studiul ÎmprĂŞtierii particulelor pe nuclee …sfm.asm.md/ftm/vol9nr1-2/2 cercetare.pdf · 8...

8 Cercetare

FIZICA SI TEHNOLOGIILE MODERNE, vol. 9, nr. 1-2, 2011

STUDIUL ÎMPRĂŞTIERII PARTICULELOR PE NUCLEE FIXE CU AJUTORUL VECTORULUI

RUNGE - LENZ – LAPLACE (centenarul difuziei şi modelului atomic Rutherford)

Florea ULIU

Departamentul de Fizică al Facultăţii de Ştiinţe exacte Universitatea din Craiova, Craiova, România

Abstract: After the famous Geiger-Marsden experiment (in 1909), inspirated by Ernest Rutherford, this genius of the physics of the last century theoretized (in 1911) that atoms have their positive charge concentrated in a very small nucleus and pioneerated the planetary model of the atom. The aim of our paper is to celebrate, after a century, this very important moment from the history of physics. Keywords: Geiger-Marsden experiment, planetary model of the atom, Laplace-Runge-Lenz vector. I. INTRODUCERE

Cu câţiva ani în urmă, revista Societăţii fizicienilor din Franţa (Bulletin de l'Union des Physiciens,) a publicat un interesant studiu comparativ între “mişcarea Kepler” (energie potenţială de forma rKrV /)( , 0K ) şi “mişcarea eliptică armonică” (energie potenţială

de forma 2)( KrrV , 0K ), două mişcări foarte asemănătoare, având traiectorii închise [1]. Această comparaţie pune în evidenţă numeroase proprietăţi comune celor două feluri de mişcări, strâns legate, pe de o parte, de existenţa unor simetrii geometrice generale, dar şi a unor simetrii dinamice specifice. Conform teoremei lui Emmy Noether [2], simetriile geometrice determină conservarea energiei totale ( E ) şi a momentului cinetic ( L

), iar

simetria dinamică, în plus, determină existenţa unor invarianţi cunoscuţi sub denumirea de “invarianţii Runge-Lenz-Laplace (RLL)”. Este bine-cunoscut faptul că energia totală se conservă deoarece timpul curge uniform sau, altfel spus, deoarece funcţia )(rV este invariantă în timp. Pe de altă parte, conservarea momentului cinetic este o consecinţă directă a izotropiei spaţiului, adică a invarianţei potenţialului )(rV faţă de grupul )3(SO al rotaţiilor care păstrează centrul atractiv. Însă, spre deosebire de energia totală şi de momentul cinetic care sunt invarianţi ce se întâlnesc în toate problemele cu forţe centrale, există, de asemenea, invarianţi dinamici, de tipul vectorului RLL, cunoscuţi de aproape două secole (în cazul primului potenţial, de forma rK / ) sau descoperiţi mai recent [3] (în cazul celui de-al doilea potenţial, de forma 2Kr ). Aceşti invarianţi materializează, în planul orbitei, una sau două direcţii privilegiate a căror cunoaştere conduce la semnificative simplificări ale studiului problemelor respective. Ne vom convinge de aceasta în rândurile ce urmează.

Articolul nostru, care se vrea a fi o prelungire a articolului [1], îşi propune să studieze cu ajutorul vectorului RLL şi al altor constante de mişcare, problema difuziei particulelor (având sarcina electrică +2e) pe o ţintă nucleară fixă (având sarcina electrică +Ze), adică problema lui Rutherford (1911). În acest caz traiectoria nu mai este o curbă închisă (ca în lucrarea [1]) şi mişcarea nu mai are un caracter periodic; în schimb, conservarea vectorului RLL determină existenţa unei direcţii privilegiate în planul traiectoriei, direcţie care, după cum vom putea constata, este o axă de simetrie a traiectoriei.

Cercetare 9


II. VECTORUL RLL PENTRU PROBLEMA LUI RUTHERFORD Fie m şi e2 respectiv masa şi sarcina electrică a unei particule (nucleu de He),

M şi Ze respectiv masa şi sarcina electrică a unui nucleu difuzant, presupus fix. Nucleul atomic, considerat ca un punct material, este ales ca origine a razelor vectoare.

Forţa coulombiană repulsivă care acţionează asupra particulei aflată în poziţia

caracterizată de raza vectoare r

, are expresia 3/ rrKF

, unde rr

, 202ZeK şi

022

0 4/ ee . Ea este o forţă conservativă, deoarece se poate scrie sub forma gradVF

,

în care energia potenţială repulsivă este rKrV /)( (cu condiţia suplimentară 0)( V ). Legea conservării energiei totale are forma:

0.2

)(2

22 constr

Kv

mrVv

mE . (1)

Ţinând cont de faptul că momentul forţei FrM F

este egal cu zero (forţa F

fiind

centrală), din ecuaţia )0(/ FMdtLd

rezultă conservarea momentului cinetic

constvmrprL

. (2) O a treia mărime conservativă (constantă de mişcare) este vectorul RLL definit prin

relaţia 4

r

rKLvA

. (3)

Pentru a demonstra conservarea sa vom arăta că derivata dtAd /

este egală cu zero.

Utilizând ecuaţia de mişcare 3/// mrrKmFdtvda

şi ţinând cont de relaţia

0/ FMdtLd

, obţinem:

dt

drrvr

r

KLa

dt

drr

dt

rdr

r

K

dt

LdvL

dt

vd

dt

Ad

22.

Ţinând cont de expresia acceleraţiei găsim relaţia

dt

drrvr

r

Kvrr

r

K

dt

Ad

23)( .

Cu ajutorul formulei generale )()()( baccabcba putem dezvolta dublul

produs vectorial din primul termen obţinând :

rdt

drrvr

r

K

dt

Ad

)(3

.

Derivând în raport cu timpul relaţia 22 rr

(sau 2. rrr

) rezultă

dtrdrvrdtrdr /./.

, astfel că, în cele din urmă, 0/ dtAd

, ceea ce înseamnă că vectorul

RLL este constant. Vom scrie constA

. Din relaţia (2) şi având în vedere principiul determinismului laplaceian rezultă că

traiectoria particulei este o curbă plană, situată într-un plan perpendicular pe vectorul

constant L

. Pe de altă parte, din definiţia (3) a vectorului RLL rezultă că vectorul A

este conţinut în planul mişcării (în care este conţinută traiectoria). Argumentul este acela că ambii termeni din definiţia sa sunt vectori conţinuţi în acest plan. Fiind vorba despre un vector constant, vectorul A

poate fi ales ca o axă de referinţă (de exemplu, ca axă Ox) în acest plan

al traiectoriei. Putem scrie ).0,0,(AA

Modulul AA

al acestui vector se poate determina

cu destulă uşurinţă, prin ridicare la pătrat. Avem

10 Cercetare


)(222222 Lxvr

rKKLvAAAA

.

Utilizând proprietăţile produsului mixt, în ultimul termen din membrul drept, putem găsi expresia

m

ELK

r

Kv

m

m

LK

mr

KLKLvvrL

r

KKLvA

222

22

22222222 2

)2

(22

)(2

,

astfel că

2/12

2

)2

1(mK

ELKA . (5)

Să notăm cu unghiul polar dintre vectorii r

şi A

, ambii conţinuţi în planul mişcării

şi să calculăm produsul scalar Ar

. . Ţinând cont de definiţia produsului scalar dar şi de relaţia (3) obţinem

Krm

LKrLvrrAAr

2

).(cos. .

De aici, explicitându-l pe r în funcţie de , găsim următoarea ecuaţie a traiectoriei particulei (în coordonate polare):

1cos

p

r . (6)

Aici am introdus notaţiile

mK

Lp

2

, respectiv 12

12/1

2

2

mK

EL

K

A . (7)

Este de remarcat faptul că ecuaţia (6) s-a putut obţine fără efectuarea vreunei operaţii de integrare. Constatăm că este vorba de ecuaţia unei hiperbole, având unul din focare chiar în origine, şi că distanţa r nu se modifică atunci când se inversează semnul lui . Aceasta înseamnă că traiectoria este simetrică faţă de direcţia privilegiată a vectorului RLL ( direcţia

0 ).

Ecuaţia (6) ne arată că r este o cantitate pozitivă numai când M coscos , unde

).1(1

cos

M (8)

Altfel spus, unghiul polar aparţine intervalului MM ; , iar cele două asimptote ale hiperbolei sunt simetrice faţă de vectorul RLL, situat pe axa x (la )0 (vezi figura 1). Ecuaţia traiectoriei (6), în coordonate carteziene, este dată în Anexa 1.

Problema difuziei Rutherford constă în determinarea parametrului p şi a excentricităţii pentru hiperbolă (vezi relaţiile (7)), în funcţie de unghiul de deviaţie (al particulei ), de viteza iniţială v

(viteza particulei în momentul iniţial, când ea se află foarte departe de

nucleu) şi de aşa-numitul „parametru de impact” b (distanţa dintre nucleu şi suportul vitezei

iniţiale v

).

Definiţiile mărimilor v

şi b ne permit să exprimăm modulul momentului cinetic L

şi energiei totale E sub forma

vmbL , respectiv 2)2/( vmE . (9)

Caracteristicile hiperbolei (6) pot fi exprimate şi ele prin v şi b . Avem parametrul

K

vmbp

22 (10)

Cercetare 11


şi excentricitatea

11

2/122

K

vmb . (11)

Unghiul , de deviaţie a particulei , are expresia (vezi figura 1)

M 2 . (12) Folosind relaţiile (8) şi (12) obţinem uşor

22 21

2

vbK

m

m

E

K

Lctg

. (13)

Pentru valori foarte mici ale mărimilor v şi b , unghiul de difuzie este foarte mare,

devenind egal cu ( )1800 , pentru 0b . În acest ultim caz, punând 0 în relaţia (6), obţinem distanţa apropierii maxime a particulei de nucleu, care este

1min

pr . (14)

Viteza minv a particulei în respectivul punct de pe traiectorie se poate calcula uşor,

observând că, în acel punct, minmin rv

. Astfel, putem scrie că

minminvmrL . (15) De aici, ţinând cont de relaţiile (9), (14) şi (15), obţinem

Figura 1. Traiectoria hiperbolică a unei particule

12 Cercetare


)1(minmin

min L

K

r

vb

mr

Lv . (16)

Legea (1) a conservării energiei ne arată că această viteză este cea mai mică viteză a particulei pe traiectoria sa.

Un caz particular interesant este cel în care 0b . De data aceasta momentul cinetic este nul. Definiţia vectorului RLL arată că particula se deplasează pe o dreaptă. Viteza particulei se anulează la distanţa )0(

minr dată de relaţia

2

)0(min

2

mv

K

E

Kr . (17)

După ce se opreşte, particula se deplasează în sens invers, pornind din repaus. Observaţie: Relaţia (13) se poate obţine şi invocând conservarea vectorului RLL, adică o

relaţie de forma finalinitial AA

, în care starea iniţială („in”) este cea de la momentul t ,

iar cea finală („out”) - de la momentul t . Vom nota cu indice „prim” mărimile referitoare la starea finală. Versorul rr /

este coliniar cu (şi are acelaşi sens ca) vectorul v

.

În cazul vectorilor rr /

şi v

există coliniaritate, dar sensurile sunt opuse. Unghiul din

relaţia (12) este cel cuprins între vşi v

. În consecinţă, putem scrie 5

Kvv

r

rKvA

..

şi

cossincos).(.).(. 2

KvLvKvLvvvr

rKvLvvA

.

De aici, printr-un calcul trigonometric simplu obţinem imediat relaţia (13).

Figura 2. Invarianţa vectorului RLL

Cercetare 13


III. CONSTRUCŢIA VECTORULUI RLL ŞI A HODOGRAFULUI VITEZELOR

Calculele efectuate în paragraful precedent ne-au permis aflarea ecuaţiei traiectoriei (hiperbolei) şi determinarea parametrilor caracteristici ai acesteia. În paragraful pe care îl începem acum, vom prezenta, mai întâi, o construcţie geometrică destul de simplă prin care putem argumenta direct conservarea vectorului RLL (vezi figura 2). Pentru efectuarea acestei construcţii vom considera cunoscută ramura fizică a hiperbolei (adică traiectoria particulei ) şi vom utiliza din nou definiţia (3) a vectorului RLL. Al doilea termen din definiţie, anume

)/( rrK

, este un vector cu modulul constant, egal cu K , al cărui suport coincide, în fiecare moment, cu cel al razei vectoare r

. Cu ajutorul compasului construim un arc de cerc cu raza

K , al cărui centru este plasat în punctul O (nucleul difuzant). Considerăm două momente de timp distincte, 1 şi 2. Prelungim razele vectoare instantanee 1r

şi 2r

până în punctele 1P ,

respectiv 2P , situate pe acel arc de cerc. Obţinem astfel vectorii 2,1

2,12,1 r

rKOP

. Executăm

acum translaţia vectorilor viteză 1v

şi 2v

, tangenţi la traiectorie în punctele 2,1H , până în

punctele 2,1P de pe arcul de cerc trasat anterior. Termenul Lv

din vectorul RLL (primul său

termen) este perpendicular pe vectorii 1v

, respectiv 2v

, dar şi pe vectorul constant L

, care

este perpendicular pe planul desenului. Obţinem vectorii LvCP

2,12,1 şi, cum se poate

observa din desen,

AvectorulCPOPCPOP

2211 . (18) Când 0 , avem aceeaşi proprietate, dar cu vectori coliniari

AvectorulOCCPOP mm

, (19)

cu

min

min

r

rKOPm

, OVr min

şi LvCPm

min . (20)

Folosind o reprezentare carteziană, în anexa II, arătăm că vârful vectorului A

are o localizare independentă de poziţia de pe traiectorie a punctului curent H.

În continuare ne ocupăm de hodograful vitezelor. El ne va permite să vizualizăm rapid cum evoluează modulul şi orientarea vitezelor în timpul mişcării particulei pe traiectorie. Utilizarea vectorului RLL facilitează, după cum vom putea constata, construcţia hodografului. Dacă multiplicăm vectorial vectorul A

cu vectorul L

obţinem

).().()()( 2 rLr

KLvLvLrL

r

KLvLAL

Ţinem cont că 0. vL

şi, explicitându-l pe v

, găsim

.2

L

L

r

r

L

K

L

ALv

(21)

Această relaţie ne arată că vectorul viteză ( v

) este suma dintre vectorul constant 2L

AL

[cunoscut sub denumirea de vectorul lui Hamilton, cu modulul egal cu LA / ; când

vectorul A

este suprapus axei Ox iar vectorul L

se află pe Oz, direcţia sa este paralelă cu axa

Oy] şi vectorul ne-constant (variabil) )(L

L

r

r

L

K

, având doar modulul constant, cu valoarea

14 Cercetare


LK / . Orientarea acestui ultim vector este mereu perpendiculară pe raza vectoare r

, în orice punct al traiectoriei particulei .

Ţinând cont de relaţia (7) putem remarca faptul că modulul vectorului lui Hamilton este mai mare decât modulul celui de-al doilea vector din suma (21), deoarece KKA . După cum ştim deja, vectorul r

variază de o parte şi de cealaltă parte a axei Ox, cu un unghi

cuprins între M şi M . În consecinţă, vectorul )(L

L

r

r

L

K

variază în aceeaşi manieră de o

parte şi de cealaltă parte a axei Oy. Din aceste considerente rezultă că vârful vectorului viteză (hodograful) aparţine unui

cerc de rază LK / şi cu centrul C plasat pe axa yIv (vezi figura 3), distanţa CI având valoarea

LA / . Originea vectorului viteză ),( yx vvv

se află în punctul I. Faţă de acest sistem de axe, cu

originea în punctul I, vectorii ,L

A

şi r

au componentele ),0,0( LL

, )0,0,(AA

şi )0,,( yxr

, iar relaţia (21) poate fi scrisă sub forma

rL

yKvx , ,

rL

xK

L

Avy 0zv . (22)

De aici rezultă ecuaţia cercului 222 )()(

L

K

L

Avv yx . (23)

În figura 3, unghiul maxim M , definit prin relaţia AKM /1

cos

, este egal cu

Figura 3. Hodograful vitezelor

Cercetare 15


ICT1 sau cu ICT2, unde T1,2 sunt puncte ce aparţin atât cercului, cât şi tangentelor duse la cerc din punctul I.

Relaţia (16), care îl determină pe minv , ne permite să precizăm că hodograful parcurs de punctul curent Q, este arcul de cerc superior, dintre punctele de tangenţă T1 şi T2.

Tot din figura 3 putem exprima uşor dependenţa )(vv , a modulului vitezei v

de unghiul dintre raza vectoare r

şi vectorul RLL (sau, dintre CQ şi CI). Ridicând la pătrat legea

de compunere vectorială CQICIQv

, obţinem

)2/(sin)1(

41cos2 2

22min

222

vCQICCQICv . (24)

În particular, pentru )/1arccos( M , se obţine uşor că

11

1 22/1

min

L

Kvv .

Aceasta este o altă formă a relaţiei (11). IV. SECŢIUNEA EFICACE A DIFUZIEI RUTHERFORD. VERIFICĂRI EXPERIMENTALE ŞI DETERMINAREA NUMERELOR ATOMICE Z

După cum se ştie, anul 1911 a fost un an foarte important în istoria fizicii atomice, deoarece atunci s-a înţeles pentru prima oară, în mod indubitabil, că atomul are în centrul său un sâmbure masiv şi dur, încărcat electric pozitiv-nucleul atomic. Această descoperire (care a infirmat modelul atomic al lui Thomson, din 1906) este legată de numele fizicianului E. Rutherford şi a colaboratorilor săi apropiaţi H. Geiger şi E. Marsden. Experienţele lor de difuzie a unor fascicule de particule pe foiţe (trase din metale ductile) subţiri, aşezate în direcţie perpendiculară pe fasciculele incidente, au arătat că:

a). cea mai mare parte a particulelor traversau foiţele metalice subţiri fără să fie deviate în mod semnificativ de la direcţia lor iniţială;

b). o mică fracţiune din particulele incidente erau totuşi deviate de la direcţia lor iniţială;

c). un număr mic de particule erau, pur şi simplu, întoarse din drumul lor spre foiţele difuzante, deplasându-se înapoi spre sursa din care proveneau.

