TEMA 1: FUNCȚII LINIARE   1

TEMA 1: FUNCȚII LINIARE 

Obiective: 

Definirea principalelor proprietăţi matematice ale funcţiei, ecuaţiei şi inecuaţiei de gradul 1

Cunoaşterea unor elemente de geometrie analitică a dreptei

Analiza metodelor de rezolvare a sistemelor liniare de ecuaţii şi inecuaţii de gradul 1 cu două necunoscute

Analiza metodei regresiei liniare

Aplicaţii economice ale modelelor liniare:

o Funcţiile liniare de venit, cost, profit

o Funcţiile de cerere şi de ofertă

o Funcţia de consum;

o Analiza pragului de rentabilitate

o Analiza punctului de echilibru de piaţă

Conținut:

1.1 Funcţia şi ecuaţia de gradul 1 2

1.2 Sisteme liniare 4

1.3 Inecuaţii liniare 5

1.4 Metoda regresiei liniare 6

1.5 Aplicaţii economice ale funcţiilor liniare 7

1.6 Concepte cheie 10

2    MODULUL 1: MODELE LINIARE 

1.1 Funcția şi ecuația de gradul 1  Funcţia de gradul 1 (funcţia liniară) este o funcţie definită pe mulţimea numerelor reale R (sau pe submulţimi sau intervale ale acesteia), cu valori reale, f : R → R, definită prin:

( ) baxxfy +== , (1.1)

unde ∈ba, R, 0≠a . Graficul funcţiei de gradul 1 este mulţimea:

( ){ } RRRR ×⊂∈+=∈= baxyxyxG f ,, , (1.2)

care se reprezintă în planul axelor de coordonate printr-o dreaptă. Dacă 0>a funcţia de gradul 1 este crescătoare, iar dacă 0<a funcţia este descrescătoare. Ecuaţia de gradul 1 este o ecuaţie de forma:

0=+ bax , ∈ba, R, 0≠a , (1.3)

cu soluţia pentru 0≠a :

∈−=abx R. (1.4)

Pentru a reprezenta grafic funcţia de gradul 1 sunt suficiente 2 puncte, de obicei utilizându-se punctele de intersecţie cu axele de coordonate:

⎪⎩

⎪⎨⎧

−=

=

abx

yOxGf

0:I ,

⎩⎨⎧

==

byx

OyGf

0:I . (1.5)

Graficul funcţiei de gradul 1, care trece prin punctele de intersecţie cu axele de coordonate, este reprezentat în Figura 1.1. Să remarcăm faptul că ax = este ecuaţia unei drepte verticale, paralele cu axa Oy, iar by = este ecuaţia unei drepte orizontale, paralele cu Ox.

Figura 1.1: Graficul funcţiei de gradul 1

x

y

O

y=ax+b

(-b/a,0)

(0,b)

TEMA 1: FUNCȚII LINIARE   3

În practică sunt numeroase situaţiile în care funcţia liniară este definită pe k intervale ale mulţimii numerelor reale ⊂kIII ,,, 21 K R, de forma:

( )

( )( )

( )⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

∈

∈∈

=

kk Ixxf

IxxfIxxf

xf

,

, ,

22

11

M. (1.6)

De exemplu, funcţia modul (sau valoare absolută), este definită prin:

( ) xxf = , ⎩⎨⎧

<−≥

=0 dacă ,0 dacă ,

xxxx

x .

În multe situaţii practice, dispunem numai de anumite valori cunoscute şi trebuie să determinăm funcţia care trece prin aceste valori. Pentru aceasta vom discuta în continuare câteva elemente de geometrie analitică a dreptei, pe care le vom aplica pentru determinarea elementelor modelelor liniare.

