cap-12-sisteme de reglare automata cu reactie dupa stare

Sisteme de Reglare Automata dupa Stare

Cap.12. Sisteme de reglare Automata cu Reactie dupa Stare (SRA-x)

12.1 Aspecte generale referitoare la sisteme de reglare automat dup stare (SRA-x)

Conducerea (reglarea) dup stare constituie o metod modern de conducere a PC care, n raport cu conducerea dup ieire (cu utilizarea unui SRA-c) prezint urmtoarele avantaje: - poate asigura proprieti de calitate (comportare) mai bune conducerii, - poate deveni indispensabil n cazul conducerii proceselor instabile i/sau complexe Dependent de faptul c strile PC sunt sau nu sunt accesibile msurtorilor se disting dou categorii de SRA-x: - SRA-x cu PC avnd strile accesibile msurtorilor SRA x "clasice"; condiia de realizare este

controlabilitatea PC - SRA-x cu PC cu strile parial accesibile sau neaccesibile msurtorilor; n acest caz devine

necesar estimarea strilor PC cu ajutorul unui "estimator de stare" (ES-x); condiiile de realizare a ES-x respectiv SRA-x sunt observabilitatea i controlabilitatea PC

Structurile aferente celor dou categorii de SRA-x sunt exemplificate pentru cazul conducerii continuale prin intermediul schemele bloc informaionale din fig.12.1-1 i 12.1-2.

Fig.12.1-1 Structura unui SRA-x cu stari msurate Fig.12.1-2 Structura unui SRA-x cu striestimate

Semnificaia blocurilor i mrimilor din fig. 12.1-1 i 12.1-2 este urmtoarea: PC proces condus, BC-x bloc compensare dup stare, EC-x element de comparaie, AS- amplificator sumator, F-w filtru/ bloc referin, ES-x estimator de stare.

Datorit caracterului proporional al blocurilor dispozitivului de conducere (DC) dup stare propriuzis, compus din {BC-x, AS}, SRA-x va lucra n RSCcu eroare de reglare nenul. Condiia de eroare de reglare nul i concomitent, caracterul astatic n raport cu mrimea de perturbaie constant v=ct. se poate asigura n dou moduri:

- prin extinderea structurii DC-x cu un bloc de realizare a erorii de reglare nul BCERN, fig.12.1-3,

- prin ncadrarea SRA-x - vzut ca proces condus - ntr-o structur cu reglare dup ieire, fig.12.1-4, cu utilizarea unui regulator convenional (RG-c).

n cazurile n care perturbaia v este (uor) msurabil, ambele structuri pot fi extinse cu conexiune de compensare dup perturbaie, prin blocul BC-v, conexiune de tipul feed-forward. Cele dou soluii nu difer la nivelul SRA-x, ci doar d.p.d.v. al proprietilor specifice induse de ctre soluia de realizare a erorii de reglare nule.

Fig.12.1-3 Extensia SRA-x cu BCERN Fig.12.1-4 Incadrarea SRA-x ntr-o structura de SRA-c


Relaiile de baz care caracterizeaz cele dou structuri sunt urmtoarele (fr luarea n seama a blocului de compensare BC-v):

SRA-x propriu-zis, fig.12.1-1, se caracterizez printr-o f.d.t. de forma: 0)(

)()( == v

xx sw

sysH (12.1-1)

Structura din fig.12.1-3 este caracterizat de urmtoarele relaii: ( )

3)-(12.1 )()(1

)(cu )()()(

:iesirii expresia obtine se unde de

2)-(12.1 )()()()()(

sH

sTksH

sTkk

sHswsHsy

syswsTkswksHsy

X

i

Rx

i

Rw

ww

i

Rwx

+

+==

+=

Observaie: Structura DC din fig.12.1-3 este specific unui RG cu prelucrare neomogen a informaiei n raport cu cele dou canale (referin w respectiv msur y). Structura din fig.12.1-4 poate fi caracterizat de relaiile (12.1-4); RG-c va conine component I

)()(1)()(

)(cu )()()(1

)()()(

sHsHsHsH

sHswsHsH

sHsHsy

XR

XRw

wR

XR

+=+= (12.1-4)

Comparnd rel. (12.1-3) i (12.1-4) se constata c: - d.p.d.v. al RSC ambele structuri asigur condiia de eroare de reglare nul, chiar dac la

nivelul diferitelor blocuri mrimile obin VRSC diferite, - d.p.d.v. al regimurilor dinamice, ntre cele dou structuri pot apare diferene semnificative.

Principalele avantaje ale conducerii dup stare pot fi sintetizate prin urmtoarele: - controlul simultan al tuturor mrimilor eseniale (d.p.d.v. al dinamicii) ale sistemului

(mrimile de stare x) i posibilitatea proiectrii evoluiei PC n raport cu evoluia acestor mrimi,

- posibilitatea stabilizrii proceselor instabile, care dup ieire - cu utilizarea unei bucle de reglare convenionale sunt greu sau deloc stabilizabile,

- posibilitatea realizrii condiiei de eroare de reglare nul prin extinderea structurii de baz.

Unele dezavantaje ale conducerii dup stare pot fi sintetizate prin urmtoarele: - dei controlat, evoluia mrimilor de stare nu poate fi meninut ntre limite impuse (dac este

cazul), - punerea n funciune a SRA-x este in unele situaii mai dificil.

Cele dou dezavantaje pot fi eliminate prin "descompunerea PC pe subprocese" i realizarea SRA- dup stare "n cascad", fig.12.1-5 (exemplificarea unei soluii posibile).

Fig.12.1-5 Proces descompus pe subsisteme n vederea realizrii unui SRA-x n cascad

Presupunnd c perturbaia v acioneaz n zona subprocesului PC2, descompunerea din fig.12.1-5 va fi caracterizabil printr-un MM-ISI de forma:

vbub

x

x

AA

AAx

v

u

+

+

=

2

1

2

1

2221

1211. 0

0 (12.1-5)


-

x

-

x

22

111

==T

T

cy

cy

sau innd seama de structura general a unui MM-ISI se poate scrie:

==

=++=

=

++=

Tu

T

Tvu

T

u

cbAxcy

xcyvbybxAx

xcy

ubxAxAx

122122

111212222.2

111

1212111.1

respectiv

cu

(12.1-6)

n acest context, pentru un SRA-x n cascad o structur posibil este cea prezentat n fig.12.1-6.:

Fig.12.1-6. SRA-x n cascad - o structur posibil

DC-x1 i DC-x2 cuprind blocurile de compensare dup stare BC-x; n particular DC-x2 va cuprinde i modulul care asigure realizarea n RSC a condiiei de eroarea de reglare nul ; el poate fi un RG-c sau BCERN.

10.2 Proiectarea SRA-x/ DC-x prin metoda alocrii

Pentru proiectarea SRA-x respectiv a blocurilor din structura DC-x exist dou metode de baz: - proiectarea SRA-x prin alocarea polilor (metoda alocrii polilor), - proiectarea optimala a SRA-x.

Metoda alocrii polilor este o metod frecvent utilizat de proiectare datorit avantajului simplitii calculelor de efectuat, simplitate evideniabil inspecial pentru sistemele monovariabile. Pentru prezentarea metodei de proiectare, PC se consider monovariabil (o intrare de comand) i controlabil i - n prima faz - cu strile x accesibile msurrilor; schema bloc ce caracterizeaz SRA-x este prezentat n fig.12.2-1.

Proiectarea SRA-x presupune determinarea valorilor parametrilor ce caracterizeaz blocul de compensare BC-x , kcT i a coeficientului de amplificare kAS.

Fig.12.2-1 Structura de SRA-x propriuzis


Pe baza schemei bloc din fig.12.2-1se pot scrie urmtoarele relaii de baz:

- pentru PC condus (12.2-1)

=++=

xcy

vbubxAx

T

vu

.

- pentru BC-x (12.2-2)

==cncccx kkkxky ,...,1

(blocul BC-x este de tip proporional).

Observaii: 1. Strile x sunt strile "naturale" ale PC; n acest context d.p.d.v. constructiv i informaional, BC-x se va descompune n dou module (fig.12.2.-2):

- modulul elementelor de msur, EM-x , caracterizat de o matrice de transfer Km , - modulul de compensare dup stare propriu-zis, BC-x , caracterizat prin vectorul coeficientilor

kxT..

(a) (b)

Fig.12.2-2 Descompunerea BC-x pe blocol EM i bc-x propiu zis Corespunztor se pot scrie urmtoarele relatii - strile msurate xm se calculeaz cu relaia:

=

=xEMkdiagK

xKx

mim

mm

masura, de elementul eazacaracteriz ][ carein

3)-(12.2

- elementele ce caracterizeaz bc-x se expliciteaz prin matricea kxT cu relaia:

5)-(12.2 si b)-(fig.2.2 carein

4)-(12.2 ],...,[ 1

mi

cixi

i

mimi

xnxTx

kkk

xxk

kkk

==

=

kmi reprezint coeficientul de transfer al EM aferent strii xi; valorile numerice ale coeficienilor kmi este determinat de condiia de msurare corect a mrimilor de stare (acest lcru vizeaz:

- adaptarea corect a domeniilor de intrare i de ieire ale elementelor de msur, - posibilitatea surprinderii (msurrii) exacte a evoluiei marimilor n regimurile dinaamice

ale PC (SRA-x) ).

2. n analizele teoretice, modulul AS nu este evideniat distinct, contribuia coeficientului de transfer kAS fiind inclus in MM aferent PC. Cum ns EC-x i AS (ca preamplificator) sunt module constructiv-funcionale care apar n schema funcional a DC-x i cum adeseori amplificarea kAS poate fi parametru, evidenierea lui la acest nivel poate fi util. Prezena coeficientului kAS mrete ns numrul de parametrii necunoscui ai DC-x la (n+1):

n - parametrii kxi sau kci i=1,n (dependent de modalitatea de derulare a calculelor de proiectare),

+1 - parametru care este kAS .

n aceste condiii va deveni obligatorie alegerea valorii unuia din aceti parametrii care nu este ns obligatoriu kAS. Dependent de aplicaie, acesta va fi kAS sau una din valorile kxi (de exemplu kxn , xn fiind variabila de stare cea mai apropiat de ieire) .

n baza schemei bloc din fig.12.2-1 i a relaiilor (12.2-1) i (12.2-2) se obine:


=

=++=

++

=

===

uASuvxux

x

vxASu

kkbAA

ASTcu

xAScxxxx

bkbvbwbxAx

A

vbwkbxkkbAx

ekuxkyywe

ASTcux

''.

.

'

8)-(12.2 x -SRA sistemului matricea

7)-(12.2

:respectiv

6)-(12.2

44 344 21

Polinomul caracteristic al SRA-x rezult n forma: (12.2-9)

01

1 ...)det()det()( +++=+==

nn

nAS

Tcuxx sskkbAIsAIss

Observaie: Ca urmare a caracterului proporional al blocului BC-x se poate concluziona c ordinul SRA-x va coincide cu ordinul PC (conservarea ordinului n):

nsgradsgrad PCx == )()( (12.2-10) Coeficienii )1(,0, = n sunt funcie de valorile necunoscute nikci ,1, = i kAS , adic (n+1) necunoscute.

Dac pentru SRA-x se impun cei n poli , {p* } atunci x(s) se poate explicita i n forma:

( )( )

**2

*10

**1

*3

*2

*2

*12

**2

*11

011

11

*

....)1(

12)-(10.2 ...

...

:cunoscutisunt iicoeficient toticarein

11)-(10.2 ...)(

nn

nnn

nn

nn

nn

x

ppp

ppppppppp

ssspss

=

+++=+++=

++++==

Egalnd coeficienii de acelai grad ai polinoamelor (12.2-9) i (12.2-11) se obine un sistem (neliniar) de n ecuaii cu (n+1) necunoscute {kc1, kc2,,kcn; kAS}.

Fixnd valoarea unei necunoscute (de exemplu kAS , dar nu neaprat) se obine un sistem de n ecuaii cu n necunoscute:

0

neconscuten celein expresii

0

22

11

......

=

==

43421

nn

nn

(12.2-13)

Soluiile ec. (12.2-13) sunt - de exemplu - valorile kcT (sau o alt combinaie a necunoscutelor).

n continuare, n baza rel. (12.2-14) se pot calcula coeficienii BC-x propriu-zis:

nikkk

mi

cixi ,1== (12.2-14)

cu care se construiete blocul de compensare.

Observatii: 1. n faza de proiectare a BC-x prin metoda alocrii aciunea/ prezena perturbaiei nu este luat n seam. ncadrarea ulterioar a SRA-x ntr-o structur de conducere mai complex (fig.12.1-3 sau 12.1-4) va rezolva apoi problema rejeciei efectului perturbaiei constante.


2. Dac BC-x este de tip proporional se poate arta c efectul reaciei dup stare se reflect doar n schimbarea repartiiei polilor {p1, p2, , pn}|PC {p1*, p2*, , pn*}|SRA-x nu i n cea a zerourilor, care se conserv:

{z1*, z2*, , zm*}|SRA-x ={z1, z2, , zm}|PC . (12.2-15)

12.3 Alocarea polilor SRA-x {p1*, p2*, , pn*} (amplasarea dorit)

Impunerea absolut arbitrar a polilor SRA-x are mai multe dezavantaje importante: proprietile dinamice ale SRA-x nu sunt adecvate i/ sau sistemul prezint sensibilitate

ridicat la perturbaii parametrice care pot aparen PC de exemplu n funcionarea acestuia, energia care trebuie introdus n proces n diferitele regimuri de funcinare sa fie neraional, valorile coeficienilor BC-x pot deveni greu realizabile.

n principiu polii ipui SRA-x trebuie s urmreasc o repartizare apropiat de repartizarea polilor PC. Astfel, de regul polii impui SRA-x vor fi n parte dominani, n parte ndeprtai. Este rezonabil impunerea unui numr relativ redus de poli dominani doi, trei eventual patru - prin care se asigur comportarea "dominant" pentru SRA-x. Ceilali poli impui, polii ndeprtai, vor avea apoi un efect redus asupra comportrii SRA-x.

Cteva puncte de vedere care se pot lua n considerare la alocarea (impunerea, fixarea) polilor dominaniai SRA-x:

Se dovedete judicioas alegerea polilor dominani cu partea real relativ apropiat ca valoare; n plus se va respecta i cerina de "amortizare corespunztoare" a proceselor tranzitorii, fig. 12.3-1; din acest punct de vedere se recomand:

==

45 ideal 60

||11

maxmax

1

*

n

xn pnAtr

n (12.3-1)

Fig. 12.3.1 Alocarea polilor dominani ai SRA-x Fig.12.3.2 Alocarea polilor dominani ai SRA-x

specific unui filtru Butterworth

Dac numrul polilor dominani este mai mare de trei atunci polii dominani p4*, p5*, se pot alege ca pol multiplu p*3,4,; o astfel de alegere a polilor determin regimuri tranzitorii relativ lente.

Dac PC nu are zerouri este posibil repartizarea polilor specific unui filtru Butterworth: polii sunt amplasai pe un semicerc cu raza 0, n semiplanul C-1 conform relaiei:

n

nk

epkj

k

2 si ,1

])12(2

[

0*

=== +

(12.3-2)

n fig.12.3.2 se prezint o exemplificare pentru n=4. O astfel de repartizare confer sistemului caracteristici de pulsaie "cele mai apropiate" cu cele ale unui filtru "trece-jos ideal" de ordinul n.


Singurul parametru de proiectare este 0 prin care se modific timpul de rspuns al SRA-x. Un timp de rspuns foarte redus determin:

- amplificri mari la nivelul EE ceea ce implic introducerea unor energii foarte mari n PC, adeseori inadmisibile,

- amplificri mari la nivelul kAS, ceea ce poate determina intrri n saturaie la variaii mari ale referinei wx .

Dac f.d.t. a PC prezint i zerouri este posibil compensarea acestora dup cum urmeaz: - Dac zerourile sunt n semiplanul stng atunci se adopt principiul compensrii prin alocare:

2*

11* zpzp ii == + (12.3-3)

sau al compensrii prin "filtru de referin" F-w plasat pe intrarea SRA-x, fig.12.3.3

Fig. 12.3.3 Compensarea zerourilor SRA-x prin filtre de referin F-w

)...)(()...)((

)(:21

21

zszszz

sHwF Fw = (12.3-4)

- Dac zerourile sunt situate n semiplanul drept al planului rdcinilor atunci polii impui vor fi simetricele acestor zerouri n raport cu axa imaginar, fig.12.3.4

2*

11*

2*

11*

ImImImIm

ReReReRe

zpzp

zpzp

ii

ii

====

+

+

(12.3-5)

Dac PC prezint perechi de poli pe axa imaginar sau n apropierea ei, dar avnd >= 60 mare,

ReIm

ii

ii p

ptg (12.3-6)

Fig. 12.3.4. Compensarea zerourilor PC situai n semiplanul drept al planului rdcinilor

atunci polii sistemului nchis se vor amplasa astfel nct:

ii pp ImIm* = i ** ImRe ii pp (12.3-7)

Important: Proiectarea algoritmic a SRA-x va fi urmat ntotdeauna/ obligatoriu de simularea pe CN a comportrii SRA-x proiectat. n aceast simulare se vor ine seama de urmtoarele:

- PC va fi caracterizat prin MM detaliat chiar dac n proiectarea BC-x au fost neglijate constantele de timp foarte mici ale PC

- DC-x va fi caracterizat prin parametrii calculai dar, n cazul unor variaii mari ale mrimilor se vor introduce restriciile de tipul "saturare" / limitare a ieirii diferitelor blocuri

- Regimurile simulate vor fi alese astfel nct s caracterizeze situaii ct mai reale, apropiate de practic; din acest motiv comportarea real a PC/ SRA-x trebuie cunoscut


12.4 Proiectarea extensiei DC n vederea asigurrii n RSC a condiiei de eroare de reglare nul. Realizarea DC-x

Principial exist mai multe variante de realizare a condiiei de eroare de reglare nul n RSC; n continuare se vor prezenta dou variante posibile cu avantaje i dezavantaje specifice.

A. Varianta 1-a. Are la baz extinderea structurii DC cu blocul de creare a erorii de reglare nule (BCERN) i bloc de referin kw , fig.12.4-1. O astfel de schema poate fi privit i ca schem de regulator cu prelucrare neomogen a informaiei n raport cu cele dou intrri. n acest sens, n vederea abordrii problemei de proiecatre, schema bloc din fig.12.1-3 se transpune la forma din fig.12.4-1.

Fig. 12.4.1. Schema extensiei DC n vederea asigurrii n RSC a condiiei de eroare de reglare nul

Proiectarea BCERN i a blocului de referin kw se deruleaz n dou etape succesive.

Etapa I-a: Se proiecteaz BCERN n domeniul pulsaie, impunnd o anumit rezerv de faz r, buclei de reglare propriuzise; n acest scop se expliciteaz f.d.t. aferent buclei "deschise", H0(s):

1)-(8.4 )()(0 sHsTksH x

i

R=i se scriu relaiile c.l.p. aferente i relaia rezervei de faz r:

3)-(8.4 )(

....)(2

)(

2)-(8.4 ....)(lg20)(

0

0

0

+=+=

+=

tr

x

dBxi

RdB

jH

pflcjHjH

pmlcjHT

kjH

Impunnd o anumit rezerv de faz rimp se poate scrie:

4)-(8.4 2

)(0 += trimp jH

Din graficul c.l.f.p. se poate determina valoarea lui t , fig.12.4.2 (t- pulsaia de tiere).

Fig. 12.4.2. C.l.f.p.pentru bucla deschisa: {regulator-SRA-x}

Semnul este + sau dupcum c.l.m.p. se translateaz n sus (ca i n cazul exemplului din fig.4.2) sau n jos; corespunztor raportul kR/Ti va fi supraunitar sau subunitar.


Observaii:1.Exist i alte modaliti de calcul a coeficientului kR/TI .

2. Metoda de calcul prezentat se refer doar la "rezerva de faz" a sistemului considerat ca avnd regulatorul de creare a erorii de reglare nule BCERN . Conform fig.12.4-2, comportarea n raport cu referina w a SRA extins va depinde ns i de blocul de referin kw ; acesta va introduce n f.d.t. a SRA extins un zerou suplimentar, notat z+*. ntr-adevr:

1*

0)(1

)()()()(

+=

=+

+==

R

wi

i

Rx

xw

i

Rvw k

kTz

sTksH

sHksTk

swsysH ; (12.4-6)

ca urmare, dei "stabilitatea" este fixat prin valoarea raportului kR/Ti , comportarea de regim dinamic va depinde i de zeroul z+*, lucru de care trebuie inut seam n aprecierea performanelor sistemului. Etapa II: Calculul blocului de referin KW (a coeficientului kw ) i dup caz a blocului de compensare dup perturbaie Bc-v (a coeficientului kcv.). Cele dou blocuri se proiecteaz n strict corelaie una cu cealalta i a condiiilor de funcionare impuse, prin impunerea urmtoarelor dou condiii:

- n RSC, blocul BCERN s nu contribuie la crearea comenzii ur=wx; n consecin:

8)-(12.4 :torcorespunza si

7)-(12.4 0 si 0.

