Vibraii autoexcitate

n cazul vibraiilor forate analizate, vibraia este ntreinut de o for perturbatoare care exist independent de micare, fora fiind exterioar sistemului.n acest caz fora perturbatoare acioneaz chiar i atunci cnd micarea este oprit. Exist sisteme mecanice care vibreaz datorit unor cauze interne, forele perturbatoare fiind determinate de micarea vibratorie. Amplitudinea vibraiei crete n acest caz, n timp, pn cnd este limitat de un efect neliniar, vibraia numindu-se autoexcitat sau autontreinut. Ca exemplu de vibraii autontreinute se pot da: vibraia sculelor achietoare n timpul prelucrrii prin achiere, datorit forelor de frecare; vibraiile liniilorelectrice, a courilor de fum, a podurilor suspendate sub aciunea vntului, datorit apariiei vrtejurilor alternante Benard-Karman, care produc o for lternant, vibraiile corzii de vioar, sub aciunea arcuului, vibraiile cretei cnd este inut perpendicular pe tabl, vibraiile arborilor, datorit forelor de frecare din punctul de contact dintre fus i cuzinet, n cazul unei lubrifieri insuficiente, pompajul ventilatoarelor, vibraiile axiale ale turbinelor etc. Caracteristicile vibraiilor autoexcitate sunt: la vibraiile autoexcitate, fora periodic care ntreine micarea este creat sau determinat de micarea nsi, atunci cnd micarea nceteaz, fora perturbatoare dispare; producerea vibraiilor autoexcitate este legat n mod direct de stabilitatea poziiei de echilibru a sistemului.Cea mai important problem, practic, privind analiza sistemelor autoexcitate este determinarea condiiilor n care acestea sunt stabile, condiii numite i criterii destabilitate. Din cauza efectelor neliniare, calculul frecvenelor i a amplitudinilor staionare finale este n general mult mai dificil. Stabilitatea micrii sistemelor neliniare

S considerm cazul vibraiei libere amortizate a sistemului liniar cu un grad de libertate definit de ecuaia diferenial:

care are ecuaia caracteristic:

Daca rdcinile ecuaiei caracteristice sunt complex conjugate:

cu Soluia ecuaiei difereniale este de forma: x = et (Acost + Bsin t) Dac c > 0, atunci ultima relaie reprezint o oscilaie cu amplitudine descresctoare (fig. 2.9). Dac c < 0, primul factor are exponent pozitiv i sistemul iniial n repaus, va oscila cu o amplitudine care v-a crete continuu, datorit sursei de energie interne(fig. 2.49).

La un sistem elastic pot s apar i efecte neliniare care limiteaz amplitudinea. Ecuaia diferenial care definete micarea unui sistem neliniar cu amortizare negativ la amplitudini mici, respectiv cu amortizare pozitiv puternic la amplitudinimari are forma:

Condiia fundamental de stabilitate a unui sistem liniar este ca rdcinile ecuaiei caracteristice s aib prile reale negative, producnd astfel amplitudinidescresctoare. Existena rdcinilor cu parte real negativ, care indic o funcionare stabil, poate fi determinat prin mai multe metode prezentate n literatur: criteriul destabilitate Routh-Hurtwitz, criteriul de stabilitate Nyquist etc.

Criteriul de stabilitate Routh-Hurtwitz

Studiul stabilitii micrii revine deci la studiul semnului rdcinilor ecuaiei caracteristice. Problema semnului rdcinilor se soluioneaz uor n cazul unorecuaii de gradul I sau II, dar ridic greuti n cazul ecuaiilor algebrice de gradsuperior. S considerm c ecuaia caracteristic este de grad n:

Se admite c a 0 o > . Se poate demonstra c o condiie necesar, dar nu i suficient, ca ecuaia s aib rdcini reale negative, sau rdcini complex conjugatecu prile reale negative, este ca toi coeficienii o 1 n a , a ,....., a ai ecuaiei caracteristice s fie pozitivi. Criteriul de stabilitate Routh-Hurwitz arat c o condiie necesar i suficient ca ecuaia caracteristic s aib rdcini cu pri reale negative este ca determinaniiformai cu coeficienii o 1 n a , a ,....., a ai ecuaiei caracteristice s fie pozitivi, adic: