suport curs - energie electrică

Note de curs Inginerie Electrica

CEPA Anul I

2011

Dragos STOICA

Note de curs Inginerie Electrica

CEPA Anul I

2011

Dragos STOICA

1

Cuprins

nScurt istoric

nNotiuni introductive

nCircuite electrice in curent continuu

nCircuite electrice in regim sinusoidalnCircuite electrice in regim sinusoidal

Cuprins

Circuite electrice in curent continuu

Circuite electrice in regim sinusoidalCircuite electrice in regim sinusoidal

2

Scurt istoric

nVolta Alessandro – 1800

nAmpere Andre-Marie –electromagnetismului

nOhm Simon – 1830 – legea lui Ohm

nFaraday Michael – 1820 electromagnetica, dynamo

nHenry Joseph – 1830 –curent continuu

Scurt istoric

1800 – prima baterie

1800 – legea

legea lui Ohm

1820 – inductia electromagnetica, dynamo

– autoinductie, motorul de

3

Scurt istoric

nMaxwell James – 1850 Electromagnetismul

⋅∇

ερ

=E0

×∇

∂∂

−×∇

⋅∇

+Jµ=B

tB

=E

=B

ε

0

0

0

Scurt istoric

1850 – ecuatiile lui Maxwell:

∂∂tE

εµ+ 0 0

4

Scurt istoric

nNikola Tesla – 1900nBazele aplicatiilor teoriei electromagnetismului in

industrie: generatorul de curent alternativ, transportul enerigiei electrice la distante, motorul electric, neonul, transmisia undelor electric, neonul, transmisia undelor electromagnetice la distanta

nThomas Edison – 1900nInventator si promotor al utilizarii electricitatii de

catre publicul larg: becul, aparate si masini in curent continuu, transmisia informatiei la distanta

Scurt istoric

Bazele aplicatiilor teoriei electromagnetismului in industrie: generatorul de curent alternativ, transportul enerigiei electrice la distante, motorul electric, neonul, transmisia undelor electric, neonul, transmisia undelor electromagnetice la distanta

1900Inventator si promotor al utilizarii electricitatii de catre publicul larg: becul, aparate si masini in curent continuu, transmisia informatiei la distanta

5

Cuprins

nScurt istoric


nCircuite electrice in curent continuu

nCircuite electrice in regim sinusoidanCircuite electrice in regim sinusoida

Cuprins

Circuite electrice in curent continuu

Circuite electrice in regim sinusoidaCircuite electrice in regim sinusoida

6

Notiuni introductive

nNotiuni fundamentale:nIntensitatea curentului electric

Curentul electric reprezinta deplasarea ordonata a sarcinilor electrice intr-un conductor.

Notatie: I, masurata in A (Amperi)


Intensitatea curentului electric

reprezinta deplasarea ordonata a un conductor.

Notatie: I, masurata in A (Amperi)

7


nNotiuni fundamentale:nTensiunea electrica

Pentru punerea in miscare ordonata a sarcinilor electrice intr-un conductor este nevoie sa aplicam un camp electric. Generarea campului electric se un camp electric. Generarea campului electric se face prin crearea unei diferente de potential la extremitatile conductorului.

Valoarea diferentei de potential se numeste electrica.

Notatie: U, masurata in V (Volti)


Pentru punerea in miscare ordonata a sarcinilor un conductor este nevoie sa aplicam

un camp electric. Generarea campului electric se un camp electric. Generarea campului electric se face prin crearea unei diferente de potential la extremitatile conductorului.

Valoarea diferentei de potential se numeste tensiune

Notatie: U, masurata in V (Volti)

8


nNotiuni fundamentale:nPuterea electrica

Puterea electrica este produsul dintre tensiunea electrica (U) si intensitatea curentului electric (

Formula: P = UI

Notatie: P, masurata in W (Watti)


este produsul dintre tensiunea ) si intensitatea curentului electric (I).

Notatie: P, masurata in W (Watti)

9


nNotiuni fundamentale:nDipol electric

Definim un dipol electricelectrice de semne opuse

nDipol magnetic

Definim un dipol magneticelectric intr-un circuit inchis.


dipol electric separarea a doua sarcini electrice de semne opuse

dipol magnetic cirulatia unui curent un circuit inchis.

10


nNotiuni fundamentale:nPuterea electrica: receptoare si generatoare

Definim receptor un dipol electric pentru care sensul curentului electric este catre polul cu potential mai mare (U si I au acelasi sens).mare (U si I au acelasi sens).

Definim generator un dipol electric pentru care sensul curentului electric este catre polul cu potential mai mic (U si I au sensuri opuse).


Puterea electrica: receptoare si generatoare

un dipol electric pentru care sensul curentului electric este catre polul cu potential mai mare (U si I au acelasi sens).mare (U si I au acelasi sens).

un dipol electric pentru care sensul curentului electric este catre polul cu potential mai mic (U si I au sensuri opuse).

11


nNotiuni fundamentale:nRezistivitatea electrica

Proprietatea unui material de a se opune conductiei curentului electric se numeste electrica. Aceasta depinde linear de temperatura:electrica. Aceasta depinde linear de temperatura:

(ρ=ρ 0 1


Proprietatea unui material de a se opune conductiei curentului electric se numeste rezistivitatea

. Aceasta depinde linear de temperatura:. Aceasta depinde linear de temperatura:

α∆T)+1

12


nNotiuni fundamentale:nConductivitatea electrica

Proprietatea unui material de a conduce curentul electric se numeste conductivitate electricaAceasta este reciproca rezistivitatii:Aceasta este reciproca rezistivitatii:

=γ


Conductivitatea electrica

Proprietatea unui material de a conduce curentul conductivitate electrica.

Aceasta este reciproca rezistivitatii:Aceasta este reciproca rezistivitatii:

ρ=1

13


nNotiuni fundamentale:nRezistenta electrica

Pentru un material care are proprietatea de rezitivitate electrica definim

l

Notatie: R, masurata in Ω

Sl

ρ=R


Pentru un material care are proprietatea de rezitivitate electrica definim rezistenta electrica:

ll

Ω (Ohmi)

γSl

=Sl

14


nNotiuni fundamentale:nConductanta electrica

Marimea reciproca rezistentei electrice se numeste conductanta electrica.

