FACULTATEA DE MATEMATIC

TEME PENTRU GRADUL DIDACTIC I

Seria 2015-2017

Nr.

crt

Conductor / Tema Nume

candidat

1. Aplicaii ale calculului diferenial i integral n fizic, biologie, economie i chimie Calculul diferential si integral apare in programa scolara a ultimilor ani de liceu. Multe

fenomene din fizica, biologie, economie, etc pot fi descrise cu ajutorul ecuatiilor

diferentiale. Studiul acestor ecuatii inlesneste o mai buna intelegere si predictie a

fenomenelor descrise de acestea. De fapt, ceea ce se urmareste este procesul de modelare

matematica, proces care conduce la formularile prin intermediul ecuatiilor diferentiale.

Prin abordarea acestei teme, candidatul are prilejul de a intra in contact cu latura

aplicativa a matematicii.

2. Numere complexe n geometrie Tratarea problemelor de geometrie cu ajutorul numerelor complexe se apropie de

geometria analitica dar, spre deosebire de aceasta - care ofera un tratament pur algebric,

numerele complexe imbina cele doua caractere:geometric si algebric al problemelor.

Lucrarea propusa ofera posibilitatea de aprofundare a celor doua discipline fundamentale

in formarea elevilor: geometria si algebra.

3. 4 Aplicaii ale numerelor complexe n geometrie Vor fi discutate pentru nceput chestiuni legate de dezvoltarea istoric a noiunii de

numr complex, forma algebric a numerelor complexe, interpretarea geometric a

numerelor scrise sub form algebric, precum i forma trigonometric a numerelor

complexe.

Se vor prezenta rezultate i proprieti geometrice care se pot caracteriza cu ajutorul

numerelor complexe. Astfel, aceste relaii i proprieti geometrice vor fi traduse n

limbajul numerelor complexe. O importan deosebit va fi acordat caracterizrilor

greite din manualele de liceu (de exemplu cea a conciclicitii).

n fine, se vor prezenta pe larg consideraii metodice legate de aplicaiile numerelor

complexe n geometrie. Se va insista asupra importanei i a locului pe care tema tratat

l ocup n programa de liceu.Vor fi menionate tipurile de probleme de geometrie care

se pot rezolva n mod natural prin metodele discutate. O parte a acestor probleme se

trateaz n cadrul orelor de matematic de la clas, ns cea mai mare parte a lor este

potrivit mai ales pentru abordarea n cadrul cercurilor de elevi i a centrelor de

excelen. Lucrarea vine n completarea materiei de clasa a X-a.

4. Inducia matematic n geometrie Inducia complet reprezint una din cele mai utile metode de demonstraie din

matematic. Dei este mai puin folosit n geometrie, totui exist numeroase i

importante aplicaii ale metodei i n aceast ramur a matematicii. Se vor prezenta principiul induciei matematice, variantele metodei induciei matematice,

precum i tipuri de rezultate matematice demonstrate cu ajutorul a cestei metode. Se vor

investiga mai multe tipuri de rezultate i proprieti geometrice care se pot demonstra

utiliznd metoda induciei matematice. Astfel, se va insista pe calculul, demonstraia,

construcia, aflarea locurilor geometrice prin inducie, inducia dup numrul

dimensiunilor. Se vor trata pe larg numeroase aspecte metodice legate de aplicaiile

induciei matematice n geometrie, insistndu-se pe importana i locul pe care tema l

ocup n programa clasei a IX-a sau n pregtirea concursurilor colare. Vor fi menionate

tipurile de probleme de geometrie care se pot rezolva n mod natural prin metoda induciei

matematice. O parte a acestor probleme se trateaz n cadrul orelor de matematic de la

clas, ns cea mai mare parte a lor este potrivit mai ales pentru abordarea n cadrul

cercurilor de elevi i a centrelor de excelen.

5. Transformri geometrice Transformrile geometrice nu apar, n mod explicit, n programa colar actual. Noiunile

de simetrie, translaie, omotetii sunt folosite ns n matematica colar (triunghiul isoscel

are o ax de simetrie, triunghiul echilateral trei, cercul o infinitate, triunghiurile asemenea

sunt omotetice, etc). n cadrul temei, se urmrete o introducere riguroas a principalelor

transformri geometrice (simetrii, translaii, omotetii, inversiuni) precum i a rolului pe

care acestea l au n introducerea i aprofundarea unor teme din programa colar.

6. Utilizarea calcului vectorial i analitic n rezolvarea problemelor de geometrie Programa colar pentru geometrie n liceu se bazeaz n special pe utilizarea calculului

vectorial i analitic (mai puin). n cadrul acestei teme se va face o introducere riguroas a

elementelor de calcul vectorial i geometrie analitic i se va evidenia rolul utilizrii

acestor tehnici n rezolvarea unor probleme de geometrie.