Prima constatare a condus la concluzia că foiţele metalice (şi atomii din care ele erau confecţionate) aveau o structură lacunară. Celelalte constatări puteau fi înţelese numai admiţând că particulele erau deviate de un câmp electric repulsiv, extrem de intens, creat de o sarcină electrică pozitivă, asociată unei particule masive, cu sarcina şi masa concentrate într-un volum foarte mic (o mică sferă cu raza având ordinul de mărime de cm1310 ). Aceste fenomene de difuzie a particulelor , efectuate şi analizate amănunţit, au sugerat modelul „nuclear” al atomului, conform căruia atomul are o structura similară cu cea a unui sistem planetar: un nucleu (sâmbure) central încărcat electric pozitiv, de dimensiuni foarte mici, în care este concentrată practic întreaga masă a atomului şi un număr bine-determinat de electroni negativi care se rotesc în jurul nucleului atomic. Sarcina totală a electronilor orbitali compensează exact sarcina electrică pozitivă a nucleului.

În cele ce urmează ne propunem să arătăm cum pot fi interpretate cantitativ rezultatele experienţelor menţionate mai sus cu ajutorul calculelor dezvoltate în paragrafele precedente.

Mai întâi, este posibil să determinăm distanţa minimă )0(minr dintre nucleu şi particula .

Desigur, raza nucleului trebuie să fie inferioară acestei valori. Dacă viteza iniţială a particulei este smv /10.2 7 , relaţia (17) ne dă 12)0(

min 10.2,3 r cm, când metalul utilizat este aurul

( )79Z , respectiv 12)0(min 10.0.2 r cm, când el este argintul ( )47Z . Acest calcul simplu ne

16 Cercetare


arată că raza nucleului este cu circa 4-5 ordine de mărime mai mică decât raza atomului. Atunci când se analizează interacţiunea dintre un fascicul mai larg de particule şi

unul dintre nuclee, parametrul de impact b nu este acelaşi pentru toate particulele din fascicul. Putem considera că el variază continuu şi, diferenţiind relaţia (13), obţinem

)2/(sin2.

2

2

d

dbK

mv

, (25)

semnul minus arătându-ne că unghiul de difuzie scade atunci când parametrul b creşte (vezi figura 4).Combinând relaţiile (13) şi (25) putem stabili uşor relaţia

dmv

Kdbb

)2/(sin

)2/cos(.2

3

2

2

. (26)

Experienţele realizate de grupul lui Rutherford au arătat că numărul particulelor din fasciculele incidente pe foiţe este destul de mare şi, de aceea, studiul teoretic al difuziei lor trebuie să facă apel la o abordare statistică. Aşadar, fie F foiţa de metal ductil în care centrii difuzanţi sunt distribuiţi aproape superficial. Notăm prin N numărul de particule ce ating, în unitatea de timp, unitatea de suprafaţă de pe foiţa F. Dintre acestea, un număr )(dN de particule sunt difuzate în interiorul unghiului solid dd sin2 , ce corespunde intervalului unghiular uzual ),( d - vezi figura 5. În conformitate cu formula (25), aceste particule sunt cele al căror parametru de impact (la distanţă mare de ţintă) era situat în intervalul ),( bdbb . Acestea veneau spre ţintă printr-o coroană circulară cu suprafaţa

dbbd 2 , numită secţiune eficace diferenţială elementară. Cu ajutorul relaţiei (26) putem scrie

Figura 4. Secţiune eficace diferenţială

Cercetare 17


.)2/(sin

.2

.)2/(sin

)2/cos(.

4

2

23

2

2

d

mv

Kd

mv

Kd (27)

Stratul material (foiţa) F fiind foarte subţire, ne putem imagina că, în planul oricărei secţiuni transversale, secţiunile eficace elementare pentru diferiţii centri difuzanţi nu se suprapun (sunt disjuncte). Pe de altă parte, admiţând de asemenea că nucleele sunt distribuite uniform, să notăm cu n numărul lor de pe unitatea de suprafaţă. Cu aceste ipoteze mărimea

dnd se numeşte secţiune eficace diferenţială macroscopică. Acum, cu ajutorul său,

pentru numărul )(dN putem scrie expresia

.)2/(sin

.2

)(4

2

2

d

mv

KnNNddN (28)

Se observă că numărul )(dN scade destul de repede când unghiul de difuzie creşte. Dacă toate presupunerile făcute la stabilirea relaţiei (28) sunt corecte, cantitatea

)2/(sin).( 4 dN trebuie să rămână constantă pentru unghiuri solide d egale, luate în diverse direcţii de difuzie ( ). În tabelul 1 sunt prezentate rezultatele obţinute de grupul Rutherford-Geiger-Marsden, într-o experienţă de difuzie de particule realizată în anul 1913. Trebuie făcută precizarea că numărul )(dN a fost determinat ca număr de scintilaţii pe un ecran fosforescent, acoperit cu sulfură de zinc.

Tabelul 1 (conform referinţei 6 ) Unghi de deviaţie

în grade ( ) )2/(sin 4 Număr de

scintilaţii ( )(dN )

Produsul )2/(sin)( 4 dN

150 0,871 33,1 28,8 135 0,729 43,0 33,1 120 0,563 51,9 29,2 105 0,396 69,5 27,5 75 0,137 211 29,0 60 0,0625 477 29,8 45 0,0214 1435 30,8 30 4.49.10-3 7800 35,0 15 2,90.10-4 132000 38,3

Din acest tabel se poate constata că în timp ce cantitatea )2/(sin 4 variază într-un raport de la 1 la 3000, produsul din ultima coloană variază doar cu %30 , ceea ce, la nivelul

Figura 5. Unghiul solid elementar al difuziei

18 Cercetare


preciziei experimentale din acea perioadă , înseamnă un produs cvasiconstant. Micul dezacord dintre teorie şi experienţă mai poate fi pus şi pe seama uşorului „caracter ideal” al presupunerilor avute în vedere la deducerea relaţiei (28). Nu e mai puţin adevărat că dezacordul poate fi datorat, într-o oarecare măsură, şi faptului că particulele din fasciculul ce „bombardează” ţinta peliculară F, nu au toate aceeaşi energie cinetică iniţială (fasciculul nu este monoenergetic).

