carmen bolosteanu - analiza a - ecuatii diferentiale

Upload: georgeichim

Post on 06-Apr-2018

259 views

Category:

Documents


5 download

TRANSCRIPT

  • 8/3/2019 Carmen Bolosteanu - Analiza a - Ecuatii Diferentiale

    1/60

    Capitolul 1

    Ecuatii diferentiale

    1.1 Ecuatii diferentiale cu variabile separa-bile

    Aceste ecuatii sunt de forma y = f(x, y), unde

    f(x, y) = a(x)

    b(y)

    si functiile a si b sunt definte si continue pe I, J R. Din relatiay = a(x) b(y) rezulta

    y

    b(y)= a(x), b(y) = 0. (1.1)

    Solutia generala se obtine prin integrarea celor doi membri aiegalitatii (1.1):

    dy

    b(y)=

    a(x) dx + C.

    Exemplul 1.1 Sa se rezolve urmatoarea ecuatie diferentiala cuvariabile separabile:

    y + 1 dx +

    x + 1 dy = 0.

    1

  • 8/3/2019 Carmen Bolosteanu - Analiza a - Ecuatii Diferentiale

    2/60

    Rezolvare. Separand variabilele, avem

    dyy + 1

    = dxx + 1

    .

    Prin integrarea celor doi membri, obtinem solutia generala

    y + 1 +

    x + 1 = C, C > 0.

    Exemplul 1.2 Sa se determine functia Q = f(P) daca elastici-tatea = k, unde k este o constanta.Rezolvare. Avem

    =dQ

    dP P

    Q= k dQ

    dP= kQ

    P.

    Separand variabilele, obtinem:

    dQ

    Q= k dP

    P;

    ln Q = k ln P + C = k ln P + ln C1;Q = C1P

    k.

    1.2 Ecuatii diferentiale omogene

    Sunt ecuatii care pot fi aduse la forma

    y = fy

    x

    . (1.2)

    Pentru rezolvarea acestor ecuatii se face schimbarea de functie

    y(x) = x z(x);y

    (x) = z(x) + x z

    (x).

    Se nlocuiesc valorile lui y si ale lui y n ecuatia (1.2) si se obtine

    z(x) + xz(x) = f(z).

    2

  • 8/3/2019 Carmen Bolosteanu - Analiza a - Ecuatii Diferentiale

    3/60

    De aici rezulta ecuatia diferentiala cu variabile separabile

    z =f(z) z

    x.

    Exemplul 1.3 Sa se rezolve urmatoarea ecuatie diferentiala omo-gena:

    y =y xy + x

    .

    Rezolvare. Se face substitutia y = xz si avem y = xz+z. Ecuatiadevine:

    z dz

    z2 + 1+

    dz

    z2 + 1= dx

    x.

    Prin integrare, obtinem

    1

    2ln(z2 + 1) + arctg z = ln |x|.

    Solutia generala a ecuatiei este

    ln

    y2 + x2 + arctg

    y

    x= C.

    1.3 Ecuatii diferentiale liniare de ordinul ntai

    Sunt ecuatii de forma

    y + P(x) y = Q(x), (1.3)

    unde P si Q sunt functii continue pe I R. Solutia generala aecuatiei (1.3) este

    y(x) = e P(x) dxC + Q(x) eP(x) dx dx , C R.

    Exemplul 1.4 Sa se determine solutia generala a urmatoarei ecuatiidiferentiale liniare:

    y + 2xy = ex2

    .

    3

  • 8/3/2019 Carmen Bolosteanu - Analiza a - Ecuatii Diferentiale

    4/60

    Rezolvare. Avem P(x) = 2x si Q(x) = ex2

    . Aplicand formula derezolvare a acestui tip de ecuatie, obtinem

    y(x) = e 2xdx

    C +

    ex

    2 e 2xdx dx

    =

    = ex2

    C +

    ex

    2 ex2 dx

    =

    = ex2

    C + dx = ex2

    (C + x).

    1.4 Ecuatii de tip Bernoulli

    Sunt ecuatii de forma

    y + P(x) y = Q(x) y, = 0 si = 1.

    P si Q sunt functii continue pe un interval [a, b]. Se mparteecuatia data prin y si se obtine ecuatia

    y

    y + P(x) 1

    y1 = Q(x).

    Se face schimbarea de functie u = y1 si se obtine

    u = (1 ) y y.

    Ecuatia devine

    u + (1 ) P(x) u = (1 ) Q(x),

    care este ecuatie liniara si neomogena.

    Exemplul 1.5 Sa se rezolve ecuatia Bernoulli:

    xy + y = x2y2; y(1) = 1; x > 0.

    4

  • 8/3/2019 Carmen Bolosteanu - Analiza a - Ecuatii Diferentiale

    5/60

    Rezolvare. Avem = 2. Se face substitutia z = y1 si atunciecuatia devine:

    z 1x

    z = x.Aceasta ecuatie este liniara. Notam

    P(x) = 1x

    ,

    Q(x) = x.

    Aplicand formula de rezolvare, obtinem

    z(x) = e1

    xdx

    C +

    x e 1x dx dx

    =

    = eln x

    C +

    x 1

    xdx

    = Cx + x2.

    Solutia generala este y = (Cx + x2)1. Avem de determinat con-stanta C, astfel ncat y(1) = 1.

    Din y(1) =1

    C+ 1

    = 1 rezulta C = 0 si solutia problemei

    Cauchy atasate ecuatiei date este y = x2.

    5

  • 8/3/2019 Carmen Bolosteanu - Analiza a - Ecuatii Diferentiale

    6/60

    Capitolul 2

    Elemente de teoriaprobabilitatilor

    Teoria probabilitatilor este o teorie matematica deductiva, carestudiaza fenomenele aleatoare de masa. Aceste fenomene au pro-prietatea de stabilitate a frecventei aparitiei lor n conditii identice.

    2.1 Camp de evenimente

    Definitia 2.1 Se numeste experiment (experienta) o operatierepetabila n conditii date. Efectuarea unei experiente se numesteproba. Rezultatul unei probe se numeste eveniment.

    Sa consideram experienta aruncarii unui zar. Aceasta are omultime de cazuri (sau rezultate posibile), = {1, 2, 3, 4, 5, 6}.Putem considera urmatoarele evenimente:

    A: aparitia unui numar par;B: aparitia unui numar impar;

    C: aparitia unui numar 3;D: aparitia numarului 5.

    Daca la o aruncare apare fata 4, evenimentul A s-a realizat si

    6

  • 8/3/2019 Carmen Bolosteanu - Analiza a - Ecuatii Diferentiale

    7/60

    B,C ,D nu s-au realizat. Fiecarui eveniment i corespunde o mul-time de cazuri favorabile, care este o submultime a lui .

    Evenimentului A i corespunde submultimea {2, 4, 6}, eveni-mentului B i corespunde submultimea {1, 3, 5}, evenimentului Ci corespunde submultimea {1, 2, 3} si evenimentului D i cores-punde submultimea {5}.

    Putem scrie:

    A = {2, 4, 6},B = {1, 3, 5},C = {1, 2, 3},D = {5}.

    Evenimentele care au un singur caz favorabil se numesc eveni-mente elementare. Evenimentul sigur este evenimentul carese realizeaza cu certitudine la orice proba. Toate cazurile posibileale experientei sunt favorabile acestui eveniment. Evenimentulimposibil este contrarul evenimentului sigur. El nu are nici uncaz favorabil.

    2.1.1 Eveniment implicat de alt eveniment

    Definitia 2.2 Evenimentul A implica evenimentul B daca re-alizarea lui A atrage dupa sine realizarea lui B, adica orice cazcare realizeaza pe A realizeaza pe B.

    Rezulta de aici ca multimea cazurilor favorabile lui A este inclusan multimea cazurilor favorabile lui B.

    De exemplu, la aruncarea unui zar, daca A = {1, 2, 3}, B ={1, 2, 3, 4} se vede ca A implica B, iar ca multimi, A B. Esteevident ca A

    A, A

    . Evenimentul imposibil implica orice

    eveniment ( A).Se folosesc urmatoarele notatii:- - evenimentul sigur;- - evenimentul imposibil;

    7

  • 8/3/2019 Carmen Bolosteanu - Analiza a - Ecuatii Diferentiale

    8/60

    - A ,B,C ,..., A1, A2, A3,..., - evenimente oarecare;- 1, 2,...,n sau {1}, {2}, ...,{n} - evenimentele elementare

    corespunzatoare unui experiment.

    2.1.2 Operatii cu evenimente

    Fie A si B doua evenimente date.A sau B este evenimentul a carui realizare nseamna realizarea

    cel putin a unuia din ele. Acest lucru se scrie A B.A si B este evenimentul a carui realizare nseamna realizareaambelor evenimente A, B si se scrie A B.

    non A este evenimentul care se realizeaza daca nu se realizeazaA si se noteaza A.

    Operatiile cu evenimente au urmatoarele proprietati:

    1. A A = A; 2. A = ; 3. A A = A; 4. A = A;5. A = A; 6. A = ; 7. A A = ; 8. A A = .

    2.1.3 Evenimente incompatibile. Evenimente

    compatibileEvenimentele A si B sunt incompatibile daca nu se pot realizampreuna n nici o efectuare a experientei. De aici rezulta ca re-alizarea unuia din cele doua evenimente are ca urmare nerealizareaceluilalt. Cu alte cuvinte, A si B sunt incompatibile daca si nu-mai daca realizarea evenimentului A si B este imposibila (adicaA B = ).

    Evenimentele A si B sunt compatibile daca se pot realizampreuna n aceeasi proba, adica daca au cel putin un caz favorabilcomun.

    2.1.4 ProbabilitateFie Emultimea evenimentelor atasate unei experiente cu un numarfinit de rezultate posibile. Pentru a putea masura gradul de re-

    8

  • 8/3/2019 Carmen Bolosteanu - Analiza a - Ecuatii Diferentiale

    9/60

    alizare al unui eveniment din E, se defineste notiunea de proba-bilitate n sens clasic.

    Definitia 2.3 Se numeste probabilitate a unui evenimentA din

    E numarul P(A) =m

    n, unde n este numarul cazurilor posibile si

    m este numarul cazurilor favorabile producerii evenimentului A.

    De exemplu, presupunem ca avem o urna cu 6 bile identice cavolum si greutate, numerotate de la 1 la 6. Notam cu A

    ievenimen-

    tul elementar al extragerii bilei cu numarul i. Toate evenimenteleelementare A1,...,A6 au acelasi grad de realizare. Numarul cazu-

    rilor posibile este 6. Atunci, P(A1) = ... = P(A6) =1

    6.

    Probabilitatea n sens clasic se poate defini ca o functieP : E [0, 1], cu urmatoarele proprietati:

    1. P(A) 0, oricare ar fi A E.2. P() = 1. Daca = A1A2 ...An, unde n este numarul

    evenimentelor elementare din E, atunci P() =n

    n= 1.

    3. P(A B) = P(A) + P(B) daca A si B sunt incompatibile.

    Definitia 2.4 Fie M o multime nevida. O familie nevida demultimi, K P(M), unde P(M) este multimea partilor lui M,se numeste corp de multimi, daca:

    1. oricare ar fi A K, atunci A K, unde A este comple-mentara lui A n raport cu M;

    2. oricare ar fi A, B K, atunci A B K.

    Definitia 2.5 Fie M o multime nevida. O familie nevida demultimi, K P(M) se numeste corp borelian daca:

    1. oricare ar fi A K, atunci A K;2. daca sirul de multimi {An | An M, n N} K, atunci

    nNAn

    K.

    se numeste spatiul evenimentelor elementare si P() seva numi corp de evenimente.

    9

  • 8/3/2019 Carmen Bolosteanu - Analiza a - Ecuatii Diferentiale

    10/60

    Definitia 2.6 mpreun a cu un corp borelian K de evenimentedin P() se numeste camp borelian de evenimente si se no-teaza(, K). Daca este o multime finita nevida, atunci(, K)se numeste camp finit de evenimente.

    2.2 Camp de probabilitate

    Definitia axiomatica a probabilitatii:

    Definitia 2.7 Fie (, K) un camp finit de evenimente. Se nu-meste probabilitate pe acest camp o functie de multimi P : K R, care satisface axiomele:

    1. P(A) 0 pentru orice A K.2. P() = 1.3. P este o functie finit aditiva, adica, daca A1, A2 K, cu

    A1 A2 = , atunci P(A1 A2) = P(A1) + P(A2).

    Definitia 2.8 Un camp finit de evenimente (, K) mpreun a cuo probabilitate P, definita pe acest camp, se numeste camp finitde probabilitate si se noteaza (, K, P).

    2.2.1 Probabilitatea conditionata

    Fie (, K , P ) un camp de probabilitate si A, B K.Definitia 2.9 Evenimentele A si B se numesc independentedaca P(A B) = P(A) P(B). Evenimentele A si B se numescdependente daca P(A B) = P(A) P(B).

    Definitia 2.10 Se numeste probabilitate a evenimentului Aconditionata de B si se noteaza PB(A) raportul

    PB(A) =P(A B)

    P(B), cu P(B) = 0.

    10

  • 8/3/2019 Carmen Bolosteanu - Analiza a - Ecuatii Diferentiale

    11/60

    Analog, PA(B) =P(A B)

    P(A), cu P(A) = 0. Din cele doua relatii

    avem urmatoarea egalitate:

    PA(B) P(A) = P(A B) = PB(A) P(B). (2.1)Propozitia 2.11 Fie(, K , P ) un camp de probabilitate. Atunciau loc proprietatile:

    1. P(A

    B) = P(A)

    P(A

    B),

    A, B

    K.

    2. Daca B A, cu A, B K, atunci:P(A B) = P(A) P(B) si P(A) P(B).

    3. P(A) = 1 P(A), A K.4. P() = 0.

    5. 0 P(A) 1, A K.6. P(A B) = P(A) + P(B) P(A B) si

    P(A B) P(A) + P(B), pentru A, B K.

    7. P(ni=1

    Ai) =ni=1

    P(Ai)

    1i

  • 8/3/2019 Carmen Bolosteanu - Analiza a - Ecuatii Diferentiale

    12/60

    Rezolvare. Notam cu A evenimentul: Televizorul este defect.Atunci evenimentul A va fi: Televizorul este bun. La primaverificare, avem 20 de televizoare, din care unul este defect si 19bune. Atunci

    p1 =1

    20.

    Daca televizorul defect este depistat la a doua ncercare, atunciavem intersectia a doua evenimente, si anume: primul televizoreste bun (adica A) si al doilea este defect (adica A), dar n primulcaz avem 19 cazuri favorabile din 20 posibile si la al doilea, avem1 caz favorabil din 19 posibile ramase. Obtinem

    p2 =19

    20 1

    19=

    1

    20.

    Probabilitatea ca televizorul stricat sa fie gasit la a treia ncercareeste

    p3 =19

    20 18

    19 1

    18=

    1

    20.

    Exemplul 2.13 Intr-o biblioteca se afla pe un raft 6 carti deeconomie si 8 carti de matematica si pe alt raft 4 carti de ma-

    tematica si 6 de carti de economie. Se alege la ntamplare cate ocarte de pe fiecare raft. Se cere probabilitatea ca:

    a) ambele carti sa fie de aceeasi specialitate.b) cartile sa fie de specialitati diferite.

    Rezolvare. Notam cu A evenimentul: Cartea de pe primul rafteste de matematica si cu B evenimentul: Cartea de pe al doilearaft este de economie.

    Atunci evenimentul A este: Cartea de pe primul raft este deeconomie si evenimentul B este: Cartea de pe al doilea raft estede matematica.

    a) Avem de calculat P1 = P((A

    B)

    (A

    B)).

    P(A) =8

    14si P(A) = 1 P(A) = 6

    14;

    P(B) =6

    10si P(B) = 1 P(B) = 4

    10.

    12

  • 8/3/2019 Carmen Bolosteanu - Analiza a - Ecuatii Diferentiale

    13/60

    Atunci

    P1 = P(A) P(B) + P(A) P(B) = 814

    410

    +6

    14 6

    10=

    17

    35.

    b) Trebuie sa calculam P2 = P((A B) (A B)).

    P2 = P(A) P(B) + P(A) P(B) = 814

    610

    +6

    14 4

    10=

    18

    35.

    2.2.2 Scheme probabilistice clasice

    Schema bilei nerevenite

    Consideram o urna cu N = a + b bile, unde a este numarul de bilealbe si b este numarul de bile negre. Se extrag n bile si se cereprobabilitatea p ca din cele n bile extrase, k sa fie albe.

    Stiind ca numarul de cazuri posibile este Cna+b si numarul de

    cazuri favorabile este Cka Cnkb , obtinem:

    p =Cka Cnkb

    Cna+b. (2.2)

    Exemplul 2.14 La un magazin se gasesc 950 becuri, din care 25defecte. Cineva cumpara 100 de becuri. Care este probabilitateaca doar 95 becuri sa fie bune?

    Rezolvare. Aplicam formula (2.2) si obtinem

    p =C95925 C525

    C100950.

    Schema urnei cu bila revenita (schema lui Bernoulli)

    Consideram o urna cu N = a + b bile, unde a este numarul de bilealbe si b este numarul de bile negre. Se extrage de n ori cate obila, de fiecare data introducandu-se bila napoi n urna si se cere

    13

  • 8/3/2019 Carmen Bolosteanu - Analiza a - Ecuatii Diferentiale

    14/60

    probabilitatea P ca din cele n extrageri, de k ori sa se nregistrezeo bila alba.

    Probabilitatea cautata este

    P =Ckna

    kbnk

    (a + b)k(a + b)nk= Cknp

    kqnk.

    Exemplul 2.15 Intr-o urna se gasesc bile albe si negre. Probabi-litatea ca la o extragere sa se obtina o bila alba este p = 0, 7. Careeste probabilitatea ca din 8 ncercari, sa se extraga o bila alba de5 ori?

    Rezolvare. Avem q = 1 p = 0, 3. Probabilitatea cautata esteC58 (0, 7)

    5 (0, 3)3 0, 254.

    Schema lui Poisson

    Se considera r urne U1, U2,...,Ur avand bile albe si negre, astfelncat probabilitatea extragerii unei bile albe din urna Ui este pi.qi = 1 pi este probabilitatea extragerii unei bile negre din urnaUi. Se extrag n1 bile din urna U1, n2 bile din urna U2,..., nr biledin urna Ur, la fiecare extragere punandu-se bila napoi. Probabi-litatea ca din cele n = n1 + n2 + ... + nr extrageri sa se nregistrezede k ori bila alba este coeficientul lui xk din dezvoltarea

    (p1x + q1)n1(p2x + q2)

    n2 ...(prx + qr)nr .

    Exemplul 2.16 In trei lazi se afla rulmenti. In prima lada, 20%,n a doua 25% si n a treia, 18% sunt rebuturi. Se extrag cate doirulmenti din fiecare lada. Care este probabilitatea ca 3 rulmenti

    sa fie buni?

    14

  • 8/3/2019 Carmen Bolosteanu - Analiza a - Ecuatii Diferentiale

    15/60

    Rezolvare. Notam cu pi probabilitatea ca rulmentul extras dinlada i sa fie bun. Atunci

    p1 = 0, 8 si q1 = 0, 2;

    p2 = 0, 75 si q2 = 0, 25;

    p3 = 0, 82 si q3 = 0, 18.

    In cazul nostru, n1 = n2 = n3 = 2 si k = 3. Atunci, probabilitatea

    ceruta va fi coeficientul lui x3 din dezvoltarea

    (0, 8x + 0, 2)2(0, 75x + 0, 25)2(0, 82x + 0, 18)2.

    2.3 Variabile aleatoare

    2.3.1 Definitia variabilelor aleatoare

    In sectiunea precedenta, fiecarui eveniment A i se asocia numarulP(A), care este probabilitatea realizarii acestuia. In cele ce ur-meaza, evenimentul este caracterizat de o marime numerica. De

    exemplu, n experimentul aruncarii unui zar, evenimentul aparitieifetei cu 3 puncte este caracterizat de numarul 3.

