Indicatorii variaieiCurs 3

Indicatorii simpli i sintetici ai variaiei Media, mediana i modul surprind tendina central a unei serii de date fr a putea caracteriza gradul de variabilitate al termenilor seriei, adic variaia acestora fa de mrimile medii de poziie. Exist situaii cnd dou serii statistice dei au aceeai medie i median totui difer prin gradul de concentrare sau dispersare al valorilor observate. Prin studierea variaiei devine posibil att cunoaterea cauzelor care au generat acest proces ct i separarea i stabilirea intensitii cu care au acionat cele dou grupe de factori: eseniali i ntmpltori.

Pentru caracterizarea variaiei fenomenelor se utilizeaz dou grupe de indicatori: simpli i sintetici. Indicatorii simpli ai variaiei caracterizeaz gradul de mprtiere a elementelor componente ale caracteristicii studiate, iar indicatorii sintetici sintetizeaz ntreaga variaie ntr-o singur expresie numeric prin intermediul unor valori medii calculate din abaterile individuale ale variantelor de la media lor

. Indicatorii simpli ai variaieiIndicatorii simpli ai variaiei servesc pentru a caracteriza gradul de mprtiere a unitilor purttoare ale caracteristicilor nregistrate. Se calculeaz pentru a msura amplitudinea variaiei i mrimea abaterilor valorilor individuale de la media lor. Aceti indicatori se pot exprima att n mrimi absolute - folosind aceleai uniti de msur ca i pentru caracteristica studiat - ct i n mrimi relative, calculate n raport cu valoarea medie.

a) Amplitudinea variaieia.1 Amplitudinea absolut:Se calculeaz ca diferen ntre nivelul maxim (xmax) i nivelul minim (xmin) al caracteristicii: A= xmax xmin a.2 Amplitudinea relativ:Se exprim de regul n procente i se calculeaz ca raport ntre amplitudinea absolut a variaiei i nivelul mediu al caracteristicii:

AplicabilitateFiind legat de unitatea de msur a caracteristicii, amplitudinea variaiei nu poate fi folosit ca msur a variaiei dect pentru seriile care se refer la aceeai caracteristic nregistrat pentru aceeai unitate de timp, dar n uniti de spaiu diferite, sau pentru aceeai unitate de spaiu, dar pentru perioade de timp diferite. Amplitudinea variaiei nu este ns un indicator suficient de semnificativ, deoarece n calculul su nu se ine seama dect de valorile extreme ale caracteristicii, ori asupra variaiei unui fenomen influeneaz toate valorile individuale i frecvenele lor de apariie. Uneori se ntlnesc cazuri cnd valorile extreme sunt foarte deprtate de celelalte valori intermediare i n acest caz a msura variaia numai n funcie de amplitudinea ei constituie o greeal.Amplitudinea variaiei se folosete n prelucrarea statistic la alegerea numrului de grupe i a mrimii intervalului de grupare.

b) Abaterile individuale b.1 Abaterile individuale absolute (di)Se calculeaz ca diferen ntre fiecare variant nregistrat i media aritmetic a acestora, astfel:

b.2 Abaterile individuale relative (di%)Se calculeaz raportnd abaterile absolute la nivelul mediu al caracteristicii:

De reinut!

Gradul de variaie al unei caracteristici nu depinde ns numai de abaterile maxime care apar ntr-un sens sau altul, ci de toate abaterile variantelor nregistrate i de frecvenele lor de apariie. Indicatorii simpli ai variaiei fiind calculai pe baza relaiilor dintre doi termeni ai seriei sau ntre fiecare termen i media lor, nu pot exprima ntreaga variaie a unei caracteristici nregistrate. De aceea este necesar s se calculeze i indicatorii sintetici ai variaiei care iau n consideraie toate abaterile caracteristicii.

Indicatorii sintetici ai variaiei sunt: abaterea medie liniar, abaterea medie ptratic, dispersia coeficientul de variaie.

II. Indicatorii sintetici ai variaiei Pentru a sintetiza ntr-o singur expresie numeric ntreaga variaie a unei caracteristici trebuie s se recurg tot la valoarea medie calculat din abaterile individuale ale variantelor de la media lor.

II.1. Abaterea medie liniar Se calculeaz ca o medie aritmetic simpl sau ponderat din abaterile termenilor seriei de la media lor, luate n valoare absolut. Abaterile termenilor seriei de la media lor aritmetic se iau n valoare absolut, deoarece suma algebric a tuturor abaterilor este egal cu zero.

- Pentru serii simple:

- Pentru serii cu frecvene

De reinut!Abaterea medie liniar prezint dezavantajul c nu ine seama de faptul c abaterile mai mari n valoare absolut influeneaz n mai mare msur gradul de variaie a unei caracteristici, n comparaie cu abaterile mai mici. n acelai timp, din punct de vedere algebric, nu este indicat s se renune n mod arbitrar la semnul valorilor din care se calculeaz o valoare medie. Din aceste considerente se folosete ca principal indicator sintetic al variaiei abaterea medie ptratic.

II.2.Abaterea medie ptratic (abatere standard) Se calculeaz ca o medie ptratic din abaterile tuturor variantelor seriei de la media lor aritmetic:Pentru o serie simpl:

Pentru o serie cu frecvene:

De reinut!Fiind calculat ca o medie ptratic, prin ridicarea la ptrat se d mai mare importan abaterilor mai mari n valoare absolut i n consecin, abaterea medie ptratic va fi ntotdeauna mai mare dect abaterea medie liniar, calculat pentru aceeai serie de date.Abaterea medie ptratic, ca i abaterea medie liniar, se exprim n aceleai uniti ca i caracteristica a crei variaie o prezint. Din acest motiv, aceti indicatori se pot folosi la compararea gradului de variaie numai pentru seriile care se refer la aceeai caracteristic statistic.

II.3. Coeficientul de variaie Se calculeaz ca raport ntre abaterea medie ptratic i nivelul mediu al seriei. De obicei se exprim sub form de procente.

Dac se cunoate numai abaterea medie liniar, atunci se poate calcula coeficientul de variaie i pe baza formulei:

Coeficientul de variaie poate s ia valori ncepnd cu zero. Cu ct are o valoare mai mic, cu att seria statistic este mai omogen i deci media este mai reprezentativ. Se apreciaz c n cazul unui coeficient de peste 35 - 40% media nu mai este reprezentativ i datele trebuie regrupate. Acest indicator este cel mai expresiv fiind folosit la aprecierea gradului de semnificaie al mediei pentru o serie de distribuie precum i a omogenitii colectivitii statistice din punctul de vedere al caracteristicii cercetate.

II.4.Dispersia Dispersia este un alt indicator sintetic al variaiei cu o larg utilizare n analiza statistic a fenomenelor. Se calculeaz ca o medie aritmetic simpl sau ponderat a ptratelor abaterilor termenilor fa de media lor, deci se mai poate numi i ptratul mediu al abaterilor termenilor fa de media lor.

- pentru o serie simpl:

- pentru o serie cu frecvene

Calculul simplificat al dispersiei prin procedeul originii arbitrare ntr-o serie de repartiie, utilizat i n determinarea mediei, se bazeaz pe urmtoarea formul: