regimurile permanente de funcționare a mașinilor electrice ... · convertoare electronice de...

Regimurile permanente de funcționare a mașinilor electrice rotative (clasice) corespund următoarelor definiții specifice.

Mașina electrică de curent continuu cu colector funcționează în regim electromagnetic permanent constant, dacă tensiunile

electrice la bornele mașinii și intensitățile curenților electrici (de conducție) debitați sau absorbiți pe la borne reprezintă mărimi (fizice) scalare constante în timp;

în regim electromecanic permanent constant, dacă viteza unghiulară de rotație a rotorului (și a arborelui mașinii, pe care rotorul este fixat) este invariabilă în timp și momentul cuplului rezultant total de forțe electromagnetice și mecanice, aplicat la arborele mașinii este nul.

Mașinile electrice de curent alternativ trifazat, de inducție (asincronă) și sincronă, funcționează

în regim electromagnetic permanent armonic, dacă tensiunile electrice la bornele înfășurărilor de fază statorice ale mașinii și intensitățile curenților electrici (de conducție) debitați sau absorbiți pe la aceleași borne formează sisteme trifazate (simetrice sau nesimetrice) de mărimi scalare cu variație armonică (sinusoidală) în timp și cu aceeași pulsație electrică;

în regim electromecanic permanent constant, dacă viteza unghiulară de rotație a rotorului (și arborelui mașinii, pe care rotorul este montat) este invariabilă în timp și momentul cuplului rezultant total de forțe electromagnetice și mecanice, aplicat la arborele mașinii este nul.

Pentru o mașină electrică rotativă (clasică) operând ca generator electric, există două regimuri (permanente) limită de funcționare, în care mașina electrică nu este conectată, prin terminalul electric, cu niciun sistem fizic exterior receptor de energie electrică (sarcină electrică) și, ca urmare, nu furnizează (debitează) putere electrică utilă pe la borne:

- regimul de mers în gol, în care bornele mașinii sunt libere, circuitul electric al înfășurării mașinii legate la aceste borne fiind deschis, deci, neparcurs de curent electric (de conducție);

- regimul de scurtcircuit, în care bornele mașinii sunt legate galvanic între ele (scurtcircuitate), tensiunea electrică la borne fiind, evident, nulă.

Pentru o mașină electrică rotativă (clasică) operând ca motor electric, există două regimuri (permanente) limită de funcționare, în care mașina electrică nu este cuplată, prin terminalul mecanic, cu niciun sistem fizic exterior receptor de energie mecanică (sarcină mecanică) și, ca urmare, nu furnizează putere mecanică utilă pe la arborele mașinii:

i

- regimul de mers în gol, în care arborele mașinii (ca și rotorul solidar cu acesta) se rotește liber, momentul cuplului rezultant de forțe electromagnetice (active) aplicat la arborele mașinii fiind, practic, zero (în ipoteza neglijării cuplurilor de forțe rezistente datorate pierderilor mecanice și pierderilor în fierul rotoric);

- regimul de scurtcircuit, în care arborele mașinii este blocat mecanic (calat), viteza sa unghiulară de rotație fiind, evident, nulă.

Procesele tranzitorii dintr-o mașină electrică rotativă (clasică) survin la trecerea dintr-un regim permanent de funcționare a acesteia într-un alt regim permanent de funcționare. Se disting

(i) procese tranzitorii electromagnetice, provocate de variațiile bruște ale mărimilor caracteristice subsistemelor electric și magnetic ale mașinii (tensiunile electrice la bornele înfășurărilor mașinii, intensitățile curenţilor electrici de conducție ce parcurg înfășurările mașinii, fluxurile magnetice totale ale acestor înfășurări), la viteză unghiulară (de rotație) a rotorului invariabilă în timp; constantele de timp asociate acestor procese tranzitorii sunt de ordinul fracțiunilor de secundă; (ii) procese tranzitorii electromecanice, provocate de variațiile bruște ale mărimilor caracteristice subsistemului mecanic ale mașinii (viteza unghiulară (de rotație) a rotorului, momentul cuplului rezultant de forțe exercitate la arborele rotoric) și precedate sau însoțite de procese tranzitorii electromagnetice; procesele tranzitorii electromecanice sunt caracterizate de constante de timp de ordinul zecimilor de secundă sau al secundelor. Atât procesele tranzitorii electromagnetice, cât și cele electromecanice, dintr-o mașină electrică rotativă (clasică) pot reprezenta procese tranzitorii de exploatare curentă (datorate, de exemplu,

conectării maşinii electrice la reţeaua electrică de alimentare, pornirii motorului electric, variaţiei bruște a mărimii momentului cuplului rezultant de forțe electromagnetice, respectiv mecanice, la arborele rotoric al maşinii electrice);

procese tranzitorii provocate de defecte sau avarii ale mașinii electrice (de exemplu, procesul tranzitoriu electromagnetic datorat scurtcircuitului brusc la bornele înfășurărilor mașinii);

procese tranzitorii datorate asocierii mașinii electrice cu convertoare electronice de putere și cu sisteme de reglare automată (de exemplu, procesul tranzitoriu datorat alimentării motorului de curent continuu cu colector de la variator de tensiune continuă

ii

(într-un sistem de reglare a turației motorului), procesul tranzitoriu datorat alimentării motorului de inducție de la invertor de tensiune (într-un sistem de reglare vectorială), procesul tranzitoriu datorat conectării pe redresor a generatorului sincron (într-un sistem de producere de energie electrică în curent continuu).

Partea 1. Lucrări practice de laborator (LPL) referitoare la mașina de curent continuu cu colector 1

LPL 1: Studiul experimental și prin simulare dinamică al procesului tranzitoriu datorat scurtcircuitului

brusc la bornele generatorului de curent continuu cu colector și cu excitație în derivație 1

LPL 2: Studiul experimental și prin simulare dinamică al procesului tranzitoriu din motorul de curent

continuu cu colector și cu excitație separată, datorat variației bruște a sarcinii mecanice

la arborele rotoric 12

LPL 3: Studiul experimental și prin simulare dinamică al procesului tranzitoriu din motorul de curent

continuu cu colector și cu excitație separată, datorat variațiilor bruște ale tensiunii electrice

la bornele circuitului electric rotoric 20

LPL 4: Determinarea parametrilor modelului dinamic al motorului de curent continuu cu colector și cu excitație separată pe baza probei de răspuns tranzitoriu la semnal treaptă (Metoda Pasek) 31

iii

Partea 1

LUCRĂRI PRACTICE DE LABORATOR (LPL) REFERITOARE LA MAȘINA DE CURENT CONTINUU CU COLECTOR

LPL 1: Studiul experimental și prin simulare dinamică al procesului tranzitoriu datorat scurtcircuitului brusc la bornele generatorului de curent continuu cu colector și cu excitație în derivație

Scopul lucrării

Scopul lucrării practice de laborator – LPL 1 este determinarea experimentală și prin simulare dinamică în mediul MATLAB/Simulink a variației în timp (i) a intensității curentului electric de conducție din circuitul electric de excitație (statoric), (ii) a intensității curentului electric de conducție din circuitul indusului (rotoric) și, respectiv (iii) a mărimii momentului cuplului rezultant de forțe electromagnetice, la un generator de curent continuu cu colector și cu excitație în derivație (sau șunt), în procesul tranzitoriu electromagnetic datorat scurtcircuitului brusc la bornele sale.

Considerații teoretice

Generatorul de curent continuu cu colector și cu excitație în derivație - este tipul de generator de curent continuu cu colector (sau dinam)

cel mai utilizat în practică, datorită, mai ales, avantajului că este autoexcitat, neavând nevoie de o sursă exterioară (separată) de curent continuu pentru alimentarea înfășurării sale de excitație, aceasta fiind alimentată de însăși înfășurarea indusului (rotorică) cu care este conectată în derivație;

- are intensitatea curentului electric de excitație nominal foarte redus, reprezentând doar 1–5 % din intensitatea curentului electric rotoric nominal; ca urmare, înfășurarea de excitație (în derivație) se realizează cu număr mare de spire, cu secțiune mică a conductoarelor electrice ale acestora și, deci, rezistența electrică echivalentă a circuitului electric de excitație, Rf , este de 101 – 102 [Ω];

- are o cădere de tensiune electrică la borne de 25–35 % între funcționarea în gol și cea în sarcină electrică nominală, datorită faptului că,

1

odată cu scăderea tensiunii electrice la borne, se reduce și intensitatea curentului electric de excitație;

- nu are funcție de transfer, întrucât nu i se poate defini o mărime de intrare. Se consideră un generator de curent continuu cu colector și cu excitație în derivație, funcționând în gol, antrenat la turație constantă (prin intermediul unei mașini primare (de antrenare) cuplată mecanic la arborele generatorului) și având tensiunea electrică la borne (la perii) U0 (ca urmare a procesului de autoexcitare) (Fig. 1). Se neglijează, în continuare, efectele reacției magnetice a indusului (rotorului) generatorului, saturația magnetică a circuitului magnetic al generatorului și căderea de tensiune electrică la periile sale. La momentul de timp t = 0, se produce scurtcircuitul brusc la bornele generatorului, viteza unghiulară mecanică de rotație a rotorului Ω (impusă de mașina primară de antrenare) rămânând constantă (pentru t ≥ 0) , la valoarea sa din regimul electromecanic permanent constant de mers în gol de dinaintea producerii scurtcircuitului. În consecință, comportarea generatorului în timpul procesului tranzitoriu datorat scurtcircuitului brusc la bornele sale necesită considerarea numai a ecuațiilor diferențiale (în raport cu timpul) de tensiuni electrice :

(1)

pentru circuitul electric de excitație (statoric), respectiv

Fig. 1. Schema de circuit a generatorului de curent continuu cu colector și cu excitație în derivație, funcționând în gol, la viteză constantă,

în momentul de timp (t = 0) al producerii scurtcircuitului brusc la bornele sale.

2

d ( )( ) ( ) ,

d

f

f f f f

i tu t R i t L

t

(2) pentru circuitul electric al indusului (rotoric). La scrierea ecuațiilor diferențiale liniare cu coeficienți constanți (1) și (2), s-a adoptat regula de asociere a sensurilor de referință (pozitive) pentru tensiunile electrice și curenții electrici de conducție, respectiv pentru viteza unghiulară de rotație a rotorului și momentul cuplului rezultant de forțe electromagnetice, corespunzător dipolului receptor, deci, regimului de motor electric. În consecință, valoarea instantanee a intensității curentului electric rotoric, ca și mărimea momentului cuplului rezultant de forțe electromagnetice, sunt considerate negative. Inductanța totală proprie a circuitului electric de excitație Lf din ecuația diferențială liniară cu coeficienți constanți (1) are valori mari, de ordinul 101 – 102 [H], astfel încât constanta de timp a circuitului electric de excitație, Tf = Lf / Rf , rezultă de mărimea zecimilor de secundă sau chiar a secundelor. Dimpotrivă, circuitul electric al indusului (rotoric) (conținând înfășurarea indusă și, eventual, înfășurarea polilor de comutație și cea de compensație, ambele înseriate la perii cu

înfășurarea indusă) are rezistența electrică totală Ra de ordinul 10– 2 – 10–

1 [Ω] și inductanța totală proprie La cu valori de ordinul 10– 4 – 10– 3 [H],

astfel încât constanta de timp a circuitului electric rotoric, Ta = La / Ra , rezultă de mărimea 10– 3 – 10– 2 [s].

Mărimea Laf , admisă constantă în ecuația diferențială liniară (2), reprezintă inductanța mutuală de rotație dintre secțiile înfășurării induse (a rotorului) aflate în comutație (adică, scurtcircuitate momentan de periile generatorului și având axele lor magnetice suprapuse cu axa d a generatorului) și înfășurarea de excitație (statorică) cu axa magnetică (fixă) în axa d a generatorului; celelalte secții, neaflate în comutație, ale înfășurării induse (rotorului), parcurse de curentul electric rotoric, având axa magnetică (fixă) în axa q, nu sunt cuplate magnetic cu înfășurarea de excitație (a polilor principali statorici), întrucât axele lor magnetice sunt electric ortogonale (în cuadratură). Condițiile inițiale, pentru integrarea ecuațiilor diferențiale (în raport cu timpul) liniare cu coeficienți constanți (1) și (2), se consideră cele corespunzătoare regimului permanent constant de mers în gol de dinaintea producerii scurtcircuitului brusc la bornele generatorului, adică

3

d ( )( ) ( ) ( ), ( ) 0,

d

aa a a a af f a

i tu t R i t L L i t i t

t

(3)

(4)

Prin aplicarea transformării Laplace ecuațiilor diferențiale liniare (în domeniul timp) (1), (2), scrise corespunzător procesului tranzitoriu datorat scurtcircuitului la bornele generatorului, cu condițiile inițiale (3), (4), se obține sistemul algebric în complex, având ca necunoscute imaginile Laplace ale intensităților curenților electrici de excitație și rotoric, funcții de variabila complexă (Laplace) s :

(5)

(6)

Soluția în complex a ecuației (5) este imediată :

0 0 0

,

/( ) ,

/ 1 /

f f f f

f sc

f f f f f

L I I U Ri s

R sL R L s T s

(7)

de unde, prin transformarea Laplace inversă, se obține funcția original (de timp) a intensității curentului electric de excitație al generatorului în procesul tranzitoriu datorat scurtcircuitului la bornele acestuia :

/ /0

, 0( ) e ef ft T t T

f sc f

f

Ui t I

R

, (8)

având reprezentarea grafică din Fig. 2, unde s-a ținut seama că

, 0( 0) /f sc fi t U R și că dreapta tangentă la , ( )f sci t în punctul

corespunzător momentului de timp t = 0, intersectează axa absciselor (axa timpului) în punctul (Tf , 0). Intensitatea curentului electric tranzitoriu de excitație scade lent, după o funcție exponențială de timp, cu constanta de timp de valoare mare Tf . După un timp de aproximativ 3 ÷ 4 Tf , când procesul tranzitoriu electromagnetic datorat scurtcircuitului brusc la bornele generatorului se poate considera încheiat (stins), intensitatea curentului electric de excitație al generatorului obține valoarea sa de scurtcircuit permanent, egală, practic, cu zero.

4

0 0 0

00 0

( 0) ( 0) ,

( 0) ( 0) .

f f a a

f f a a

f

u t U u t U U

Ui t I i t I

R

, , 0

, , 0 ,

( ) ( ( ) ) 0

( ) ( ( ) ) ( ) 0.

f f sc f f sc f

a a sc a a sc a af f sc

R i s L si s I

R i s L si s I L i s

Fig. 2. Variațiile în timp (cronogramele) ale intensităților curenților electrici de excitație și rotoric (indusului) în procesul tranzitoriu datorat scurtcircuitului

brusc la bornele generatorului de curent continuu cu colector și cu excitație în derivație, aflat inițial în regim permanent constant de mers în gol.

Introducând expresia (7) în ecuația (6) și ținând seama de condiția de regim permanent constant de mers în gol de dinaintea producerii scurtcircuitului brusc la bornele generatorului, se obține expresia transformatei (imaginii) Laplace a intensității curentului electric rotoric în procesul tranzitoriu electromagnetic datorat scurtcircuitului brusc la bornele generatorului :

0 0 0,

0 00

1( )

1 /

/ // ,

1 / 1 /

a a a aa sc

a a f a a

a fa

a f

L I U R Ii s

R sL T s R sL

U R U RU R

T s T s

(9)

unde s-a aproximat 1/ (1/Ta –1/Tf) Ta , întrucât Ta ≪ Tf .

5

Ta

Ta

Tf

0

Prin transformarea Laplace inversă, se obține funcția original (de timp) a intensității curentului electric rotoric al generatorului în procesul tranzitoriu datorat scurtcircuitului la bornele acestuia :

//0 0 0

, ( ) e ( )e ,fat Tt T

a sc

a f a

U U Ui t

R R R

având reprezentarea grafică din Fig. 2, unde s-a ținut seama că

, 0( 0) /a sc fi t U R și că dreapta tangentă la , ( )a sci t în punctul

corespunzător momentului de timp t = 0, trece prin punctul de

coordonate 0 0 , ( / / )a f aT U R U R .

Răspunsul tranzitoriu în curent electric rotoric, consecutiv scurtcircuitului brusc la bornele generatorului, evidențiază un maxim al intensității acestui curent electric (ce poate ajunge la de 10 ÷ 30 ori valoarea sa nominală), atins după un timp foarte scurt, de ordinul de mărime al constantei de timp Ta , adică zecimi de secundă, timp în care intensitatea curentului electric de excitație și, implicit valoarea fluxului magnetic de excitație, practic, nu se modifică. Apoi, intensitatea curentului electric tranzitoriu rotoric scade lent (odată cu t.e.m. din circuitul electric rotoric) conform celei de a doua funcții exponențiale de timp din expresia (10), cu constanta de timp de valoare mare Tf . La sfârșitul procesului tranzitoriu datorat scurtcircuitului brusc la bornele generatorului, curentul electric rotoric este produs doar de t.e.m. indusă de fluxul magnetic remanent al polilor de excitație statorici ai generatorului, iar intensitatea sa ajunge la valoarea de scurtcircuit permanent, valoare mică, dar nu zero (cum ar rezulta din expresia

aproximativă (10), obținută pentru Ta ≪ Tf ). Momentul cuplului rezultant de forțe electromagnetice (rezistente) dezvoltat de generatorul de current continuu cu colector și cu excitație în derivație, în procesul tranzitoriu datorat scurtcircuitului brusc la bornele generatorului, are valoarea instantanee (negativă), obținută în baza definiției sale și a relațiilor anterioare aproximative (8) și (10):

, , ,

22

2 / 2 / ( / / )0 0

( ) ( ) ( )

e (e e ) ,f f a f

e sc af a sc f sc

t T t T t T t T

af

f f a

m t L i t i t

U UL

R R R

(11)

6

(10)

Fig. 2. Variația în timp a mărimii momentului cuplului de forțe electromagnetice (forțe rezistente) în timpul procesului tranzitoriu datorat scurtcircuitului brusc

la bornele generatorului de curent continuu cu colector și cu excitație în derivație, aflat inițial în regim permanent constant de mers în gol.

cu reprezentarea grafică din Fig. 3, unde s-a ținut seama că 2

, 0( 0) ( / )e sc af fm t L U R și că dreapta tangentă la , ( )e scm t în

punctul corespunzător momentului de timp t = 0, trece prin punctul

de coordonate 2

0 , (1/ 1/ ) /a af f a fT L U R R R .

Răspunsul tranzitoriu în momentul cuplului rezultant de forțe electromagnetice (forțe rezistente) dezvoltat de generator, consecutiv scurtcircuitului brusc la bornele sale, este similar celui în curent electric rotoric (de care este, de altfel, direct determinat), evidențiind o valoare maximă negativă, pe care o atinge după un timp foarte scurt, de ordinul de mărime al constantei de timp Ta , adică zecimi de secundă. Apoi, momentul cuplului rezultant de forțe electromagnetice se amortizează lent, corespunzător funcțiilor exponențiale de timp din expresia (11), cu constanta de timp de valoare mare Tf , anulându-se odată cu stingerea procesului tranzitoriu datorat scurtcircuitului brusc la bornele generatorului (întrucît mărimea sa de scurtcircuit permanent este zero, ca și cea a intensității curentului electric de excitație de scurtcircuit permanent).

7

Laf

Laf

Laf

Schema de montaj experimental și descrierea lucrării

Pentru efectuarea probei de răspuns tranzitoriu în curent electric de excitație, respectiv rotoric (al indusului), și în moment al cuplului de forțe electromagnetice, în procesul tranzitoriu datorat scurtcircuitului brusc la bornele generatorului de curent continuu cu colector și cu excitație în derivație, se realizează montajul experimental, conform schemei din Fig. 3.

Se efectuează pornirea în asincron a motorului sincron (MS) de antrenare (prin cuplare directă la arbore) a rotorului generatorului de curent continuu cu colector și cu excitație în derivație. Se procedează la amorsarea procesului de autoexcitare a generatorului în regim permanent constant de mers în gol (cu comutatorul K deschis),

reglându-se reostatul de câmp RcG din circuitul electric de excitație

al generatorului, astfel încât tensiunea electrică U0 la bornele generatorului să nu depășească 10 % din tensiunea electrică nominală.

Fig. 3. Schema de montaj experimental pentru proba de răspuns tranzitoriu

în curent electric de excitație, respectiv rotoric (al indusului), și în moment al cuplului de forțe electromagnetice,

în procesul tranzitoriu datorat scurtcircuitului brusc la bornele generatorului de curent continuu cu colector și cu excitație în derivație, aflat inițial în regim permanent constant de mers în gol.

8

Se închide comutatorul K, realizându-se, astfel, scurtcircuitul brusc la bornele generatorului. Se înregistrează oscilogramele curentului electric tranzitoriu de excitație, respectiv rotoric (al indusului) și, cu ajutorul acestora, se determină constanta de timp a circuitului electric de excitație Tf , valoarea (absolută) maximă a intensității curentului electric rotoric de scurtcircuit (brusc) și momentul de timp când această valoare maximă este atinsă.

Se repetă, în aceleași condiții, proba de răspuns tranzitoriu al generatorului de curent continuu cu colector și cu excitație în derivație, funcționând în gol, la scurtcircuit brusc la bornele sale, înregistrându-se, de data aceasta, oscilograma mărimii momentului cuplului rezultant de forțe electromagnetice dezvoltat de generator. Se determină valoarea maximă a mărimii momentului cuplului rezultant de forțe electro-magnetice și momentul de timp când această valoare maximă este atinsă.

Se realizează simularea dinamică în mediul MATLAB/Simulink a comportării generatorului de curent continuu cu colector și cu excitație în derivație, în timpul procesului tranzitoriu electromagnetic datorat scurtcircuitului brusc la bornele generatorului, utilizându-se, în acest scop, bibliotecile : Simulink Library Browser, Simulink (cu categoriile Sources, Sinks, Signal Routine) și SimPowerSystems (cu categoriile Machines, Measurements, Electrical Sources, Power Electronics, Elements). În Fig. 4, este prezentat un exemplu de realizare a simulării dinamice, în mediul MATLAB/Simulink, a comportării generatorului de curent continuu cu colector și cu excitație în derivație, în timpul procesului tranzitoriu electromagnetic datorat scurtcircuitului brusc la bornele generatorului. Se compară rezultatele simulării dinamice cu cele obținute experimental prin proba de răspuns tranzitoriu al generatorului de curent continuu cu colector și cu excitație în derivație, funcționând în gol, la scurtcircuit brusc la bornele sale. Concluzii

Răspunsul tranzitoriu în curent electric rotoric (al indusului) și în moment al cuplului de forțe electromagnetice la scurtcircuit brusc la bornele generatorului de curent continuu cu colector și cu excitație în derivație, aflat, inițial, în regim permanent constant de mers în gol, evidențiază (i) o primă perioadă foarte scurtă de timp (caracterizată de

9

Fig. 4. Exemplu de implementare în mediul MATLAB/Simulink a modelului dinamic al generatorului de curent continuu cu colector și cu excitație

în derivație, în procesul tranzitoriu electromagnetic datorat scurtcircuitului brusc la bornele generatorului.

constanta de timp a circuitului electric rotoric Ta) de creștere rapidă a intensității curentului electric rotoric și, implicit, a mărimii momentului cuplului rezultant de forțe electromagnetice (rezistente), datorită, în principal, t.e.m. induse prin mișcare în circuitul electric rotoric de fluxul magnetic de excitație (statoric) care se menține, practic, constant în timp (de fapt, se reduce în timp, dar cu constanta de timp, de valoare mare, a circuitului electric de excitație); maximele atinse, în această perioadă de timp, de intensitatea curentului electric rotoric, respectiv de momentul cuplului rezultant de forțe electromagnetice, pot obține valori mult superioare valorilor nominale ale acestor mărimi, înrăutățind comutația curentului electric în secțiile înfășurării induse, la trecerea acestora pe sub perii, cu riscul apariției ‘cercului de foc’ la colector, respectiv determinând producerea unui șoc de cuplu de forțe rezistente la arborele rotoric ; (ii) o a doua perioadă mult mai lungă de timp (caracterizată de constanta de timp a circuitului electric de excitație Tf , de valoare mare) de scădere lentă a intensității curentului electric rotoric (al indusului) și, implicit, a mărimii momentului cuplului rezultant de forțe electro-magnetice (rezistente) spre valorile lor de scurtcircuit permanent, adică foarte mică, dar nenulă (datorită t.e.m. induse prin mișcare în circuitul electric rotoric de fluxul magnetic remanent al polilor de excitație statorici), în cazul intensității curentului electric rotoric, respectiv zero, în cazul mărimii momentului cuplului rezultant de forțe electromagnetice.

10

Bibliografie

1. J. Chatelain, Machines électrques, Presses Polytechniques Romandes, Lausanne, 1989, pp. 531-533.

2. I. Boldea, Transformatoare și mașini electrice, Editura Politehnica, Timișoara, 2009, pp. 528-531.

3. L. Miheț-Popa, Modelare și simulare în MATLAB & Simulink cu aplicații în inginerie electrică, Editura Politehnica, Timișoara, 2007, cap. 6 – 9.

11

LPL 2: Studiul experimental și prin simulare dinamică al procesului tranzitoriu din motorul de curent continuu cu colector și cu excitație separată, datorat variației bruște a sarcinii mecanice la arborele rotoric

Scopul lucrării

Scopul lucrării practice de laborator – LPL 2 este determinarea experimentală și prin simulare dinamică în mediul MATLAB/Simulink a variației în timp (i) a intensității curentului electric de conducție din circuitul electric al indusului (rotoric) și, respectiv, (ii) a vitezei unghiulare mecanice de rotație (turației) a rotorului, la un motor de curent continuu cu colector, cu excitație separată (independentă) și cu flux magnetic de excitație invariabil în timp, în procesul tranzitoriu electromecanic datorat aplicării bruște a unei trepte de moment al cuplului rezultant de forțe rezistente la arborele rotoric.


Se consideră un motor de curent continuu cu colector și cu excitație separată și invariabilă în timp, funcționând într-un regim permanent constant, definit prin mărimile electrice de circuit, constante în timp :

tensiunea electrică la bornele circuitului electric de excitație, Uf0 ,

tensiunea electrică la bornele circuitului electric rotoric (la perii), Ua0 ,

intensitatea curentului electric de excitație, If0 și intensitatea curentului

electric rotoric (al indusului), Ia0 , și prin mărimile mecanice, constante

în timp : viteza unghiulară mecanică de rotație a rotorului, Ω0 și mărimea

momentului cuplului de forțe rezistente la arborele rotoric, ML0 . În cazul motorului considerat, efectele reacţiei magnetice a indusului, căderea de tensiune electrică la perii, saturația circuitului magnetic, cuplurile de forțe corespunzătoare pierderilor în fierul rotoric, precum şi cuplurile de forțe de frecare mecanică se neglijează. Ecuațiile de tensiuni electrice și ecuația mecanică ale motorului, în regimul permanent constant de funcționare definit anterior, se pot scrie astfel :

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0; ; ,f f f a a a af f L e af f aU R I U R I L I M M L I I (1)

12

unde Rf și Ra reprezintă rezistențele totale echivalente ale circuitelor

electrice de excitație și rotoric, Laf este inductanța mutuală de rotație,

iar Me0 semnifică mărimea constantă (în timp) a momentului cuplului de forțe electromagnetice dezvoltat de motor, care echilibrează mărimea

constantă (în timp) ML0 a momentului cuplului rezultant de forțe rezistente la arborele rotoric. Dacă la momentul de timp t = 0, se aplică brusc o treaptă de moment

ΔML al cuplului rezultant de forțe rezistente la arborele rotoric, fără a fi modificate tensiunile electrice la bornele circuitului de excitație (și, corespunzător, fluxul magnetic de excitație) și la bornele circuitului rotoric (la perii), procesul tranzitoriu electromecanic ce survine în motorul considerat este descris prin ecuațiile diferențiale (în raport cu timpul) liniare, cu coeficienți constanți

00 0 0 0

00 0 0

d( ( ))( ( )) ( ( ))

d

d( ( ))( ) ( ( )) ( ),

d

a aa a a a a af f

e af f a a L L

I i tU R I i t L L I t

t

tm t L I I i t J M M

t

unde J = JM + JL reprezintă momentul de inerție al motorului și al sarcinii mecanice a acestuia, redus la arborele rotoric. Prin aplicarea transformării Laplace ecuațiilor diferențiale liniare (în domeniul timp) (2), (3), ținând seama de relațiile de regim permanent constant (1), care stabilesc și condițiile inițiale ale procesului tranzitoriu, se obține sistemul algebric în complex, având ca necunoscute imaginile Laplace ale variațiilor în timp ale intensității curentului electric rotoric și vitezei unghiulare mecanice de rotație a rotorului, funcții de variabila complexă (Laplace) s :

0

0

( ) ( ) ( ) 0

( ) ( ) .

a a a af f

Laf f a

R sL i s L I s

ML I i s sJ s

s

Rezolvând sistemul algebric în complex (4) – (5), se obține :

2

0

( )( )

( ) ( )

L a a

af f a a

M R sLs

s L I sJ R sL

(6)

13

(2)

(3)

(4)

(5)

0

2

0

( ) .( ) ( )

af fLa

af f a a

L IMi s

s L I sJ R sL

(7)

Rădăcinile ecuației caracteristice, obținute egalând cu zero numitorul soluțiilor (6) și (7),

2 2

0( ) 0,a a af fJL s JR s L I (8)

sunt :

2

0

2

1,2

4 ( )1

.2

a af f

a a

a

a

L L IR R

JRs

L

(9)

Dacă pentru motorul considerat,

2 2

04 ( ) ,a a af fJR L L I (10)

atunci, în baza aproximației, 1 1 , pentru 1,2

xx x relațiile (9)

se rescriu în forma

2

0

1 2

( )1 1, ,

af fa

a a a em

L IRs s

L T JR T (11)

unde Tem definește constanta de timp electromecanică a motorului. Soluțiile (6) și (7), reprezentând imaginile Laplace ale variațiilor în timp ale vitezei unghiulare mecanice de rotație a rotorului și intensității curentului electric rotoric, obțin aproximațiile :

2

0

( )1 1

( ) ( )

1

1( )

1 1 ( )

1( )

L a a

a

a em

L

em

L a

af f

em

M R sLs

s JL s sT T

M

J s sT

M R

L I s sT

(12)

14

0

0

1( )

1 1( )( )

1 .

1 1

L af f

a

a

a em

a em

L em a em a

af f

a em

M L Ii s

JL s s sT T

T T

M T T T T

L I s s sT T

Prin transformarea Laplace inversă, se obțin funcțiile original (de timp) ale variațiilor în timp ale vitezei unghiulare mecanice de rotație a rotorului și intensității curentului electric rotoric, pentru motorul considerat, în procesul tranzitoriu datorat aplicării bruște a unei trepte

de moment ΔML al cuplului de forțe rezistente la arborele rotoric :

/

2

0

/ /

0

( ) (1 e )( )

( ) (1 e e ).

em

a em

t TL a

af f

t T t TL a ema

af f em a em a

M Rt

M I

M T Ti t

M I T T T T

Se verifică imediat condițiile inițiale nule, pentru variațiile (14) și (15). În final, rezultă evoluțiile în timp ale vitezei unghiulare mecanice

de rotație a rotorului și intensității curentului electric de conducție din circuitul rotoric, la motorul de curent continuu cu colector, cu excitație separată (independentă) și cu flux magnetic de excitație invariabil în timp, în procesul tranzitoriu datorat aplicării bruște a unei trepte de moment al cuplului rezultant de forțe rezistente la arborele rotoric :

/

0 0 2

0

/ /

0 0

0

( ) ( ) (1 e )( )

( ) ( ) (1 e e )

em

a em

t TL a

af f

t T t TL a ema a a a

af f em a em a

M Rt t

L I

M T Ti t I i t I

L I T T T T

cu reprezentarea grafică din Fig. 1.

15

(13)

(14) (15)

(16) (17)

Fig. 1. Variațiile în timp ale vitezei unghiulare mecanice de rotație a rotorului și intensității curentului electric rotoric (al indusului),

la motorul de curent continuu cu colector, cu excitație separată și cu flux magnetic de excitație invariabil în timp,

în procesul tranzitoriu electromecanic datorat aplicării bruște a unei trepte de moment al cuplului de forțe rezistente la arborele rotoric.

Răspunsul tranzitoriu al motorului considerat, în viteză unghiulară mecanică de rotație a rotorului, respectiv în curent electric rotoric, la aplicarea bruscă a unei trepte de moment al cuplului rezultant de forțe rezistente la arborele rotoric, evidențiază o scădere lentă, conform unei funcții exponențiale de timp, cu constanta de timp electromecanică Tem , a vitezei unghiulare mecanice de rotație a rotorului, spre valoarea finală

de regim permanent 0 2

0( )

L a

af f

M R

L I

, respectiv o creștere mai rapidă,

corespunzător celor două funcții exponențiale de timp din relația (17), a intensității curentului electric rotoric (al indusului), spre valoarea finală

de regim permanent 0

0

La

af f

MI

L I

.

16


Pentru efectuarea probei de răspuns tranzitoriu în viteză unghiulară mecanică de rotație a rotorului, respectiv în curent electric rotoric, la aplicarea bruscă a unei trepte de moment al cuplului de forțe rezistente la arborele rotoric, în cazul motorului de curent continuu cu colector, cu excitație separată și cu flux magnetic de excitație constant (în timp), se realizează montajul experimental, conform schemei din Fig. 2.

Inițial, se alimentează cu tensiune nominală înfășurarea de excitație a motorului. Apoi, se alimentează înfășurarea indusului, închizând contactorul Q1, la o tensiune electrică la perii, care să asigure o turație a rotorului de aproximativ valoarea turației de sincronism a generatorului sincron trifazat (GS) cuplat la arborele motorului, având rol de sarcină mecanică a acestuia. Se închide contactorul Q2 și se reglează,

cu ajutorul reostatului de câmp RcG, intensitatea curentului electric de excitație al generatorului sincron la valoarea sa nominală.

Fig. 2. Schema de montaj experimental pentru proba de răspuns tranzitoriu în viteză unghiulară mecanică de rotație a rotorului, respectiv în curent electric

rotoric, la variația bruscă a sarcinii mecanice la arborele rotoric, în cazul motorului de curent continuu cu colector, cu excitație separată

și cu flux magnetic de excitație invariabil în timp.

17

Variația bruscă a sarcinii mecanice la arborele motorului se realizează conectând brusc sarcina electrică rezistivă trifazată la bornele generatorului sincron, prin intermediul întreruptorului K2.

Se înregistrează oscilogramele (cronogramele) vitezei unghiulare mecanice de rotație a rotorului, respectiv curentului electric rotoric (al indusului) pentru motorul de curent continuu cu colector studiat și, cu ajutorul lor, se determină valorile finale de regim permanent ale acestor mărimi, precum și constanta de timp electromecanică Tem a motorului.

Se realizează simularea dinamică în mediul MATLAB/Simulink a comportării motorului de curent continuu cu colector, cu excitație separată și cu flux magnetic de excitație constant (în timp), în timpul procesului tranzitoriu electromecanic datorat variației bruște a sarcinii mecanice la arborele motorului, utilizându-se, în acest scop, bibliotecile : Simulink Library Browser, Simulink (cu categoriile Sources, Sinks, Signal Routine) și SimPowerSystems (cu categoriile Machines, Measurements, Electrical Sources, Power Electronics, Elements).

În Fig. 3, este prezentat un exemplu de realizare a simulării dinamice, în mediul MATLAB/Simulink, a comportării motorului de curent continuu cu colector, cu excitație separată și cu flux magnetic de excitație constant (în timp), în timpul procesului tranzitoriu electromecanic datorat variației bruște a sarcinii mecanice la arborele rotoric.

