sisteme de reglare robuste

8/13/2019 sisteme de reglare robuste

1/19

6

Sinteza regulatoarelor robuste(sisteme monovariabile)

6.1. Problema stabiliz[rii

Se consider sistemul cu reacie unitar negativ avnd schema blocreprezentat n figura 6.1.1. Se presupune G strict proprie i C proprie (ceea ceasigur faptul c sistemul este bine-definit), adic exist cele 4 funcii de transfer ncircuit nchis de la cele dou intrri ri dla ieirile din sumatoare ei v.

Majoritatea problemelor de sintez pot fi formulate astfel: Fiind dat G(partea fix) s se determine C (regulatorul) astfel nct sistemul cu reacie ssatisfac urmtoarele dou cerine:

1) este intern stabil;

2) ndeplinete anumite proprieti suplimentare (de exemplu, ieirea yurmrete asimptotic o intrare treapt r).

Metoda de rezolvare const n parametrizarea tuturor regulatoarelor Cpentru care cerina 1) este satisfcut i apoi, se caut, dac exist, un parametrupentru care cerina 2) este asigurat. n acest paragraf se prezint o astfel deparametrizare i se aplic la urmtoarele dou probleme: obinerea specificaiilorde performan i stabilizarea intern cu ajutorul unui regulator stabil.

6.1.1. Parametrizarea regulatorului (Instala\ie stabil[)

Se presupune funcia de transfer a instalaiei, G, stabil. n cazulmonovariabil, reprezint mulimea funciilor de transfer raionale, proprii iRHstabile.

101_________________________________________________________________________

101


2/19

Se scriu relaiile ntre mrimile de intrare (ri d) i ieirile din sumatoare(ei v) pentru fig. 6.1.1:

(6.1.1)

e

=r

Gv

v=d+Ce

n form matriceal acestea sunt:

(6.1.2)

1 GC 1

e

v

=

r

d

Sistemul este bine-definit dac i numai dac matricea din relaia2 2

(6.1.2) este nesingular, adic determinantul 1 + GCnu este identic nul. Atunci,cele patru funcii de transfer se obin din ecuaia:

e

v

=

1 GC 1

1

r

d

adic

(6.1.3)

e

v =1

1 + GC

1 GC 1

r

d

Observaie:O definiie mai puternic a proprietii de "bine-definit" pentrusistemul considerat cere ca cele patru funcii de transfer de mai sus s fie proprii. Ocondiie necesar i suficient este ca 1 + GC s nu fie strict proprie (adic,

). Ipoteza iniial (Geste strict proprie i Ceste proprie) asigur acestGC() 1lucru.

Dac cele 4 funcii de transfer din (6.1.3) sunt stabile, atunci sistemul cu

reacie se numete intern stabil.Observaie: Stabilitatea intern garanteaz semnale interne mrginite

pentru orice semnale externe mrginite. Ideea care rezult din aceast definiie a stabilitii interne este aceea c nu

este suficient s se analizeze doar funciile de transfer intrare-ieire, ca de exemplu

102 6 Sinteza regulatoarelor robuste (sisteme monovariabile)_________________________________________________________________________

102

r +

-

eC

d

u vG

y++

Fi . 6.1.1 Sistem cu reac ie unitar


3/19

cea de la r la y. Aceast funcie de transfer poate fi stabil, astfel nct y estemrginit cnd r este mrginit, i, totui, un semnal intern poate fi nemrginit,determinnd eventuale avarii interne ale sistemului fizic.

Teorema 6.1.1.Presupunem c . Mulimea tuturor regulatoarelorG RHCpentru care sistemul cu reacie din fig. 6.1.1 este intern stabil, este egal cu:

. Q

1 GQ/Q RH

Demonstraie: . Presupunem c C asigur stabilitatea intern. Fie Q()funcia de transfer de la rla u, adic,

. (6.1.4)Q

=

C

1 + GCAtunci, iQ RH

.C= Q

1 GQ

. Presupunem c i definim() Q RH

. (6.1.5)C =

Q

1 GQ

Sistemul este intern stabil dac cele patru funcii de transfer din (6.1.3),adic

11 + GC

1 GC 1

sunt stabile i proprii. nlocuind pe Cdin (6.1.5) obinem:

.

1 GQ G(1 GQ)Q 1 GQ

Evident, aceste patru funcii de transfer aparin lui . RH

Se observ c cele patru funcii de transfer sunt funcii afine de parametrulQ; adic, fiecare este de forma pentru anumite funcii i din .T1+ T2Q T1 T2 RH

n particular, funciile de sensibilitate i sensibilitate complementar sunt: (6.1.6)S= 1 GQ

(6.1.7)T=GQ Teorema 6.1.2.Presupunem c sistemul cu reacie este intern stabil i d= 0.

6.1 Problema stabilizrii 103_________________________________________________________________________

103


4/19

a) Dac reste un semnal treapt, atunci cnd dac i numaie(t) 0 t dac Sare cel puin un zerou n origine.

b) Dac reste un semnal ramp, atunci cnd dac i numaie(t) 0 t dac Sare cel puin dou zerouri n origine.

Demonstraie:a) Pentru o intrare treapt, innd cont c funcia de transferde la rla eeste S, obinem:

.(s)=S(s) ks

ntruct Seste o funcie de transfer stabil, se aplic teorema valorii finale obinnd

.e()=S(0) k

Deci, dac i numai dac .e()= 0 S(0)= 0b) Se demonstreaz similar, considernd o intrare ramp . k/s2

Observaie: Se observ c S are un zerou n s = 0 dac i numai dacfuncia de transfer a buclei n circuit deschisL(L= GC) are un pol n origine, adicGsau Care un pol n origine (caracter integrator).

Conform Teoremei 6.1.2 ieireayurmrete asimptotic o treapt aplicat laintrarea rdac i numai dac , adic (vezi (6.1.6))S(0)= 0

. (6.1.8)G(0) Q(0)= 1

Aceast ecuaie are o soluie dac i numai dac , deci mulimeaQ RH G(0) 0tuturor regulatoarelor stabilizatoare care asigur urmrirea asimptotic a unuisemnal treapt este:

. (6.1.9)C= Q

1 GQ Q RH,Q(0)=

1G(0)

Exemplu: Fie

G(s)= 1(s + 1)(s + 2)

i presupunem c se dorete s se determine un regulator intern stabilizator astfelnctys urmreasc asimptotic o ramp r.

Funcia de transfer S trebuie s aib cel puin dou zerouri n origine (vezi

Teorema 6.1.2). Se parametrizeaz regulatorul Cca n Teorema 6.1.1 i se alege

.Q(s)=as + bs + 1


104


5/19

i are dou variabile, ai b, pentru asigurarea celor dou zerouri ale luiQ RHS. Se obine (din (6.1.6)):

.S(s)= 1 as + b

(s + 1)

2(s + 2

)=

s 3 + 4s2 + (5 a)s + (2 b)

(s + 1)

2(s + 2

)

Alegnd a= 5, b= 2 se obine

,Q= 5s + 2s + 1

.C(s)=(5s + 2)(s + 1)(s + 2)

s2(s + 4)

Regulatorul este intern stabilizator i are doi poli ns= 0.

6.1.2. Parametrizarea regulatorului (Cazul general)

Funcia de transfer G nu mai este presupus stabil. Fie oG=N/Mfactorizare coprim peste , iar X i Y dou funcii din care satisfacRH RHecuaia

. (6.1.10)X+MY= 1

Teorema 6.1.3. Mulimea tuturor regulatoarelor Cpentru care sistemul cureacie este intern stabil este egal cu

. (6.1.11)X+ QYNQ

Q RH

Observaie: Teorema 6.1.3 se reduce la Teorema 6.1.1 atunci cnd. n acest caz putem alege:G RH

N= G, M= 1, X= 0, Y= 1

i rezult

. X+ QYNQ

= Q

1 GQ

Demonstraia Teoremei 6.1.3 se bazeaz pe urmtoarea lem:

Lema 6.1.1. Fie o factorizare coprim peste . Atunci,C=NC/MC RHsistemul cu reacie este intern stabil dac i numai dac

. (6.1.12)(NNC+MMC)1 RH

Demonstraia acestei leme este lsat ca exerciiu pentru cititor.


105


6/19

Demonstraia Teoremei 6.1.3. . Se presupune c i() Q RH

.C =

X+MQYNQ

Pentru a arta c sistemul este intern stabil, se definesc

. (6.1.13)C=X+MQ , MC

=YNQ

Atunci, din ecuaia

X+MY= 1

rezult c

.NC+MMC= 1Deci, este o factorizare coprim, iar Lema 6.1.1 asigur stabilitateaC=NC/MCintern a sistemului cu reacie.

. Invers, fie C un regulator oarecare asigurnd stabilitatea intern.()Trebuie s determinm un Q n astfel nctRH

.C=X+MQ

YNQFie o factorizare coprim peste i definimC=NC/MC RH

(6.1.14)V =(NNC+MMC)

1

astfel nct

. (6.1.15)NCV+MMCV= 1

Din Lema 6.1.1 rezult c . Fie Qsoluia ecuaieiV RH

. (6.1.16)CV=YNQ

nlocuind (6.1.16) n (6.1.15) se obine

. (6.1.17)NCV+M(YNQ)= 1

De asemenea, adunnd i scznd termenulNMQn (6.1.10) se obine

. (6.1.18)(X+MQ) +M(YNQ)= 1

Comparnd (6.1.17) i (6.1.18) rezult

(6.1.19)CV=X+MQ


106


7/19

i innd cont de (6.1.16) se obine

.C=NCV

MCV=

X+MQYNQ

Pentru a arta c parametrul se multiplic (6.1.16) cu X iQ RH(6.1.19) cu Y, apoi se scad relaiile obinute. Rezult

(NX+MY)Q=YNCVXMCV

sau, innd cont de (6.1.10)

(6.1.20)Q=YNCVXMCV

deci, . Q RHExemplu: Fie

.G(s)= 1(s 1)(s 2)

Aplicnd procedeul de factorizare coprim (vezi Capitolul 2) se obine

G=N/M

X+MY=

1unde,

; ;(s)= 1(s + 1)2

(s)=(s 1)(s 2)

(s + 1)2

; .(s)= 19s 11s + 1

Y(s)=s + 6s + 1

Conform teoremei precedente, regulatorul

C(s)=X(s)Y(s)

= 19s 11s + 6

asigur stabilitatea intern. Toate funciile de transfer n circuit nchis sunt funcii afine de Q(ca i n

cazul cnd G era stabil) dac C este parametrizat ca n Teorema 6.1.3. Deexemplu, funciile de sensibilitate i sensibilitate complementar sunt

(6.1.21)S=M(YNQ) (6.1.22)T=N(X+MQ)

Observaie: Lema 6.1.1 sugereaz o alt cale de rezolvare a ecuaiei, fiind date NiMcoprime. Iniial, se determin un regulator CcareX+MY= 1


107


8/19

asigur stabilitatea intern pentru (aceasta se poate realiza, uneori, maiG=N/Muor dect determinarea lui X i Y). Apoi, se scrie o factorizare coprim a lui C,

. Atunci, Lema 6.1.1 afirm c este inversabil nC=NC/MC V =NNC+MMC

. n final, se stabilete i . RH =NCV1 Y=MCV1

Aplicaie: Fie

.G(s)= 1(s 1)(s 2)

Se cere determinarea unui regulator Cpropriu astfel nct:

1. Sistemul cu reacie este intern stabil;2. Valoarea final a luiyeste egal cu 1 cnd reste treapt unitate i d= 0;3. Valoarea final a luiyeste egal cu 0 cnd deste o sinusoid cu pulsaia

10 rad/s i r= 0.

Iniial, se parametrizeaz toate regulatoarele stabilizatoare. Valorile lui N,M, X i Y sunt date n exemplul precedent. Conform Teoremei 6.1.3 regulatoruleste de forma:

C=X+ QYNQ

,Q RH

pentru a satisface condiia 1. Funcia de transfer de la r la y este chiar. Conform teoremei valorii finale condiia 2 are loc dac i numaiT=N(X+MQ)dac

. (6.1.23)(0)[X(0) +M(0)Q(0)]= 1

Funcia de transfer de la d la yeste egal cu i condiia 3 este(YNQ)satisfcut dac i numai dac:

(6.1.24)(10j)[Y(10j) N(10j)Q(10j)]= 0Astfel, problema se reduce la una pur algebric, i anume aceea de a determina ofuncie care s satisfac (6.1.23) i (6.1.24), adicQ RH

Q(0)= 6 (6.1.25) Q(10j)= 94 + 70j

Ultima ecuaie este echivalent cu urmtoarele dou ecuaii reale:

, (6.1.26)e Q(10j)= 94

. (6.1.27)Im Q(10j)= 70

Deci, trebuie s se determine satisfcnd (6.1.25) (6.1.27).Q RH


108


9/19

O posibilitate este aceea de a alege Qun polinom n cu un numr(s + 1)1

suficient de coeficieni variabili (aceasta asigur i satisfacerea ecuaiilorQ RHpentru Q). Deci, Qeste de forma:

.Q(s)=x1+x21

s + 1+x31

(s + 1)2

Cele trei ecuaii (6.1.25) (6.1.27) conduc la una de forma , unde x=b. n acest caz soluia este= (x1 x2 x3)T

.1= 79 ,x2 723,x3= 808

Se obine

Q(s)=79s2

881s + 6(s + 1)2

i, n final:

C(s)=60s4 598s3 + 2515s2 1794s + 1

s(s2 + 100)(s + 9)

Procedeul prezentat poate fi rezumat n urmtoarele 4 etape:1. Se parametrizeaz toate regulatoarele intern stabilizatoare;2. Se reduc specificaiile asimptotice la restricii de interpolare asupra

parametrului ;Q RH3. Se determin (dac este posibil) un parametru care s satisfac aceste

restricii;4. Se nlocuiete parametrul Qdeterminat n expresia regulatorului.

6.1.3. Stabilizare tare ]i stabilizare simul tan[

n general, inginerii automatiti sunt refractari la utilizarea unor regulatoareinstabile, mai ales dac instalaia este stabil. Motivaia deriv din integritateasistemului. De exemplu, dac un traductor sau element de execuie se defecteazsau este decuplat intenionat n timpul operaiilor de pornire sau oprire i bucla cureacie se deschide, stabilitatea global se menine dac att instalaia ct iregulatorul sunt stabile. Dac instalaia este instabil, argumentul mpotrivautilizrii unui regulator instabil este mai puin neles (evident).

Se spune c o instalaie este tare stabilizabil dac stabilizarea intern

poate fi obinut cu un regulator stabil.Exemplu: (Instalaie care nu este tare stabilizabil). Fie o instalaie cu

funcia de transfer:

.G(s)= s 1s(s 2)


109


10/19

Vom arta c oricare ar fi regulatorul Cintern stabilizator, acesta este instabil.Se realizeaz o factorizare coprim a lui G:

; ;(s)= s 1(s +

1)2

(s)=s(s 2)

(s +1

)2

; .(s)= 14s 1s + 1

Y(s)=s 9s + 1

Conform Teoremei 6.1.3, toate regulatoarele stabilizatoare sunt de forma:

.C=X+MQYNQ

, Q RH

Deoarece i sunt, de asemenea, coprime, ntruct satisfac+MQ YNQecuaia:

,(X+MQ) +M(YNQ)= 1

ele nu au zerouri comune n . Pentru a arta c toate aceste regulatoare sunte s 0instabile, este suficient s se arate c are un zerou n pentru oriceYNQ e s 0

. DeoareceQ RH

(1)= 0 ,N()= 0

pentru orice Q din , se obineRH

;(YNQ)(1)=Y(1)= 4

.(YNQ)()=Y()= 1

ntruct funcia i schimb semnul pe semiaxa real pozitiv, prinYNQcontinuitate, aceasta se va anula pe intervalul , adic are un zerou pe semiaxa(1, )

real pozitiv.

Teorema 6.1.4.Geste tare stabilizabil dac i numai dac aceasta are unnumr par de poli reali ntre fiecare pereche de zerouri reale din . e s 0

Observaie: Punctul este inclus printre zerourile reale ale lui G. s= O demonstraie, constructiv, a acestei teoreme se gsete n [Doy92].

Exemple: n exemplul precedent, zerourile, incluznd punctul de la infinit,sunt i . ntre aceast pereche exist un singur pol, n s = 2. Deci,s= 1 s=

instalaia nu satisface condiiile teoremei.n continuare, se consider un alt exemplu,

.G(s)=(s 1)2(s2 s + 1)

(s 2)2(s + 1)3


110


11/19

Pe semiaxa real pozitiv, Gare trei zerouri: dou ns= 1 i unul la infinit, .s= Mai exist dou zerouri n semiplanul drept , dar, nefiind reale, acestea(Re s 0)sunt irelevante. La contorizarea polilor ntre perechile de zerouri se consider doarzerourile distincte (nu exist poli ntre zerourile multiple). Astfel, ntre s = 1 i

se afl doi poli, ns= 2. Deci, aceast instalaie este tare stabilizabil.

s= Dou instalaii i suntstabilizabile simultandac stabilitatea internG1 G2este obtenabil pentru ambele printr-un regulator comun.

Se consider factorizrile coprime:

Gi=Ni/Mi ,NiXi+MiYi= 1,i= 1, 2

i se definesc

.=N

2M

1N

1M

2 , M=N

2X

1+M

2Y

1 , G=N

/M

De exemplu, dac este deja stabil, se poate luaG1

1=G1 ,M1= 1,X1= 0,Y1= 1

i se obine

=N2 G1M2 ,M=M2

astfel nct

.G=G2 G1

Teorema 6.1.5. i sunt stabilizabile simultan dac i numai dac GG1 G2este tare stabilizabil.

Demonstraia se gsete, spre exemplu, n [Doy92].

Exemplu: Se consider

.G1(s)= 1s + 1,G2(s)= as + b(s + 1)(s 1) ,a, b R,a 1

ntruct este stabil, se obineG1

.G(s)=G2(s) G1(s)=(a 1)s + (b + 1)

(s + 1)(s 1)

Gare zerourile i , i un singur pol instabils= 1. Astfel, Geste tares= 1 + b1 a

s=

stabilizabil, sau i sunt stabilizabile simultan, dac i numai dac zeroulG1 G2este negativ sau se afl n dreapta polului instabil, adic,(1 + b)/(1 a)

sau . 1 + b1 a

< 0 1 + b1 a

> 1


111


12/19

6.2. Problema acord[rii modelului

6.2.1. Formularea problemei

Fie i funcii de transfer proprii, stabile (adic, din ).T1(s) T2(s) RH

Problema acordrii modelului: S se gseasc o funcie de transfer stabilcare s minimizeze norma a lui . Q(s) T1 T2Q

Aceasta are urmtoarea interpretare: este un model, este o instalaie,T1 T2iar Q este un regulator care trebuie proiectat astfel nct s aproximezeT2Q T1(fig. 6.2.1). Astfel, reprezint funcia de transfer a erorii.T1 T2Q

w

T1

Q T2

+

-

z

Fig. 6.2.1 Acordarea modelului

Observaie:Se cere ca funcia de transfer Qs fie stabil, dar nu neaprat

proprie (ceea ce uureaz rezolvarea problemei).

Se presupune c nu are zerouri pe axa imaginar. Se definete eroareaT2minim de acordare a modelului

. (6.2.1)opt= min

QstabilaT1 T2Q

O funcie de transfer Qcare atinge minimul se numete optimal.Cazul banal al acestei probleme se obine cnd este stabil, unicaT1/T2

soluie optimal fiind .Q=T

1/T

2(

opt=

0)Cazul netrivial cel mai simplu este acela n care are doar un zerou nT2semiplanul drept, . Dac Q este stabil i are norma finit (adics=s0 T2Q

), atunci din teorema modulului maxim se obineT2Q RH

T1 T2Q T1(s0)

adic, . Pe de alt parte, funciaopt T1(s0)

(6.2.2)Q=T

1 T

1(s

0)

T2

este stabil i conduce la o eroare de acordare a modelului egal cu .T1(s0)n concluzie, i Q din (6.2.2) este optimal (de fapt, unicaopt= T1(s0)

soluie optimal).


112


13/19

Exemplu: Fie

.T1(s)=4

s + 3, T2(s)=

s 2(s + 1)3

Atunci, , iar Qoptimal esteopt=T1(2)= 4/5

. Q(s)= 4(s + 1)3

5(s + 3)

Rezolvarea problemei n cazul general se poate face utiliznd teoriainterpolrii Nevanlinna-Pick.

6.2.2. Interpolarea Nevanlinna-Pick

Se noteaz cu - spaiul funciilor raionale cu coeficieni compleci,SCproprii i stabile.

Fie o mulime de puncte din semiplanul drept deschis,{a1, , an}, iar o mulime de puncte din C. Se presupune, pentrue s> 0 {b1, , bn}

simplitate, c punctele sunt distincte.a1, , anProblema interpolrii Nevanlinna-Pick: s se gseasc o funcie Gdin SC

care s satisfac urmtoarele dou condiii:

, (6.2.3)G 1

. (6.2.4) G(ai)=bi , i= 1, , n

Ultima ecuaie afirm c graficul lui G trebuie s treac prin punctele, cu restriciile: G trebuie s fie stabil, proprie i .(ai, b i), i= 1, n G 1

Problema Nevanlinna-Pick (NP) este rezolvabildac o astfel de funcie Gexist.Este convenabil s se scrie datele problemei sub forma:

a1, , an

b1, , bn

De fapt, problema NP nu este rezolvabil pentru orice date. O condiie necesarevident este .bi 1, i= 1, , n

Se definete matricea Pick , Q, avnd elementul (i,j)n n

. (6.2.5)1 bibj

ai+ aj

Observaie: Matricea Q este hermitic ( , unde * semnificQ =Qtranspusa complex-conjugat).


113


14/19

Teorema 6.2.1.Problema NP este rezolvabil dac i numai dac Q 0(Q- semipozitiv definit).

Observaie:Matricea Qfiind hermitic, are toate valorile proprii reale. Eaeste semipozitiv-definit dac toate valorile proprii sunt . 0

Condiia necesar este determinat de condiia .bi 1, i= 1, n Q 0Astfel, dac , fiecare element diagonal al lui Qeste , adicQ 0 0

.1 bi 2

2 e ai 0

ntruct , rezult (adic ), .e a i> 0 1 bi2 0 b i 1 i= 1, n

Algoritmul Nevanlinna

Procedeul de construcie a unei soluii a problemei NP (cnd aceasta esterezolvabil) este dezvoltat inductiv. Iniial, se rezolv cazul n = 1; apoi, cazul npuncte se reduce la cazul n- 1 puncte.(n 2)

I. Fie Ddiscul unitate deschis, , iar discul unitate nchis, .z < 1 D z 1Ofuncie Mbiuseste de forma

. (6.2.6)b(z)= b1 zb

, b < 1

n continuare, se prezint unele proprieti ale funciilor Mbius:

1. are un zerou nz= bi un pol n . Deci, este analitic nb = 1/b bD;

2. Modulul lui este egal cu 1 pe cercul unitate;b3. transform Dn Di cercul unitate n cercul unitate;b4. Transformarea invers este

(6.2.7)b1(z)= + b1 +zb , b < 1

adic . Deci, transformarea invers este tot o funcie Mbius.b1 =MbSe consider funcia "trece-tot"

. (6.2.8)a(s) =s a

s + a , Re a> 0

Observaie:O funcie din este "trece-tot" dac modulul su este egalRHcu 1 n toate punctele de pe axa imaginar.

Pentru rezolvarea problemei NP pentru datele (n= 1)

a1 b1


114


15/19

se studiaz urmtoarele dou cazuri:1. . O soluie este . Prin teorema modulului maxim seb1 = 1 G(s)=b1

deduce c aceast soluie este unic.2. . n acest caz exist o infinitate de soluii.b1 < 1

Lema 6.2.1.Mulimea tuturor soluiilor este:

(6.2.9){G G(s)=Mb1 [G1(s)Aa1 (s)] ,G1 SC, G1 1}

Dac este o funcie "trece-tot", la fel este i G. G1Demonstraie:Fie i se definete GastfelG1 SC, G1 1

G(s)=Mb1 [G1(s)Aa1 (s)]

Astfel, Greprezint compunerea a dou funcii:

,sG1(s)Aa1 (s)

.Mb1 (z)

Prima este analitic n semiplanul drept nchis i l transform n disculnchis ; cea de a doua este analitic n i l transform tot n . Rezult cD D D

i . De asemenea,GS

C G

1

.G(a1)=Mb1 [G1(a1)Aa1(a1)] =Mb1 (0)=b1

Astfel, Grezolv problema NP. n plus, dac este o funcie "trece-tot", atunci laG1fel este i , deci la fel este i G(vezi proprietatea 2).G1Aa1

Invers, se presupune c G rezolv problema NP. Se definete astfelG1nct

,G(s)=Mb1 [G1(s

)Aa1

(s

)]

adic

G1(s)=Mb1[G(s)]

Aa1 (s)

Funcia aparine lui , are norma i are un zerou n . Deb1[G(s)] SC 1 s=a1aceea, i . G1 SC G1 1

Exemplu: Fie datele de interpolare 2

0, 6

Formula din lem conduce la


115


16/19

G(s)= G1(s)

s2s+2 + 0, 6

1 + 0, 6 G1(s) s2s+2

Alegnd funcia de tip "trece-tot", se obineG1 G1(s)=(s 1)/(s + 1)

. G(s)=s 2 0,75s + 2s2 + 0,75s + 2

II. Se presupune problema NP cu npuncte rezolvabil i se reduce la cazuln- 1 puncte. Se analizeaz, din nou, cele dou cazuri:

1. . ntruct problema este rezolvabil, din teorema modululuib1 = 1maxim rezult c este soluia unic (deci, ).G(s)=b1 b1= . .. =bn

2. . Se formuleaz o nou problem, denumit problema NP , cub1 < 1n-1 puncte

a2an

b2bn

unde .b i=Mb1(b i)/Aa1 (a i)

Lema 6.2.2. Mulimea tuturor soluiilor problemei NP este dat prinformula:

G(s)=Mb1[G1(s)Aa1 (s)]

unde se ntinde peste toate soluiile problemei NP . Dac este "trece-tot", laG1 G1fel este i G.

Demonstraie:Grezolv problema NP dac i numai dac

i .G SC, G 1,G(a1)=b1 G(a i)=bi,i= 2, , n

Din Lema 6.2.1, mulimea tuturor funciilor Gsatisfcnd primele trei condiii este:

.{G G(s)=Mb1 [G1(s)Aa1 (s)] ,G1 SC, G1 1}

Atunci, Gsatisface cea de a patra condiie dac i numai dac

G1(ai)= b1 (bi)

Aa1 (a i),i= 2, , n

(adic, rezolv problema NP ). G1Observaie: Prin inducie, rezult c problema NP are ntotdeauna o

soluie "trece-tot". Exemplu: Se consider problema NP pentru datele


116


17/19

a1 a2 a3

b1 b2 b3=

1 2 312

13

14

ntruct cea mai mic valoare proprie a matricei Pick corespunztoare este pozitiv

( ), conform Teoremei 6.2.1 problema NP este rezolvabil.min= 0,0004Pentru rezolvare, problema NP (n= 3) se reduce la o problem cu un punctde interpolare prin aplicarea Lemei 6.2.2 de dou ori. Iniial, se reduce la oproblem NP cu dou puncte:

a2 a3

b2 b3=

2 3 0, 6 0,5714

Aici . Apoi, se reduce la problema NP cu un punctbi

=Mb1(bi

)/Aa1

(ai

),i= 2, 3

a3

b3// =

30,2174

Aici, .b3// =Mb2(b3)/Aa2 (a3)

Acum, se rezolv problemele n ordine invers. Din Lema 6.2.1 soluiaproblemei NP este

,G2(s)=Mb3// [G3(s)Aa3(s)]

unde este o funcie oarecare din cu norma . Fie , cea maiG3 SC 1 G3(s)= 1simpl funcie "trece-tot". Atunci,

.G2(s)=1,2174s 2,34781,2174s + 2,3478

Soluia indus pentru problema NP este

.G1(s)=Mb2 [G2(s)Aa2 (s)]=0,4870s2 7,6522s + 1,87830,4870s2 + 7,6522s + 1,8783

n final, soluia problemei NP este

.G(s)=Mb1 [G1(s)Aa1 (s)]=0,7304s3 4,0696s2 + 14,2957s 0,93910,7304s3 + 4,0696s2 + 14,2957s + 0,9391

Se observ c gradul numrtorului i numitorului lui Geste 3, egal cu numrul depuncte. n general, exist ntotdeauna o soluie "trece-tot" de grad . n

Observaie:n cazul aplicrii teoriei NP la problema acordrii modelului,datele


117


18/19

a1an

b1bn

vor avea simetrie conjugat, adic, dac apare, atunci va aprea i perechea(ai, bi)

conjugat . Atunci, vom dori ca soluia G s fie real raional i nu(a i, bi)complex. Presupunem c datele au simetrie conjugat i c Geste o soluie din SC. Aceasta poate fi scris n mod unic astfel

,G(s)=GR(s)+jGI(s)

unde i sunt ambele real-raionale. Atunci, aparine lui i este, deGR GI GR RHasemenea, o soluie a problemei NP. Aceast soluie nu mai este, n general,"trece-tot".

6.2.3. Rezolvarea problemei acord[rii modelului

Pentru simplitate, se presupune c nu are zerouri multiple n semiplanulT2drept. Eroarea minim de acordare a modelului, , este egal cu minim, astfelopt nct

T1 T2Q

pentru anumite funcii Q stabile. Se fixeaz i se consider transformarea > 0definit prinQG

. (6.2.10)G= 1 (T1 T2Q)

Dac Q este stabil, la fel va fi i G, dar reciproca nu este ntotdeaunaadevrat. O funcie stabil G trebuie s satisfac anumite condiii pentru ca Qsfie stabil. Fie zerourile lui n . Dac Q este stabil,{zi,i= 1, , n} T2 e s> 0

atunci Gsatisface condiiile de interpolare

. (6.2.11)G(zi)=1 T1(zi),i= 1, , n

Se poate verifica, reciproc, c dac G este stabil i satisface acestecondiii de interpolare, atunci Qeste stabil.

De aceea, este egal cu minim pentru care exist o funcie G nopt RHsatisfcnd condiiile

, (6.2.12)G 1

. (6.2.13)G(zi)=1 T1(zi),i= 1, , n

Aceasta reprezint o problem NP cu datele


118


19/19

a1an (6.2.14) 1b1 1bn

unde , iar . Matricea Pick asociat este egal cua i=zi bi

=T1(zi),i= 1, n

, 2B

unde elementele (i,j) ale matricelorAiBsunt, respectiv,

.1a i+ aj

, bibj

ai+ aj

Din Teorema 6.2.1 se deduce c este egal cu minim pentru careopt 2B 0.

AttAct iBsunt hermitice. n plus, se poate demonstra cAeste pozitiv definitdeoarece punctele sunt distincte. O astfel de matrice are o rdcin ptrataipozitiv definit (adic, o matrice satisfcnd . Inversa acestei1 2 1 2 A1 2 =A)rdcini ptrate este notat cu .1 2

Lema 6.2.3. este egal cu rdcina ptrat a celei mai mari valorioptproprii a matricei . 1 2BA1 2

Rezolvarea problemei acordrii modelului se face conform urmtoruluialgoritm:

1. Se determin , zerourile lui n ;{zi,i= 1,2, , n} T2 e s> 02. Se definesc

b i=T1(zi),i= 1, , n

i se formeaz matriceleAiBavnd elementele, respectiv,

;1

zi+zj,

b ibj

zi+z, i,j= 1, , n

3. Se calculeaz ca rdcina ptrat a celei mai mari valori proprii aoptmatricei ;1 2BA1 2

4. Se rezolv problema NP cu datele

1zn

opt1 b1 opt1

bn

notnd soluia cu G;5. Se stabilete

. Q =

T1 optGT2


119

sisteme de reglare robuste

Documents