Capitolul 6

INDICI STATISTICI6.1. INDICI: DEFINIRE, FORMULE DE CALCUL Indici individuali Indicii individuali se calculeaz ca indici simpli folosind datele nregistrate pentru fiecare variabil la nivelul unitii de observare folosit: Pentru fenomenul complex: y x f i1y/ 0 = 1 = 1 1 y0 x0 f0 unde: y - fenomenul complex, de tipul y = x f ; x factorul de tip calitativ; f factorul de tip cantitativ. Pentru factorul calitativ:

i1x/ 0 =

x1 x0

Pentru factorul cantitativ:

i1f/ 0 =

f1 f0

Cei trei indici verific ntotdeauna relaia de sistem:

i1y/ 0 = i1x/ 0 i1f/ 0Relaii utile: i1y/ 0 (%) = r1y/ 0 + 100

i1x/ 0 (%) = r1x/ 0 + 100 i1f/ 0 (%) = r1f/ 0 + 100 unde: r1y/ 0 - ritmul de dinamic pentru fenomenul complex y r1x/ 0 - ritmul de dinamic pentru factorul calitativ x r1f/ 0 - ritmul de dinamic pentru factorul calitativ fIndici de grup Indicii de grup se calculeaz la nivelul ansamblului.

203

Sisteme de ponderare folosite la construirea indicilor de grup factoriali a) Sistemul de ponderare propus de E. Laspeyres, la care ponderile folosite sunt cele din perioada de baz: pentru factorul cantitativ: x0 f 1 I 1y/(0f ) = x0 f 0

pentru factorul calitativ: x1 f0 I 1y/(0x ) = x0 f0

b) Sistemul de ponderare propus de H. Paasche, la care ponderile utilizate sunt cele din perioada curent: pentru factorul cantitativ: x1 f 1 I 1y/(0f ) = x1 f 0

pentru factorul calitativ: x1 f 1 I 1y/(0x ) = x0 f 1

c) Sistemul de ponderare propus de I. Fisher presupune calcularea indicelui de grup al preurilor ca o medie geometric a celor doi indici agregai, de tip Laspeyres i de tip Paasche. Generaliznd, pentru factorul calitativ:y I 1 (x) = 0

x xx x

1 f0 0

f0

x x

1 f1 0

f1

pentru factorul cantitativ:y I1( f ) = 0 0 f1

0 f0

x x

1 f1

1 f0

Modaliti de calcul al indicilor de grup Indici de grup agregaiI 1y/(0x , f ) =

x f x f

1 1

pentru fenomenul complex

0 0

204

I1y/(0f( )L ) = I1y/(0x()P )

x f x f x f = x f

0 1

pentru factorul cantitativ pentru factorul calitativ

0 0 1 1 0 1

Indicii de grup factoriali calculai cu sisteme diferite de ponderare, verific relaia de sistem, i anume:) I1y/(0x , f ) = I1y/(0f( L ) I1y/(0x()P )

Modificarea absolut se calculeaz, n general, ca diferen ntre numrtorul i numitorul indicelui: y ( x , f ) = x1 f1 x0 f0 pentru fenomenul complexy( f )

y ( x )

=x f x f = x f x f0 11 1

0 0

pentru factorul cantitativ pentru factorul calitativ

0 1

i n cazul modificrilor absolute se verific relaia de sistem: y ( x , f ) = y ( f ) + y ( x ) Pe baza acestei relaii, se calculeaz contribuia relativ a fiecrui factor la modificarea absolut, pe total: y ( x ) y ( f ) K y ( f ) = y ( x , f ) 100 , respectiv K y ( x ) = y ( x , f ) 100

Exemplificare pentru fond de salarii (FS) ca fenomen complex cu doi factori de influen: salariul mediu ( S ) i numrul de salariai (T): S1T1 I 1FS0( S ,T ) = / S0T0 I 1FS0(T ) / I 1FS0( S ) /

S T = S T S T = S T

0 1

0 0 1 1

0 1

I 1FS0( S ,T ) = I 1FS0(T ) I 1FS0( S ) / / /FS ( S ,T ) =

FS (T ) FS ( S )

S T S T = S T S T = S T S T1 1 0 1 0 0 1 1 0 1

0 0

205

FS ( S ,T ) = FS (T ) + FS ( S ) K FS (T ) = K FS ( S ) = FS (T ) 100 FS ( S ,T ) FS ( S ) 100 FS ( S ,T )

Indici de grup calculai ca medie de indici individuali pentru fenomenul complex:

I 1y/(0x , f ) =

i x x fy 1/ 0f 1/ 0

0 f0

sau

I 1y/(0x , f ) =

0 0

x f 1 i x f1 1 y 1/0

1 1

pentru factorul cantitativ:

I 1y/(0f )

i x = x f1 1

0 f0

0 0

pentru factorul calitativ:

I 1y/(0x ) =

x f 1 i x fx 1/ 0 v 1/ 0 0 0

1 1

Exemplificare pentru indicii valorii, volumului fizic i al preurilor:v p I 1 /(0 , q )

i p q = p q0 0

sau

v p I 1 /(0 , q ) =

pq pq i

1 1

v q I 1 /(0 ) =

v p I 1 /(0 )

i p q p q pq = pq iq 1/ 0 0 0 1 1 1 1 p 1/ 0

1 1 v 1/ 0

0 0

Indicii de grup calculai ca raport a dou medii

pentru fenomenul complex (indice cu structur variabil):x( I SV x , f*

)

=

x1 = x0

x f : x f f f1 1 1 0

0 0

206

* x( I SV x, f )

x = 1 = x0

x f x f

* 1 1 * 0 0

unde

fi =

*

fx x

fi

i

pentru factorul cantitativ (indicele variaiei structurii) : x0 f1 x0 f0 x* x* x( * x * sau IVS( f ) = = : = I SV f ) = x0 x0 f1 f0

* 0 f1 * 0 f0

pentru factorul calitativ (indice cu structur fix): x1 f1 x0 f1 x x x( x( I SF x ) = 1 = : sau I SFx ) = 1 = * f1 f1 x* x

x f x f

* 1 1 * 0 1

Indicele cu structur variabil, cu structur fix i al variaiei structurii formeaz mpreun un sistem de indici: * x x x * I SV( x , f ) = I SF( x ) I VS( f ) Modificarea absolut a mediei sub influena unuia sau altuia din factori se calculeaz ca diferen dintre numrtorul i numitorul indicelui factorial corespunztor. Relaiile de calcul vor fi: x1 f1 x0 f1 x ( x ) = = x1 f1* x0 f1* f1 f1

x ( f

*

)

x f x f =x = f f0 1 1 0 0 0

* 0 f1

x

* 0 f0

i n acest caz, modificarea mediei este egal cu suma modificrilor datorate factorilor de influen, respectiv: * * x ( x , f ) = x ( x ) + x ( f ) Exemplificare pentru indicii productivitii munciiw I SV( w,T ) =*

w1 = w0

wT : w T T T1 1 1 0 0 1 1

0 0

=

p q :p q T T0 1 1 0

0 0

=

I v(q) unde IT

T * Ti = i Ti

w IVS(T ) =

*

w* = w0 w1 w*

w I SF( w) =* w I SV( w,T )

w T : w T T T w T : w T = T T0 1 1 1 0 1 1

0 0

=

w I SF( w)

w ( w,T *) =

w T w T T T1 1 1 0

w * IVS(T )

0 0

= w1 w0

207

w ( w) =

w (T *)*

w T w T = w w T T w T w T = w w = T T1 1 1 0 1 1 1 * 0 1 1 0 0 0 **

0

w ( w,T ) = w (T ) + w ( w) De reinut. Pe baza indicilor de grup (indifferent de modalitatea de calcul), pe lng modificrile absolute (notate generic cu ), se mai pot calcula i modificrile relative (R)scznd 100% din indicii corespunztori. Descompunerea pe factori a variaiei unui fenomen complexn teoria i practica statistic descompunerea indicelui general n produsul indicilor factoriali se numete descompunere geometric, iar separarea modificrii absolute totale n suma modificrilor absolute, datorate factorilor, este denumit descompunere analitic.Metoda substituiei n lan

Presupune aplicarea urmtoarelor reguli: indicele influenei primului factor, de regul cel cantitativ, se construiete folosind drept pondere cealalt sau celelalte variabile la nivelul perioadei de baz; un factor odat substituit rmne drept pondere la nivelul perioadei curente pe tot parcursul descompunerii pentru ceilali indici factoriali. Indicii factoriali i modificrile absolute se calculeaz pe baza relaiilor:

Varianta I (se substituie mai inti factorul cantitativ) x0 f1 ; I 1y/(0f ) = x0 f0y ( f )

I 1y/(0x ) y( x)

=x f x f =x x f ; = x f =x f x f = f 0 1 0 0 0

f

1 1

0 1

1 1

0 1

1

x

Varianta II (se substituie mai inti factorul calitativ)

I 1y/(0x ) = y( x)

x f ; x f = x f x1 0 0 0 1 0

0 f0

=

f 0

x

208

I 1y/(0f ) = y ( f )

x f ; x f =x f x1 1 1 0 1 1

1 f0

=

x 1

f

Metoda influenelor izolate a factorilor (metoda restului nedescompus) Pentru cazul a doi factori, indicii factoriali se obin aplicnd sistemul de ponderare propus de Laspeyres, i anume: x0 f1 x1 f0 , respectiv I y( f ) = I y( x) = x0 f0 x0 f0

iar modificrile absolute se calculeaz pe baza relaiilor: y ( f ) = x0 f1 x0 f0 = x0 f y( x)

= x f x1 0

0 f0

=f 0

x

Folosind acelai sistem de ponderare pentru ambii factori nu se mai verific relaia de sistem deoarece rmne un rest nedescompus care arat influena simultan a ambilor factori: x1 f1 x1 f0 I y( x f ) = : x0 f1 x0 f0 y ( x f )

= ( x f x f ) ( x f x f ) = 1 1 0 1 1 0 x 0 0 x

f

Modificarea absolut pe total: y ( x , f ) = x0 f + f0 x +

f

Repartizarea restului nedescompus pe factori de influen se poate face n urmtoarele variante: a) se atribuie integral unuia din factori, situaie care conduce la procedeul substituiei n lan; b) se repartizeaz n mod egal pe factori; c) se repartizeaz proporional cu influenele izolate ale factorilor (Kx, Kf), care se determin astfel: x0 f f 0 x , respectiv Kx = Kf = x0 f + f 0 x x0 f + f 0 x

Sporul total al variabilei y care revine factorului f: y ( f ) = x0 f + K f x f

Sporul total al variabilei y care revine factorului x: y ( x ) = f0 x + K x x f

Contribuia relativ a factorilor la formarea sporului total:

209

y ( f ) y ( x ) 100, respectiv y ( x , f ) 100 y ( x , f )

Indicele preurilor de consum (tip Laspeyres)

IPC =

i p q = i p qp 0 0 0 0

p

g q0 p0 ,

unde : ip - indici de preuri pe categorii de bunuri (alimentare, nealimentare) i servicii ; p0q0 - valoarea consumului pentru mrfuri alimentare, nealimentare i servicii ; g p0 q0 - greutatea specific n consumul total a grupelor de bunuri i servicii. Indicele preurilor de consum se utilizeaz la calculul ctigurilor reale (salarii, pensii, burse), la calculul ratei inflaiei n domeniul consumului etc.Salariul nominal (SN):

SN =

FBS Re t T

unde: FBS Fondul brut de salarii; Ret Reineri T-numrul mediu de salariaiSalariul real (SR) :

SR =

SN IPC

Dinamica salariului real :

SR

SR1 I SN = = SR0 IPC

Rata inflaiei n domeniul consumului: RI=IPC%-100

210

6.2. PROBLEME REZOLVATEProblema 1. ntr-o societate comercial s-au nregistrat urmtoarele date cu privire la trei mrfuri (A, B i C), n dou luni consecutive (vezi tabelul 6.1.). Tabelul 6.1. Marfa Cantitate vndut (mii buc.) perioada perioada de baz curent 1 2 5 6 2 3 10 9 Pre unitar (RON/buc.) perioada perioada de baz curent 3 4 2 2,5 3 3,5 2,5 4 -

0 A B C Total

Se cere: 1. calculai indicii individuali ai valorii, volumului fizic i ai preurilor pentru cele trei mrfuri; 2. calculai indicii de grup ai valorii, volumului fizic i al preurilor i verificai relaia dintre ei precum i modificrile relative corespunztoare; 3. calculai modificrile absolute, pe total, cu evidenierea influenei factorilor i calculai ponderea factorilor determinani. Rezolvare 1. Calculul indicilor individuali ai valorii, volumului fizic i ai preurilor

Pentru indicele valorii este necesar s se calculeze i valorile din cele dou perioade (vezi tabelul 6.2. coloanele 5 i 6).Tabelul 6.2. Marfa Cantitile Preul unitar Valoarea desfacerilor vndute (mii (RON/buc.) (mii RON) buc.) per.de per. crt. per.de per. crt. per. de per. crt. din per. crt. n baz baz baz (p1q1) preurile per. (q1) (p1) (qo) (po) (p0q0) de baz (p0q1) 1 5 2 10 2 6 3 9 3 2 3 2,5 4 2,5 3,5 4 5 10 6 25 41 6 15 10,5 36 61,5 7 12 9 22,5 43,5

A

A B C TOTAL

211

Indicii individuali ai volumui fizic

q i1 / 0

6 5 = 1,2 sau 120% q 3 = 1 = = 1,5 sau 150% q0 2 9 10 = 0,9 sau 90%

(pentru marfa A) (pentru marfa B) (pentru marfa C)

Indicii individuali ai preurilor 2 ,5 2 = 1,25 sau 125% p1 3,5 p i1 / 0 = = = 1,1667 sau 116 ,67% p0 3 4 2,5 = 1,6 sau 160% Indicii individuali ai valorii 15 10 = 1,5 sau 150% p q 10,5 v i1 / 0 = 1 1 = = 1,75 sau 175% p0 q0 6 36 25 = 1,44 sau 144%

(pentru marfa A) (pentru marfa B) (pentru marfa C)

(pentru marfa A)(pentru marfa B) (pentru marfa C)

2. Indicii de grup se pot calcula n acest caz sub form de indici agregai:

I1v/(0p , q ) =q I 1v/(0 )

I 1v/(0p )

p q = 61,5 = 1,5 sau 150%; p q 41 p q = 43,5 = 1,0609 sau 106,09% = p q 41 p q = 61,5 = 1,4138 sau 141,38% = p q 43,51 1 0 0 0 1 0 0 1 1 0 1

) R1v/(0p ) = I1v/(0p(%) 100 = 41,38%

Relaia dintre cei trei indici:q I 1v/(0p ,q ) = I 1v/(0 ) I 1v/(0p ) 1,0609 1,4138 1,5

212

Pe baza indicilor de grup calculai, se pot determina modificrile relative corespunztoare: ,q ) R1v/(0p ,q ) = I1v/(0p(%) 100 = 50%q q) R1v/(0 ) = I1v/(0(%) 100 = 6,09% ) R1v/(0p ) = I1v/(0p(%) 100 = 41,38%

3. Modificrile absolute ale valorii, volumului fizic i ale preurilor: v1(/p , q ) = p1q1 p0 q0 = 61,5 41 = 20,5 mii RON 0

v1(/q0) v1(/p ) 0

= p q p q = 43,5 41 = 2,5 mii RON = p q p q = 61,5 43,5 = 18 mii RON0 1 1 1 0 0 0 1

Verificare: v1(/p , q ) = v1(/q0) + v1(/p ) = 2,5 + 18 = 20,5 mii RON 0 0

Ponderea celor doi factori: v ( q ) 2 ,5 K v ( q ) = v (1p/,0q ) 100 = 100 = 12,20% 20,5 1 / 0

K v( p) =

18 v1(/p ) 0 100 = 100 = 87 ,80% v( p, q ) 20,5 1 / 0

Interpretare Se observ c valoarea pe total a crescut n perioada curent fa de perioada de baz cu 20,5 mii RON ceea ce corespunde unei creteri procentuale de aproximativ 50%. De menionat faptul c aceast cretere s-a realizat predominant pe seama modificrii preurilor (87,8%), situaie care echivaleaz n ultim instan cu o depreciere a nivelului de trai.Problema 2. Se cunosc urmtoarele date cu privire la dou produse fabricate de o firm: Tabelul 6.3. Produs Valoarea producei (mii RON) perioada de perioada baz curent 1 2 40 60 80 140 120 200 Modificarea preurilor unitare (%) 3 +80 +100

0 A B Total

213

Se cere: 1. s se calculeze indicii individuali ai valorii, volumului fizic i ai preurilor; 2. indicii de grup ai valorii, volumului fizic i al preturilor; 3. modificrile absolute ale valorii, volumului fizic i ale preurilor. Rezolvare 1. Indicii individuali ai valorii se pot calcula pe baza datelor din tabel, indicii preurilor prin relaia de trecere de la ritm la indice iar indicii individuali ai volumului fizic pe baza relaiei dintre cei trei indici. indicii valorii produciei: 60 = 1,5 sau 150% (pentru produsul A) p q 40 v i1 / 0 = 1 1 = p0 q0 140 = 1,75 sau 175% (pentru produsul B) 80 indicii preurilor 80 + 100 = 1,80 sau 180% (pentru produsul A) p r + 100 100 i1p/ 0 = = 100 100 + 100 = 2 sau 200% (pentru produsul B) 100 indicii volumului fizic se calculeaz pe baza relaiei:v q i1 / 0 = i1 / 0 i1p/ 0 de unde: 1,5 = 0,8333 sau 83,33% v i1 / 0 1,8 q i1 / 0 = p = i1 / 0 1,75 2 = 0,875 sau 87 ,50%

(pentru produsul A) (pentru produsul B)

2. Calculul indicilor de grup ai valorii, volumului fizic i al preurilor

indicele de grup al valorii se obine direct din datele din tabel:v p I 1 /(0 , q ) =

p q p q

1 1

=

0 0

200 = 1,6667 sau 166 ,67% 120

indicele de grup al preurilor nu se poate calcula aici dect ca un indice mediu armonic ponderat cu valoarea produciei din perioada curent. Pentru aceasta se pornete de la relaia:v p I 1 /(0 ) =

pq pq i

1 1

=

1 1 p 1/ 0

200 200 = = 1,9355 sau 193,55% 60 140 103,33 + 1,8 2214

indicele de grup al volumului fizic se calculeaz ca o medie aritmetic ponderat a indicilor individuali ai acestuia, ponderile fiind valorile din perioada de baz:v q I1 /( 0 )

i p q = p qq 1/ 0 0 0

0 0

=

0,8333 40 + 0,875 80 103,33 = = 0,8611 sau 86 ,11% 120 120

3. Modificrile absolute ale valorii, volumului fizic i ale preurilor se calculeaz pe baza indicilor de grup respectivi:

v1(/p , q ) = 0v1(/q0)

p q p q = 200 120 = 80 mii RON = i p q p q = 103,33 120 = 16 ,671 1 0 0 q 1/0 0 0 0 0

mii RON

v1(/p ) = 0

p q i1 1

p1q1p 1/0

= 200 103,33 = 96 ,67 mii. RON

4. Contribuia celor doi factori

K v(q) = K v( p) =

v1(/q0) 16 ,67 100 = 100 = 20,84% v( p, q) 80 1 / 0 v1(/p ) 96 ,67 0 100 = 100 = 120,84% v( p, q) 80 1 / 0

Interpretare Rezultatele obinute din calcul relev o cretere a valorii, pe total, cu 66,7% n perioada curent fa de perioada de baz, respectiv cu 80 mii RON. Influenele exercitate de cei doi factori prezint tendine contradictorii. Astfel, modificarea valorii pe seama preurilor a nregistrat o cretere cu 93,55%, respectiv 96,67 mii RON i o scdere pe seama cantitilor cu 13,89%, respectiv cu 16,67 mii RON.Problema 3. Pentru trei ageni economici se cunosc datele:Tabelul 6.4 Agent economic Valoarea produciei n perioada curent (mii RON) 1 500 1200 300 Modificarea preurilor (%) 2 +50 +80 +100 215 Dinamica volumului fizic al produciei (%) 3 80 100 90 Nr. de salariai Perioada de Perioada baz curent (PB) (PC) 4 50 150 60 5 45 150 58

0 A B C

Se cere: 1. indicii individuali ai preurilor i ai valorii; 2. indicii de grup ai valorii, volumului fizic i al preurilor; 3. modificarea relativ i absolut a valorii produciei, cu evidenierea influenei factorilor; 4. productivitatea muncii, pe fiecare agent economic i pe total, n cele dou perioade; 5. indicii individuali i de grup ai productivitii muncii; 6. modificarea relativ i absolut a productivitii medii a muncii cu evidenierea influenei factorilor; 7. modificarea produciei pe seama productivitii i a numrului de salariai, cu descompunerea pe doi factori. Rezolvare 1. Formulele de calcul i rezultatele calculelor, pe baza datelor din enun, sunt prezentate n tabelul 6.5. (coloanele 3 i 5):Tabelul 6.5 Agent economic 0 A B C Valoarea produciei n rP +100 P perioada curent i1/ 0 = 1/ 0 100 (p1q1) (mii RON) 1 3 500 1,50 1200 1,80 300 2,00 2000 q i1 / 0 v q i1/ 0 = i1p/ 0 i1/ 0 p 0 q0 = p1 q1v i1 / 0

p 0 q1 =

p1 q1 i1p/ 0

Total

4 0,80 1,00 0,90

5 1,2 1,8 1,8

7 416,667 666,667 166,667 1250

8 333,333 666,667 150 1150

2. Pentru calculul indicilor de grup trebuie obinute urmtoarele informaii: valoarea produciei n perioada de baz (p0q0), valoarea produciei n preuri constante (p0q1).

Rezultatele calculelor sunt prezentate n tabelul 6.5., coloanele 7 i 8.v p I 1 /(0 , q ) =

v q I 1 /(0 )

v p I 1 /(0 )

p q = 2000 = 1,6 sau 160% p q 1250 i p q = 1150 = 0,92 sau 92% = p q 1250 p q = 2000 2000 = = = 1,7391 sau 173,91% p q 500 + 1200 + 300 1150 1,5 1,8 2 i1 1 0 0 q 1/0 0 0 0 0 1 1 1 1 p 1/0

216

3. Pe baza indicilor de grup se pot calcula: modificrile relative: v pentru factorul cantitativ: Rv(q) = I 1(/ q )(%) - 100 = - 8% 0v p) pentru factorul calitativ: Rv(p) = I 1 (/ 0 (%) - 100 = + 73,91% v p,q) pe total: Rv(p,q) = I 1 (/ 0 (%) - 100 = + 60%

modificrile absolute: pe seama factorului cantitativ: v ( q ) = i q p0 q0 p0 q0 = - 100 mii RON pe seama factorului calitativ: 1 v ( p ) = p1q1 p1q1 = 850 mii RON ip

pe total: v ( p , q ) = p1q1 p0 q0 = 750 mii RON4. Formulele de calcul i rezultatele calculelor pentru productivitatea muncii pe fiecare agent economic sunt prezentate n tabelul 6.6., coloanele 5 i 6.Tabelul 6.6. Agent ec. A A B C

p0 q0

p0 q1

T0 T1 w0 =

p0 q0 pq w w w1 = 0 1 i1 / 0 = 1 T1 w0 T06 7,407 4,444 7 0,8889 1 0,9312

w0T1

T i1 / 0 =

T1 T0

1 2 3 4 416,667 333,333 50 45 666,667 666,667 150 150 166,667 150 60 58 Total 1250 1150 260 253

p q T0

5 8,333 4,444 2,777 4,8080 0

p q T1

2,5860 1

8 9 373,985 0,9 666,600 1 161,067 0,9667 1202,652 0,9731

5. Indicii individuali ai productivitii muncii sunt prezentai n tabelul 6.6, coloana 7. Pentru calculul indicilor de grup ai productivitii medii a muncii, trebuie calculate productivitile medii pe total, astfel:

w0 = w1 = w* =

w0T0 p0 q0 = = 4,808 mii RON/salariat T0 T0 w1T1 p0 q1 = = 4,545 mii RON/salariat T1 T1 w0T1 1202,652 = = 4,753 mii RON/salariat T1 256

217

Pe baza acestora se calculeaz urmtorii indicatori: indicele cu structur variabil

w1 4,545 = = 0,9453 sau 94,53% w0 4,808 indicele variaiei structuriiw I SV( w, gT

)

=

w IVS( g

T

)

=

w* 4,753 = = 0,9896 sau 98,96% w0 4,808

indicele cu structur fix I w( w) = w1 4,545 = = 0,9562 sau 95,62% w* 4,753

6.

Pe baza indicilor de grup se pot calcula:

modificrile absolute: w ( w, gT T

)

= w1 w0 = 4,545 4,808 = -0,263 mii RON = -263 RON

w ( g ) = w* w0 = 4,753 4,808 = -0,055 mii RON = -55 RON w ( w) = w1 w* = 4,545 4,753 = -0,208 mii RON = -208 RON modificrile relative: R w ( w, g R w( gT T

)

= 5,47%

)

= 1,14%

R w( w) = 4,38% Interpretare Din calcule rezult c productivitatea muncii, pe total, a sczut n perioada curent fa de perioada de baz cu 5,47% pe seama influenei concomitente a celor doi factori: nivelul productivitatea muncii realizat la nivelul fiecrui agent economic i structura personalului. La aceast situaie nefavorabil a contribuit n mare msur factorul intensiv. Astfel, productivitatea muncii, pe total, a sczut cu 4,38% ca urmare a modificrii productivitii muncii individuale i cu 1,14% pe seama modificrii structurii personalului. La aceleai concluzii se ajunge urmrind modificrile absolute corespunztoare.7.

a) Descompunerea produciei pe doi factori de influen se poate realiza n mai multe moduri:

Varianta I (pe baza indicatorilor obinui la nivelul fiecrui agent economic)

218

I Q ( w,T ) = i

w T = p q w T p q1 1 0 0 0 1

0 1

= 0,92 sau 92% R Q ( w,T ) = 8%

0 0

Q ( w,T )

= 100 mii RON = 1202,652 = 0,9621 sau 96 ,21% R Q (T ) = 3,79% 1250

I Q (T ) = i

w T w T1

0 0

Q (T )

= 47 ,348 mii RON1 1

I Q ( w) = i

w T w T0

=

1150 = 0,9562 sau 95,62% R Q ( w) = 4,38% 1202,652

Q ( w)

= 52,652 mii RON

Varianta II (pe baza indicatorilor obinui la nivelul ansamblului) w1 T 1 I Q( w ,T ) = = 0,92 sau 92% , R Q( w,T ) = 8% w0 T0

i Q( w,T ) = 100 mii RON

I Q ( T ) = Q ( T )

I Q(w ) Q(w )

T = 0,9731 sau 97 ,31%, R = 2,69% w T = ( T T ) w = (253 260) 4,808 = 33,656 mii RON w T = = 0,94531 sau 94,53%, R = 5,47% w T = ( w w ) T = (4,545 4,808) 253 = 66 ,539 mii RONw01 Q ( T ) 0 0 1 0 0 1 1 Q ( w) 0 1 1 0 1

Verificare: I Q ( w , T ) = I

w

I

T

= 0,9453 0,9731=0,9199 0,92

6.3. PROBLEME PROPUSE Problema 1. Pentru trei firme de acelai profil se cunosc datele:Firma Fond de salarii (mii RON) (FS) Perioada de Perioada baz curent 1 2 45,0 34,02 54,0 49,68 18,6 20,10 FS0= FS1= 219 Tabelul 6.7. Numr de salariai (T) Perioada de baz 3 30 25 10 T0= Perioada curent 4 21 23 10 T1=

0 I II III Total

S se analizeze dinamica indicatorilor din enun. Pe baza datelor disponibile se pot calcula indicii individuali (la nivelul fiecrei firme) ai fondului de salarii (FS) i ai numrului de salariai (T). Rezultatele se prezint n tabelul urmtor col. 1 i 2.Tabelul 6.8. Salariu mediu ( RON/salariat) FS1 T1 FS T i1/ 0 = 100 i1 / 0 = 100 Perioada Perioada FS0 T0 de baz curent 1 2 3 4 75,6 70 1500 1620S i1/ 0 =

Firma 0 I II III Total

S1 100 S0

S0T1 6 15,75

5 108

La nivelul ansamblului celor trei firme (pe total) se pot analiza dinamica i modificarea absolut a numrului de salariai i a fondului de salarii. Dinamica numrului de salariai este: T1 T = I1 / 0 = T0

Modificarea absolut a numrului de salariai: T / 0 = T1 T0 = 1

Fondul de salarii se poate descompune pe factorii de influen, numr de salariai (factorul cantitativ) i salariu mediu (factorul calitativ). Salariul mediu pe fiecare firm se calculeaz ca raport ntre fondul de salarii i numrul de salariai i se completeaz coloanele 3 i 4 ale talelului 6.8. Indicele de grup al fondului de salarii: S1T1 FS1 = = I1FS0 = / S0T0 FS0

Indicele fondului de salarii sub influena numrului de salariai este: S0T1 = I 1FS0(T ) = / S0T0

Indicele fondului de salarii sub influena salariului mediu este: I 1FS0( S ) = /

S T S T

1 1

=

0 1

ntre cei trei indici se verific relaia de sistem: I 1FS0 = I 1FS0(T ) I 1FS0( S ) / / /

220

Pe baza indicilor corespunztoare, astfel: FS 0 = 1/( FS 0T ) 1/ ( FS 0S ) 1/ 1 1

de grup

se

calculeaz

modificrile

absolute

S T S T = = S T S T = = S T S T =0 0 0 1 0 0 1 1 0 1

i n acest caz se verific relaia de sistem:( ( FS 0 = FS 0T ) + FS 0S ) 1/ 1/ 1/

Interpretarea rezultatelor

Problema 2. Pentru o societate comercial se cunosc datele: Tabelul 6.9.Mrfuri 0 Valoarea ncasrilor n PB (mii RON) 1 Dinamica preurilor (%) 2 Modificarea procentual a volumului fizic (%) 3

A B C

80 140 100

140 160 120

-5 +3 -2

Se cere: 1. indicii individuali ai valorii i ai preurilor; 2. indicii de grup ai valorii, volumului fizic i al preurilor; 3. s se descompun valoarea absolut pe total. Rezolvare 1.

Indicii individuali ai volumului fizic se determin utiliznd relaiile:

i =q 10

r1q0 + 100 100

De exemplu, pentru marfa A:

i1q0 =

5 + 100 = 0,95 100221

Indicii individuali ai valorii se deduc din relaia de sistem: v q i1 0 = i1 0 i1p0v i1 0 = 0,95 1,4 = 1,33 pentru marfa A.

Rezultatele calculelor se prezent n tabelul 6.10. (coloanele 2, 3 i 4).Tabelul 6.10. Valoarea ncasrilor n Mrfuri PB p0 q0 (mii RON) 0 1 A 80 B 140 C 100 Total 320

iq2 0,95

i

p

iv4 1,33

p1q1 = p0 q0 i v5

3

1,4

106,4

2.

Pentru calculul indicilor de grup se calculeaz valoarea ncasrilor n perioada curent ( p1 q1 ) i valoarea ncasrilor n preuri comparabile ( p0 q1 ) (vezi coloanele 5 i 6).v I1 ( p , q ) = 0

I

v (q 10

( I1v 0 p

pq = p q i pq ) = = p q pq ) = = pq i1 1 0 0 q 0 0 0 0 1 1 1 1 p

3.

Modificrile absolute, pe cei doi factori de influen:

v (q ) = i q p0 q0 p0 q0 =

v ( p ) = p1q1 v ( p , q ) =

p1q1 = ip

Modificarea absolut pe total:

p q p q1 1

0 0

Interpretarea rezultatelor

222

Problema 3. Pentru doi ageni economici se cunosc datele:Tabelul 6.11. Agent economic 0 A B Salariul mediu (RON/pers.) PB PC 1 2 1756,8 1728 1872,0 1944 Structura angajailor (%) PB PC 3 4 50 45 50 55

Se cere: 1. dinamica salariului mediu pe fiecare agent economic; 2. salariul mediu pe total n cele dou perioade; 3. indicii de grup ai salariului mediu cu structur variabil, cu structur fix i al variaiei structurii; 4. modificrile absolute corespunztoare pe total. Rezolvare 1.

Indicii individuali ai salariului mediu se calculeaz dup relaia: S S i1 0 = 1 , S0 i anume: s pentru agentul economic A i1 0 =s i1 0 =

pentru agentul economic B

2. Salariul mediu n cele dou perioade se determin ca medie aritmetic ponderat a salariilor medii pariale:

S0

S T = S T

* 0 0 (%)

100* 1 1(%)

=

= 100 3. Pentru analiza dinamicii salariului mediu, pe total, n funcie de factorii si de influen vom calcula indicii de grup cu structur variabil, cu structur fix i al variaiei structurii. Pentru a putea folosi formulele de calcul restrnse vom calcula mai nti salariul mediu ntre perioade: S0T1*(%) = S* = 100 Indicele cu structur variabil: S W * I 1S/(0 ,T ) = 1 = S0

S1 =

223

Indicele variaiei structurii:S I1/(0T ) =*

S* = S0 S1 = S**

Indicele cu structur fix: I 1S/(0S ) =

Se verific relaia de sistem:S T S I 1S/(0S ,T ) = 1 /(0 ) 1 /(0S )*

Modificrile absolute corespunztoare:

S (/ S ,T ) = S1 S0 = 1 0 S (/T ) = S* S0 = 1 0 S (/ S ) = S1 S* = 1 0respectiv,S S S ( 0 ,T ) = S (/T ) + S ( 0 ) 1/ 1 0 1/* * *

*

Interpretarea rezultatelor

Poblema 4. Se cunosc urmtoarele date pentru economia Romniei n perioada 2000 2006:Tabelul 6.12. PIB n preuri Anii curente (mil. lei) Indicii Deflatorul Deflatorul Indicii PIB PIB PIB fa de PIB fa real fa de nominal de anul 2000 2000 precedent fa de Dt 1(%) 2000 PIB * D Rata inflaiei fa de 2000 Rata inflaiei fa de anul precedent

I t 1(%)

I tPIB 1(%)

t t 1(%)

Rt 1

Rt t 1

0 1 2 3 4 5 6 7 2000 80377,3 100 100,00 100 2001 116768,7 105,7 145,28 137,44 137,44 +37,44 +37,44 2002 151475,1 111,2 188,46 169,47 123,31 +69,47 +23,31 2003 197564,8 117,0 2004 246468,8 126,9 2005 288176,1 132,2 2006 344535,5 142,5 Sursa: Prelucrare dup Anuarul Statistic al Romniei, 2007 pag.437-438

224

Se cere: 1. deflatorul PIB n fiecare an fa de 2000 i fa de anul precedent; 2. rata inflaiei n fiecare an fa de 2000 i fa de anul precedent; 3. PIB real fa de 2000 i fa de anul precedent; 4. dinamica PIB real n fiecare an fa de anul precedent; 5. dinamica PIB real i rata inflaiei fa de 2000. Rezolvare 1. Pentru a calcula deflatorul PIB este necesar s se calculeze mai nti indicii PIB nominal (cu baz fix 1998).

I tPIB = 1116768,7 80377,3

PIBt PIB1

unde

t = 2, 7

De exemplu:

I 2PIB = /1

PIB2 116768,7 = = 1,4528 sau 145,28% PIB1 80377,3

Rezultatele calculelor sunt prezentate n tabelul 6.12., coloana 3. Deflatorul PIB, fiind un indice al preurilor n sistem Paasche, se poate calcula ca raport ntre dinamica PIB nominal (indicele valorii) i dinamica PIB real (indicele volumului fizic):

Dt 1 =

I tPIB /1 PIB * It /1

unde

t = 2, 7

De exemplu:

D2 1 = D3 / 1 =

1,4528 = 1,3744 1,057 1,8846 = 1,6947 1,112

sau sau

137,44% 169,47%

Rezultatele calculelor sunt prezentate n tabelul 6.12., coloana 4. Pentru a calcula deflatorul PIB n fiecare an fa de anul precedent, se aplic formula de trecere de la baz fix la baz n lan, astfel: Dt t 1 = Dt / 1 Dt 1 / 1 sau 137,44%

De exemplu: D2 1 = 1,3744

225

D3 / 2 =

1,6947 = 1,2331 1,3744

sau

123,31%

Rezultatele calculelor sunt prezentate n tabelul 6.12., coloana 5.2.

Rata inflaiei: fa de 2000 R I t 1 = Dt 1 (% ) 100% (vezi tabelul 6.12., coloana 6)

fa de anul precedent R I t t 1 = Dt t 1 (% ) 100% (vezi vezi tabelul 6.12., coloana 7)

3.

PIB real se calculeaz ca raport ntre PIB nominal i deflatorul PIB astfel: n fiecare an fa de 1998 PIB* = PIBt Dt 1 (vezi vezi tabelul 6.13., coloana 4)

n fiecare an fa de anul precedent PIB* = PIBt Dt t 1 (vezi vezi tabelul 6.13., coloana 5)Tabelul 6.13.

Anii

PIB n preuri curente (mii lei)

Deflatorul Deflatorul PIB fa de PIB fa PIB real 2000 de anul fa de 2000 Dt / 1(%) precedent

Dt / t 1(%)3

PIBt* 1

PIB real fa de anul precedent

PIBt*/ t 15 84958,81 122844,6

Dinamica PIB real fa de anul precedent

I tPIB1(%) t6 105,70 105,20

*

0 1 2000 80377,3 2001 116768,7 2002 151475,1 2003 197564,8 2004 246468,8 2005 288176,1 2006 344535,5

2

100 137,44 169,47

4 - 80377,3 137,44 84958,81 123,31 89379,56

4. Dinamica PIB real n fiecare an fa de anul precedent se calculeaz

astfel: I tPIB 1 = /t*

PIBt*/ t 1 PIBt 1226

Rezultatele calculelor sunt prezentate n tabelul 6.13., coloana 6. Aceleai rezultate se obin dac se folosete formula de trecere de la baz fix la baz n lan, pornind de la indicii PIB real cu baza fix:

I5.

PIB * t t 1

=

I tPIB 1

*

I tPIB1 1 I tPIB 1* *

*

Dinamica PIB real fa de 2002 ( t = 3 ):

I

PIB * t 3

=

I tPIB1 1*

unde t = 4 ,7

Prin urmare:

I43

PIB *

=

PIB I4 1 PIB I3 1 PIB I5 1 PIB I3 1

*

=

*

I53

PIB *

=

*

=

I6 3

PIB *

=

I 6PIB 1PIB I3 1

*

*

=

Rata inflaiei corespunztoare fiecrui indice se calculeaz scznd 100% din valoarea acestuia exprimat procentual:RI t / 3 = I tPIB 100% unde t = 4 , 7 4 (%)*

Astfel:R I4 3 = R I5 3 = R I6 3 = R I7 3 = Interpretarea rezultatelor

227

6.4. TEM Problema 1. Pentru dou produse se cunosc datele:Tabelul 6.14. Valoarea vnzrilor (mii RON) Produs 0 PB 1 150 300 PC 2 190 450 Modificarea procentual a volumului fizic 3 +4 -7

A B

Se cere: 1. 2. 3.

indicii individuali ai valorii, volumului fizic i ai preurilor; modificarea absolut i relativ a valorii desfacerilor pe total i influena factorilor; tiind c numrul personalului, pe total, a crescut n perioada curent fa de perioada de baz cu 2%, s se determine modificarea relativ a productivitii muncii.

R: 2. v ( p , q ) =190 mii RON; R v ( p , q ) = +42,22%; v ( q ) = -15 mii RON; R v ( q ) = = -3,33%; v ( p ) = 205 mii RON; R v ( p ) = +47,12%; 3. R w = -5,22%. Problema 2. La o societate comercial s-au nregistrat datele:Tabelul 6.15. Marfa 0 Structura valorii vnzrilor PB (%) 1 35,0 40,0 25,0 Dinamica volumului fizic (%) 3 110 115 75 Modificarea relativ a preurilor (%) 4 50 70 80

A B C

Se cere: 1. 2. 3.

indicii individuali ai preurilor i ai valorii vnzrilor; modificarea relativ a valorii, volumului fizic i a preurilor, pe total; s se reprezinte grafic structura valorii vnzrilor n cele dou perioade.

R: 2. R v ( p , q ) = +69,7%; R v ( q ) = +3,25%; R v ( p ) = +64,36%.

228

Problema 3. Pentru o societate comercial se cunosc datele:Tabelul 6.16. Mrfuri 0 Valoarea ncasrilor n PB (mii RON) 1 106 230 119 Modificarea procentual a preurilor(%) 2 +40 +60 +20 Dinamica volumului fizic (%) 3 95 103 98

A B C

Se cere: 1. indicii individuali ai valorii i ai preurilor; 2. indicii de grup ai valorii, volumului fizic i al preurilor; 3. s se descompun valoarea absolut pe total. R: 2. I v ( p , q ) = 145,05%; I v (q ) = 99,83%; I v ( p ) = 145,30%. Problema 4. Pentru doi ageni economici se cunosc datele:Tabelul 6.17. Agent economic 0 A B Salariul mediu (RON/pers.) PB PC 1 2 1600 1680 1700 1800 Structura angajailor (%) PB PC 3 4 52 45 48 55

Se cere: 1. dinamica salariului mediu pe fiecare agent economic; 2. salariul mediu pe total n cele dou perioade; 3. indicii de grup ai salariului mediu cu structur variabil, cu structur fix i al variaiei structurii; 4. modificrile absolute corespunztoare pe total. R: 1. 105% i 105,88%; 2. S0 = 824 RON/pers.; S1 = 873 RON/pers.;S* =827,5 RON/pers.; I SV = 105,95%; IVS = 100,42%; I SF = 105,5%.

Problema 5. Se cunosc datele:Produs 0 Structura valorii vnzrilor n perioada curent (%) 1 35 34 31 Dinamica volumului fizic (%) 2 110 120 70 Tabelul 6.18. Modificarea preurilor (%) 3 50 70 80

A B C

229

Se cere: 1. 2. 3.

indicii individuali ai valorii i ai preurilor; iindicii de grup privind valoarea, volumul fizic i preurile; tiind c numrul personalului, pe total, s-a redus n perioada curent fa de perioada de baz cu 5%, s se determine modificarea relativ a productivitii muncii.

R: 2. I v ( p , q ) = 160,05%; I v ( q ) = 96,92%; I v ( p ) = 165,14%; 3. R w = +2,02%.

6.5. INTREBRI RECAPITULATIVE

1. Ce sisteme de ponderare se pot utiliza la construirea indicilor de grup factoriali? 2. Ce sisteme de ponderare se folosesc, de regul, pentru construirea indicelui de grup al factorului cantitativ? 3. Ce sisteme de ponderare se folosesc, de regul, pentru construirea indicelui de grup al factorului calitativ? 4. Ce sistem de ponderare se folosete la construirea indicilor de grup factoriali n comparaiile internaionale? 5. Cnd se utilizeaz sistemul de ponderare Laspeyres la construirea indicelui de grup al preurilor? 6. n ce condiii se verific relaia de sistem ntre indicii de grup? 7. Care este explicaia pentru apariia restului nedescompus? 8. Ce reprezint restul nedescompus? 9. Ce modaliti de calcul al indicilor de grup cunoatei? 10. Ce ali indicatori se pot calcula pe baza indicilor de grup? 11. n ce condiii se folosete agregarea pentru calculul indicilor de grup? 12. Cnd se folosete media armonic pentru calculul indicilor de grup? Exemplificai. 13. Cnd se folosete media aritmetic pentru calculul indicilor de grup? Exemplificai. 14. Ce semnificaie are indicele de grup cu structur variabil? 15. Ce semnificaie are indicele de grup cu structur fix? 16. Ce semnificaie are indicele de grup al variaiei structurii? 17. Ce metode de descompunere pe factori a variaiei unui fenomen complex cunoatei? 18. Ce presupune metoda substituiei n lan? 19. Cnd se aplic metoda substituiei n lan? 20. Ce avantaje prezint metoda substituiei n lan? 21. Care sunt principalele dezavantaje ale metodei substituiei n lan? 22. n ce const metoda influenei izolate a factorilor (sau metoda restului nedescompus)?230

23. Ce modaliti de distribuire a restului nedescompus pe factorii de influen cunoatei? 24. Cnd se aplic metoda restului nedescompus? 25. Ce avantaje prezint metoda restului nedescompus? 26. Care sunt principalele dezavantaje ale metodei restului nedescompus?

231