Fig. 3. Exemplu de implementare în mediul MATLAB/Simulink a modelului dinamic al motorului de curent continuu cu colector, cu excitație separată

și cu flux magnetic de excitație constant (în timp), în timpul procesului tranzitoriu electromecanic datorat variației bruște a sarcinii mecanice la arborele rotoric.

18

Se compară rezultatele simulării dinamice cu cele obținute experimental prin proba de răspuns tranzitoriu al motorului de curent continuu cu colector, cu excitație separată și cu flux magnetic de excitație constant (în timp), la variația bruscă a sarcinii mecanice la arborele rotoric.

Concluzii

Răspunsul tranzitoriu, atât în curent electric rotoric, cât şi în viteză unghiulară mecanică de rotație (turaţie) rotorică, al motorului de curent continuu cu colector, cu excitație separată și flux de excitaţie constant, la variații bruște ale momentului cuplului rezultant de forțe rezistente aplicate la arborele rotoric, este stabil și

aperiodic, dacă Tem ≥ 4Ta , fiind caracterizat de două constante de timp T1 ≤ Tem și T2 ≥ Ta (cazul motorului de curent continuu cu colector și cu excitație separată și constantă (în timp), considerat în această lucrare practică de laborator) ; respectiv,

oscilatoriu amortizat, dacă Tem < 4Ta (cazul servomotoarelor de curent continuu cu colector şi cu inerţie redusă), constanta de timp de amortizare a oscilaţiilor pseudoarmonice fiind egală cu 2Ta . Bibliografie

1. J. Chatelain, Machines électrques, Presses Polytechniques Romandes, Lausanne, 1989, pp. 534-536.

2. I. Boldea, Transformatoare și mașini electrice, Editura Politehnica, Timișoara, 2009, pp. 531-535.


19

LPL 3: Studiul experimental și prin simulare dinamică al procesului tranzitoriu din motorul de curent continuu cu colector și cu excitație separată, datorat variațiilor bruște ale tensiunii electrice la bornele circuitului electric rotoric

Scopul lucrării

Scopul lucrării practice de laborator – LPL 3 este determinarea experimentală și prin simulare dinamică în mediul MATLAB/Simulink a variației în timp (i) a intensității curentului electric de conducție din circuitul electric al indusului (rotoric) și, respectiv, (ii) a vitezei unghiulare mecanice de rotație (turației) a rotorului, la un motor de curent continuu cu colector, cu excitație separată (independentă) și cu flux magnetic de excitație invariabil în timp, în procesul tranzitoriu electromecanic datorat aplicării bruște, fie a unei trepte de tensiune electrică, fie a unor pulsuri de tensiune electrică, periodice dreptunghiulare, de aceeași amplitudine, la bornele circuitului electric al indusului (rotoric).


Se consideră un motor de curent continuu cu colector și cu excitație separată și invariabilă în timp, funcționând într-un regim permanent constant, definit prin mărimile electrice de circuit, constante în timp :

tensiunea electrică la bornele circuitului electric de excitație, Uf0 ,

tensiunea electrică la bornele circuitului electric rotoric (la perii), Ua0 ,

intensitatea curentului electric de excitație, If0 și intensitatea curentului

electric rotoric (al indusului), Ia0 , și prin mărimile mecanice: viteza

unghiulară mecanică de rotație a rotorului, Ω0 și mărimea momentului

cuplului rezultant de forțe rezistente la arborele rotoric, ML0 . În cazul motorului considerat, efectele reacţiei magnetice a indusului, căderea de tensiune electrică la perii, saturația circuitului magnetic, cuplurile de forțe corespunzătoare pierderilor în fierul rotoric, precum şi cuplurile de forțe de frecare mecanică se neglijează. Ecuațiile de tensiuni electrice și ecuația mecanică ale motorului, în regimul permanent constant de funcționare definit anterior, se scriu astfel :

20

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0; ; ,f f f a a a af f L e af f aU R I U R I L I M M L I I (1)

unde Rf și Ra reprezintă rezistențele totale echivalente ale circuitelor

electrice de excitație și rotoric, Laf este inductanța mutuală de rotație,

iar Me0 semnifică mărimea constantă (în timp) a momentului cuplului rezultant de forțe electromagnetice dezvoltat de motor, care echilibrează

mărimea constantă (în timp) ML0 a momentului cuplului rezultant de forțe rezistente la arborele rotoric.

A) Dacă la momentul de timp t = 0, se aplică brusc o treaptă de

tensiune electrică ΔUa la bornele circuitului electric rotoric (la perii), fără a fi modificate tensiunea electrică la bornele circuitului electric de excitație (și, corespunzător, fluxul magnetic de excitație) și mărimea momentului cuplului rezultant de forțe rezistente la arborele rotoric, procesul tranzitoriu electromecanic ce survine în motorul considerat este descris prin ecuațiile diferențiale (în raport cu timpul) liniare, cu coeficienți constanți :

00 0 0 0

00 0 0

d( ( ))( ( )) ( ( ))

d

d( ( ))( ) ( ( )) ,

d

a aa a a a a a af f

e af f a a L

I i tU U R I i t L L I t

t

tm t L I I i t J M

t

unde J = JM + JL reprezintă momentul de inerție al motorului și al sarcinii mecanice a acestuia, redus la arborele rotoric. Prin aplicarea transformării Laplace ecuațiilor diferențiale liniare (în domeniul timp) (2), (3), ținând seama de relațiile de regim permanent constant (1), care stabilesc și condițiile inițiale ale procesului tranzitoriu, se obține sistemul algebric în complex, având ca necunoscute imaginile Laplace ale variațiilor în timp ale intensității curentului electric rotoric și vitezei unghiulare mecanice de rotație a rotorului, funcții de variabila

complexă (Laplace) s :

0

0

( ) ( ) ( )

( ) ( ) 0.

aa a a af f

af f a

UR sL i s L I s

s

L I i s sJ s

Rezolvând sistemul algebric în complex (4) – (5), se obține :

21

(2)

(3)

(4)

(5)

2 2

0

( )( )

aa

a a af f

J Ui s

JL s JR s L I

(6)

0

2 2

0

( ) .( )

af fa

a a af f

L IUs

s JL s JR s L I

(7)

Rădăcinile ecuației caracteristice, obținute egalând cu zero numitorul soluțiilor (6) și (7),

2 2

0( ) 0,a a af fJL s JR s L I (8)

sunt :

2

0

2

1,2

4 ( )1

.2

a af f

a a

a

a

L L IR R

JRs

L

(9)

Dacă pentru motorul considerat,

2 2

04 ( ) ,a a af fJR L L I (10)

atunci, în baza aproximației, 1 1 , pentru 1,2

xx x soluțiile (9)

se rescriu în forma

2

0

1 2

( )1 1, ,

af fa

a a a em

L IRs s

L T JR T (11)

unde Ta și Tem definesc constanta de timp a circuitului electric rotoric (al indusului), respectiv constanta de timp electromecanică a motorului. Relațiile (6) și (7), reprezentând imaginile Laplace ale variațiilor în timp ale intensității curentului electric rotoric și vitezei unghiulare mecanice de rotație a rotorului, obțin aproximațiile :

2

0

1 1 1 1( ) ( ),

1 1 1 1( )( )( )

a aa

a af f em a

a em em a

U J Ui s

L L I T Ts s s sT T T T

(12)

22

0

0

( )1 1

( ) ( )

1 ( ).

1 1

af fa

a

a em

a em

a em a em a

af f

a em

L IUs

s JL s sT T

T T

U T T T T

L I s s sT T

Prin transformarea Laplace inversă, rezultă funcțiile original ale variațiilor în timp ale intensității curentului electric rotoric și vitezei unghiulare mecanice de rotație a rotorului, pentru motorul considerat, în procesul tranzitoriu datorat aplicării bruște a unei trepte de tensiune

electrică ΔUa la bornele circuitului electric rotoric (la perii) :

/ /

2

0

/ /

0

( ) (e e )( ) ( )

( ) (1 e e ).

em a

a em

t T t Taa

af f em a

t T t Ta a em

af f em a em a

J Ui t

L I T T

U T Tt

L I T T T T

Se verifică imediat condițiile inițiale nule, pentru variațiile temporale (14) și (15).

În final, rezultă evoluțiile în timp ale intensității curentului electric de conducție din circuitul electric al indusului (rotoric) și vitezei unghiulare mecanice de rotație a rotorului, la motorul de curent continuu cu colector, cu excitație separată (independentă) și cu flux magnetic de excitație invariabil în timp, în procesul tranzitoriu electromecanic

datorat aplicării bruște a unei trepte de tensiune electrică ΔUa la bornele circuitului electric rotoric (la perii) :

/ /

0 0 2

0

/ /

0 0

0

( ) ( ) (e e ),( ) ( )

( ) ( ) (1 e e ).

em a

a em

t T t Taa a a a

af f em a

t T t Ta a em

af f em a em a

J Ui t I i t I

L I T T

U T Tt t

L I T T T T

Răspunsul tranzitoriu al motorului considerat în viteză unghiulară mecanică de rotație a rotorului, la aplicarea bruscă a unei trepte de

23

(13)

(14) (15)

(16)

(17)

tensiune electrică la bornele circuitului electric rotoric (la perii), evidențiază o creștere exponențială a vitezei unghiulare mecanice de rotație a rotorului, spre valoarea finală de regim permanent

0 0( / ).a af fU L I Dimpotrivă, intensitatea curentului electric rotoric

obține, la sfârșitul procesului tranzitoriu, o valoare de regim permanent

egală cu cea inițială, 0aI , întrucât momentul cuplului rezultant de forțe

rezistente la arborele rotoric a rămas nemodificat pe toată durata procesului tranzitoriu.

B) Se consideră un motor de c.c. cu colector și cu excitație separată și constantă (în timp), alimentat la bornele circuitului electric rotoric (al indusului) de la o sursă de tensiune continuă, reglabilă ca valoare medie, reprezentată de un variator de tensiune continuă (VTC) devoltor (coborâtor de tensiune). Acesta conține un comutator electronic C, comandat cu perioada de timp constantă T (respectiv, cu frecvența de

comutație constantă, fc = 1/ T, uzual, între 500 Hz și 100 kHz, în funcție de dispozitivele electronice de putere utilizate), în cadrul căreia, pe

durata T1 de conducție a comutatorului electronic C, circuitul electric

rotoric este conectat la sursa de tensiune continuă constantă U0 , iar pe

durata T2 = T – T1 , prin blocarea comutatorului electronic C, circuitul electric rotoric este deconectat de la sursa de tensiune continuă, curentul electric prin circuitul rotoric închizându-se prin dioda de fugă (sau de regim liber) D, iar tensiunea electrică la bornele circuitului rotoric fiind egală cu zero (Fig. 1).

Fig. 1. Schema de conectare, la bornele circuitului electric rotoric al motorului de curent continuu cu colector, cu excitație separată și constantă (în timp), a unui variator de tensiune continuă (VTC)

devoltor (coborâtor de tensiune).

24

Ua0

Valoarea medie a tensiunii electrice aplicate la bornele circuitului electric rotoric (al indusului) este cea corespunzătoare unui regim permanent periodic, adică

1

0 00

1( ) ( )d ,

T

a a a a

Tu t u t t U U

T T (18)

unde α = T1/T definește factorul de umplere (sau durata relativă de conducție) specific formei de undă a tensiunii electrice, periodice dreptunghiulare, de alimentare a circuitului electric rotoric al motorului (Fig. 2). Viteza unghiulară mecanică de rotație a rotorului Ω fiind, practic, constantă pe durata perioadei T, se poate deduce forma de variație în timp a intensității curentului electric rotoric din ecuațiile diferențiale de tensiune electrică pentru fiecare etapă de funcționare din perioada T de comandă a comutatorului electronic C al VTC :

0 0 1

0 1

d ( )( ) , 0 ,

d

d ( )0 ( ) , ,

d

aa a a a af f

aa a a af f

i tU R i t L L I t T

t

i tR i t L L I T t T

t

unde If0 desemnează intensitatea, invariabilă în timp, a curentului electric din circuitul de excitație al motorului.

Fig. 2. Formele de undă ale tensiunii electrice la bornele circuitului rotoric și intensității curentului electric prin acest circuit, la alimentarea de la VTC

devoltor (coborâtor de tensiune) a motorului de curent continuu cu colector.

25

(19)

(20)

Ua0

Urmărind formele de undă din Fig. 2 și ținând seama de condițiile de continuitate și periodicitate ale intensității curentului electric rotoric,

- la t = 0 și t = T :

,min( 0) ( ) ;a a ai t i t T I (21)

- la t = T1 :

1 ,max( ) ,a ai t T I (22)

prin integrarea ecuațiilor (19) și (20), se obține variația în timp a intensității curentului electric rotoric în perioada T de comandă a comutatorului electronic C al VTC :

1 1

/ /

0 0 ,min 1

0 ( )/ ( )/

,max 1

1( ) ( )(1 e ) e , 0 ,

( ) (1 e ) e , ,

a a

a a

t T t T

a a af f a

a

af f t T T t T T

a a

a

i t U L I I t TR

L Ii t I T t T

R

unde Ta = La /Ra este constanta de timp a circuitului electric rotoric.

Din (23) și (24), pentru t = T1 și t = T, rezultă limitele de variație ale intensității curentului electric rotoric și ondulația (pulsația) acesteia :

1

1

2

/00

,max /

/0/0

,min /

1 e,

1 e

1 ee ,

1 e

a

a

a

a

a

T Taf fa

a T T

a a

T Taf fT Ta

a T T

a a

L IUI

R R

L IUI

R R

1 2/ /

0,max ,min /

(1 e )(1 e ).

1 e

a a

a

T T T T

aa a a T T

a

UI I I

R

(27)

Ondulația (pulsația) maximă a intensității curentului electric rotoric

al motorului apare, evident, la factor de umplere α = 0,5 , când T1 = T2 . Reducerea ondulației intensității curentului electric rotoric se poate obține prin înserierea în circuitul electric rotoric a unei bobine de netezire. Prin scăderea mărimii momentului cuplului de forțe rezistente (sarcinii mecanice) la arborele motorului, în forma de undă a intensității curentului electric rotoric pot apărea zone de curent electric întrerupt.

26

(23)

(24)

(25)

(26)


A) Pentru efectuarea probei de răspuns tranzitoriu în viteză unghiulară mecanică de rotație a rotorului, respectiv în curent electric rotoric, la aplicarea bruscă a unei trepte de tensiune electrică, la bornele circuitului electric al indusului (rotoric), în cazul motorului de curent continuu cu colector și cu excitație separată și invariabilă în timp, se realizează montajul experimental, conform schemei din Fig. 3.

Inițial, prin reglarea reostatului de câmp RcM, se alimentează circuitul electric statoric de excitație cu tensiune electrică nominală. Apoi, prin închiderea întreruptorului Q1, cu comutatoarele K1 și K3 deschise și

cu reostatul de pornire Rp înseriat în circuitul de alimentare a rotorului

(indusului) de la rețeaua de c.c., se aplică tensiunea constantă Ua0

la bornele înfășurării induse (rotorice), care să asigure o turație a rotorului de aproximativ valoarea turației de sincronism a generatorului sincron trifazat (GS) cuplat la arborele motorului, având rol de sarcină mecanică a acestuia.

Fig. 3. Schema de montaj experimental pentru proba de răspuns tranzitoriu

în viteză unghiulară mecanică de rotație a rotorului, respectiv în curent electric rotoric, la variații bruște ale tensiunii electrice la bornele circuitului rotoric,

în cazul motorului de c.c. cu colector, cu excitație separată și cu flux magnetic de excitație invariabil în timp.

K3

27

Se închide întreruptorul Q2 și se reglează, cu ajutorul reostatului de

câmp RcG, intensitatea curentului electric de excitație al generatorului sincron la valoarea sa nominală. Sarcina mecanică la arborele motorului se realizează conectând sarcina electrică rezistivă trifazată la bornele generatorului sincron, prin intermediul întreruptorului K2.

Prin închiderea bruscă a contactorului K3, reostatul de pornire Rp , înseriat în circuitul de alimentare a rotorului de la sursa de tensiune continuă, este scurtcircuitat, astfel încât se aplică brusc la bornele

circuitului rotoric (la perii) treapta de tensiune electrică ΔUa . Cu ajutorul osciloscopului cu memorie se înregistrează oscilogramele

(cronogramele) curentului rotoric, respectiv vitezei unghiulare mecanice de rotație a rotorului, la aplicarea bruscă a treptei de tensiune electrică

ΔUa la bornele circuitului electric rotoric.

B) Se introduce VTC devoltor în circuitul de alimentare a indusului motorului de curent continuu cu colector de la sursa de tensiune continuă, prin închiderea contactorului K2, aplicându-se, astfel, pulsuri de tensiune electrică, dreptunghiulare, de aceeași amplitudine, la bornele circuitului electric rotoric (al indusului) (Fig. 3). Se variază prin intermediul unui potențiometru, factorul de umplere al formei de undă a tensiunii electrice, periodice dreptunghiulare, de alimentare a circuitului rotoric al motorului. Cu ajutorul osciloscopului cu memorie, se înregistrează cronogramele curentului electric rotoric și tensiunii electrice la bornele circuitului rotoric. Se estimează și se compară cu rezultatele teoretice limitele de variație ale intensității curentului electric rotoric și ondulația acesteia.

Se realizează simularea dinamică în mediul MATLAB/Simulink a comportării motorului de curent continuu cu colector, cu excitație separată și cu flux magnetic de excitație constant (în timp), în timpul procesului tranzitoriu electromecanic datorat variației bruște a tensiunii electrice la bornele circuitului electric rotoric, utilizându-se, în acest scop, bibliotecile : Simulink Library Browser, Simulink (cu categoriile Sources, Sinks, Signal Routine) și SimPowerSystems (cu categoriile Machines, Measurements, Electrical Sources, Power Electronics, Elements).

În Fig. 4, este prezentat un exemplu de realizare a simulării dinamice, în mediul MATLAB/Simulink, a comportării motorului de curent continuu cu colector, cu excitație separată și cu flux magnetic de excitație invariabil în timp, în timpul procesului tranzitoriu electromecanic datorat variației bruște a tensiunii electrice la bornele circuitului electric rotoric.

28

Fig. 4. Exemplu de implementare în mediul MATLAB/Simulink a modelului dinamic al motorului de curent continuu cu colector, cu excitație separată

și cu flux magnetic de excitație invariabil în timp, pe durata procesului tranzitoriu electromecanic datorat variației bruște a tensiunii electrice

la bornele circuitului electric rotoric.

În Fig. 5, este prezentat un exemplu de realizare a simulării dinamice pentru vizualizarea formelor de undă ale curentului electric rotoric și tensiunii electrice la bornele circuitului electric rotoric, la aplicarea unor pulsuri de tensiune electrică, periodice dreptunghiulare, de aceeași amplitudine, la bornele circuitului electric al indusului (rotoric).

Fig. 5. Exemplu de implementare în mediul MATLAB/Simulink a modelului dinamic al motorului de curent continuu cu colector, cu excitație separată și cu flux magnetic de excitație invariabil în timp, la aplicarea unor pulsuri de tensiune electrică, periodice dreptunghiulare, de aceeași amplitudine,

la bornele circuitului electric rotoric.

29

Concluzii

Răspunsul tranzitoriu, atât în curent electric rotoric, cât şi în viteză unghiulară mecanică de rotație (turaţie) rotorică, al motorului de curent continuu cu colector, cu excitație separată și flux de excitaţie invariabil în timp, la variații bruște ale tensiunii electrice aplicate la bornele circuitului rotoric, este stabil și

aperiodic, dacă Tem ≥ 4Ta , fiind caracterizat de două constante de timp T1 ≤ Tem și T2 ≥ Ta (cazul motorului de curent continuu cu colector și cu excitație separată și invariabilă în timp, considerat în această lucrare practică de laborator), respectiv

oscilatoriu amortizat, dacă Tem < 4Ta (cazul servomotoarelor de curent continuu cu colector şi cu inerţie redusă), constanta de timp de amortizare a oscilaţiilor pseudoarmonice fiind egală cu 2Ta . Bibliografie

1. S.A. Nasar, I. Boldea, Electric machines : dynamics and control, CRC Press, Inc., Boca Raton, USA, 1993, pp. 193 – 199, 211 – 214.


30

LPL 4: Determinarea parametrilor modelului dinamic al motorului de curent continuu cu colector și cu excitație separată pe baza probei de răspuns tranzitoriu la semnal treaptă (Metoda Pasek)

Scopul lucrării

Scopul lucrării practice de laborator – LPL 4 este determinarea parametrilor modelului dinamic liniar (de ordinul doi) al motorului de c.c. cu colector, cu excitație separată și cu flux magnetic inductor (de excitație) invariabil în timp:

rezistența electrică echivalentă a circuitului electric rotoric

(al indusului), Ra [Ω];

inductanța totală proprie a circuitului electric rotoric , La [H];

constanta t.e.m. induse în înfășurarea rotorică, egală cu constanta momentului cuplului de forțe electromagnetice dezvoltat de motor, K [V·s/rad] sau [Nm/A];

momentul de inerție al (rotorului) motorului (în raport cu axa de

rotație a arborelui motorului), JM [kg·m2]; pe baza răspunsului tranzitoriu în curent electric rotoric la aplicarea bruscă a unei trepte de tensiune electrică la bornele circuitului electric rotoric (la perii) al motorului, aflat într-un regim permanent constant de mers în gol. Această metodă de determinare a parametrilor modelului dinamic liniar al motorului de c.c. cu colector și cu excitație separată a fost propusă de Z. Pasek [1], fiind ulterior preluată și dezvoltată în lucrările [2 – 5]. Considerații teoretice

Modelul dinamic liniar al motorului de c.c. cu colector și cu excitație separată (ce creează un flux magnetic constant în timp), aflat în regim permanent constant de mers în gol, este descris prin ecuațiile diferențiale de tensiune electrică a circuitului electric rotoric și de mișcare de rotație a arborelui motorului:

(1)

(2)

31

d ( )( ) ( ) ( ),

d

d ( )( ) ( ) ,

d

aa a a a

e a M L

i tu t R i t L K t

t

tm t Ki t J M

t

unde ua(t) și ia(t) reprezintă tensiunea electrică instantanee aplicată la bornele circuitului electric rotoric (la perii), respectiv valoarea instantanee a intensității curentului electric (de conducție) din circuitul electric rotoric; Ω(t) definește viteza unghiulară mecanică (de rotație)

instantanee a rotorului și a arborelui motorului, me(t) desemnează valoarea instantanee a momentului cuplului de forțe electromagnetice

dezvoltat de motor, iar ML reprezintă momentul rezultant, considerat constant (în timp), al cuplurilor de forțe rezistente corespunzătoare frecărilor coulombiene interne ale motorului și pierderilor în fierul rotoric. În ecuațiile diferențiale liniare (1) și (2), s-au considerat neglijabile efectele reacției magnetice a indusului, căderea de tensiune la perii, saturația circuitului magnetic al motorului, precum și cuplul de forțe rezistente corespunzător frecărilor vâscoase ale motorului. Se admite, în continuare, că motorul de c.c. cu colector, cu excitație separată și cu flux magnetic inductor constant în timp, se află inițial într-un regim permanent constant de mers în gol, caracterizat prin ecuația de tensiune electrică a circuitului electric rotoric:

(3)

dedusă din (1), în condițiile regimului permanent constant de funcționare a motorului.

Aplicarea bruscă a unei trepte de tensiune electrică ΔUa = Ua1 – Ua0 la bornele circuitului electric rotoric (la perii), este însoțită de un proces tranzitoriu electromecanic, la sfârșitul căruia motorul se va afla într-un nou regim (final) permanent constant de mers în gol, caracterizat prin ecuația de tensiune electrică a circuitului electric rotoric:

(4)

Dacă se măsoară valorile mărimilor Ua0 , Ua1 , Ia0 , Ia1 , Ω0 și Ω1 , cu ajutorul relațiilor (3) și (4) se pot determina, succesiv, constanta din expresiile t.e.m. induse în înfășurarea rotorică și momentului cuplului de forțe electromagnetice dezvoltat de motor, K și rezistența electrică

echivalentă a circuitului electric rotoric, Ra :

(5)

32

0 0 0 ,a a aU R I K

1 1 1.a a aU R I K

1 0 1 0 1 0 1 0

1 0 1 0 1 0

( / ) ( ) ( ), .

( / )

a a a a a aa

a a a a

U U I I U U KK R

I I I I

Variațiile în timp ale intensității curentului electric rotoric Δia(t) și vitezei unghiulare mecanice (de rotație) a rotorului ΔΩ(t), în procesul

tranzitoriu survenit la aplicarea treptei de tensiune electrică ΔUa la bornele circuitului electric rotoric (la perii), rezultă, conform (1) și (2), ca soluții ale sistemului de ecuații diferențiale liniare:

(6)

(7)

Utilizând transformarea Laplace a ecuațiilor diferențiale în variații (6) și (7), cu condiții inițiale nule, se obține funcția de transfer corespunzătoare variației intensității curentului electric rotoric tranzitoriu:

2 2

( ) ( ) 1 ,

( ) / 1

a a M

a a a em em

i s i s sJ

u s U s K s T T sT

(8)

unde s-au introdus notațiile: s , pentru variabila complexă Laplace (în

domeniul frecvență), Ta , pentru constanta de timp a circuitului electric

rotoric și Tem , pentru constanta de timp electromecanică a motorului,

2 , .a M a

a em

a

L J RT T

R K (9)

Aplicând transformata Laplace inversă funcției complexe ( ),ai s

definită în relația (8), rezultă expresia variației temporale a intensității curentului electric rotoric în procesul tranzitoriu datorat aplicării bruște

a treptei de tensiune electrică ΔUa la bornele circuitului electric rotoric:

(10)

unde 1,2

2 , 1 4 / 1 4 / , / ,

1

aa em em a

TT a T T T T

a

(11)

reprezintă constantele de timp tranzitorii asociate polilor s1,2 = – 1/T1,2 ai funcției de transfer definite prin relația (8).

33

1 0

d( ( ))( ) ( ),

d

d( ( ))( ) .

d

aa a a a a a

a M

i tU U U R i t L K t

t

tK i t J

t

2 1/ /

2

2 1

1( ) [ (e e )],

t T t TM aa

J Ui t

K T T

Fig. 1. Cronograma răspunsului tranzitoriu în curent electric rotoric al unui motor de c.c. cu colector și cu excitație separată și constantă,

la aplicarea bruscă a unei trepte de tensiune electrică la bornele circuitului electric rotoric al motorului,

aflat inițial într-un regim permanent constant de mers în gol.

În Fig. 1, este reprezentată caracteristica (cronograma) răspunsului tranzitoriu în curent electric rotoric al unui motor de c.c. cu colector, cu excitație separată și cu flux magnetic inductor constant în timp, la aplicarea bruscă a unei trepte de tensiune electrică la bornele circuitului electric rotoric (la perii) al motorului, aflat inițial într-un regim permanent constant de mers în gol. Timpul t* după care se atinge maximul variației intensității

curentului electric rotoric Δia(t) (Fig. 1), în procesul tranzitoriu provocat

de aplicarea bruscă a treptei de tensiune electrică ΔUa la bornele circuitului electric rotoric (la perii), se determină din condiția:

(12)

34

2 1

2 1

/ /

*2

* 2 1

/ /

2 1 *2

2 1

d ( ) d 1 [ (e e )]

d d

[( / )e ( / )e )] 0.( )

t T t Ta M at t

t t

t T t TM at t

i t J U

t t K T T

J Ut T t T

K T T

Rezultă, astfel,

1

* ln( ) ,1

aT at

a a

(13)

care, în baza relației (11), se poate transcrie în dependența funcțională

1 1

*/ ln( ) ( ) ( ).1

a

at T f a F

a a

(14)

Se arată, în continuare, că și raportul Δia(2t*)/ Δia(t*), definit

în Fig. 1, este egal cu raportul Δia(t*)/(ΔUa/Ra) și că ambele rapoarte

se pot exprima în funcție de același parametru λ = Tem/Ta . Într-adevăr,

respectiv,

2 1

2 1

*/ */

*/ */2

2 1

2 1

(e e )( *) (e e )( )

( / ) ( / )

t T t TM a

t T t T

a em

a a a a

J U

i t TK T T

U R U R T T

35

2 1

2 1

2 1 2 1

2 1

2 1

2 */ 2 */

2

2 1

*/ */

2

2 1

*/ */ */ */*/ */

*/ */

2 1(e e )ln( )

(2 *) ( )1

1( *)(e e )ln( )

( )1

(e e )(e e )(e e )

(e e )

(e

t T t TM aaa

a

t T t TM aaaa

t T t T t T t Tt T t T

t T t T

J UT ai

i t K T Ta a

J UT ai ti

K T Ta a

2 1

2 1

1 1( / ) ln( ) ( / ) ln( )

/ /1 1

1 1 1 1 1

2 2 2 2 2

1 1

2

1 1e ) ( ) ( )

1 1

1 1 1 1( ) ( ) ( ) ( ) 11 1 1 1

1 1 2 1( ) ( ) 1 ( )1 1 1 1

a aa a

a aT aT T aT

T aT T aTa a

a a a a a

a a a a a

a

a

a a

a a

a a a a

a a a a

a a a

a a a a

2 ( ) ( ) ,a

a g a G

(15)

1 1 12

2 2 2 2

1

2

1 1 (1 ) 2 1(1 ) ( ) ( ) ( )

4 1 1 4 1 1

2 1( ) ( ) ( ).

1 1

a a a

em a a a

a

a

a

T a a a a aa

aT a a a a a

ag a G

a a

Relațiile (14) și (16) permit trasarea nomogramelor din Fig. 2, prin care sunt reprezentate grafic dependențele funcționale F(λ) și, respectiv, G(λ).

Fig. 2. Nomograme pentru dependențele funcționale ale rapoartelor t*/Ta

și Δia(t*)/ (ΔUa/Ra) de parametrul λ = Tem/Ta (după [3]).

36

t*/Ta

F(λ)

Δia(t*)

(ΔUa/Ra) G(λ)

λ = Tem/Ta

λ = Tem/Ta

(16)

Fig. 3. Schema de montaj experimental pentru proba de răspuns tranzitoriu în curent rotoric la aplicarea bruscă a unei trepte de tensiune electrică

la bornele circuitului rotoric al motorului de c.c. cu colector și cu excitație separată.


Pentru efectuarea probei de răspuns tranzitoriu în curent rotoric la aplicarea bruscă a unei trepte de tensiune electrică la bornele circuitului rotoric al motorului de c.c. cu colector și cu excitație separată, se realizează montajul experimental, conform schemei din Fig. 3. Se alimentează circuitul electric statoric de excitație în tensiune continuă de la un generator de c.c. cu excitație în derivație sau

de la un redresor în punte trifazată. Cu ajutorul reostatului de câmp Rc ,

37

se reglează intensitatea curentului electric de excitație al motorului la valoarea sa nominală. Prin închiderea întreruptorului Q , cu comutatorul K deschis și

cu reostatul de pornire Rp înseriat în circuitul de alimentare a rotorului

(indusului) de la rețeaua de c.c., se aplică tensiunea constantă Ua0

(reprezentând nu mai mult de 40% din tensiunea electrică rotorică nominală a motorului) la bornele înfășurării induse (rotorice).

Se măsoară valorile (constante) tensiunii electrice rotorice Ua0 [V],

intensității curentului electric continuu Ia0 [A] și vitezei unghiulare

mecanice rotorice Ω0 [rad/s] ale motorului, aflat în regim permanent

constant de mers în gol sub tensiunea electrică Ua0 la bornele înfășurării rotorice (la perii).

Prin închiderea bruscă a contactorului K, reostatul de pornire Rp , înseriat în circuitul de alimentare a rotorului de la rețeaua electrică de c.c., este scurtcircuitat, astfel încât se aplică brusc la bornele circuitului rotoric

(la perii) treapta de tensiune electrică, ΔUa = Ua1 – Ua0 (tensiunea

constantă Ua1 reprezentând nu mai mult de 50% din tensiunea electrică rotorică nominală a motorului).

Cu ajutorul osciloscopului cu memorie, se înregistrează cronograma răspunsului tranzitoriu în curent electric rotoric al

motorului, la aplicarea bruscă a treptei de tensiune electrică ΔUa la bornele circuitului electric rotoric. Pe baza acestei cronograme (având

alura celei din Fig. 1) se obțin valorile t*, Δia(t*), Δia(2t*) și, apoi, se

determină valoarea numerică a raportului Δia(2t*)/ Δia(t*). După stingerea procesului tranzitoriu electromecanic, se măsoară

valorile (constante) tensiunii electrice rotorice Ua1 [V], intensității

curentului electric continuu Ia1 [A] și vitezei unghiulare mecanice rotorice

Ω1 [rad/s] ale motorului, aflat în regim permanent constant de mers în gol

sub tensiunea electrică Ua1 la bornele înfășurării rotorice. În baza relațiilor (5), se determină constanta t.e.m. induse în

înfășurarea rotorică și a momentului cuplului de forțe electromagnetice dezvoltat de motor, K și rezistența electrică echivalentă a circuitului

electric rotoric, Ra .

Odată determinată valoarea numerică a raportului Δia(2t*)/ Δia(t*), cu ajutorul nomogramei G(λ) din Fig. 2, se obține valoarea parametrului

38

λ = Tem/Ta , care permite găsirea, cu ajutorul nomogramei F(λ) din Fig. 2,

a valorii corespunzătoare a raportului t*/Ta și, apoi, determinarea

succesivă a constantei de timp a circuitului electric rotoric, Ta și

a constantei de timp electromecanice a motorului, Tem .

Din expresiile celor două constante de timp, Ta = La/ Ra , respectiv

Tem = JM Ra / K2, în care valorile parametrilor K și Ra au fost determinate anterior, se obțin, în final, valorile inductanței totale proprii a circuitului

electric rotoric, La [H] și momentului de inerție al (rotorului) motorului,

JM [kg·m2].

Concluzii

Metoda Pasek de determinare a parametrilor modelului dinamic liniar (de ordinul doi) al motorului de c.c. cu colector, cu excitație separată și cu flux magnetic inductor constant în timp

- necesită obținerea experimentală a răspunsului tranzitoriu în curent electric rotoric la aplicarea bruscă a unei trepte de tensiune electrică la bornele circuitului electric rotoric (la perii) al motorului, aflat inițial într-un regim permanent constant de mers în gol;

- se bazează pe egalitatea Δia(2t*)/Δia(t*) = Δia(t*)/(ΔUa/Ra) și pe dependența funcțională a acestor rapoarte și a mărimii adimensionale

t*/Ta de parametrul λ=Tem/Ta , ceea ce permite trasarea și utilizarea nomogramelor G(λ) și, respectiv, F(λ) din Fig. 2;

- se poate aplica și în cazul considerării cuplului de forțe rezistente datorate frecărilor vâscoase interne ale motorului [2, 5];

- datorită simplității procedurii sale experimentale, se pretează identificării on-line a parametrilor dinamici ai motoarelor de c.c. cu colector și cu excitație separată și constantă, în schemele de reglare a acestora.

Bibliografie

1. Z. Pasek, Determinarea parametrilor dinamici ai motoarelor de curent continuu (în limba cehă), Elektrotechnický Obzor, Vol. 51 (1962), pp. 109-114.

2. W. Lord, J.H. Hwang, DC servomotors – Modeling and parameter determination, IEEE Transactions on Industry Applications, Vol. 13 (1977), pp. 234-243.

39

3. D. Stoia, Motoare de curent continuu excitate cu magneți permanenți, Editura tehnică, București, 1983, pp. 127-134.

4. J. Louis et al., Commande des machines à courant continu à vitesse variable, Traité Génie Electrique, Fasc. D 3610, Editions Techniques de l’Ingénieur, Paris, 1998.

5. M. Hadef, M.-H. Mekideche, Moments and Pasek’s methods for parameter identification of a DC motor, Journal of Zhejiang University – Science C (Computers & Electronics), Vol. 12 (2011), pp. 124-131.

40

regimurile permanente de funcționare a mașinilor electrice ... · convertoare electronice de...

Documents