    Fie X numarul de puncte ale fetei obtinute la aruncarea unuizar. X poate lua valorile 1,2,...,6, fiecare valoare fiind luata cuprobabilitatea 1/6.

    Variabila aleatoare este o marime care ia valori la ntamplaredintr-o multime oarecare posibila.

    Fie {, K , P } un camp de probabilitate.Definitia 2.17 Se numeste variabila aleatoare reala unidi-mensionala o functieX : R cu proprietatea ca pentru oricea

    R

    , { | X() < a} K. (2.3)X() se numeste valoare a variabilei aleatoare.

    15

  • 8/3/2019 Carmen Bolosteanu - Analiza a - Ecuatii Diferentiale

    16/60

    Definitia 2.18 Fie (, K , P ) un camp de probabilitate si fie X : R o variabila aleatoare. FunctiaF : R R definita prin

    F(x) = P({ | X() < x}) = P(X < x),se numeste functie de repartitie a variabilei aleatoare X.

    2.3.2 Variabile aleatoare independente

    Conceptul de independenta definit pentru evenimente are sens sipentru variabilele aleatoare.

    Fie (, K , P ) un camp de probabilitate.

    Definitia 2.19 Fie X, Y : R variabile aleatoare. Se spuneca X si Y sunt variabile aleatoare independente daca pentruorice x, y R,P((X < x)(Y < y)) = P(X < x, Y < y) = P(X < x)P(Y < y).

    Daca F si G sunt functiile de repartitie ale lui X, respectiv Y,si daca cele doua variabile sunt independente, atunci:

    P(X < x, Y < y) = F(x) G(y), x, y R.

    2.3.3 Variabile aleatoare discrete

    Definitia 2.20 Fie (, K , P ) un camp de probabilitate. O vari-abila aleatoare X : R se numeste discreta daca

    1. X ia valorile xi, i I;2. { | X() = xi} K, i I.

    Fie X : R o variabila aleatoare discreta. AtunciX() =

    {xi

    |i

    I, I

    N

    }.

    Definitia 2.21 Fie (, K , P ) un camp de probabilitate. O vari-abila aleatoare X : R care ia un numar finit de valori senumeste variabila aleatoare simpla.

    16

  • 8/3/2019 Carmen Bolosteanu - Analiza a - Ecuatii Diferentiale

    17/60

    Definitia 2.22 Repartitia variabilei aleatoare discrete X este omatrice care cuprinde, pe prima linie, valorile variabilei aleatoaresi pe a doua linie, probabilitatile corespunzatoare acestora.

    X :

    x1 x2 ... xnp1 p2 ... pn

    , cu n = card I,

    sau X = xipi , i I. Pentru ca variabila sa fie bine definita,

    trebuie ca p1 +p2 + ... +pn = 1.O variabila aleatoare discreta este complet determinata de re-

    partitia ei.Variabila aleatoare discreta uniforma este variabila care ia un

    numar de n valori x1, x2,...,xn cu aceeasi probabilitate, egala cu1

    n. Repartitia acesteia este:

    X :

    x1 x2 ... xn1

    n

    1

    n...

    1

    n

    .

    Exemplul 2.23 Fie variabila aleatoare discreta

    X :

    1 0 2 3

    1

    5

    1

    5

    2

    5

    1

    5

    .

    Sa se determine functia de repartitieF.

    Rezolvare. Avem: F(1) = P(X < 1) = 0. Deci pentru oricex < 1, F(x) = 0.

    Pentru

    1 < x

    0, F(x) = P(X < 0) = P(X 3. Se obtine

    F(x) = P(X < x) =

    0, daca x 11

    5, daca 1 < x 0

    2

    5, daca 0 < x 2

    4

    5, daca 2 < x

    3

    1, daca x > 3

    .

    2.3.4 Operatii cu variabile aleatoare

    Fie variabila aleatoare X.

    Inmultirea cu numarul a R

    a

    X : axi

    pi , i I.

    Ridicarea la puterea k

    Xk :

    xkipi

    , i I.

    Inversa unei variabile aleatoare

    1

    X

    : 1

    xipi .

    18

  • 8/3/2019 Carmen Bolosteanu - Analiza a - Ecuatii Diferentiale

    19/60

    Adunarea si nmultirea variabilelor aleatoare

    Fie X :

    xipi

    , i = 1, 2,... si Y :

    yjqj

    , j = 1, 2,... doua vari-

    abile aleatoare discrete. Atunci:

    X + Y :

    zkrk

    , k = 1, 2,...

    unde rk = P(xi + yj = zk) =

    =

    xi+yj=zk

    P((X = xi) (Y = yj)).

    X Y :

    zkrk

    , k = 1, 2,...

    unde rk = P(X Y = zk) ==

    xiyj=zk

    P((X = xi) (Y = yj)).

    Daca variabilele X si Y sunt independente, atunci

    rk =

    xiyj=zk

    pi qj.

    Exemplul 2.24 Fie

    X :

    1 2 41

    4

    2

    4

    1

    4

    si Y :

    1 2 3 41

    6

    2

    6

    2

    6

    1

    6

    variabile aleatoare discrete si independente.a) Sa se calculeze X + Y.b) Sa se calculeze X

    Y.

    c) Sa se calculeze X2 + 1.

    Rezolvare.

    19

  • 8/3/2019 Carmen Bolosteanu - Analiza a - Ecuatii Diferentiale

    20/60

    a)

    X + Y :

    2 3 4 5 6 7 8

    p1 p2 p3 p4 p5 p6 p7

    ,

    unde:

    p1 = P[(X = 1) (Y = 1)] = 14

    16

    =1

    24;

    p2 = P[(X = 1) (Y = 2)] ++ P[(X = 2) (Y = 1)] = 1

    6;

    p3 = P[(X = 1) (Y = 3)] ++ P[(X = 2) (Y = 2)] = 1

    4;

    p4 = P[(X = 1) (Y = 4)] ++ P[(X = 2) (Y = 3)] ++ P[(X = 4) (Y = 1)] = 1

    4;

    p5 = P[(X = 2) (Y = 4)] ++ P[(X = 4)

    (Y = 2)] =

    1

    6

    ;

    p6 = P[(X = 4) (Y = 3)] = 112

    ;

    p7 = P[(X = 4) (Y = 4)] = 124

    .

    b)

    X Y :

    1 2 3 4 6 8 12 161

    24

    4

    24

    2

    24

    6

    24

    4

    24

    4

    24

    2

    24

    1

    24

    .

    c) X2

    : 1 4 16

    14

    24

    14

    ; X

    2

    + 1 : 2 5 17

    14

    24

    14

    .

    20

  • 8/3/2019 Carmen Bolosteanu - Analiza a - Ecuatii Diferentiale

    21/60

    2.3.5 Caracteristici numerice ale variabileloraleatoare

    Definitia 2.25 Fie X o variabila aleatoare. Daca X este vari-abila aleatoare discreta, valoarea medie a variabilei X este nu-marul

    M(X) =ni=1

    xi pi.

    Valoarea medie are urmatoarele proprietati:1. Valoarea medie a unei constante este egala cu acea constanta.2. M(X + Y) = M(X) + M(Y), unde X si Y sunt variabile

    aleatoare discrete sau continue.3. M(X Y) = M(X) M(Y), unde X si Y sunt variabile

    aleatoare discrete sau continue.4. Pentru a R, si X variabila aleatoare, avem

    M(a X) = a M(X).5. Valoarea medie a variabilei aleatoare = X M(X) este

    nula. se numeste abaterea variabilei aleatoare X.

    Exemplul 2.26 Intr-un garaj sunt 4 masini, care se pot defectaindependent una de alta. Fie pi = 0, 2i + 0, 1 probabilitatea camasina cu numarul i sa se strice. Sa se calculeze numarul mediude defectiuni.

    Rezolvare. Fie Xi variabila aleatoare asociata masinii cu numaruli. Xi ia valoarea 0 daca masina functioneaza si valoarea 1 daca sedefecteaza. Atunci putem scrie

    Xi :

    0 1

    0, 9 0, 2i 0, 2i + 0, 1

    , i = 1,..., 4.

    Variabila aleatoare care indica numarul total de defectiuni esteX = X1 + ... + X4. Atunci,

    M(X) = M(X1) + ... + M(X4).

    21

  • 8/3/2019 Carmen Bolosteanu - Analiza a - Ecuatii Diferentiale

    22/60

    Dar M(Xi) = 0(0, 90, 2i)+1(0, 2i+0, 1) = 0, 2i+0, 1. ObtinemM(X) =

    4i=1

    (0, 2i + 0, 1) = 2, 4.

    Definitia 2.27 FieX o variabila aleatoare si r un numar natural.Atunci valoarea medie a variabilei Xr se numeste momentul deordin r al variabilei aleatoare X si este egal cu

    M(Xr) =ni=1

    xripi.

    Definitia 2.28 FieX o variabila aleatoare si r un numar natural.Atunci momentul de ordinul r al variabilei aleatoare abatere a luiX se numeste momentul centrat de ordinul r al lui X, si senoteaza cu

    r(X) = M(X M(X)r) =ni=1

    (xi M(X))r pi.

    Definitia 2.29 Se numeste dispersia variabilei X numarul

    D2(X) =ni=1

    (xi M(X))2 pi.

    Definitia 2.30 Se numeste abaterea medie patratica a lui Xnumarul

    (X) =

    2(X) =

    D2(X).

    Proprietati ale dispersiei:1. D2(a) = 0, a R.2. D2(X) = M(X2)[M(X)]2, unde X este variabila aleatoare.3. Daca X = aY + b, unde X si Y sunt variabile aleatoare

    discrete si a si b constante, atunci

    D2(X) = a2D2(Y) si

    (X) = |a| (Y).

    22

  • 8/3/2019 Carmen Bolosteanu - Analiza a - Ecuatii Diferentiale

    23/60

    Daca b = 0, atunci

    D2(aY) = a2D2(Y).

    4. Daca X si Y sunt variabile independente, rezulta

    D2(X + Y) = D2(X) + D2(Y).