7. Inecuaii i inegaliti n matematica preuniversitar Dac relaia matematica de egalitate este, in general, mai usor asimilata de catre

elevi, relatia de inegalitate reprezinta, in schimb, un prag important si nu tot timpul usor

de parcurs, in intelegerea unor concepte mai avansate. In matematica, relatie de ordine

intre numerele reale este introdusa progresiv si apoi pe baza ei sunt propuse metode de

rezolvare a unor inecuatii (cu grad din ce in ce mai rigicat de complexitate) si, de

asemenea, sunt studiate o serie de ingalitati remarcabile.

Scopul acestei lucrari este acela de a urmari evolutia, in cadrul programei de

matematice de gimnaziu si de liceu, a notiunilor si tehnicilor legate de relatia de ordine pe

axa numerelor reale. Astfel, ne propunem ca, plecand de la primele tehnici algebrice

simple de rezolvare a unor inecuatii sau de demonstrare a unor inegalitati, sa descriem

traseul teoretic necesar lucrului cu inegalitati si inecuatii din ce in ce mai complexe. In

finalul prezentarii teoretice, puternicul instrument de studiu oferit de calculul diferential,

va fi trecut in revista si aplicat in diverse contexte. Un capitol de consideraii metodice va

fi rezervat, pe final, prezentrii unor aspecte legate de locul relatiei de inegalitate n

programa colar.

8. Sisteme liniare i aplicaii

Studiul sistemelor de ecuatii liniare reprezinta o tema de mare importanta in

matematica preuniversitara, fiind un instrument foarte mult utilizat pentru modelarea unor

probleme concrete. De aceea, acest studiu este facut gradat, incepand cu clasa a VII-a si

este finalizat in clasa a XI-a cand, pe baza instrumentului oferit de calculul matricial este

posibila descrierea unei metode complete de rezolvare. Desi in aparenta reprezinta o tema

marginala, sistemele de ecuatii liniare isi dovedesc de foarte multe ori utilitatea si de

aceea parcurgerea cu atenie, pricepere i tact a acelor locuri din cadrul materiei privitoare

la acest subiect constituie o piatr de ncercare pentru fiecare profesor n efortul de a oferi

elevilor accesul la un grad ridicat de corelare a noiunilor i rezultatelor matematice

parcurse.

Lucrarea propusa are in vedere discutarea cadrului general de lucru pentru

sistemele liniare studiate n matematica scolar si descrierea unor metode ce nu se

regasesc in programa standard. Multiple aplicatii ale sistemelor liniare vor fi de asemenea

discutate, iar un capitol final va fi dedicat prezentrii unor aspecte metodice legate de

subiectul lucrarii.

9. Conceptul de izomorfism in algebra Se trateaza conceptul de izomorfism in diverse structuri algebrice:

grupuri, inele, corpuri, spatii liniare. Se pot mentiona si demostra

teoremele de izomorfism pentru diverse structuri algebrice. Se vor da

exemple si diverse aplicatii ale acestui concept. Se pun in evidenta

aplicatii metodice ale temei, prin intermediul unor proiecte didactice.

10. Divizibilitate in inelul polinoamelor Se introduce inelul polinoamelor cu coeficienti intr-un corp comutativ, se

introduc notiunile de divizibilitate, cmmmc, cmmdc, polinom ireductibil,

criterii de ireductibilitate si se studiaza diverse proprietati. Se

demonstreaza faptul ca este un inel euclidian (are loc teorema impartirii

cu rest). Se pun in evidenta aplicatii metodice ale temei, prin intermediul

unor proiecte didactice.

11. Scheme clasice de probabilitate cu aplicaii la programa de gimnaziu i liceu Elemente de teoria probabilitilor se fac att la gimnaziu, ct i la liceu. Aceste noiuni

sunt necesare pentru a nelege mai bine o serie de modele ale fenomenelor naturale i

sociale i pentru a stabili o serie de identiti combinatorice.

12. Extreme de funcii de una sau mai multe variabile reale Extremele pentru funcii i pentru diverse mrimi se gsesc aproape n orice domeniu al

vieii. Aceste noiuni sunt de mare importan i se regsesc n toat programa colar.

13. Funciile Gamma si Beta ale lui Euler. Aplicaii Functiile Gamma si Beta, introduse n matematic de ctre Leonard Euler, iniial pentru a

a extinde unele functii definite pe multimea numerelor naturale la multimea numerelor

reale (de exemplu funcia factorial), apar n mod natural n numeroase ramuri din

matematic: analiza matematic, teoria probabilitilor, ecuaii difereniale, etc.

Lucrarea ofer astfel prilejul candidatului de a aprofunda idei si metode clasice de analiz

matematic, ce completeaz armonios informatiile cuprinse in programa de liceu.

14

. Soft matematic n matematica preuniversitar

Scilab este un limbaj de programare de nivel nalt, orientat ctre calculul tiinific. Prin

aceast lucrare, propunem candidatului identificarea capitolelor din matematica de liceu

ce pot fi abordate din punct de vedere calculatoriu, numeric, studiul algoritmilor adecvai

de aproximare i implementarea acestora n Scilab. Se pot avea n vedere diferite ramuri

din matematica studiata n coala: algebr (calculul cu aproximatie al rdcinilor

ecuatiilor algebrice, rezolvarea numeric a sistemelor liniare etc.), analiza matematic

(calculul numeric al integralelor definite, interpolare, grafice de funcii, etc.), geometrie

(reprezentarea grafic a diferitelor obiecte geometrice), etc.

15 Inele de polinoame: proprieti algebrice i aritmetice Polinoamele i ecuaiile polinomiale sunt prezente n programa colar att la gimnaziu

ct i la liceu. Astfel, lucrarea poate include studiul, att din punct de vedere

didactic ct i din cel al formalismului algebric, al urmtoarelor subiecte:

- rdcini ale polinoamelor de gradul 1 i 2

- metode de determinare a rdcinilor polinoamelor de gradul 3 i 4

- divizibilitatea polinoamelor, polinoame ireductibile, descompunerea polinoamelor

n factori ireductibili

- inelul polinoamelor ca exemplu fundamental de inel; construcie, proprieti

- studiul comparativ al inelelor de polinoame cu coeficieni n corpul R, respectiv C.

Candidatul este ncurajat s formuleze exerciii i probleme legate de aceste aspecte,

de diferite grade de dificultate.

16 Curbe algebrice n plan O curb algebric plan este mulimea punctelor P(x; y) din plan ale cror coordonate

verific o ecuaie polinomial n dou nedeterminate f(x; y) = 0. Astfel de curbe pot fi

ntlnite n programa colar att la algebr i geometrie (dreapta n plan, graficele

funciilor de gradul 1 i 2, cercul, conicele) ct i la analiz matematic (grafice ale

funciilor polinomiale). Tema propus presupune un studiu unitar al acestora, cu metode

algebrice i, eventual, analitice. Se vor avea n vedere urmtoarele aspecte:

- tipuri de ecuaii ale curbelor studiate

- proprieti de regularitate

- dreapta sau dreptele tangente ntr-un punct

- proprieti de intersecie

- proprieti aritmetice (puncte cu coordonate numere ntregi)

Candidatul este ncurajat s formuleze exerciii i probleme legate de aceste aspecte,

de diferite grade de dificultate.

17 Inegaliti geometrice

Lucrarea va avea patru pri. n prima parte se va face o prezentare (nu foarte detaliat) a

axiomatici lui Hilbert. n a doua parte se vor prezenta problemele cu inegaliti cele mai

cunoscute care se gsesc n manualele colare. n partea a treia vor fi prezentate probleme

de inegaliti geometrice cu un grad sporit de dificultate. Ultima parte va fi de metodic

(proiecte de lecii, teste de evaluare etc.).

18 Aplicaii ale algebrei liniare n geometrie

Lucrarea va avea patru pri. n prima parte se va face o prezentare a noiunii de vector

liber i proprieti ale lor, precum i noiuni de baz ale geometriei analitice. n partea a

doua se vor rezolva probleme de geometrie elementar n plan i n spaiu cu ajutorul

vectorilor. Problemele abordate vor fi n primul rnd cele simple, care se gsesc n

manuale, iar apoi vor fi i probleme deosebite. n partea a treia se vor prezenta probleme

de geometrie sintetica rezolvate analitic. Ultima parte va fi de metodic (proiecte de lecii,

teste de evaluare etc.).

19 De la operaia de msurare la noiunea de integral Masurarea lungimilor, ariilor si volumelor, precum si a celorlalte marimi

fizice, sugereaza notiunea abstracta de masura. (Procesul de comparare a obiectului de

masurat cu unitatea de masura se regaseste in proprietatea de aditivitate a masurii.) Se va

arata cum calculul masurii unor obiecte geometrice complicate impune introducerea

notiunii de integrala ca instrument eficace de evaluare.

20 Cum introducem numerele ntregi i raionale Lucrarea are in vedere o introducere motivata a numerelor intregi negative si a numerelor

rationale, precum si a calculelor cu acestea, pentru elevii de gimnaziu. Se vor propune

probleme a caror rezolvare complicata si ingenioasa prin folosirea doar a numerelor

naturale devine un calcul de rutina prin folosirea numerelor noi.