+=++==

==

vkwkvkxkwkwu

xx

cvwcvRRwxr

RR

- n RSC s fie respectat condiia:

+= vwy 01 (12.4-9) n baza schemelor bloc din fig.12.2 i 4.1 se mai poate scrie:

== xkyywe Tcxxxx carein (12.4-10)

Pentru stabilirea relaiei de calcul pentru kw i kcv se pleac de la relaia (12.2-7), (12.2-8):

11)-(8.4 cu

8)-(8.2 ''.

vkwkw

bkbvbwbxAx

cvwx

uASuvxux

+==++=

Observaie: Aceast parte a rel. (12.2-8) este valabil i n regim dinamic ntruct nu conine dect blocuri de tip proporional.

nlocuind (12.4-11) n (12.2-5) i impunnd condiia de RSC x' = 0 se obine:

12)-(12.4 )(

:sau

'1'1

''

+=

++=vbkbAwkbAx

vbkbwkbxA

vcvuxwux

vcvuwux

nlocuind n ecuaia ieirii PC (pentru RSC) se obine:

= xcy T

13)-(12.4 )( '1'1

+= vbkbAcwkbAcy vcvuxTwuxTIdentificnd rel.(12.4.9) cu (12.4.12) se obin urmtoarele egaliti:

14)-(12.4 1 1 1'1

ASuxTwwux

T

kbAckkbAc

==

respectiv:

15)-(8.4 )(0 1

1

'1

ASuxT

vxT

cvvcvuxT

kbAc

bAckbkbAc

=+=

Semnul " " va fi evideniat pe schemele bloc aferente SRA.


B. Varianta II-a. Are la baz includerea SRA-x propriu-zis ntr-o bucl de reglare convenional dup ieirea y (SRA-c), fr sau cu compensare dup perturbaie (fig.12.1-4.). Regulatorul convenional RG-c se calculeaz dup o metod considerat "convenabil"; PC condus este SRA-x propriuzis, pentru care f.d.t. Hx(s) este cunoscut fiinnd determinat de alocarea "convenabil" a polilor. Mai departe, corelnd nsi alocarea "convenabil" a polilor cu metoda de calcul a RG se pot obine soluii de conducere foarte avantajoase.

C. Realizarea DC-x. Se vor prezenta dou variante de implementare a soluiei DC-x calculat conform punctelor 12.2 - 12.4:

- o varianta analogic (electronic), utilizabil n aplicaii locale de complexitate redus, - o varianta numeric cvasi-continua (numeric, implementabil prin program).

Varianta de realizare analogic (electronic). Considernd c DC-x este compus din ansamblul {bc-x, EC-x, kAS, kw, kcv, BCERN} schema bloc informaional aferent rezult conform fig.12.5.1.

Fig. 12.5.1. Schema bloc informationala a ansamblului ansamblul {bc-x, EC-x, kAS, kw, kcv, BCERN}

Mrimile de intrare ale DC-x sunt urmtoarele:

w- referina SRA, y- ieirea de msur a PC (SRA), mv- msura perturbaiei, . vkm Mvv =

Corespunztor se pot scrie urmtoarele relaii:

masurate starilesunt

1)-(12.5 si '

=

==xKx

kkkvkm

mm

Mv

cvcvMvv

Relaiile care caracterizeaz funcionarea DC-x sunt urmtoarele:

1

' =

+==

n

imixicvRRwx

xAS

xkvkxkwke

eku (12.5-2), (12.5-3)

n forma "continual" (analogic) schema informaional din fig.12.5.1 se realizeaz avantajos ca schem electronic de filtru activ cu amplificatoare operaionale (FA cu AO), conform fig.12.5.2 (variant). Corespunztor mrimile de intrare sunt "tensiuni continue" (domeniu 5 V, 10 V) notate ca u.* indicele * marcnd mrimea de intrare n cauz. Tensiunile u.* sunt introduse n schem cu semnele marcate astfel c uu este +. A01 este un inversor de semn, impus de realizarea relaiei (12.5-2); se poate scrie:

01

11'ww uR

Ru = (12.5-4) A02 relizeaz partea de "integrator" a BCERN (cu inversare de semn):

)(1

1202ywxR uuCsR

u = (12.5-5)


Fig. 12.5.2. Schema electronic de filtru activ cu amplificatoare operaionale (FA cu AO)

Observaie: n rel. (12.5-5) s-a acceptat faptul c domeniile nominale de variaie ale celor dou mrimi de intrare, uw i uy , sunt egale; n caz contrar, se aplic principiul cunoscut al "comparrii ponderate a intrrilor" (comparare n curent):

y

y

w

w

Ru

Ru

0202

= R02w, R02y rezistenele de atac (intrare) aferente, A03 realizeaz amplificatorul sumator AS, cu amplificarea kAS ,

)()(1 0

1

0

1

0

1'

0

1 =

+=n

ixi

xiv

vxR

Rw

wu uR

RuRRu

RRu

RRu (12.5-6)

nlocuind expresiile lui (-uw') i (-uxR) din (12.5-4) i (12.5-5) n rel. (12.5-6) se obine:

uRRu

RRuu

RR

CsRu

RR

RRu

n

ixi

xiv

vyw

Rw

wu 7)-(12.5 )(

11 0

1

0

1

0

1

120201

11

0

1 =

+= in care

,n ikkRRkk

RR

kkRRCRTkk

RR

RR

ASxixi

AScvv

ASRR

iASww

1cu

8)-(12.5 si

0

1'

0

1

0

11202

01

11

0

1

===

===

Observaie: Devine avantajoas i realizarea separat a modulului amplificator sumator AS, caz n care, n rel. (12.5-8) kAS nu va mai apare distinct. Dependent de schema n care s-ar utiliza AO suplimentar introdus (inversor sau neinversor) uu va avea semnul sau +.

Pentru calculul elementelor de circuit (R* , C* ) exist mai multe grade de libertate suplimentare ceea ce impune alegerea valorilor unora dintre elementele de circuit. Acest lucru are ns i efecte negative n faptul c alte elemente de circuit pot lua valori care sunt n afara domeniilor de valori recomandate, ceea ce face ca acest calcul s devin iterativ.

Ca i exemplificare, se presupune c domeniul de variaie a tuturor mrimilor este de 10V; n consecin prin rel.(5.8) se pot determina valorile tuturor elementelor de circuit.

Introducerea unui element de limitare pe ieirea RG i msur ARW pe componenta I a BCERN. Principial, ieirea RG poate fi limitat cu orice schem de limitare (static) cunoscut; n astfel de cazuri devine ns foarte probabil intrarea n saturaie a blocului integrator (nivel de saturaie care poate fi superior nivelului de limitare impus) nsoit de toate consecinele negative aferente. n acest context se dovedete avantajoas introducerea msurii anti-wind-up reset AWR (sau ARW); o variant posibil de realizare a msurii AWR este prezentat n fig.12.5.3. n care {um, uM} reprezint valorile de limitare realizate de elementul de limitare EL.


Fig. 12.5.3. Schema bloc infotmationala cu introducerea msurii AWR (sau ARW);

ZI este un modul care realizeaz desensibilizarea msurii AWR la eventuale "inexactiti de realizare" a circuitului. Schema sugereaz i o variant posibil de realizare a FA cu AO; o astfel de schem este prezentat n detaliu n fig.12.5.4 sub forma schemei electronice care urmeaz a fi suprapus peste cea de baz dat n fig. 12.5.2.