    Exemplul 2.31 Sa se calculeze media si dispersia variabilei ale-

    atoare 2X+ Y, stiind c a X si Y sunt variabile aleatoare indepen-dente si

    X :

    1 0 20, 2 0, 5 0, 3

    ; Y :

    2 0 1 30, 1 0, 3 0, 2 0, 4

    .

    Rezolvare. Avem de calculat mai ntai M(X) si M(Y).

    M(X) = (1) 0, 2 + 0 0, 5 + 2 0, 3 = 0, 4M(Y) = (2) 0, 1 + 0 0, 3 + 1 0, 2 + 3 0, 4 = 1, 2.

    X2

    : 1 0 4

    0, 2 0, 5 0, 3

    si Y2

    : 4 0 1 9

    0, 1 0, 3 0, 2 0, 4

    .

    Atunci M(X2) = 1, 4 si M(Y2) = 4, 2.

    D2(X) = M(X2) M2(X) = 1, 4 0, 16 = 1, 24;D2(Y) = M(Y2) M2(Y) = 4, 2 1, 44 = 2, 76.

    Obtinem:

    M(2X + Y) = 2M(X) + M(Y) = 2;

    D2(2X + Y) = 22D2(X) + D2(Y) = 7, 72.

    23

  • 8/3/2019 Carmen Bolosteanu - Analiza a - Ecuatii Diferentiale

    24/60

    Capitolul 3

    Elemente de matematicafinanciara

    3.1 Introducere

    Matematica financiara se ocupa cu studiul operatiilor financiaresi ofera modele de capitalizare si evaluare, indicand conceptelefundamentale si axiomele pe care se bazeaza alcatuirea schemeloradoptate n practica.

    Definitia 3.1 Se numeste operatie financiara orice actiune ca-re produce o variatie de capital.

    Cea mai simpla operatie financiara este schimbul dintre doiparteneri A si B, n care partenerul A i cedeaza lui B suma S1 lamomentul t0 si partenerul B i cedeaza lui A suma S2 la momentult. Daca t0 < t, A se numeste creditor si B se numeste debitor.Daca S2 S1, se spune ca acel capital este fructificat.

    Notiunea de baza cu care se opereaza n calculele financiare estedobanda.

    24

  • 8/3/2019 Carmen Bolosteanu - Analiza a - Ecuatii Diferentiale

    25/60

    Definitia 3.2 Dobanda este suma de bani care se plateste credi-torului de catre debitor pentru un mprumut banesc. Ea este egalacu D = S2 S1.

    Definitia 3.3 Dobanda data de 1 u.m. pe timp de un an senumeste dobanda unitara (se noteaza cu i).

    Definitia 3.4 Dobanda produsa pe o perioada de timp t de catre

    o unitate de capital folosit se numeste dobanda unitara efec-tiva relativa la perioada t sau rata a dobanzii, sau taxa a

    dobanzii si este egala cu it =D

    S1.

    Definitia 3.5 Suma finala a perioadei de timp t corespunzatoarefiecarei unitati de capital folosit se numeste factor de fructifi-

    care sau de capitalizare si este data de formula ut =S2

    S1.

    Definitia 3.6 Scontul asupra fiecarei unitati de capital avut lascadent a se numeste scont unitar efectiv relativ la perioada con-siderata, sau rata de scont, sau taxa de scont. Se calculeaza

    cu relatiadt = DS2

    .

    Definitia 3.7 Valoarea actuala a fiecarei unitati de capital avutla scadenta se numeste factor de actualizare si este dat de

    relatia vt =S1

    S2.

    Cu ajutorul unor calcule simple, ntre factorii definiti mai sus sepot stabili urmatoarele relatii:

    ut = 1 + it;

    vt = 1 dt;ut =

    1

    vt;

    25

  • 8/3/2019 Carmen Bolosteanu - Analiza a - Ecuatii Diferentiale

    26/60

    dt =it

    1 + it;

    vt =1

    1 + it.

    3.2 Dobanda simpla

    Definitia 3.8 Dobanda calculata asupra aceleiasi sumeS pe toata

    durata folosirii ei se numeste dobanda simpla.Definitia 3.9 Se numeste procent dobanda data de 100 u.m. petimp de un an.

    p = 100 i.Pentru o suma de S u.m. depusa timp de un an se obtine dobanda

    D = S i = S p100

    .

    Pentru suma S depusa timp de t ani, avem

    D = S i t = S p t100

    .

    Daca anul este mpartit n k parti egale si tk este numarul de partipentru care se calculeaza dobanda, atunci

    D =S p tk100 k =

    S i tkk

    .

    Exemplul 3.10 Pentru k = 2, putem calcula dobanda pentru t2semestre

    D =S p t2

    200.

    Pentru k = 4, se calculeaza dobanda pentru t4 trimestre

    D =S p t4

    400

    .

    Pentru k = 12 putem calcula dobanda pentru t12 luni

    D =S p t12

    1200.

    26

  • 8/3/2019 Carmen Bolosteanu - Analiza a - Ecuatii Diferentiale

    27/60

    Se impune o observatie importanta si anume, anul financiar are360 de zile si luna are 30 de zile.

    Exemplul 3.11 La 21 august 2008 se plaseaza suma de 5 000 u.m.cu dobanda de 6%. Care este valoarea finala a plasamentului ladata de 31 decembrie 2008?

    Observatia 3.12 Pentru calculul zilelor de la o data la alta aanului se considera numarul real al zilelor.

    Rezolvare. Durata plasamentului este:

    august = 10 zile

    septembrie = 30 zile

    octombrie = 31 zile

    noiembrie = 30 zile

    decembrie = 31 zile

    In total, 132 zile. Dobanda va fi:

    D =5 000

    132

    6

    36 000 = 110 u.m.

    Suma finala va fi St = 5 000 + 110 = 5 110 u.m.

    3.2.1 Valoarea finala si valoarea actuala a unei sume

    Fie S0 suma depusa n momentul initial. D = S0 i t este dobandaadusa de suma S0 pe durata de t ani, calculata cu dobanda unitarai. Notam cu

    St = S0 + D = S0 (1 + i t).St se numeste suma (valoarea) finala. Cunoscandu-se aceasta,se poate determina suma initiala

    S0 =St

    1 + i t .

    27

  • 8/3/2019 Carmen Bolosteanu - Analiza a - Ecuatii Diferentiale

    28/60

    Exemplul 3.13 Se depune suma de 15 000 lei cu rata anuala de8%. Care va fi suma disponibila peste 1 an?

    Rezolvare. Dobanda produsa timp de 1 an este

    D = 15 000 8100

    = 1 200 lei.

    Suma finala este S = 15 000 lei + 1 200 lei = 16 200 lei.

    3.2.2 Scadenta comuna si scadenta medie

    Fie S1, S2,..., Sn mai multe sume plasate pe duratele de timpt1, t2, ..., tn cu acelasi procent p. Trebuie sa calculam sumaS si durata de timp t, astfel ncat suma dobanzilor aduse deS1, S2, ..., Sn sa fie egala cu dobanda adusa de S pe durata tcu acelasi procent p. Folosind formulele cunoscute, obtinem

    S1 p t1100

    +S2 p t2

    100+ ... +

    Sn p tn100

    =S p t

    100.

    RezultaS1 t1 + S2 t2 + ... + Sn tn = S t.

    Daca se cunoaste suma S, se poate determina durata t, care senumeste scadenta comuna

    t =S1 t1 + S2 t2 + ... + Sn tn

    S.

    Daca S = S1 + S2 + ... + Sn,

    t =S1 t1 + S2 t2 + ... + Sn tn

    S1 + S2 + ... + Sn

    si atunci t se va numi scadenta medie.

    Exemplul 3.14 Sa se determine scadenta sumei de 20 000 u.m.care produce o dobanda egala cu suma dobanzilor produse de 4 500

    28

  • 8/3/2019 Carmen Bolosteanu - Analiza a - Ecuatii Diferentiale

    29/60

    u.m. n 60 de zile, 1 000 u.m. n 50 de zile, 350 u.m. n 100 dezile si 1 500 u.m. n 70 de zile, stiind ca toate sumele sunt depusecu acelasi procent?

    Rezolvare.

    t =4 500 60 + 1 000 50 + 350 100 + 1 500 70

    20 000= 23 zile.

    3.2.3 Procent mediu de depunere

    Fie sumele S1,...,Sn plasate pe duratele de timp t1,...,tn cu pro-centele p1,...,pn.

    Sa determinam procentul mediu p pentru care aceste sumeplasate pe aceleasi durate sa dea aceeasi dobanda totala.

    S1 p1 t1100

    + ... +Sn pn tn

    100=

    S1 p t1100

    + ... +Sn p tn

    100.

    Rezulta

    p =

    n

    i=1

    Si

    pi

    ti

    ni=1

    Si ti.

    Exemplul 3.15 Sa se determine procentul mediu de plasament alsumelor

    2 500 u.m. cu 3% pe timp de 30 zile

    1 200 u.m. cu 8% pe timp de 25 zile

    4 000 u.m. cu 5% pe timp de 90 zile.

    Rezolvare. Procentul mediu de depunere este

    p =2500 3 30 + 1200 8 25 + 4000 5 90

    2500 30 + 1200 25 + 4000 90 = 4, 87.

    29

  • 8/3/2019 Carmen Bolosteanu - Analiza a - Ecuatii Diferentiale

    30/60

    3.2.4 Procente echivalente

    Presupunem ca anul se mparte n k1, respectiv k2 parti egale. Fieik1 si ik2 dobanzile unitare corespunzatoare. Ele sunt echivalenten regim de dobanda simpla daca valorile finale corespunza-toare lor sunt egale, adica

    1 + k1 ik1 = 1 + k2 ik2 ,

    deci k1 ik1 = k2 ik2 .

    3.3 Dobanda compusa

    Definitia 3.16 Spunem ca o suma de bani este plasata cu do-banda compusa cand, la sfarsitul primei perioade, dobanda sim-pla corespunzatoare este adaugata la suma initiala pentru a pro-duce la randul ei dobanda n perioada urmatoare.

    In calculele dobanzii compuse se foloseste de obicei dobandaunitara i. Presupunem ca timpul de plasament t este un numar

    ntreg de perioade. Fie:S0 = suma initialap = procentuli = dobanda unitarat = durata de plasament a sumei S0St = S0(1 + i)

    t= valoarea finala (suma disponibila dupa t pe-rioade).

    Dar 1 + i = u, unde u este factorul de fructificare definit lanceputul capitolului.

    Dobanda compusa va fi

    D = St

    S0

    = S0

    (ut

    1).

    Exemplul 3.17 Se plaseaza suma de 12 000 u.m. n regim dedobanda compusa cu o rata a dobanzii de 10%. Care este sumadupa 5 ani?

    30

  • 8/3/2019 Carmen Bolosteanu - Analiza a - Ecuatii Diferentiale

    31/60

    Rezolvare. Avem:

    S0 = 12 000 u.m.

    p = 10

    t = 5

    St = S0

    1 +p

    100

    tAtunci, S5 = 12 000

    (1, 1)5

    19 326, 12 u.m.

    3.3.1 Formula de fructificare n regim de dobandacompusa cand timpul nu este un numar ntregde perioade

    Daca perioada t nu este un numar ntreg, sunt posibile doua solutii:1) Se foloseste formula generala St = S0 (1 + i)t pentru partea

    ntreaga si se aplica dobanda simpla pentru partea fractionara.Aceasta este solutia rationala.

    2) Aceeasi formula generala se aplica si n cazul cand t estefractionar. Aceasta este solutia comerciala.

    Notam t = n + hk

    .

    a) Solutia rationala

    St = Sn+hk

    = S0 (1 + i)n

    1 + i hk

    .

    b) Solutia comerciala

    St

    = Sn+

    hk

    = S0

    (1 + i)n+hk .

    Exemplul 3.18 Se plaseaza suma de 100 000 u.m. pe o perioadade 6 ani si 5 luni cu procentul de 5%. Care va fi suma finala? Secer ambele solutii.

    31

  • 8/3/2019 Carmen Bolosteanu - Analiza a - Ecuatii Diferentiale

    32/60

    Rezolvare. Solutia rationala:

    S6+ 512

    = 100 000 1, 056

    1 + 0, 05 512

    = 136 791, 67 u.m.

    Solutia comerciala:

    S6+ 512

    = 100 000 1, 056 1, 05 512 = 136 707, 52 u.m.

    3.3.2 Dobanzi echivalente n regim de capitalizarecompusa

    Procente proportionale

    Doua procente corespunzatoare la perioade de timp diferite suntproportionale daca raportul lor este egal cu raportul perioadelorrespective de fructificare.

    Exemplul 3.19 procent anual 6%, procent semestrial 3% procenttrimestrial 1,5% etc.

    Procente si dobanzi echivalente

    Doua procente corespunzatoare la perioade de fructificare diferitesunt echivalente, cand pentru o aceeasi durata de plasament, eleconduc la o aceeasi valoare finala.

    Dobanzile unitare (respectiv procentele corespunzatoare) suntechivalente daca valorile dobandite la sfarsitul anului sunt egale.

    Dobanzile unitare ik1 si ik2 corespunzatoare fractiunilor1

    k1si

    1

    k2ale anului sunt echivalente n regim de capitalizare compusadaca

    (1 + ik1)k1 = (1 + ik2)

    k2 . (3.1)

    Exemplul 3.20 Dobanda unitara semestriala i2 este echivalentacu dobanda anuala i daca

    1 + i = (1 + i2)2.

    32

  • 8/3/2019 Carmen Bolosteanu - Analiza a - Ecuatii Diferentiale

    33/60

    3.3.3 Taxa nominala de dobanda

    Procent nominal, procent real sau efectiv

    Cand calculul dobanzii se face pe fractiuni de an, dobanda lasfarsitul anului calculata cu procentul anual difera de cea calculatape fractiuni de an.

    Presupunem ca suma de 100 u.m. s-a plasat cu procentul de8%. In primele 6 luni, suma de 100 u.m. va aduce o dobanda de

    4 u.m. si la finele celor 6 luni vom avea 104 u.m.In urmatoarele 6 luni, 100 u.m. vor aduce o dobanda de 4 u.m.

    si 4 u.m. vor aduce o dobanda de 0,16 u.m. Deci 104 u.m. voraduce o dobanda egala cu 4,16 u.m.

    Pe timp de 1 an, suma de 100 u.m. va aduce dobanda de8,16 u.m. Procentul de 8% poarta denumirea de procent nomi-nal si procentul de 8,16% este procent real sau efectiv.

    Dobanda nominala, dobanda efectiva

    Definitia 3.21 Fie ik dobanda unitara a unei fractiuni1

    ka anu-

    lui. Se numeste dobanda unitara anuala nominala sau taxanominala anuala de dobanda convertibila (sau rennoibila,sau platibila) de k ori pe an suma jk data de formula

    jk = k ik.

    Folosind relatia de echivalenta dintre i - dobanda unitara efec-tiva si ik si relatia de mai sus, obtinem

    1 + i =

    1 +

    jk

    k

    kjk = k (1 + i) 1k 1 .

    Cu ajutorul acestor formule se poate trece de la dobanda unitaraefectiva la dobanda nominala si invers. Intre cele doua dobanziexista relatia jk i, pentru k 1.

    33

  • 8/3/2019 Carmen Bolosteanu - Analiza a - Ecuatii Diferentiale

    34/60

    3.4 Plati esalonate (rente)

    Definitia 3.22 Platile esalonate sunt sumele de bani platite laintervale de timp egale. Se numeste perioada intervalul de timpcare separa plata a doua sume.

    Perioada poate fi anul, semestrul, trimestrul sau luna. Platileesalonate pot fi facute:

    - n vederea constituirii unei sume - si se numesc plati esalo-nate de plasament sau de fructificare;- n vederea rambursarii unei datorii - si se numesc plati esa-

    lonate de amortizare sau amortismente.In functie de data la care sunt facute, platile pot fi:- anticipate daca se efectueaza la nceputul perioadei;- posticipate daca se efectueaza la sfarsitul perioadei.Platile mai pot fi:- temporare daca numarul lor este finit;- perpetue daca numarul lor este nelimitat;- viagere daca numarul lor depinde de durata vietii unei per-

    soane.

    Platile temporare pot fi constante sau variabile.

    3.4.1 Anuitati constante posticipate

    Anuitatile sunt platile esalonate efectuate la interval de 1 an.

    a) Valoarea finala a unui sir de anuitati posticipate,constante, imediate, temporare

    Trebuie calculata suma acumulata dupa un numar de n ani, nurma depunerii sumei T la sfarsitul fiecarui an, stiind ca dobandaunitara anuala este i.

    Valoarea finala a sirului de anuitati la momentul n este egalacu suma valorilor finale a fiecarei anuitati la acest moment.

    34

  • 8/3/2019 Carmen Bolosteanu - Analiza a - Ecuatii Diferentiale

    35/60

    Valoarea la momentul n a primei anuitati este T un1, a celeide-a doua anuitati este T un2 si a celei de-a n-a anuitati va fi T.Deci:

    Sn = T + T u + .. + T un1 = T un 1u 1 = T

    un 1i

    .

    Notand cu sn =un 1

    i, se obtine: Sn = T sn.

    Exemplul 3.23 O persoana plaseaza suma de 1 000 u.m. cu rata8% la fiecare 31 decembrie, ncepand cu anul 1998. De ce sumadispune la 31 decembrie 2008, data ultimului varsamant?

    Rezolvare. Avem de calculat valoarea finala a unui sir de 11anuitati posticipate. Avem

    S11 = 1 000 (1, 08)11 1

    0, 08 16 645 u.m.

    b) Valoarea finala a unui sir de anuitati posticipate,

    constante, temporare, amanate

    Trebuie calculata suma acumulata dupa un numar de n ani, nurma depunerii sumei T la sfarsitul fiecarui an, stiind ca dobandaunitara anuala este i si prima depunere a fost facuta dupa r ani.

    Prima plata are loc la momentul r + 1 timp de n r ani.

    Sn,r = T unr1 + T unr2 + ... + T u + T = T unr 1

    i.

    Darunr 1

    i= snr. Rezulta, S

    n,r = T snr.

    Exemplul 3.24 Care este valoarea finala a unui sir de 10 anuitatiegale cu 3 000 u.m. platibile la sfarsitul fiec arui an, plata fiindamanata 6 ani, cu procentul 5%?

    35

  • 8/3/2019 Carmen Bolosteanu - Analiza a - Ecuatii Diferentiale

    36/60

    Rezolvare. n r = 10, r = 6, n = 16.

    S16,6 = 3 000 1, 0510 1

    0, 05 37 733, 676 u.m.

    c) Valoarea actuala a unui sir de anuitati constante,posticipate, temporare, imediate

    Definitia 3.25 Se numeste valoare actuala a unui sir de anu-itati posticipate, suma necesara si suficienta n momentul initialpentru a se putea plati la n scadente fixate sumele T1, T2,...,Tn.

    Presupunem ca T1 = T2 = ... = Tn = T.Se pune urmatoarea problema: Ce suma Ak trebuie depusa n

    prezent pentru ca dupa k ani sa devina T?

    Ak (1 + i)k = T Ak =T

    (1 + i)k.

    Deci suma T platita peste k ani echivaleaza cu suma Ak platita nprezent. Ak se numeste valoarea actuala a platii T efectuata

    peste un numar de k ani. Acum putem calcula

    An =T

    1 + i+

    T

    (1 + i)2+ ... +

    T

    (1 + i)n.

    Se noteaza v =1

    1 + isi obtinem

    An = T v + T v2 + ... + T vn = T v 1 v

    n

    1 v .

    An = T 1 vn

    i= T 1 u

    n

    i.

    Daca T = 1, se obtine valoarea actuala a unui sir de anuitatiposticipate a 1 u.m. fiecare, notata cu an, unde

    an =1 vn

    i

    36

  • 8/3/2019 Carmen Bolosteanu - Analiza a - Ecuatii Diferentiale

    37/60

    si se gaseste calculata n tabele financiare. Deci,

    An = T an.

    Exemplul 3.26 Ce suma unica depusa imediat poate sa nlocu-iasca plata a 12 anuitati posticipate a 1 300 u.m. fiecare, cu pro-centul de 5%?