21 Inegaliti, inecuaii

I. Preliminarii

- construcia mulimilor numerice , , ,

- funcia de gradul 2, funcia exponenial, funcia logaritmic

- funcii trigonometrice

- principiul induciei matematice

II. Inegaliti

- inegaliti fundamentale (inegaliti cu module; inegalitatea mediilor, Cauchy-Schwarz, Minkowski, Cebev, Bernoulli, Hlder, Jensen)

- inegaliti aritmetice (metode de rezolvare: substituii, puteri asemenea etc.) - inegaliti algebrice (metode de generare: substituii n inegaliti cunoscute: nsumri etc.; metode de rezolvare: transformri i utilizarea inegalitilor

fundamentale, simetria (n inegalitate), inducia, monotonia,

concavitatea/convexitatea etc.

III. Addendum

- inegaliti geometrice (n triunghiuri) - inegaliti trigonometrice

IV. Inecuaii

- inecuaii polinomiale (semnul funciei, tabel de variaie) - inecuaii iraionale (raionalizare, substituie) - inecuaii exponeniale (proprieti, substituii) - inecuaii logaritmice (proprieti, substituii)

V. Consideraii metodice

Impactul temei: perfecionarea abilitilor de calcul; cunoaterea tehnicilor de aproximare

etc.

Plan de lecie/cercetare. Probleme alese.

Bibliografie

- D.S. Mitrinovi, Elementary Inequalities, P. Noordhoff, 1964. - A. Engel, Probleme de matem , Ed. Gil, 2006. - L. Panaitopol, A. Gica, , Ed. Gil, 2006. - C. Nstsescu, C. Ni, C. Vraciu, , Ed. Didactic i

Pedagogic, 1993

- INTERNET: www.math.md/school 22 Ecuaii algebrice

I. Preliminarii

- mulimile numerice , , , , (prezentare general).

- polinoame: , ,X X X (construcie, proprieti).

II. Ecuaii algebrice

- ecuaii algebrice de grad 4 (deducerea formulelor de rezolvare)

- numrul rdcinilor unei ecuaii algebrice (ir Rolle, ir Sturm)

- marginile rdcinilor unei ecuaii algebrice

- ecuaii cu coeficieni n (rdcinile raionale)

- ecuaii cu coeficieni n

III. Ecuaii diofantice

- ecuaia 0ax by c

- ecuaia 2 2 2x y z

V. Consideraii metodice

- rolul matematicii, aplicaii ale ecuaiilor algebrice, plan de lecie/cercetare, probleme

alese.

Bibliografie

- L. Panaitopol, I.C. Drghicescu, , Ed. Albatros

(Sinteze Lyceum), 1980.

- C. Nstsescu, C. Ni, C. Vraciu, , Ed. Didactic i

Pedagogic, 1993

- C. Nstsescu, , Ed. Academiei, 1979.

- C. Nstsescu et al., Bazele algebrei, Ed. Academiei, 1986

- Cursuri de algebr Univ. Iai, etc.

23 Elemente remarcabile asociate unui triunghi Triunghiul este figura central a geometriei sintetice i principalul obiect geometric al

matematicii colare. Ca atare, prezenta lucrare are o importan deosebit pentru

perfecionarea cadrelor didactice. Astfel, se va avea n vedere pe lng punctele,

segmentele, dreptele i cercurile clasice din geometria triunghiului, o serie de configuraii

remarcabile.

24 Geometria euclidian a conicelor Conicele sunt obiecte geometrice de natur algebric, mai precis curbe de gradul II, din

acest punct de vedere fiind cele mai simple obiecte de acest tip exceptnd dreptele. Astfel,

lucrarea va contribui n mod esenial la mbogirea bagajului teoretic i practic al elevilor.

Un aspect estenial este prezentarea unor aplicaii ale teoriei conicelor n alte domenii,

cum ar fi astronomia, fizica, arhitectura .a., precum i prezena lor n viaa cotidian.

25 Aplicatii ale integralelor in mecanica si geometrie Prezenta lucrare isi propune sa prezinte o serie de notiuni si rezultate referitoare la

geometria maselor (masa, centrul de masa, tensorul de inertie) precum si calculul ariilor si

volumelor unor corpuri de rotatie. Sunt discutate aplicatii atat ale integralei Riemann cat si

o serie de aplicatii simple ale integralelor duble, triple si de suprafata. Metodele de calcul

si aplicatiile prezentate in lucrare sunt exemplificate in probleme practice concrete.

26 Elemente de mecanica si aplicatii in geometria euclidiana Lucrarea are ca obiectiv tratarea unor aspecte de mecanica care sunt aplicate in geometria

euclidiana, in special geometria triunghiului. Se introduc mai intai o serie de elemente de

algebra vectoriala, sisteme de forte si reprezentarea fortelor prin vectori, momentul unei

forte si notiunea de torsor. Dupa care se prezinta elemente de geometria maselor si teoria

reducerii sistemelor de forte. Aceste aspecte sunt aplicate in geometria triunghiului si sunt

discutate semnificatiile mecanice ale unor proprietati geometrice.