Cu toate acestea, din experienţe similare, mult mai rafinate, realizate ulterior, cu utilizarea formulei (28), a fost posibilă determinarea experimentală a numerelor atomice Z (adică a numărului sarcinilor pozitive – a numărului de protoni- din nucleu). Acest număr este conţinut în „constanta” 2

02ZeK , astfel că, determinându-l pe K din datele

experimentale, îl determinăm în realitate pe .Z O astfel de rafinată experienţă a realizat J. Chadwick în anul 1932. El a obţinut următoarele valori:

►pentru platină, în locul valorii corecte 78Z , a obţinut valoarea de 4,77 ;

►pentru argint, în locul valorii corecte 47Z , a obţinut valoarea de 3,46 ; ► pentru cupru, în locul valorii corecte 29Z , a obţinut valoarea de 3,29 .

V. CONCLUZII

Utilizând mărimile conservative caracteristice forţelor centrale (energie totală şi moment cinetic) şi având în vedere proprietăţile cu totul speciale ale vectorului invariant

Runge – Lenz - Laplace (notat cu A

), s-a putut realiza un studiu cvasi-complet (traiectorie, hodograf şi secţiune eficace) al împrăştierii particulelor pe nucleele atomice, fără a rezolva vreo ecuaţie diferenţială.

Pe lângă interesul didactico-metodic pe care îl poate prezenta acest studiu, intenţia noastră a fost şi aceea de a marca împlinirea a 100 de ani de la elaborarea modelului atomic planetar, datorat genialului fizician Ernest Rutherford (dar, poate paradoxal, laureat Nobel pentru chimie).

ANEXA I: ECUAŢIA TRAIECTORIEI ÎN COORDONATE CARTEZIENE

Ţinând cont de faptul că cosrx şi sinry (vezi figura 1), putem scrie 2/122 )( yxr şi 22/cos yxx . Astfel, ecuaţia (6) a traiectoriei capătă forma

1

2

2

2

20

b

y

a

xx (I.1)

unde 120

px ,

12

pa , respectiv

12

pb . (I.2)

Se vede că distanţa focală a hiperbolei , dată prin relaţia )1/( 222 pbac este

egală chiar cu 0x . Mai mult aacx 0 şi 2/12 )1( ab .

Asimptotele hiperbolei, ce trec prin punctul )0,( 0x sunt definite prin ecuaţiile carteziene

)( 0xxa

by şi Mtg

a

b . (I.3)

Pentru 0y , din relaţia (I.1) obţinem

0)1(02,1 aaxx . (I.4)

Valoarea )1(2 ax este distanţa minimă minr dată de relaţia (14).

Cercetare 19


ANEXA II: UNICITATEA PUNCTULUI C DIN FIGURA 2 Considerăm un punct curent ),( hh yxH de pe traiectoria hiperbolică a unei particule .

În conformitate cu formula (I.1) din anexa precedentă avem 22

0 )( axxa

by hh . (II.1)

Panta tangentei la hiperbolă în punctul H este

h

h

Ht y

xx

a

b

dx

dym 0

2

.

(II.2)

iar panta normalei la hiperbolă în acelaşi punct este

..1

0

2

xx

y

b

a

mm

h

h

tn

(II.3)

Dreapta (D), cu aceeaşi pantă ca şi normala în H la hiperbolă, are ecuaţia

nn nxmy , (II.4)

în care parametrul nn poate fi determinat punând condiţia ca punctul P( yx , ), situat pe

arcul de cerc, să se afle de asemenea şi pe dreapta (D). Avem nn mxyn , (II.5)

şi relaţia (II.4) devine )( xxmyy n . (II.6)

Coordonata Cx a punctului C (vârful vectorului OC ) poate fi determinată din ecuaţia

(II.6) cu condiţia .0y Astfel obţinem

ymxm

yxx t

nC

. (II.7)

Deoarece punctele H( hh yx , ) şi P( yx , ) sunt situate pe aceeaşi dreaptă OHP, putem

scrie

hhhhh r

K

yx

K

y

y

x

x

2/122 )(

, (II.8)

astfel că, revenind în formula precedentă (II.7), găsim

02

2

2

2

1)( xa

bx

a

b

r

Kymx

r

Kx h

hhth

hC . (II.9)

Având în vedere că coshh rx , în care hr este dat de relaţia (6), şi ţinând cont că

ax 0 şi 2/12 )1(/ Mtgab , în cele din urmă obţinem

KxC , (II.10)

adică un rezultat independent de poziţia punctului H pe hiperbolă. BIBLIOGRAFIE [1]. J. Sivardière, Bulletin de l'Union des Physiciens, N0 751, vol. 87, p.165-193, (1993). [2]. H. Goldstein, Classical mechanics, second edition, Addison-Wesley, §12-7, p.588-596, (1980). [3]. D.M. Fradkin, Am. J. Phys., 33, p.207, (1965); Progr. Theor. Phys., 37, p. 798, (1967). [4]. L.D. Landau, E.M. Lifşitz, Mecanica, Ed. Tehnică, Bucureşti, (1966). [5]. J. Ph. Pérez, Mécanique, Masson Eds., Paris, (1992). [6]. E.V. Şpolskii, Fizica atomică, vol. I, Ed. Tehnică, Bucureşti, (1952).

Primit la redacţie: 22 iunie 2011.

