40526178 algoritmi pentru analiza retelelor geodezice

7/30/2019 40526178 Algoritmi Pentru Analiza Retelelor Geodezice

1/701

MODUL 1

FUNCIILE GEODEZIEI

Pn n urm cu cteva decenii, se considera c geodezia ocup spaiul delimitat de primadefiniie dat de Helmert geodeziei i anume: Geodezia este tiina msurrii i reprezentrii

suprafeei Pmntului. Apoi, cei implicai n acest gen de activiti au nceput s neleag caceast definiie nu reflect n totalitate rolul pe care l joac geodezia contemporan i aunceput s caute un nou cadru. Aceast cutare a culminat cu noua definiie a geodeziei, ianume: Geodezia este disciplina care se ocup cu msurarea i reprezentarea Pmntului,inclusiv a cmpului su gravitaional, ntr-un spaiu tridimensional cu variaie temporal.Ca majoritatea disciplinelor tiinifice, geodezia este mprit n sub-discipline:geodezia geometric, geodezia fizic, geodezia matematic, geodezia dinamic. Progresultiinei a dat natere, n ultimul timp, la noi destinaii precum: geodezia satelitar, geodeziainerial, geodezia maritim, geodezia spaial i chiar geodezia orizontal i vertical.Geodezia poate fi considerat ca avnd trei funcii principale i, corespunztor lor, treisubdiscipline:

poziionarea

cmpul gravitaional al pmntului variaiile temporale (n poziie precum i n cmpul gravitaional)

Poziionarea, sau determinarea poziiei unui punct, constituie aspectul geodeziei pe care lnelegem cel mai bine. Punctele pot fi poziionate individual sau ca parte a unei ntregi reelede puncte; poziiile cutate pot fi ori absolute (fa de un sistem de coordonate) ori relative(fa de alte puncte).Cunoaterea geometriei cmpului gravitaional este necesar pentru a face posibiltransformarea observaiilor geodezice realizate n spaiul fizic (afectate de fora de gravitaie)n spaiul geometric n care sunt de obicei definite poziiile.Variaiile temporale ale poziiilor i cmpului gravitaional rezult din deformrile Pmntuluii cmpului su gravitaional atribuite unui numr de cauze. n geodezie ceea ce produceaceste micri este irelevant, fie c este vorba de mareele terestre, solicitrile asupra scoareiterestre i reculul, fore tectonice sau alte fenomene, nc necunoscute. Studiul acestor cauzeaparine geofizicii, dar aspectele geometrice cad n sarcina geodeziei.Ali specialiti au mprit funcional geodezia pe baza acelorai criterii; de exemplu,Comitetul SUA pentru Geodezie arat c scopurile principale ale geodezi pot fi rezumatedup cum urmeaz: nfiinarea i ntreinerea de reele tridimensionale de control geodezic, naionale i

globale, pe Pmnt, recunoscnd aspectele legate de variaiile temporale ale acestor reele msurarea i reprezentarea fenomenelor geodinamice (micarea polilor, mareele terestre i

micarea scoarei) determinarea cmpului gravitaional al Pmntului, inclusiv variaiile temporale.

Instrumentul principal de cunoatere a lumii materiale l constituie observarea i n cadrulacesteia, msurarea. Operaia de msurare reprezint un proces experimental de obinere ainformaiei sub forma unui raport numeric, ntre valoarea mrimii fizice msurate i valoareaunei alte mrimi de acelai gen considerat drept unitate de msur.Scopul unei cercetri tiinifice const n descoperirea legilor care dirijeaz fenomenelenaturale, spre a fi puse n slujba activitii umane. Pentru aceasta, este necesar mbinareacercetrii tiinifice cu aplicaia tehnic practic, fr de care orice speculaie abstractdevine steril.


2/702

Pentru realizarea acestui deziderat, prima condiie n alegerea mrimilor fizice, nelegndprin aceasta i mrimile care intervin n tehnic i n practic, este ca ele s fie msurabile.

Informaiile, care constituie baza concret de date necesar rezolvrii problemelor geodezice,fotogrammetrice i topografice, provin din observaiile efectuate asupra unor mrimi cu carese lucreaz frecvent i care, n principal, sunt reprezentate de msurtorile de unghiuri idistane. Calitatea informaiilor obinute din aceste msurtori este funcie direct devolumul observaiilor i de precizia instrumentelor de msurat.Se impune aadar, ca pornind de la scopul pentru care sunt efectuate msurtorile s sestabileasc valorile corespunzatoare ca mrime i precizie, lund n considerare aspectuleconomic referitor la volumul strict necesar i suficient al observaiilor care se impun.Teoria erorilor de msurare sau teoria prelucrrii msurtorilor geodezice intervine cu succesi rezolv favorabil aceste aspecte.

IMPORTANA TEORIEI ERORILOR PENTRU PRACTICA MSURTORILORTERESTRE

Algoritmii de prelucrare prezint o importan deosebit pentru practica msurtorilorterestre, datorit volumului impresionant de observaii ce trebuie executate, prelucrate icompensate n vederea obinerii valorilor lor celor mai probabile, ca i pentru evaluarea ctmai corect i mai complet a preciziei.Cunoscndu-se ct mai exact mrimile erorilor medii ale fiecrui argument msurabil n parte,se poate determina eroarea medie a unei funcii de aceste argumente. n acest fel, se poaterezolva problema invers a erorilor de msurare, n cadrul creia, fa de o eroare maximimpus apriori unei funcii ce urmeaz a se determina, se va stabili nc din faza de proiect,care trebuie s fie erorile maxime cu care se vor msura pe teren argumentele componente.Aceasta d posibilitatea stabilirii preciziei optime de msurare, cu avantaje economiceimportante. Astfel, la realizarea unei reele de triangulaie, necesar ridicrilor topografice, aunei reele de microtriangulaie, necesar pentru urmrirea comportrii unei construcii etc.,studiul preciziei de determinare a poziiei punctelor reelei se face nc din faza de proiectare,

funcie de configuratia reelei i de precizia cu care se vor executa msurtorile pe teren.Acest studiu urmrete ca erorile n poziia punctelor, s se ncadreze n toleranele impuseanticipat. La sfrit, prin compararea erorilor post-compensate cu erorile stabilite anticipat, seva putea aprecia corectitudinea studiului fcut.Studiul erorilor de msurare i a algoritmilor de compensare prezint o importan cu totuldeosebit n acele domenii ale msurtorilor terestre (Geodezie, Fotogrammetrie, Topografieaplicat n construcii), n care exigenele impuse n privina preciziei sunt deosebit deridicate.Se subliniaz faptul c de fiecare dat n practica msurtorilor terestre trebuie avut n vedere

precizia optim necesar. Aceasta deoarece o precizie exagerat produce cheltuieli inutile defor de munc, de mijloace materiale i de timp, iar o precizie insuficient duce la o calitateslab a rezultatelor obinute din msurtori.

Introducerea automatizrii n prelucrarea observaiilor constituie un salt calitativ important, cuconsecine remarcabile i n domeniul msurtorilor terestre, ca i n studiul erorilor demsurare .Teoria matematic a informaiei formuleaz legile generale ale comenzii, controlului icomunicaiilor i stabilete principiile de codificare, prelucrare, pstrare i transmitere ainformaiei, asociindu-se cu tehnica de calcul automat. Aceast nou direcie constituie oetap superioar n dezvoltarea metodelor de prelucrare a rezultatelor obinute din msurtori.


3/703

1. MSURTORI EFECTUATE N REELELEGEODEZICE

Lucrrile efectuate n reelele geodezice de sprijin au ca obiectiv final determinareacoordonatelor punctelor reelei ntr-un anumit sistem de referin. Pentru a realiza acestobiectiv n reelele geodezice se efectueaz diferite msurtori, a cror natur depinde de tipuli destinaia reelei. Prin urmare, ntr-o reea dat nu pot fi ntlnite toate tipurile de msurtorigeodezice posibile.

1. Unghiuri i direcii azimutale

Unghiurile i direciile azimutale pot determina o reea de triangulaie din punct de vederegeometric. Pentru un triunghiABC, n care laturaAB este cunoscut, ar fi necesar i suficients se cunoasc unghiurile din puncteleAiB.n lucrrile de triangulaie aceast determinare reprezint un caz izolat, msurndu-se aproapentotdeauna i unghiul din punctul C (fig. 1.a). n acest fel, msurtorile unghiulare din

punctele A, B, C sunt caracterizate printr-un grad de libertate care poate fi anulat denecesitatea ca unghiurile compensate s satisfac o anumit condiie geometric.

a b c d

Fig. 1. Figuri elementare, componente ale reelelor de triangulaie

a triunghi geodezic; b patrulater geodezic; c,d poligoane cu punct central.Introducerea unor msurtori unghiulare suplimentare (fig. 1. b,c,d) conduce la crearea de noigrade de libertate n reea, reclamnd respectarea de ctre valorile compensate a unui numrcorespunztor de condiii geometrice.

2. LungimiLungimile msurate determin scara reelei de triangulaie. n acest scop ar fi strict necesarcunoaterea unei singure lungimi, orice msurtoare suplimentar conducnd, ca i n cazul

precedent, la necesitatea respectrii unei noi condiii geometrice.Lungimile din reelele de triangulaie pentru care se accept pondereap = se numesc baze

geodezice. Asemenea valori provin din msurtori precise, efectuate cu firul de invar sau cuajutorul instrumentelor electronice. Se pot introduce i valori finite pentru ponderi, urmnd cavaloarea cea mai probabil a acestor lungimi s fie determinat prin compensarea reelei de

triangulaie.Este de menionat c msurtorile de lungimi micoreaz propagarea erorilor longitudinaledin reelele de triangulaie.n reelele de triangulaie de ordin inferior lungimile pot fi calculate din coordonatele

punctelor de ordin superior existente eventual n reea i care sunt consideratepuncte vechi.

C

AB

AB

DC C

DA

B

F

E D

G

A B

C


4/704

3. Azimute astronomice

n cazul reelelor geodezice, azimutele astronomice se vor transforma n azimute geodeziceA, pe baza ecuaieiLaplace, determinnd orientarea reelei de triangulaie.Utilizarea azimutelorLaplace este specific reelelor mari de triangulaie, denumite i reeleastronomo - geodezice. Deoarece aceste reele se realizeaz cu o precizie superioar reelelorde stat, micorarea posibilelor erori de rotaie ale ntregii reele se poate realiza prin msurareaunor azimuteLaplace, la capetele reelei.Prin relaii matematice, azimutele Laplace pot fi reduse la planul de proiecie transformndu-se n orientri .n reelele de ordin inferior, orientrile pot fi calculate din coordonatele punctelor de ordinsuperior existente eventual n reea, i care sunt considerate puncte vechi.

4. Coordonate astronomice

Coordonatele astronomice , se transform n coordonate geodeziceB iL prin intermediulrelaiilor:

=B 1.1

sec=L n care:

B latitudine geodezic unghiul format de normala n punctul P cu planulecuatorului terestru

L longitudine geodezic unghiul diedru format de planul meridianuluigeodezic al punctului P cu planul meridianului geodezic al punctuluiGreenwich

latitudine astronomic unghiul format de verticala punctului P cu planulecuatorului

longitudine astronomic unghiul diedru format de planul meridianului

astronomic al punctului P cu planul meridianului astronomic Greenwich(meridian origine).Ele pot determina poziia reelei de triangulaie pe elipsoidul de referin.Coordonatele punctelor de ordin superior sunt preluate de regul ca elemente fixe la

prelucrarea reelelor de ordin inferior.

5. Unghiuri zenitale

Determinarea altitudinilor n reelele de triangulaie se realizeaz de cele mai multe ori prinmetoda nivelmentului trigonometric care presupune msurtori de unghiuri zenitale.Prelucrarea observaiilor zenitale se efectueaz, n mod obinuit, independent de prelucrareaunghiurilor azimutale i a lungimilor. n cadrul geodeziei tridimensionale, prelucrarea tuturoracestor msurtori se execut ns n bloc.

6. Diferene de nivel

Reeaua nivelmentului de stat, precum i alte reele de nivelment sunt determinate prinmsurtori de diferene de nivel. Metoda nivelmentului geometric este mult mai precis ncomparaie cu metoda nivelmentului trigonometric, ns mult mai laborioas. De aceea,metoda este puin utilizat n cadrul reelelor geodezice planimetrice (triangulaie, trilateraie),numai unde accesul la punctele geodezice prin nivelment geometric nu este prea dificil.


5/705

7. Msurtori gravimetrice

n cadrul reelelor gravimetrice se fac determinri absolute i relative ale acceleraieigravitii. Determinri relative intervin i n reelele de nivelment geometric, fiind necesare lacalculul coreciilor specifice sistemului de altitudini folosit.Dei nu n mod direct, determinrile gravimetrice intervin i n reelele de triangulaie deordin superior, la calculul componentelor astronomo-geodezice ale deviaiei verticalei

agag , , precum i al ondulaiilor cvasigeoidului necesare la reducerea observaiilor

geodezice la suprafaa elipsoidului de referin.

2. METODA PROIECTRII

Pentru aducerea punctelor reelelor existente pe suprafaa fizic a Pmntului, pe suprafaa dereferin (elipsoidul) s-au propus i folosit mai multe metode, dintre care metoda proiectriiare cea mai mare aplicabilitate.n aceast metod se procedeaz la aducerea elementelor msurate (unghiuri, direcii, lungimietc.) pe suprafaa elipsoidului, prin aplicarea unor corecii. Exist dou posibiliti n acestsens i anume:

Metoda Pizzetti, propune ca punctul P de pe suprafaa fizic a Pmntului (fig.2) s fieproiectat, mai nti, cu ajutorul verticalei V, pe suprafaa geoidului n 1P urmnd ca apoi, cuajutorul normalei 1N la elipsoid, s fie proiectat n 2P pe suprafaa elipsoidului de referin.Metoda introduce complicaii nsemnate, prin faptul c presupune cunoaterea curburilorverticalelor necesare la stabilirea coreciilor n prima etap a proiectrii i de aceea nu acunoscut pn n prezent o aplicabilitate practic deosebit.

Metoda Bruns-Helmert, propune ca punctul P de pe suprafaa fizic a Pmntului s fieproiectat nPpe suprafaa elipsoidului, direct cu ajutorul normalei 2N la aceast suprafa.Aceast metod este mult mai practic i a fost aplicat sub conducerea lui F.N.Krasovski, larealizarea triangulaiei ruseti, precum i a altor triangulaii europene.Coordonatele tuturor punctelor triangulaiei de stat din ara noastr sunt determinate prin

metoda proiectriiBruns-Helmert

.

Fig. 2. Reprezentarea punctelor prin metoda proiectrii

n Romnia, ncepnd cu anul 1930, s-a utilizat elipsoidul Hayford, iar din anul 1951 seutilizeaz elipsoidulKrasovski.

P

2

N1 N2

P1

u

P

P

N V

(S)

(G)

(E)


6/706

Dimensiunile unor elipsoizi de referin

Denumirea elipsoiduluide referin

Anuldeterminrii

Semiaxa marea[m]

Turtireanumeric f

Perioada deutilizare nRomnia

Bessel

ClarkeHayford

KrasovskiSistemul geodezic dereferin 1980

WGS 84

1841

18801909

1940

1980

1984

6377397,155

6378243,0006378388,000

6378245,000

6378137,000

6378137,000

1:299,1285

1:293,4651:297,0

1:298,3

1:298,257

1:298,257

1873-1916

1916-19301930-1951

1951-prezent

n prezent

3. REZOLVAREA PROBLEMELOR GEODEZICE PE ELIPSOIDUL DEREFERIN

3.1 REZOLVAREA TRIUNGHIURILOR ELIPSOIDICE MICI

Se presupun observaiile unghiulare i distanele msurate n reelele geodezice de sprijinreduse la suprafaa elipsoidului de referin.Pentru situaiile curent ntlnite n practica geodezic, unde distanele s < 60 km, triunghiurilegeodezice (denumite triunghiuri elipsoidice mici) sunt rezolvate ca triunghiuri sferice,considerndu-se c acestea sunt amplasate pe sfere medii Gauss de raze

iBR , unde iB sunt

latitudinile geodezice ale centrelor de greutate ale triunghiurilor respective. n asemeneacazuri, nu se apeleaz la utilizarea direct a formulelor trigonometriei sferice, ci se aplicmetode de calcul specifice geodeziei.

3.2 EXCESUL SFERIC

Suma unghiurilor ,, ntr-un triunghi sferic (presupuse ca neafectate de erori de

msurare) este ntotdeauna mai mare dect g200 .Diferena rezultat este denumit exces sferic:

g200++= 1.2

ntre unghiurile msurate i reduse pe suprafaa elipsoidului de referin notate 000 ,, i unghiurile compensate prin metoda celor mai mici ptrate, ,,, exist relaiile:

v+=0 ; v+=

0 ; v+=0 1.3

n care cu vvv ,, s-au notat coreciile obinute din compensare, pe baza unor ecuaii de

condiie de forma:0=+++ wvvv 1.4

Astfel, suma unghiurilor msurate i reduse pe elipsoid difer fa de g200 nu numai prinexcesul sferic, ci i printr-o cantitate w , datorit erorilor de msurare:

wg +=++ 200000 1.5Cnd se rezolv triunghiuri izolate (ceea ce intervine rar n practica geodezic) se consider:

3/wvvv === 1.6


7/707

A

B

B'

A'

C'

C

c

b

a

a

g

b

ceea ce nu este posibil n cazul compensrii riguroase a unei reele geodezice.n ambele situaii este necesar cunoaterea excesului sferic pentru a se putea efectuacalculele de compensare i de rezolvare a triunghiurilor geodezice.n figura 3 se observ c suprafeele fusurilor sferice ( ),AA ( )BB i ( )CC corespunztoareunghiurilor ,, considerate, se pot exprima n funcie de suprafaa triunghiului sfericABC, notat S:

Fig. 3. Excesul sferic

( ) 'BCASAA += ; ( ) ;'ACBSBB += ( ) 'ABCSCC += astfel nct, prin adunarea celor trei relaii:

( ) ( ) ( ) ( )22 223 RSSRSCCBBAA +=+=++ 1.7Pe de alt parte:

( ) 24400

RA

AAg

g

= ; ( ) 24400

RB

BBg

g

= ; ( ) 24400

RC

CCg

g

=

adic:

( ) ( ) ( ) ( )gggg

CBAR

CCBBAA ++=++200

2 21.8

Unde, ( )ggg CBA ++ ( )ggg ++ .Prin egalarea relaiilor (1.7) i (1.8) se obine:

( )SCBAR ggggg 24002002 2 +=++ ,

i dac se noteaz cu expresia din parantez, iar cu cc /0000200 cc= , atunci se vaobine expresia de calcul pentru excesul sferic:

cccc

R

S

2= 1.9

Pentru calcule n triunghiuri geodezice mici, suprafaa sferic Sse poate nlocui cu suprafaatriunghiului plan ''' CBA corespondent, notat S:

S

O


8/708

2

'''

2

'''

2

'''

2

'

2

sin

2

sin

2

sin

R

Acb

R

Bca

R

Cba

R

S cccccccccc === , 1.10

unde ''' ,, CBA (respectiv ''' ,, din figur) sunt unghiurile triunghiului plan.Ceea ce trebuie reinut este faptul c ntr-un triunghi elipsoidic mic ntotdeauna sumaunghiurilor este 200g plus excesul sferic.

Observaie:Din tabelele elipsoidului de referin Krasovski se poate extrage coeficientul:

2

"

2Rf

= , 1.11

valabil pentru gradaia sexagesimal, n funcie de latitudinea medie a vrfurilor triunghiuluiABC, astfel c:

'''" sinsinsin fbcfacfab == 1.12Pentru laturi mai mari de 60 km, excesul sferic se poate calcula cu formula (Bagratuni 1962,

Jordan 1958):

+=

2

2

2

'

8

1""

R

m

R

S 1.13

unde cu 2m s-a notat:

3

2222 cbam

++= 1.14

Exemplificri referitoare la ordinul de mrime pe care l poate avea excesul sferic n funciede lungimea laturii s sunt prezentate n tabelul 1.n acelai tabel se pot urmri modificrile aduse de formula (1.13) asupra formulei (1.10)

pentru cazul triunghiurilor geodezice cu laturi mai mari de 60 km. S-au avut n vederetriunghiuri echilaterale iar latitudinea medie a vrfurilor triunghiurilor a fost considerat 046 .

3.3 REZOLVAREA TRIUNGHIURILOR GEODEZICE MICI CU METODA

LEGENDREUna din metodele cele mai folosite pentru rezolvarea triunghiurilor geodezice mici se bazeaz

pe utilizarea teoremei Legendre (sau metoda dezvoltrilor n serie), publicat de acesta n anul1787:

Un triunghi sferic mic se poate rezolva ca un triunghi plan, dac se pstreaz egalitatealaturilor celor dou triunghiuri, iar unghiurile triunghiului plan se obin prin micorarea

fiecrui unghi sferic cu cte o treime din excesul sferic.Pentru demonstrarea acestei teoreme se scrie formula cosinusului n triunghiul sferic ABC(fig.4):

aRa_ _'=

B

R'c= c_ _

R

A

'

B 'C

' _ _b=bR

'

c

C 'a

b

'

A '

Fig.4. Teorema Legendre

cossinsincoscoscosR

c

R

b

R

c

R

b

R

a+= , 1.15


9/709

care poate fi dezvoltat n serie folosind relaii de forma:

.....;242

1cos42

++=xx

x .....,6

sin3

+=x

xx 1.16

obinndu-se:

bcR

cbcabacba

bc

cba2

222222444222

24

222

2

cos++

+++

= 1.17

n triunghiul plan ''' CBA , cu unghiurile ''' ,, i aceleai laturi cba ,, rezult din teoremaPitagora generalizat:

bc

acb

2cos

222' += 1.18

i ca urmare:

22

222222444'2

4

222sin

cb

cbcabacba ++= 1.19

Din ultimele trei relaii rezult:

'22

' sin6

coscos R

bc= 1.20

Din egalitatea: ( )'' += se obine prin dezvoltare n serie:

( ) ''' sincoscos , 1.21adic:

( )' '

'2 2

sin 1

6 3 3

cccc cc ccbc S

R R

= = 1.22

Relaii similare se pot obine i pentru diferenele '' ; , ceea ce constituiedemonstraia teoremeiLegendre.Aproximaiile generate de dezvoltrile n serie (1.16), (1.21), (1.22), limiteaz domeniul de

aplicabilitate a rezolvrilor triunghiurilor geodezice cu teorema Legendre pn la distanekms 60< .Deci, etapele care trebuie s fie urmrite pentru a putea rezolva un triunghi elipsoidic mic prinmetoda Legendre constau n:

calculul excesului sferic cu una dintre relaiile (10) compensarea unghiurilor n triunghiul elipsoidic mic prin calcularea nenchiderii i

repartizarea ei, n mod egal, celor trei unghiuri calculul unghiurilor n triunghiul plan prin corectarea celor de pe elipsoid cu o treime

din excesul sferic calculul celorlalte laturi n triunghiul plan care, conform teoremei, sunt egale cu cele

din triunghiul sferic

Un exemplu de rezolvare a triunghiurilor geodezice cu teorema Legendre se prezint ntabelul 5.2.


10/70

10

Tabelul1

Tabelul2

Calculul

excesuluisferic

Vrful

Unghiulmsurat

ireduspe

elipsoid

[gccc]

Corecia3/

[cc]

Unghiul

compensatn

triunghiul

elipsoidicmic

[gccc]

3

[cc]

Unghiul

compensat

n

triunghiul

plan

[gccc]

Sinusul

unghiuluin

triunghiul

plan

Lung

imea

latur

iin

triunghiurile

plani

elipsoidic

mic

[m]

Denumirea

laturii

a=28597,567m

B=

'

0

34,

44

f=25,354

10

10

612

,

3cc

=

A BC

917842,661

584551,130

497613,328

-1,169

-1,169

-1,169

917841,492

584549,961

497612,159

-1,204

-1,204

-1,204

91

7840,288

58

4548,757

49

7610,955

0,99168380

0,79451413

0,70444825

28597,567

22911,709

20314,445

ab c

2000007,119

119

,

7cc

=

+

-3,507

2000003,612

-3,612

20

00000,00

Modulul=

m

a

3844

,

28837

sin/

'=

Primultabelexemplificvalorileexcesuluisfericfunciede

lungimealaturii.

Aldoileatabelreprezint

unexempluderezolvareatriungh

iurilorgeodezicecuTeoremaLegendre.

Cuform

ula(5.9

)

Cufor

mula(5.1

2)

Lungimea

laturii(s)km

10

20

30

40

50

60

80

100

150

80

100

150

Excesul

Sferic

"

0,219

0,878

1,976

3,5119

5

,4873

7,9018

14,04762

21

,94941

49,38618

14,04790

21

,95003

49,38959

10


11/7011

3.4 REZOLVAREA TRIUNGHIURILOR GEODEZICE MICI CU METODAADITAMENTELOR (Soldner)

Cu metoda aditamentelor, introdus de J.G. Soldnern anul 1810, un triunghi geodezic micoarecare (aproximat ca triunghi sferic) se rezolv prin intermediul unui triunghi plan, ale cruiunghiuri sunt egale cu unghiurile triunghiului geodezic (reduse pe elipsoid) modificndu-se

ns laturile acestuia din urm.Metoda aditamentelor a cunoscut o mai mic aplicabilitate n comparaie cu metodaLegendre,ns situaia s-a schimbat ca urmare a posibilitilor actuale de msurare direct a distanelorn reelele geodezice de sprijin.Din teorema sinusurilor, n triunghiurile sferic ABC i plan ''' CBA , format n modulmenionat mai nainte, rezult (fig. 5):

' c__=c

' bb __=R

A

'

R

R

c''

C

R__aa''=

A' b''

C'

a''

B B'

Fig.5. Teorema Soldner

R

bR

a

sin

sin

sin

sin=

, respectiv

'

'

sin

sin

b

a=

, 1.23

de unde:

....6

.....6

2

3

2

3

'

'

+

+

=

R

bb

R

aa

b

a1.24

Aceast ecuaie este ndeplinit numai atunci cnd:

2

3'

6R

aaa = i

2

3'

6R

bbb = , 1.25

sau n general:

2

3'

6R

sss = , 1.26

Mrimea:

2

3

6R

sAs = 1.27

cu care trebuie modificat latura s din triunghiul sferic pentru a se obine lungimeacorespondent 's n triunghiul plan intermediar se numete aditament liniar.Se poate demonstra c pentru calculul aditamentelor n cazul triunghiurilor geodezice mici( )kms 60< , este suficient s se utilizeze o valoare medie pentru curbura total 2/1 RK= ,


12/7012

pentru teritorii care acoper 05 n latitudine spre nord i spre sud (aproximativ 1000 km ntotal pe direcia nord sud). Astfel, pentru ara noastr se poate considera:

,9573786046 mRR == pentru care15

2100959,4

6

1 =R

1.28

n cazul unor distane s mai mari de 60 km se poate extinde dezvoltarea n serie iniial,astfel nct:

............1206 4

5

2

3' +=

R

s

R

sss 1.29

Termenii corectivi introdui n ultimele relaii nu aduc contribuii eseniale, aa cum rezult idin tabelul 3.

Deci, etapele care trebuie urmrite pentru rezolvarea triunghiurilor elipsoidice mici prinmetoda aditamentelor constau n:

calculul excesului sferic cu una din relaiile (10) compensarea unghiurilor n triunghiul elipsoidic mic prin calcularea nenchiderii i

repartizarea ei n mod egal celor trei unghiuri:

( ) ( )* * *

* * *

200

/ 3 ; / 3 ; / 3

gw A B C

A A w B B w C C w

= + + +

= = =

unde, cu * , *B , *C s-au notat valorile unghiurilor reduse pe suprafaa elipsoidului dereferin.

calculul aditamentului liniar al laturii a i apoi a valorii n triunghiul plan calculul celorlalte dou laturi ale triunghiului plan cu aceste valori calculate se determin aditamentele liniare ale celorlalte dou laturi i

apoi mrimea lor n triunghiul elipsoidic mic

Pentru exemplificarea rezolvrii unui triunghi geodezic mic cu metoda aditamentelor s-areluat exemplul din tabelul 2, calculele efectundu-se n tabelul 4.


13/70

13

Tabelul3

Tabelul4

Calcululexcesului

sfericial

aditamentelor

Vrful

Unghiul

msurati

reduspe

elipsoid

[

]

cc

cg

Corecia3/

[

]

cc

Unghiul

compensatn

triunghiul

elipsoidicmic

[

]

cc

cg

Sinusul

unghiuluin

triunghiul

elipsoidicmic

Laturan

triunghiul

plan

[

]

m

Aditamentul

[

]

m

Laturan

triunghiul

elip

soidic

m

ic[

]

m

Latura

m

a

567

,

597

28

=

'

034

44

=

B

10

"

10

354

,25

=

f

612

,3=

cc

m

Aa

0958

,0=

ABC

917842,6

61

584551,1

30

497613,3

28

-1,1

69

-1,1

69

-1,1

69

917847,4

92

584549,9

61

497612,1

59

0,9

9168405

0,7

9451528

0,7

0444959

28597,4

710

22911,6

599

20314,4

106

0,0

958

0,0

493

0,0

344

28597,5

67

22911,7

09

20314,4

45

ab c

m

Ab

0493

,0=

m

Ac

0344

,0=

2000007,1

19

119

,

7cc

=

+

-3,5

07

2000003,6

12

Modul=

2807

,

837

28

sin/

'

'

=

a

Cuform

ula(5.2

6)

Cuform

ula(5.2

8)

Lungimea

laturii

km

s

10

20

30

40

50

60

80

100

150

80

10

0

150

Aditament

liniar

[

]

mm

4,1

32,8

110,6

262,1

512,0

884,7

2097,1

40

95,9

13823,6

2097,1

4095,9

13823,2

13


14/7014

4. REELE DE SPRIJIN PLANIMETRICE

1. Reeaua geodezic de stat

2. Reeaua de triangulaie local

3. Reeaua de ridicare

1. Reeaua geodezic de stat

Reeaua geodezic de stat este constituit din puncte de triangulaie geodezic de patru ordinei din puncte de poligonometrie. Aceast reea se prezint sub forma unei reele compacte detriunghiuri combinate cu patrulatere cu ambele diagonale observate, avnd scopul tiinific

principal de stabilire a formei i dimensiunilor elipsoidului pmntesc. Pe lng acest scoptiinific, valabil ntotdeauna, ea ajut evoluia tehnic, astfel nct:a) servete ca osatur a hrii Romniei la scar mic;

b) servete ca baz de pornire pentru executarea planurilor cadastrale la scar medie;c) st la baza reelelor de sprijin locale i de ridicare pentru planuri la scri mari pentru toatelucrrile de urbanism, drumuri, ci ferate, ci navigabile, baraje, canale de irigaii, etc.;d) servete la calculul orientrii tunelurilor i galeriilor.Dezvoltarea general a impus necesitatea unor planuri la scri din ce n ce mai mari, carenecesit reele de sprijin din ce n ce mai precise.Reeaua de triangulaie a Romniei, conform instruciunilor din 1962, are patru ordine,realiznd o densitate medie de 1 punct / 20 km.a)Reeaua de ordinul I are punctele dispuse n vrfurile unor triunghiuri, pe ct posibilechilaterale, asigurnd o lungime a laturilor n medie de 25 km n regiunile de munte i 20 kmn regiunile de es, densitatea obinut fiind de 1 punct / 500 km. n interiorul fiecruitriunghi de ordinul I se introduc punctele de ordinul II, n mod obinuit trei puncte, laturiletriunghiurilor de ordinul II fiind circa din cele ale triunghiului de ordinul I.b) Reeaua de ordinul IIare punctele dispuse n vrfurile unor triunghiuri cu laturile de 13km i asigur o densitate de 1 punct / 150 km.

c) Reeaua de ordinul III se obine prin ndesirea punctelor n aa fel nct n interiorulfiecrui triunghi de ordinul II s avem circa trei puncte de ordinul III. n cazul reelei detriangulaie de ordinul III, laturile triunghiurilor sunt de 8 km i asigur o densitate de 1 punct/ 50 km. Coordonatele acestor puncte se determin legndu-se de puncte de ordinul II sau deordinul II i I.d) Reeaua de ordinul IV se obine introducnd n interiorul triunghiurilor de ordinul III,

punctele de ordinul IV astfel nct distana ntre acestea s fie de circa 4 km iar densitatea lorde 1 punct / 20 km. Densitatea de 1 punct / 20 km este cu totul insuficient pentru a putearidica suprafeele topografice. Pentru a ne putea apropia ct mai mult de punctele de detaliu ia putea face ridicarea suprafeelor ct mai fidel, se impune mrirea numrului de puncte.Pentru aceasta se realizeaz reele de triangulaie local i reele de ridicare.

2. Reeaua de triangulaie local

Pe suprafee topografice care nu depesc cteva sute de km, unde nu exist reea geodezicde stat, sau aceasta nu este folosibil din punct de vedere al densitii, se realizeaz otriangulaie local. Prin metoda triangulaiei locale se determin coordonatele unui numr de

puncte prin intermediul reelei de triunghiuri ale cror vrfuri sunt materializate n teren.Distana dintre puncte este cuprins ntre 0,5 i 3 km. Forma reelei de triangulaie este funciede forma suprafeei pe care o avem de ridicat, putnd avea dup caz reea de triunghiuriformnd un poligon cu punct central, patrulater cu vize pe ambele diagonale, lan de


15/7015

triunghiuri, lan de patrulatere sau o combinaie ntre acestea. n cazul suprafeelor cu uncontur circular se alctuiete o reea n form de poligon cu punct central (fig.6), n care se

msoar toate unghiurile i o baz (AB =B1); pe baza acestor elemente msurate, care vor ficompensate, se vor calcula orientrile laturilor i coordonatele punctelor.