Notatie: G, masurata in S (Siemens)

=G


Marimea reciproca rezistentei electrice se numeste .

Notatie: G, masurata in S (Siemens)

R=1

15


nNotiuni fundamentale:nRezistorul electric

Componenta pasiva de circuit electric care are proprietati rezistive se numeste


Componenta pasiva de circuit electric care are proprietati rezistive se numeste rezistor electric.

16


nNotiuni fundamentale:nLegea lui Ohm

Intr-un circuit electric rezistenta electrica a unui rezistor este data de raportul dintre tensiunea electrica la borne si intensitatea curentului electric:electrica la borne si intensitatea curentului electric:

=R


un circuit electric rezistenta electrica a unui rezistor este data de raportul dintre tensiunea electrica la borne si intensitatea curentului electric:electrica la borne si intensitatea curentului electric:

IU

=

17


nNotiuni fundamentale:nCapacitanta electrica

Proprietatea unui material de a stoca energia electrica prin aplicarea unei diferente de potential se numeste capacitanta electricase numeste capacitanta electrica

Notatie: C, masurata in F

dtdU

CI =


Proprietatea unui material de a stoca energia electrica prin aplicarea unei diferente de potential

capacitanta electrica.capacitanta electrica.

(Farazi)

Uq

=CdU

;

18


nNotiuni fundamentale:nCapacitorul electric

Componenta pasiva de circuit electric care are proprietati capacitive se numeste electric.electric.


Componenta pasiva de circuit electric care are proprietati capacitive se numeste capacitor

19


nNotiuni fundamentale:nInductanta electrica

Proprietatea unui inductor de a stoca energia magnetica se numeste

Notatie: L, masurata in H

;dtdI

L=U


Proprietatea unui inductor de a stoca energia magnetica se numeste inductanta electrica.

(Henry)

IΦ

=L;

20


nNotiuni fundamentale:nInductorul electric

Componenta pasiva de circuit electric care are proprietati inductive se numeste


Componenta pasiva de circuit electric care are proprietati inductive se numeste inductor electric.

21

Cuprins

nScurt istoric

nNotiuni fundamentale

nCircuitele electrice in curent continuu

nCircuite electrice in regim sinusoidalnCircuite electrice in regim sinusoidal

Cuprins

Circuitele electrice in curent continuu

Circuite electrice in regim sinusoidalCircuite electrice in regim sinusoidal

22

Circuite Electrice CC

nElemente ale unui circuitnSursa de tensiune electrica/tensiune

electromotoare (TEM):


Elemente ale unui circuitSursa de tensiune electrica/tensiune

23


nElemente ale unui circuitnRezistoare, capacitoare si inductoare:


Elemente ale unui circuitRezistoare, capacitoare si inductoare:

24


nElemente ale unui circuitnIntrerupatoare, impamantare, becuri, lampi

fluorescente, microfoane, difuzoare etc:


Elemente ale unui circuitIntrerupatoare, impamantare, becuri, lampi fluorescente, microfoane, difuzoare etc:

25


nRezolvarea circuitelor electricenLegea I a lui Kirchhoff

Suma algebrica a curentilor intrcircuit electric este nula.

I1 I2

I3 I4

I5

I 1+I 2− I 3− I 4− I


Rezolvarea circuitelor electrice

Suma algebrica a curentilor intr-un nod al unui circuit electric este nula.

01

=In

=kk∑

I 5= 0

26


nRezolvarea circuitelor electricenLegea II a lui Kirchhoff

Suma algebrica a caderilor de tensiune intrinchisa unui circuit electric este egala cu suma algebrica a tensiunilor electromotoare.algebrica a tensiunilor electromotoare.

Termenii sunt pozitivi daca sensul curentilor sau al tensiunilor corespund cu sensul de parcurgere al buclei.

∑n

=kkkIR

1


Rezolvarea circuitelor electrice

Suma algebrica a caderilor de tensiune intr-o bucla inchisa unui circuit electric este egala cu suma algebrica a tensiunilor electromotoare.algebrica a tensiunilor electromotoare.

Termenii sunt pozitivi daca sensul curentilor sau al tensiunilor corespund cu sensul de parcurgere al

∑m

j=jk U=

1

27


nConectarea surselor de tensiunenConectarea in serie – tensiunea electrica rezultanta

este suma tensiunilor surselor componente.


Conectarea surselor de tensiunetensiunea electrica rezultanta

este suma tensiunilor surselor componente.

1

1

321

nUU

U=U

UUU=Un

kk

=

++

∑=

28


nConectarea surselor de tensiunenConectarea surselor identice

electrica rezultanta este aceeasi cu tensiunea surselor componente, curentul rezultant este suma curentilor surselor componente.curentilor surselor componente.


Conectarea surselor de tensiuneidentice in paralel – tensiunea

electrica rezultanta este aceeasi cu tensiunea surselor componente, curentul rezultant este suma curentilor surselor componente.curentilor surselor componente.

21

21

II=I

UU=U

+

=

29


nDivizorul de tensiunenTensiunea intr-un circuit rezistiv serie se distribuie

pe fiecare rezistor si este direct proportionala cu valoare rezistorului din serie.


un circuit rezistiv serie se distribuie pe fiecare rezistor si este direct proportionala cu valoare rezistorului din serie.

21

22

21

11

R+RR

U=U

R+RR

U=U

30


nDivizorul de curentnIntensitatea curentului electric intr

paralel se distribuie pe fiecare rezistor si este invers proportional cu valoare rezistorului in paralel.


Intensitatea curentului electric intr-un circuit rezistiv paralel se distribuie pe fiecare rezistor si este invers proportional cu valoare rezistorului in paralel.

21

12

21

21

R+RR

I=I

R+RR

I=I

31


nRegimul de functionare a unui circuitnRegimul nominal – o sarcina este conectata astfel

incat curentul nominal nu deterioreaza termic sau mecanic elementele de circuit.


Regimul de functionare a unui circuito sarcina este conectata astfel

incat curentul nominal nu deterioreaza termic sau mecanic elementele de circuit.

nominom R+R

U=I

32


nRegimul de functionare a unui circuitnRegimul circuit deschis

foarte mare (infinita) in raport cu rezistenta interna a generatorului.


