sisteme de ecuatii diferentiale

7/24/2019 Sisteme de Ecuatii Diferentiale

1/10

Capitolul 12

Sisteme de ecuatii

diferentiale.

12.1 Sisteme liniare cu coeficienti constanti.

In acest paragraf von studia ecuatiile:

dY

dx =F(Y), (12.1)

undeF : Rn Rn

este de forma:F(Y) =AY +B

unde

Y =Y(x) =

y1(x)y2(x)

...yn(x)

, B = B (x) =

b1(x)b2(x)

...bn(x)

,

A=

a11 a12...a1na21 a22...a2n

... ...

...

an1 an2...ann

,

aij, i= 1, 2,...,n; j = 1, 2,...,n, constante reale.Explicit vom avea:

y1= a11y1+a12y2+. . .+a1nyn+b1(x)y2= a21y1+a22y2+. . .+a2nyn+b2(x)...

... ...

... ...

...yn= an1y1+an2y2+. . .+annyn+bn(x)

(12.2)

259


2/10

260 CAPITOLUL 12. SISTEME DE ECUATII DIFERENTIALE.

Este vorba deci, de sisteme liniare cu coeficienti constanti.

Sistemul (12.1) sau (12.2) se numeste sistem liniar omogen daca B = 0

sau b1(x) = b2(x) = . . . bn(x) = 0. In cazul cand exista cel putin un indicej = 1, 2, . . . , npentru care bj = 0 vom spune ca istemul este liniar neomogen.

Problema Cauchy atasata sistemului liniar cere determinarea solutiei unicecare verifica conditia:

Y(x0) =

y1(x0)y2(x0)...yn(x0)

=Y0 (12.3)

12.1.1 Determinarea solutiilor sinstemului liniar omogen.

Fie sistemul liniar si omogen:

dY

dx =AY , (12.4)

sau explicit:

y1= a11y1+a12y2+. . .+a1nyny2= a21y1+a22y2+. . .+a2nyn...

... ...

... ...

yn= an1y1+an2y2+. . .+annyn

(12.5)

Vom cauta solutii de forma:

Y(x) =exC,

undeCeste un vector coloana cu n componente constante, fie acesteac1, c2, . . . cn,iar un parametru . Cum dY

dx =exC, nlocuind n (12.4), vom avea:

(AIn)Cex = 0, (12.6)

cu In matricea unitate de ordin n. Prin urmare vom avea sistemul:

(AIn)C= 0

adica

(a11)c1+a12c2+. . .+a1ncn= 0a21c1+ (a22)c2+. . .+a2ncn= 0...

... ...

... ...

an1c1+an2c2+. . .+ (ann)cn= 0

(12.7)


3/10

12.1. SISTEME LINIARE CU COEFICIENTI CONSTANTI. 261

Sistemul admite solutia nula(c1 = c2 = . . . = cn = 0), solutia banala, pentruorice . Cum aceasta nu este interesanta, vom cauta solutii diferite de cea

banala. Conditia de existenta a solutiilor nebanale este:

det(AIn) = 0, (12.8)

care, prin dezvoltare conduce la polinomul de grad n:

Pn() =n +1

n1 +. . . n= 0 (12.9)

numit polinomul caracteristic al sistemului. Pentru o radacina j a polino-mului caracteristic vom obtine o solutieCj din sistemul (12.7). Solutiile j senumesc valori proprii iar vectorii corespunzatori Cj vectori proprii.

Prin urmare solutiaYj formata cu valoarea proprie j si vectorului propriu

Cj esteYj =Cje

jx,

care se mai numeste solutie fundamentala. Prin determinarea a n solutiiYj j = 1, 2, . . . , n vom spune ca solutia generala a ecuatiei (12.4) sau (12.5)este o combinatie lineara de solutii fundamentale Yj

Y(x) =C1Y1(x) +C2Y2(x) +. . .+CnYn(x), (12.10)

unde C1, C2, . . . , Cn sunt n constante reale.Exemplu

y1= y1+y2y2= 2y1+ 4y2

Valorile proprii asociate matricei: 1 12 4

sunt 1= 2 si 2= 3Vectorii proprii corespunzatori sunt:

C1=

11

si C2=

12

obtinem solutiile particulare ale sistemului dat:

Y1= e2x

11

si Y2= e

3x

12

Solutia generala a sistemului considerat este:

Yo(x) =C1e2x

11

+C2e

3x

12


4/10


sau explicit:

y1= C1e2x +C2e3xy2= C1e2x + 2C2e3x

12.1.2 Determinarea solutiilor sinstemului liniar neomogen.

Metoda variatiei constantelor.

