activitatea profesorului Activitatea elevului

1 2 3 4 5 6

Moment organizatoricProfesorul face prezenţa.Stabilește liniștea și atmosfera propice învăţării.Verifică tema de casă.

Conversaţia Frontală Aprecierea verbală

Recapitularea cunoștinţelor

- Care este enunţul teoremei sinusului?

- Care este consecinţa teoremei sinusului?

- Când se folosește teorema sinusului?

R: Într-un triunghi oarecare ABC avem relaţia:

= = = 2R

R: Într-un triunghi oarecare ABC avem a = 2RsinA b = 2RsinB c = 2RsinCR: Teorema sinusului se folosește când în enunţul problemei avem două unghiuri sau raza cercului circumscris (fie se dau, fie trebuie determinate).

Captarea atenţiei

Profesorul anunţă titlul lecţiei noi „Teorema cosinusului”, care va face legătura dintre laturi și cosinusul unui unghi și este o relaţie metrică similară teoremei lui Pitagora.

Elevii notează titlul lecţie pe caiete.

Dirijarea învăţării

Teorema cosinusului: În orice triunghi ABC are loc relaţia:

Elevii își notează pe caiete teorema cosinusului și demonstraţia acesteia.

Exerciţiul Frontală și individuală

3

Teorema poate fi demonstrată în două modalităţi: analitic sau vectorial. În continuare vom face demonstraţia analitică a teoremei cosinusului.

Demonstraţia analitică:

Fie . În ABC ( m( C) = 90 )

avem cos A = AD = AC ∙ cos A

AD = b ∙ cosA

Aplicăm Teorema lui Pitagora BDC

( m( BDC) = 90 ) : BC2 = BD2 + DC2

a2 = BD2 + DC2

În ADC ( m( ADC) = 90 )

AC2 = AD2 + DC2 DC2 = b2 – AD2

Deci a2 = DC2 + DB2 = = b2 – AD2 + DB2 = = b2 – AD2 + (c – AD)2 = = b2 – AD2 + c2 – 2c∙AD + AD2 = = b2 + c2 – 2c∙AD = = b2 + c2 – 2c∙AC∙ cos A = = b2 + c2 – 2c∙b∙ cos A

Elevii își notează pe caiete observaţiile.

Observaţia

Problema-tizarea

Învăţarea prin

descoperire

Conversaţia

FrontalăObservarea

directă a elevilor

4

Obs 1: Formula mai este numită şi „Teorema lui Pitagora generalizată”Obs 2: Analog, se pot deduce relaţiile

Consecinţa teoremei cosinusului: Într-un triunghi oarecare ABC au loc relaţiile:

Elevii își notează pe caiete consecinţa.

Expunerea

Frontalăși

individuală

Formarea și fixarea cunoștinţelor

Ex 1. Determinaţi cosinusul unghiului B al triunghiului ABC cu AB = 7, AC = 6 și BC = 5.

Ex 2. Determinaţi lungimea laturii BC a triunghiului ABC știind că AC = 20,

Elevii își notează enunţul problemei pe caiete. Un elev iese la tablă pentru a rezolva problema.

AB = 7 c = 7

AC = 6 b = 6

BC = 5 a = 5

cos B = = =

= =

Problema-tizarea

Exerciţiul

Frontalăși

individuală

Aplicarea formulelor în situaţii practice

5

AB = 30 și m( A) = 60 .Elevii își notează enunţul problemei pe caiete. Un elev iese la tablă pentru a rezolva problema.

AB = 30 c = 30

AC = 20 b = 20

m( A) = 60 cos A =

a2 = 202 + 302 - 2∙20∙30∙

a2 = 400 + 900 – 600

a2 = 700

a = 10

Dar a = - 10 nu convine

a = 10

Asigurarea feed- back-ului

- Care este teorema cosinusului?

- Cum se mai numește teorema cosinusului?- Când putem folosi teorema cosinusului?

R: Într-un triunghi oarecare ABC

R: Teorema lui Pitagora generalizată.

R: Când în enunţul problemei avem toate cele trei laturi ale triunghiului (fie sunt cunoscute toate, fie trebuie aflată una)

Conversaţia FrontalăApreciere verbală și

scrisă

6

Tema pentru acasă Fișa de lucru (Anexa 1) Elevii își notează tema pe caiete. Conversaţia Frontală

Anexa 1:Fișă de lucru

Fiind date următoarele elemente în triunghiul , să se afle elemente ale triunghiului indicate:

1. BC = , AB = 2 , B = , AC = ? 4. BC = 5 , AC = 8 , AB = 10 , cos A = ?

2. BC = 3 , AC = 6 , m( C) = 120 , AB = ? 5. AC = BC = 6 , AB = 4 , cos C = ?

3. AC = 3 , AB = 7 , A = , BC = ?

Fișă de lucru

Fiind date următoarele elemente în triunghiul , să se afle elemente ale triunghiului indicate:

1. BC = , AB = 2 , B = , AC = ? 4. BC = 5 , AC = 8 , AB = 10 , cos A = ?

2. BC = 3 , AC = 6 , m( C) = 120 , AB = ? 5. AC = BC = 6 , AB = 4 , cos C = ?

3. AC = 3 , AB = 7 , A = , BC = ?

Fișă de lucru

Fiind date următoarele elemente în triunghiul , să se afle elemente ale triunghiului indicate:

7

1. BC = , AB = 2 , B = , AC = ? 4. BC = 5 , AC = 8 , AB = 10 , cos A = ?

2. BC = 3 , AC = 6 , m( C) = 120 , AB = ? 5. AC = BC = 6 , AB = 4 , cos C = ?

3. AC = 3 , AB = 7 , A = , BC = ?

,,Omule! Sufletul devine trup când mănânci; trupul devine suflet când gândeşti.’’ ,,Îndepărtaţi-vă cu respect de omul care chibzuieşte. Gândirea e un lucru sfânt. ’’ - aforism de Pitagora din Legile morale şi politice.

8