COLEGIUL NAIONAL IAIOLIMPIADA DE MATEMATICETAPA LOCAL - 2009

CLASA a V-a

1. Fie 1 2 3 ... ,A n unde , 3.n n a) Pentru 10,n stabilii care este cifra miilor numrului A.b) Determinai cel mai mic numr n pentru care A se divide cu 1000.c) Pentru n gsit anterior, demonstrai c A nu este ptrat perfect.

2. a) Determinai numerele 68ab care, la mprirea prin 33, dau restul 23.b) Fie 23 1, .na n S se determine valorile lui n pentru care a este ptrat perfect.

3. Se consider irul 2, 10, 26, 58, 122, ...a) Scriei nc trei termeni ai irului.b) Determinai al 2009-lea termen al irului.

Subiect elaborat de Valerica Bena

COLEGIUL NAIONAL IAIOLIMPIADA DE MATEMATICETAPA LOCAL 2009

CLASA a VI-a

1. Se consider unghiurile adiacente i suplementare AOB i .BOC n semiplanuldelimitat de dreapta AC care conine punctul B, se consider punctele M i N astfel nctOM OA i .ON OB Dac 4 ,m CON m AOB determinai msurileunghiurilor AOB , ,BOC CON i .MON

2. a) Aflai numerele prime a i b pentru care 25 105 5 2003.a b a b) Determinai valorile naturale ale lui n pentru care 32 2n i 23 1n sunt simultan

divizibile cu 10.

3. a) Determinai numerele naturale n pentru care fracia 3 12 3

n

n

este reductibil.

b) Demonstrai c 2 2 2 21 1 1 1 2009

... .

2 4 6 2010 2010

Subiect elaborat de Gabriela Zanoschi

COLEGIUL NAIONAL IAIOLIMPIADA DE MATEMATICETAPA LOCAL - 2009

CLASA a VII-a

1. Determinai mulimea A = abc ,abc c a,b,c cifre distincte .2. a) Gsii tripletele de numere ntregi (x, y, z) pentru care

2 2 21 2 3 1x y z .b) Aflai cte triplete de numere ntregi (x, y, z) verific relaia

2 2 21 2 3 2009x y z .3. In triunghiul ABC avem: m( B )=105o, m( C )=30o, [AD] median, [AE] bisectoare, cuD, E [BC], iar [BF] este nlime, cu F[AC].

a) Artai c triunghiul AFD este isoscel. b) Aflai m(DAE ).4. Pe laturile (AB), (BC), (CD), (DA) ale ptratului ABCD se consider respectiv puncteleM, N, P, Q.

a) Dac dreptele MP i NQ sunt perpendiculare i M, N sunt proieciile punctelor M iN pe laturile (CD), respectiv (AD), artai c MPM i NQN sunt congruente.

b) Dac AM + CP = BN + DQ, artai c dreptele MP i NQ sunt perpendiculareSubiect elaborat de Sergiu Prisacariu

COLEGIUL NAIONAL IAIOLIMPIADA DE MATEMATICETAPA LOCAL - 2009

CLASA a VIII-a

1. Aflai numerele raionale a i b, tiind c 2611223223

ba.

2. Determinai numerele naturale n pentru care 3782 nn .3. Artai c dac a, b, c, d 0; sunt astfel nct 10,a c b d atunci are locinegalitatea 16005522 dcba .4. Cubul ABCDA B C D are muchia de lungime 4cm. Punctele M i N se afl pemuchiile AA , respectiv ,CC astfel nct 1A M CN cm.

a) Calculai aria total a piramidei .ACD B b) Calculai lungimea segmentului MN.c) Demonstrai c punctele B, N, D i M sunt coplanare.

Subiect elaborat de Alice Ania

COLEGIUL NAIONAL IAIOLIMPIADA DE MATEMATICETAPA LOCAL - 2009

CLASA a IX-a

1. S se rezolve ecuaia [ ]{ }x k x k xk , unde k .2. S se arate c pentru orice numere reale pozitive a, b i c, are loc inegalitatea

2 2 2 2 2 21 1 1a b b c c a

a b b c c a a b c .

3. Fie ABCD patrulater convex.

a) Construii punctele N pe (AD) i Q pe (BC) astfel nct 57

AN AD i 47

BQ BC .b) Determinai locul geometric al punctelor M din planul patrulaterului ABCD pentru

care modulul vectorului 2 3 4 5MA MB MC MD are valoare constant.4. Se consider punctele D i M n planul triunghiului ABC astfel nct 34 36MA MB

5 0MC i 1835

AD AB . Fie Q punctul de intersecie dintre dreptele AM i BC.

a) Demonstrai c punctele C, M i D sunt coliniare. b) Aflai MAMQ .

Subiect elaborat de Ioana Galan

COLEGIUL NAIONAL IAIOLIMPIADA DE MATEMATICETAPA LOCAL - 2009

CLASA a X-a

1. Fie 1 2, .z z Artai c, dac 1 2z z i 1 2 0,z z atunci 1 2 0.z z 2. Determinai a astfel nct inegalitatea 21

2

log 2 3 1aa

x x

s aib loc pentruorice .x3. Rezolvai n ecuaia 3 33 2 1.x x 4. ntr-un turneu de ah, fiecare dintre juctori disput cte o partid cu fiecare dintreceilali. tiind c nicio partid nu se termin remiz i c toi participanii obin cel puincte o victorie, demonstrai c exist un grup de trei ahiti A, B, C astfel nct A lnvinge pe B, B l nvinge pe C i C l nvinge pe A.

Subiect elaborat de Gabriel Popa

COLEGIUL NAIONAL IAIOLIMPIADA DE MATEMATICETAPA LOCAL - 2009

CLASA a XI-a

1. Fie1 2 3 4 52 1 4 5 3

b o permutare din 5S .

a) Determinai cel mai mic numr n cu proprietatea c .nb eb) Fie k cu ;kb e artai c 6 divide k.

2. Dac 2 ,A notm cu Tr A suma elementelor de pe diagonala sa principal.a) Demonstrai c, dac Tr (A) = 0, atunci 2 2 2, .A B BA B b) Artai c, dac Tr (A) 20, B i 2 2 ,A B BA atunci AB = BA.

3. Fie 1n nx un ir de numere reale.a) Dac irul 1n nx este convergent, rezult c 1n nx este convergent ?b) Dac 1n nx are proprietatea c 1 0n nx x , rezult c 1n nx este convergent ?c) Dac 1,2, ... ,9 , 1,nx n iar 1 2lg ... ,n ny x x x calculai lim .n

n

yn

4. Calculai1 2

11 2 1 2

...lim ,... ...

naa a

x x xxn n

x x x n

a a a a a a

unde 0, 1, , .ia i n n

Subiect elaborat de Valentina Blendea

COLEGIUL NAIONAL IAIOLIMPIADA DE MATEMATICETAPA LOCAL - 2009

CLASA a XII-a

1. a) Demonstrai c funcia 1

cos , 0: , ,

0, 0

xf f x xx

are primitive.

b) Dai exemplu de o funcie neintegrabil care s admit primitive i un exemplu defuncie integrabil care s nu admit primitive.

2. a) Calculai ln 1 1 , 0,1 .x x dx x b) Fie :f o funcie cu proprietatea c pentru orice funcie conti nu : ,g

funcia f g are proprietatea lui Darboux. Rezult c f este n mod necesar continu?3. a) Determinai toate subgrupurile grupului 13 , .

b) Fie ,G un grup cu 13 elemente i 6: , .f G G f x x Demonstrai c f esteautomorfism al lui G.

Subiect elaborat de Cristian Lazr