    Rezolvare. A

    12

    = 1 300

    a

    12

    = 1 300

    9, 663334

    12 562, 334.

    d) Valoarea actuala a unui sir de anuitati constante,posticipate, perpetue, imediate

    Cand plata este perpetua, adica platile se efectueaza nelimitat,valoarea actuala a sirului de anuitati posticipate unitare se noteazacu a. Ea se calculeaza din relatia

    a = limn

    an = limn

    1 vni

    =1

    i.

    Daca rata este T, avem A = T a = Ti .

    e) Valoarea actuala a unui sir de anuitati constante,posticipate, temporare, amanate

    Presupunem ca prima plata se face posticipat, dupa r ani, adicala momentul r + 1, timp de n r ani. Notam cu An,r valoareaactuala a acestor plati.Deci

    An,r = T vr+1 + ... + T vn = T vr+1

    1 vnr

    1 v= T vr

    1 vnr

    i

    .

    An,r = T vr anr.

    37

  • 8/3/2019 Carmen Bolosteanu - Analiza a - Ecuatii Diferentiale

    38/60

    Exemplul 3.27 Ce suma unica depusa imediat poate sa nlocu-iasca plata a 12 anuitati posticipate a 400 u.m. fiecare, amanate3 ani, procentul fiind 5%?

    Rezolvare. n r = 12, r = 3, n = 15.A15,3 = 400 1, 053 a12 = 400 0, 8638 8, 863 3 062, 56 u.m.

    f) Valoarea actuala a unui sir de anuitati constante,posticipate, perpetue, amanate

    Cand plata este perpetua, dar amanata r ani, valoarea actuala vafi

    A,r = limn

    An,r = limn

    T vr 1 vnr

    i=

    T

    i vr.

    3.4.2 Anuitati constante anticipate

    a) Valoarea sau suma finala a unui sir de anuitaticonstante, anticipate, temporare, imediate

    In acest caz, platile se fac la nceputul fiecarui an, adica la mo-mentele 0, 1,...,n 1. Suma finala se calculeaza n momentul n,adica la un an dupa ultima plata. Fie Sn valoarea finala a acestuisir de anuitati.

    Sn este egala cu suma valorilor finale a fiecarei anuitati la mo-mentul n.

    Sn = T un + T un1 + ... + T u = T u u

    n 1i

    .

    Daca T = 1, se obtine valoarea finala a unui sir de anuitati anti-cipate a 1 u.m., fiecare notata cu sn. Deci

    sn = un

    + un1

    + ... + u = u un

    1

    i .

    Valoarea sn se gaseste n tabelele financiare.

    Sn = T sn.

    38

  • 8/3/2019 Carmen Bolosteanu - Analiza a - Ecuatii Diferentiale

    39/60

    Dar

    sn =un 1

    i=

    un 1 i + ii

    =un u

    i+ 1 = u u

    n1 1i

    + 1.

    Deci sn = 1 + sn1.

    Exemplul 3.28 De ce suma va dispune o persoana peste 15 anidaca depune la nceputul fiecarui an cate 10 000 u.m. cu 6%?

    Rezolvare. S15 = 10 000 1, 06 1, 0615 1

    0, 06 24 672 u.m.

    b) Valoarea finala a unui sir de anuitati anticipate,constante, temporare, amanate

    In acest caz, prima plata se face dupa r ani anticipat, adica lamomentul r timp de n r ani. Notam cu Sn,r valoarea finala aacestui sir de anuitati.Avem:

    Sn,r = T unr + T unr1 + ... + T u = T u u

    nr

    1i

    ;

    Sn,r = T snr = Snr.

    Valoarea finala a sirului de anuitati anticipate egale cu T si ama-nate r ani, este egala cu valoarea finala a acestor plati imediate silimitate la n r ani.Exemplul 3.29 Care este valoarea finala a unui sir de 10 anuitatiegale cu 3 000 u.m. platibile la nceputul fiecarui an, plata fiindamanata 6 ani, cu procentul 5%?

    Rezolvare. n r = 10, r = 6, n = 16.S16,6 = 3 000 1, 05 1, 05

    10 10, 05

    39 620, 34 u.m.

    39

  • 8/3/2019 Carmen Bolosteanu - Analiza a - Ecuatii Diferentiale

    40/60

    c) Valoarea actuala a unui sir de anuitati constante,anticipate, imediate, temporare

    Definitia 3.30 Se numeste valoare actuala a unui sir de anu-itati anticipate suma necesara si suficienta n momentul initi-al pentru a se putea plati suma T la fiecare din scadentele fixate0, 1,...,n 1.

    Fie An aceasta valoare.

    An = T + T v + ... + T vn1 = T 1 v

    n

    1 v = T(1 + i) 1 vn

    i;

    An = (1 + i)An.

    Pentru T = 1, valoarea actuala an a unui sir de anuitati anticipate

    a cate 1 u.m. este an = (1 + i) 1 vn

    i, deci An = T an.

    Dar:

    an = (1 + i) 1 vn

    i= (1 + i)

    1 1(1 + i)n

    i=

    =(1 + i) (1 + i)(n1)

    i= 1 +

    1 vn1i

    ;

    an = 1 + an1.

    d) Valoarea actuala a unui sir de anuitati anticipate,perpetue, imediate

    In cazul n care plata este perpetua, valoarea actuala a sirului deanuitati anticipate unitare este

    a = limn

    an = limn

    1 +1 vn1

    i

    =1 + i

    i

    .

    Daca rata este T, atunci A = T 1 + ii

    = T a.

    40

  • 8/3/2019 Carmen Bolosteanu - Analiza a - Ecuatii Diferentiale

    41/60

    e) Valoarea actuala a unui sir de anuitati anticipate,temporare, amanate

    Presupunem ca prima plata se face anticipat dupa r ani. Fie An,rvaloarea actuala a sirului de anuitati.

    Avem:

    An,r = T vr + ... + T vn1 = T vr(1 + ... + vnr1) =

    = T vr 1

    vnr

    1 v = T vr(1 + i) 1

    vnr

    i ;

    An,r = T vranr = T v

    r1anr.

    f) Valoarea actuala a unui sir de anuitati anticipate,perpetue, amanate

    Presupunem ca prima plata se face la momentul r. Atunci

    A,r = limn

    An,r = T vr(1 + i) 1

    i= T v

    r1

    i.

    3.5 ImprumuturiImprumutul este rambursat prin anuitati formate din rambursareaunei parti a datoriei si dobanda asupra sumei ramase de plata.

    Definitia 3.31 Se numescamortismente sumele rambursate a-nual care au rolul de a achita (amortiza) treptat suma mprumu-tata.

    3.5.1 Amortizarea unui mprumut prin anuitaticonstante posticipate

    Fie:- V0 suma mprumutata initial;- T1, T2,...,Tn anuitatile succesive;

    41

  • 8/3/2019 Carmen Bolosteanu - Analiza a - Ecuatii Diferentiale

    42/60

    - Q1, Q2,...,Qn amortismentele succesive continute n anuitatilerespective;

    - i dobanda unitara nominala a mprumutului;- n durata n ani a rambursarii.Descompunand pentru fiecare an anuitatile n amortismente si

    dobanzi, se poate ntocmi urmatorul tabel:

    Anii Anuitatile Suma ramasa de plata

    0

    V0

    1 T1 = Q1 + d1 = Q1 + V0i V1 = V0 Q12 T2 = Q2 + d2 = Q2 + V1i V2 = V1 Q2t Tt = Qt + dt = Qt + Vt1i Vt = Vt1 Qt

    t + 1 Tt+1 = Qt+1 + dt+1 = Qt+1 + Vti Vt+1 = Vt Qt+1n Tn = Qn + dn = Qn + Vn1i Vn = Vn1 Qn = 0

    Trebuie sa observam ca, deoarece Vn este nul, atunci Vn1 = Qnsi Tn = Qn(1 + i), adica ultima anuitate este egala cu ultimulamortisment plus dobanda corespunzatoare.

    a) Relatia dintre suma mprumutata si amortismente

    Este evident ca suma amortismentelor este egala cu suma mpru-mutata, adica

    V0 = Q1 + Q2 + ... + Qn.

    b) Relatia dintre anuitati si amortismente

    Daca se face diferenta dintre doua anuitati consecutive, se obtine:

    Tt+1 Tt = Qt+1 Qt + (Vt Vt1)i = Qt+1 Qt Qti == Qt+1 (1 + i)Qt.

    Daca T1 = T2 = ... = Tn = T (anuitatile sunt constante), atunci

    Qt+1 = (1 + i)Qt.

    42

  • 8/3/2019 Carmen Bolosteanu - Analiza a - Ecuatii Diferentiale

    43/60

    In acest caz, amortismentele succesive formeaza o progresie geo-metrica crescatoare cu ratia (1 + i) = u. Deci

    Qt = Q1ut1.

    Obtinem

    V0 = Q1 + Q1u + ... + Q1un1 = Q1 u

    n 1i

    ;

    V0 = Q1 S

    n; Q1 = V0 1

    Sn.

    Dar1

    Sn=

    1

    an i si n tabelele financiare se gaseste calculat si 1

    an.

    c) Relatia ntre anuitatile constante si suma mprumutata

    Fie V0 suma mprumutata.

    V0 = T v + T v2 + ... + T vn = T v 1 v

    n

    i= T an.

    T = V0 1an

    .

    cu an si1

    angasindu-se n tabelele financiare.

    d) Suma rambursata dupa plata a p anuitati

    Fie Rp suma rambursata dupa primii p ani. Atunci:

    Rp = Q1 + Q2 + ... + Qp = Q1 + Q1u + ... + Q1up1 =

    = Q1

    up 1

    i

    ;

    Rp = Q1 Sp ;Rp = V0 1

    Sn Sp .

    43

  • 8/3/2019 Carmen Bolosteanu - Analiza a - Ecuatii Diferentiale

    44/60

    e) Suma ramasa de platit dupa plata anuitatii de rang p

    Se poate scrie Vp = V0 Rp, adica

    Vp = V0V0 1Sn

    Sp = V0 Sn Sp

    Sn= V0 u

    n upun 1 = V0

    1 vnp1 vn .