Regimul de functionare a unui circuitRegimul circuit deschis – sarcina externa este foarte mare (infinita) in raport cu rezistenta interna a

U=U,R=I 00, ∞→

33


nRegimul de functionare a unui circuitnRegimul scurt-circuit – sarcina externa este foarte

mica in raport cu rezistenta interna a generatorului.


Regimul de functionare a unui circuitsarcina externa este foarte

mica in raport cu rezistenta interna a generatorului.

I s=URi, R << Ri , U s= 0

34


nRegimul de functionare a unui circuitnU = 20V, Ri=0,5Ω, R=9,5


Regimul de functionare a unui circuit, R=9,5Ω

Ω=R=R 9,5

A=RU

=I

V=U

=R+RU

=I

Ω=R=R

is

o

nominom

nom

40

20

2A

9,5

35


nTeorema transferului maxim de puterenSursa transmite maximum de putere

consumatorului cand rezistenta de sarcina este egala cu rezistenta interna a sursei.


Teorema transferului maxim de putereSursa transmite maximum de putere consumatorului cand rezistenta de sarcina este egala cu rezistenta interna a sursei.

)0(

)0(

)(

42

2

3

)(

422

)(2

2

22

iRR

RR

dRPd

RR

RRdRdP

i

RRE

E

RRE

RRIP

i

i

i

i

=<=

==

+==

+

−

+

−

36


nTeorema transferului maxim de puterenRandamentul transferului maxim de putere.


Teorema transferului maxim de putereRandamentul transferului maxim de putere.

2

==RRIη

%100

)(%50

→

==

+==

<<RR

iP

i

i

MAX RR

RRR

EIRI

η

η

η

37


nTeorema conservarii puterilornEste o consecinta directa a conservarii energiei intr

un circuit. Intr-o retea izolata, puterea generata de surse este egala cu puterea consumata de rezistoarele retelei.rezistoarele retelei.

nTeorema conservarii puterilor se poate utiliza dupa rezolvarea unui circuit pentru verificarea rezultatelor.

∑=

n

kkk IU

1


Teorema conservarii puterilorEste o consecinta directa a conservarii energiei intr-

o retea izolata, puterea generata de surse este egala cu puterea consumata de

Teorema conservarii puterilor se poate utiliza dupa rezolvarea unui circuit pentru verificarea

∑=

=m

jjjk IR

1

2

38


nTeorema superpozitiei (metoda suprapunerii efectelor)nEste o consecinta directa a caracterului linear al teoremelor

lui Kirchhoff si al comportamentului linear al elementelor de circuit.circuit.

nCurentul sau tensiunea din orice latura a unui circuit cu elemente lineare este egal cu suma algebrica a curentilor sau tensiunilor pe care i-ar stabili fiecare sursa a circuitului daca ar actiona singura in circuit (celelalte ar fi pasivizate inlocuite cu rezistentele interne).

nAtentie: nu se aplica la calculul puterilor!


Teorema superpozitiei (metoda suprapunerii

Este o consecinta directa a caracterului linear al teoremelor lui Kirchhoff si al comportamentului linear al elementelor de

Curentul sau tensiunea din orice latura a unui circuit cu elemente lineare este egal cu suma algebrica a curentilor

ar stabili fiecare sursa a circuitului daca ar actiona singura in circuit (celelalte ar fi pasivizate –inlocuite cu rezistentele interne).

Atentie: nu se aplica la calculul puterilor!

39


nTeorema superpozitiei (metoda suprapunerii efectelor)nPasivizarea unei surse de tensiune (scurt circuit)



Pasivizarea unei surse de tensiune (scurt circuit)

40


nTeorema superpozitiei (metoda suprapunerii efectelor)nPasivizarea unei surse de curent (circuit deschis)



Pasivizarea unei surse de curent (circuit deschis)

41


ncircuite electricenConectarea rezistoarelor in serie.


Conectarea rezistoarelor in serie.

∑n

=iie R=R

1

42


ncircuite electricenConectarea rezistoarelor in paralel.


Conectarea rezistoarelor in paralel.

n 11

∑

∑n

=iie

n

=i ie

G=G

R=

R

1

1

11

43


ncircuite electricenEchivalenta circuitelor triunghi

122

312312

31121 ,

RR

RRRR

RRR

+=

++=


Echivalenta circuitelor triunghi-stea.

312312

31233

3123

2312 ,RRR

RRR

RRRR

++=

++44


ncircuite electricenEchivalenta circuitelor stea

2123

3

13322112 ,

RRR

RRRRRRR

R+

=++

=


Echivalenta circuitelor stea-triunghi.

2

13322131

1

1332 ,R

RRRRRRR

RRRRR ++

=++

45


ncircuite electricenEchivalenta circuitelor stea

pentru rezistori egali.

12321Y , RRRRRR ==== ∆


Echivalenta circuitelor stea-triunghi si triunghi-stea

R

Y

Y

33RR

RR

=

=

∆

∆

3123 RR ==

46


ncircuite electricenPuterea disipata in rezistoare


Puterea disipata in rezistoare – efectul Joule.

P=RI 2

47


ncircuite electricenConectarea capacitoarelor in serie.


Conectarea capacitoarelor in serie.

∑n

=i ie C=

C 1

11

48


ncircuite electricenConectarea capacitoarelor in paralel.


Conectarea capacitoarelor in paralel.

∑n

=iie C=C

1

49


ncircuite electricenEnergia inmagazinata in capacitoare


Energia inmagazinata in capacitoare

2

2

stat

CU=E

50


ncircuite electricenConectarea inductoarelor in serie.


Conectarea inductoarelor in serie.

∑n

=iie L=L

1

51


ncircuite electricenConectarea inductoarelor in paralel.


Conectarea inductoarelor in paralel.