2

4

F

IV

4

E

A

V

5

5

1

5

1

4

D

3

3 III

23

1

I 2

B

II C

Fig. 6. Poligon cu punct central

n cazul n care suprafaa pe care o avem de ridicat este mult mai lung dect lat, se va folosipatrulaterul cu ambele diagonale vizate (fig.7), lanul de triunghiuri (fig.8) sau o combinaiedintre acestea.

Fig. 7. Patrulater Fig. 8. Lan de triunghiuri

cu diagonale vizate

i n aceste forme de reele se vor msura toate unghiurile, msurarea unei singure bazenemaifiind suficient, deoarece nu se poate face nchiderea tot pe baza de pornire. Pentruaceasta se va mai msura cel puin o baz de nchidere (B 2). Dac lanul de triunghiuri estefoarte lung, se obinuiete ca dup fiecare 10 - 15 triunghiuri s fie msurat o baz denchidere.O triangulaie local, indiferent de forma acesteia, necesit urmtoarele operaii principale :a) Operaii preliminariicare constau din:- ntocmirea proiectului reelei pe o hart topografic;- recunoaterea terenului pe care urmeaz s fie executat aceast triangulaie local;- definitivarea proiectului de triangulaie n conformitate cu situaia din teren;- marcarea i semnalizarea punctelor reelei de triangulaie.b)Efectuarea msurtorilorcare const din:

- msurarea tuturor unghiurilor;- msurarea unei baze sau a unor baze de triangulaie;- determinarea orientrii bazei de pornire sau a unei laturi din reeaua de triangulaie, orientarecare se poate determina prin metode astronomice sau magnetice.c) Calculul triangulaieicare const din:- compensarea elementelor msurate;- calculul laturilor reelei de triangulaie;- calculul orientrii laturilor;- calculul coordonatelor punctelor de triangulaie.

CB

2D

2 43

IV4

A

II11

C

14

3

D4

A1 1

I2

3

III

E3

4

B2 2

3

B1 B2

F


16/7016

3. Reeaua de ridicarePrin punctele reelei geodezice de stat i din triangulaiile locale, se ajunge la o densitate aacestora mult prea mic pentru a constitui o reea de sprijin pentru ridicarea detaliilor nvederea ntocmirii de planuri la scri mari (1:5000, 1:2000, 1:1000, 1:500). De asemenea, prinreelele locale de triangulaie se ajunge la puncte situate la o distan de 0,5 - 3 km, mult preandeprtate ntre ele pentru a putea face ridicarea detaliilor. Pentru a ridica punctele de detaliu,

trebuie s crem n teren puncte de sprijin situate la o distan de 100 - 250 m. Mrireanumrului de puncte prin metoda triangulaiei nu este potrivit, deoarece s-ar producecheltuieli i munc inutil pe de o parte, iar pe de alt parte, n majoritatea cazurilor, nicinatura terenului nu ar permite acest lucru datorit acoperirii cu diferite detalii i a reliefuluiacestuia.Prin reeaua de ridicare se nelege reeaua creat n scopul asigurrii numrului de punctenecesare ridicrilor topografice; ea este alctuit din puncte de: intersecie nainte, napoi,lateral i drumuire care se sprijin n determinarea lor pe puncte din reelele determinateanterior. Densitatea reelei de ridicare se stabilete n raport cu scopul lucrrilor i scara deredactare a planurilor topografice, conform instruciunilor tehnice de lucru.


17/7017

MODUL 2

5. ALGORITMI PENTRU COMPENSAREA MSURTORILOR INDIRECTE

La acest tip de msurtori, valoarea mrimilor pe care dorim s le determinm se obine prinintermediul altor mrimi msurate direct, mrimile msurate direct i cele de determinat fiindfuncional dependente ntre ele.

Cazul general:

Se consider 00201 ,....., nMMM ca valori medii ale unor mrimi determinate direct (rezultate din

msurtori directe), iar hxxx ,....., 21 , mrimi ce urmeaz a fi determinate indirect.

Presupunem de asemenea c relaia dintre aceste 2 tipuri de mrimi este exprimat de:( )hiii xxxFvM .....,,, 21

0 =+ 5.1

ni ,.....2,1= i hn > Relaia hn > (adic numrul ecuaiilor s fie mai mare dect numrul necunoscutelor) se

impune n vederea depistrii eventualelor greeli ct i pentru mrirea preciziei. Problemacare se pune este, ca din sistemul (5.1) s se deduc cele mai bune valori hxxx ,....., 21 .

Dac msurtorile 0iM ar fi perfecte (neafectate de erori), acest sistem s-ar prezenta sub

forma:( )hii XXXFM .....,,, 21

0 = 5.2

ni ,.....2,1= ; hn > Acest sistem ar fi compatibil i rezolvabil n raport cu necunoscutele hxxx .....,,, 21 , deci,

operaiile de msurare s-ar reduce la attea msurtori cte necunoscute sunt. n practic ns,msurtorile de orice natur sunt afectate n mod inerent de erori.Datorit acestor erori de msurare, sistemul (5.2) este incompatibil, de aceea mrimilormsurate direct trebuie s li se aplice nite corecii

iv , astfel ca sistemul s devin compatibil

n raport cu necunoscutele hxxx .....,,, 21 .

Valorile cele mai probabile ale coreciilor se determin aplicnd metoda celor mai miciptrate. Deci, mrimile iv reprezint coreciile ce trebuiesc aplicate mrimilor msurate

direct, pentru a fi satisfcute toate ecuaiile de tipul (5.1) ce pot fi ntocmite pentru rezolvareaunei anumite probleme.

Metoda celor mai mici ptrate se ocup deci cu compensarea erorilor de msurare,determinndu-se valorile cele mai probabile pentru mrimile msurate, ct i erorile medii lacare ne putem atepta.Determinarea acestor valori probabile este condiionat de minimul sumei ptratelor erorilorluate fa de o mrime de referin (M).

5.1 LINIARIZAREA ECUAIILORn majoritatea cazurilor funciile Fi din relaia (5.1) nu sunt liniare, compensarea fiind foartegreoaie. Pentru uurarea calculelor de compensare, aceste ecuaii se aproximeaz cu niteecuaii liniare, obinute prin dezvoltare n serie Taylor, n vecintatea unor valori 0ix ,

apropiate de cele adevrate.Valorile probabile ale necunoscutelor vor fi n acest caz:

iii xXX +=0 5.3


18/7018

unde, ni .....,,2,1= i ix reprezint corecii ce urmeaz a fi determinate n procesul de

compensare i apoi adugate valorilor aproximative 0iX n vederea obinerii valorilor celor

mai probabile ale mrimilor cutate, iX .

Aceste corecii ns, trebuie s fie suficient de mici, astfel nct n dezvoltarea n serie Taylors putem neglija termenii de ordinul II i mai mari.

Introducnd relaia (5.3) n (5.1) obinem:hhiii xXxXxXFvM +++=+

02

021

01

0 .....,,, 5.4

Deci, corecia va avea valoarea:

( ) 00202101 .....,,, ihhii MxXxXxXFv +++= 5.5Dezvoltnd aceast expresie n serie Taylor i neglijnd termenii de ordinul II i superiori,rezult:

( ) 000201 .....,,, ihii MXXXFv +

+ hh

iii xx

Fx

x

Fx

x

F

++

+

0

2

021

01

....

5.6

( ni .....,,2,1= )Pentru simplificarea calculelor se fac urmtoarele notaii:

ii a

x

F=

01

i

i bx

F=

02

.. . i

h

i hx

F=

0

5.7

iihhi lMxXxXxXF =+++00

2021

01 .....,,,

Cu aceste notaii expresia (5.6) devine:

ihiiii lxhxbxav +++= .....21 5.8

( ni ,.....2,1= ; hn > )Aceast relaie poart denumirea de sistemul liniar al ecuaiilor de corecii.

Observaii: Fiecare msurtoare genereaz cte o ecuaie de corecie. Din expresiile coeficienilor i a termenului liber (5.7) se observ c mrimea

msurat direct 0iM , deci cea care este afectat de erori intervine numai n termenul

liber.Rezult deci, c eroarea unei ecuaii de corecii este egal cu eroarea termenului liber, iarcoeficienii iii hba .....,,, se consider constante lipsite de erori.

Dac mrimile msurate direct 0iM sunt determinate cu aceeai precizie, atunci iecuaiile sistemului liniar vor fi de aceeai precizie.

Sistemul liniar poate fi nmulit cu aceeai constant, rezultatul final rmnndneschimbat. n cazul n care ecuaiile sistemului liniar ar fi nmulite cu constantediferite, s-ar modifica i ponderile n mod diferit.

Sistemele ponderate (de precizii diferite) pot fi reduse la sisteme neponderate, dac

fiecare ecuaie se multiplic cu pi , adic:

iihiiiiiiiii plxphxpbxpapvv ++++== ....21 5.9


19/7019

Acest nou sistem poart denumirea de sistem de ecuaii omogenizate i au toateponderea egal cu 1.

Din expresia termenului liber (5.7) rezult regula practic de calcul a acestuia:( ) iihhi lMxxxXxXF =+++ 00202101 .....,,, 5.10

Termenul liber = valoare calculat - valoare msurat

5.2 NORMALIZAREA ECUAIILOR5.2.1 Compensarea msurtorilor indirecte de aceeai precizie

Din sistemul liniar al ecuaiilor de corecii dat de (5.8) n care presupunem c toate ecuaiileau aceeai pondere, valorile cele mai probabile ale coreciilor se deduc utiliznd metoda celormai mici ptrate, adic:

[ ]vv =min. 5.11Dac n acest sistem nlocuim valorile coreciilor iv obinem:

[ ] +++++=+++= 211211122

221 )...(.... lxhxbxavvvvv hn

++++++ 2222212 )...( lxhxbxa h + .. + + ( ) =++++ 221 ... nhnnn lxhxbxa minim

Aceasta reprezint o funcie de x , adic:[ ] ( )hxxxFvv ....,, ,21= 5.12

Pentru determinarea minimului acestei funcii de mai multe variabile, trebuie ca derivatelepariale de ordinul nti ale funciei n raport cu fiecare din necunoscute s fie zero.Efectund aceste derivate obinem:

+++++= )....(211211111

lxhxbxaax

F

h

+ +++++ )....(2 2222122 lxhxbxaa h 5.13+....++ 0)....(2 21 =++++ nhnnnn lxhxbxaa

sau: [ ] 0=av 5.14

+++++= )....(2 11211112

lxhxbxabx

Fh

++++++ )....(2 2222122 lxhxbxab h 5.15+...+

+ 0)....(2 21 =++++ nhnnnn lxhxbxab sau: [ ] 0=bv 5.16

Analog se calculeaz i celelalte derivate, ultima fiind:


20/7020

+++++= )....(2 1121111 lxhxbxahxF

hh

++++++ )....(2 2222112 lxhxbxah h 5.17+....+

0)....(2 21 =+++++ nhnnnn lxhxbxah

sau: [ ] 0=hv 5.18Anularea derivatelor pariale de ordinul nti determin punctele staionare ale unei funciicare sunt n acelai timp puncte de minim, adic derivata de ordinul II este pozitiv.Efectund calculele n (5.13), (5.15), (5.17) i trecnd la notaiile Gauss, obinem:

[ ] [ ] [ ] [ ][ ] [ ] [ ] [ ]

[ ] [ ] [ ] [ ] 0...............................................................