20 Cercetare


CINETICA PROCESULUI DE USCARE A CĂTINII ALBE CU APORT DE ENERGIE UHF ÎN IMPULSURI

Mireca BERNIC

Universitatea Tehnică a Moldovei

Rezumat: În lucrare este studiată cinetica procesului de uscare a cătinii albe în câmp electromagnetic de înaltă frecvenţă (UHF) cu aport de energie în impulsuri. Cercetările realizate au demonstrat că la utilizarea acestei metode creşte unul din parametrii procesului de uscare – gradientul de temperatură. Ca rezultat, în comparaţie cu uscarea prin convecţie s-a obţinut o intensificare a procesului de uscare a cătinii albe cu 19,6 %, însoţită de o reducere a consumului de energie cu 21,8 %. Cuvinte cheie: uscare, cătină albă, câmp de înaltă frecvenţă, transfer de masă şi căldură, impuls. INTRODUCERE

În ultimii ani au loc reevaluări complexe ale proceselor de tratare a organismului uman. Tot mai des se trece de la tratamentul tradiţional medicamentos la utilizarea plantelor medicinale. În particular, o asemenea plantă medicinală este şi cătina albă (Hippophaёrhamnoides L), cel mai valoros component al căreia este uleiul [1]. De regulă, uleiul de cătină albă se obţine prin două metode – prin presare (la fierbinte sau la rece) şi prin extragere. Indiferent de metoda aplicată, produsul este supus în prealabil unui proces de uscare care, de regulă, este de durată şi însoţit de un consum sporit de energie. Intensificarea procesului, cu reducerea concomitentă a consumului de energie, este uşor realizabilă prin mărirea temperaturii agentului termic la uscarea prin convecţie sau a produsului la uscarea în câmp electromagnetic [2, 3]. Având în vedere faptul că această plantă, cătina albă, este caracterizată prin conţinutul bogat de acizi graşi de valoare nutritivă superioară care sunt sensibili la temperaturi înalte, această metodă de intensificare a procesului nu este dorită.

Studiul fenomenelor de transfer de masă şi de căldură a demonstrat posibilitatea reducerii duratei de uscare şi a consumului de energie prin aplicarea câmpului electromagnetic în impulsuri. Aceasta permite mărirea considerabilă a unui parametru al fenomenelor de transfer în procesul de uscare, şi anume a gradientului de temperatură (T) la temperaturi relativ joase ale produsului.

MATERIALE ŞI METODE

În lucrarea de faţă este prezentat studiul procesului de uscare a cătinii albe prin aplicarea unei surse interne de căldură – a câmpului electromagnetic de înaltă frecvență (UHF). S-a studiat aportul continuu şi periodic de energie, în impulsuri formate din perioada activă, de încălzire, şi perioada pasivă, de relaxare (lipsă de sursă de energie).

Pentru studiu a fost folosită cătina albă de soiul „Cruşinovidnaia” cu umiditatea iniţială de 89 %. Până la atingerea umidităţii de 25 % ea a fost uscată în mod tradiţional, prin convecţie, apoi cu aplicara câmpurilor electromagnetice. Aplicarea câmpului electromagnetic la umidităţi mai înalte de 25 % nu a fost posibilă din cauza conductibilităţii electrice sporite, ceea ce provoca descărcări electrice însoţite de arsuri locale ale produsului.

Procesul de uscare s-a realizat la o instalaţie de laborator care permite aportul de energie prin diferite metode: prin convecţie, în câmp de frecvenţă ultraînaltă UHF şi combinată – prin convecţie în câmp UHF. În procesul uscării, la calculator se înregistrau în regim on-line scăderea de masă măsurată cu balanţa electronică SC-132 (cap. 300 g, div. 0.01 g),

Cercetare 21


temperatura agentului de uscare măsurată cu termocuplul, temperatura în centrul stratului de produs şi la suprafaţă măsurată cu termometrul de rezistență Nc W-1.617.

În baza parametrilor înregistraţi au fost obţinute curbele de uscare, curbele vitezei de uscare, dependenţa temperaturii medii a produsului şi variaţia gradientului de temperatură ca funcţie de timp. REZULTATE ŞI DISCUŢII

În scopul determinării eficienţei aplicării câmpurilor electromagnetice în procesul de uscare a cătinii albe, a fost cercetată cinetica procesului de uscare cu aport de energie UHF atât în regim continuu, cât şi în impulsuri.

Pentru asigurarea regimului de impulsuri, au fost deduse formulele de calcul al duratei active (de aport de energie) şi pasive (de repaus) a unui impuls ca funcţie de parametrii procesului de uscare: intensitatea câmpului electromagnetic, temperatura produsului şi a mediului şi proprietăţile electrofizice şi termofizice ale acestuia [4].

MSVV

A TTQ

dcT

Q

xc

2

, (1)

ppP a

d

a

x

82

22

, (2)

undea este durata activă de aport de energie a impulsului, în s; – coeficientul de transfer de căldură, în W/m.K; – coeficientul de conductibilitate termică, în W/m.K; d – dimensiunea caracteristică a materialului, în m; QV – puterea sursei interne de căldură, W/m3; TS – temperatura suprafeţei materialului, în K; TM – temperatura mediului, în K; p – durata pasivă a impulsului, în s; d – grosimea stratului de material, în m;

pa – coeficientul difuziei molare,

în m2/s. Aportul de energie UHF în impulsuri cu parametrii calculaţi în baza formulelor 1 şi 2

permit menţinerea gradientului de temperatură la valori maxime pe toată perioada de uscare. Cinetica procesului de uscare a fost studiată la temperatura agentului de uscare de 20

OC, la care, în regim de aport continuu de energie a câmpului UHF, s-a constatat un consum minim de energie în comparaţie cu temperaturile mai înalte.

Intensitatea câmpului electromagnetic a fost calculată cu formula (3) [4]:

RRkf

TTE MC

110555.0 6

. (3)

în care TC este temperatura în centrul stratului de produs, în OC; TM – temperatura mediului, în OC; R – grosimea stratului de produs, în m.

Calculul s-a realizat astfel ca Tmax să se obţină la temperatura medie de 60OC a produsului, temperatură la care deja are loc descompunerea fermenţilor din produs, dar care este acceptabilă pentru păstrarea acidului ascorbic.

Pentru menţinerea valorilor maxime ale gradientului de temperatură în acest regim, conform formulei 3, s-a acceptat intensitatea câmpului electric de 17,8 kV/m.

În fig. 1 sunt prezentate curbele de uscare fW a cătinii albe în câmp UHF în regim de impulsuri (curba 1) şi de aport continuu de energie (curba 2). Caracterul grafic general al curbelor de uscare în impulsuri corespunde întru totul caracterului curbelor de uscare cu aport continuu de energie, cu excepţia unei mici devieri în timp. Aceasta încă o dată confirmă concluzia teoreticienilor Lîkov A.V., Ginzburg A.S.; Krasnikov V.V., Grişin M.A.

