Indicatorii asimetriei i de excesCurs 4

Coninut

MomenteleIndicatorii de asimetrieIndicatorii de exces

1. MomenteleMomentele sunt mrimi ce sintetizeaz o repartiie i permit precizarea anumitor caracteristici ale acestora. Se calculeaz ca medii aritmetice simple sau ponderate ale abaterilor variantelor seriai fa de o valoare prestabilit abateri luate la diferite puteri care indic de altfel ordinul momentului. Momentele sunt utilizate ca baz de calcul a unor indicatori de asimetrie i ai curtozisului.

Clasificare:Exist mai multe tipuri de momente:

- Momente ordinare (n*), obinuite, de diferite ordine, calculate pe baza abaterilor variantelor seriei de o valoare arbitrar a.- Momente centrate (n), de diferite ordine, calculate ca medii aritmetice simple sau ponderate ale abaterilor variantelor de la media lor aritmetic, abateri luate la diferite puteri

Momente ordinare (n*)pentru serii simple:

pentru serii de frecvene:

i se citete momentul ordinar de ordinul n

Metoda de calcul simplificatFiind n fapt nite medii aritmetice ponderate, momentele ordinare pot fi calculate dup urmtoarele formule de calcul simplificat:

oricare ar fi n ordinul momentului ordinar.

De regul constantele a i k se aleg ca i n cazul procedeului de calcul simplificat al mediei aritmetice, ceea ce face foarte simplu calculul momentelor ordinare.

Momente centrate (n)pentru serii simple:

pentru serii de frecvene:

i se citete momentul centrat de ordinul n

Metoda de calcul simplificat

De reinut!Se poate constata uor c momentul centrat de ordinul 1 este nul, datorit proprietii mediei aritmetice conform creia suma abaterilor variantelor de la media lor aritmetic este 0. De asemenea, momentul centrat de ordinul 2 este chiar dispersia.

2. Indicatorii de asimetriePentru caracterizarea seriilor de distribuie uni-dimensionale i uni-modale este necesar cunoaterea gradului de oblicitate, de ndeprtare a acestor distribuii de la simetrie, aspect ce poart numele de asimetrie. Noiunea de asimetrie se refer la faptul c frecvenele unei serii de distribuie se abat de la curba normal a frecvenelor, repartiia a cror frecvene se distribuie simetric de o parte i de alta a frecvenei maxime plasat n centrul seriei avnd graficul de forma unui clopot (clopotul lui Gauss-Laplace).

Distribuiile empirice pot fi moderat asimetrice sau pronunat asimetrice. Astfel, se impune problema caracterizrii asimetriei prin cuantificarea ei. Pentru cuantificarea gradului de asimetrie se folosesc mai multe metode dintre care metoda lui Pearson i metoda lui Fisher sunt cele mai cunoscute.

2.1. Coeficienii de asimetrie propui de Pearson

Coeficientul empiric de asimetrie al lui Pearson:

Semnificaie:KasP=0- indic faptul c seria este simetric;KasP0- indic o asimetrie slab;KasP1- indic o asimetrie pronunat.

Se consider asimetrie moderat situaiile n care -0,3 KasP +0,3.

KasP0- indic o asimetrie la stnga sau pozitiv;KasP=0- indic o serie simetric.

Indicatorul lui Pearson, calculat pe baza momentelor:

Semnificaie:Cum ambii factori ai produsului sunt totdeauna pozitivi rezult c acest indicator de asimetrie este totdeauna mai mare sau egal cu 0.KP = 0- indic o serie simetric.KP> 0- indic o asimetrie la stnga sau la dreapta;Acest coeficient nu difereniaz cele dou tipuri de asimetrii.

2.2. . COEFICIENII DE ASIMETRIE PROPUI DE FISHERCoeficientul lui Fisher:

Acest coeficient de asimetrie al lui Fischer ia valori cuprinse n intervalul -3,+3 i cu ct se apropie de zero cu att seria este mai aproape de simetrie.

Coeficient de asimetrie propus de Fisher bazat pe momente:KF < 0 - indic o asimetrie la dreapta sau negativ;KF > 0- indic o asimetrie la stnga sau pozitiv;KF = 0- indic o serie simetric

2.3.Alte metode de caracterizare a asimetrieiDeoarece numitorul este ntotdeauna pozitiv i deci nu influeneaz semnul coeficientului, analiza asimetriei pe baza acestui indicator se rezum de fapt la interpretarea semnului momentului centrat de ordinul 3 i prin urmare este el nsui un mod de a analiza asimetria unei repartiii:3=0- serie simetric;30- serie asimetric la stnga.

Asimetria unei serii de distribuie poate fi interpretat i pe baza poziiei unul fa de cellalt a celor trei indicatori de poziie, media, mediana i modul, astfel:

- serie simetric;

- serie asimetric la stnga;

- serie asimetric la dreapta

3. Indicatorii curtozisuluiCurtozisul sau excesul se refer la gradul de aplatizare sau alungire a distribuiei, dat de modul de concentrare a frecvenelor n zona central pentru distribuiile unimodale prin comparaie cu distribuia normal. Dac ntr-o distribuie variantele variabilei sunt concentrate n jurul nivelului su mediu mai mult dect n cazul distribuiei normale atunci distribuia este leptocurtic. Dac din contr, variantele sunt mai mprtiate fa de nivelul mediu dect n cazul distribuiei normale, atunci distribuia este platicurtic. Distribuia normal este numit mezocurtic. Pentru apecierea curtozisului se apeleaz la coeficienii de boltire (de aplatizare) propui de Pearson i Fisher:

3.1.Coeficientul de boltire al lui Pearson

3.3.Coeficientul de boltire al lui Fisher

Semnificaie:Astfel:Dac 2>3 2>0, caz n care distribuia este leptocurtic, cu vrf ascuit sau cu coada lung;Dac 23 20 , caz n care distribuia este platicurtic, cu vrful plat sau cu coada scurt; Dac 2=3 2=0 , caz n care distribuia este mezocurtic sau normal.