∑n

=i ie L=

L 1

11

52


ncircuite electricenEnergia inmagazinata de inductor


Energia inmagazinata de inductor

2

2

mag

LI=E

53

Cuprins

nScurt istoric


nCircuite electric in curent continuu

nCircuite electrice in regim sinusoidal (curent nCircuite electrice in regim sinusoidal (curent alternativ)

Cuprins

Circuite electric in curent continuu

Circuite electrice in regim sinusoidal (curent Circuite electrice in regim sinusoidal (curent

54

Circuite Electrice CA

nProblematica transportului energiei electrice in CC.

n Pentru un oras care are nevoie de o putere electrica de 10MW, daca tensiunea generata este U=100V atunci I=100 000A. Transportul printrI=100 000A. Transportul printrduce la o pierdere de P=4 000 MW/km. Considerand un cost de 0,1€/kWh, costul transportului energiei electrice este de 4x105€/kmhConcluzie: nu este profitabil sa transportam pe distante lungi curent continuu la intenstati mari.Solutia: curent alternativ transportat la intensitati mici si tensiuni mari, poate fi transformat usor cu pierderi acceptabile.


Problematica transportului energiei electrice in

Pentru un oras care are nevoie de o putere electrica de 10MW, daca tensiunea generata este U=100V atunci I=100 000A. Transportul printr-un cablu cu R=0.4Ω/km I=100 000A. Transportul printr-un cablu cu R=0.4Ω/km duce la o pierdere de P=4 000 MW/km. Considerand un

/kWh, costul transportului energiei electrice

Concluzie: nu este profitabil sa transportam pe distante lungi curent continuu la intenstati mari.Solutia: curent alternativ transportat la intensitati mici si tensiuni mari, poate fi transformat usor cu pierderi

55


nCurentul alternativ.n Definitie: Curentul electric a carui intensitate si orientare

variaza ciclic in timp, aternand valori pozitive si negative, se numeste curent alternativ

n Definitie: Toate marimile electrice in CA se noteaza cu n Definitie: Toate marimile electrice in CA se noteaza cu litere mici: u(sau e), i, p

n In mod particular ne vom interesa de sinusoidal.


Definitie: Curentul electric a carui intensitate si orientare variaza ciclic in timp, aternand valori pozitive si negative,

curent alternativ.

Definitie: Toate marimile electrice in CA se noteaza cu Definitie: Toate marimile electrice in CA se noteaza cu

In mod particular ne vom interesa de curentul alternativ

56


nGenerarea curentului/tensiunii alternative.

nPrin rotatia unei spire sau mai multor spire intr-un camp magnetic. La bornele spirei este colectata tensiunea electromotare.este colectata tensiunea electromotare.


Generarea curentului/tensiunii alternative.

Prin rotatia unei spire sau mai multor spire un camp magnetic. La bornele spirei

este colectata tensiunea electromotare.este colectata tensiunea electromotare.

57



nForma de unda a tensiunii colectate este sinusoidala.

cos(( ωΦ tBSdd cos(( ω−=

Φ−=

dttBSd

dtd

u



Forma de unda a tensiunii colectate este

))ϕ+t)sin(

)) ϕωωϕ+=

+tBS

t

58



nForma de unda a tensiunii colectate este sinusoidala.

oareelectromot tensiunea- u

)sin(

initiala faza -

pulsatia -

amplitudin -

oareelectromot tensiunea-

max

max

ϕωϕω

ω

+=

=

tUu

BSU

u



Forma de unda a tensiunii colectate este

oare

tensiuniia maxima eaamplitudin

oare

59


nMarimi sinusoidale.

amplitudin -

instantane valoarea- )(

sin()( max

U

tu

Utu = ω

frecventa - 1

perioda - 2

initiala faza -

pulsatia -

amplitudin - max

Tf

T

U

=

=ωπ

ϕω


maxima eaamplitudin

einstantane

)t +ϕω

frecventa

perioda

maxima eaamplitudin

60


nMarimi sinusoidale.

2)(

2

)sin()(

max

0

max

2

π

ϕω

==

+=

∫med

Udttu

TU

tUtuT

factorul ,22

factorul ,2

)(1

max

max

0

2

0

π

π

==

==

== ∫

med

RMSf

RMSv

T

ef

UU

k

UU

k

Udttu

TU

T


medie valoarea,max

forma de factorul

varfde factorul

efectiva valoarea,2max = RMSU

61


nNumere complexe.

nDefinitia numerelor complexe:

:ecuatiei Solutia

nConjugatul unui numar complex:

imaginara partea [z],y

reala partea ],[

unde ,

ℑ=

ℜ=

+=∈

zx

iyxzCz

xz −=


Definitia numerelor complexe:

ixx ==+ 2,12 01 :

Conjugatul unui numar complex:

imaginara

reala

1;,unde 2 −=∈ iRyx

iy−

62


nOperatii cu numere complexe.

2121 ()( xxzz +=++

22

2121

12121

2121

/)(

()(

()(

yxyxx

zz

yyxxzz

xxzz

+−

=÷

−=×

−=−−


Operatii cu numere complexe.

212 )() yyi ++

22

22

212122

21

21212

212

)()

)()

yxyxxy

iyyy

yxxyiy

yyi

+−

+

++

−+

63


nProprietati ale conjugatului unui numar complex

zz

zz

+

=

zz

zz

zz

zz

11=

=

−

+


Proprietati ale conjugatului unui numar complex

x

z

2=

z

yx

iy

x

1

2

2

22 +

=

=

64


nReprezentarea unui numar complex

Rectangulayy

arctan

Rectangula

zr

iyxz

=

==

+=

ϕ

MM

xx

φφ

rr


Reprezentarea unui numar complex

Polar rRectangula ⇔

z lui fazasau argumentul - arctan

z lui modului -

)sin(cos

Polar rRectangula

22

xy

yx

irziy

+

+=⇔

⇔

ϕϕ

65


nFormula lui Euler

cos=π

ix xe

nUn numar complex se poate scrie:

01=+πie

rez =


sin+ xix

Un numar complex se poate scrie:

ϕire66


nRegulile de calcul in complex devin acelasi ca pentru calculul cu puteri:

rez

errzzi

i

ϕ

ϕ

−=

= (2121

re

z

rezi

i

ϕ

ϕ

−

−

=

=

1


Regulile de calcul in complex devin acelasi ca pentru calculul cu puteri:

ϕϕ + )21

67


nDin motive de notatie traditionala valoarea instantanee a intesitatii curentului electric, se va folosi j pentru a desemna

nMarimile sinusoidale pot fi reprezentate in planul complex ca fiind un vector cu baza in origine, avand magnitudine constanta si cu o faza initiala. Un fazor este un numar complex utilizat pentru reprezentarea unei marimi sinusoidale.


Din motive de notatie traditionala i reprezinta valoarea instantanee a intesitatii curentului

pentru a desemna j2+1=0

Marimile sinusoidale pot fi reprezentate in planul complex ca fiind un vector cu baza in origine, avand magnitudine constanta si cu o

este un numar complex utilizat pentru reprezentarea unei marimi

68


nReprezentarea fazoriala

nMetoda de lucru bazata pe reprezentarea in complex a marimilor sinusoidale se numeste metoda simbolica sau metoda numeste metoda simbolica sau metoda reprezentarii in complex.

nReprezentarea fazorilor in planul complex se numeste diagrama fazoriala.


Reprezentarea fazoriala

Metoda de lucru bazata pe reprezentarea in complex a marimilor sinusoidale se numeste metoda simbolica sau metoda numeste metoda simbolica sau metoda reprezentarii in complex.

Reprezentarea fazorilor in planul complex se numeste diagrama fazoriala.

69



)(:asinusoidal Marimeϕ

tx

cos()sin( :Remarca

[][)(

cos :Fazor

ϕω

ω

ϕ

=+

ℜ=ℜ=

==

t

MeeXtx

MMeXjtj

j



)cos() ϕω += tM

)2

cos(

)cos(]

sincos

πϕω

ϕω

ϕϕωϕ

−+

+=

+

t

tMe

Mitjj

70



X

tx

sinusoidal marimile toateDaca

in timpconstant - :Fazor

variaza- )(:asinusoidal Marime

ϕω HzftU

Xtx

50max )cos(2

u(t)

:este aEchivalare

][)(

sinusoidal marimile toateDaca

←+=

ℜ=

=



ω :atunci pulsatie aceeasiau esinusoidal

in timp variaza

ϕ

ω

jHz eUmax

:atunci pulsatie aceeasiau esinusoidal

→

71


nReprezentarea fazoriala in planul complex Diagrama Fresnel

ωtUmax cos(u(t)

:este aEchivalare

+= ωtUmax cos(

2u(t) +=

ImIm


Reprezentarea fazoriala in planul complex

ϕωϕ jHz eU50) →←+ = ϕωϕ jHz eUmax50) →←+ =

ImIm

ReRe

φφ

UUmaxmax

72



nPe diagrama Fresnel se observa diferenta de faza intre diversele marimi sinusoidale si se pot efectua opratii de baza cu fazori: se pot efectua opratii de baza cu fazori: adunare, scadere, derivare, integrare.

ImIm

IImaxmax


Reprezentarea fazoriala – diagrama Fresnel

Pe diagrama Fresnel se observa diferenta de faza intre diversele marimi sinusoidale si se pot efectua opratii de baza cu fazori: se pot efectua opratii de baza cu fazori: adunare, scadere, derivare, integrare.

ImIm

ReRe

φφuu

UUmaxmax

φφii

73


nReprezentarea fazoriala nSe numeste defazaj diferenta de faza

φ=φu-φi, intre tensiune si curent. Pentru φ>0 tensiunea este in avans,Pentru φ<0 tensiunea este in urma,Pentru φ<0 tensiunea este in urma,Pentru φ=0 tesiunea si curentul sunt in faza

ImIm

IImaxmax


Reprezentarea fazoriala – diagrama FresnelSe numeste defazaj diferenta de faza

, intre tensiune si curent. φ∈(-π,π)>0 tensiunea este in avans,<0 tensiunea este in urma,<0 tensiunea este in urma,=0 tesiunea si curentul sunt in faza

ImIm

ReRe

φφuu

UUmaxmax

φφii

74


nOperatii cu fazori

ZZ

ZZZ

/)(

)( 21

=÷

=×

jdtZ

jZdtd

ZZ

ω

ω

1)(

)(

/)( 21

=∫

=∂

=÷

∫


eZ

eZZ

j

j

ϕϕ

ϕϕ

)(1

)(21

21

21

−

+

Z

Z

eZZ j

ω

ω

ϕϕ

1

)(

2

1 21−

75


nOperatii cu fazori

nAlgebra fazorilor pentru circuitele sinusoidale este aplicata numai in cazul formelor de unda cu aceeasi frecventa.

nCalculul fazorial va fi folosit pentru rezolvarea circuitelor in curent alternativ sinusoidal.


Algebra fazorilor pentru circuitele sinusoidale este aplicata numai in cazul formelor de unda cu aceeasi frecventa.

Calculul fazorial va fi folosit pentru rezolvarea circuitelor in curent alternativ

76


nImpedanta si admitantan Impedanta complexa

sinusoidal premanent este definita ca raportul dintre tensiunea complexa curentului electric complex curentului electric complex

nAdmitanta Y este definita ca fiind reciproca impedantei:

eIU

IU

Z ==

Y =


Impedanta si admitantaImpedanta complexa Z a unui dipol in regim sinusoidal premanent este definita ca raportul dintre tensiunea complexa U si intensitatea curentului electric complex I, se masoara in Ω: curentului electric complex I, se masoara in Ω:

este definita ca fiind reciproca

ϕϕ jj Zee =

Z1

=

77


nRezistenta si reactantanRezistenta R este partea reala a impedantei

][ZR =ℜ=

nReactanta X este partea imaginara a impendantei Z:

][ZX ℑ=


Rezistenta si reactantaRezistenta R este partea reala a impedantei Z:

ϕcosIU

Reactanta X este partea imaginara a impendantei I

ϕsin]IU

=

78


nRezistenta si reactantan Impedanta Z se poate scrie:

ImIm

ZZ

Z

R

Z

ReRe

φφ

ZZ

RR

XX


Rezistenta si reactantase poate scrie:

RX

arctgXRZ

ZXZR

jXRZeZ j

=+=

==

+==

ϕ

ϕϕ

ϕ

22

sincos

79


nConectarea impedantelorConectarea serie - Z

n Impedanta echivalenta a impedantelor conectate serie este egala cu suma impedantelor:

∑=Z

nAdmitanta echivalenta este:

∑=k

SZ

==s

S ZY

1


Conectarea impedantelor

Impedanta echivalenta a impedantelor conectate serie este egala cu suma impedantelor:

∑Z

Admitanta echivalenta este:

∑ kZ

∑=

kkZ

1

80


nConectarea impedantelorConectarea paralel - Y

nAdmitanta echivalenta a admitantelor conectate in paralel este egala cu suma admitantelor:

n Impedanta echivalenta este:

∑=k

PY

==P

P YZ

1


Conectarea impedantelor

Admitanta echivalenta a admitantelor conectate in paralel este egala cu suma admitantelor:

Impedanta echivalenta este:

∑ kY

∑=

kkY

1

81


nImpedanta complexa a dipolilor elementariRezistorul ideal

n Valoarea instantanee:

Riu =n Valoarea in complex:

n Imepedanta unui rezistor pur este:

si nu depinde de frecventa

n Admitanta este

IRU =

,=R RZ ϕ

RYR

1=


Impedanta complexa a dipolilor elementari

ImIm

Imepedanta unui rezistor pur este:

0=RϕReReRR

82


nImpedanta complexa a dipolilor elementariInductorul ideal


dtdi

Lu =

n Valoarea in complex:

n Imepedanta unui inductor pur este:

n Admitanta este

dt

ILjU ω=

ω == LL jXLjZ

LjYL ω

1=



ImIm

jjωωLL

Imepedanta unui inductor pur este:

2,

πϕ =LL

ReRe

jjωωLL

φφ==ππ/2/2

83


nImpedanta complexa a dipolilor elementariCapacitorul ideal


∫= idtC

u1

n Valoarea in complex:

n Imepedanta unui condensator pur este:

n Admitanta este

C

CjU

ω1

=

11ω

==C XjCj

Z

CjYC ω=



idtImIm

Imepedanta unui condensator pur este:

IC

2,

πϕ −=CCX

ReRe

--j/j/ωωCC

φφ==--ππ/2/2

84


nPuterea instantaneenPuterea intantanee p(t)

produsul valorilor instantanee ale tensiunii ale intensitatii curentului

cos)(

[cos(21

cos()()()(

maxmaxmax

maxmax

maxmax

ϕ

βα

+=

−

==

UIUtp

IU

IUtitutp


p(t) este prin definitie produsul valorilor instantanee ale tensiunii u(t) si ale intensitatii curentului i(t):

)2cos(

)]2cos()

)cos()cos(

max βαω

βαωβ

βωαω

++

⇒+++

=++

tI

t

tt

85


nPuterea instantaneenPuterea intantanee p(t)

constanta si o componenta variabila dupa o lege sinusoidala cu o frecventa dubla fata de cea a tensiunii si curentului: tensiunii si curentului:

cos(

cos

maxmax

maxmax ϕIU

IU


p(t) are o componenta constanta si o componenta variabila dupa o lege sinusoidala cu o frecventa dubla fata de cea a tensiunii si curentului: tensiunii si curentului:

)2cos( βαωϕ

++

=

t

ct

86


nPuterea instantaneenp(t) se poate rescrie folosind urmatoarea

identitate: 2cos(cos)22cos( ωϕϕαω =−+ tt

n Primul termen este o compenenta pulsatori strict pozitiva, care este echivalentul unui schimb de energie intre o sursa si un consumator

n Termenul secund este o componenta alternativa sinusiodala care este ehivalentul unui schimb reversibil de energie intre o sursa si un consumator.

2cos(1[cos)( maxmax ωϕ ++= tIUtp


se poate rescrie folosind urmatoarea

)22sin(sin)2 αωϕα +++ tt

Primul termen este o compenenta pulsatori strict pozitiva, care este echivalentul unui schimb de energie intre o

Termenul secund este o componenta alternativa sinusiodala care este ehivalentul unui schimb reversibil de energie intre o sursa si un consumator.

)22sin(sin)]2 maxmax αωϕα +++ tIU

87


nPuterea activanDefinim puterea activa P ca fiind valoarea medie

a puterii instantanee p(t)

)(1

== ∫ UdttpPT

nPuterea activa se masoara cu ajutorul Wattmetrului si reprezinta energia convertibila in lucru mecanic sau caldura.

)( max0

== ∫ UdttpT

P


Definim puterea activa P ca fiind valoarea medie p(t):

]Watt[][cos =PI ϕ

Puterea activa se masoara cu ajutorul Wattmetrului si reprezinta energia convertibila in lucru mecanic sau caldura.

]Watt[][cosmax =PI ϕ

88


nPuterea reactivanDefinim puterea reactiva Q ca fiind valoarea

amplitudinii componentei alternative a puterii instantanee p(t):

nPuterea reactiva se masoara in VoltAmperReactiv si reprezinta o putere fictiva ce caracterizeaza schimbul de energie cu o sarcina reactiva (capacitor sau inductor).

sin=UIQ ϕ


Definim puterea reactiva Q ca fiind valoarea amplitudinii componentei alternative a puterii

Puterea reactiva se masoara in VoltAmperReactiv si reprezinta o putere fictiva ce caracterizeaza schimbul de energie cu o sarcina reactiva (capacitor sau inductor).

]VAR[][ =Q

89


nPuterea aparentanDefinim puterea aparenta S ca fiind aplitudinea

fluctuatiilor puterii instantanee valoarea medie a acesteia:

UIS =

nPuterea aparenta se masoara in VoltiAmperi si reprezinta un modul. Operatiile algebrice obisnuite nu se aplica direct. Produsul formula unei puteri dar aceasa nu produce lucru mecanic sau caldura –

2PS

UIS

=

=


Definim puterea aparenta S ca fiind aplitudinea fluctuatiilor puterii instantanee p(t) in raport cu valoarea medie a acesteia:

]VA[][S =

Puterea aparenta se masoara in VoltiAmperi si reprezinta un modul. Operatiile algebrice obisnuite nu se aplica direct. Produsul UI este formula unei puteri dar aceasa nu produce lucru

– este o putere aparenta.

2

]VA[][

Q

S

+

=

90


nPuterea complexanDefinim puterea complexa

UIjQPS =+= cos

nPuterea complexa reuneste puterea activa puterea reactiva Q, puterea aparenta defazajul intre tensiune curentului I, φ.


Definim puterea complexa S ca fiind:ϕϕϕ jUIejUI =+ sincos

Puterea complexa reuneste puterea activa P, , puterea aparenta S si

defazajul intre tensiune U si intensitatea

91


nPuterea complexanDaca se considera defazajul tensiunii

poate introuduce conjugatul complex al intensitatii curentului electric:

βj IeIeI == −*

nAvem urmatoarele relatii:

βj

UIeIUS

IeIeI

==

== −

*

*

][

][

SQ

SP

=ℑ=

=ℜ=


Daca se considera defazajul tensiunii U, α=0 se poate introuduce conjugatul complex al intensitatii

ϕjIe− atunci ,

Avem urmatoarele relatii:

ϕ

ϕ

j

j

UIe

Ie− atunci ,

ϕϕ

sin

cos

UI

UI

=

=

92


nFactorul de puterenRaportul dintre puterea activa

aparenta S se numeste factor de putere:

,=P

F

n In regim sinusoidal

nPentru un distribuitor de energie electrica trebuie sa fie, ideal, 1

n Imbunatatirea Fp se poate face prin montarea de capacitori in paralel cu sursa

,=p SP

F

F


Raportul dintre puterea activa P si puterea se numeste factor de putere:

]1,0[∈F

Pentru un distribuitor de energie electrica Fptrebuie sa fie, ideal, 1

se poate face prin montarea de capacitori in paralel cu sursa

]1,0[∈pF

ϕcos=pF

93


nTeorema lui Boucherot Conservarea puterilor in circuitele CA

n Intr-un circuit de curent alternativ functionand in regim sinusoidal, puterea activa si putera reactiva se conserva:se conserva:

∑

∑

=

=

k

k

Q

P


Teorema lui Boucherot Conservarea puterilor in circuitele CA

un circuit de curent alternativ functionand in regim sinusoidal, puterea activa si putera reactiva

∑

∑

kk

kk

Q

P

94


nPuterea in circuitele elementareRezistorul pur

n Rezistorul pur nu introduce defazaj intre tensiune si curent:

cos2

=== ϕRU

UIUIP

n Rezistorul absoarbe energia electrica si o transforma in energie termica prin efect Joule. Puterea activa este in intregime disipata de rezitor.

0sin

cos

==

===

ϕ

ϕ

UIQR

UIUIP


Puterea in circuitele elementare

Rezistorul pur nu introduce defazaj intre tensiune si curent:

02 >= RI

Rezistorul absoarbe energia electrica si o transforma in energie termica prin efect Joule. Puterea activa este in intregime disipata de

0>= RI

95


nPuterea in circuitele elementareInductorul pur

n Inductorul pur introduce un defazaj de

0cos ==UIP ϕ

n Inductorul consuma puterea reactiva furnizata de sursa. Inductorul elibereaza energia stocata sub forma de energie electromagnetica.

sin

0cos

===

==

LUIUIQ

UIP

ϕ

ϕ



Inductorul pur introduce un defazaj de π/2 intre tensiune si curent:

Inductorul consuma puterea reactiva furnizata de sursa. Inductorul elibereaza energia stocata sub forma de energie electromagnetica.

02 >ILω

96


nPuterea in circuitele elementareCapacitorul pur

n Capacitorul pur introduce un defazaj de

0cos ==UIP ϕ

n Capacitorul genereaza putere reactiva catre sursa. Acest schimb corespunde unei eliberari de energie urmata de stocarea energiei statice de catre capacitor.

sin

0cos

−=−==

==

CUIUIQ

UIP

ϕ

ϕ



Capacitorul pur introduce un defazaj de -π/2 intre tensiune si curent:

Capacitorul genereaza putere reactiva catre sursa. Acest schimb corespunde unei eliberari de energie urmata de stocarea energiei

02 <UCω

97


nRezolvarea circuitelor elementareLegea lui Ohm

n Pentru un circuit electric in regim sinusoidal permanent:

IZU =

n Unde Z reprezinta echivalentul impedantelor tuturo elementelor din circuit.

IZU =


Rezolvarea circuitelor elementare

Pentru un circuit electric in regim sinusoidal permanent:

reprezinta echivalentul impedantelor tuturo elementelor din

98


nRezolvarea circuitelor elementareLegea Curentilor a lui Kirchhoff


0=∑ I

n Suma curentilor complexi in fiecare nod al retelei este nula.

0=∑k

kI


Rezolvarea circuitelor elementareLegea Curentilor a lui Kirchhoff


Suma curentilor complexi in fiecare nod al retelei este nula.

99


nRezolvarea circuitelor elementareLegea Tensiunilor a lui Kirchhoff


0=∑U

n Suma tensiunilor complexe pe fiecare bucla a retelei este nula.

0=∑k

kU


Rezolvarea circuitelor elementareLegea Tensiunilor a lui Kirchhoff


Suma tensiunilor complexe pe fiecare bucla a retelei este nula.

100


nRezolvarea circuitelor elementareCircuitul RLC Serie

n Impedanta echivalenta pentru un circuit RLC serie:

XjRCj

LjRZ S (1

+=++=ω

ω

RC

L

RC

LRZ

Cj

S

S

arctan

1

arctan

)1

( 222

=−

=

=−+=

ωω

ϕ

ωω

ω



Impedanta echivalenta pentru un circuit RLC serie:

jXRXX CL ) +=− ImIm

ωωLL

RX

X 22 +

ReRe

--j/j/ωωCC

φφSS

ωωLL

RR

ZZSS

101


nRezolvarea circuitelor elementareCircuitul RLC Serie - Rezonanta

n Cand impedanta echivalenta pentru un circuit RLC serie este pur rezistiva atunci circuitul se afla la rezonanta:

⇒= ZXX

0

10

=

=

⇒=

S

SCL

LC

ZXX

ϕ

ω


Rezolvarea circuitelor elementareRezonanta

Cand impedanta echivalenta pentru un circuit RLC serie este pur rezistiva atunci circuitul se afla la rezonanta:

= RImIm

= R

ReRe

--j/j/ωωCC

ωωLLRR

ZZSS

102


nRezolvarea circuitelor elementareCircuitul RLC Paralel

n Admitanta echivalenta pentru un circuit RLC paralel:

jGCjLjR

Y P (11

+=++= ωω

R

CL

GCLR

Y

LjR

P

P

arctan1

1

arctan

)1

(1 22

=−

=

=−+=

ωωϕ

ωω

ω



Admitanta echivalenta pentru un circuit RLC paralel:

jBGBB CL )( +=− ImIm

GB

BG 22 +

ReRe

--ωωCC

φφPP

1/1/ωωLL1/R1/R

YYPP

103


nRezolvarea circuitelor elementareCircuitul RLC Paralel -

n Cand admitanta echivalenta pentru un circuit RLC paralel este pur conductiva atunci circuitul se afla la rezonanta:

=⇒= YBB

0

10

=

=

=⇒=

P

PCL

LC

YBB

ϕ

ω


Rezolvarea circuitelor elementareRezonanta

Cand admitanta echivalenta pentru un circuit RLC paralel este pur conductiva atunci circuitul se afla la rezonanta:

=GImIm

=G

ReRe

--ωωCC

1/1/ωωLL1/R1/R

YYPP

104


nFactorul de calitate

nLa frecventa constanta, definim coeficientul de calitatea al unui circuit raportul dintre energia stocata de elementele reactive si energia disipata in elementele reactive si energia disipata in rezistoare pentru o perioada completa

nDaca FQ >>1 atunci circuitul are un factor de calitate foarte bun, ceea ce implica pierderi neglijabile datorare efectului Joule.


La frecventa constanta, definim coeficientul de calitatea al unui circuit FQ ca fiind raportul dintre energia stocata de elementele reactive si energia disipata in elementele reactive si energia disipata in rezistoare pentru o perioada completa

>>1 atunci circuitul are un factor de calitate foarte bun, ceea ce implica pierderi neglijabile datorare efectului Joule.

105


nFactorul de calitaten Factorul de calitate este dat de raportul intre energia

reactiva si energia activa:

XFQ =

n Sau in functie de factorul de putere:

n Sau in functie de defazaj

RFQ =

112 −=p

Q FF

ϕϕ

tancos

sin==QF


Factorul de calitate este dat de raportul intre energia reactiva si energia activa:

Sau in functie de factorul de putere:

ϕtan

106


nFactorul de calitateCircuite simple serie

nCircuitul RL serie

nCircuitul RC serie

nCircuitul RLC serie la rezonanta

nCircuitul RLC serie


RL

FQω

=

Circuitul RLC serie la rezonanta

Circuitul RLC serie

ωRCFQ

1=

0

0 1ω

ωRCR

LFQ ==

CL

RFQ

1=

107


nFactorul de calitateCircuite simple paralel

nCircuitul RL paralel

nCircuitul RC paralel

nCircuitul RLC paralel la rezonanta

nCircuitul RLC paralel


Circuitul RL paralel ωLR

FQ =

Circuitul RC paralel

Circuitul RLC paralel la rezonanta

Circuitul RLC paralel

ωRCFQ =

00

ωω

RCLR

FQ ==

LC

RFQ =

108


nTeorema conservarii puterilor

n Legea conservarii puterilor in complex:

∑ ∑∑≠=

+=k

L

kmmkmkk

kkk ZIZIE (

;1

2

Sumarea se face pentru toate laturile retelei considerate. Se tine cont de impedantele mutuale ale circuituluil.

Teorema se utilizeaza dupa rezolvarea unui circuit alternative pentru verificarea rezultatelor. De aici rezulta conservarea puterilor activa si reactiva intr-o retea izolata.

≠=k kmmk ;1


Teorema conservarii puterilor

Legea conservarii puterilor in complex:

mkmI )2

Sumarea se face pentru toate laturile retelei considerate. Se tine cont de impedantele mutuale ale circuituluil.

Teorema se utilizeaza dupa rezolvarea unui circuit alternative pentru verificarea rezultatelor. De aici rezulta conservarea puterilor activa si

109


nTeorema superpozitieinCurentul din orice latura a unui circuit de curent

alternativ este egal cu suma curentilor pe care istabili prin acea latura fiecare sursa din circuit, daca ar actiona singura in circuit (celelalte surse daca ar actiona singura in circuit (celelalte surse fiind pasivizate), se lucreaza cu marimi complexe.

nTeorema este utilizata pentru calculul curentului dintr-o latura fara a rezolva intreg circuitul.


Curentul din orice latura a unui circuit de curent alternativ este egal cu suma curentilor pe care i-ar stabili prin acea latura fiecare sursa din circuit, daca ar actiona singura in circuit (celelalte surse daca ar actiona singura in circuit (celelalte surse fiind pasivizate), se lucreaza cu marimi complexe.

Teorema este utilizata pentru calculul curentului o latura fara a rezolva intreg circuitul.

110


nCircuite electricenEchivalenta circuitelor triunghi


Echivalenta circuitelor triunghi-stea.

312312

31121 Z+Z+Z

ZZ=Z

312312

31233

312312

23122

312312

Z+Z+ZZZ

Z

Z+Z+ZZZ

=Z

Z+Z+Z

=

111


nCircuite electricenEchivalenta circuitelor stea


Echivalenta circuitelor stea-triunghi.

13322112 Z

ZZ+ZZ+ZZ=Z

2

13322131

1

13322123

312

ZZZ+ZZ+ZZ

Z

ZZZ+ZZ+ZZ

Z

Z=Z

=

=

112


nDivizorul de tensiunenTensiunea intr-un circuit serie se distribuie pe

fiecare impedanta si este direct proportionala cu valoare impedantei din serie.


un circuit serie se distribuie pe fiecare impedanta si este direct proportionala cu valoare impedantei din serie.

2

2

Z+ZZ

U=U

Z+ZZ

U=U

1

22

1

11

113


nDivizorul de curentnIntensitatea curentului electric intr

se distribuie pe fiecare impedanta si este invers proportional cu valoare impedantei in paralel.


Intensitatea curentului electric intr-un circuit paralel se distribuie pe fiecare impedanta si este invers proportional cu valoare impedantei in paralel.

2

2

Z+ZZ

I=I

Z+ZZ

I=I

1

12

1

21

114

suport curs - energie electrică

Documents