0....

0....

21

21

21

=++++

=++++

=++++

hlxhhxbhxah

blxbhxbbxab

alxahxabxaa

h

h

h

5.19

Sistemul (5.19) poart denumirea de sistem normal al coreciilor.Matricea coeficienilor acestui sistem este simetric, deci nesingular. Rezult c sistemul

admite soluie care este unic.Prin rezolvarea acestui sistem, se determin coreciile ix care aplicate valorilor apropiate

0iX

dau valorile cele mai probabile ale necunoscutelor:

iii xXX +=0 5.20

De asemenea, cu ajutorul coreciilor ix se pot deduce i valorile iv ce vor fi aplicate mrimilor

msurate 0iM :

ihiiii lxhxbxav ++++= ....21 5.21

Determinarea practic a coeficienilor i a termenilor liberi ai ecuaiilor normale se face ntabele intermediare de forma:

1.Tabelul coeficienilor ecuaiilor de coreciiNr.crt.

ai bi .. hi li Si Control

1 a1 b1 h1 l1 S1 S1 = a1+ b1++h1+ l1

2 a2 b2 h2 l2 S2 n a n b n h n ln Sn Sn= an+ bn+..+

hn+ ln

[a] [b] [h] [l][S]

1 1=[a]+ [b]

+..+ [h]+ [l]


21/7021

2.Tabelul coeficienilor ecuaiilor normale

[aa] [ab] [ah] [al] [aS]Control :[aS] =[aa] + [ab]++[ah]+ [al]

[bb] [bh] [bl] [bS]

[bS] = [ab] +

[bb]++[bh]+[bl]

. . .........

[hh] [hl] [hS][hS] = [ah] +[bh]+ ...+ [hh] +[hl]

[ll] [lS] control

5.2.2 Compensarea msurtorilor indirecte ponderate

n sistemul liniar al ecuaiilor de corecii (5.7) presupunem c ecuaiile au precizii diferitedeci, ponderi diferite.Valorile cele mai probabile ale coreciilor n acest caz se obin utiliznd de asemenea metodacelor mai mici ptrate, adic:

[ ]pvv = min. 5.22

Dac n acest caz nlocuim valorile coreciilor iv obinem:

[ ] +++++=+++= 2112111122

22211 )...(.... lxhxbxapvpvpvppvv hnn

++++++

2

2222122 )...( lxhxbxap h 5.23+..+

+ ( ) =++++ 221 ... nhnnnn lxhxbxap minim

i n aceast situaie relaia (5.23) reprezint o funcie de , adic:[ ] ( )hxxxFpvv ....,, ,21= 5.24

Pentru determinarea minimului acestei funcii de mai multe variabile, trebuie ca derivatelepariale de ordinul nti ale funciei n raport cu necunoscutele s fie zero. Efectund acestederivate obinem:

+++++= )....(2 112111111

lxhxbxaapx

Fh

++++++ )....(2 22221222 lxhxbxaap h 5.25+...+

0)....(2 21 =+++++ nhnnnnn lxhxbxaap

sau: [ ] 0=pav 5.26


22/7022

+++++= )....(2 112111112

lxhxbxabpx

Fh

++++++ )....(2 22221222 lxhxbxabp h 5.27+.+

0)....(2 21 =+++++ nhnnnnn lxhxbxabp

sau: [ ] 0=pbv 5.28

Analog se calculeaz i celelalte derivate, obinndu-se:

+++++= )....(2 11211111 lxhxbxahpxF

hh

++++++ )....(2 22221222 lxhxbxahp h 5.29+..+

0)....(2 21 =+++++ nhnnnnn lxhxbxahp

sau: [ ] 0=phv 5.30

Efectund calculele n (5.25), (5.27), (5.29) i trecnd la notaiile Gauss, rezult:[ ] [ ] [ ] [ ][ ] [ ] [ ] [ ]

[ ] [ ] [ ] [ ] 0......................................................

0....

0....

21

21

21

=++++

=++++

=++++

phlxphhxpbhxpah

pblxpbhxpbbxpab

palxpahxpabxpaa

h

h

h

5.31

Sistemul (5.31) poart denumirea de sistem normal al coreciilor n cazul msurtorilorindirecte ponderate.

Prin rezolvarea acestui sistem, se determin aceleai corecii ix care, aplicate valorilor

apropiate 0iX ne dau valorile cele mai probabile ale necunoscutelor:

iii xXX +=0 5.32

De asemenea, cu ajutorul coreciilor ix se pot deduce ulterior valorile iv ce vor fi aplicate

mrimilor msurate 0iM :

ihiiii lxhxbxav ++++= ....21 5.33

Determinarea practic a coeficienilor i termenilor liberi ai ecuaiilor normale se face ntabele asemntoare celor de la msurtorile indirecte de aceeai precizie, i anume:

1.Tabelul coeficienilor ecuaiilor de corecieNr. crt. pi ai bi hi li Si Control

1 p1 a1 b1 h1 l1 S1 S1 = a1+ b1+..+ h1+ l12 p2 a2 b2 h2 l2 S2 n pn a n b n h n ln Sn Sn= an+ bn+..+ hn+ ln

- [a] [b] [h] [l][S]

1 1=[a]+ [b]+..+ [h]+ [l]


23/7023

2.Tabelul coeficienilor ecuaiilor normale:

[paa] [pab] . [pah] [pal] [paS]

Control: [paS] = [paa]+ [pab]

++ [pah]+[pal]

[pbb] . [pbh] [pbl] [pbS][pbS] = [pab] + [pbb]+ + [pbh] + [pbl]

[phh] [phl] [phS][phS] = [pah] + [pbh]+ ...+ [phh] + [phl]

[pll] [plS] control

5.3 REZOLVAREA SISTEMELOR DE ECUAII NORMALEMetodele de rezolvare a sistemelor liniare se mpart n dou grupe:1.Metode exacte, care dau un algoritm finit pentru calculul soluiei (exemplu: regula luiCramer, metoda eliminrii succesive a lui Gauss).2.Metode iterative, care permit gsirea soluiei cu o eroare orict de mic dar nenul printr-un

proces unic numit proces de iteraie.Metodele iterative sunt simple i comode n cazul n care se folosesc calculatoareleelectronice.Pentru practica geodezic se folosete cu succes rezolvarea sistemelor de ecuaii normale prinmetoda eliminrilor succesive a lui Gauss.

Principiul metodei:

Considerm un sistem normal de 3 ecuaii:

[ ] [ ] [ ] [ ][ ] [ ] [ ] [ ][ ] [ ] [ ] [ ] 0

0

0

321

321

321

=+++

=+++

=+++

clxccxbcxac

blxbcxbbxab

alxacxabxaa

5.34

Metoda de rezolvare const n reducerea de necunoscute, prin eliminri succesive:Din prima ecuaie a sistemului (5.34) se scoate necunoscuta 1x i se introduce n celelaltedou:

[ ][ ]

[ ][ ]

[ ][ ]aaal

xaa

acx

aa

abx = 321

[ ][ ][ ]

[ ][ ]

[ ][ ]

[ ] [ ] [ ]

[ ][ ]

[ ][ ][ ]

[ ][ ][ ]

[ ] [ ] [ ]

[ ][ ][ ]

[ ][ ][ ]

[ ][ ]

[ ][ ][ ]

0

0

0

32

2

3232

2

3232

=

+

+

=+++

=+++

aa

alabblx

aa

acabbcx

aa

abbb

blxbcxbbaa

alabx

aa

acabx

aa

ab

blxbcxbbaa

alx

aa

acx

aa

abab


24/7024

n cea de-a treia ecuaie vom obine: 5.35

[ ] [ ][ ]

[ ][ ]

[ ][ ]

[ ] [ ] [ ]

[ ][ ]

[ ]

[ ]

[ ]

[ ][ ]

[ ]

[ ] [ ] [ ]

[ ] [ ][ ][ ]

[ ] [ ][ ]

[ ] [ ][ ][ ]

0

0

0

3

2

2

323

2

2

3232

=+

+

=+++

=+++

aa

alacclx

aa

acccx

aa

acabbc

clxccxbc

aa

alacx

aa

acx

aa

acab

clxccxbcaa

alx

aa

acx

aa

abac

Se fac urmtoarele notaii:

[ ] [ ][ ]

[ ]

[ ] [ ][ ][ ]

[ ]

[ ] [ ][ ][ ] [ ]

[ ] [ ][ ][ ]

[ ]

[ ] [ ][ ][ ]

[ ]1.

;1.

1.

1.

1.2

claa

alaccl

ccaa

acaccc

blaa

alabbl

bcaa

acabbc

bbaa

abbb

=

=

=

=

=

5.36

Aceste expresii poart denumirea de algoritmi Gauss de ordinul I .Cu ajutorul lor, ecuaiile se vor scrie:

[ ] [ ] [ ][ ] [ ] [ ] 01.1.1.

01.1.1.

32

32

=++

=++

clxccxbc

blxbcxbb5.37

n continuare, vom elimina necunoscuta 2x procednd analog:

din prima ecuaie se scoate 2x i se nlocuiete n cea de-a doua:

[ ][ ]

[ ][ ]1.

1.

1.

1.32 bb

blx

bb

bcx =

Rezult:

[ ][ ][ ]

[ ][ ]

[ ] [ ]

[ ]

[ ]

[ ][ ]

[ ][ ] [ ]

[ ] [ ][ ]

[ ] [ ][ ][ ]

01.

1.1.1.

1.

1.1.

01.1.1.

1.1.

1.

1.

01.1.1.

1.

1.

1.1.

3

2

33

2

33

=

+

=++

=++

bb

blbcclx

bb

bccc

clxccbb

blbcx

bb

bc

clxccbb

blx

bb

bcbc

5.38

Adoptnd urmtoarele notaii:


25/7025

[ ][ ][ ]

[ ]

[ ][ ][ ]

[ ][ ]2.

1.

1.1.1.

2.1.

1.1.

2

clbb

blbccl

ccbb

bccc

=

=

care poart denumirea de algoritmi Gauss de ordinul II, ecuaia final va fi:

[ ] [ ] 02.2. 3 =+ clxcc 5.39

Deci:[ ][ ]2.

2.3 cc

clx = 5.40

Prin eliminri succesive am reuit s aducem sistemul la o form triunghiular.Pornind n ordine invers, se determin apoi 2x i 1x .Toate calculele se fac ntr-un tabel numitschema GaussRelaia de verificare a soluiilor obinute:

( )[ ] [ ]lxlS = 5.41

Aceast relaie se obine prin nsumarea tuturor ecuaiilor (5.34), adic a elementelorrespective de pe liniile ecuaiilor din schem.Soluiile se mai pot verifica introducndu-le n toate ecuaiile, pe care trebuie s le satisfac.Aceast verificare va fi satisfcut n limita preciziei de calcul - precizie care depinde denumrul de cifre utilizat n calcule, de numrul ecuaiilor i mai ales de conformareasistemului.

Se prezint mai jos modul de calcul n schema Gauss:a) se nscriu coeficienii ecuaiilor normale pe liniile:-pentru ecuaia I n linia (1)-pentru ecuaia II n linia (3)-pentru ecuaia III n linia (6)Datorit faptului c sistemul este simetric e suficient s se nscrie coeficienii de pe diagonali cei de deasupra.b) Se mparte linia (1) cu coeficientul - [ ]aa , obinndu-se linia (2) care nu reprezint altcevadect prima ecuaie eliminatoare (5.35)c) Linia ( )4 , care reprezint ecuaia sistemului redus odat se obine astfel:

-se ia drept PIVOT elementul din linia (2) coloana (2), adic[ ][ ]aaab

se nmulete succesiv cu

elementele din linia ( )1 , iar la aceste valori se adaug coeficienii din linia (3).exemplu:

[ ][ ]

[ ] [ ]bbabaa

abbb +=1.