Fig. 12.5.4. Schema electronica de FA cu AO

Circuitul de limitare este realizat n jurul A0-4 iar msura AWR n jurul A0-5. Sunt valabile urmtoarele relaii ce caracterizeaz funcionarea circuitului:

)(:5005

15luud uuR

RuA = (12.5-9) Dac um < ulu < uM atunci |uu | = |ulu | i circuitul de limitare nu intervine, Dac limitarea este activat, uuum sau uuuM atunci A05 este "activat" conform relaiei:

05

15

05

15 )(RRkuu

RRu ARWluud == (obinuit R0d = R02 ) (12.5-10)

i prin (-ud ) se activeaz pe intrarea integratorului A0-2 determinnd n ultim instan reducerea lui uu la o valoare apropiat de cea de limitare.

Prin acest mecanism se va asigura ieirea "ct mai rapid" a integratorului din eventuala saturaie i corespunztor ieirea rapid a RG-x din limitare. Cele dou diode D-51 i D-52 montate n antiparalel, realizeaz "desensibilizarea aciunii msurii ARW la imperfeciuni de realizare a circuitului". Circuitul de limitare acioneaz pe baza relaiei (12.5-11):

( ) (

= luud

ywxR uuRR

RRuu

CsRu

05

15

0

02

1202

1 ) (12.5-11) i innd seama de rel. (12.5-6) se obine:


( ) ( )

( ) ( )[ ] 1cu

1

1

'

05

15

0

02

05

15

0

02

12020

1

1 0

1

0

1

01

11

0

1

luulRywRi

n

ixixivcvwwu

ld

lyuw

ywR

xi

n

i xiv

vw

wu

uukkuuksT

ukukuku

saukRR

RR

uuRR

RRuu

CsRRRu

RRu

RRu

RR

RRu

+=

=

+=

=

=

(12.5-12, -13)

Dac limitarea nu este activ |uu|=|ulu | i atunci

+== xiTxywR

ivcvwwulu ukuuksT

ukukuu )(1' (12.5-14)

rel.(12.5-14) coincide cu rel.(12.5-8) cu observaia c pentru simplificarea scrierii s-a omis evidentierea distinct a coeficientului kA, adic s-a acceptat (cu abuz de notaie):

nikkkkkkkkk

CRTkkk

ASxixiASRRAScvcv

iASww

,1cu

neschimbat !!''!'

1202!

======

Dac limitarea este activat, atunci ulu = ulim, n care ulim = {um sau uM} i nlocuind n (12.5-1) se obine:

( )[ ]xRR

n

ixixivcvww

lulywi

xR

ukukukuku

insacumukukuusT

u

=

+=

=1'

lim :;1

prin nlocuire se obine:

( ) +++= xiTxvcvwwlywlRixR ukukukukuukksTu 'lim1 (12.5-15)

n RSC (la t) se obine: ( ) ++= xiTxvcvwwRywlRxR ukukukukuukku 'lim

11 (12.5-16)

Regimul este atins, d.p.d.v. al circuitului de ARN dup o comportare PT1 cu constanta de timp:

Rl

i

kkTT =lim (12.5-17)

Pentru o valoare klkR suficient de mare (>>1) viteza de rspuns a msurii AWR este mare (constanta de timp aferent circuitului este mic. nlocuind rel. (12.5-16) n relaia lui uu se obine:

( ) += xTxvcvwwywRlRxTxvcvwwu ukukukuuukkkukukuku 'lim'1

n consecin depirea lui uu fa de ulim va fi dat de relaia:

)(1lim ywl

u uukuu = (12.5-18)

Pentru kl>>1 rezult uu ulim . 12.6 Implementarea cvasicontinu (CvC) a regulatorului dup stare (DC-x n ansamblu)

n multe situaii conducerea dup stare "numeric" este abordat n maniera "totul discret". Dac ns Te poate fi ales "suficient de mic" atunc se poate proceda la o proiectare continua a DC-x urmata de o implementare cvasicontinu (CvC) a soluiei de conducere. Cum n structura DC-x parte "cu dinamic" apare numai n cazul DC-x extins, discretizarea i implementarea legii de reglare se va pune numai n acest caz. Pentru a distinge parametrii DC-x continual de cei ai arn-x-CvC obinut prin discretizarea ar-x-C, se fac urmtoarele notaii:

- coeficienii DC-x -C se noteaz cu caractere mici (conform cu notaiile de pn acum), - coeficienii a.r.n.-x-CvC obinui prin discretizare se noteaz cu caractere mari.


A. Relaii de baz i algoritmul n pseudolimbaj. Cu referire la schema bloc din fig.5.1, comanda continual u(t) nesupus limitrii este dat de relaia (se omite variabila t i u(t)=kASex(t)):

AS

n

imixiRRvcvw kxkxkmkwku

+=

=1' (12.6-1)

La implementarea CvC a a.r.n.-x (12.6-1)se poate considerata c acesta este realizat la fiecare moment de eantionare tk = kTe (acceptnd astfel c toate mrimile sunt disponobile la aceste momente de timp, simultan).

n consecin, la momentul tk comanda RG-x CvC, adic ieirea arn-x CvC, se va explicita n forma:

=+=

=

xkASk

n

ikmixiRkRvkcvkwxk

eKu

xKxKmKwKe1

,'

(12.6-2)

n vederea construirii unui a.r.n. uor de supervizat reacia dup stare se realizeaz separat; n acest scop se introducere variabila auxiliar (a se vedea i rel. (12.2-3)-(12.2-5)):

ikmximikn

imikxixk xkxxKy == = cu 1

(12.6-.3)

Pentru calculul recursiv al componentei integrale, acesta se scrie n forma: kkkkkkRkR eywywxx =+=+ cu )(,1, (12.6-4)

n acest context, schema informaional aferent a.r.n.-CvC apare ca n fig.6.1:

Fig.12.6.1. Schema bloc informaional aferent a.r.n.-x

Pentru simplificarea scrierii se va considera c coeficientul KAS este "absorbit" de fiecare din coeficienii din schem, adic, cu abuz de notaie se va avea:

6)-(8.6 u:formain rescrie se 2)-(8.6 si

5)-(8.6 ; ; ;

'k

!!!'

!'

xkRkRvkcvkw

ASxixiASRRASwwAScvcv

yxKmKwK

KKKKKKKKKKKK

+=

====

innd seama de rel. (12.6-3), n baza rel.(12.6-6) a.r.n.-x CvC se poate explicita n pseudolimbaj n forma urmtorului program: = = = = = = =

t = tk : ACTIVARE program a.r.n.-x CvC Citete wk , yk , mvk yxk=0 pentru ni ,1= citete xmi,k (12.6-7) kmixixkxk xKyy ,+= calculeaz u 'k xkRkRvkcvkw yxKmKwK += transmite uk xRk = xRk +(wk - yk)

PROGRAM TERMINAT = = = = = = = =


Pentru prima rulare a programului, pentru t0=0 (k=0 ) se va considera xRk = xR0 = 0. B. Stabilirea legturilor ntre coeficienii DC-x C (continuu) i coeficieni a.r.n.-x CvC. Dac DC-x a fost proiectat n varianta continual, atunci, n urma proiectrii se dispune de valorile numerice ale coeficienilor {kw, kcv', kR, Ti, kxi} (s-a presupus c aceti coeficieni includ coeficientul kAS).