Considerăm în planul axelor de coordonate punctele ( )111 , yxP şi ( )222 , yxP , reprezentate în Figura 1.4. Atunci panta sau coeficientul unghiular al dreptei cu ecuaţia generală

nmxy += care trece prin punctele 1P şi 2P este:

12

12

xxyytgm

−−

== α . (1.7)

Pentru a scrie ecuaţia dreptei care trece printr-un punct ( )000 , yxP şi are panta m, avem ecuaţia:

(d) ( )00 xxmyy −⋅=− . (1.8)

Ecuaţia dreptei care trece prin punctele ( )111 , yxP şi ( )222 , yxP este dată de:

(d) ( )112

121 xx

xxyyyy −⋅

−−

=− . (1.9)

Referitor la poziţiile relative a 2 drepte în plan, (d1) 11 nxmy += şi (d2) 22 nxmy += , dacă dreptele sunt paralele avem proprietatea:

2121 || mmdd =⇔ , (1.10)

iar dacă dreptele sunt perpendiculare, avem proprietatea:

12121 −=⋅⇔⊥ mmdd . (1.11)

De asemenea, din Figura 1.2 se poate deduce uşor şi distanţa dintre punctele ( )111 , yxP şi ( )222 , yxP , ca fiind:

( ) ( ) ( )212

21221, yyxxPPd −+−= . (1.12)

4    MODULUL 1: MODELE LINIARE 

Figura 1.2: Coordonatele a 2 puncte în plan

1.2 Sisteme liniare 

Sistemele liniare sunt sistemele de ecuaţii de forma:

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

=+++

=+++=+++

mnmnmm

nn

nn

bxaxaxa

bxaxaxabxaxaxa

K

K

K

K

2211

22222121

11212111

, (1.13)

în care necunoscutele nxxx ,,, 21 K apar la puterea întâi. Valorile ija , ni ≤≤1 , mj ≤≤1 , sunt coeficienţii sistemului, iar valorile jb , mj ≤≤1 , sunt termenii liberi. Sistemul de mai sus este un sistem liniar de forma nm × , adică un sistem cu m ecuaţii şi n necunoscute. Vom analiza în cadrul acestei secţiuni metodele clasice de rezolvare ale sistemelor

22× , pentru rezolvarea sistemelor liniare de dimensiuni mai mari urmând să revenim la studiul metodelor matriceale.

Forma generală a unui sistem liniar de 2 ecuaţii cu 2 necunoscute de tip 22× este:

⎩⎨⎧

=+=+

2222121

1212111

bxaxabxaxa

, (1.14)

care se poate rezolva prin metoda substituţiei, prin metoda reducerii sau prin metoda grafică. Prin metoda substituţiei, explicităm o necunoscută din una din ecuaţiile sistemului, pe care o înlocuim (substituim) în cealaltă ecuaţie, rezolvând o ecuaţie cu o singură necunoscută. De exemplu, dacă explicităm pe 1x din prima ecuaţie a sistemului (1.14), obţinem:

11

2121121211111212111 a

xabxxabxabxaxa −=⇔−=⇔=+ .

Înlocuind pe 1x în a doua ecuaţie a sistemului rezultă, succesiv, 2x de forma:

12212211

12121122222

11

212121 aaaa

babaxbxaa

xaba−−

=⇔=+−

⋅ .

x

y

O

( )111 yxP ,

( )222 yxP ,

α

x1 x2

y1

y2

12 xx −

12 yy −

TEMA 1: FUNCȚII LINIARE   5

Pentru determinarea lui 1x , putem înlocui valoarea găsită pentru 2x într-una din ecuaţiile sistemului sau chiar în expresia lui 1x calculată mai sus. Metoda reducerii, constă din eliminarea (reducerea) unei necunoscute aplicând proprietăţile de echivalenţă ale ecuaţiilor şi apoi rezolvând ecuaţia cu o singură necunoscută obţinută. De exemplu, dacă reducem pe 2x între ecuaţiile sistemului (1.14), rezultă, succesiv:

( ) ⇔⎩⎨⎧

−=−−=+

⇔⎩⎨⎧

−⋅=+⋅=+

2122221211221

1222221212211

122222121

221212111

||

baxaaxaabaxaaxaa

abxaxaabxaxa

( )12212211

2121221212122112212211 aaaa

babaxbabaxaaaa−−

=⇔−=⋅−⇔ .