    Deci

    Vp = V0 anp 1

    an.

    f) Legea diferentelor succesive ale dobanzilor

    Daca anuitatile sunt constante, atunci:

    T = Q1 + d1 = Q2 + d2 = Q3 + d3 = ... = Qn + dn

    deci,

    d1 d2 = Q2 Q1 = Q1(1 + i) Q1 = Q1id2 d3 = Q3 Q2 = Q1(1 + i)2 Q1(1 + i) = Q1i(i + i)d3 d4 = Q4 Q3 = Q1(1 + i)3 Q1(1 + i)2 = Q1i(i + i)2.

    Se observa ca daca anuitatile sunt constante, diferentele dobanzilorformeaza o progresie geometrica cu primul termen Q1i si ratia1 + i = u.

    g) Intocmirea tabelului de amortizare

    Daca ratele sunt constante, tabelul are urmatoarea forma:

    Anii Vn1 dn Qn T Vn1 V0 d1 = V0i Q1 T V1 = V0 Q12 V1 d2 = V1i Q2 T V2 = V1 Q23 V2 d3 = V2i Q3 T V3 = V2 Q3

    n 1 Vn2 dn1 = Vn2i Qn1 T Vn1 = Vn2 Qn1n Vn1 dn = Vn1i Qn T 0

    unde Vn1 este suma datorata la nceputul anului, dn - dobanda,Qn - amortismentul, T - anuitatea si Vn - suma datorata la sfarsitulanului.

    44

  • 8/3/2019 Carmen Bolosteanu - Analiza a - Ecuatii Diferentiale

    45/60

    3.5.2 Imprumuturi cu amortismente egale

    Daca Q1 = Q2 = ... = Qn =V0

    n, atunci

    Tt+1 Tt = V0n

    i; Tt+1 = Tt V0n

    i.

    In acest caz, anuitatile succesive formeaza o progresie aritmetica

    descrescatoare, cu ratia V0

    n i. Tabelul de amortizare va aveaurmatoarea forma:

    Anii Vn1 dn Q Tn Vn1 V0 d1 = V0i Q T1 V1 = V0 Q12 V1 d2 = V1i Q T2 V2 = V1 Q2

    n 1 Vn2 dn1 = Vn2i Q Tn1 Vn1 = Vn2 Qn1n Vn1 dn = Vn1i Q Tn 0

    unde notatiile folosite au fost definite anterior.

    45

  • 8/3/2019 Carmen Bolosteanu - Analiza a - Ecuatii Diferentiale

    46/60

    Capitolul 4

    Modele matematicepentru gestiuneastocurilor

    4.1 Introducere

    Definitia 4.1 Se numeste stoc o rezerva de bunuri materiale des-tinate vanzarii sau folosirii n procesul de productie.

    Definitia 4.2 Se numeste politica optima activitatea de mana-gement a stocului care implica un cost total minim.

    Politica optima are urmatoarele elemente: nivelul optim alstocului, volumul optim al unei comenzi de reaprovizionare, pe-rioada optima de reaprovizionare, numarul optim de reaprovizio-nari, costul total minim (gestiunea optima).

    Politicile optime sunt stabilite de modele matematice, care pot

    fi deterministe sau aleatoare (probabilistice).

    46

  • 8/3/2019 Carmen Bolosteanu - Analiza a - Ecuatii Diferentiale

    47/60

    4.2 Modele deterministe

    4.2.1 Model de stocare a unui produs cu cerereconstanta, perioada constanta dereaprovizionare si fara lipsa de stoc

    Acest model are urmatoarele ipoteze:- este stocat un singur produs, al c arui consum este o functie

    liniara de timp;

    - cererea produsului este Q pentru o perioada de timp ;- reaprovizionarea stocului se face instantaneu la intervale de

    timp egale cu T si n cantitati egale cu q;- costul unitar de stocare n unitatea de timp este cs;- costul de lansare a unei comenzi de aprovizionare este cl;- nu se admite lipsa de stoc.Volumul optim al unei comenzi de reaprovizionare q:

    q =

    2 Q cl

    csnumarul optim de aprovizionari:

    v =Q

    q=

    Q cs

    2 clperioada optima de aprovizionare:

    T =

    v=

    2 cl

    Q cs .

    Costul minim total (gestiunea optima) care se se obtine va fi

    C = C(q) =

    2 Q cl cs.Exemplul 4.3 Un magazin alimentar are o cerere anuala de 300tone de orez. Costul de lansare a unei comenzi este de 14 400

    47

  • 8/3/2019 Carmen Bolosteanu - Analiza a - Ecuatii Diferentiale

    48/60

    lei, iar costul de stocaj pe zi pentru o tona de orez este 15 lei. Inipoteza ca se admite o vanzare uniforma, aprovizionarea se faceinstantaneu la intervale egale n cantitati egale si c a nu se permitelipsa de stoc, sa se determine: volumul optim al unei comenzi,numarul optim de aprovizionari, perioada optima si gestiunea op-tima.

    Rezolvare.

    Q = 300 t = 360 zile

    cl = 14 400 lei cs = 15 lei.

    Se aplica formulele obtinute la acest model si rezulta:

    q =

    2 300 14 400

    360 15 = 40 t

    v =300

    40= 7, 5 aprovizionari

    T =360

    7, 5

    = 48 zile

    C =

    2 300 360 14 400 15 = 216 000 lei.

    4.2.2 Model de stocare a unui produs cu cerereconstanta, perioada constanta dereaprovizionare si cu posibilitatea lipsei de stoc

    Ipotezele acestui model sunt cele de la primul model, deosebireaconstand n faptul ca se admite lipsa de stoc penalizata cu un costunitar de penalizare cp (penalizarea pe unitatea de timp pentru o

    unitate de produs lipsa).Perioada de timp T a fost mpartita n doua parti:- T1 - perioada n care stocul satisface cererea si se va plati

    costul unitar de stocaj cs pentru stocul medius

    2;

    48

  • 8/3/2019 Carmen Bolosteanu - Analiza a - Ecuatii Diferentiale

    49/60

    - T2 - perioada n care stocul nu mai satisface cererea si se va

    plati costul unitar de penalizare cp pentru lipsa medieq s

    2.

    Se noteaza =cp

    cs + cp, fiind numit factor de penalizare.

    Valoarea optima pentru volumul unei comenzi este:

    q =

    2 Q cl

    cs

    1

    stocul optim:

    s = q =

    2 Q cl cs

    perioada optima si numarul optim de aprovizionari:

    T =

    v=

    2 cl

    Q cs

    1

    v =Q

    q=

    Q cs

    2 cl

    .

    Gestiunea optima se obtine nlocuind q si s cu valorile optime q sis:

    C =

    2 Q cl cs .Daca cp atunci 1 si se ajunge la modelul 1, care este uncaz particular al acestui model.

    Exemplul 4.4 La un magazin se estimeaza ca cererea lunar a pen-tru faina este de 200 kg. Costul de lansare a unei comenzi este de1 500 lei, costul zilnic de stocaj pentru 1 kg este de 1,2 lei, iar cos-tul de penalizare este 0,15 lei pe zi pentru 1 kg lipsa. In ipoteza caaprovizionarea se face n cantitati egale la intervale egale de timp

    si v anzarea este uniforma, sa se determine volumul optim al uneicomenzi, stocul optim, numarul optim de aprovizionari, perioadaoptima si gestiunea optima.

    49

  • 8/3/2019 Carmen Bolosteanu - Analiza a - Ecuatii Diferentiale

    50/60

    Rezolvare.

    Q = 200 kg = 30 zile

    cl = 1 500 lei cs = 1, 2 lei

    cp = 0, 15 lei

    Se aplica formulele de mai sus obtinute pentru acest model siobtinem

    =0, 15

    0, 15 + 1, 2= 0, 11

    q =

    2 200 1 500

    30 1, 2

    100

    11 43, 03 kg

    v =200

    43, 03 4, 64 aproviz.

    T =30

    4, 64 6, 46 zile

    C = 2 200 30 1 500 1, 2 0, 11 1 541, 43 lei.

    4.2.3 Model de stocare a unui produs cu cerereconstanta, perioada constanta dereaprovizionare, fara lipsa de stoc, luand nconsiderare si costul de achizitiesau de productie

    Acest model are urmatoarele ipoteze:- este stocat un singur produs, al c arui consum este o functie

    liniara de timp,

    - cererea produsului este Q pentru o perioada de timp ,- reaprovizionarea stocului se face instantaneu la intervale de

    timp egale cu T si n cantitati egale cu q,

    50

  • 8/3/2019 Carmen Bolosteanu - Analiza a - Ecuatii Diferentiale

    51/60

    - pretul unitar de cumparare sau costul unitar de productie esteca,

    - costul fix al unei comenzi este cb,- costul unitar de stocare, cs, se presupune proportional cu

    cheltuielile facute pentru aprovizionarea cu o unitate de produs,coeficientul de proportionalitate fiind .

    Acest model este o varianta a primului model n care costul delansare este cl = q ca + cb. Costul unitar de stocaj este

    cs =

    ca +cb

    q

    .

    q =

    2 Q cb ca .

    Rezulta

    v =Q

    q=

    Q cb

    2 ca ;

    T =

    v

    = 2 cb Q ca

    ;

    C =

    2 Q ca cb + Q ca + 12

    cb.

    Exemplul 4.5 La o cofetarie se vand prajituri care au un ter-men de garantie de 3 zile. Necesarul de prajituri pentru o luna(30 zile) este de 2 700 de bucati, pretul de achizitie este 3 lei bu-cata, costul fix al unei comenzi este de 120 lei si coeficientul deproportionalitate este 0,15.

    Stiind c a se admite o vanzare uniforma, aprovizionarea se facen cantit ati egale la intervale egale si nu se admite lipsa de stoc,sa se stabileasca (daca este posibil, adica termenul de garantie al

    produselor nu este depasit) comanda optima, numarul optim decomenzi si gestiunea optima.

    51

  • 8/3/2019 Carmen Bolosteanu - Analiza a - Ecuatii Diferentiale

    52/60

    Rezolvare.

    = 30 zile Q = 2 700 buc

    ca = 3 lei cb = 120 lei

    = 0, 15

    Trebuie sa avem T 3. In aceste conditii, aplicand formulele,obtinem:

    q =

    2 2 700 120

    0, 15 30 3 219, 09

    v =2 700

    219, 09 12, 32 aproviz.

    T =30

    12, 32 2, 43 zile

    C =

    2 0, 15 2 700 30 3 120 + 2 700 3++

    1

    2 0, 15 30 120 11 327, 70 lei.

    4.2.4 Model de stocare a mai multor produse

    Ipotezele care se iau n calcul la acest model sunt:- se stocheaza mai multe produse Pi, i = 1,...,k, al caror con-

    sum este dat de functii liniare de timp;- cererea produsului Pi este Qi pentru o perioada de timp ;- reaprovizionarile se fac instantaneu la intervale de timp egale

    cu Ti n cantitati egale cu qi;- costurile unitare de stocare sunt csi ;- costurile de lansare a comenzilor de aprovizionare sunt cli ;

    - nu se admite lipsa de stoc pentru nici un produs.Costul global de stocaj pentru produsul Pi este

    Ci(qi) =1

    qi Qi cli +

    1

    2 qi csi

    52

  • 8/3/2019 Carmen Bolosteanu - Analiza a - Ecuatii Diferentiale

    53/60

    si functia obiectiv pentru toate produsele este

    C(q1,...,qk) =k

    i=1

    Ci(qi).

    Pentru fiecare produs Pi se obtin urmatoarele formule:

    qi = 2 Qi cli csi

    ;

    vi =

    Qi csi

    2 cli;

    Ti =

    vi=

    2 cliQi csi

    .

    Gestiunea optima va fi:

    C =k

    i=1 Ci, cu Ci = 2 Qi cli csi .Exemplul 4.6 La un depozit se stocheaza 3 produse, P1, P2, P3.Cunoscand ca cererile pentru un an comercial (300 zile) suntQ1 =300 t, Q2 = 360 t, Q3 = 480 t, cheltuielile de lansare sunt cl1 =100 000 lei, cl2 = 90 000 lei, cl3 = 120 000 lei si cheltuielile destocare pe zi sunt cs1 = 20 lei, cs2 = 40 lei, cs3 = 60 lei, sase stabileasca elementele optime ale activitatii de management astocului, n conditiile n care nu se admite lipsa de stoc pentru niciun produs si reaprovizionarile se fac instantaneu.

    Rezolvare. Aplicand formulele acestui model, avem: pentru pro-

    53

  • 8/3/2019 Carmen Bolosteanu - Analiza a - Ecuatii Diferentiale

    54/60

    dusul P1

    q1 =

    2 300 100 000

    300 20 = 100 t;

    v1 =300

    100= 3 aprovizionari;

    T1 =300

    3= 100 zile;

    C1 = 2 300 300 100 000 20 = 600 000 lei;pentru produsul P2

    q2 =

    2 360 90 000

    300 40 = 73, 48 t;

    v2 =360

    73, 48 4, 89 aprovizionari;

    T2 =300

    4, 89 61, 35 zile;

    C2 =

    2 360 300 90 000 40 881 816, 31 lei;

    pentru produsul P3

    q3 =

    2 480 120 000

    300 60 = 80 t;

    v3 =480

    80= 6 aprovizionari;

    T3 =300

    6= 50 zile;

    C3 =

    2 480 300 120 000 60 = 1 440 000 lei.

    Gestiunea optima va fi

    C = 600 000 + 881 816, 31 + 1 440 000 = 2 921 816, 31 lei.

    54

  • 8/3/2019 Carmen Bolosteanu - Analiza a - Ecuatii Diferentiale

    55/60

    Capitolul 5

    Elemente de matematicaactuariala

    5.1 Introducere

    Matematica actuariala este ramura matematicii care se ocupa curezolvarea problemelor care apar n tehnica asigurarilor de per-

    soane.In acest capitol va fi tratat fundamentul matematic al asigu-

    rarilor. Totalitatea operatiilor financiare si a normelor pe bazacarora se fac calculele de asigurari, folosindu-se conceptele de bazaale teoriei probabilitatilor si ale statisticii matematice se definesteprin termenul de actuariat.

    Asigurarile sunt de doua feluri: asigurari de persoane si asi-gurari de bunuri. Dupa natura lor, asigurarile pot fi obligatorii(prevazute prin lege) sau facultative (pe baza ntelegerii ntreparti). Contractul de asigurare se stabileste ntre institutia deasigurare (asigurator) si asigurat, care poate fi o persoana fizica

    sau juridica.Fondurile de asigurari se creeaza prin varsamintele per-

    soanelor fizice sau juridice.In cadrul unei asigurari, asiguratul are obligatia sa plateasca

    55

  • 8/3/2019 Carmen Bolosteanu - Analiza a - Ecuatii Diferentiale

    56/60

  • 8/3/2019 Carmen Bolosteanu - Analiza a - Ecuatii Diferentiale

    57/60

    Studiul mortalitatii populatiilor umane a avut un suport stiin-tific o data cu aparitia teoriei probabilitatilor si a statisticii.

    Primul mare cercetator n acest domeniul a fost J. Bernoulli,care a creat un model matematic pentru fenomenele vietii. Acestmodel s-a extins si asupra obiectelor, care pot fi: cladirile asigu-rate mpotriva incendiilor, cutremurelor etc. sau masinile dintr-unsistem a carui functionalitate fara ntrerupere intereseaza n modspecial.

    5.4 Functii biometrice

    Definitia 5.2 Functiile biometrice sunt coeficienti numericicu ajutorul carora se masoara intensitatea mortalitatii unui grupde indivizi.

    La baza acestor calcule, stau elementele de teoria probabilita-tilor, cu ajutorul carora se determina probabilitatea de viatasi de moarte, functia de supravietuire, viata medie. Toateaceste functii biometrice se trec n tabele de mortalitate. Mor-

    talitatea este influentata de varsta, profesie, sex etc. Vom analizan continuare cele mai importante functii biometrice.

    5.4.1 Probabilitatea de viata si de moarte

    Se considera o populatie (notata cu Mx) de indivizi de aceeasivarsta (x ani). Fie A evenimentul ca o persoana sa fie n viata lamplinirea varstei de x + 1 ani.

    Probabilitatea px a evenimentului A se numeste probabilitatede viata si qx, probabilitatea evenimentului contrar, se numesteprobabilitate de deces. Avem:

    px + qx = 1. (5.1)

    Daca notam cu px(y) probabilitatea ca o persoana din Mx samplineasca y ani si cu qx(y) probabilitatea evenimentului contrar,

    57

  • 8/3/2019 Carmen Bolosteanu - Analiza a - Ecuatii Diferentiale

    58/60

    atunci (5.1) devine:

    px(y) + qx(y) = 1.

    Fie z o varsta cuprinsa ntre x si y ani. Pentru ca o persoana samplineasca y ani, trebuie sa mplineasca mai ntai z ani. Tinandcont de definitia probabilitatii conditionate, rezulta

    px(y) = px(z)pz(y).

    Generalizarea acestui rezultat este:

    px(y) = px(x + 1) px+1(x + 2) py1(y).

    saupx(y) = px px+1 py1.

    5.4.2 Functia de supravietuire

    Consideram o populatie formata dintr-un numar de la persoanede aceeasi varsta, de a ani. Numarul de persoane care ajung sa

    mplineasca varsta de x ani, cu x > a, este o variabila aleatoarediscreta de forma:

    X :

    0 1 2 ... k ... la

    p0 p1 p2 ... pk ... pla

    cu

    pk 0, k = 0, 1,...,lap0 +p1 + ... +pla = 1.

    Daca presupunem ca toate persoanele n varsta de a ani au aceeasi

    probabilitate de a mplini varsta de x ani, variabila aleatoare Xurmeaza legea binomiala, conform careia

    pk = Ckla [pa(x)]

    k[qa(x)]lak.

    58

  • 8/3/2019 Carmen Bolosteanu - Analiza a - Ecuatii Diferentiale

    59/60

    Definitia 5.3 Functia de supravietuire lx va fi valoarea me-die a variabilei aleatoare X (adica valoarea medie a numarului depersoane care ajung sa mplineasc a varsta de x ani).

    Decilx = M(X).

    In cazul repartitiei binomiale M(X) = np. Dar n = la si p =pa(x). Rezulta

    lx = la pa(x).Probabilitatea de viata n raport cu functia de supravietuire este

    pa(x) =lx

    la.

    Daca avem a < x < y, din relatia pa(y) = pa(x) px(y) obtinem

    px(y) =pa(y)

    pa(x)=

    ly

    lx. (5.2)

    Aceasta relatie ne permite sa calculam probabilitatea ca o per-

    soana n varsta de x ani sa fie n viata la mplinirea varstei de yani daca se cunosc valorile lx, ly.

    5.4.3 Viata medie

    Definitia 5.4 Se numeste viata medie si se noteaz a ex valoareamedie a numarului de ani pe care i mai are de trait o persoanan v arsta de x ani.

    5.4.4 Tabele de mortalitate

    Tabelele de mortalitate cuprind caracteristici ale mortalitatii unui

    grup de persoane, dupa diferite criterii, ca de exemplu: varsta,sexul, conditiile sociale, materiale, culturale etc.

    In aceste tabele se porneste cu numarul de 100 000 pentru ceinou-nascuti. In prima coloana a tabelului se trec varstele. In

    59

  • 8/3/2019 Carmen Bolosteanu - Analiza a - Ecuatii Diferentiale

    60/60

    urmatoarea coloana sunt trecute valorile functiei de supravietuirelx, n alta coloana valorile functiei dx, care reprezinta numarulpersoanelor decedate ntre x si x + 1 ani etc.

    Exemplul 5.5 Care este probabilitatea ca o persoana n v arsta de30 de ani sa fie n viat a peste 25 de ani?

    Rezolvare. Aplicand formula (5.2) si folosind tabelele de mortali-

    tate,p30(55) =

    l55

    l30=

    77 603

    87 036 0, 891.

    Titular curs,Lect.dr. Carmen Bolosteanu,e-mail: [email protected]