Implementarea CvC a DC-x presupune n prealabil calculul parametrilor a.r.n.-x CvC {Kw, Kcv', KR, Ti, Kxi} in funcie de valorile coeficienilor DC-x C i perioada de eantionare Te i apoi, scrierea a.r.n.-x CvC.

a. Calculul coeficienilor a.r.n.-x pe componente: Componentele P proporionale- se echivaleaz fr modificri; Componenta I integratoare- se trateaz dup cum urmeaz. Relaia (12.6-4):

(12.6-4) )(,1, kkkRkR ywxx +=+se rescrie n ntrzieri; se aplic transformarea Laplace membru cu membru i termen cu termen: { }

[ ] 8)-(12.6 )()(1

)(

)]()([)()(

| )( 111,,

syswe

esx

sauesyswesxsx

Lywxx

e

e

ee

sT

sT

R

sTsTRR

kkkRkR

=+=

+=

Utiliznd pentruaproximarea exponenialei e-sTe aproximantul Pade de forma:

9)-(12.6 2/12/1

e

esT

sTsTe e +

prin nlocuire n (12.6-8) se obine:

[ ] ( )

suplim. P comp. comp.I

10)-(12.6 )()(211)()(

2/1)(

== sysw

sTsysw

sTsTsx

ee

eR

Observaie: Prin aproximare, componenta I din cazul continual devine n cazul CvC o component PI. Notnd componenta I sub forma:

( )()(1)(' syswsT

sxe

R = ) , (12.6-11) relaia (12.6-10) se poate rescrie n forma: ( )()(

21)()( ' syswsxsx RR = ) , (12.6-12)

pentru care se poate explicitaexpresia original: ( kkRkRk ywxx = 2

1' ) . (12.6-13) Reunind relaiile ce caracterizeaz a.r.n.-x CvC se obine:

xu-mk

'k

+= TxRkRvkcvkw KxKmKwK ,

respectiv prin nlocuire: . ( ) xKywKxKmKwK mkTxkkRRkRvkcvkw

+=

21u ''k

(12.6-14)

Explicitnd ieirea de msur a PC yk n forma:

===

==

mkT

kT

kmim

kmmkmkT

k

xcxcysi kdiagK

xKxxcy

'

'

)(

unde cu

atunci, prin nlocuire n (12.6-13) i (12.6-14) se obine:

+= mkTkrkRk xcwxx '' 2

121

respectiv prin gruparea termenilor n (12.6-14):


xcKKxKmKwKK mkT

RTxRkRvkcvkRw

+= )

21()

21(u '''k (12.6-15)

n consecin se obin urmtoarele echivalene ntre coeficienii RG-x C i a.r.n.-x CvC (se echivaleaz relatiile (12.6-1) i (12.6-15):

eiT

RTx

Tx

lR

cvcv

Rww

TTsicKKk

KkKk

KKk

====

=

'

'

21

21

(12.6-16)

Pentru implementarea a.r.n.-x CvC prezint interes relaiile inverse, care se obin din rel.(12.6-16):

],...,[],...,[

21

2

11

'''

xnxTx

mi

cixixnx

Tx

TR

Tx

TxcvcvlR

Rww

KKKkkkkkkcu

ckkKkKkKkkK

===

+===+=

(12.6-17)

C. Introducerea limitrii pe ieirea a.r.n.-x CvC i realizarea msurii AWR. n vederea introducerii msurii ARW se definete o eroare de reglare de calcul suplimentar, elimk prin intermediul creia, dup intrarea n limitare a ieirii , s se asigure condiiile de realizarea AWR. Pentru modulul de limitare se utilizeaz reprezentarea din fig.12.6.2 i notaiile:

Fig. 12.6.2. Schema de realizare a limitrii

uk ieirea nelimitat, ulk ieirea limitat, {um, uM} nivelele de limitare introduse:


Pentru ntocmirea schemei bloc informaionale aferente a.r.n.-x-CvC se iau n considerare urmtoarele relaii:

==

+=+=

+

kkk

lkkw

kk

mkTxkRRvkcvkwk

kkRkR

ywe

uuK

ee

xKxKmKwKu

exx

)(1lim

,'

lim,1,

Corespunztor se obine schema bloc din fig.12.6.3:

Fig.12.6.3. Schema bloc informaionala aferent a.r.n.-x CvC i msura AWR

Pe baza schemei bloc se poate scrie urmtorul a.r.n.-x explicitat n pseudo-limbaj: = = = = = = = =

t = tk ACTIVARE a.r.n.-x- CvC Citete wk, yk, mvkyxk=0 pentru i=1,n

citete xmik yxk = yxk + Kxi xmik uk = Kw wk Kcvmvk + KR xRk yxk (6.24)

dac uk um atunci ulk = um altfel , dac uk uM atunci ulk = uM altfel ulk = uk

transmite ulkcalculeaz:

+==

kkRkR

lkkw

kkk

exx

uuK

ywe

lim,,

lim )(1

PROGRAM TERMINAT. = = = = = = = = = D. Interpretarea cvasicontinual a rezultatelor proiectrii continuale a SRA-x-CvC. Aspecte suplimentare care prezint interes n dezvoltarea unui SRA-x-CvC (DC-x CvC): 1. Alegerea perioadei de eantionare Te. La aledgerea valorii perioadei de eantionare se pot lua n

seam urmtoarele aspecte (principii): a. Dac PC este aperiodic i este caracterizat prin constantele de timp mari {T1, T2, }

9constantele de timp mici nu se iau n seam), atunci Te se va alege astfel nct:

Te (Tk)min /4 , n care (Tk)min este cea mai mic constant de timp mare a PC. b. Dac PC are o component oscilant dominant relativ slab amortizat, de pulsaie 0=1/T0

atunci Te se alege mai restrictiv conform relatiei:


Te T0 /5 cu T0 =1/0 i cu 0 rezultnd din relaia (s2+20s+02) 2. Luarea n consideraie a ER de pe ieirea DC-x. n acest scop se va utiliza un MM de aproximare a

comportrii ER, de forma:

2/111)(

e

sT

ER sTsesH

e

+=

3. Influena timpului de calcul al a.r.n.-x-CvC, tc. Timpul de calcul al a.r.n.-x-CvC, tc , fig.12.6.4. se reflect sub forma unui timp mort (ET-Tm ) aproximat n forma:

ecc

st Ttts

e c


12.7. O alt modalitate de explicitare i de calcul a blocului de referin F-w i a blocului de compensare dupa perturbatie Bc-v

Considernd structura de SRA-x din fig.12.7.1, o anumit VRSC pentru ieirea y (sau dup caz z) se obine prin dimensionarea blocurilor Fw (kFw ) i Bc-v (kcv ).

Fig.12.7.1 Schema bloc aferent unui SRA-x cu blocuri Fw i Bc-v

Proiectarea ntregului sistem se deruleaz n dou etape: (1) Proiectarea SRA-x propriuzis (conform paragrafului12.3), prin metoda alocrii; n rezumat, se

expliciteaz

=

=+=

nps

kbAIss

Tcu

w,1cu )(

0)det()(

* (12.7-1)

cu n condiii impuse i n valori necunoscute, elementele vectorului kcT = [kc1 , , kcn ].

(2) Proiectarea blocului de referin Fw (filtru de referin); n principiu acesta poate fi: De tip proporional (P): valoarea coeficientului kFw se determin din condiia (12.7-2):

== += vsHwksHyvxwx k

svx

k

Fvswx 434214434421 00 )()( (12.7-2)

De tip PT1 cu f.d.t. de forma: )(sH Fw

Fw

FwFw sT

ksH += 1)( (12.7-3)

pentru care: kFw se calculeaz din condiia de RSC, (12.7-2); TFw se impune; puncte de vedere posibile n alegerea lui TFw:

- limitarea variaiei referinei wx (filtrarea referinei), - compensarea serie a unui zerou al SRA-x, z1 , cnd TFw = | -1/z1 | .

Obervaie. Calculul f.d.t. ale SRA-x n raport cu cele dou intrri se deruleaz astfel. Din relaia:

========

===++=

=

=

)()()(cu

6)-(12.7 )()()(

)()()0(

5)-(12.7 )()()(

)()()(

:obtine se

PC)in inclusconsiderat (AS sau -x

4)-(12.7 cu

*

10

10

psssssBbAIsc

svsyH

ssBbAIsc

swsysH

xczcy

kbAAvbwbxAx

vw

w

vvx

Twvx

w

wux

Tvwx

Tz

T

Tcuxvux&

Peste structura din fig.12.7.1 se poate suprapune i conexiunea de compensare dup perturbaie, prin blocul BC-v; dependent de scopul urmririt acesta poate fi de tip P sau PDT1. Coeficientul kcv aferent Bc-v se calculeaz tot dintr-o condiie de RSC, de forma:


( ){ } )87.12()()()(

:7)-(12.7 )()(

cu vraport in RSC de comportare

00

cu wraport in RSC de comportare

0

00

++=

++=

===

==

44444 344444 2144 344 21 vsHksHwksHysau

vsHvkwksHy

swxFwswxFwswx

svxcvFwswx

8.8. Utilizarea formei canonice reglabile n dezvoltarea blocului de compensare dup stare BC-x . Relaiile lui Ackermann

Se pleac de la caracterizarea PC prin MM-ISI de forma (12.8-1):

==++=

)( xxT

vxu

euxcy

vbubxAx& (12.8-1)

Fig.12.12.1. Structura de SRA-x cu blocul AS inclus n PC

Corespunztor un SRA-x cu BC-x de tip proporional are MM-ISI de forma:

xxxT

Tcxxux

ywexcy

xkywbxAx

===+=

cu & (12.8-2)

Dac procesul este controlabil, MM-ISI aferent poate fi adus la forma canonic reglabil (Frobenius):

r

x

n

r

n

n

nnn

r

brA

u

a

x

aa

aa

aa

aa

x

10...00

.1.000.............0.1000.010

1210

+

=

&

...,, 1100

dc

uabx

abab

ababy

Tr

xn

nr

n

nnn

n

u

+

= (12.8-3)

n care coeficienii a i b sunt coeficienii care apar n f.d.t. a PC HPC(s):

01

011

...

...)()()()(

asasabsbsb

sAsBbAIscsH n

n

nn

uT

PC ++++++===

(12.8-4)

Fig.12.8-2. Reprezentarea f.d.t. HPC(s) prin schema bloc informational


Transformarea care aduce MM-ISI (12.8-1) la forma (12.8-3) este corelat cu matricea de controlabilitate a procesului:

=

un

uuuc bAbAbAbQ12 ...MMMM (12.8-5)

i este dat de matricea Tr definit dup cum urmeaz:

=

1...

nrn

rn

r

Aq

q

T (12.8-6)

n care qr n este ultima linie a matricii Qr de forma

===

Trn

Tr

rc

c

cq

q

QQ

QadjQ ...

det

11 (12.8-7)

(pentru demonstraie vezi Anexa).

Utiliznd forma canonic reglabil (12.8-3) coeficienii blocului de compensare kcT se calculeaz mai simplu, n funcie de coeficienii {a , b } ai f.d.t. (12.8-4), dup urmtorul algoritm:

Se calculeaz matricea:

[ ]

+++

=

=

+

n

crnn

n

cr

n

cr

Tcrrr

crncr

nn

n

nnn

Tcrrr

aka

aka

aka

kbA

kk

aaa

aa

aa

aa

kbA

12110

1

1210

......1......00...............0......000......10

...

10...00

...1...000...............0...1000...010

(12.8-8)

Cum determinantul x(s) este invariant la transformarea Tr se obine:

n

crn

n

crnnnTcrrr a

kas

aka

skbAIs 1011 ...det+++++=

(12.8-9)

Prin impunerea celor n poli ai SRA-x se obine i explicitarea (12.8-10):

01n

1nnn *

x ...ss)ps()s( +++= = (12.8-10) (a se vedea paragraful 12.2). Egalnd coeficienii de acelai grad din cele dou explicitri se obine:

1nn1ncrn1nn

crn1n

1n12cr1n

2cr1

0n01cr0n

1cr0

aaka

ka............

aaka

ka

aaka

ka

==+

==+==+

(12.8-11)

Vectorul corespunde ns Bc-x construit pentru o reacie dup strile de calcul

ale PC,

[ ]

= Tcrcrn1cr kk...kxr.


Pentru a obine vectorul kcT , cel care realizeaz reacia dup strile naturale ale PC, x, se scrie:

[ ] [ ]cn2c1c1nT

rn

Trn

Trn

crn2cr1crTc

rTcr

Tcr

Tcrx

rrTcr

Tcrx

k...kk

Aq...

Aq

q

k...kkk

:detaliatesau Tkk xTky

xTx cu xkxky

=

=

=====

(12.8-12)

Anexa 12.1. Determinarea relaiilor de transformare(12.8-6). Se pleac de la cele dou explicitri ale MM-ISI

dd

TccTcc

bTbbTb

TATATATAudxTcy

ubTxTATx

ubxTAxT

xTxxTx

xTxxTxdaca

udxcyduxcy

ubxAxubxAx

r

rTr

Tr

TTr

rrrr

rrrrrrrrrT

rrrrr

rrrr

rrrr

rrrr

rrT

TT

rrrr

T

r

r

===

==

==+=

+=+=

====

+= +=

+= +=

:

1

1

111

1

11

1

1

21

1

&

&

&&&

444 3444 2144 344 21

&&

Obervaie: se poate uor verifica conditia Ar Tr = Tr A

Pentru transform rea canonic reglabil, avnd matricea de controlabilitate a sistemului (1) se scrie: a[ ]

= bA...bAbQ 1nc MMM avnd inversa:

=

===

rnn1rn

n1r11r

Trn

T1r

rc

c1

c

q...q.........

q...q

q...

q

QQdet

QadjQ .

Atunci: (1) va fi dus n forma canonic reglabil (2)

=

+=r

T

rrrr

xcy

ubxAx& cu transformarea:

=

=

Trn

T2r

T1r

1nTrn

Trn

Trn

r

t...

t

t

Aq...