Pentru cealaltă necunoscută putem aplica încă o dată metoda reducerii sau putem aplica metoda substituţiei. Am obţinut astfel soluţiile sistemului liniar (1.14) de forma:

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

−−

=

−−

=

12212211

1212112

12212211

2121221

aaaababax

aaaababax

. (1.15)

O alternativă practică pentru rezolvarea sistemelor liniare de tip 22× este metoda grafică de rezolvare, care constă din reprezentarea grafică a dreptelor care sunt ecuaţiile sistemului. Coordonatele punctului de intersecţie reprezintă de fapt soluţia sistemului.

Dacă sistemul are o soluţie unică spunem că sistemul este compatibil determinat. În cazul în care sistemul are o infinitate de soluţii, spunem că sistemul este compatibil nedeterminat, iar în cazul în care sistemul nu are nici o soluţie, sistemul este incompatibil. În cazul metodei grafice de rezolvare a sistemului, dacă cele două drepte se intersectează, atunci avem soluţie unică şi sistemul este compatibil determinat. Dacă cele două drepte se suprapun (acesta se întâmplă atunci când ecuaţiile celor două drepte au coeficienţii egali sau proporţionali) sistemul are o infinitate de soluţii (o infinitate de puncte situate pe cele două drepte satisfac ecuaţiile sistemului). Dacă cele două drepte sunt paralele, atunci sistemul este incompatibil, adică nu există nici un punct care să satisfacă ecuaţiile date. Metodele de substituţie şi de reducere sunt aplicabile şi pentru sistemele 33× şi de dimensiuni mai mari, dar pentru rezolvarea acestora sunt mai eficace metodele matriceale, pe care le vom aborda ulterior.

1.3 Inecuații liniare  Forma generală a unei inecuaţii liniare cu o singură necunoscută este:

0≥+ bax , ∈ba, R, 0≠a , (1.16)

în care inegalitatea poate fi una din relaţiile <>≤≥ ,,, . Soluţia inecuaţiei liniare cu o necunoscută, dacă există, este un interval, respectiv o submulţime a mulţimii numerelor reale R.

6    MODULUL 1: MODELE LINIARE 

Pentru rezolvarea inecuaţiei liniare se aplică proprietăţile de echivalenţă şi se ţine cont de regula de schimbare a sensului inegalităţii, atunci când termenii acesteia se multiplică cu un număr negativ. În general, dacă D este domeniul de existenţă al inecuaţiei, iar S este mulţimea soluţiilor inecuaţiei obţinută după rezolvarea acesteia, atunci soluţia finală a inecuaţiei va fi dată de mulţimea SID.

Să considerăm acum forma generală a unei inecuaţii liniare cu două necunoscute:

0≥++ cbyax , ∈cba ,, R, 0≠a , 0≠b , (1.17)

în care inegalitatea poate fi una din relaţiile <>≤≥ ,,, . Soluţia unei asemenea ecuaţii este mulţimea punctelor din plan care satisfac inegalitatea dată. Una din metodele practice de rezolvare a inecuaţiilor liniare cu două necunoscute este metoda grafică. Pentru aceasta ecuaţia se aduce la forma nmxy +≥ (în care inegalitatea poate fi una din relaţiile <>≤≥ , , , ), se reprezintă grafic dreapta de ecuaţie nmxy += , iar soluţia este dată de submulţimea planului axelor de coordonate situate deasupra (sau dedesubtul) dreptei respective. Să mai remarcăm faptul că dacă inegalitatea este strictă, atunci punctele nu aparţin dreptei respective (vom figura aceasta printr-o linie punctată), iar dacă inegalitatea nu este strictă, aparţin dreptei (linie continuă). Atunci când avem două sau mai multe inecuaţii cu două necunoscute, avem de fapt un sistem de inecuaţii simultane, a cărui soluţie trebuie să satisfacă fiecare inecuaţie a sistemului. Soluţia sistemului se obţine deci din intersecţia soluţiilor fiecărei inecuaţii. Din nou metoda grafică este utilă pentru rezolvarea sistemului, aşa cum vom vedea în exemplul următor.

Să remarcăm faptul că vom aplica sistemele de inecuaţii liniare la rezolvarea problemelor de programare liniară pe care le vom discuta în modulul dedicat modelelor de optimizare liniară.

1.4 Metoda regresiei liniare 

În multe aplicaţii practice, atunci când analizăm 2 variabile, ne interesează ecuaţia dreptei care modelează cel mai bine relaţia de dependenţă dintre cele două variabile. Metoda care ne furnizează forma analitică a acestei dreptei (numită dreaptă de regresie) este metoda regresiei liniare. Fie în plan punctele de coordonate ( )ii yx , , ni ≤≤1 , şi fie βα += xy ecuaţia dreptei care se situează (trece) în apropierea a cât mai multe puncte. Pentru fiecare valoare ix avem

βα += ii xy , care reprezintă valoarea estimată a lui iy . Coeficienţii α şi β se determină, conform metodei celor mai mici pătrate, astfel încât suma pătratelor abaterilor valorilor estimate de la valorile date să fie minimă:

( )∑=

−n

iii yy

1

2ˆ . (1.18)

Metoda celor mai mici pătrate conduce la ecuaţia dreptei de regresie:

βα += xy , (1.19)

unde coeficienţii α şi β sunt daţi de relaţiile:

TEMA 1: FUNCȚII LINIARE   7

∑∑

∑ ∑∑

==

= ==

⋅−⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛

⋅−⋅=

n

ii

n

ii

n

i

n

iiii

n

ii

xnx

yxnyx

1

22

1

1 11α , (1.20)

n

xyn

i

n

iii∑ ∑

= =

⋅−= 1 1

αβ . (1.21)

1.5 Aplicații economice ale funcțiilor liniare 

Vom analiza în continuare o serie dintre principalele aplicaţii economice ale funcţiilor liniare, cum sunt:

funcţiile liniare de venit, de cost şi de profit; funcţiile de cerere şi de ofertă liniare; funcţia de consum; pragul de profitabilitate.

1.5.1 Venitul total, costul total, profitul 

Funcţia de venit total reprezintă suma încasată de firmă în fiecare lună din vânzarea produselor sale. Dacă x produse sunt vândute lunar, venitul total din vânzarea acestora cu preţul p este xp ⋅ şi deci funcţia de venit total pentru exemplul dat are forma:

xpxVV ⋅== )( .

În expresia de mai sus, x este variabila independentă, iar V este variabila dependentă. Să notăm că domeniul de definiţie al acestei funcţii este pe mulţimea numerelor reale şi pozitive R+, deoarece nu au sens cantităţi negative. Funcţia de cost total reprezintă suma ce trebuie cheltuită de firmă pentru a produce şi a vinde produsele sale. Costurile totale CT sunt alcătuite din:

CF – Costurile fixe: costurile care rămân constante, indiferent de cantitatea de produse fabricate şi vândute;

CV – Costurile variabile: costurile care depind direct de producţia realizată şi vândută.

Ţinând cont că din definiţie, funcţia de cost total este:

C(x) =CT(x) = CF(x) + CV(x).

Funcţia de cost fix este o constantă:

( ) cfxCF = .

Funcţia de cost variabil este, pentru cantitatea de produse x şi costul cv pe unitatea de produs (pe bucată):

( ) xcvxCV ⋅= .

8    MODULUL 1: MODELE LINIARE 

Rezultă funcţia de cost total de forma:

( ) cfxcvxC +⋅= .

Funcţia de profit reprezintă diferenţa dintre funcţia de venit şi funcţia de cost total şi are expresia: ( ) ( ) ( )xCxVxP −= . Înlocuind expresiile de mai sus, rezultă funcţia de profit de forma:

( ) ( ) ( ) ( ) cfxcvpcfxcvxpxCxVxP −⋅−=−⋅−⋅=−= .