Se va face obligatoriu controlul: [ ] [ ] [ ] [ ]1.1.1.1. bsblbcbb =++


26/7026

Schema Gauss redus

[ ]aa [ ]ab [ ]ac [ ]al [ ]as -

-1 [ ][ ]ab

aa [ ][ ]ac

aa [ ][ ]al

aa [ ][ ]as

aa

se face

control

1x = [ ]bb [ ]bc [ ]bl [ ]bs -

[ ]1.bb [ ]1.bc [ ]1.bl [ ]1.bs control

-1 [ ][ ]

bc

bb

.

.

1

1

[ ][ ]

bl

bb

.

.

1

1

[ ][ ]

bs

bb

.

.

1

1

control

2x = [ ]cc [ ]cl [ ]cs -

[ ]2.cc [ ]2.cl [ ]2.cs control

-1 [ ][ ]

cl

cc

.

.

2

2

[ ][ ]

cs

cc

.

.

2

2

control

3x =

d) Linia (5) rezult din linia (4), care se mparte cu [ ]1.bb reprezentnd din nou o ecuaieeliminatoare.e) Pentru deducerea algoritmilor Gauss de ordinul II din linia (7) - linie ce reprezint ecuaia

redus de dou ori 2.72, se procedeaz astfel:-se vor considera doi pivoi i anume:

elementul din linia (2) coloana (3), adic[ ][ ]aaac

i[ ][ ]1.

1.

bb

bc . Aceti pivoi se nmulesc

succesiv cu elementele din linia de deasupra lor, se adun aceste produse i apoi se nsumeazi cu elementele corespunztoare din linia (6).

exemplu:

[ ] [ ][ ]

[ ] [ ][ ]

[ ] [ ]clblbb

bcal

aa

accl +

+= 1.1.

1.2.

Controlul obligatoriu al acestei linii ( )7 este:

[ ] [ ] [ ]2.2.2. csclcc =+ Linia (8) se deduce din (7), mprind-o pe aceasta cu - [ ]2.cc .Se deduc necunoscutele n urmtoarea ordine:

-din linia (8) rezult direct[ ][ ]2.

2.3 cc

clx =

-din linia (5) se deduce 2x , iar din linia (2) se determin ix1........................................................................................................................................................


27/7027

5.6 TRATAREA MATRICEAL A MSURTORILOR INDIRECTESe d sistemul liniar al ecuaiilor de corecii:

ihiiii lxhxbxav ++++= .....21 5.90i =1- n

n > h

a) Cazul msurtorilor de aceeai precizieAdoptam urmtoarele notaii:

=

nnn

n

hba

hba

hba

A

...

............

...

...

22

111

(vectorul coeficienilor) 5.91

=x xx

xh

1

2

. . .

(vector coloan al necunoscutelor) 5.92

=V

v

v

vn

1

2

. . .

(vector coloan al coreciilor) 5.93

=L

l

l

ln

1

2

. . .

(vector coloan al termenilor liberi) 5.94

Sistemul liniar iniial devine avnd in vedere notaiile fcute:

( )( ) ( ) ( )1,1,,

1,nhhn

n

LXAV += 5.95

Punnd condiia de minim impus de metoda celor mai mici ptrate, rezult:

VTVminim

Deci, derivatele pariale n raport cu necunoscutax trebuie s fie egale cu zero;cu alte cuvinte minimul acestei funcii nx se afl punnd condiia =f 0.

( ) ( ) .min++ LAXLAX T 5.96

Derivnd, se va obine: (innd cont de proprietatea gradientului)

( ) ( ) ( ) 122121 , ffffffTT += 5.97


28/7028

( ) ( )

( )

( ) LANXLANLAAA

AA

LAXLAAXA

LAXA

LAXALAXA

T

TTT

T

TTT

T

TT

1

11

0

0

0

=

==

===+

=+

=+++

5.98

b) Cazul msurtorilor ponderate

Pornim de la acelai sistem de ecuaii de corecii:

iihiiii plxhxbxav ++++= ...21 5.99

i=1-nn>h

Apare n plus fa de cazul msurtorilor de aceeai precizie matricea ponderilor:

P

p

p

pn

=

1

2

0 0 0

0 0 0

0 0 0

. . .

. . .

. . . . . . . . . . . . . . .

. . .

5.100

Sistemul iniial se va scrie:

LAXV += 5.101iar condiia de minim va deveni n acest caz:

.minPVVT

5.102

Deci:

( ) ( ) .min++ LAXPLAX T 5.103

( ) ( )

( )

PLANX

PLAPAAPAA

PLAX

PLAPAXA

LAXPALAXPA

f

T

TT

T

T

TT

TT

1

1

022

0

0

=

==

=+

=+++

=

5.104


29/7029

MODUL 3

6. ALGORITMI PENTRU COMPENSAREA MSURTORILOR CONDIIONATE

Metoda msurtorilor condiionate se aplic n general n geodezie, la compensarea reelelorde sprijin (triangulaie, trilateraie, poligonometrie, nivelment).O reea de sprijin, de exemplu de triangulaie, este constituit dintr-o succesiune de figurigeometrice (triunghiuri, patrulatere, poligoane). Pentru realizarea acestei reele se msoarunghiuri i laturi. n general ns, pentru eliminarea greelilor i mbuntirea preciziei, nu nelimitm la a msura un numr de elemente (unghiuri, laturi) strict necesare pentru construireareelei respective, ci se msoar un numr de elemente n plus. Este evident cci ntreunghiurile msurate, precum i ntre unghiuri i laturi, exist anumite relaii geometriceimpuse de geometria reelei.Pentru rezolvarea problemei de compensare este util s se evalueze numrul acestor relaii cti caracterul lor, pstrnd ns doar relaiile independente.

Numrul ecuaiilor de condiie independente este egal cu numrul msurtorilor efectuate n

plus (nr. gradelor de libertate).

Exemplu:Pentru construirea unui triunghi sunt necesare 3 elemente dintre care cel puin unul liniar.Presupunnd c este cunoscut o latur, atunci este necesar i suficient, pentru construireatriunghiului s se msoare dou unghiuri.Dac se msoar i cel de-al treilea unghi, atunci ele trebuie s satisfac condiia:

gCBA 200=++ 6.1

Avnd deci o msurtoare n plus, este necesar s ntocmim o ecuaie de condiie.Deoarece valorile obinute din msurtori sunt afectate n mod inerent de erori, condiia (6.1)nu va fi riguros satisfcut, de aceea:

wCBA g =++ 200 6.2

unde, discordana w reprezint nenchiderea n triunghi ca urmare a erorilor de msurare.

Pentru a satisface condiia (6.1) este necesar ca valorile msurate, afectate de erori s fiemodificate cu anumite cantiti, numite corecii ( iv ).

Vom avea astfel:( ) ( ) ( ) 0200 =+++++ gCBA vCvBvA 6.3

innd seama de (6.2),se obine ecuaia de condiie a coreciilor:0=+++ wvvv cBA 6.4

Cazul general

Se consider n mrimi nXXX .....,, 21 pentru determinarea crora s-au efectuat msurtori

directe, gsindu-se rezultatele nlll .....,, 21 . Presupunem c cele n necunoscute nXXX .....,, 21 ,

trebuie s satisfac r relaii de condiie independente ntre ele (rezult deci c numrulmrimilor msurate n plus este r):


30/7030

( ) 0.....,,, 211 =nXXXf ( ) 0.....,,, 212 =nXXXf 6.5

.( ) 0.....,,, 21 =nr XXXf

Valorile msurate direct nlll .....,,, 21 nu vor satisface riguros acest sistem, astfel nct prin

nlocuirea necunoscutelor nXXX ,.....,, 21 prin nlll .....,,, 21 vom obine rezultate diferite dezero:

( ) ini wlllf =.....,,, 21 ( ri ,.....2,1= ) 6.6

Mrimile iw poart denumirea de discordane, nepotriviri sau termeni liberi.

Problema care se pune este de a gsi coreciile nvvv .....,,, 21 care, aplicate mrimilor msurate

nlll .....,,, 21 , s fac s dispar aceste mici discordane. Deci, pentru a fi satisfacut sistemul

(6.6) trebuie s avem:

iii vlX += ,

( ni ,.....2,1= ) 6.7Ecuaiile sistemului (6.5) pot fi liniare sau nu.

n primul caz considerm c ele sunt de forma:

0......

....................................................

0....

0....

02211

02211

02211

=++++

=++++

=++++

rXrXrXr

bXbXbXb

aXaXaXa

nn

nn

nn

6.8

innd seama de relaia 6.7, acestea devin:

0......

.................................................

0....

0....

2211

22211

12211

=++++

=++++

=++++

rnn

nn

nn

wvrvrvr

wvbvbvb

wvavava

6.9

unde:

0......

......................................................

0....

0....

02211

022112

022111

=++++=

=++++=

=++++=

rlrlrlrw

blblblbw

alalalaw

nnr

nn

nn

6.10

n cazul n care ecuaiile sistemului 6.5 nu sunt liniare, se procedeaz la liniarizarea acestora.

6.1 LINIARIZAREA ECUAIILOR

innd seama c mrimile vi sunt relativ mici, ecuaiile se dezvoltn serie Taylor, neglijndu-se termenii de ordinul II i superior.Substituind relaia 6.7 n 6.5 se obine:

( ) 0.....,, 2211 =+++ nni vlvlvlf 6.11


31/7031

Relaie, care dezvoltat n serie Taylor conduce la:

( ) 0.....,,1

21 =+

+

=

tvl

flllf k

n

k k

ini 6.12

treprezint termenii de ordinul II i superior, care se neglijeaz.Fcnd notaiile:

( ) ini wlllf =.....,,, 21 , ( ri ,.....2,1= )

ii

al

f=

0

1

i

i

bl

f=

0

2

i

i

r rl

f=

0

6.13

se obine:

0.....

................................................

0....

0....

2211

22211

12211

=++++

=++++

=++++

rnn

nn

nn

wvrvrvr

wvbvbvb

wvavava

6.14

Acest sistem poart denumirea desistemul liniar al ecuaiilor de condiie a coreciilor.

Mrimea w reprezint termenul liber al ecuaiei de condiie fiind n acelai timp valoareaecuaiei pentru mrimile msurate. Aceast observaie este util pentru calculul practic altermenului liber al ecuaiilor de condiie.

6.2 NORMALIZAREA ECUAIILOR DE CONDIIE

n sistemul liniar al ecuaiilor de condiie (14) ntruct numrul ecuaiilor este mai mic dectnumrul necunoscutelor (r


32/7032

n expresia acestei funcii, parametri ik se numesc multiplicatori Lagrange sau corelate

Gauss.Punctele staionare libere ale funciei se determin, anulnd derivatele pariale n numr de( rn + ) ale funciei n raport cu nvvv .....,,, 21 , rkkk ,...,, 21 .Punctele de extrem legate ale funciei (6.16) se gsesc printre punctele staionare libere.Efectund derivatele pariale ale funciei obinem:

02.....222 21 == riiiii

krkbkavv

6.17

..............................................................