27 Elemente de teoria numerelor in matematica de gimnaziu i liceu va cuprinde: Principii ( extremal, Dirichlet, cascadei etc.), Funcii

aritmetice, Congruene i clase de resturi, Teoreme (Fermat, Euler, Wilson), Ecuaii

diofantice( liniare, ptratice pitagorice, Pell etc., de ordin superior Teorema Lagrange)

, Resturi ptratice ( simbolul Legendre), Ordinul unui element (Gaussianul) , Teste de

primalitate i distribuia numerelor prime.

va fi dedicat abordrii acestui subiect n matematica colar, i se va

acorda o atenie special aplicaiilor dedicate elevilor capabili de performan, cu

nuanarea diferitelor probleme specifice diverselor grupe de vrsta( elevi de gimnaziu,

clasele IX- X, clasele XI-XII).

28 Aproximarea numeric a soluiilor ecuaiilor algebrice neliniare Tema de fata are drept obiectiv principal tratarea ecuatiilor algebrice neliniare.

Vor fi amintite in acest sens:

- principalele tipuri de ecuatii care se predau la nivelul gimnazial si liceal;

- notiuni generale asupra ecuatiilor (domeniu de definitie, transformari, multimea de

solutii); etc.

Pentru inceput, se va pune in evidenta legatura dintre polinoame si ecuatii

algebrice (coeficienti, grad, radacini - Teorema lui Bezout, Teorema fundamentala

a algebrei (D'Alambert-Gauss), Teorema Abel-Ruffini, radacini multiple, relatii

intre radacini si coeficienti (relatiile lui Viete), rezolvarea ecuatiilor algebrice de grad 4 (ecuatii binome, trinome, reciproce,

etc.), ecuatii algebrice cu coeficienti intregi si reali). De asemenea, vor fi prezentate o

serie de rezultate privitoare la separarea radacinilor unei ecuatii algebrice

oarecare (sirul lui Rolle) precum si calculul aproximativ al radacinilor reale ale unei

ecuatii algebrice neliniare (metoda injumatatirii intervalului, metoda corzii, etc.)

Nu in ultimul rand, se va avea in vedere prezentarea unor notiuni cu privire la

"instruirea asistata de calculator" in vederea predarii-invatarii notiunilor referitoare la

aproximarea numerica a solutiilor unei ecuatii neliniare - utilizarea unor metode grafice

pentru rezolvarea ecuatiilor, de exemplu.

29 Un alt fel de geometrie in plan: geometria taxicab Descriere:

- elemente de baza in geometria euclidiana;

- alte functii "distanta" pe R2: caz special:

p,q puncte in plan; d1(p,q) = |xp-xq| + |yp-yq|

- definirea unor elemente fundamentale bazandu-ne pe aceasta distanta

(cerce, geodezica, mediatoare)

- Studiul unor obiecte geometrice in aceasta geometrie, in analogie

cu geometria euclidiana.

- applicatii (distanta d1 se mai numeste distanta Manhattan)

Bibliografie:

1. Eugene F. Krause,

Taxicab Geometry: An Adventure in Non-Euclidean Geometry

Dover Publication, 1987

2. Marvin Jay Greenberg -Euclidean and Non-Euclidean Geometries, 3-rd edition.

Published by Freeman and Co. 2008

30

Numere complexe, numere duale si aplicatii in geometrie

Descriere:

- corpul numerelor complexe;

- numere duale; acestea extind numerele reale adaugand un element nilpotent e

(i.e. care satisface e*e=0); se obtine o algebra asociativa, comutativa cu unitate;

- reprezentari cu ajutorul matricilor;

- proprietary algebraic ale numerelor complexe si a numerelor duale;

- transformari geometrice exprimate cu ajutorul numerelor complexe si al numerelor

duale;

Bibliografie:

Nicolae Mihileanu, Utilizarea numerelor complexe n geometrie, Editura Tehnic, 1968.

(120 pagini)

Mircea NEAGU si Alexandru OANA, Geometrie superioara in plan si in spatiu,

Ed. Univ. Transilvania, Brasov, 2008

W. B. Vasantha Kandasamy, Florentin Smarandache, Dual numbers, Zip Publishing,

Ohio, 2012

E. Pennestri; R. Stefanelli (2007) Linear Algebra and Numerical Algorithms Using Dual

Numbers, Multibody System Dynamics 18(3):32349.

31 iruri i serii de funcii Scop: Prezentarea unor aspecte teoretice i practice relativ la irurile i seriile de funcii i

a unor aplicaii ale acestora cum ar fi: calculul unor numere remarcabile, calculul

logaritmilor naturali, calculul integralelor definite, definirea funciilor elementare,

determinarea soluiilor unor ecuaii difereniale, etc.

Subiectul reprezint o continuare a cursurilor de Analiz matematic predate n liceu i

furnizeaz o mare diversitate de subiecte pentru cercurile de elevi i centrele de excelen.

Organizare (pe capitole): Introducere, iruri de funcii, Serii de funcii, Serii de puteri,

Serii Fourier, Aspecte metodice.

Bibliografie iniial:

1. Precupanu A., Bazele analizei matematice, Editura Universitii Al. I. Cuza, Iai, 1993.

2. Sirechi Gh., , vol. I i II, Editura tiinific i Enciclopedic, Bucureti,1985.

3. Rudner V. i Nicolescu C., Probleme de matematici speciale, Editura Didactic i Pedagogic, Bucureti, 1982.

32 Puncte de extrem i aplicaii Scop: Numeroase probleme din diverse tiine, din tehnic, din economie, din viaa

social, etc, conduc la necesitatea determinrii valorilor optime ale unui anumit proces,

adic a valorilor minime sau maxime ale acestuia. Scopul lucrrii

const n prezentarea metodelor mai des utilizate pentru determinarea punctelor

de extrem ale funciilor de una sau de mai multe variabile.

Subiectul reprezint o continuare a cursurilor de Analiz matematic predate n liceu i

poate furniza teme pentru cercurile de elevi.

Organizare (pe capitole): Introducere, Probleme elementare de minim i maxim, Puncte

de extrem ale funciilor de o variabil real, Puncte de extrem ale funciilor de mai multe

variabile, Aspecte metodice.

Bibliografie iniial:

1. Mihu C., Dne T., , Editura Didactic i Pedagogic, Bucureti, 1982.

2. Precupanu A., Bazele analizei matematice, Editura Universitii Al. I. Cuza, Iai, 1993.

3. Sirechi Gh., , vol. I i II, Editura tiinific i Enciclopedic, Bucureti,1985.

4. Sfichi R., , Editura Didactic i Pedagogic, Bucureti, 1990.

5. Udrite C., Tnsescu E., , Editura Tehnic, Bucureti, 1980.

33 Inele de matrice Matricele constituie obiecte centrale ale algebrei, fiind intalnite in special in conexiune cu

operatorii liniari. Ele au aplicatii multiple atat in algebra, cat si in alte domenii, precum

geometria, analiza matematica, mecanica, ... etc.

Lucrarea de fata vizeaza constructia inelului matricelor patratice de ordin n cu

coeficienti ntr-un corp comutativ K, studiul proprietatilor acestuia si evidentierea

izomorfismului cu inelul endomorfismelor unui K-spatiu liniar de dimensiune n. O atentie

deosebita este acordata studiului anumitor invarianti asociati matricelor: determinant,

polinom caracteristic, valori proprii, vectori proprii, ... etc. De

asemenea, sunt investigate cateva clase importante de matrice, precum matricele

simetrice/antisimetrice, matricele ortogonale, matricele nilpotente, ... etc.

Tema propusa este in mod evident conectata cu matematica preuniversitara, in care

matricele, determinantii si sistemele de ecuatii liniare sunt prezente in mod curent.

Referinta bibliografica: Volf, A. C., Algebra liniara, Editura Universitatii "Al. I. Cuza",

Iasi, 2002.

34 Algebre polinoamiale, monoidale si aplicatii Polinoamele sunt printre obiectele matematice care se regasesc in practic toate

ramurile matematicii. O intelegere completa a semnificatiei si importantei polinoamelor,

la un nivel conceptual superior, este strict necesara unui profesor de matematica. Lucrarea

va trata constructia algebrelor polinomiale (sau, mai general, a algebrelor monoidale i

grupale), proprietatile lor. Concepte importante in teoria algebrelor polinomiale clasice

(ireductibilitate, legaturi cu extinderile de corpuri, teoria numerelor etc.) vor avea un loc

in aceasta lucrare. Tema ofera si posibilitatea de includere de aplicatii didactice variate si

importante, polinoamele (sub diverse denumiri) avand un rol central in toata algebra de

gimnaziu si liceu.

35 Teorema mpririi cu rest i aplicaii Teorema mpririi cu rest este un rezultat cu implicaii profunde n structura

aritmetic a inelelor. Se vor studia inelele euclidiene (cu prototipurile clasice: inelul Z,

inele de polinoame cu coeficieni ntr-un corp, anumite inele de ntregi ptratici). Se vor

expune rezultate interesante de aritmetic i teoria numerelor bazate pe teorema mpririi

cu rest, algoritmul Euclid, lema chinez a resturilor. Aceast tematic se regsete n

diverse forme la mai multe niveluri n matematica preuniversitar i n problemele de la

concursuri de matematic.