Fie, din nou, sistemul liniar neomogen:

dY

dx =AY +B (12.11)

si fie sistemul liniar omogen asociat:

dY

dx =AY (12.12)

Teorema 1. DacaYp este o solutie particulara a ecuatiei (12.11), atunci oricesolutieYa ei este de formaY =Yp+Yo, undeYoeste solutie a ecuatiei (12.12)Daca nlocuim n (12.11) pe Y =Yp+Yo, obtinem: Y =Y p+Y

o =A(x)(Yp+Yo) +B(x), cum Y

p = A(x)Yp + B (x), rezulta Y

o = A(x)Yo. Invers dacaY o =A(x)Yo, atunci Y =Yp+Yo, cu Yp solutie particulara, solutie a ecuatiei(12.11).Teorema 2. Daca {Y01, Y

02, . . . , Y

0n } este un sistem fundamental de solutii

pentru sistemul (12.12), deci solutia generala a acestui sistem este:

Yo=

nj=1

CjYoj ,

exista functiile C1(x), C2(x), . . . , Cn(x) astfel ncat:

Yp =n

j=1

Cj(x)Yoj(x)

este solutie particulara a sistemului neomogen (12.11) Punand conditia ca Yp sa verifice ecuatia (12.11), obtinem:

nj=1

Cj(x)Yoj (x) +

nj=1

Cj(x)dYoj(x)

dx =A

nj=1

Cj(x)Yoj(x) +B(x)

deci:n

j=1

Cj(x)Yoj(x) +

nj=1

Cj(x)[dYoj(x)

dx AYoj] =B (x)


5/10


de unde, daca folosim faptul caYoj sunt solutii ale sistemului omogen (12.12),deci:

dYoj(x)dx

AYoj = 0 ()j = 1, 2, . . . , n

obtinem:n

j=1

Cj(x)Yoj(x) =B (x),

cu

Yoj =

yoj1yoj2

...

y

o

jn

In mod explicit avem sistemul liniar si neomogen:

C1yo11+C

2yo21+. . .+C

nyon1= b1

C1yo12+C

2yo22+. . .+C

nyon2= b2

... ...

... ...

...C1y

o1n+C

2yo2n+. . .+C

nyonn= bn,

al carui determinant:

yo11 yo21 . . . y

on1

yo12 yo22 . . . y

on2

... ...

...yo1n y

o2n . . . y

onn

este = 0 deoarece {Yo1, Yo2, . . . , Y

on } este un sistem fundamental de solutii al

sistemului omogen.Exemplu:Sa consideram sistemul:

y1= y1+y2+e

x

y2= y1+y2+ 2ex

Sistemului omogen asociat: y1 = y1+y2y2 = y1+y2

i corespunde matricea:

A=

1 11 1


6/10


ce are drept polinom caracteristic

P2() =( 2)

Pentru = 0 vom avea vectorii proprii de forma

, iar pentru = 2

vom avea vectorii proprii de forma

obtinem sistemul fundamental de

solutii pentru sistemul omogen corespunzator

{Yo1 =

11

, Yo2 =

11

e2x}

deci solutia generala a sistemului omogen este:

Yo= C1Yo

1 +C2Yo

2 =C1 1

1

+C2 1

1

e

2x

Cautand solutie particulara de forma:

Yp= C1(x)Yo1 +C2(x)Y

o2

obtinem:

C1(x)

11

+C2(x)

11

e2x =

ex

2ex

adica C1(x) +C

2(x)e2x =ex

C1(x) +C

2(x)e2x = 2ex

Solutiile acestui din urma sistem sunt:

C1(x) =1

2ex si C2(x) =

3

2e3x,

deci

C1(x) =1

2ex si C2(x) =

1

2e3x,

si atunci:

Yp=1

2ex

11

1

2ex

11

=ex

01

.

Solutia generala a sistemului dat este:

Y =Yo+Yp+C1 1

1

+C2e2x 1

1

+ex 0

1

.

Pe componente vom avea: y1= C1+C2e

2x

y2= C1+C2e2x ex

cuC1 C2 constante reale.


7/10


12.1.3 Sisteme si ecuatii liniare.

Vom considera ecuatia diferentiala de ordin n scrisa sub forma normala:

y(n) =F(x, y , y, y, . . . , y(n1)) (12.13)

Propozitia 1:

Ecuatia y(n) = F(x, y , y, y, . . . , y(n1)) este echivalenta cu sistemul de necuatii de ordinul ntai

y1= y2y2= y3...

yn= F(x, y1, y2, . . . , yn)

(12.14)

unde y1 = y n sensul urmator: daca y = y1 este solutie a ecuatiei (12.13)atunci

Y(x) =

y1y2...yn

=

y

y

...

y(n1)

este solutie a sistemului (12.14) si reciproc.Observatie:Aceasta echivalenta se pastreaza si n cazul problemei Cauchy:

Conditiile initiale:y(x0) =y00, y

(x0) =y10, . . . , y(n1)(x0) =yn10

sunt ndeplinite daca si numai daca:

Y(x0) =

y1(x0)y2(x0)...yn(x0)

=

y00y10...yn0

Vom studia n continuare cazul particular al ecuatiilor (12.13) de forma:

F(x, y , y, y, . . . , y(n1)) =a1y(n1) a2y(n

2) . . .any+f(x) (12.15)

unde a1, a2, . . . , an Riar f(x) o functie continua, deci a ecuatiilor de forma:

y(n) +a1y(n1) +a2y

(n2) +. . .+an1y +any = f(x) (12.16)

Dacaf(x) = 0 ecuatia se numeste omogena, dacaf(x)= 0 ecuatia se numesteneomogena.


8/10


vom folosi uneori operatorul diferential L definit prin:

L(y) =y(n) +a1y(n1) +. . .+any= d

nydxn

+a1 dn

1ydxn1

+. . .+any (12.17)

si atunci ecuatia considerata poate fi pusa sub forma:

L(y) =f(x)

Propozitia 2:EcuatiaLy= 0 este echivalenta cu sistemul de n ecuatii de ordinul ntai

y1= y2y2= y3

...yn1= ynyn= a1y1a2y2a3y3. . . anyn

(12.18)

Prin urmare matricea sistemului este:

A=

0 1 0 . . . 0 00 0 1 . . . 0 0...

... ... . . .

... ...

0 0 0 . . . 01anan1an2. . . a2a1

Propozitia 3:Fie ecuatia liniara si omogena

y(n) +a1y(n1) +. . .+any= 0

si fie sistemul echivalent:dY

dx =AY

atunci polinomul caracteristic asociat matricei A coincide cu polinomul carac-teristic al ecuatiei liniare Ly= 0Intradevar dezvoltand det(AI

n) = 0 dupa ultima linie obtinem:

Pn() = det(AIn) =n +a1

n1 +. . .+an.

Propozitia 3:Un sistem liniar de n ecuatii de ordinul unu neomogen:

dY

dx =AY +B, A Mn(R), B Mn1(R) (12.19)


9/10


este echivalent cu o ecuatie liniara de ordinul n:

L(y) =f(x), f C(R) (12.20)

Demonstratie: Sa notam cu D matricea asociata operatorului de derivare:

DY =

ddx

0 0 . . . 0

0 ddx

0 . . . 0...

... ...

...

0 0 0 . . . ddx

y1y2...yn

=

y1y2...yn

Egalitatea (12.19)devine atunci:

(DA)Y =B ()Y

Rezolvand formal acest sistem obtinem relatiile:

det(DA)yi= det Ci,

unde Ci este matricea ce se obtine nlocuind n matricea D A coloana i cuvectorul coloana B. Rezultatul va fi o ecuatie diferentiala liniara de ordinul nn yi.Exemple:1) Fie sistemul:

y1= y2y2= y1

A=

0 11 0

; DA=

ddx

11 d

dx

Sistemul este echivalent cu:ddx

11 d

dx

y1 = 0 adica y1+y1= 0Solutiile sistemului sunt:

y1= C1cos x+C2sin xy2= C1sin x+C2cos x

2) Pentru sistemul y1 = y1+y2y2 = y1+y2+ 16x

A=

1 11 1

; DA=

ddx

1 11 d

dx 1


10/10


Sistemul este echivalent cu:

ddx 1 1

1 ddx

1

y1 = 0 116x ddx

1

adica y1 2y1= 16xsau cu:

ddx

1 11 d

dx1

y2=

ddx

1 01 16x

adica y22y2= 16 16xObservatie: Se poate ajunge la aceleasi rezultate daca vom folosi metoda

substitutiei care consta n eliminarea pe rand a necunoscutelor, ajungand ncele din urma la o ecuatie diferentiala de ordin n.Astfel din exemplul 2) din prima ecuatie avem

y2= y

1y1 iar y

2 = y

1 y

1

Inlocuind y2 si y

2 n a doua ecuatie ne va da:

y1 y

1= y1+y

1y1+ 16xsau y

1 2y

1= 16x

La fel scotand din a doua ecuatie pe y1 avem

y1= y

2y216x iar y

1= y

2y

216

Inlocuind y1 si y

1 n prima ecuatie ne va da:

y2 y

216 =y2+y

2y216xsau y

2 2y

2= 16 16x

Prin urmare rezultate identice.

sisteme de ecuatii diferentiale

Documents