Aq

q

T

Relativ la matricea de transformare Tr, pe baza relaiei ArTr=TrA se poate scrie:


=

A

t

t...

t

t

t

t...

t

t

aa.

aa

aa

aa

1.000.............0.1000.010

Trn

T1rn

T2r

T1r

Trn

T1rn

T2r

T1r

n

1n

n

2

n

1

n

0

(3)

=

=

==

Atta

a...taat

aa

Att.................

Att

Att

Trn

Trn

n

1nT2r

n

1T1r

n

0

T1rn

Trn

T2r

T3r

T1r

T2r

(4)

n baza relaiei br=Trb se mai poate scrie:

==

==

=

1bt

0bt.....

0bt

0bt

sau b

t

t...

t

t

10...00

Trn

T1rn

T2r

T1r

Trn

T1rn

T2r

T1r

(5)

Cu notaia: tr1T = eT se obine (vezi rel. (4) i (5)):

-T

1

2e lui elementele tocmaielenecunoscut

cu liniare ecuatiin de sistemun reprezinta care

1

.......

0

0

0

=

==

=

bAe

bAe

bAe

be

nT

T

T

T

Rescriind aceast relaie ntr-o form compact se obine: [ ] [ ]1...0bA...bAbe 1nT MMMMM =

se identific matricea: [ ]

= bA...bAbQ 1nc MMM i se obine: [ ]

= 1cT Q1...00e

i n consecin Tr devine:

=

=

1nT

T

T

Trn

T2r

T1r

r

Ae...

Ae

e

t...

t

t

T


12.9. Estimarea strilor. Estimatoare de stare ES-x. Elemente introductive

Exist aplicaii de conducere la care strile PC nu sunt accesibile msurrilor sau sunt doar parial accesibile msurrilor. n astfel de situaii, dac PC respect proprietatea de a fi observabil atunci este posibil estimarea strilor acestuia. n acest scop se utilizeaz modulele informationale denumite estimator de stare sau observator de stare (ES-x sau OS-x). ES-x pot fi utilizate:

n vederea conducerii, cnd ES poart i denumirea de estimator / observator de reglare, n vederea supravegherii funcionrii PC (urmrirea evoluiei unor mrimi nemsurabile,

diagnosticarea unor defeciuni), n vederea estimrii perturbaiei (estimator de perturbaie).

Ca orice modul informaional, ES-x pot fi realizate i proiectate: analogic sau continual numeric n variantele CvC sau proiectate direct numeric.

A. Aspecte generale referitoare la estimarea strilor. Estimarea strii unui PC este considerat corect n condiiile n care asupra acestuia nu acioneaz perturbaii. n caz contrar, n vederea urmririi evoluiei PC este necesar complicarea structurii acestuia prin utilizarea unui modul suplimentar denumit estimator de perturbaie. Schema principial de conectare la PC a unui ES-x a crei stri urmeaz a fi estimate este prezentat n

fig.12.9.1, n care: x reprezint strile naturale ale PC iar x^

reprezint strile estimate.

Fig.12.9.1. Schema principial de conectare la PC a unui ES-x

Un ES-x este cu att mai bun cu ct evoluia strilor estimate x^

(t) se apropie mai mult de evoluia

strilor naturale x(t). Un ES-x este denumit de ordin complet dac dimx^

=dimx=n; ES-x este denumit

de ordin redus dac dimx^

= n^

< dimx = n. B. Estimatoare de ordin complet. Relaii generale. Pentru stabilirea relaiilor care stabilesc funcionarea unui ES-x se pleac de la MM-ISI aferent PC, presupus cunoscut, de forma:

(12.9-1) cunoscute. },,,{cu

=

++=T

vuT

vu

cbbAxcy

vbubxAx&

Observaie: In faza de dezvoltare a relaiilor generale care caracterizeaz ES-x, ca i n faza de proiectare a ES-x se va considera perturbaia ca fiind nul, adic v = 0. MM-ISI aferent ES are n principiu aceeai structur cu cel al PC (12.9-1) completat cu o corecie dup eroarea de ieire y, definit prin:

yyy = (12.9-2) adic:

(12.9-3)

=++=

xcy

bubxAx

T

yEu&

nlocuind (12.9-2) n (12.9-3) se obine:

(12.9-4) ybubx)cbA(x

xcycu ybybubxAx

EuT

E

TEEu

++==++=

&

&

Notnd cu AE matricea fundamental a ES-x:


= TEE cbAA (12.9-5)

relaia (12.9-4) se poate explicita n forma:

=++= xcycu ybubxAx TEuE& (12.9-5)

Pe baza rel. (12.9-2), (12.9-3) i (12.9-5) pentru ES-x se pot construi dou scheme bloc, fig.12.9.2-a i 12.9.2-b.

Fig.12.9.2 Scheme bloc aferente ES-x

Observaie. La construcia ES s-a presupus c MM aferent PC este bine cunoscut. n realitate acest MM este adeseori de aproximare (ca structur sau/ i ca valori numerice ale parametrilor) fiind

obinut n anumite ipoteze simplificatoare. n consecin ntrestrile estimate x^

i strile naturale x apar neconcordane, fiind adeseori utile efectuarea unor studii de sensibilitate privind:

efectul modificrii parametrilor MM aferent PC asupra rezultatelor estimrii, efectul modificrii parametrilor ES-x asupra rezultatelor estimrii.

Se definete eroarea de estimare (eroarea de reconstrucie) a strii prin relaia:

= xxx (12.9-6)

Derivnd (5) i nlocuind expresiile i se obine: x&

x&

(12.9-6)

== x)cbA(xAxx TEExx &&&&Impunnd rel.(12.9-5) ca i condiie:

= TEE cbAA

se obine:

= xEx A& (12.9-6)

Relaia (9.6) reprezint MM-ISI aferent erorii de estimare. Spectrul matricii AE notat E poate fi impus astfel nct (estimatorul este alocabil) :

AE = { pE1 , , pEn } CS (12.9-7) (adic procesul de estimare s fie asimptotic stabil) i

= xxlimsau 0lim

tx

t (12.9-8)

atunci i estimarea este consistent. Pentru ca procesul de estimare s fie ct mai rapid este necesar ca:

valorile proprii AE (12.9-7) s fie situate n stnga valorilor proprii ale PC, A;


valorile proprii ale ES-x, date de rel. (12.9-7) s fie situate n stnga valorilor proprii ale SRA-x, x , care utilizeaz ES-x.

Situaia este ilustrat prin fig.12.9.3 pentru polii dominani ai PC, SRA-x i ES-x.

Fig.12.9-3. Alocarea polilor ES-x si SRA-x in raport cu polii PC

Dac ns valorile proprii ale ES-x se amplaseaz mult n stnga valorilor proprii ale SRA-x / PC, atunci:

crete sensibilitatea estimrii n raport cu perturbaiile din sistem, coeficienii care caracterizeaz ES-x pot deveni greu realizabili.

ncadrarea unui ES-x ntr-o structur de SRA-x cu ES-x este prezentat n fig.12.9.4 n care, pentru simplificare, kAS nu este explicitat).

Fig.12.9.4. Structur de SRA-x cu ES-x (1)

Observaie: O problem practic care trebuie avut n vedere la dezvoltarea i implementeaz un ES-x const n faptul c strile estimate obinute din mrimile msurate {u, y} sunt la alt scar dect strile naturale x.

cap-12-sisteme de reglare automata cu reactie dupa stare

Documents