1.5.2 Funcții de cerere şi de ofertă 

Dacă analizăm relaţia între preţul produselor şi cantitatea pe care un client sau un consumator le va achiziţiona într-o anumită perioadă de timp, funcţia care rezultă se numeşte funcţie de cerere. Legea cererii economice arată că pe măsură ce preţul creşte, cantitatea de produse cerute va scădea şi invers, dacă preţul scade, cererea de produse va creşte. Relaţia dintre preţul unui produs şi cantitatea cerută este o relaţie funcţională, respectiv cantitatea cerută q este în funcţie de preţul p, adică ( )pfq = . Funcţia de ofertă reprezintă cantitatea de produse pe care un producător o oferă, la diferite preţuri. Legea ofertei economice arată că pe măsură ce preţul creşte, cantitatea de produse oferite spre vânzare va creşte de asemenea. Relaţia funcţională dintre ofertă şi preţ nu este întotdeauna liniară, oferta putând să fie neliniară sau constantă.

1.5.3 Funcția de consum 

Funcţia de consum este unul din elementele de bază pentru analiza situaţiilor de criză economică, atunci când se manifestă perioade de recesiune economică, cu rate mari ale şomajului sau ale inflaţiei. Această analiză economică a fost introdusă de John Maynard Keynes, fondatorul macroeconomiei moderne. În timpul marii crize economice din anii ’30, principiile lui Keynes au fost utilizate de administraţia americană. Funcţia de consum poate fi exprimată ca:

( ) baxxfC +== ,

unde x este venitul disponibil, iar C este consumul, ambele variabile fiind exprimate de obicei în unităţi de ordinul a 910 u.m., atunci când este vorba de consumul la nivel macroeconomic, respectiv consumul naţional. Pentru perioade scurte de timp, funcţia de consum se consideră a fi liniară, în timp ce pentru perioade mai lungi de timp, se consideră pentru funcţia de consum o formă neliniară.

1.5.4 Analiza pragului de profitabilitate 

Profitul realizat de o firmă este diferenţa dintre veniturile totale (valoarea totală obţinută din vânzări sau din alte surse) şi costurile totale (fixe şi variabile). Valoarea pentru care venitul total este egal cu costul total se numeşte prag de profitabilitate sau prag de rentabilitate (în engleză break-even point).

TEMA 1: FUNCȚII LINIARE   9

În Figura 1.3, V reprezintă dreapta veniturilor, iar C este dreapta costurilor totale. Atunci punctul de intersecţie al lor constituie punctul sau pragul de profitabilitate. Zona situată între dreptele de venit şi de cost la stânga şi dedesubtul punctului de intersecţie este zona de pierdere, în timp ce zona situată la dreapta şi deasupra punctului de intersecţie este zona de profit.

Figura 1.3: Pragul de profitabilitate

1.5.5 Echilibrul de piață 

Atunci când cantitatea cerută este egală cu cantitatea oferită dintr-un anumit produs, spunem că avem echilibru de piaţă. Punctul de echilibru de piaţă se obţine la intersecţia graficelor funcţiilor de cerere şi de ofertă, aşa cu se observă din Figura 1.4. Echilibrul de piaţă este dat de cantitatea de echilibru şi de preţul de echilibru.

Figura 1.4: Echilibrul de piaţă

x

y

O

C

V

Pragul de profitabilitate

Zona de profit

Zona de pierdere

Cantitate

Valoare

q

p

O

Echilibrul de piaţă

Oferta

Cererea

Cantitate de echilibru

Preţ de echilibru

10    MODULUL 1: MODELE LINIARE 

1.6 Concepte cheie 

Funcţie liniară (de gradul 1)

Ecuaţie de gradul 1

Inecuaţie de gradul 1

Sistem de ecuaţii liniare

Metoda reducerii

Metoda substituţiei

Metoda grafică

Sistem de inecuaţii liniare

Metoda regresiei liniare

Funcţie liniară de venit

Funcţie liniară de cost

Funcţie liniară de profit

Funcţie liniară de cerere

Funcţie liniară de ofertă

Prag de profitabilitate (rentabilitate)

Punct de echilibru de piaţă

Dreaptă de regresie