statistica
TRANSCRIPT
1
DENUMIREA CURSULUI: SSTTAATTIISSTTIICCAA TIPUL CURSULUI: obligatoriu DURATA CURSULUI : un semestru NUMAR DE CREDITE: 5 MANUALUL RECOMANDAT: Statistica - Editura Fundatiei Romania de Maine, Bucuresti, 2006, autori:Angela Popescu; Gabriela Neacsşu: George GoanŃă. OBIECTIVUL CURSULUI: Statistica are un continut metodologic si pune la dispozitia studentilor o gama larga de instrumente de masurare a proceselor economice, de analiza, de comparare, de generalizare si abstractizare a celor mai diverse aspecte si evenimente din viata unui popor sau a lumii si in mod deosebit din diversitatea mediului de afaceri. MODUL DE STABILIRE A NOTEI FINALE: EXAMINAREA are loc in sistem electronic pe baza de teste grila cu diferite forme de raspuns. In teste se gasesc si o serie de probleme cu grade diferite de dificultate, si cu punctaj diferit. TITULARUL CURSULUI: conf.univ.dr ANGELA POPESCU BIBLIOGRAFIE OBLIGATORIE: Angela Popescu, Gabrilea Neacsu, George Goanta: STATISTICA, Ed.FRM,Buc.2006. BIBLIOGRAFIE FACULTATIVA: 1) Mariana-Elena Balu: Statistica aplicata in economie. studii de caz-probleme. Editura Fundatiei Romania de Maine.Bucuresti.2006.
Cap.1. OBIECTUL SI METODA STATISTICII
Obiectul de studiu al statisticii îl constituie fenomenele de masă(stochastice) sau fenomene de tip colectiv, care prezintă proprietatea de a fi variabile ca formă de manifestare individuală în timp si spaŃiu dar şi sub raport organizatoric.
Sintetizând, putem spune că fenomenele şi procesele care fac obiectul de studiu al statisticii prezintă unele particularităŃi, şi anume:
• se produc într-un număr mare de cazuri individuale, care permit desprinderea esenŃei lor din punct de vedere statistic;
• se caracterizează prin variabilitate, deoarece sunt rezultatul acŃiunii unui număr mare de factori de influenŃă de natură diferită;
• sunt forme individuale de manifestare concretă în timp, în spaŃiu şi sub raport organizatoric; • acŃiunea unor factori de influenŃă se compensează reciproc, deoarece ei se manifestă în sensuri diferite; • se produc şi se manifestă în condiŃii de incertitudine. Statistica studiază fenomenele sociale şi economice de masă în cadrul cărora guvernează legile statistice care
acŃionează ca o tendinŃă predominantă în masa manifestărilor individuale, fără a putea fi identificate la nivelul fiecărui element al colectivităŃii. Legea statistică apare ca o rezultantă medie a numeroase acŃiuni individuale, care se produc intr-un numar mare de cazuri , astfel incat sa poata intra sub actiunea legii numerelor mari.
NoŃiuni fundamentale ale statisticii
Demersul statistic foloseşte în vocabularul de bază următoarele noŃiuni şi concepte: colectivitatea statistică, unitatea statistică, caracteristici statistice, date statistice, indicatori statistici.
Colectivitatea statistică sau populaŃia statistică desemnează totalitatea elementelor de aceeaşi natură (adică sunt omogene din punct de vedere al anumitor criterii) care sunt supuse cercetării statistice. Colectivitatea statistică are un caracter obiectiv şi finit, ceea ce impune delimitarea ei din punct de vedere al conŃinutului, spaŃiului şi formei organizatorice. Elementele unei colectivităŃi pot fi fiinŃe, lucruri, precum şi fapte sau evenimente referitoare la acestea.
ColectivităŃile statistice pot fi statice sau dinamice; cele statice exprimă o stare şi o anumită întindere în spaŃiu, formând un stoc la un moment dat, pe când cele dinamice exprimă un flux „o devenire în timp”.
UnităŃile colectivităŃii statistice sunt purtătoare de informaŃii sau subiecte logice ale informaŃiei statistice, deoarece asupra lor se exercită nemijlocit observarea. UnităŃile colectivităŃii statistice au un caracter efectiv, concret
2
(persoane, firme, mijloace materiale sau băneşti), iar numărul lor este variabil, dar în orice moment are o valoare precisă.
Caracteristicile statistice (variabile statistice) reprezintă acele însuşiri, proprietăŃi, trăsături comune unităŃilor unei colectivităŃi statistice care sunt reŃinute în programul statistic pentru a fi înregistrate şi care vor defini şi delimita colectivitatea şi fiecare unitate statistică în parte. CONCEPTE CHEIE: fenomene de masa, fenomene stochastice, demers statistic, lege statistica, legea numerelor mari , colectivitate statistica, unitate statistica, caracteristici statistice, variabile statistice. MANUAL: pag:11-16.
Cap.2. METODE DE CERCETARE, PRELUCRARE SI PRZENTARE A DATELOR STATISTICE
Observarea statistică presupune respectarea unor principii fundamentale impuse prin lege (Legea nr. 11/1994), principii asemănătoare cu cele impuse pe plan internaŃional. Ele au în vedere: autonomia metodologică, confidenŃialitatea, transparenŃa, specializarea, proporŃionalitatea şi deontologia statistică.
Prin programul de observare trebuie să se precizeze câteva elemente fixe, şi anume: • scopul observării este subordonat scopului general pentru care s-a organizat cercetarea statistică şi de exacta
lui înŃelegere depinde reuşita acŃiunii; • obiectul cercetării sau colectivitatea cercetată reprezintă mulŃimea unităŃilor la care vor fi înregistrate
caracteristicile precizate. Obiectul observării trebuie să fie delimitat ca volum, în timp, spaŃiu, cât şi din punct de vedere organizatoric;
• unitatea de observare ca element component al colectivităŃii trebuie să fie clar definită pentru a obŃine date complete, exacte şi comparabile în timp şi spaŃiu. UnităŃile de observare pot fi simple sau complexe în funcŃie de scopul cercetării;
• programul observării constă în stabilirea tuturor caracteristicilor care trebuie înregistrate, a modalităŃilor concrete de culegere a datelor, încadrarea în timp şi spaŃiu a activităŃii de obŃinere a informaŃiilor;
• formularele şi instrucŃiunile de înregistrare se prezintă sub formă de fişe (care se completează pentru o singură unitate de observare) şi liste (care se completează pentru mai multe unităŃi). Formularele de înregistrare sunt însoŃite de norme metodologice şi tehnice privind completarea lor, norme ce pot fi imprimate direct pe formular sau în broşuri anexe.
Metodele şi procedeele de observare statistică sunt în funcŃie de natura fenomenelor studiate, de modul de organizare a activităŃii agenŃilor economici, de posibilităŃile de înregistrare a fenomenelor şi de mijloacele tehnice de prelucrare de care se dispune. Gruparea metodelor de înregistrare (observare) în sisteme are la bază diferite criterii:
a) după modul de organizare a activităŃii social-economice deosebim: • observări permanente, care se efectuează prin intermediul sistemului informaŃional statistic; • observări special organizate ca: recensăminte, anchete, monografii;
b) după timpul la care se referă datele, observările statistice pot fi: • curente, cum sunt rapoartele statistice; • periodice, care se efectuează la un anumit interval de timp (recensământul); • unice (observări speciale), care se fac pentru consemnarea statistică a unui eveniment nerepetabil;
c) după numărul unităŃilor înregistrate, observările pot fi: • totale, cum sunt recensămintele şi raportările statistice, prin care se culeg date de la toate unităŃile
colectivităŃii; • parŃiale, cum este sondajul prin care se realizează înregistrări numai la o parte din unităŃile
colectivităŃii. Principalele tipuri de lucrări de înregistrare statistică practicate sunt : recensământul , rapoartele statistice, anchetele prin sondaj, ancheta statistică, observarea părŃii principale, monografia, ancheta integrată în gospodării, ancheta asupra forŃei de muncă în gospodării, ancheta structurală în întreprinderi, observarea pieŃei Ńărăneşti.
Sistematizarea datelor se face după un program care cuprinde metodologii şi procedee de prelucrare specifice proceselor studiate, precum şi unele măsuri organizatorice. În acest sens, se procedează la efectuarea unor operaŃiuni de centralizare, grupare şi reprezentare a datelor sub formă de serii, tabele şi grafice.
Etapele sistematizării statistice implică parcurgerea următoarelor etape: • centralizarea; • gruparea sau clasificarea datelor şi calculul indicatorilor statistici absoluŃi; • calculul indicatorilor derivaŃi; • prezentarea rezultatelor prelucrării sub formă de: serii, tabele şi grafice. Gruparea statistică este o centralizare pe grupe a unităŃilor unei colectivităŃi în care caracteristica de grupare
este o variabilă în funcŃie de care unităŃile colectivităŃii sunt repartizate în grupe distincte cât mai omogene. NoŃiunile de bază folosite de metoda grupării statistice sunt: • caracteristica de grupare; • intervalul de grupare. Intervalele de grupare pot fi: • intervale egale şi neegale; • intervale închise şi deschise; • intervale cu variaŃie discretă şi cu variaŃie continuă.
3
Metodele de prezentare a rezultatelor prelucrării primare sau secundare a datelor statistice sunt: • tabelele statistice; • seriile statistice; • reprezentările grafice. Tabelul este o reŃea de linii orizontale şi verticale care, prin întretăiere, formează rânduri, coloane, rubrici. ConŃinutul tabelului este format din: • titlul tabelului sau subiectul tabelului, care redă într-o formă concisă colectivitatea şi părŃile sale
componente; • predicatul tabelului (respectiv titulatura coloanelor) reprezintă elementele statistice care caracterizează
subiectul tabelului, deci este format din sistemul de caracteristici pentru care s-a făcut centralizarea datelor. Tipurile tabelelor statistice 1. Tabelele simple 2. Tabelele pe grupe 3. Tabelele combinate Seria statistică este prezentarea paralelă a două şiruri de date, în care primul şir prezintă caracteristica de
grupare (atributivă, de spaŃiu sau de timp), iar cel de-al doilea, rezultatul centralizării fenomenelor, adică numărul de unităŃi din fiecare grupă.
Reprezentările grafice reprezintă o modalitate expresivă deoarece vizualizează informaŃiile statistice în vederea perceperii sintetice şi globale a întregului ansamblu de mesaje informaŃionale şi permite formarea unei imagini intuitive şi clare despre evoluŃia fenomenelor şi proceselor în timp. Reprezentările grafice sunt metode rapide de determinare a legăturilor şi corelaŃiilor dintre fenomene şi pun în evidenŃă caracteristicile acestora: structuri, relaŃii, tendinŃe, regularităŃi, precum şi anomalii, erori sau omisiuni în datele originale.
Elementele de bază ale graficelor : titlul graficului, scara de reprezentare, reŃeaua graficului, legenda , sursa datelor, notele explicative , graficul propriu-zis
Principalele tipuri de grafice statistice : cronogramele şi diagramele polare, histograma, poligonul şi curba frecvenŃelor, cartogramele şi cartodiagramele
AplicaŃii Pe baza seriilor de date prezentate în tabelul nr. 1 a fost realizta o aplicaŃie practică a principalelor metode cu
care operează statistica. Tabel nr.1
Valoarea incasarilor si a salariului incasat pe o perioada de 15 zile dintr-un an pe un esantion de 70de persoane
Per-soa- na
Varsta (ani)
Coef. de
intelig.
Valoarea incasarilor (mii u.m.)
Salariul incasat (u.m.)
Per-soa- na.
Varsta (ani)
Coef. de
intelig.
Valoarea incasarilor (mii u.m.)
Salariul incasat (u.m.)
1. 23 80 15 120 36. 28 105 50 158 2. 30 85 20 130 37 56 80 20 120 3. 52 70 17 118 38 19 85 25 135 4. 35 90 30 150 39. 46 89 30 130 5. 18 min 75 19 120 40. 28 105 50 160 6. 43 80 28 132 41. 37 125 60 200 7. 20 85 20 150 42. 40 110 55 180 8. 33 96 35 145 43. 30 96 45 170 9. 28 70 18 125 44. 22 78 20 110 10. 38 88 29 135 45. 24 90 30 140 11. 47 95 40 139 46. 33 123 60 195 12. 19 86 18 110 47. 37 120 60 200 13. 24 90 36 140 48. 43 105 50 180 14. 37 88 20 128 49. 49 110 55 190 15. 46 100 50 138 50 36 96 47 170 16. 54 90 37 143 51. 59 98 40 150 17. 22 86 24 130 52. 58 90 35 140 18. 28 89 22 139 53. 45 90 35 140 19. 36 95 41 150 54. 36 110 62 206 20. 19 86 28 130 55. 65 max 89 25 130 21. 27 90 30 156 56. 18 89 25 130 22. 32 92 33 130 57. 20 92 30 140 23. 55 96 46 145 58. 19 93 35 145 24. 60 96 36 145 59. 37 125 65 200 25. 58 97 38 140 60. 38 105 55 180 26. 29 80 46 160 61. 42 100 50 180 27. 39 96 49 150 62. 46 90 46 160 28. 43 102 50 160 63. 55 95 50 150 29. 44 96 48 130
64. 55 98 52 152
4
30. 38 96 48 155 65. 57 110 60 200 31. 40 110 50 160 66. 47 70 30 150 32. 53 115 53 150 67. 42 115 60 202 33. 23 95 40 140 68. 43 89 36 160 34. 27 90 35 130 69. 36 100 58 180 35. 40 115 55 160 70. 35 105 55 190
Gruparea simplă
a) DistribuŃia salariaŃilor pe grupe în funcŃie de vârstă (tabelul nr. 2).
Se foloseşte relaŃia Sturgers: nlg322,31
xxK minmax
+
−=
unde: K – mărimea intervalului de grupare xmax – valoarea maximă a caracteristicii de grupare (65 ani) xmin – valoarea minimă a caracteristicii de grupare (18 ani) x – caracteristica de grupare, adică vârsta salariaŃilor n – numărul de persoane din eşantion (70)
59,6129,7
47
845,1322,31
47
70lg322,31
1865K ==
⋅+=
+
−=
Pentru uşurinŃa calculelor se rotunjeşte rezultatul de la 6,59 la 7. Deci, mărimea intervalului de grupare va fi de 7 ani.
Tabel nr. 2
Gruparea salariaŃilor în funcŃie de vârstă
Structura Grupe de salariaŃi după vârstă (ani)
Număr de salariaŃi (n) CoeficienŃi Procente (%)
18-25 14 0,20 20 25-32 10 0,14 14 32-39 16 0,23 23 39-46 14 0,20 20 46-53 5 0,07 7 53-60 10 0,14 14 60-67 1 0,02 2 Total 70 1,00 100
14:70=0,20 (14:70)100=20 10:70=0,14 (10:70)100=14 1:70=0,02 (1:70)100=2
b) Gruparea salariaŃilor după coeficientul de inteligenŃă (tabelul nr. 3).
.871,7129,7
55
845,1322,31
70125
70lg322,31
xxK minmax ≈==
⋅+
−=
+
−=
Se porneşte de la valoarea minimă a caracteristicii de grupare la care se adaugă mărimea intervalului de grupare (K = 8)
70 + 8 = 78; 78 +8 = 86; 86 + 8 = 94. Se continuă raŃionamentul până se ajunge la valoarea maximă a caracteristicii de grupare
d) DistribuŃia salariaŃilor după salariul încasat (tabelul nr. 4)
.14466,13129,7
96
70lg322,31
110206
nlg322,31
xxK minmax ≈==
+
−=
+
−=
Mărirea intervalului de grupare va fi de 14 u.m. 110 + 14 = 124; 124 + 14 = 138; 138 + 14 = 152…
Tabel nr. 3
Gruparea salariaŃilor după coeficientul de inteligenŃă
Structura Grupe de salariaŃi după coeficientul de
inteligenŃă
Număr de salariaŃi (n) CoeficienŃi Procente (%)
70-78 5 0,07 7 78-86 10 0,14 14 86-94 19 0,27 27 94-102 19 0,27 27 102-110 10 0,14 14 110-118 3 0,05 5 118-126 4 0,06 5 Total 70 1,00 100
5
Tabel nr. 4
DistribuŃia salariaŃilor după salariul încasat
Structura Grupe de salariaŃi după salariul încasat
(mii u.m)
Număr de salariaŃi (n) CoeficienŃi Procente (%)
110-124 6 0,09 9 124-138 15 0,21 21 138-152 23 0,33 33 152-166 10 0,14 14 166-180 7 0,10 10 180-194 2 0,03 3 194-208 7 0,10 10 Total 70 1,00 100
În grupa cu cele mai mici salarii se găsesc 9% din numărul persoanelor cuprinse în eşantion, iar în grupa cu salarii cele mai mari se situează 10% din salariaŃi.
În funcŃie de datele din tabelul nr. 2 s-a reprezentat prin histogramă distribuŃia pe grupe a salariaŃilor (graficele nr. 1, 2, 3).
Graficul nr. 1 DistribuŃia salariaŃilor după vârstă (prin histogramă)
Graficul nr. 2
DistribuŃia salariaŃilor pe grupe în funcŃie de salariul încasat (poligonul frecvenŃelor)
Grupa cea mai numeroasă, care cuprinde 33% din eşantion, o reprezintă grupa cu salarii cuprinse între 138-
152 u.m pe un interval de 15 zile. În grupa cu cele mai mici salarii încasate se situează 9,0% din persoanele din eşantion, iar în grupa cu cele mai
mari salarii încasate sunt cuprinse 10% din persoanele care formează eşantionul.
Gruparea combinată
2 4 6 8 10 12 14 16
14
10
16 14
5
10
1
18 25 32 39 46 53 60 67
Grupe de salariaŃi după
vârstă
Nr. salariaŃi (pers)
Grupe de salariaŃi după salariul încasat (u.m.) 110
Nr. de salariaŃi (persoane)
5
10
15
20
25
124 138 152 166 180 194 208
6
15
23
10 7
2
7
6
Tabelul nr. 5 Gruparea combinată a salariaŃilor în funcŃie
de coeficientul de inteligenŃă şi de salariul încasat Salariul încasat
Coef. de inteligenŃă 11
0-12
4
124-
138
138-
152
152-
166
166-
180
180-
194
194-
208
Tot
al
70-78 **** 0 * 0 0 0 0 5 78-86 *** **** * * 0 0 0 9 86-94 0 ****
**** *********
0 *** 0 0 20
94-102 0 * **********
**
* *** * 0 18
102-110 0 0 0 **** * ** 0 7 110-118 0 0 0 ** 0 ** *** 7 118-126 0 0 0 0 0 0 **** 4 Total 7 13 23 11 4 5 7 70
Graficul nr. 3
Gruparea combinată a salariaŃilor în funcŃie de coeficientul de inteligenŃă şi de salariul încasat (histogramă)
În grupele de salariaŃi care depăşesc coeficientul normal de inteligenŃă se găsesc 18 salariaŃi. În grupele de salariaŃi cu cele mai mari salarii încasate (180-208 U.M.) se găsesc numai 9 salariaŃi. Aceasta
dovedeşte că salariul încasat nu este în directă corelaŃie cu coeficientul de inteligenŃă. CUVINTE CHEIE:clasificare statistica, recensamant, sonda, ancheta statistica, monografie, centralizarea
datelor, sistematizarea datelor, gruparea datelor, varianta, amplitudinea variatiei, relatia Sturgers, diagrame, stereograme, corelograma.
MANUAL:pag:17-47.
CAP.3.. INDICATORII STATISTICI Variabilitatea formelor individuale de manifestare în timp şi spaŃiu a proceselor şi fenomenelor economice a
determinat pe statisticieni să elaboreze metodologii şi tehnici specifice acestor determinări cantitative numite indicatori. Aceşti indicatori trebuie să asigure compatibilitatea informaŃiilor atât pe plan naŃional, cât şi internaŃional, deoarece aceştia au un conŃinut real, obiectiv determinat, o formulă proprie de calcul şi o formă specifică de exprimare.
FuncŃiile indicatorilor statistici sunt multiple şi complexe în concordanŃă cu mesajul pe care trebuie să-l transmită. În literatura de specialitate s-au evidenŃiat mai multe funcŃii ale indicatorilor:
FuncŃia de comparare, care derivă din cunoaşterea modificărilor intervenite în nivelul de dezvoltare sau în structura fenomenelor. Această funcŃie se realizează prin respectarea câtorva reguli:
• între termenii comparaŃi trebuie să existe o legătură obiectivă, reală, de condiŃionare, de cauzalitate etc;
7
• termenii incluşi în modelele de comparaŃie trebuie să fie pe deplin comparabili (ca metodologie de calcul, ca preŃuri de exprimare, ca sferă de cuprindere, ca perioade de referinŃă etc);
• baza de comparaŃie să fie semnificativă pentru ca indicatorul rezultat din comparaŃie să aibă o valoarea de cunoaştere.
FuncŃia de măsurare se realizează prin observarea directă la nivelul fiecărei unităŃi, operaŃie în urma căreia se obŃin indicatori absoluŃi exprimaŃi cantitativ sau valoric, şi ocupă un loc bine determinat în sistemul de indicatori care caracterizează în final colectivitatea. Aceşti indicatori, numiŃi şi indicatori primari, sunt supuşi în continuare unui proces de prelucrare cu ajutorul unor modele de calcul şi analiză statistică.
FuncŃia de analiză provine din faptul că statistica operează cu variabile complexe care se găsesc în diferite relaŃii de cauzalitate şi acŃionează între „parte şi întreg” sau între „factor şi rezultat”. Necorelarea unor elemente duce la repetarea calculelor şi descoperirea greşelilor apărute datorită unor calcule eronate sau unor metodologii greşit aplicate.
FuncŃia de sinteză este cea prin care se evidenŃiază ceea ce este esenŃial, tipic, pentru întreaga masă de fenomene de acelaşi fel, omogene şi apare sub formă de valori medii sau agregate complexe.
FuncŃia de estimare se manifestă prin măsurarea tendinŃei de dezvoltare a fenomenului în aceleaşi condiŃii de evoluŃie, dar variabile în timp.
FuncŃia de verificare a ipotezelor şi de testare a semnificaŃiei unor indicatori calculaŃi, fapt ce se impune datorită folosirii mai multor ipoteze de calcul cu privire la posibila evoluŃie în timp, spaŃiu, dar şi din punct de vedere managerial, a fenomenului studiat.
Mărimile relative
Mărimile relative exprimă rezultatul comparării, sub formă de raport, a doi indicatori statistici şi arată câte unităŃi din indicatorul de la numărător revin la o unitate a indicatorului considerat ca bază de raportare.
Pentru ca obiectivul urmărit prin cercetare să fie atins, adică să se obŃină informaŃii corecte şi o imagine reală asupra fenomenului, în cazul folosirii mărimilor relative, se cer a fi parcurse următoarele etape:
• alegerea bazei de comparare, care trebuie să fie în funcŃie de gradul de interdependenŃă dintre caracteristici; • asigurarea comparabilităŃii datelor care formează raportul, din punctul de vedere al gradului de cuprindere a
elementelor, cât şi al metodologiei de culegere şi prelucrare; • alegerea formei de exprimare a mărimilor relative, care trebuie să corespundă scopului cercetării şi care se
poate concretiza sub formă de: coeficienŃi, procente, promile, prodecimile. Coeficientul arată câte unităŃi din indicatorul raportat revin unei singure unităŃi a indicatorului bază de
raportare. Procentul este forma cea mai obişnuită de exprimare a mărimilor relative şi arată câte unităŃi din indicatorul
raportat revin la 100 unităŃi ale indicatorului bază de raportare. Promilele se folosesc când indicatorul comparat este mult prea mic faŃă de indicatorul bază de comparare. În analiza statistică se utilizează diferite tipuri de mărimi relative, cum ar fi: • mărimile relative de structură; • mărimile relative de intensitate; • mărimile relative de coordonare; • mărimile relative ale dinamicii; • mărimile relative ale prevederilor (programului de dezvoltare). Mărimile medii Mărimile medii sunt instrumente statistice care exprimă în mod sintetic şi generalizat ceea ce este normal,
esenŃial, tipic şi general în evoluŃia fenomenelor. Felurile mărimilor medii
Media aritmetică ( )ax este cea mai utilizată formă sub care se calculează valoarea medie a unei caracteristici şi se foloseşte în general când fenomenul supus cercetării înregistrează modificări aproximativ constante în progresie aritmetică.
Media aritmetică după tehnica de calcul este de două feluri: simplă şi ponderată.
Media armonică ( )hx este o variantă cu aplicaŃii speciale a mediei aritmetice. Se foloseşte în cazul în care avem de calculat o medie generală din medii parŃiale Aceasta este mărimea inversă a mediei aritmetice, calculată din mărimile inverse ale valorilor individuale ale caracteristicii.
Media armonică este de două feluri: simplă şi ponderată
Media pătratică ( )px este o mărime medie calculată prin extragerea rădăcinii pătrate din media aritmetică a pătratelor termenilor seriei. Aceasta este de două feluri: simplă şi ponderată.
Media geometrică ( )gx se bazează pe relaŃia de produs a termenilor seriei şi se mai numeşte şi medie logaritmică. Cu ajutorul acestei medii se calculează: ritmurile medii de creştere a populaŃiei, a producŃiei, venitului naŃional etc.
Media cronologică este indicată pentru determinarea nivelului mediu al seriilor cronologice de moment.
8
Indicatori calculaŃi pe baza frecvenŃelor
FrecvenŃa sau ponderea reprezintă numărul de apariŃii care corespund grupelor de unităŃi în urma centralizării statistice.
FrecvenŃele absolute (ni) reprezintă unităŃi concrete de măsură, ce corespund fiecărei grupe. Totalizarea frecvenŃelor absolute corespunde cu numărul de unităŃi din colectivitatea studiată (ni).
FrecvenŃele relative (ni) sunt mărimi relative de structură şi se obŃin prin raportarea frecvenŃei fiecărei grupe (ni) la totalul frecvenŃelor relative. Prin totalizarea frecvenŃelor relative se obŃine 1 sau 100 (dacă se lucrează cu coeficienŃi se obŃine 1, dacă se lucrează cu procente se obŃine 100).
FrecvenŃele cumulate se calculează atât pentru frecvenŃele absolute, cât şi pentru cele relative. Cumularea se face succesiv pornind de sus în jos şi se obŃin frecvenŃe cumulate crescător, sau pornind de jos în sus şi se obŃin frecvenŃe cumulate descrescător.
Indicatorii medii de poziŃie, denumiŃi şi medii de structură sunt: •••• Mediana este valoarea centrală a unei serii statistice, după ce termenii acesteia au fost aranjaŃi în ordine
crescătoare sau descrescătoare. Mediana va fi egală cu valoarea termenului central într-o serie simplă formată dintr-un număr impar de termeni centrali dacă seria este formată dintr-un număr par de termeni. În concluzie, mediana depinde de numărul termenilor ordonaŃi după mărimea lor, nu după valoarea absolută a termenilor.
•••• Quartilele sunt în număr de trei (Q1, Q2, Q3) şi se definesc ca valori de caracteristici care împart volumul colectivităŃii în patru părŃi egale.
•••• Decilele împart seria în zece părŃi egale şi se determină la fel ca mediana, Ńinând cont de locul pe care-l ocupă.
•••• Mediala (Md) este un indicator de poziŃie egal cu acel nivel al caracteristicii care împarte suma termenilor seriei (∑xini) în două părŃi egale. Mediala nu se confundă cu mediana, care reprezintă acel nivel al caracteristicii ce împarte efectivul total (∑ni) al unei serii în două părŃi egale.
•••• Valoarea modală sau dominantă este valoarea caracteristicii cea mai frecvent observată într-o distribuŃie, adică valoarea ce corespunde frecvenŃei dominante.
AplicaŃii
Indicatorii de frecvenŃă
Tabelul nr. 6
1) Media aritmetică (tabelul nr. 7.)
zile iat/15u.m./salar 20,15170
10584
n
nxx
i
iia ===
∑∑
2) Media armonică (tabelul nr. 6.)
iatu.m./salar 92,1474732,0
70
nx
1n
x
ii
ih ===
∑
∑
3) Media pătratică (tabelul nr. 6.)
iatu.m./salar 97,15270
1638182
n
nxx
i
i2i
p ===∑∑
9
4) Media geometrică (tabelul nr. 6.)
174,270
205,152
n
x lognx logxx
i
iig
n nig
i i ====Π=∑
∑Σ
Se procedează prin antilogaritmare din 2,174. Se tastează (pe calculator de buzunar):
10 yx 2,174 = 149,279 iatu.m./salar 279,149xg =
Între medii există următoarea relaŃie:
pagh xxxx ≤≤≤
147,92 < 149,279 < 151,20 < 152,97 Tabelul nr. 7
Algoritmul necesar calculării mediilor
CUVINTE CHEIE: verificare a ipotezelor statistice, marimi relative, marimi absolute, marime medie,
coeficient, procent, promile, prodecimile,frecvente cumulate, mediana, quartila, decila. MANUAL: pag: 48-61. CAP . 4. VARIATIA SI ASIMETRIA
Indicatorii de variaŃie aduc un plus de cunoaştere şi informare asupra: • verificării reprezentativităŃii mediei ca valoare tipică a unei serii
de repartiŃie; • verificării gradului de omogenitate a seriei; • comparării în timp sau spaŃiu a mai multor serii de repartiŃie după caracteristici independente sau
interdependente; • cunoaşterii gradului de influenŃă a cauzelor după care s-a făcut gruparea unităŃilor statistice înregistrate şi
separării cauzelor esenŃiale de cauzele întâmplătoare. După gradul de generalitate se disting: • indicatori simpli ai variaŃiei; • indicatori sintetici ai variaŃiei; Indicatori simpli ai variaŃiei Indicatorii simpli ai dispersiei măsoară câmpul de împrăştiere al caracteristicii, precum şi împrăştierea fiecărui
nivel individual al caracteristicii faŃă de nivelul lor mediu. •••• Amplitudinea absolută a variantei (A) se obŃine ca diferenŃă între valoarea maximă (x max) şi valoarea
minimă (xmin) a seriei şi are rolul de a măsura intervalul de împrăştiere în interiorul căruia se distribuie unităŃile colectivităŃii:
10
•••• Amplitudinea relativă a variaŃiei (A%) se exprimă în coeficient sau în procente şi se calculează, de obicei, ca raport între amplitudinea absolută a variaŃiei (A) şi valoarea medie a caracteristicii.
•••• Abaterile individuale absolute (di) se calculează ca diferenŃă între fiecare variantă înregistrată şi media aritmetică a acesteia.
•••• Abaterile individuale relative (di%) se calculează ca raport între abaterile individuale absolute şi nivelul mediu al caracteristicii.
Indicatorii sintetici ai variaŃiei (ai împrăştierii)
Indicatorii sintetici ai variaŃiei caracterizează gradul de variaŃie, luând în consideraŃie toŃi termenii seriei. Aceştia caracterizează într-o singură expresie numerică întreaga variaŃie a unei caracteristici din colectivitatea analizată.
În funcŃie de metodologia de calcul, de încărcătura informaŃională, în statistică se calculează următorii indicatori sintetici ai împrăştierii: abaterea medie; abaterea mediană; diferenŃa medie Gini; abaterea medie pătratică (deviaŃia standard); dispersia (varianŃa); coeficientul de variaŃie. AplicaŃii
Indicatorii de variaŃie
Indicatorii simpli ai variaŃiei Servesc pentru a caracteriza gradul de împrăştiere al unităŃilor colectivităŃii faŃă de medie. Indicatorii simpli ai variaŃiei sunt (tabelul nr. 8.):
• amplitudinea absolută a variaŃiei (Ax)
Ax = xsup – xinf = 208 – 110 = 96 u m
• amplitudinea relativă a variaŃiei (Ax%)
2,151x
5,631002,151
110208100
x
xx%A
a
infsupx
=
=⋅−
=⋅−
=
Tabelul nr. 8
Algoritmul de calcul pentru indicat. de variatie.
Indicatorii sintetici ai variaŃiei (tabelul nr. 8.) Caracterizează gradul de variaŃie lunară luând în consideraŃie toŃi termenii seriei . Aceştia sunt:
- abaterea medie liniară ( )d ; - dispersia (σ2); - abaterea medie pătratică sau abaterea standard sau abaterea tip (σ); - coeficientul de variaŃie (Vx).
Abaterea medie liniară ( )xd
m. u. 59,1870
6,1301
n
n xxd
i
iix ±==
−=
∑
∑
11
Abaterea medie liniară arată în medie cu cât se abat termenii seriei de la media lor. Prezintă dezavantajul că nu Ńine seama de semnul algebric şi acordă aceeaşi importanŃă atât abaterilor mici, cât şi abaterilor mari. Acest indicator este un indicator concludent numai dacă seria prezintă un grad mare de omogenitate.
În exemplul dat, salariile nete ale persoanelor din eşantion se abat în medie cu 18,59 u. m, în plus sau în minus faŃă de media eşantionului (151,2 u.m).
Dispersia 2xσ este un indicator care înlătură neajunsurile abaterii medii liniare, este un indicator abstract, nu
are formă concretă de exprimare şi arată modul în care valorile caracteristicii gravitează în jurul mediei. Dispersia măsoară variaŃia totală a caracteristicii studiate datorită cauzelor esenŃiale şi întâmplătoare.
( )16,541
70
11,37881
n
nxx
i
i
2
i2x ==
−=δ
∑∑
Acest indicator se foloseşte în verificarea ipotezelor statistice şi în calculul altor indicatori. Abaterea medie pătratică numită şi abaterea standard sau abaterea tip ( )
xσ , este un indicator care acordă
fiecărei abateri importanŃa cuvenită, prin ridicarea la pătrat a abaterilor. Abaterea medie pătratică este mai mare decât abaterea medie liniară .
Formula de calcul a abaterilor medii pătratice sau abaterii standard sau abaterii tip este: 2xx σ=σ
mu 26,2316,541x ==σ
Coeficientul de variaŃie (Vx) propus de Perason se calculează:
- ca raport între abaterea medie liniară şi nivelul mediu: 100x
dV
x
x ⋅= (media calculată);
- ca raport între abaterea medie pătratică şi media calculată: 100x
V xx ⋅
σ= .
Coeficientul de variaŃie înlătură toate neajunsurile celorlalŃi indicatori de variaŃie. Acest indicator arată câte unităŃi din abaterea medie liniară sau pătratică revin la 100 de unităŃi de medie.
Totdeauna: 100x
d 100
x
xx ⋅⟩δ
Coeficientul de variaŃie ia valori de la 0 – 100%. 0 ≤ Vx ≤ 100%. Dacă: Vx = 0, înseamnă lipsă de variaŃie, valorile sunt egale între ele şi egale cu media lor; Vx → 0 variaŃia caracteristicii este mică; Vx → 100% variaŃia caracteristicii este mare. Intervalul de valori al coeficientului de variaŃie (Vx) se poate interpreta astfel:
0 < Vx ≤ 35% - variaŃie mică; - media este semnificativă; - colectivitatea este omogenă; - gruparea este bine realizată. 35% < Vx ≤ 50% - variaŃie relativ mare; - media calculată şi gruparea realizată
sunt discutabile. 50% < Vx ≤ 100% - variaŃie foarte mare; - media calculată nu este semnificativă; - colectivitatea cercetată este eterogenă; - se impune refacerea grupării.
Coeficientul de variaŃie poate fi folosit ca test de semnificaŃie a reprezentativităŃii mediei astfel:
0 < Vx ≤ 17% - media este strict reprezentativă; 17% < Vx ≤ 35% - media este moderat semnificativă; 35% < Vx ≤ 50% - media este relativ reprezentativă; Vx > 50% - media nu este reprezentativă.
În exemplul dat coeficientul de variaŃie este:
12
12,29% 15,38% ;100x
d 100
x
%38,151002,151
26,23100
xV
%29,121002,151
59,18100
x
dV
xx
xx
xx
>>σ
==σ
=
===
Valorile coeficientului de variaŃie se situează sub 17% şi se pot concluziona: media calculată este strict
reprezentativă; colectivitatea este omogenă; gruparea este bine realizată. CUVINTE CHEIE: abaterea medie liniara, dispersia, abaterea medie patratica, coeficientul de variatie, regula de adunare a dispersiilor,, grad de omogenitate, imprastiere, simetrie,asimetrie, concentrare. MANUAL: pag:62-82.
CAP. 5. SONDAJUL STATISTIC
Cercetarea selectivă, selecŃie sau sondaj este o noŃiune amplă, care cuprinde culegerea, prelucrarea, analiza şi extinderea rezultatelor asupra întregii colectivităŃi. Pentru aceasta se parcurg două etape distincte:
• descrierea statistică, ce presupune culegerea şi prelucrarea informaŃiilor referitoare la eşantion şi calculul indicatorilor care-l definesc: media, dispersia etc.;
• inferenŃa statistică sau extinderea datelor obŃinute asupra întregii colectivităŃi.
Cercetarea prin sondaj presupune confruntarea a două tipuri de colectivităŃi: colectivitatea totală pe care vrem să o cunoaştem şi eşantionul pe care-l înregistrăm. Prin urmare, ca să le putem compara trebuie să cunoaştem o serie de termeni perechi, care au acelaşi conŃinut metodologic, dar diferă din punctul de vedere al informaŃiei, astfel:
• colectivitatea generală - colectivitatea de selecŃie; • media colectivităŃii generale - media colectivităŃii de selecŃie; • dispersia colectivităŃii generale – dispersia colectivităŃii de selecŃie. Principii şi procedee de eşantionare
Principiul alegerii aleatoare sau probabilistice presupune extragerea unităŃilor din colectivitatea generală după jocul hazardului, fiecare unitate componentă având şanse egale de a fi aleasă în eşantion. Acest tip de extragere se aplică de obicei când nu se cunoaşte structura colectivităŃii totale.
Principiul alegerii raŃionale are la bază un criteriu prestabilit şi se aplică atunci când colectivităŃile sunt grupate în grupe tipice, deci cu o structură cunoscută.
În practica sondajului se folosesc mai multe procedee de constituire a eşantionului: • al bilei revenite şi nerevenite – care se realizează prin extragerea în mod întâmplător a unui cartonaş (sau
bile) pe care în prealabil a fost înscris numărul unei unităŃi a colectivităŃii totale. Odată extras, acest cartonaş, sau bilă, este repus sau nu în urnă în funcŃie de varianta adaptată (revenită sau nerevenită);
• mecanic – care necesită ordonarea unităŃilor după o caracteristică şi stabilirea unui pas de numărare determinat în raport de mărimea colectivităŃii generale şi de cea a eşantionului;
• tabelul cu numere întâmplătoare – care constă în înscrierea la întâmplare într-un tabel a numerelor care au fost mai întâi amestecate. Tot la întâmplare se face şi alegerea din tabel a numerelor care vor forma eşantionul.
• selecŃii dirijate şi mixte – care au un obiectiv special şi sunt mai rar folosite în practica curentă. În practica statistică se folosesc mai multe tipuri de selecŃie care sunt dictate de anumite particularităŃi: • gradul şi forma de variaŃie a caracteristicii studiate; • modul de organizare a colectivităŃii totale; • modul de repartiŃie teritorială a unităŃilor; • procedeul de formare a eşantionului. Se disting următoarele tipuri de selecŃie: • selecŃie întâmplătoare simplă; • selecŃie mecanică; • selecŃie tipică (stratificată); • selecŃie de serii; • selecŃie în mai multe trepte; • selecŃie secvenŃială (în cazul controlului calităŃii produselor); • selecŃie subiectiv organizată (dirijată). Fiecare tip de selecŃie presupune calcularea următorilor indicatori:
13
• eroarea medie de reprezentativitate ( )x
σ ;
• eroarea limită (∆x); • volumul eşantionului (n); Calculul acestor indicatori pentru toate tipurile de sondaj se face după modelul selecŃiei întâmplătoare simple,
cu mici modificări, în funcŃie de particularităŃile fiecărui tip de sondaj. Exemplu: Cunoscând că numărul de salariaŃi (colectivitatea totală) al unei întreprinderi este de 700 de
persoane, s-a realizat un eşantion de 70 de persoane, formându-se 7 grupe de persoane în funcŃie de salariul net exprimat în unităŃi monetare (u.m.) (tabelul nr. 9.).
Se urmăreşte să se stabilească: salariul net mediu, la nivelul întregii colectivităŃi (de 700 de persoane, şi fondul total de salarii nete, estimat a fi plătit lunar de întreprindere.
Tabelul nr. 9
Algoritmul necesar pentru determinarea indicatorilor de selecŃie
Grupe de persoane
după salariul net
(u.m.) x
Număr de persoane
(ni)
Cen-trul de
in-terval (xi)
xi ni
( ) i2
i nxx −
110 - 124 6 117 702 7017,84 124 - 138 15 131 1965 6120,60 138 – 152 23 145 3335 884,12 152 – 166 10 159 1590 608,40 166 – 180 7 173 1211 3326,68 180 – 194 2 187 374 2563,28 194 - 208 7 201 1407 17360,28 Total ∑ni = 70 – ∑xini = 10584 ( ) 1137881,nxx i
2i =−∑
Pentru a se trece la determinarea indicatorilor de selecŃie este necesar să se calculeze mai întâi media
aritmetică, abaterea medie pătratică şi coeficientul de variaŃie pentru a se vedea dacă media este reprezentativă. Media aritmetică:
m u 2,15170
10584
n
nxx
i
ii ===∑∑
Dispersia:
( )16,541
70
11,37881
n
nxx
i
i
2
i2 ==−
=σ∑
∑
Abaterea medie pătratică:
m u 26,2316,5412
x==σ=σ
Coeficientul de variaŃie:
%38,151538,02,151
26,23
xVx ≈==
σ=
Deoarece coeficientul de variaŃie se situează sub 17%, se poate spune că media eşantionului este strict reprezentativă.
SelecŃia întâmplătoare simplă cu revenire sau repetată – caracteristica nealternativă 1. Eroarea medie de reprezentativitate ( )xσ
salariat/m u 78,273,770
16,541
n
2
x ===σ
=σ
σ2 – dispersia n – mărimea eşantionului
2. Eroarea maximă admisă ( )x∆ sau eroarea limitată.
Produsul xx z σ⋅=∆ se numeşte eroare limitată.
14
Coeficientul „z” este argumentul funcŃiei Gauss – Laplace, care se găseşte în tabele statistice. Pe măsură ce creşte valoarea funcŃiei, creşte şi valoarea argumentului, adică pe măsură se creşte probabilitatea, creşte şi intervalul de încredere al mediei şi scade exactitatea cu care se estimează media colectivităŃii generale.
Coeficientul de probabilitate „z” este direct proporŃional cu eroarea limită şi invers proporŃional cu eroarea medie de reprezentativitate:
x
xzσ
∆=
FuncŃia de probabilitate φz este direct proporŃională cu mărimea coeficientului „z”, ea se apropie de 1 (către certitudine) proporŃional cu creşterea coeficientului „z”. Creşterea probabilităŃii se manifestă prin mărirea intervalului de încredere, ceea ce duce la o precizie mai scăzută a rezultatelor. Pe măsură ce creşte probabilitatea, precizia scade.
În condiŃii date de probabilitate, creşterea preciziei rezultatelor se obŃine prin mărirea volumului de selecŃie, adică a eşantionului.
Se presupune că se doreşte o eroare limită admisă de 1,96 (z = 1,96) faŃă de eroarea maximă admisă care poate fi 5
Z = 1,96 (pentru φ = 0,95; 78,2x =σ
/salariatmu 4488,578,296,1z xx =⋅=σ⋅=∆ 3. Estimarea intervalului de încredere a mediei salariului net din colectivitatea generală. În acest caz, pentru extinderea rezultatelor la nivelul întregii colectivităŃi se foloseşte procedeul extinderii
directe. Acesta se utilizează când se dispune de informaŃii obŃinute prin observarea totală. Acest procedeu constă în estimarea parametrilor colectivităŃii generale pe baza rezultatelor selecŃiei statistice. Indicatorii obŃinuŃi prin sondaj se abat de la cei reali datorită erorilor de reprezentativitate. Aceşti indicatori se situează într-un interval de încredere dat de media de selecŃie la care se adaugă sau se scade eroarea limită, astfel:
x0xxxx ∆+≤≤∆−
unde: 0x = media colectivităŃii totale (de 700 de persoane)
x = media eşantionului (de 70 de persoane)
x∆ = eroarea maximă admisă calculată anterior
5,4488 151,2 x 5,4488-151,2
mu 5,4488 m;u 2,151x
0
x
+≤≤
=∆=
65,156x75,145 0 ≤≤
Salariul mediu pe întreaga colectivitate de 700 de persoane se va situa între 145,75 şi 156,65 u.m. Eroarea maximă de estimare a salariului mediu va fi de ± 5,4488 u.m.
Dacă se doreşte micşorarea erorii maxime cu 50%, deci în loc de 5,4488 u.m. să fie permisă o eroare ( )'
x∆ de
numai 2,7244 u. m., atunci este necesară mărirea eşantionului. În calculul de mai sus eşantionul a fost de 70 de persoane.
4. Volumul noului eşantion (n’) se calculează cu următoarea formulă.
( )persoane. 280
7244,2
16,54196,1
'
z'n
2
2
2
x
22
≈⋅
=∆
σ⋅=
unde: z = 7244,22
4488,5
2 ;96,1 x'
x==
∆=∆
σ2 = 541,16 (dispersia calculată)
( )2'
x∆ = (2,7244)2.
CUVINTE CHEIE: esantion, reprezentativitatea esantionului, selectie aleatoere, selectie mecanica, procedeul bilei revenite, procedeul bilei nerevenite, respingerea esantionului, eroare medie, eroare limita ,sondaj stratificat, interval de incredere, argument al functiei Gauss Laplace, functia de probabilitate, inferenta statistica, MANUAL:pag: 83-96.
15
CAP. 6. ANALIZA LEGĂTURILOR DINTRE FENOMENELE ŞI PROCESELE ECONOMICE ŞI SOCIALE
Legăturile statistice se pot clasifica în funcŃie de următoarele criterii: • După numărul caracteristicilor luate în studiu deosebim: – legături simple, când caracteristica endogenă, rezultativă, este studiată în funcŃie de o singură caracteristică
exogenă: y = f(x) (exemplu: suprafaŃa comercială şi valoarea vânzărilor); – legături multiple când se studiază dependenŃa unei caracteristici endogene în funcŃie de două sau mai multe
caracteristici exogene: y = f(x1, x2, ... xn);
• După direcŃia legăturii: – legături directe, când modificarea factorului x presupune şi modificarea variabilei rezultative y în acelaşi
sens (x creşte →y creşte; x scade → y scade); – legături inverse, când caracteristica dependentă se modifică în sens contrar faŃă de modificarea lui x (x
creşte → y scade şi invers). Exemplu: creşterea calităŃii managementului duce la scăderea cheltuielilor de producŃie; • După modul de exprimare a caracteristicilor incluse în analiza interdependenŃelor statistice: – legături de asociere, care relevă raportul dintre două sau mai multe caracteristici (legătura dintre profesie şi
salariul lunar); – legături de corelaŃie sau corelaŃie statistică, ce exprimă interdependenŃa dintre două sau mai multe
caracteristici statistice exprimate numeric. • După forma de realizare a legăturii sau după forma funcŃiei distingem: – legături liniare, care se exprimă prin ecuaŃia dreptei; – legături neliniare, care se exprimă prin ecuaŃia unei: parabole, hiperbole, funcŃii exponenŃiale. • După timpul în care se realizează, legăturile statistice pot fi: – legături concomitente sau sincrone, care se realizează în acelaşi timp şi se pot urmări în dinamică pentru
aceeaşi perioadă; – legături cu decalaj (asincrone), când influenŃa caracteristicilor factoriale asupra caracteristicii rezultative se
observă după scurgerea unei perioade de timp. • După intensitatea legăturii întâlnim: – legături cu intensitate puternică; – legături cu intensitate slabă.
Metode simple de studiere a legăturilor statistice • metoda seriilor paralele sau interdependente; • metoda grafică; • metoda grupărilor statistice; • metoda tabelului de corelaŃie.
Metode parametrice de măsurare şi analiză a legăturilor dintre fenomenele şi procesele economice Metodele parametrice sunt metode analitice de măsurare şi analiză a legăturilor dintre fenomenele şi procesele
social-economice şi depind de natura specifică a fenomenelor cercetate şi de natura informaŃiilor de care se dispune, adică de numărul factorilor luaŃi în studiu. În funcŃie de numărul caracteristicilor factoriale studiate se vor aplica metodele corelaŃiei simple sau metodele corelaŃiei multiple.
Metodele parametrice sunt: – metoda regresiei (funcŃie de modelare); – metoda covarianŃei; – metoda coeficientului de corelaŃie; – metoda raportului de corelaŃie; – metoda analizei dispersionale. Metode neparametrice de măsurare a intensităŃii legăturilor dintre fenomene CoeficienŃii corelaŃiei neparametrice se determină independent de forma legăturii. Ei se stabilesc fie în funcŃie
de abaterile individuale ale variabilelor corelate faŃă de media lor, fie în funcŃie de rangurile perechilor de valori, ale variabilelor corelate.
Metodele neparametrice nu includ întotdeauna valorile variabilelor şi nici parametrii acestora, acestea luând în considerare numere de ordine denumite ranguri.
• Coeficientul de asociere • Coeficientul de contingenŃă • Coeficientul de concordanŃă Fechner • CoeficienŃii de corelaŃie a rangurilor • Coeficientul lui Spearman • Coeficientul Kendall
16
Tab
elul
nr.
11.
Algoritmul de calcul pentru determ
inarea indicatorilor de corelaŃie
AplicaŃii Metodele şi procesele de interpretare a existenŃei şi a formei de legătură au menirea de a oferi
posibilitatea cunoaşterii existenŃei sau lipsei legăturii, direcŃia de realizare a legăturii, aprecierea vizuală a formei de legătură şi a intensităŃii acesteia.
Metode analitice de măsurare a legăturilor dintre fenomene - metoda regresiei (funcŃia de modelare, tabelul nr. 11.); - testarea semnificaŃiei parametrilor „a” şi „b” (tabelul nr. 12.); - metoda coeficientului de corelaŃie; - metoda raportului de corelaŃie; - metoda analizei dispersionale;
17
- metoda covarianŃei (tabelul nr. 13.). Se presupune că între cele două variabile există o legătură liniară în care x – coeficientul de inteligenŃă reprezintă variabila factorială, iar y – salariul net reprezintă variabila rezultativă.
Yxi = a + bxi Se vor calcula parametrii a şi b după următoarele formule:
( )
( )
( ) ( )
75,1928900
1626800
658063179070
106406580102340070
nxnxn
nynxnyxnb
62,12928900
1726400.1
658063179070
6580102340063179010640
nxnxn
nxnyxnxnya
22iii
2i
iiiiiii
2
2iii
2i
iiiiii2iii
==
=−⋅
⋅−⋅=
−
⋅−=
−=−
=−⋅
⋅−⋅=
=−
⋅−⋅=
∑ ∑
∑ ∑ ∑
∑ ∑
∑ ∑ ∑ ∑
Parametrul „b”, numit şi coeficient de regresie, arată că, la o creştere cu o unitate a factorului x, factorul y răspunde cu o creştere egală cu valoarea lui b. În cazul acestui exemplu, se poate spune că, la o creştere a coeficientului de inteligenŃă cu o unitate, salariul net creşte cu 1,75 unităŃi monetare.
Ajustarea salariului net în funcŃie de coeficientul de inteligenŃă se realizează prin înlocuirea valorilor parametrilor a şi b în ecuaŃia de regresie.
a + b x1 = - 12,62 + 1,75 · 74 = 116,88 a + b x2 = - 12,62 + 1,75 · 82 = 130,88 a + b x7 = - 12,62 + 1,75 · 122 = 200,88
Se observă că valorile ajustate ale ecuaŃiei de regresie nu diferă mult în comparaŃie cu valorile reale înregistrate (yi)
• Coeficientul de regresie se mai poate calcula şi cu formula: ( )( )
( )75,1
1904
3332
xx
yyxxb
2i
iix/y ==
−
−−=
∑
∑
Valoarea pozitivă a coeficientului de regresie arată o legătură directă, adică creşterea cu o unitate a coeficientului de inteligenŃă atrage creşterea cu 1,75 unităŃi monetare a salariului net.
• Testarea semnificaŃiei parametrului „a” (tabelul nr. 12.) se realizează cu testul „t” astfel:
( )( )
( )
6,54063,036,869,103474721
190470
1217,0
62,12t
1217,001482,0270
008,1
2n
nYxys
x
xxn
s
at
calc
i
i2
ii
2i
2i
calc
+=⋅⋅+==
==−
=−
−=
−=
∑∑
∑
∑
tcalculat > ttabelar (RepartiŃia Student); t0.01; 68 = 2,648
Din tabelul anterior avem valorile: ∑xini şi ∑yini
9470
6580
n
nxx
i
ii ===∑∑ coeficientul mediu de inteligenŃă
mu 15270
10640
n
nyy
i
ii ===∑∑ salariul net mediu
• Testarea semnificaŃiei parametrului „b” se realizează cu testul „t” (tabelul nr. 12.)
18
Tabelul nr. 12
Tabelul cu valori ajutătoare
( ) 5,16562,11538,14132801217,0
75,1nxx
s
bt i
2icalculat =⋅==−= ∑
Valoarea tabelară teoretică t 0,01; 70 – 2 = 2,648 (RepartiŃia Student)
tcalculat > ttabelar; 1656,5 > 2,648, deci „b” este semnificativ. • Verificarea semnificaŃiei ecuaŃiei de regresie (Yx) (tabelul nr. 13)
;s
sFc
2
1= ( )
0,4067112
0,40671
1K
nYxys i
2
1 =−
=−
−=∑
K = număr de variabile (coeficient de inteligenŃă şi salariul net) K = 2
( )1217,00148,0
270
008,1
Kn
nYxys i
2ii
2 ==−
=−
−=∑
6,3341901217,0
0,40671
s
sFc
2
1 ===
Fα : K – 1; n – K pentru α = 5% (0,05) K – 1 = 2 – 1 = 1 0,05 1 68 n – K = 70 – 2 = 68
F1/68 = 4 (RepartiŃia F1 Fisher – Snedecor) Fcalculat > Ftabelar, deci ecuaŃia de regresie este semnificativă.
• CovarianŃa este o metodă ajutătoare pentru măsurarea legăturilor statistice şi se măsoară ca o medie aritmetică a produselor abaterilor variabilelor faŃă de media lor.
( )( )( )
6,4770
3332
n
yyxxy,xCov
i
==−−
=∑
∑
19
Tabelul nr. 13. Tabel cu valori ajutătoare
x = 94 coeficient de inteligenŃă medie y = 152 u m salariul net mediu CovarianŃa nu are limita superioară Valoarea pozitivă arată o legătură directă între coeficientul de inteligenŃă şi salariul net. Dacă covarianŃa are valoarea zero, nu există nici o legătură, nici o corelaŃie între cele două variabile. Coeficientul de corelaŃie limită simplă
( )[ ] ( )[ ]
( )[ ] ( )[ ]99,0
10640165795070 658063179070
106406580400.023.170
nynyn nxnxn
nynxnyxnr
22
2iii
2i
2iii
2i
iiiiiiiyx
=−⋅−⋅
⋅−⋅=
=−−
−=
∑ ∑∑ ∑
∑ ∑ ∑
Tabelul nr.14 Comertul exterior al Romaniei in perioada 1994 – 1999 milioane dolari)
Mil. dolari Abateri Ranguri
Anii Exp. (xi)
Imp. (yi)
∆x =
xi - X
∆y =
yi - Y
C sau D
∆x∆y
Rxi
Ryi
di
2 = (Rxi– Ryi)
1994 6151 6652 -1743,2 -2977,2 C 5189855,04 1 1 0 1995 7910 9487 15,8 -142,2 D -2246,76 2 2 0 1996 8084 10555 189,8 925,8 C 175716,84 3 5 4 1997 8431 10411 536,8 781,8 C 419670,24 4 4 1 1998 8302 10926 407,8 1296,8 C 528835,04 5 6 4 1999 8487 9744 592,8 114,8 C 68053,44 6 3 9
Total 47365 57775 - - - C=6382130,6 D=2246,76
- - ∑di
2= 18
6151- 7894,2
6652- 9629,2
(-1743,2)· (-2977,2)
Explicatii 7910- 7894,2
9487- 9629,2
(15,8)· (-142,2)
- - (1-1)2 (2-2)2 (3-5)2
X = 47365 : 6 = 7894,2 C = Concordanta
Y = 57775 : 6 = 9629,2 D = Discordanta
Coeficientul de corelaŃie are valori cuprinse între –1 şi +1, adică satisface inegalitatea: -1 ≤ ry/x ≤ 1. Intervalul de valori al coeficientului de corelaŃie se poate interpreta astfel:
0 ≤ r ≤ 0,2 - între variabilele x şi y nu există legătură sau este foarte slabă;
0,2 ≤ r ≤ 0,5 - legătura este slabă; 0,5 ≤ r ≤ 0,75 - legătura este de intensitate medie;
0,75 ≤ r ≤ 0,95
- legătura este puternică;
0,95 ≤ r ≤ 1,00
- legătura deterministă de tip funcŃional.
20
Valoarea pozitivă (+0,99) a raportului de corelaŃie arată o legătură directă, adică la o creştere a coeficientului de inteligenŃă se obŃine şi o creştere a salariului net.
Valoarea mare (cuprinsă între 0,95 – 1,00) arată o legătură foarte puternică între cele două variabile, aspect evidenŃiat şi de coeficientul de regresie (b = 1,75), care arată că unei creşteri cu o unitate a coeficientului de inteligenŃă îi corespunde o creştere a salariului net de 1,75 unităŃi monetare.
• Raportul de corelaŃie simplă
( )( )
99,04070
008,11
nyy
nYxy1R
i2
i
i2
iix/y =−=
−
−−=∑
∑
Raportul de corelaŃie (Ry/x) ia valori între 0 şi 1. 0 ≤ Ry/x ≤ 1 Ry/x = 1 legătură funcŃională; Ry/x → o legătură foarte slabă; Ry/x → 1 legătură puternică, intensă. Valoarea raportului de corelaŃie (0,99) confirmă existenŃa unei legături liniare foarte puternice, directe, între
cele două variabile. • Testarea coeficientului de corelaŃie „r” se face cu ajutorul testului „t”.
87,5724621,8141067,0
99,0270
99,01
99,02n
r1
rt
2=⋅=−
−=−
−=
r = 0,99 n = 70 ttabelar = t0,01; 68 = 2,648; tcalculat = 57,87 tcalculat > ttabelar (repartiŃia Student) În concluzie, valoarea coeficientului de corelaŃie este semnificativă şi corelaŃia strânsă dintre cele două
variabile este confirmată.
Metode neparametrice de măsurare a intensităŃii legăturilor dintre fenomene Să se studieze existenŃa, direcŃia şi intensitatea legăturii dintre exportul şi importul României, cu ajutorul: • coeficientului de asociere (Q) • coeficientului de contingenŃă (Qc) • coeficientului de concordanŃă Fechner (CF) • coeficientului de corelaŃie a rangurilor Spearman (Cs)
• Export mediu pe 6 ani: dolari milioane 2,78946
47365
6
xx i ===
∑ (tabelul nr. 14.)
• Import mediu pe 6 ani: dolari milioane 2,96296
57775
6
yy i ===
∑ (tabelul nr. 15.)
Tabelul nr. 15
Asocierea dintre export şi import
sub ( )2,9629y peste y Total
sub x (7894,2) / n11 = 1 n12 = 0 1 peste x / n21 = 1 //// n22 = 4 5 Total n11 + n21 = 2 n12 + n22 = 4 6
Se ia fiecare pereche de cifre (pe ani) privind exportul şi importul şi se încadrează în unul din pătrăŃele în funcŃie de valorile x şi y în comparaŃie cu media exportului şi importului:
• Coeficientul de asociere (Q) (tabelul nr. 14.).
14
4
0141
0141
nnnn
nnnnQ
12212211
12212211 ==⋅+⋅
⋅−⋅=
−
−=
Coeficientul de asociere poate lua valori între – 1 şi +1 – 1 ≤ Q ≤ 1
Dacă: Q = 0 lipsă de asociere între variabile xi şi yi; Q → 0 asociere slabă; Q → ± 1 asociere puternică: Q = ± 1 asociere perfectă;
Dacă: Q > 0 asociere directă (creşte una, creşte şi cealaltă) Q < 0 asociere inversă (o variabilă creşte, altă variabilă scade)
21
În exemplul dat, valoarea coeficientului de asociere este 1. Concluzia: între cele două variabile (exportul şi importul României) este o asociere directă şi perfectă.
• Coeficientul de contingenŃă (Qc)
( )( )( )( )
( )( )( )( )63,0
32,6
4
40
4
40114101
1041
nnnnnnnn
nnnnQ
2212211122211211
21122211c
===++++
⋅−⋅=
=++++
−=
Coeficientul de contingenŃă are valori: –1 ≤ Qc ≤ +1. Interpretarea valorilor Qc este la fel ca la coeficientul de asociere. În exemplul dat, Qc = 0,63 şi arată o contingenŃă directă şi de intensitate medie între import şi export. • Coeficientul de concordanŃă Fechner (CF) se calculează după relaŃia:
:DC
DCCF
+
−= unde C = valoarea concordanŃelor
D = valoarea discordanŃelor
99,036,6384377
84,6379883
76,22466,6382130
76,22466,6382130CF ==
+
−=
Coeficientul de concordanŃă Fechner ia valori între – 1 şi + 1. Se interpretează la fel ca valorile coeficientului de asociere. În exemplul dat, coeficientul Fechner are valoare apropiată de + 1. ConcordanŃa este directă şi aproape
perfectă. • Coeficientul de corelaŃie a rangurilor Spearman (Cs) (tabelul nr. 13.)
49,0210
1081
66
1861
nn
d61C
33
2i
s =−=−
⋅−=
−−=∑
n = 6 (ani) ; ( )18d 13. ldin tabelu 2i
2 =−id
Coeficientul Spearman indică o corelaŃie directă (valoarea pozitivă) şi de intensitate medie între valorile exportului şi importului.
CUVINTE CHEIE: variabila rezultativa, metoda regresiei, corelatia, legaturi directe, legaturi inverse, metode parametrice, metode neparametice, metoda celor mai mici patrate, eroare standard, coeficiennt de determinatie, validarea modelului de regresie, ajustarea seriei, covarianta, coeficient de corelatie, raport de corelatie, testarea semnificatiei coeficientului de corelatie.
MANUAL :pag: 97-116.
7. SERII CRONOLOGICE (SCR) VariaŃia în timp a unui fenomen prin evidenŃierea creşterilor sau descreşterilor de nivel şi a modificărilor de
structură se realizează prin studierea seriilor cronologice. Metodele de observare şi analiză a seriilor cronologice sunt diverse, în funcŃie de scopul urmărit:
– pentru a stabili nivelul şi modificarea de nivel, în timp, a unui fenomen se folosesc indicatorii de nivel, exprimaŃi în mărimi absolute, relative sau medii;
– pentru a determina variaŃia de la o perioadă la alta şi influenŃa factorilor se foloseşte metoda indicilor dinamicii fenomenelor;
– pentru estimarea tendinŃei (trendului), a oscilaŃiilor sezoniere şi a variaŃiilor aleatoare se foloseşte metoda de analiză a componentelor;
– pentru extrapolarea trendului se folosesc metode de prognoză statistică. AplicaŃii Seria cronologică, numită şi serie dinamică sau serie de timp, este constituită dintr-un şir de termeni care
reflectă evoluŃia unei variabile complet definite, sub formă de intervale de timp sau momente. Pe baza unor serii cronologice de timp şi cu ajutorul unor metode se poate determina trendul (tendinŃa centrală)
şi se poate extrapola mărimea şi evoluŃia fenomenului despre care avem o serie de date înregistrate. Pentru determinarea trendului se folosesc metode simple (mecanice) şi metode analitice. Metode simple (mecanice) de determinare a trendului Sunt bazate pe:
• indicatori medii; • metoda semimediilor (tabelul nr. 16.);
• metoda modificării medii absolute (sporului mediu ∆ ) (tabelele nr. 15., 16.);
• metoda indicelui mediu al dinamicii ( I ) (tabelul nr. 16.); • metoda mediilor mobile (MMM) (tabelele nr. 18., 19.); • metoda cronologică.
22
Metode matematice de determinare a trendului Sunt bazate pe funcŃii matematice (tabelele nr. 15., 16.):
• trendul liniar; • trendul neliniar: exponenŃial; parabolic; logaritmic; logistic etc.
Pe baza unei serii cronologice privind numărul de şomeri din România, vor fi prezentate unele metode de analiză şi determinare a trendului seriei cronologice (tabelul nr. 15.).
Tab
elul
nr.
15
EvoluŃia şomajului în Rom
ânia în perioada 1994-2000
EvoluŃia şomajului în Rom
ânia în perioada 1994-2000
23
Tabelul nr. 16
Algoritmul de calcul necesar ajustarii seriei prin
metoda ∆ si I
Varianta 1 Varianta 2 Valori ajustate prin: Valori ajustate prin:
∆ I ∆ I
yt=y1+ti ∆ yt=y1· Iti yt=y1+ti ∆ yt=y1· I
ti Anii
Total someri (mil. pers.)
Val. timp
yt=1224 + ti·(-24)
yt=1224 · 0,978ti
Val. timp
yt=881+ ti·(-24)
yt=881· 0,978ti
1994 1224 0 1224 1224 -3 953 942 1995 998 1 1200 1197 -2 929 921 1996 659 2 1176 1170 -1 905 901 1997 881 3 1152 1145 0 881 881 1998 1025 4 1126 1120 1 857 862 1999 1130 5 1104 1095 2 833 843 2000 1080 6 1080 1071 3 809 824 Total - 8062 8022 - 6167 6174
1224+ 0(-24)
1224·0,9780 881+
(-3)(-24) 881·
0,978-3
1224+ 1(-24)
1224·0,9781
881+ (-2)(-24)
881· 0,978-2
1224+ 2(-24)
1224·0,9782
881+ (-1)(-24)
881· 0,978-1
M M M M
Explicatii
1224+ 6(-24)
1224·0,9786
881+ (3)(-24)
881· 0,9783
Modificarea medie absolută ∆ (tabelul nr. 16.)
npersoane/a mii 246
144
17
12241080
1n
yy 1n −=−
=−
−=
−
−=∆
yn – ultimul an din serie y1 – primul an din serie n – numărul de ani. Indicatorul „modificarea medie absolută” arată că anual numărul de şomeri scade cu 24 mii persoane.
Indicele mediu al dinamicii ( I )
97,8% sau 978,088,01224
1080
y
yI 6171n
1
n ==== −−
0,88 2n DF Yx 6 = 0,978 ordinea operaŃiilor pe calculatorul de buzunar.
24
Tab
elul
nr.
17Algoritm
ul de calcul necesar ajustării seriei prin trendul liniar şi exponenŃial
Ritmul mediu de creştere sau scădere ( R ) (tabelul nr. 16.) %2,28,97100I100R =−=−=
Din calcule a rezultat că numărul şomerilor scade anual cu un ritm mediu de 2,2%. Ajustarea seriei cronologice privind numărul de şomeri s-a realizat în două variante pentru ambele metode:
metoda modificării medii absolute (∆ ) şi metoda indicelui mediu al dinamicii ( I ). Deoarece totalurile seriilor ajustate sunt mult diferite (8062; 8022; 6167; 6174) faŃă de totalul seriei empirice
(6996 mii persoane), se impune şi folosirea altor metode de ajustare şi anume modelele matematice.
• Trendul liniar (tabelul nr. 17.)
25
it tbaYi
⋅+=
43,9997
6996
n
ya it ==
Σ= mii persoane/an; a = 999;
107,728
199
t
ytb
2i
ii ==Σ
Σ= mii persoane/an; b = 7,107
• Trendul exponenŃial (tabelul nr.17.) i
i
tt baY ⋅=
982a992,27
845,20
n
ylg Σa lg it =⇒===
10 yx 2,997 = 982 (ordinea operaŃiilor pe calculator de buzunar)
01125,1b004857,028
136,0
t
ylgtb lg
2i
ti i =⇒==Σ
Σ=
10 yx 0,004857 = 1,01125 (ordinea operaŃiilor pe calculator de buzunar) a = 982; b = 1,01125 Alegerea celei mai bune funcŃii de trend se face cu ajutorul coeficientului de variaŃie calculat după formula:
100y
YyV
t
tt
Σ
−Σ=
Datele necesare calculului se găsesc în tabelul centralizator (tabelul nr. 18.).
• Metoda ∆ varianta I: %98,151006996
1118V ==
varianta a II-a: %91,181006996
1323V ==
Metoda I varianta I: %92,151006996
1114V ==
varianta a II-a: %69,181006996
1308V ==
• Trendul liniar: %96,121006996
907V ==
• Trendul exponenŃial: %55,131006996
948V ==
Metoda care are cel mai mic coeficient de variaŃie va fi metoda cea mai potrivită pentru determinarea unei
predicŃii. În acest caz, cea mai bună funcŃie s-a dovedit a fi funcŃia liniară, urmată de funcŃia exponenŃială. Alegerea anului de referinŃă (ti = 0) este foarte importantă. Dacă anul respectiv este un an nereprezentativ
pentru seria de date, acest aspect poate conduce la concluzii eronate. Cazul variantei II este concludent din acest punct de vedere. Coeficientul de variaŃie (V = 18,69; V = 18,91)
este cel mai mare în cazul acestei variante, fapt care o înlătură de la posibilitatea de a fi folosită pentru calcularea unei predicŃii.
Să presupunem că trebuie să extrapolăm la nivelul anului 2005, nu-mărul total de şomeri. Folosim cele două metode de trend, trendul liniar, care s-a dovedit a fi cel mai corect, în acest caz, şi trendul exponenŃial, care este apropiat de cel liniar, după cum arată coeficientul de variaŃie.
Se determină timpul (ti) pentru anul 2005, prin continuarea numărării anilor. Anul 1998 a fost anul de referinŃă (ti = 0). Anul 2005 va fi ti = 7.
Extrapolarea numărului de şomeri prin:
• Trendul liniar: 2005liniar2005 tbaY ⋅+=
10497107,7999Y liniar2005 =⋅+= mii persoane
• Trendul exponenŃial: 2005t.exp2005 baY ⋅=
106201125,1982Y 7.exp2005 =⋅= mii persoane
26
În concluzie la nivelul anului 2005, România se poate aştepta la un număr de 1050-1060 mii persoane cu statut de şomer.
Ierarhizarea multicriterială a unităŃilor administrativ-teritoriale Ierarhizarea multicriterială a unităŃilor administrativ-teritoriale presupune parcurgerea mai multor etape: • selectarea indicatorilor care urmează să fie folosiŃi în elaborarea clasamentului multicriterial; • alegerea formei de exprimare a rezultatului comparării unităŃilor administrative şi, eventual, elaborarea de
clasamente provizorii pe baza fiecărui indicator selectat; • determinarea metodei de agregare a acestor clasamente provizorii într-un indicator unic; • valorificarea rezultatelor ierarhizării multicriteriale: 1) metoda rangurilor (tabelul nr. 20.) 2) metoda distanŃei relative faŃă de performanŃa maximă (tabelul nr.21.) Metoda rangurilor de ierarhizare
Presupune atribuirea de ranguri fiecărei unităŃi administrativ-teritoriale, în mod succesiv, în funcŃie de fiecare indicator cuprins în analiză: unitatea cu performanŃa calitativă maximă obŃine rangul unu, următoarele unităŃi fiind numerotate cu ranguri tot mai mari. Prin însumarea rangurilor corespunzătoare fiecărei unităŃi teritoriale se obŃine un „scor” şi apoi se stabileşte „rangul final” (tabelul nr. 20.).
Metoda distanŃei relative faŃă de performanŃa maximă
Este o metodă mai precisă şi presupune observarea distanŃei relative a fiecărei unităŃi faŃă de aceea care înregistrează nivelul maxim (tabelul nr. 21.). Tabelul nr.20 Ierarhizarea tarilor prin metoda rangurilor
Criterii Ranguri dupa
criteriul
Tara (I) Cerce-tatori (mii pers)
(II) Nr.calc.
pers. (PC) la 1000 loc
(III) Nr.TV la 1000
loc I II III
Scor Rang final
Bulgaria 9,5 44,3 453 8 7 5 8+7+5=20 7 Franta 177,3 337,0 632 4 4 3 11 4
Germania 259,6 382,3 586 3 2 4 9 3 Japonica 675,9 348,8 731 2 3 2 7 2 Polonia 56,2 85,4 401 5 6 7 18 5 – 6
Romania 20,3 35,7 292 6 8 8 22 8 SUA 1261,2 625,0 835 1 1 1 3 1
Ungaria 14,4 100,3 445 7 5 6 7+5+6=18 5 - 6 Tabelul nr.21 Ierarhizarea tarilor prin metoda distantei relative fata de performanta maxima
Distanta relative in functie de:
Tara
Cercetatori (mii pers)
(1)
Nr.calc. pers. (PC) la 1000 loc
(2)
Nr.TV la 1000
loc
(3)
Distanta Medie (4)
Rang final
Distanta fata de perform. maxima (%) (5)
Bulgaria 0,0075 0,071 0,543 0,066 8 6,6 Franta 0,1405 0,539 0,757 0,385 4 38,5
Germania 0,2058 0,612 0,702 0,445 3 44,5 Japonica 0,5359 0,558 0,875 0,639 2 63,9 Polonia 0,0445 0,137 0,480 0,143 5 14,3 Romania 0,0161 0,057 0,350 0,068 7 6,8
27
SUA 1,0 1,0 1,0 1,0 1 100,0 Ungaria 0,0114 0,160 0,533 0,099 6 9,9 (1) 9,5:1261=0,0075 …. 14,4:1261,2=0,0114 (2) 44,3:625=0,071 …. 100,3:625=0,160 (3) 453:835=0,543 …. 445:835=0,533
(4) 3 0, 071 0, 5430, 0075 0, 066⋅⋅ = …. 3 0,160 0, 5330, 0114 0, 099⋅⋅ =
(5) (0,066:1)·100=6,6 … (0,099:1)·100=9,9 CUVINTE CHEIE: serie cronologica, baza fixa , baza in lant, modificarea absoluta, indice de dinamica, ritm de crestere, trend, medie cronologica, serie ajustata, serie teritoriala, analize multicriteriale, metoda rangurilor, metoda distantei relative fata de performanta maxima. MANUAL.pag: 117-142.
8. INDICII STATISTICI ImportanŃa şi funcŃiile indicilor
Indicii au o largă aplicabilitate în lucrările statistice, în analiza şi în planificarea economică, datorită faptului că reflectă cu multă expresivitate şi în mod analitic schimbările care au loc, rolul şi influenŃa diverşilor factori în variaŃia fenomenelor.
Indicii sunt utilizaŃi în cuantificarea mişcării sau variaŃiei unui fenomen complex, la nivelul unei unităŃi statistice şi pe total colectivitate, având în vedere anumite caracteristici de timp, de spaŃiu, sau în funcŃie de anumite sisteme de referinŃă (baze de raportare).
Clasificarea indicilor
În teoria şi practica statistică se întâlneşte o mare varietate de indici, fapt care impune o clasificare a lor în funcŃie de diferite criterii:
1) După sfera de cuprindere a fenomenului, distingem două categorii de indici: – indici simpli sau individuali şi elementari (i); – indici compuşi sau/de grup (I). 2) După destinaŃia lor în analiza activităŃii social-economice: – indici cronologici sau indici ai dinamicii sunt acei indici care fac comparaŃia cu nivelul specific unei
perioade trecute sau unui moment anterior. Aceşti indici realizează o analiză diacronică sau longitudinală; – indici teritoriali sunt cei care realizează o analiză sincronică, transversală, deoarece la baza comparaŃiei stă
nivelul unei colectivităŃi similare, localizate într-o altă unitate administrativă sau într-o altă zonă geografică; – indici ai planului sunt cei care se calculează prin raportarea nivelului planificat la realizările precedente,
obŃinându-se astfel un indice al sarcinii de plan sau prin compararea nivelului realizărilor curente cu nivelul planificat, obŃinându-se astfel informaŃii despre gradul de îndeplinire a programului.
3) După caracteristica a cărei variaŃie se urmăreşte: – indici ai volumului fizic (ai producŃiei industriale, ai producŃiei agricole, ai circulaŃiei mărfurilor etc.); – indici ai preŃurilor (ai preŃului de cost, ai preŃului de vânzare); – indici valorici (indici valorici ai producŃiei industriale, agricole, ai circulaŃiei mărfurilor etc.). – indici ai productivităŃii muncii; – indici ai salariului mediu etc. 4) După baza de raportare, indicii de dinamică sunt: – cu bază fixă; – cu bază în lanŃ. 5) După modul de calcul, care este specific indicilor de grup, se disting: – indici agregaŃi, obŃinuŃi prin raportarea unor sume ale elementelor agregate; – indici sub formă de medii; – indici calculaŃi ca raport de medii. 6) După modul de ponderare, indicii de grup se clasifică astfel: – indici cu ponderi constante; – indici cu ponderi variabile. 7) După felul structurii, indicii de grup pot fi: – indici cu structură variabilă; – indici cu structură fixă; – indici ai variaŃiei structurii.
28
Determinarea indicilor de grup ca indici agregaŃi
Indicii valorici ai volumului fizic şi ai preŃurilor Despre o societate comercială se cunosc următoarele informaŃii (tabelul nr. 22.)
Tabelul nr. 22
CantităŃi vândute (q) PreŃ pe unitate (um) – p Marfa UM perioada bază (q0) perioada
curentă (q1) perioada bază
(p0) perioada curentă
(p1) A l 6500 6800 50 60 B kg 3200 3000 60 65 C buc 7000 6700 20 30
Să se determine dinamica vânzărilor de mărfuri şi influenŃa factorilor preŃ şi cantitate asupra modificării absolute şi relative a vânzărilor (tabelul nr. 23.).
Tabelul nr. 23. Valoarea mărfurilor vândute şi dinamica vânzărilor pe fiecare marfă
Vânzările totale au crescut cu 22% în perioada curentă faŃă de perioada de bază:
122% sau 22,1657
804
v
vI
0
1v0/1 ==
Σ
Σ=
Această creştere a provenit din creşterea valorii produsului A cu 26% şi a produsului C cu 44%. Creşterea valorii produsului B a fost 2%.
Valoarea vânzărilor a crescut în perioada curentă faŃă de perioada de bază datorită creşterii preŃurilor (cu 50% la produsul C şi cu 20% la produsul A) şi în mică măsură datorită cantităŃii vândute la produsul A (cu 4,6%).
Creşterea valorii vânzărilor cu 22% în perioada curentă este in-fluenŃa cumulată a efectului factorului cantitativ (q), dar şi a factorului calitativ (p).
Prin folosirea indicilor agregaŃi se poate determina influenŃa se-parată a fiecărui factor. • Indicele agregat al factorului extensiv (indice de tip Laspeyres):
99,5% sau 995,0657
654
qp
qpI
00
10q0/1 ==
Σ
Σ=
• Indicele agregat al factorului intensiv:
122,9% sau 229,1654
804
qp
qpI
10
11p0/1 ==
Σ
Σ=
• Nivelul relativ al variabilei complexe: p
0/1q
0/1v
0/1 III ⋅=
1,22 = 0,995 ⋅ 1,229 La nivelul societăŃii comerciale, volumul vânzărilor a crescut datorită creşterii preŃurilor cu 22,9% acoperind
efectul scăderii cantităŃilor vândute, care a determinat o scădere a vânzărilor totale cu 0,5%. Modificările relative se obŃin cu ajutorul relaŃiei:
R = I – 100
%22100122100IR v0/1
v0/1 =−=−=
%5,01005,99100IR q0/1
q0/1 −=−=−=
%9,221005,122100IR p0/1
p0/1 −=−=−=
29
Modificările absolute ale valorii vânzărilor datorită fiecărui factor: – efectul absolut al factorului extensiv (cantitativ):
( ) u.m. mii 3657654qpqp 0010qv −=−=Σ−Σ=∆
– efectul absolut al factorului intensiv (preŃul): ( ) u.m. mii 150654804qpqp 1011pv =−=Σ−Σ=∆
– modificarea totală a vânzărilor:
( ) ( ) ( )pv0/1
qv0/1
p,qv0/1
01v
0/1 147657804vv
∆+∆=∆
=−=−=∆
147 = –3 + 150 VariaŃia absolută a fiecărui factor (p, q) la nivelul fiecărui produs (tabelul nr. 24.):
Tabelul nr. 24. - mii u.m. -
din care: Marfa
∆v = v1 – v0 sau ∆v = p1q1 – p0q0 ( ) 001
)q(v0/1 pqq −=∆ ( ) 001
)p(v0/1 qpp −=∆
A 408 – 325 = 83 (6,800 – 6,500) 50 = 15 (60 – 50) 6,800 = 68 B 195 – 192 = 3 (3,000 – 3,200) 60 = -12 (65 – 60) 3,000 = 15 C 201 – 140 = 61 (6,700 – 7,000) 20 = -6 (30 – 20) 6,700 = 67
Total: mii lei +147 -3 150 procente 100 -2% 102%
Determinarea indicilor de grup
ca medii ponderate ale indicilor individuali
a) Cazul în care se cunosc valorile din perioada de bază şi modificările procentuale din perioada curentă În acest caz, indicii de grup se determină ca medii aritmetice ponderate ale indicilor individuali. Se cunosc
următoarele informaŃii despre o societate comercială (tabelul nr. 25.):
Tabelul nr. 25 SituaŃia vânzărilor la societatea comercială
Modificarea procentuală în perioada curentă faŃă de perioada de bază pentru:
Marfa
Volumul valoric al vânzărilor în
perioada de bază (mii u.m.) (v0)
v0/1r (ritmul)
iv q
0/1r
(ritmul) iq
A 325 0,26 1,26 4,6 1,046 B 192 0,02 1,02 -6,0 0,94 C 140 0,44 1,44 -4,0 0,96
Total 657 - - - - • Indicele de grup al variabilei complexe (volumul vânzărilor)
122,0% sau 22,1657
804
657
14044,119202,132526,1
v
viI
0
0v
v ==⋅+⋅+⋅
=Σ
⋅Σ=
• Modificarea absolută a volumului valoric
∆v = Σiv ⋅ v0 – Σv0 = 804 – 657 = 147 mii u.m.
• Indicele de grup a factorului extensiv (cantitativ)
99,5% sau 995,0657
654
657
14096192943256,104
v
viI
0
0q
q ==⋅+⋅+⋅
=Σ
⋅Σ=
• Modificarea absolută pe seama factorului cantitativ
∆v(q) = Σiq ⋅ v0 – Σv0 = 654 – 657 = –3 mii u.m.
• Indicele factorului calitativ (preŃul)
Ip = Iv : Iq → Ip = 1,22 : 0,995 = 1,229
• Modificarea absolută datorită factorului calitativ
∆vp = ∆v(p,q) – ∆v(q) = 147 – (-3) = 150 mii u.m.
30
b) Cazul în care se cunosc nivelurile din perioada curentă şi indicii individuali Indicii de grup ai volumului valoric (Iv) şi ai preŃurilor (Ip) se determină ca medii armonice ponderate ale
indicilor individuali respectivi, folosind nivelurile curente (v1) ca elemente de ponderare (tabelul nr. 26.). Exemplu:
Tabelul nr. 26 SituaŃia vânzărilor la societatea comercială...
Indicele individual (%) pentru Marfa
Volumul valoric al vânzărilor în perioada curentă (mii u.m.)
(v1) volum valoric
(iv) preŃuri
(ip) A 408 1,26 1,20 B 195 1,02 1,08 C 201 1,44 1,50
Total 804 - - • Indicele de grup al volumului valoric
22,1657
804
140192325
804
20144,1
1195
02,1
1408
26,1
1804
vi
1v
I
1v
1v ==++
=
+⋅+⋅
=
Σ
Σ=
∆v = 804 – 657 = 147 mii u.m.
• Indicele de grup al factorului intensiv (Ip)
229,1654
804
134180340
804
20150,1
1195
08,1
1408
20,1
1804
vi
1v
I
1p
1p ==++
=
+⋅+⋅
=
Σ
Σ=
∆p = 804 – 654 = 150 mii u.m.
Iv(p,q) = Iq ⋅ Ip; 1,22 = Iq ⋅ 1,229;
995,0229,1
22,1Iq == ; ∆vq = ∆v(p,q) – ∆v(p) = 147 – 150 = –3
Indicele preŃurilor de consum (IPC)
Se cunosc indicii preŃurilor de consum pe tipuri de mărfuri şi structura cheltuielilor familiilor (tabelul nr. 27.). Să se calculeze indicele preŃurilor de consum pe ansamblu.
Tabelul nr. 27 Indicii preŃurilor şi structura cheltuielilor
Structura cheltuielilor (gi%) Tipuri de mărfuri
şi servicii Perioada de bază
Perioada curentă
Indicii preŃurilor în perioada curentă faŃă de perioada de
bază (%) Mărfuri alimentare 55 52 125 Mărfuri nealimentare 30 28 120 Servicii 15 20 140 Total 100 100 -
%275,1100
75,125
100
1540,13020,15525,1
100
giIPC
0V(%)i
p0/1
==⋅+⋅+⋅
=⋅Σ
=
PreŃurile de ansamblu au crescut în perioada curentă cu 25,75% faŃă de perioada de bază. Un aport deosebit la
creşterea indicelui preŃurilor de consum l-au avut serviciile, care şi-au sporit ponderea în cadrul consumurilor cu 33% şi au înregistrat şi indici ai preŃurilor superiori celorlalte mărfuri.
• Indicele costului vieŃii este un indice al preŃurilor, dar de tip Paasche şi se mai poate calcula ca o medie armonică a indicilor individuali ai preŃurilor:
11p0/1
11
10
11p0/1
qpi
1qp
qp
qpI
Σ
Σ=
Σ
Σ=
Exemplu: Se cunosc cheltuielile unei familii pentru achiziŃionarea a trei produse (tabelul nr. 28.).
31
Tabelul nr. 28.
PreŃul (u.m.) Volumul valoric (u.m) Structura cheltuielilor
Prod
usul
p. de bază (p0)
p. cu-rentă (p1)
Indicii preŃului
(ip) p. bază (p0q0)
p. curentă (p1q1)
perioadă de bază
perioadă curentă
A 60 66 1,160
66= 900 858 33,2 36,4
B 50 55 1,150
55= 850 825 31,4 35,0
C 120 135 125,1120
135= 960 675 35,4 28,6
Total - - - 2710 2358 100 100 Să se calculeze: a) indicele preŃurilor de consum; b) indicele costului vieŃii; c) dinamica preŃurilor pe total produse folosind indicele Fischer; d) evoluŃia consumului produselor în valoare nominală şi reală.
Rezolvare: a) Indicele preŃurilor de consum (indicele preŃurilor cu amănuntul – indice tip Laspeyres):
110,9% sau 109,12710
3005
2710
960125,18501,19001,1
qp
qpi
qp
qpI
00
00p
0/1
00
01p0/1
==
=⋅+⋅+⋅
=Σ
⋅Σ=
Σ
Σ=
Pe total, la nivelul celor trei produse, preŃurile au crescut cu 10,9% în perioada curentă faŃă de perioada de bază.
b) Indicele costului vieŃii (indice tip Paasche):
114,2%sau 1429,12065
2358
600750715
2358
625125,1
1825
1,1
1858
1,1
12328
111
0/1
11
10
110/1
==++
=
=
++
=
Σ
Σ=
Σ
Σ=
qpi
qp
qp
qpI
p
p
Creşterea costului vieŃii este determinată de creşterea preŃurilor de consum. Se observă că a scăzut consumul la produsul C (de la 35.4% la 28,6%), deoarece a crescut preŃul (de la 120 u.m. la 135 u.m.). Dintre cele trei produse, acesta a avut cea mai mare creştere de preŃ, fapt care s-a reflectat în scăderea consumului.
c) Indicele de preŃ tip Fischer este un indice care se situează între valorile celorlalŃi doi indici (Laspeyers şi Paasche) şi se foloseşte pentru a contracara influenŃa structurii produselor cumpărate.
112,5% sau 125,1142,1109,1qp
qp
qp
qpI
10
11
00
01)F(p0/1 =⋅=
Σ
Σ⋅
Σ
Σ=
d) EvoluŃia consumului de produse în termeni reali se exprimă prin modificarea cantităŃii cumpărate.
mică) maicea valoarea (are 19,76142,1
01,87
I
II
142,1qp
qpI
87,01% sau 8701,02710
2358
qp
qpI
III
P0/1
V0/1q
0/1
10
11)Paasche(P0/1
00
11V0/1
qp0/1
V0/1
===
=Σ
Σ=
==Σ
Σ=
⋅=
32
Acest indice este edificator, arătând scăderea cantităŃilor de produse cumpărate, creşterea costului vieŃii, datorită creşterii preŃurilor de consum.
Sisteme de ponderare folosite în construirea indicilor de grup
Ponderare constantă (fixă) propusă de E. Laspeyres (tabelul nr. 29.): • pentru factorul intensiv (p)
1678,11430
1670
qp
qpI
00
01p0/1 ==
Σ
Σ=
• pentru factorul extensiv (q)
9825,01430
1405
qp
qpI
00
10q0/1 ==
Σ
Σ=
Ponderare variabilă (curentă) propusă de H. Paasche: • pentru factorul intensiv
1459,11405
1610
qp
qpI
00
11p0/1 ==
Σ
Σ=
• pentru factorul extensiv
9641,01670
1610
qp
qpI
01
11q0/1 ==
Σ
Σ=
Indicele Fischer (media geometrică a variabilelor cu ponderare fixă şi variabilă stabilită pentru fiecare factor): • pentru factorul intensiv
1568,11459,11678,1qp
qp
qp
qpI
10
11
00
01)F(x0/1 =⋅=
Σ
Σ⋅
Σ
Σ=
• pentru factorul extensiv
9732,09641,09825,0qp
qp
qp
qpI
01
11
00
10)F(q =⋅=Σ
Σ⋅
Σ
Σ=
)q(V)p(V0/1
)q,p(V0/1
00
11)q,p(V0/1
III
1258,11430
1610
qp
qpI
⋅=
==Σ
Σ=
În cazul indicelui Laspeyres:
44 344 211474,1
9825,01678,11,1258 ⋅≠
În cazul indicelui Paasche:
44 344 211048,1
9641,01459,11,1258 ⋅≠
În cazul indicelui Fischer: 1,1258 = 1,1568 ⋅ 0,9732
Singurul indice care verifică relaŃia Iv(p,q) = Iv(p) ⋅ Iv(q) este indicele Fischer. Tabelul nr. 29
Algoritmul de calcul pentru determinarea indicilor de grup:
(Laspeyres, Paasche, Fischer)
Cantitate PreŃ (p) – u.m. Valoare (v = p ⋅ q)
Mar
fa
UM
p. b
ază
q 0
p. c
uren
tă q
1
p. b
ază
p 0
p. c
uren
tă p
1
p. b
ază
p 0q 0
= v
0
p. c
uren
tă
p 1q 1
= v
1
p 1q 0
p 0q 1
A l 20 25 8 7 160 175 140 200 B buc. 30 15 10 12 300 180 360 150 C kg 10 15 7 7 70 105 70 105 D bax 40 45 15 17 600 765 680 675 E m 60 55 5 7 300 385 420 275
33
Total Σp0q0=
1430 Σp1q1= 1610
Σp1q0= 1670
Σp0q1= 1405
CUVINTE CHEIE:indici individuali, indici de grup, pondere, greutate specifica, indici de grup, indice tip LASPEYRES, indice tip PAASCHE, indici calculati ca raport a doua medii, indice cu structura variabila, indice cu structura fixa, indicele variatiei structurii, descompunerea pe factori de influenta, metoda substitutiei in lant, metoda influentei izolate a factorilor. MANUAL: pag:143-159.
9. INDICATORII STATISTICI AI POTENłIALULUI ECONOMIC
Mărimea şi structura avuŃiei naŃionale determină nivelul de viaŃă material şi cultural al populaŃiei şi, în acelaşi timp, constituie condiŃia materială a desfăşurării proceselor economice.
AvuŃia naŃională este formată din totalitatea resurselor materiale şi spirituale de care dispune un popor la un moment dat şi cuprinde: avuŃia nematerială, avuŃia materială şi poziŃia netă în raport cu străinătatea.
AvuŃia naŃională cuprinde avuŃia acumulată, resursele naturale şi resursele spirituale. AvuŃia acumulată cuprinde: capitalul fix, stocurile de materiale, bunurile de folosinŃă îndelungată aflate la
populaŃie şi poziŃia netă faŃă de străinătate. Resursele de muncă (Rm) reprezintă numărul persoanelor capabile de muncă, respectiv acea parte a populaŃiei
care dispune de ansamblul capacităŃilor fizice şi intelectuale ce îi permit să desfăşoare o activitate utilă. Calculul resurselor de muncă se face pornind de la următorii indicatori:
– populaŃia cuprinsă în limitele vârstei de muncă (A); – populaŃia cuprinsă în limitele vârstei de muncă, dar inaptă de muncă (B); – populaŃia din afara limitei vârstei de muncă, dar care lucrează (C); Resursele de muncă se determină după relaŃia: Rm = A – B + C PopulaŃia activă din punct de vedere economic cuprinde toate persoanele de 14 ani şi peste, care în perioada
de referinŃă au constituit forŃa de muncă disponibilă utilizată sau neutilizată. Aceasta este alcătuită din populaŃia ocupată şi şomeri.
PopulaŃia ocupată în mod curent include persoanele active (de 14 ani şi peste) care timp de cel puŃin o zi sau o săptămână din perioada de referinŃă au desfăşurat o activitate economico-socială, pentru obŃinerea de venituri salariale sub formă de plată în natură sau alte beneficii.
Rata generală de activitate (RGA) este raportul procentual între numărul persoanelor active (PA) şi numărul total al populaŃiei (P).
Rata de dependenŃă economică, un indicator extrem de important, se calculează ca raport între populaŃia în afara limitelor vârstei apte de muncă şi populaŃia în vârstă aptă de muncă.
Rata de întreŃinere se calculează ca raport dintre populaŃia inactivă şi populaŃia activă. Rata brută de ocupare este raportul dintre populaŃia ocupată şi populaŃia totală. Rata generală a şomajului (RGS) se calculează ca raport procentual între numărul de şomeri (S) şi populaŃia
activă civilă (PAC).
Indicatorii statistici ai mijloacelor fixe Evaluarea mijloacelor fixe asigură posibilitatea determinării volumului valoric al acestora, a structurii şi
mişcării lor, precum şi corelarea mijloacelor fixe cu alŃi indicatori macroeconomici. Evaluarea se face în preŃuri curente şi în preŃuri constante pe baza următoarelor valori: valoarea iniŃială completă, valoarea de înlocuire, valoarea rămasă.
Starea fizică a fondurilor fixe este caracterizată şi analizată, în special, cu ajutorul indicatorilor care exprimă gradul de uzură şi starea de utilitate a acestora.
Indicatorii sintetici ai eficienŃei folosirii fondurilor fixe se determină conform relaŃiei efect/efort sau efort/efect şi sunt indicatori parŃiali de eficienŃă.
EficienŃa fondurilor fixe noi (EFN) este indicatorul care evidenŃiază influenŃa fondurilor fixe noi asupra eficienŃei generale a fondurilor fixe.
Indicatorii statistici ai mijloacelor materiale circulante Stocurile de materiale sunt formate atât din mijloace materiale circulante din unităŃile economico-sociale,
gospodăriile populaŃiei, cât şi sub forma rezervelor materiale de stat. – energointensivitatea, care exprimă consumul de energie primară (echivalent huilă) ce revine la 1000 lei PIB
sau VN;
34
– electrointensivitatea, care exprimă consumul de energie electrică exprimat în KWh pentru obŃinerea unei unităŃi (1000 lei) PIB sau VN;
– metalointensivitatea, care exprimă consumul integral de metale pe o unitate monetară PIB sau VN. Cu cât o Ńară este mai dezvoltată, cu atât consumurile de energie primară sunt mai mici.
CUVINTE CHEIE:avutia natinala, resurse spirituala, efect/efort, energointensivitate,electrointensivitate, metalointensivitate, resurse de munca, populatia ocupata, rata de dependenta economica, rata de intretinere,
MANUAL: pag:160-181.
10. AGREGATELE MACROECONOMICE
Agregatele macroeconomice, denumite şi indicatori globali, caracterizează mărimea şi structura producŃiei naŃionale, evoluŃia acesteia în timp, iar prin corelarea cu alŃi indicatori macroeconomici se calculează şi se analizează eficienŃa valorificării potenŃialului economic atât la nivelul ansamblului economiei naŃionale, cât şi pentru elementele sale structurale (ramuri, sectoare economice etc.).
Produsul intern exprimă producŃia finală de bunuri la nivel macroeconomic pornind de la criteriul „intern”, iar produsul naŃional de la criteriul „naŃional”. Pentru determinarea lor se pot folosi trei metode:
• metoda de producŃie sau metoda valorii adăugate • metoda de repartiŃie sau metoda veniturilor • metoda cheltuielilor sau a folosirii veniturilor Indicatorii de rezultate se pot exprima la preŃurile pieŃei sau preŃurile factorilor. Trecerea de la o categorie de
preŃuri la alta se face cu ajutorul relaŃiei: • preŃul factorilor = preŃul pieŃei – impozite indirecte + subvenŃii de exploatare.
sau • preŃul factorilor = preŃul pieŃei – impozite indirecte nete • impozite indirecte nete = impozite indirecte – subvenŃii de exploatare Indicatorii de rezultate se pot exprima ca indicatori nominali (în preŃuri curente, respectiv preŃurile anului pentru
care se face calculul) sau ca indicatori reali (în preŃuri comparabile) pentru a înlătura influenŃele datorate modificării preŃurilor. Calculul indicatorilor reali se realizează prin deflaŃionarea indicatorilor nominali. Acesta se realizează cu ajutorul indicelui de preŃuri, care exprimă modificarea preŃurilor şi serviciilor şi care formează indicatorul deflaŃionist.
Valoarea
indicatorului Valoarea indicatorului în preŃuri curente (indicator nominal)
în preŃuri comparabile
=
(indicator real) Indicele preŃurilor bunurilor çi serviciilor care formează indicatorul
Compararea în timp şi spaŃiu a agregatelor de rezultate
Cursul de schimb este preŃul care trebuie plătit pe piaŃa devizelor în valută străină pentru obŃinerea unei unităŃi valutare naŃionale. În cazul cursurilor fixe, cursul este determinat univoc, iar în cazul cursurilor flexibile, cursurile se pot modifica zilnic. În situaŃia practicării cursurilor flexibile în vederea recalculării, se operează cu cursul de schimb mediu, care este o metodă simplă şi rapidă. Procedeul este criticat, deoarece cursul de schimb al monedei unei Ńări nu este influenŃat numai de cererea curentă, ci şi de mişcarea migratorie a capitalurilor pe termen lung, dar mai ales scurt (pentru obŃinerea unui avantaj din diferenŃele de cotare la diferitele burse de valori).
Paritatea puterii de cumpărare exprimă câte unităŃi montare naŃionale sunt necesare pentru a cumpăra într-o altă Ńară un anumit volum de bunuri, volum pentru care în Ńară se cheltuieşte un anumit cuantum de unităŃi monetare naŃionale.
În comparaŃiile internaŃionale se apelează frecvent la indici ai volumului fizic. Aceştia arată de câte ori a fost mai mare sau mic, din punct de vedere fizic, indicatorul comparat într-o Ńară faŃă de altă Ńară.
CUVINTE CHEIE:pretul factorilor, pretul pietei, indicator real, cursul de schimb, paritatea puterii de cumparare.
MANUAL:pag: 182-197.
INTREBARI DE AUTOEVALUARE
1. Ce sunt fenomenele de masa? 2. Care sunt notiunile fundamentale ale statisticii? 3. Care sunt metodele de observare statistica? 4. Care sunt marimile relative? 5. Care sunt indicatorii de pozitie si in cate parti impart seria? 6. Care sunt indicatorii simpli si sintetici ai variatiei? 7. Cum se formeaza un esantion reprezentativ?
35
8. Care sunt metodele parametrice de determinare a corelatiei? 9. Ce presupune testarea semnificatiei unui indicator? 10. Care sunt proprietatile unei SCR? 11. Care sunt metodele mecanice de determinare a unui trend? Dar metodele matematice? 12. Ce este interpolarea? Dar extrapolarea? 13. Cum se calculeaza indicii individuali? Dar indicii agregati? 14. Care sunt metodele de calcul ale PIB? 15. Cum se calculeaza nivelul real al unui indicator? 16.
PROBLEME REZOLVATE – model pentru teste grila 1) Marimile medii
Algoritm de calcul pentru determinarea mediilor
Gr. firme
investiŃii
mil. u. m.
Nr.
firme
(ni)
Mijl.
interval
(xi)
xini
ii
nx
1 i
2i nx
2 – 6 5 4 20 1,25 80
6 – 10 5 8 40 0,625 320
10 – 14 1 12 12 0,083 144
14 – 18 2 16 32 0,125 512
18 – 22 2 20 40 0,1 800
Total 15 – 144 183,2n
x
1i
i
=∑ 1 856
Media aritmetică: 6,915
144
n
nxx
i
iia ===
∑∑
mil. u. m.
Media armonică: 87,6183,2
15
nx
1n
x
ii
ih ===
∑
∑
Media pătratică: 12,1173,12315
1856
n
nxx
i
i2i
p ====∑∑
2) Indicatorii de variatie
Gr. firme
după
investiŃii
mil. u. m.
Nr.
firme
(ni)
Centrul
de
interval
(xi)
( )xix − ( ) inxix − ( )2xix − ( ) in2
xix − xini
2 – 6 5 4 -5,6 28,0 31,36 156,8 20
6 – 10 5 8 -3,6 18,0 12,96 64,8 40
10 – 14 1 12 2,4 2,4 5,76 5,76 12
14 – 18 2 16 6,4 12,8 40,96 81,92 32
18 – 22 2 20 10,4 20,8 108,16 216,32 40
Total ∑ni
= 15
– – inx
ix∑ −
= 82
– ( ) i
2nxix∑ −
=525,6
144
2.1 Indicatorii simpli ai variaŃiei
• Amplitudinea absolută a variaŃiei (Ax)
Ax = xmp – xinf = 22 – 2 = 20 mil. u. m.
• Amplitudinea relativă a variaŃiei (Ax%)
%3,2081006,9
20100
6,9
222100
x
xx%A infmp
x =⋅=⋅−
=⋅−
=
36
6,9x = mil. u.m. (din calculul mediilor).
Amplitudinea absolută a variaŃiei este de circa 2 ori mai mare decât media aritmetică a seriei.
2.2 Indicatorii sintetici ai variaŃiei
• Abaterea medie liniară absolută ( xd )
47,515
82
n
nxxd
i
iix ±==
−=
∑∑
mil. u.m.
Acest indicator arată că abaterea în plus sau în minus a investiŃiilor realizate de firme diferă în medie
cu 5,47 mil. u. m.
• Dispersie
( )04,35
15
6,525
n
nxx
i
i
2
i2 ==−
=δ∑
∑.
Acest indicator măsoară variaŃia totală a caracterizării studiate (investiŃiile firmelor) în jurul mediei şi
arată variaŃia totală datorită cauzelor esenŃiale şi întâmplătoare.
• Abaterea medie pătratică, numită şi abaterea standard sau abaterea tip.
92,504,352x ==δ=δ mil. u.m.
Acest indicator arată mai precis variaŃia caracteristicii (investiŃiile firmelor) în jurul mediei, deoarece acordă fiecărei abateri importanŃa cuvenită prin ridicarea la pătrat a abaterilor.
• Coeficientul de variaŃie (Vx) propus de Pearson:
a) %0,571006,9
47,5100
x
dV
x
x =⋅=⋅=
b) %7,611006,9
92,5100
xV x
x =⋅=⋅δ
=
Deoarece prin ambele metode valoarea coeficientului de variaŃie este mai mare de 50%, se poate
concluziona că:
– variaŃia este foarte mare; – media aritmetică nu este semnificativă;
– colectivitatea cercetată este eterogenă;
– se impune refacerea grupării
3) CorelaŃia liniară simplă
Se cunoaşte la nivelul a 7 firme investiŃia avansată şi profitul obŃinut. Să se calculeze corelaŃia şi
intensitatea legăturii dintre cele două caracteristici.
InvestiŃia mil. u.m.
(x)
Profitul mil. u.m.
(y)
2ix 2
iy xiyi
3 2 9 4 6 10 7 100 49 70 2 2 4 4 4 5 3 25 9 15 10 7 100 49 70 12 8 144 64 96 16 9 256 81 144
∑x = 58 ∑y = 58 38x 2i =∑ 260y2
i =∑ ∑xiyi = 405
· Coeficientul de regresie = parametrul „b”:
37
( )0,57
1102
631
58-6387
3858-4057
xxn
yxyxnb
22
i2i
iiii==
⋅
⋅⋅=
−
−=
∑∑∑∑∑
Parametrul „b” se mai numeşte şi coeficientul de regresie şi arată că modificarea investiŃiei cu o unitate atrage după sine şi modificarea profitului cu 0,57 unităŃi. Adică la o creştere a investiŃiilor cu 1 milion de unităŃi monetare, profitul creşte cu 0,57 milioane u.m. anual. • Coeficientul de corelaŃie simplă (r)
( )[ ] ( )[ ]2
i2i
2
i2i
iiii
yynxxn
yxyxnr
∑∑∑∑
∑∑∑−−
−=
( )( )98,0
643,7
631
3761102
2204-2835
38-602758-6387
3858-4057r
22==
⋅=
⋅⋅
⋅⋅=
Valoarea coeficientului de corelaŃie apropiată de 1 arată o corelaŃie liniară de mare intensitate. 4) Metode neparametrice de determinare a legăturilor dintre fenomenele economice
Reluând exemplul prezentat la metodele parametrice de determinare a legăturilor dintre fenomene avem următorul algoritm de calcul (tabel). Rangurile se determina pentru fiecare variabila(x,y) pornind de la valoarea cea mai mare, care primeste rangul 1.Urmatoarele valori vor primi ranguri in ordine descrescatoare. Daca doua valori au acelasi nivel, vor primi acelasi rang.
Ranguri InvestiŃia mil. u.m.
(x)
Profitul mil. u.m. (y)
Rx Ry ( )2yx
2i RRd −=
3 2 5 5 (5-5)2=0 10 7 3 3 (3-3)2=0 2 2 6 5 (6-5)2=1 5 3 4 4 (4-4)2=0 10 7 3 3 (3-3)2=0 12 8 2 2 (2-2)2 =0 16 9 1 1 (1- 1)2=0 58 38 – – Σdi
2=1 • Coeficientul de corelaŃie a rangurilor Spearman (CS)
2
3 3
6 6 1 61 1 1 1 0,018 0,98
7 7 343 7i
S
dC
n n
⋅= − = − = − = − =
− − −
∑
unde n = 7 ( nr.firme) -1 ≤ CS ≤ +1
Valoarea CS = 0,98 arată o corelaŃie directă puternică între volumul investiŃiilor şi volumul profitului. 5) Serii cronologice
Se dă SCR:
Anii 2000 2001 2002 2003 2004 …….. 2007 Profitul 8 9 10 9 10 Prognoza? Mil.u.m. (yt) Se cere: 5.1 Indicele de dinamică cu bază fixă şi cu bază în lanŃ (IBF şi IBL); 5.2 Ritmul de dinamică cu bază fixă şi cu bază în lanŃ (RBF şi RBL);
38
5.3 Modificarea medie absolută (∆ );
5.4 Prognoza profitului pentru anul 2007 prin metoda modificării medii absolute (Y∆ );
5.5 Indicele mediu al sporului ( Ι );
5.6 Prognoza profitului pentru anul 2007 prin metoda indicelui mediu ( IY );
5.7 Prognoza profitului pentru anul 2007 prin trendul liniar (Yliniar). 5.8
Rezolvare: 5.1 a. Indicele de dinamică cu bază fixă (IBF):
Se raportează fiecare termen al seriei la primul termen: 8 : 8 =1; 9:8 = 1,125; 10 : 8 = 1,25; 9 : 8 = 1,125; 10 : 8 = 1,25
b. Indicele de dinamică cu bază în lanŃ (IBL): Se raportează fiecare termen al seriei la termenul precedent: 8 : 8 = 1; 9 : 8 = 1,125; 10 : 9 = 1,11; 9 : 10 = 0,9; 10 : 9 = 1,11
5.2 a. Ritmul de dinamică cu bază fixă (RBF): RBF = IBF – 1
1 - 1 = 0; 1,125 - 1 = 0,125; 1,25-1 = 0,25; 1,125 - 1 = 0,125; 1,25 -1=0,25
b. Ritmul de dinamică cu bază în lanŃ (RBL): RBL = IBL – 1 1-1 = 0; 1,125 - 1 = 0,125; 1,11 - 1 = 0,11; 0,9 - 1= -0,1; 1,11 - 1 = 0,11
5.3 Modificarea medie absoluta (∆ ):
∆ = (yn – y1) : (n – 1) unde: yn=10 (ultimul termen al seriei) y1=8 (primul termen al seriei) n = 5 (numărul de ani)
∆ = (10 – 8) : (5 – 1) = 2 : 4 = 0,5 mil.u.m. creştere medie pe an
5.4 Prognoza profitului pentru anul 2007, prin metoda modificării medii absolute:
Y∆ = y1 + ∆ . ti unde: y1 = 8; ∆ = 0,5; ti = 7 (timpul corespunzător anului 2007)
Anii 2000 2001 2002 2003 2004 2005 2006 2007 ti 0 1 2 3 4 5 6 7
Y∆ = 8 + 0,5 . 7 = 11,5 mil.u.m. profit prognozat la nivelul anului 2007
5.5) Indicele mediu al sporului ( Ι );
Ι = 1:ny y = 10 : 8 = 1,25 = 1,057
Extragerea unui radical de ordin mai mare ca 2 pe un calculator ştiinŃific de buzunar se realizează astfel:
1,25 2nDF Yx 4 = 1,057
5.6) Prognoza profitului pentru anul 2007 prin metoda indicelui mediu ( IY ):
IY = y1 . Ι
ti unde y1 = 8; Ι = 1,057; ti = 7
IY = 8 . 1,0577 = 8 . 1,474 = 11,79 mil.u.m. profit prognozat pentru anul 2007
Pe calculator ştiinŃific de buzunar, ridicarea la o putere mai mare decât 2 se realizează; 1,057 Yx 7 = 1,474
5.7) Prognoza profitului pentru anul 2007, prin trendul liniar (Yliniar): Yliniar = a + b . ti
Pentru determinarea parametrilor a şi b trebuie realizat un algoritm de calcul (tabel cu valori ajutătoare);
a = (∑yt) : n b = (∑ti.yt) : (∑ti2)
Deoarece seria este formată dintr-un număr impar de termeni, termenul central va avea timpul zero. Suma timpilor va fie egală cu zero (numai pentru anii pentru care există valori în seria dată).
39
Anii 1 2 3 4 5 ….. 7 (anul de prognoză) ti -2 -1 0 1 2 …… 4 --------------------------------- ∑ti = 0
Daca seria este formată dintr-un număr par de termeni, timpul se va determină astfel: Anii 1 2 3 4 5 6 ….. 9 (anul de prognoză) ti -5 -3 -1 1 3 5 ….. 11
------------------------------------------ ∑ti = 0
Algoritm de calcul pentru trendul liniar:
Anii 2000 2001 2002 2003 2004 ….. 2007 TOTAL --------------------------------------------------------------------------------- Profitul 8 9 10 9 10 ….. prognoza ∑yt = 46 yt
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Timpul -2 -1 0 1 2 ….. 5 ti ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- ti
2 4 1 0 1 4 ∑ti2 = 10
------------------------------------------------------------------------------------------------- ti.yt -16 -9 0 9 20 ∑ti.yt = 4 -------------------------------------------------------------------------------------------------
a = (∑yt):n = 46:5 = 9,2 b = (∑ti.yt):(∑ti
2) = 4:10 = 0,4 Yliniar = 9,2 + 0,4 . ti Prognoza profitului pentru anul 2007 este: Yliniar = 9,2 + 0,4 . 5 = 11,2 mil.u.m. 6) Indicele preturilor de consum (IPC)
Structura cheltuielilor (g %) în perioada de bază
Indicii preŃurilor în perioada curentă faŃă de perioada de
bază (i1/0p %)
mărfuri alimentare 50 1,3 mărfuri nealimentare 30 1,2 servicii 20 1,4 Total 100
IPC = (∑i1/0
p.gi):100 = (50.1,3 + 30.1,2 + 20.1,4):100 = 1,29 7) Indicii individuali (ai valorii şi ai preturilor)
Valoarea mărfii PreŃul mărfii Marfa Perioada de bază (V0)
Perioada curentă (V1)
Perioada de bază (P0)
Perioada curentă (P1)
A 30 60 10 15 B 40 50 8 12
Indicii individuali ai valorii mărfurilor: IV = V1:V0 ; 60:30 = 2; 50;40 = 1,25 IP = P1:P0 ; 15:10 = 1,5; 12:8 = 1,5
8) Indicele costului vieŃii (ICV)
PreŃul (u.m.) Perioada de bază
(p0) Perioada curentă
(p1) Indicii individuali
ai preŃului (ip) Valoarea în perioada
curentă (p1q1) A 20 30 30:20 = 1,5 3000 B 35 40 40:35 = 1,14 6000
Total - - ∑p1q1 = 9000
40
Indicele costului vieŃii (indice tip Paasche):
1 1
1 1
9000100 100 123,9%
1 1 13000 6000
1,5 1,14p
p qICV
p qi
= ⋅ = ⋅ =
⋅ + ⋅
∑
∑
9) Determinarea influenŃei factorilor cu ajutorul indicilor
Despre o societate comercială se cunosc următoarele informaŃii:
CantităŃi vândute (q) PreŃ unitar (p) (u.m.) Marfa U.M. Perioada de bază
(q0) Perioada curentă
(q1) Perioada de bază
(p0) Perioada curentă
(p1) A l 50 40 30 32 B Kg 60 65 25 25 C buc 20 25 20 15
Să se determine influenŃa factorilor preŃ şi cantitate asupra modificării absolute şi relative a
vânzărilor.
Valoarea mărfurilor vândute
Valoarea mărfurilor Marfa Perioada de bază
V0=p0q0 Perioada curentă
V1=p1q1 p0q1
A 1500 1280 1200 B 1500 1625 1625 C 400 375 500
Total ∑ p0q0=3400 ∑ p1q1=3280 ∑ p0q1=3325 9.1 Dinamica vânzărilor în perioada curentă:
1 1 1( , )1/ 0
0 0 0
32800,96
3400V p q
V p q
V p qΙ = = = =
∑ ∑∑ ∑
adică 96%
( , )1/ 0 1 1 0 0 3280 3400 120q p p q p q∆ = − = − = −∑ ∑ u.m.
9.2 InfluenŃa factorului cantitativ (q) asupra scăderii valorii vânzărilor:
0 1( )1/0
0 0
33250,978
3400V q
p q
p qΙ = = =
∑∑
adică 97,8%; R = I – 100 = 97,8 – 100 =
-2,2% ( )
1/ 0 0 1 0 0 3325 3400 75qV p q p q∆ = − = − = −∑ ∑ u.m.
9.3 Influenta factorului preŃ asupra scăderii valorii vânzărilor:
1 1( )1/ 0
0 1
32800,986
3325V p
p q
p qΙ = = =
∑∑
adică 98,6%; R = I – 100 = 98,6– 100 = -1,4%
( )1/ 0 1 1 0 1 3280 3325 45pV p q p q∆ = − = − = −∑ ∑ u.m.
( , )1/ 0V p qΙ = ( )
1/ 0V qΙ ( )
1/0V p⋅Ι
0,96 = 0,978 ⋅ 0,986 ( , )1/ 0q p∆ = ( )
1/ 0qV∆ + ( )
1/ 0pV∆
-120 = -75 + (-45)
Concluzii:
• Modificările cantitative au dus la scăderea valorii vânzărilor cu 2,2 %
• Modificările de preŃ au dus la scăderea valorii vânzărilor cu 1,4% 10) Rata previzibila a inflaŃiei anualizate
Se cunoaşte creşterea preŃurilor pe primele 3 luni ale anului:
41
IPCian = 0,5%; IPCfebr = 0,8%; IPCmart = 0,7%. Se cere determinarea ratei analizate a inflaŃiei: Se transformă procentele în coeficienŃi: IPCian = 1,005; IPCfebr = 1,008; IPCmart = 1,007 Varianta 1:
Se calculează rata medie lunară: 3 31,005 1,008 1,007 1,02013 1,0066lunarIPC = ⋅ ⋅ = =
Extragerea unui radical mai mare ca 2 pe un calculator ştiinŃific de buzunar, se realizează astfel: 1,02013 2nDF Yx 3 = 1,0066
IPCanualizat = ( )12
lunarIPC = (1,0066)12 = 1,082
Pe calculatorul ştiinŃific de buzunar: 1,0066 Yx 12 = 1,082
Rata inflaŃiei (RI) = (IPCanualizat – 1)·100 = (1,082 – 1)·100 = 8,2% pe an. Varianta 2 (valabilă numai când IPC este cunoscut pe un număr de luni divizor a lui 12, adică 2; 3;
4;6): IPC3 luni = 1,005·1,008·1,007 = 1,02013 IPCanualizat = (IPC3 luni)
4 = (1,02013)4 = 1,082 RI = (1,082 -1)·100 = 8,2% pe an
În cazul în care se calculează IPC pe 2 luni, pe 4 luni,…., IPCanualizat se obŃine prin ridicarea la puterea 6, la puterea 3,…. a IPC calculat pe 2 luni, pe 4 luni,….
11) ProprietăŃi ale indicilor
Produsul indicilor cu baza mobilă este egal cu indicele cu baza fixă (ultimul). Exemplu:
Anii 1996 1997 1998 1999 2000 Profitul mil u.m. 15 16 20 18 18
• Indicii cu baza fixă sunt: 15 16 20 18 18
1; 1,7; 1,3; 1, 2; 1,215 15 15 15 15
= = = = =
• Indicii cu bază mobila: 15 16 20 18 18
1; 1,7; 1,25; 0,9; 1,015 15 16 20 18
= = = = =
1·1,07·1,25·0,9·1 = 1,2 12) Metoda mediei mobile (MMM) – calculată din 3 termeni
Anii 1998 1999 2000 2001 2002 2003 2004 Profitul mil.u.m.
20 22 18 23 20 24 30
Calculul mediilor mobile (glisante sau alunecătoare): (20 + 22 + 18):3 = 20 (22 + 18 + 23):3 = 21 (18 + 23 + 20):3 = 20,3 (23 + 20 + 24):3 =22,3 (20 + 24 + 30):3 = 24,6 EXEMPLE DE GRILE PENTRU EXAMEN
1) Reprezentarile grafice reprezinta: 1) o modalitate expresiva de vizualizare a informatiei; 2) formarea unei imagini intuitive si clare despre evolutia fenomenelor si proceselor in timp;
42
3) metode rapide de determinare a legaturilor si corelatiilor dintre fenomene; 4) un mod de evidentiere a structurii, relatiilor, tendintelor, regularitatilor, anomaliilor dintre fenomene. Raspuns: a) 3; 4. b)1; 2 c)1; 2; 3; 4. ( 5 puncte ) 2) Recensamantul este: 1) cea mai veche forma de observare statistica; 2) o forma periodica de cercetare statistica; 3) o “fotografiere “ a fenomenului cercetat. Raspuns: a) 3. b) 1; 2; 3. ( 5puncte) 3) Media aritmetica: 1) este cea mai utilizata forma de medie; 2) se foloseste cand fenomenul cercetat are variatii aproximativ constante; 3) se calculeaza sub forma simpla si ponderata; 4) se foloseste cand fenomenul creste in progresie geometrica. Raspuns: a) 1; 2; 3. b) 3; 4. c) 2; 3; 4. (5 puncte) 4)Amplitudinea relativa a variatiei se exprima: 1) in coeficienti; 2) in procente. Raspuns: a) 1. b) 2. c)1; 2. ( 3 puncte) 5)Indicatorii de variatie evidentiaza: 1) reprezentativitatea mediei; 2) gradul de omogenitate al seriei. Raspuns: a) 1; 2. b) 1. c) 2. (5 puncte) 6) Mediana este valoarea centrala a unei serii statistice. 1) adevarat; 2) fals. Raspuns: a) 1. b) 2. ( 3 puncte) 7) Abaterea medie patratica este numita si: 1) abaterea standard; 2) abaterea tip; c) abaterea medie liniara. Raspuns: a) 1; 2. b) 1; 3. c) 1; 2; 3. (5 puncte) 8) Coeficientul de variatie cuprins intre 50 – 100 % arata: 1) variatie foarte mare in cadrul colectivitatii; 2) media calculata nu este semnificativa; 3) se impune refacerea gruparii. Raspuns: a) 2. b) 1. c) 1; 2; 3. (5 puncte) 9) Coeficientul de variatie cu valori intre 0 – 35 % arata: 1) variatie mare; 2) variatie mica; 3) colectivitate neomogena; 4) colectivitate omogena; 5) media este semnificativa.
43
Raspuns: a) 2; 4; 5. b) 1; 3; 4. (5 puncte) 10) Fiecare tip de selectie presupune calcularea urmatorilor indicatori: 1) eroarea de reprezentativitate; 2) eroarea limita; 3) volumul esantionului; 4) ponderea esantionului in colectivitatea generala. Raspuns: a) 2; 4. b) 1; 2; 3. c) 1; 2. (5 puncte) 11) Inferenta statistica presupune extinderea rezultatelor cercetarii asupra intregii colectivitati. 1) adevarat; 2) fals. Raspuns: a) 1. b) 2. (3 puncte) 12) Cercetarea prin sondaj presupune o serie de termeni perechi. Gasiti perechea potrivita notiunilor din coloana 1 cu cele din coloana 2: 1) media colectivitatii generale 4) colectivitatea de selectie 2) dispersia colectivitatii generale 5) media colectivitatii de selectie 3) colectivitatea generala 6) dispersia colectivitatii de selectie Raspuns: a) (1 cu 5); (2 cu 6); (3 cu 4). b) (1 cu 5); (2 cu 4); (3 cu 6). (5 puncte) 13) Coeficientul de probabilitate “Z” este direct proportional cu eroarea limita si invers proportional cu eroarea medie de reprezentativitate. 1) adevarat; 2) fals. Raspuns: a) 2. b) 1. (5 puncte) 14) Metodele parametrice de masurare si analiza a legaturilor dintre fenomenele si procesele economice: 1) sunt metode analitice de masurare; 2) presupun determinarea unor parametri primari ai ecuatiei de regresie. Raspuns: a) 2. b) 1; 2. c) 1. (5 puncte) 15) Valoarea coeficientului de asociere egala cu ±1 arata: 1) asociere puternica nedeterminata; 2) asociere perfecta directa sau inversa. Raspuns: a) 2. b) 1. (3 puncte) 16) Verificarea semnificatiei ecuatiei de regresie se face: 1) prin testul “F”; 2) pe baza repartitiei Fisher – Snedecor. Raspuns: a) 1. b) 2. c) 1; 2. (5 puncte)
59) Concepte de bază folosite în statistică: 1) colectivitatea statistică; 2) unitatea statistică; 3) caracteristicile statistice; 4) datele statistice;
44
5) metode statistice. Răspuns:
a) 1; 3. b) 1; 2 c) 1; 3 d) 1; 2; 3; 4. (5 puncte) 17) Coeficientul de variatie are valorile cuprinse intre: 1) 0 si 1; 2) -1 si +1; 3) 0 si 100. Raspuns: a) 3. b) 1. c) 2. (5 puncte) 18) Coeficientul de corelatie are valori cuprinse intre: 1) 0 si 1; 2) -1 si +1; 3) 0 si 100. Raspuns: a) 1. b) 2. c) 3. (5 puncte) 19) Se cunoaste:
Grupe de firme dupa investitiile realizate
Numarul de firme
2 – 6 5 6 – 10 5 10 – 14 1 14 – 18 2 18 – 22 2 Total 15
S-a calculat: - media aritmetica - coeficientul de variatie S-au obtinut urmatoarele rezultate: 1) media aritmetica = 5,8 4) coeficientul de variatie = 67 % 2) media aritmetica = 9,6 5) coeficientul de variatie = 89 % 3) media aritmetica = 10,5 6) coeficientul de variatie = 57 % Raspuns corect: a) 1; b) 2; c) 3; d) 4; e) 5; f) 6 .(20 puncte) 20) Se cunoaste:
Grupe de firme dupa investitiile realizate
Numarul de firme
2 – 6 5 6 – 10 5 10 – 14 1 14 – 18 2 18 – 22 2 Total 15
S-a calculat: - media patratica - dispersia S-au obtinut urmatoarele rezultate: 1) media patratica = 11,12 mil. u.m. 4) dispersia = 35,04 2) media patratica = 7,15 mil. u.m. 5) dispersia = 39,15 3) media patratica = 9,9 mil. u.m. 6) dispersia = 42,18 Raspuns corect: a) 2; b) 1; c) 3; d) 4; e) 5; f) 6. (20 puncte)
45
21) Despre 7 firme se cunosc urmatoarele informatii: Investitia realizata
mil. u.m. (xi)
Profitul realizat mil. u.m.
(yi) 3 2 10 7 2 2 5 3 10 7 12 8 16 9
Total 58 38 S-a calculat coeficientul de corelatie. S-a obtinut urmatorul rezultat si s-a ajuns la urmatoarea concluzie: 1) coeficientul de corelatie = 1 4) corelatie de slaba intensitate 2) coeficientul de corelatie = 0,78 5) corelatie foarte puternica 3) coeficientul de corelatie = 0,98 6) legatura de mare intensitate Raspuns corect: a) 3; b) 1; c) 2; d) 5; e) 6; f) 4. (30 puncte) 22) Despre 7 firme se cunosc urmatoarele informatii: Investitia realizata
mil. u.m. (xi)
Profitul realizat mil. u.m.
(yi) 3 2 10 7 2 2 5 3 10 7 12 8 16 9
Total 58 38 S-a calculat parametrul “b” al ecuatiei liniare (coeficientul de regresie). S-a obtinut urmatorul rezultat si se poate concluziona: 1) coeficientul de regresie = 1,23 4) Concluzie: cresterea investitiei cu 57 mil. u.m. conduce la
scaderea profitului cu 0,57 % 2) coeficientul de regresie = 0,57 5) Concluzie: cresterea investitiei cu 1 mil. u.m. conduce la
cresterea profitului cu 0,5 mil. u.m. 3) coeficientul de regresie = 3,33 6) Concluzie: profitul va scadea cu 0,57 mil. u.m. Raspuns corect: a) 1; b) 3; c) 2; d) 4; e) 5; f) 6. (30 puncte) 23) Despre 7 firme se cunosc urmatoarele informatii: Investitia realizata
mil. u.m. (xi)
Profitul realizat mil. u.m.
(yi) 3 2 10 7 2 2 5 3 10 7 12 8 16 9
Total 58 38
46
S-a calculat prin metoda rangurilor, coeficientul de corelatie a rangurilor Spearman (Cs) si s-a obtinut urmatorul rezultat si s-a tras urmatoarea concluzie: 1) Cs = 1,25 4) Concluzie: corelatie directa puternica intre investitii si profit 2) Cs = 0,55 5) Concluzie: corelatie slaba deoarece coeficientul Spearman este mai mic decat
1 3) Cs = 0,875 6) Concluzie: legatura functionala intre investitii si profit Raspuns corect: a) 1; b) 3; c) 2; d) 6; e) 5; f) 4. (30puncte) 24) Se cunoaste urmatoarea serie cronologica: Anii 1999 2000 2001 2002 2003 …….. 2006 Profitul 6 4 5 7 8 ? mil.u.m. S-a realizat prognoza profitului la nivelul anului 2006 prin metoda trendului liniar si s-a gasit urmatoarea valoare: 1) (7,5); 2) (8); 3) (9,5) Care este raspunsul corect? a) (3); b) (2); c) (3) (30puncte) 25) Se cunoaste urmatoarea serie cronologica: Anii 2000 2001 2002 2003 2004 ….. 2007 Profitul 10 11 8 12 12 ? mil.u.m. S-a calculat:
• modificarea medie absoluta a profitului (∆ ); • indicele mediu de dinamica ( Ι ); • prognoza profitului pentru anul 2007
- prin metoda modificarii medii (Y∆ )
- prin metoda indicelui mediu ( IY )
S-au obtinut urmatoarele rezultate:
1) ∆= 0,9; Ι = 1,098; Y ∆ = 14,5; IY = 15,2
2) ∆= 1,04; Ι = 1,5; Y ∆ = 17,2; IY = 15,3
3) ∆= 0,5; Ι = 1,046; Y ∆ = 13,5; IY = 13,7
Care este raspunsul corect? a) (1); b) (2); c) (3). (30 puncte) 26) Se da urmatoarea serie cronologica: Anii 2000 2001 2002 2003 2004 Salariati 10 8 9 10 12 A. S-au calculat indicii de dinamica cu baza fixa (IBF) si cu baza in lant (IBL) si s-au gasit urmatoarele serii de indici (variante): 1) IBF: 1; 0,8; 0.9; 1; 1,2 IBL: 1; 0,8; 1,125; 1,11; 1,2 2) IBF: 1,2; 1; 0,9; 1,1; 0 IBL: 1; 0,8; 1,125; 1,11; 1,2 Care este varianta corecta?
a) (1) b) (2) (10 puncte) B. S-a calculat ritmul de dinamica (R) cu baza fixa si cu baza in lant si s-au obtinut
urmatoarele rezultate: 1) RBF: 1,2; 1,1; -0,3; -0,2; 1,3 RBL: 0; 0,2; 0,135; 1,15; 1,23 2) RBF: 0; -0,2; -0,1; 0; 0,2 RBL: 0; -0,2; 0,125; 0,11; 0,2 Care este varianta corecta?
47
a) (2); b) (1). (10 puncte) 27) Rata de intretinere este raportul dintre populatia inactiva si populatia inapta de munca. Afirmatia este: 1) adevarata; 2) falsa Care este raspunsul corect? a) (2); b) (1). (3 puncte) 28) Ierarhizarea multicriteriala a unitatilor administrativ teritoriale se realizeaza prin metoda:
1) rangurilor; 2) distantei relative fata de performanta maxima; 3) multicriteriala.
Raspuns corect: a) 1; 2; 3. b) 1. c) 1; 2 (5 puncte) 29) Metoda rangurilor de ierarhizare a unitatilor administrativ teritoriale este mai precisa decat metoda distantei relative fata de performanta maxima. Afirmatia este: 1) adevarata. 2) falsa Raspuns corect: a) 1. b) 2. (3 puncte) 30) Se cunoaste urmatoarea serie cronologica: Anii 1998 1999 2000 2001 2002 2003 2004 ….. 2008 Profit 77 72 73 75 60 65 77 …… prognoza? mil.u.m. S-a realizat prognoza profitului prin metoda modificarii medii absolute pentru anul 2008 si s-a gasit urmatoarea valoare: 1) (77); 2) (79); 3) (80,25); 4) (77,75). Care este raspunsul corect? a) (1); b) (4); c) (2); d) (3). (20puncte) 31) Se cunoaste urmatoarea serie cronologica: Anii 1999 2000 2001 2002 2003 …. 2006 Profitul 15 10 14 11 15 ….. prognoza? (mil u.m.) S-a calculat indicele mediu de dinamica si prognoza profitului pentru anul 2006 si s-au gasit urmatoarele rezultate:
1) Ι = 1; Prognoza 2006 = 15 mil u.m. 2) Ι = 1,0; Prognoza 2006 = 19,5mil u.m.
3) Ι = 2,15; Prognoza 2006 = 22,15 mil u.m. Care este raspunsul corect? a) (1); b) (2); c) (3). (20puncte) 32) S-a determinat influenta celor doi factori (cantitate si pret) si dinamica vanzarilor:
Cantitate Pret (mii u.m.) Marfa q0 q1 p0 p1
A 20 22 15 16 B 30 35 10 12 C 20 10 15 20 S-au gasit urmatoarele rezultate: 1) Iv(q)=0,92 ∆V(q)= -70 mii u.m. Iv(p)=1,6 ∆V(p)=150 mii u.m. 2) Iv(q)=0,92 ∆V(q)= -70 mii u.m. Iv(p)=1,17 ∆V(p)=142 mii u.m.
48
3) Iv(q)=1,15 ∆V(q)= 63 mii u.m. Iv(p)=1,17 ∆V(p)=142 mii u.m. Raspunsul corect este: a) (1); b) (2); c) (3). (30 puncte) 33) Se cunoaste indicele preturilor de consum (IPC) pe primele 4 luni ale anului: 1,011; 1,012; 1,009; 1,008. S-a calculat rata inflatiei previzibila la sfarsitul anului. S-a obtinut: 1) 10,15%; 2) 2,9%; 3) 3,18%; 4) 12,68%. Raspunsul corect este: a) (4); b) (1); c) (3); d) (2). (20puncte)