36 iruri i serii de numere reale

Se vor discuta urmtoarele noiuni i rezultate:

- rur mrgnt, rur monoton, iruri convergente, iruri Cauchy, criteriul lui Cauchy

de convergen, subrur, lema lui Casaro, iruri celebre (al lui Euler, al lui Fibonacci, al

lui Catalan etc.)

- serii convergente, serii divergente, serii clasice (geometric, armonic, armonic

generalizata)

- criterii de convergen pentru serii cu termeni pozitivi i pentru serii cu termeni oarecare

- aplicaii in fizic (micarea oscilatorie), n biologie (irul lui Fibonacci)

Se susine modul n care studiul irurilor pregtete nelegerea de ctre elevi a noiunii de

limit care sta la baza ntregii analize mateatice

37 Aplicaii ale numerelor complexe n geometrie Subiectul face legatura dintre notiuni de trigonometrie, calcule cu numere complexe,

geomentrie analitica si algebra. Se opereaza de asemenea cu functii avand domeniul si

codomeniul in multimea numerelor complexe. Capitolul I Structurile algebrice de corp

comutativ si spatiu liniar real pentru numerele complexe. Interpretarea geometrica a sumei

si produsului a doua numere complexe. Radacinile de ordinul n ale unitatii. Ecuatia

dreptei prin doua puncte si ecuatia cercului exprimate in planul complex. Aplicatii n

algebra, geometrie si trigonometrie. Capitolul al II-lea

Transformari geometrice in plan. Grupul izometriilor. Transformari neizometrice:

omotetia, inversiunea. Aplicatii folosind simetria, translatia, omotetia, inversiunea.

Transformari omografice. Capitolul al III-lea Consideratii metodice

Bibliografie selectiva.

1. BRANZEI, D., COL., Planul si spatiul euclidian, Editura Academiei, Bucuresti, 1986

2. E. Popa, Introducere in teoria functiilor de o variabila complexa, Ed. Univ. Al.I.Cuza Iasi, 2000

38 Arii si volume in geometria elementara Functiile arie si volum sunt partial studiate in gimnaziu (liceu), punandu-se accent pe aria

suprafetelor poligonale, a sectorului de cerc, volumul poliedrelor si al corpurilor rotunde.

In liceu apar aplicatii ale integralei definite in calculul ariei subgraficului unor functii, ori

a volumului unor corpuri de rotatie. Aceasta lucrare are ca scop studiul

functiei arie, definita pe multimea suprafetelor plane masurabile, cat si tratarea teoriei

elementare a volumelor. Accentul se va pune pe probleme care se rezolva cu ajutorul

ariilor/volumelor si pe aspectele metodice privind predarea acestor notiuni in

gimnaziu/liceu.

39 De la geometria triunghiului la geometria tetraedrului In matematica gimnaziala geometria triunghiului si a tetraedrului ocupa un loc de baza.

De aceea aprofundarea unor proprietati ale acestor obiecte geometrice este extrem de

utila. Prin metoda analogiei, se generalizeaza principalele proprietati ale triunghiului la

tetraedru. Pornind de la liniile importante in triunghi si punctele lor de concurenta, se

introduc planele si dreptele importante in tetraedru si se studiaza intersectia acestora.

Analog se introduc tetraedre particulare si se studiaza proprietatile lor esentiale. Se poate

face o paralela intre relatiile metrice in triunghi si relatiile metrice in tetraedru, intre

diferite probleme de loc geometric celebre ale triunghiului, respectiv ale tetraedrului.

40 Proprieti ale funciilor derivabile pe intervale. Abordri interdisciplinare Lucrarea va conine o prezentare metodico-tiinific a teoremelor fundamentale ale

calculului diferenial: teorema lui Rolle, teorema lui Fermat, teorema lui Cauchy, teorema

lui Lagrange, consecinele teoremei lui Lagrange, puncte de extrem, aplicaii ale

derivatelor. Vor fi vizate abordri interdisciplinare privind o serie de domenii, cum ar fi:

geometrie, algebr, economie, fizic, chimie, biologie.

41 Din universul trigonometriei Lucrarea va evidenia cteva aspecte interesante ale funciilor trigonometrice, viznd serii

de numere reale i produse infinite, dar i aplicaii ale trigonometriei n algebr, analiz,

geometrie, fizic, astronomie.

42 Funcii convexe Abordarea acestei teme de sinteza ofera posibilitatea verificarii experientei la catedra si a

nivelului atins de profesor in cristalizarea stilului didactic si in pregatirea metodico-

stiintifica. Va fi un studiu dedicat problematicii functiilor convexe/concave, cu punerea in

evidenta a interpretarii geometrice, exemple, caracterizari, determinarea intervalelor de

convexitate/concavitate, realizari de grafice de functii, punerea in evidenta a unor

reciproce ale teoremelor lui Lagrange si Cauchy, etc. De asemenea, vor fi demonstrate

diverse inegalitati remarcabile, cum ar fi inegalitatea mediilor generalizate, inegalitatea lui

Young, inegalitatea lui Holder etc., precum si unele inegalitati geometrice.

43 Puncte de extrem. Aplicatii Abordarea acestei teme de sinteza ofera posibilitatea verificarii experientei la catedra si a

nivelului atins de profesor in cristalizarea stilului didactic si in pregatirea metodico-

stiintifica. Problematica punctelor de extrem apare la toate clasele, incepand cu clasa a

VII-a, la toate disciplinele matematice: algebra, analiza matematica si geometrie. Pe langa

abordarea teoretica (in cadru general, pentru functii de mai multe variabile reale), vor fi

vizate si aplicatiile remarcabile ale punctelor de extrem in diverse probleme practice.

44 Funcii derivabile Derivabilitatea este un capitol important al analizei matematice, cu numeroase aplicaii n

matematic, dar i n alte tiine. Din acest motiv el ocup un loc central n materia

predat ultimelor dou clase de liceu.

Prin aceast lucrare ne propunem o trecere n revist a rezultatelor fundamentale

din acest domeniu. Se dorete ca teoria s fie nsoit de probleme ct mai reprezentative,

prezentate gradat din punct de vedere al dificultii, de la aplicaii imediate la subiecte de

concurs, selectate din surse ct mai variate. O seciune ar putea fi dedicat unor modele

matematice ale anumitor procese reale, descrise cu ajutorul ecuaiilor difereniale.

Capitolul final va cuprinde consideraii metodice legate de predarea noiunii de

derivabilitate n coal.

45 Funcii monotone

Scopul lucrrii este de a realiza o sintez a rezultatelor legate de proprietatea de

monotonie a unei funcii i a aplicaiilor acestora (puncte de extrem, demonstrarea unor

inegaliti, etc.), precum i de a pune n eviden conexiunile dintre funciile monotone i

alte clase importante de funcii (continue, derivabile, etc.). De asemenea, urmrim s

selectm din manulalele scolare, din culegeri i chiar din subiectele date n cadrul

diferitelor concursuri probleme care s arate utilitatea acestor noiuni. Lucrarea se va

ncheia cu un capitol dedicat aspectelor metodice legate de acest subiect.

46 Ecuatii functionale pentru unele functii elementare Aceasta lucrare are ca scop introducerea si rezolvarea unor ecuatii functionale simple, de

una sau doua variabile (e.g., ecuatiile Cauchy, Jensen, dAlembert etc), care au drept

solutii functii elementare, e.g.: functia liniara, functia exponentiala, functia logaritm sau

functiile trigonometrice. Pentru abordarea acestui subiect este necesara o recapitulare a

notiunilor de functii continue/discontinue, functii injective, surjective, bijective, functii

convexe, functii trigonometrice si proprietatile acestora. In functie de abilitatile

candidatului, pot fi discutate si unele ecuatii functionale mai dificile, propuse la olimpiade

si concursuri de matematica.

47 Scheme clasice de probabilitate si aplicatii Aceasta lucrare va contine consideratii teoretice si probleme aplicative legate de calculul

probabilitilor pentru evenimente aleatoare definite pe un camp finit de probabilitate.

Pentru abordarea lor cu succes, este necesar o recapitulare a unor notiuni studiate in

liceu, e.g.: operaii cu mulimi, elemente de combinatorica (aranjamente, permutri,

combinri, combinari cu repetitie), progresii etc. Schemele clasice studiate in lucrare vor

fi: binomiala (Bernoulli), multinomiala, hipergeometrica, geometrica, schema lui Poisson.

De asemenea, pot fi discutate si unele paradoxuri din Teoria Probabilitatilor ce au legatura

cu aceste scheme de probabilitate. Pentru fiecare schema in parte vor fi propuse si

rezolvate cateva exercitii si probleme relevante. In functie de abilitatile candidatului, pot fi

abordate si chestiuni legate de simulare pe computer (eventual, folosind aplicatia

MATLAB) a evenimentelor discutate.

48 Tabelarea functiilor reale prin interpolare Lagrange Cunoscand valorile unei functii reale in n puncte distincte, se poate determina valoarea

functiei intr-un alt punct, pe baza interpolarii Lagrange, care determina un polinom de

grad n-1 ce pastreaza in cele n puncte neschimbate valorile date ale functiei.

49 Calculul inverselor matricelor nesingulare prin eliminare gaussiana Metoda eliminarii (a lui Gauss) permite scrierea matricei sub forma unui produs matriceal

intre o matrice inferior triunghiulara cu 1 pe diagonala si o alta, superior triunghiulara,

ceea ce conduce la calculul inversei matricei initiale ca un produs intre inversele celor

doua matrice din descompunere.