Curs Roboti

3. Schimbarea sistemelor de axe

Pentru obinerea modelului geometric este necesar schimbarea sistemului de axe n care se face proiecia diferiilor vectori care intervin. Sistemul de axe (i( n care se definesc elementele geometrice i vectoriale ale corpului i este legat de acesta. Ulterior, va trebui efectuat transformarea n sistemul de referin absolut (0(. Aceast transformare nu se face direct, ci prin transformri succesive ntre elemente alturate. Mai jos va fi, ca un caz general, descris transformarea dintre dou sisteme oarecare de axe (B( i (A(.

Transformarea de rotaie (orientare) a dou sisteme de axe de coordonate, cu aceeai origine: OXAYAZA si OXBYBZB (fig.2). Un punct P se poate pozitiona n (A(: rA si n(B(: rB. Legtura ntre cele dou exprimri, se poate scrie matriceal astfel:

(1)

In relaia de mai sus a fost introdus matricea de transformare de la (B( la (A( cnd originile coincid (matricea de rotaie):

(2)

S-au notat cu:

versorii axelor OBXB, OBYB , OBZB proiectai n sistemul de axe (A(. Componentele acestor versori sunt cosinusurile lor directoare.

Matricele S se bucurde proprietatea:

(3)

Fig. 2

Transformarea coordonatelor din (B( n (A(, scris matriceal, dezvoltat este:

(4)

S-au notat cu termenii matricei de orientare.

Transformarea general de la (B( la (A(, cnd originile celor dou sisteme de axe nu coincid (fig. 3). Dependena dintre (r)A si (r)B, n exprimare matriceal:

In aceast ecuaie

reprezint coordonatele originii OB exprimate n (A(.

Fig. 3

Pentru scrierea transformrii generale n mod omogen (n form de produs) se poate introduce matricea 4 x 4, T la care ultima coloan conine coordonatele originii B, exprimat n (A(:

(5)

Cu ajutorul acestei matrice se poate obine transformarea n form omogen:

(6)

Pentru structurile n lan cinematic deschis intereseaz transformarea de la (i( la (0(, adic de la sistemul de axe al elementului i la sistemul de referin. Aceasta se obine prin produsul matricelor de transformare succesiv.

Dac intereseaz numai orientarea (rotaia) matricea de rotaie este:

Pentru simplificarea scrierii se noteaz: i . Matricea de rotaie de la (i( la (0( devine:

(7)

Transformarea prin rotaie se scrie considernd i (6):

(8)

Pentru transformarea general (i( la (0(:

Cu notaiile: i , relaia de mai sus devine:

(9)

Considernd i (6), transformarea general de la(i( la (0( este:

(10)

Dac a fost calculat matricea Ti orientarea se poate deduce direct, fr a se mai calcula i matricea Si , deoarece matricea 3x3 coninut n Ti este tocmai Si (v.rel. (6))

_1128545867.unknown

_1128545871.unknown

_1128545873.unknown

_1128545874.unknown

_1128545872.unknown

_1128545869.unknown

_1128545870.unknown

_1128545868.unknown

_1128545774.unknown

_1128545865.unknown

_1128545866.unknown

_1128545862.unknown

_1128545864.unknown

_1128545781.unknown

_1128545750.unknown

_1128545769.unknown

_1127206071.unknown

_1128545723.unknown

_1127206078.unknown

_1016218933.unknown