0...

0...

222112

122111

=++++=

=++++=

wvbvbvbk

wvavavak

nn

nn

6.18

0...2211 =++++= rnnr wvrvrvrk

Sistemul (6.17) se mai poate scrie sub forma:

riiii krkbkav +++= ...21 ( ni ,.....2,1= ) 6.19n sistemele (6.17) i (6.18) avem (n+r)ecuaii i ((n+r)) necunoscute, deci se pot rezolva.Substituind valorile coreciilor iv date de (6.19) n sistemul (6.18) i efectund calculele,

rezult:( ) ( )

( )

( ) ( )

( ) 0...

...........................................................................................................

0..

............

21

222122121111

121

222122121111

=+++++

++++++++

=+++++

++++++++

rrnnnn

rr

rnnnn

rr

wkrkbkar

krkbkarkrkbkar

wkrkbkaa

krkbkaakrkbkaa

sau

0...

...........

1

212222212211211111

=+++

++++++++++

wkra

kbakaakrakbakaakrakbakaa

rnn

nnnnrr

0...

...........

0...

...........

212222212211211111

2

212222212211211111

=+++

++++++++++

=+++

++++++++++

rrnn

nnnnrr

rnn

nnnnrr

wkrr

krbkrakrrkrbkrakrrkrbkra

wkrb

kbbkbakrbkbbkbakrbkbbkba

Trecnd la sumele Gauss se va obine:


33/7033

[ ] [ ] [ ][ ] [ ] [ ]

[ ] [ ] [ ] 0................................................................

0.....

0.....

21

221

121

=++++

=++++

=++++

rr

r

r

wkrrkbrkar

wkbrkbbkab

wkarkabkaa

6.20

Sistemul(6.20) avnd r ecuaii liniare i r necunoscute, reprezint sistemul normal al

corelatelor.Matricea sistemului normal al corelatelor fiind simetric i pozitiv definit, are invers. Deci,sistemul are soluie i aceasta este unic.Rezolvnd sistemul cu una din metodele cunoscute se determin corelatele rkkk ,...,, 21 .Introducnd valorile gsite pentru corelatele k n sistemul (6.19), se determin valorile celemai probabile ale coreciilor v . Aceste corecii se aplic apoi mrimilor msurate direct, il

conform relaiei:

iii vlX += ,rezultnd valorile compensate ale mrimilorXi.

6.2.1.1 Calculul practic al coeficienilor ecuaiilor normale

Pornind de la un sistem format din 3 ecuaii de condiie a coreciilor:

0...

0...

0...

32211

22211

12211

=++++

=++++

=++++

wvcvcvc

wvbvbvb

wvavava

nn

nn

nn

6.21

sistemul normal al corelatelor va fi:[ ] [ ] [ ][ ] [ ] [ ]

[ ] [ ] [ ] 0

0

0

3321

2321

1321

=+++

=+++

=+++

wkcckbckac

wkbckbbkab

wkackabkaa

6.22

Deducerea practic a coeficienilor ecuaiilor din sistem ct i calculele de control respective,este artat n tabelul de mai jos:

Tabelul coeficienilor ecuaiilor de condiie a coreciilor

Nr.crt.

ai bi ci Si Notaii i control

12

.........

.n

a1a2

..........a

n

b1b2

..........

bn

c1c2

..........

cn

S1S2

............

Sn

S1 = a1+ b1 + c1S2 = a2+ b2 + c2

............

Sn = an+ bn + cn

[a] [b] [c] [S]

= [a]+[b]+[c] = [S]


34/7034

Tabelul coeficienilor sistemului normal

[ ]aa [ ]ab [ ]ac [ ]aS [ ]aS = [ ]aa + [ ]ab + [ ]ac

[ ]bb [ ]bc [ ]bS [ ]bS = [ ]ab + [ ]bb + [ ]bc

[ ]cc [ ]cS [ ]cS = [ ]ac + [ ]bc + [ ]cc

6.2.2 Msurtori condiionate de precizii diferite(ponderate)n acest caz ca i n situaia msurtorilor de aceeai precizie, coreciile iv ce urmeaz a fi

determinate, trebuie s satisfac att condiia [ ] .min=pvv ct i sistemul liniar al ecuaiilor decondiie a coreciilor (6.14):Este deci tot o problem de minim condiionat.

Funcia Lagrange n acest caz va fi de tipul:( )( )( )

( ) .min.....2....................................

....2

...2

...,...,,,,...,,

2211

222112

12111

2222

2112121

=++++

++++

++++

+++=

rnnr

nn

nn

nnrn

wvrvrvrk

wvbvbvbk

wvavavak

vpvpvpkkkvvv

6.23

Efectund derivatele pariale n raport cu v i k i punnd de asemenea condiia ca acestea sfie nule, se obine:

02.....222 21 == riiiiii

krkbkavpv

6.24

0][:

0...

0][:

0...

0][:

0...

2211

2

222112

1

122111

=+

=++++=

=+

=++++=

=+

=++++=

r

rnn

r

nn

nn

wrvsau

wvrvrvrk

wbvsau

wvbvbvbk

wavsau

wvavavak

6.25

Ecuaiile (6.24) mai pot fi scrise sub forma:


35/7035

( ) ,...1

21 riiii

i krkbkapv +++=

ni ,...,2,1= 6.26

Relaiile (6.25) i (6.26) formeaz un sistem de ( )rn + ecuaii cu ( )rn + necunoscute. Pentrua elimina o parte din necunoscute se substituie necunoscutele iv din (6.24) n (6.25).

Efectund calculele i grupnd convenabil termenii se obine sistemul normal al corelatelor ncazul ponderat:

( ) ( )

( )

( ) ( )

( )

( ) ( )

( ) 0..

.......

...............................................................................................

0...

.........

0..

.........

21

222122

212111

1

1

221

222122

212111

1

1

121

222122

212111

1

1

=+++++

++++++++

=+++++

++++++++

=+++++

++++++++

rrnnnn

n

rr

rnnnn

n

rr

rnnnn

n

rr

wkrkbkap

r

krkbkap

rkrkbka

p

r

wkrkbkap

b

krkbkap

bkrkbka

p

b

wkrkbkap

a

krkbkap

akrkbka

p

a

Efectund calculele:

0....

.........

121

2

222

2

221

2

22

1

112

1

111

1

11

=+++++

++++++++

wkp

rak

p

bak

p

aa

k

p

rak

p

bak

p

aak

p

rak

p

bak

p

aa

r

n

nn

n

nn

n

nn

rr

0...

........

221

2

222

2

221

2

22

1

112

1

111

1

11

=+++++

++++++++

wkp

rbk

p

bbk

p

ba

kp

rbk

p

bbk

p

bak

p

rbk

p

bbk

p

ba

rn

nn

n

nn

n

nn

rr

0....

.........

21

2

22

22

22

12

22

1

11

21

11

11

11

=+++++

++++++++

rrn

nn

n

nn

n

nn

rr

wkp

rrk

p

rbk

p

ra

kp

rrk

p

rbk

p

rak

p

rrk

p

rbk

p

ra

Trecnd la notaiile Gauss, vom obine forma sistemului normal al corelatelor n cazulponderat:


36/7036

0...

.............................................

0....

0...

21

221

121

=+

++

+

=+

++

+

=+

++

+

rr

r

r

wkp

rrk

p

brk

p

ar

wkp

brk

p

bbk

p

ab

wkp

ark

p

abk

p

aa

6.27

Acest sistem se poate rezolva, matricea ataat fiind nesingular ( 0).Soluiile obinute (corelatele k) permit determinarea celorlalte necunoscute (coreciile v ) din(6.26).n cazul sistemelor mici, determinarea coeficienilor sistemului normal al corelatelor se faceconform urmtoarelor tabele:

Tabelul coeficienilor ecuaiilor de corecie i al ponderilor

Nr.crt.

1/pi ai bi ci Si Control

12

.....n

1/p11/p2.....1/pn

a1a2.....an

b1b2.....bn

c1c2....cn

S1S2....Sn

S1 = a1+ b1 + c1S2 = a2+ b2+ c2........................Sn = an+ bn+ cn

- [a] [b] [c] [S]

= [a]+[b]+[c] =[S]

Tabelul coeficienilor sistemului normal

p

aa

p

ab

p

ac

p

aS

p

aS=

aa

p

ab

p

ac

p

+

+

p

bb

p

bc

p

bS

+

+

=

p

bc

p

bb

p

ab

p

bS

p

cc

p

cS

+

+

=

p

cc

p

bc

p

ac

p

cS


37/7037

6.3 REZOLVAREA SISTEMELOR DE ECUAII NORMALE ALE CORELATELOR

Metodele de rezolvare a acestor sisteme sunt aceleai ca la rezolvarea sistemelor normale dela msurtorile indirecte .

Necunoscutele ix de la msurtorile indirecte devin corelatele ik , iar termenii liberi [ ]al ,[ ]bl , etc . devin 1w , 2w , etc.Schema Gauss redus pentru rezolvarea unui sistem de 3 ecuaii, spre exemplu, areurmtoarea form:

1k 2k 3k w S Control

[aa] [ab] [ac] w 1 S1 --1 [ ]

[ ]

ab

aa [ ]

[ ]

ac

aa - w 1 / [aa] -S1 / [aa] control

1k =.. [bb] [bc] w 2 S2 -

[bb.1] [bc.1] [ w 2.1] [S2.1] control-1 [ . ]

[ . ]

bc

bb

1

1

]1.[

][ 1.2bb

w

[ ]

[ . ].S

bb2 1

1 control

2k =..... [cc] W3 S3 -

[cc.2] [ w 3.2] [S3.2] control-1

]2.[

][ 2.3cc

w

]2.[

][ 2.3cc

S control

3k =..

Verificarea soluiilor se face printr-o relaie unic de forma:

[( wS ) k] = - [ w ] 6.28

Verificri de calcula) Controlul (verificarea) calculului coreciilor:

Relaiile de calcul a coreciilor sunt:

=iv riii krkbka +++ ..21 sau ( )riiii

i krkbkapv +++= ..

121

Dac se nsumeaz toate relaiile din primul caz se obine:

[ ] [ ] [ ] [ ] rkrkbkav +++= .....21 6.29

sau, pentru al doilea caz:

[ ] [ ] [ ] [ ] rkrkbkapv +++= .....21 6.30

Acestea constituie cele dou relaii de control pentru calculul corect al coreciilor.n afar de acestea, este necesar ca aceste corecii iv s satisfac ecuaiile liniare de condiie a

coreciilor:


38/7038

0....

..................................

0...

0....

2211

22211

12211

=++++

=++++

=++++

rnn

nn

nn

wvrvrvr

wvbvbvb

wvavava

6.31

b) Verificarea liniarizrii i a calculului termenilor liberic) Verificarea rezolvrii sistemului normal al corelatelor

n faza de reducere la forma triunghiular, controlul se face pe rnduri, aa cum se arat nschema Gauss.Pentru verificarea deducerii corecte a corelatelor ik , acestea pot fi introduse n ecuaiile

sistemului normal pe care trebuie s le satisfac n limita preciziei de calcul, sau, maieconomic, prin relaia unic: [( wS ) k] = - [ w ].

d) Verificarea calculrii sumei ptratelor coreciilor[ ] [ ]kwpvv =

e) Controlul principal al compensriiSe aplic mrimilor msurate il , coreciile iv ,adic :

iii vlX += ,

i acestea se introduc n ecuaiile de corecie iniiale pe care trebuie s le satisfac.Dac nu se ntmpl acest lucru, nseamn c liniarizarea nu s-a fcut corect (deci, uniicoeficieni sunt greii) sau termenii liberi nu au fost corect stabilii.