22 Cercetare


ş.a. [2, 3, 5] conform căreia caracterul curbelor în mare măsură este funcţie de structura fizico-mecanică a produsului şi de formele de legătură a umidităţii cu scheletul. Pe curbele de uscare se evidenţiază perioadele cu aport de energie UHF (panta cu unghiul mare de înclinare) şi perioadele de relaxare (panta cu unghi de înclinare redus).

Din grafic se observă că în cazul aportului de energie în impulsuri de la sursa internă, durata de uscare s-a redus cu 15,1 % în comparaţie cu aportul continuu de energie, fiind de 90,8 min.

Fig. 1. Curbele de uscare şi de temperatură ale procesului de uscare a cătinii albe cu aport de energie UHF în impulsuri (curbele 1 şi 1`) şi în regim continuu (curbele 2 şi 2`).

Pe curbele de uscare cu aport de energie UHF în impulsuri se evidenţiază unele ondulaţii (curba mărită în cerc) cu apariţia extremelor. Aceasta indică faptul că la momentul deconectării sursei de energie are loc redistribuirea formelor de rezistenţă a transferului de masă şi de căldură în direcţia reducerii acestora, ceea ce favorizează transferul de umiditate.

În aceeaşi fig. 1 este prezentată variaţia temperaturii cătinii albe pe parcursul procesului de uscare (curbele 1` şi 2`). După cum se observă din grafic, în ambele cazuri de aport de energie (regim continuu şi în impulsuri), odată cu creşterea duratei de uscare, temperatura produsului creşte până la atingerea unei oarecare valori maxime.

Valoarea maximă a temperaturii obţinute este funcţie dependentă de intensitatea câmpului electromagnetic, proprietăţile electrofizice şi termofizice ale produsului şi metoda de aport de energie. În cazul aportului continuu al energiei UHF, la intensitatea câmpului de 17,8 kV/m s-a obţinut temperatura produsului de 59,4OC (curba 2`). În cazul aportului de energie UHF în impulsuri, valoarea maximă a temperaturii a fost de 56,1OC (curba 1`).

Durata de creştere a temperaturii produsului până la valoarea maximă a constituit 34 min. În continuare, pentru ambele metode ale aportului de energie temperatura produsului s-a menţinut relativ constantă, toată energia aplicată produsului consumându-se la evaporarea umidităţii aflate în stare liberă şi depăşirii rezistenţelor la deplasarea acesteia prin capilare către straturile exterioare. Totuşi, în cazul aportului continuu de energie se observă o reducere a temperaturii cu cca 5 % (curbele 2`). Scăderea temperaturii produsului, la încălzirea continuă, este cauzată de creşterea consumului de energie la ruperea legăturilor chimice şi mecanice dintre umiditate şi scheletul produsului şi de reducerea cantităţii de căldură degajată în produs ca o consecinţă a reducerii numărului de molecule polare de apă, lucru menţionat şi în [6]. Fenomenul de scădere a temperaturii produsului în perioada a doua de uscare practic dispare la încălzirea în impulsuri. Aceasta se datorează redistribuirii uniforme a umidităţii pe

Cercetare 23


perioada de relaxare. Unul din parametrii de bază ai procesului de uscare este gradientul de temperatură. În

fig. 2 este prezentată variaţia valorii gradientului de temperatură pe parcursul procesului de uscare în cazul aportului de căldură în impulsuri (curba 1) şi continuu (curba 2).

Fig. 2. Variaţia gradientului de temperatură în procesul de uscare a cătinii albe cu aport de energie UHF în impulsuri (curba 1) şi continuu (curba 2).

Din grafic se observă că la încălzirea continuă în câmp UHF, gradientul de temperatură

pentru E = 17,8 kV/m creşte până la 6,6OC/m şi apoi scade până la cca. 0,3OC/m (curba 2). Aplicarea în impulsuri a sursei interne de căldură din momentul atingerii valorii maxime a gradientului de temperatură a permis menţinerea valorilor înalte ale acestui gradient pe tot parcursul procesului de uscare (curba 1). Astfel, dacă la aportul continuu de energie UHF viteza maximă de scădere a gradientului de temperatură a fost de 0,21OC/(m.min), apoi la aportul în impulsuri a energiei UHF – numai 0,09OC/min. Deci, gradientul de temperatură pe parcursul uscării s-a menţinut la valori de cca. 2,3 ori mai înalte.

În fig. 3 este prezentată variaţia duratei perioadei active (de aport de energie) şi a perioadei pasive (de repaus) a unui impuls de energie UHF în funcţie de durata procesului de uscare. Din grafic se observă că în cazul menţinerii intensităţii constante a câmpului (17,8 kV/m), atât durata perioadei active, cât şi durata perioadei pasive a impulsului pe parcursul uscării sunt în creştere. Cu atât mai mult, durata perioadei active creşte mai rapid în comparaţie cu durata perioadei pasive.

Creşterea duratei active (aport de energie) a impulsului pe parcursul uscării este o consecinţă a reducerii conţinutului de umiditate, deci şi a cantității de căldură degajată în unitatea de timp sub acţiunea câmpului electromagnetic. Durata pasivă (de relaxare) creşte datorită reducerii conductibilităţii termice a produsului la deshidratare [7].

Fig. 3. Variația duratei de aport de energie UHF (activ) şi de repaus (pasiv) pe parcursul unui impuls în procesul de uscare a cătinii albe cu aport de energie UHF în impulsuri.

Aplicarea energiei câmpului electromagnetic în impulsuri a permis reducerea duratei

24 Cercetare


totale de tratare termică a cătinii albe în câmp UHF de 0,84 ori sau cu 14,2 min (durata totală a tuturor perioadelor de repaus ale impulsurilor pe parcursul uscării).

În fig. 4 sunt prezentate curbele vitezei de uscare a cătinii albe cu aport de energie UHF în impulsuri (curba 1) şi continuu (curba 3). Curba 2 este funcţie de regresia curbei 1.

Fig. 3. Curbele vitezei de uscare a miezului de sâmbure de migdal: 1 - aport de energie UHF în impulsuri; 2 –regresia funcţiei 1; 3 – aport de energie UHF continuu.