O particularitate a compensrii prin metoda msurtorilor condiionate, o constituie faptul cn cazul ntocmirii sau liniarizrii greite a unei (unor) ecuaii, dei coreciile obinute n urmacompensrii nu sunt cele juste, se verific toate ecuaiile de condiie, cu excepia celor greitntocmite.Aceast particularitate ne ajut s localizm greeala, deci s o depistm mai uor.Dac doar termenul liber al unei (unor) ecuaii a fost stabilit greit - numai ca semn - atunci,n controlul final, n loc de a se anula discordana respectiv, ea se dubleaz.

6.4 ALGORITMI PENTRU COMPENSAREA MSURTORILOR ETEROGENEDac mai multe mrimi de natur diferit (unghiuri, lungimi, diferene de nivel) urmeaz a ficompensate n comun , problema se poate trata n dou moduri:

se calculeaz coreciile omogenizate, care sunt adimensionale i neponderate.Omogenizarea coreciilor se obine dac se mpart relaiile care dau coreciile nfuncie de corelate cu erorile unitilor de pondere, adic:

riiii krkbkav +++= .....21

( ni .....1= )


39/7039

"

"

'

'

,

vv

se ine seama c n cazul ponderilor2'

' .

constp = ,

2"" .

constp =

folosindu-se ntotdeauna aceeai constant.

Unitatea de msur pentru va fi aceeai ca cea pentru v i respectiv w .

Observaie:Accentul i desemneaz o anumit natur de msurtori.

6.4.1 Transformarea msurtorilor condiionate n indirecte i invers6.4.1.1 Trecerea de la msurtori condiionate la msurtori indirecte

Fie sistemul liniar al ecuaiilor de condiie a coreciilor:

0......

.................................................

0.....

0....

2211

22211

12211

=++++

=++++

=++++

rnn

nn

nn

wvrvrvr

wvbvbvb

wvavava

6.32

Din acest sistem de r ecuaii cu n necunoscute ( r


40/7040

Observaii:Dei transformrile sunt posibile n ambele sensuri, acestea nu se recomand a fi efectuate,trebuind s se stabileasc de la nceput metoda prin care se urmrete s se fac compensarea,rezultatele fiind ns aceleai. Un criteriu de alegere l constituie numrul de ecuaii normalerezultate.Mijloacele moderne de calcul au schimbat optica, preferndu-se metoda msurtorilor

indirecte, care se preteaz la un grad mai mare de automatizare.

6.5 Model de calcul

S se compenseze unghiurile unui triunghi plan i s se deduc precizia lor dup compensare,cunoscndu-se din msurtori de aceeai precizie urmtoarele valori medii:

cccg 171547' = cccg 504373' =

cc794145' = Rezolvare

Nenchiderea unghiular va fi egal cu: ccgw 12200''' +=++= Ecuaia de condiie a figurii este:

0200 =++ g Dar:

v+= '

v+='

v+='

Deci, se poate scrie ecuaia de condiie final:

012 =+++ ccp vvv

Avnd o singur ecuaie de condiie vom avea o singur corelat k, deci sistemul de ecuaiinormale ale corelatelor se va reduce i el la o singur ecuaie normal i anume:

[ ] 0=+ wkaa

adic:

0123 =+ cck cck 4=

Aplicnd formulele generale ale coreciilor n funcie de corelate avem:

kav

kavkav

33

22

11

=

==


41/7041

i obinem:

3

3

3

3

2

1

wkv

wkv

wkv

==

==

==

Deci: ccvvv 4321 === Controlul coreciilor se face folosind relaia:

[ ] [ ]( )

4848

12448

=

=

= wkvv

Valorile compensate ale unghiurilor triunghiului plan vor fi:

41.41.79

46.43.73

13.15.47

'

'

'

=+=

=+=

=+=

v

v

v

Control: 00.00.200g=++

Precizia este dat de:

[ ]9,6

1

48 ccr

wmmm =====

6.5 TRATAREA MATRICEAL A MSURTORILOR CONDIIONATEConsiderm sistemul liniar al ecuaiilor de condiie a coreciilor:

0....

..............................................

0...

0....

2211

22211

12211

=++++

=++++

=++++

rnn

nn

nn

wvrvrvr

wvbvbvb

wvavava

6.34

Se fac urmtoarele notaii:

n

n

n

rrr

bbb

aaa

A

...............

...

...

21

21

21

= ;

nv

v

v

V

...

2

1

= ;

rW

W

W

W

...

2

1

= 6.35

Sistemul se va scrie matriceal sub forma:

0=+WAV 6.36


42/7042

Deoarece numrul ecuaiilor este mai mic dect numrul necunoscutelor, pentru rezolvareaproblemei se va folosi metoda celor mai mici ptrate, adic [ ]vv = min. n cazul msurtorilorde aceeai precizie i [ ]pvv = min. n cazul msurtorilor ponderate.Aceste condiii sunt exprimate matricial astfel:

[ ]vv = VVT

[ ]pvv = VpVT

6.37n care matricea p are forma:

np

p

p

p

...00

.............

0...0

0...0

2

1

= 6.38

Avnd o problem de minim condiionat, funcia Lagrange introdus va fi de forma:a) cazul msurtorilor de aceeai precizie

( ) .min2 =+= WAVkVV TT 6.39

derivat din:( +++= 222

212121 ...,...,,,,..,, nrn vvvkkkvvv

( )

( )

( )rnnr

nn

nn

wvrvrvrk

wvbvbvbk

wvavavak

++++

++++

++++

...2

......................................................

...2

...2

2211

222112

122111

Pentru a determina minimul funciei, trebuie ca:

0=TV

; 0=

Tk

6.40

Efectund derivatele pariale se obine:

kAV

kAV

AkVVV

T

T

TTTTT

=

=

=+=

022

0)2()(

6.41

0)(2 =+= WAVkT

WAV+ 0= 6.42

dac n relaia (6.42) inem seama de (6.41):0=+WkAAT 6.43

Relaia (6.43) reprezintsistemul normal scris sub form matriceal.Rezolvarea sistemului impune efectuarea urmtoarelor notaii:

NAAT = 6.44deci:

0=+ WNk 6.45

nmulim la stnga cu 1N i inem seama c ENN =1 (matricea unitate):011 =+ WNNkN 6.46

Rezult:WNk 1= 6.47


43/7043

Revenim la relaia (6.41) unde, kAV T= nlocuind valorile corelatelor k din (6.47), rezult:

WNAV T 1= 6.48Cu ajutorul acestei formule se determin coreciile v i mai departe valorile compensate

iii vlX += 6.49b) cazul msurtorilor ponderate

Pornim de la condiia de minim impus de metoda celor mai mici ptrate:VpVT = min. 6.50

Funcia Lagrange n acest caz va avea forma:min)(2 =+= WAVkVpV TT 6.51

derivat din:( )

( )( )

( )rnnr

nn

nn

nnrn

wvrvrvrk

wvbvbvbk

wvavavak

vpvpvpkkkvvv

++++

++++

++++

+++=

.....2

.......................................

....2

...2

...,...,,,,...,,

2211

222112

12111

2222

2112121

Condiia de minim implic:

0=TV

; 0=

TK

6.52

Efectund derivatele pariale obinem:

kAppVp

kApVp

kApV

AKpVpVV

T

T

T

TTTTT

11

1

022

0)(2)(

=

=

=

=+=

6.53

de unde:kApV T1= 6.54

00)(2 =+=+= WAVWAVkT

6.55

nlocuind pe V din relaia (6.54) n (6.55) obinemsistemul normalsub forma:01 =+ WkApA T 6.56

Notm TApA 1 = N 6.57deci: 0=+WkN 6.58

nmulim la stnga tot sistemul cu 1N :

0

11

=+

WNkNN 6.59 E

WNk 1= 6.60Cu ajutorul corelatelor k se deduc apoi coreciile din (6.54):

WNApV T 11 = 6.61Mergnd mai departe, se vor determina valorile compensate ale msurtorilor:

iii vlX += 6.62


44/7044

MODUL 4

7. MODELE FUNCIONAL - STOCHASTICE FOLOSITE CURENT LAPRELUCRAREA MSURTORILOR EFECTUATE N REELELE GEODEZICEDE SPRIJIN

Proiectarea reelelor geodezice de sprijin constituie o operaie complex, proiectul trebuind santicipeze i s se coordoneze corespunztor cu celelalte etape ale realizrii reelelor desprijin: materializarea reelelor, executarea observaiilor i prelucrarea acestora.Se consider un ir de msurtori:

T0 0 0 01 2M , ,..., nM M M= 7.1

efectuate ntr-o reea geodezic de sprijin. Se consider c att msurtorile, ct i reeauageodezic sunt generalizate, urmnd s se fac apoi particularizrile i adaptrilecorespondente.Componentele vectorului M0 sunt mrimi rezultate dintr-un proces complex de msurare, ncare intervine un numr mult mai mare de observaii elementare dect cele care sunt marcateexplicit n relaia (6.1). Tehnologiile de lucru sau de prelucrare preliminar permit eliminarea

erorilor de natur sistematic astfel nct vectorul M0

va fi considerat o mrime aleatoare.Valoarea cea mai probabil pentru vectorul M0 (atunci cnd fiecare mrime component ar

proveni din media unui numr infinit de mare de determinri) se noteaz M~

:

( )0~ MEM = n mod curent, inclusiv n geodezie, mrimile

~sunt denumite valori adevrate ale

msurtorilorM0; dei exist diferene ntre cele dou categorii de mrimi, n dezvoltrileulterioare se va accepta egalitatea acestora.

7.1 MODELUL STOCHASTIC

Diferenele dintre msurtorile M0 i valorile lor adevrate~

sunt denumite uzual erori

adevrate: 0 M = % 7.2Proprietile stochastice ale mrimilor sunt definite de matricea de varian - covarian,sau pe scurt matricea de covarianCM:

( )

22211

22221221

11211221

...

............

...

...

nnnnn

nn

nn

TM

rr

rr

rr

EC

== 7.3

S-au folosit notaiile cunoscute:

=2i variana (teoretic) a msurtorii

0iM ;

( )22 ii E = ; 7.4=ijr coeficient de corelaie ntre msurtorile

0iM i

0jM :

;ijiji j

r

= i , j = 1,2,...,n; 7.5

jiij E = = covariana (teoretic) a msurtoriloroiM i .

ojM 7.6


45/7045

Mrimea i este denumit n statistic abatere standard, iar n geodezie eroare medie (saueroare medie ptratic). Este cunoscut, de asemenea faptul c:

,1 1i jr + 7.7

valorile limit 1 fiind atinse n cazul n care ntre variabilele aleatoare i i j exist o

dependen liniar ( ji a = , unde a este o constant oarecare).

Ansamblul coeficienilorrpoate fi grupat n matricea de corelaie RM:

MR =

1...

...............

...1

...1

321

22312

11312

nnn

n

n

rrr

rrr

rrr

7.8

Corelaia evideniaz dependena existent ntre observaiile iniiale prin coeficienii decorelaie dreptunghiulari rij ai matricei aferenteRM(7.8).Teoria compensrii observaiilor corelate dezvoltat teoretic de J.M.Ti

40526178 algoritmi pentru analiza retelelor geodezice

Documents