Din figură se observă că curba vitezei de uscare la aplicarea energiei UHF în impulsuri

(curba 1), în medie, are aceeaşi formă ca şi curba vitezei de uscare în câmp UHF continuu, dar prezintă un caracter oscilant. Extremele maxime ale oscilaţiilor (impulsului) corespund perioadei active (de aport de energie), iar extremele minime – perioadei de repaus (de relaxare). Astfel, viteza de uscare maximă a cătinii albe în perioadele active ale aportului de energie a fost de 0,328 %/min şi în perioadele pasive de 0,218 %/min. În comparaţie cu viteza de uscare maximă în cazul aportului continuu de energie, s-a observat o creştere cu 16 % în perioadele active şi o diminuare cu 23 % în perioadele pasive.

Analiza comparativă a consumului specific de energie la uscarea produselor oleaginoase cu aport de energie UHF în impulsuri în raport cu aportul de energie continuu a arătat o reducere de la 0,553 kW/kg până la 0,452 kW/kg, ceea ce constituie 21,8 %.

Aceste reduceri ale consumului de energie sunt cauzate de reducerea duratei de uscare la aceeaşi intensitate a câmpului, de faptul că deshidratarea are loc şi în perioadele de repaus (de relaxare) prin consumul energiei cumulative şi utilizarea mai eficientă a efectelor de inerţie, precum şi de valorile înalte ale gradientului de temperatură ce reduc rezistenţele la deplasarea umidităţii prin capilare. Totodată, reducerea consumului de energie este o consecință şi a înlăturării parţiale a umidităţii de pe suprafaţa produsului în stare lichidă sub acţiunea energiei cinetice a fluxului de aer.

CONCLUZII

În urma studiului cineticii procesului de uscare a cătinii albe s-a confirmat oportunitatea aplicării sursei interne de căldură, şi anume a energiei UHF în impulsuri. Aceasta a dat posibilitate de a reduce durata de tratare termică a produsului cu 16 min (de 0,85 ori) în comparaţie cu aportul continuu de energie. Reducerea duratei de tratare termică a permis şi o diminuare considerabilă a consumului specific de energie cu 21,8 %.

Aplicarea în impulsuri a energiei UHF a permis reducerea cu 5 % a temperaturii medii a produsului la aceiaşi intensitate a câmpului de 17,8 kV/m.

Reducerea temperaturii produsului şi a duratei de tratare termică va influenţa benefic indicii calitativi ai elementelor nutritive conţinute în migdal, îndeosebi a acizilor graşi.

Cercetare 25


REFERINŢE

1. Дубровин И.И. Целебная облепиха. – М.: Яуза: Эксмо-Пресс, 2000. – 128 с. 2. Малежик И.Ф., Тарлев В.П., Лупашко А.С. Конвективно-высокочастотная

сушка косточковых фруктов. Кишинев: UTM, 2005. - 460 c. 3. Гинзбург А. С., Савина И. М. Массо-влагообменные характеристики

пищевых продуктов. Справочник. - М.: Легкая и пищевая промышленность, 1982. – 280с.

4. Bernic M. Theoretical and experimental suppositions regarding the drying process of oily products when using impulse heating sourse. / Buletinul Institutului Politehnic din Iaşi, Tomul LVI (LX) Fasc. 4B, Ed: Politehnica, Iaşi 2010, p.341-346.

5. Лыков А.В. Теория сушки. – М.: Энергия, 1968. 470 с. 6. Hughes M.K., Yanamala S., San Francisco M., Loneragan G.H., Miller M.F.,

Brashears M.M. Reduction of Multidrug-Resistant and Drug-Susceptible Salmonella in Ground Beef and Freshly Harvested Beef Briskets after Exposure to Commonly Used Industry Antimicrobial Interventions. // Journal of Food Protection, Vol. 73,1 No. 7, 2010, pp. 1231-1237 (7).

7. Hussain, A.; Li, Z.; Ramanah, D. R.; Niamnuy, C.; Raghavan, G. S. V. Microwave drying of ginger by online aroma monitoring. / Drying technology, Vol. 28 Issue 1, 2010, p. 42-48.

Primit la redacţie: 23 martie 2011.

CERCETĂRI ŞI DESCOPERIRI RECENTE IN FIZICA SUPERSIMETRIA CERCETATĂ CU ACCELERATORUL LARGE HADRON COLLIDER

Teoria supersimetriei care reuneşte câmpurile fermionic şi bosonic este considerată ca o posibilă generalizare a Modelului Standard al particulelor elementare. Cu ajutorul detectorului ATLAS de la Large Hadron Collider (LHC), a fost realizat un experiment de căutare a efectelor prezise de modelele de supersimetrie pentru coliziuni PP cu energia de 7 TeV în sistemul de coordonate al centrului de masă. Au fost cercetate procesele de transformare a particulelor, în care în starea finală pot fi prezenţi leptoni izolaţi, jeturi hadronice sau "impuls pierdut» (missing momentum), adică impulsul preluat de particulele supersimetrice cu secţiune de interacţiune foarte mică. Asemenea particule pot fi, în special, particulele de materie întunecată din Univers, care încă nu poate fi înregistrată. În experiment nu s-au înregistrat abateri de la previziunile Modelului Standard, fapt care impune noi constrângeri asupra parametrilor din modelele supersimetrice. De exemplu, într-una din variantele de supersimetrie - supergravitaţie minimă cu mase egale ale squark-ului şi gluino - masele sub 700 GeV ale squark-ului sunt excluse cu un nivel de încredere de 95%. O restricţie similară, dar fără a se specifica modelul de supersimetrie, a fost obţinută în experimentul CMS de la LHC. După rezultatele CMS, masa squark-ului trebuie să fie mai mare de 400 GeV. Este de aşteptat ca această masă să fie mai mică de câţiva TeV, pentru că în acest caz supersimetria rezolvă elegant problema corecţiilor radiative la masa bozonului Higgs. În acest caz, şansele de a găsi efectele supersimetriei la LHC sunt suficient de mari.

Sursa: Phys. Rev. Lett. 106 131802 (2011)

Selecţie şi traducere – Ştefan D. Tiron

studiul ÎmprĂŞtierii particulelor pe nuclee …sfm.asm.md/ftm/vol9nr1-2/2 cercetare.pdf · 8...

Documents