Cap. 1

Cap. 2

Cap. 3

Cap. 4

Page 1 of3

A. CURS SIGURANTA (28 ore)

Metode probabilistice pentru estimarea sigurantei structurale la incarcacristatice (4 ore).

1.1 Introducere in modele statistice si probabiliste utilizate in siguranta.

• Histograme de frecvente

• Functii de densitate si de repartitie

• Indicatori de localizare si imprastiere

• Repartitii curente utilizate in determinarea probabilistica a rezistentelor de

proiectare,a incarcarilor de proiectare si analiza sigurantei structurii.

1.2 Metode uzuale utilizate pentru estimarea probabilistica a rezistentei betonului si

armaturii.

1.3 Metodologii probablistice de apreciere a capacitatii de rezistenta pe elemnt si structura

la podurilor din beton armat.

1.4 Metodologii probablistice de apreciere efectului incarcarilor aleatoare in structurile

podurilor din beton armat.

1.5 Utilizarea metodelor de abordare probabilistica in verificarea sigurantei podurilor din

beton armat si implicatiile asupra normelor de proiectare

1.6 Modelarea sigurantei in EUROCODURI.

Originea deqradarilor in podurile din beton (4 ore).• Actiunea deformatiilor traficului si incarcarilor din temperatura

• Actiuni cu caracter accidental

• Degradarile in beton si in armatura

• Insuficiente de proiectare

• Insuficiente datorate modelelor de calcul

• Degradari datorate erorilor de executie

• Degradari datorate intretinerii curente deficitare

Metode pentru determinarea capacitatii de rezistenta corelat cu nivelul dedegradare al betonului si armaturii in elementele structurale.(2 ore)

• Metode de examinare a calitatii materialelor din structura

• Metode de incercare destructive si nedistructiva

Degradari in lucrarile din beton armat si metode de reparatie uzuala ( 4 ore)

• Metode de tratament a betonului armat fisurat

• Metode de ranforsare cu ajutorul materialelor si tehnologiilor speciale

• Protectia catodica a armaturilor

Page 2 of3

Cap.S

Cap. 8

Degradari in lucrarile din beton precomprimat si metode de reparatie siconsolidare (4 ore)

Consolidarea tablierelor prin precomprimarea aditionala, exterioara

Degradari in infrastructurile din beton ale podurilor si masuri de protectieconsolidare si reparatie. (2 ore)

Supravegherea si intretinerea echipamentelor curente de pe lucrarile de arta(2 ore)

Cap. 6

Cap. 7

• Aparate de reazem

• Rosturi de dilatatie

• Calea, sistemele hidroizolante si de scurgere a pelor

• Dispozitive de protectie seismica

Cap. 9 Inspectiea, intretinerea si metode de evaluare a starii tehnice a lucrarii. (2ore)

8.1 Principii fundamentale ale activitatii de inspectie.

• Calificari necesare si responsabilitatile tehnice ale inspectorilor de poduri

• Frecventainspectilor

• Metode de inspectie tehnica

• Continutul raportului de inspectie

• Ghiduri, manuale si norme tehnice pentru inspectia podurilor din beton

8.2 Conceptia proiectelor si documentatiilor tehnice pentru lucrarile de intretinere, lucrarile de

reparatie curenta si lucrarile de consolidare.

8.3 Metode de evaluare a starii tehnice a lucrarilor inspectate.

Cap. 10 Metode de evaluare a sigurantei structurilor podurilor din beton. (4 ore)9.1 Evaluare nivele de siguranta in metoda momentelor centrale de ordinulll

9.2 Folosirea metodelor probabilistice de siguranta, in evaluarea coeficientilor partiali de siguranta

ai rezistentelor si incarcarilor.

9.3 Evaluare capacitate de rezistenta structura.

9.4 Utilizarea metodelor probabilistice la evaluarea sigurantei structurilor de poduri sub actiunea

convoaielor agabaritice, grele.

9.5 Utilizarea metodelor probabilistice in evaluarea sigurantei structurilor cu durata indelungata de

exploatare.

Cap. 11 Durata de viata a podurilor din beton (2 ore)

Page 3 of3

B. LUCRARI (28 ore)• Stabilirea parametrilor statistici de baza , a rezistentelor de proiectare pentru beton si armature -

functii de repartitie uzuale pentru rezistenta materaiale de baza. (4 ore)

• Stabilirea parametrilor statistici de baza , ai incarcarilor de proiectare (permanente si utile) - functii

de repartitie uzuale pentru incarcarile din gruparea fundamentala (4 ore)

• Evaluarea capacitatii de rezistenta si sigurantei unui tablier de pod din beton precomprimat de tip

grinzi prefabricate In conformitate cu Eurocodurile. (20 ore)

-.

7.13. REPARTITII"DE FRECVENTE, CU APLICATIIIN CONSTRUCTII

7.13.1. REPARTITIA NORMALAEste denumita si repartitia Gauss sau Gauss - Laplace, curba in forma de clopot

sau curba a erorilor.Repartitia normal a este repartitia cu cea mai mare frecventa de intrebuintare in

ap~cat,ii.pra~tice si cartile de statistica matematica sau teoria probabilitatii.Repariitia normala a fost considerata in prima jumatate a secolului al XIX-lea ca

avand 0 valabilitate general a, datorita faptului ca seriile statistice cercetate inbiometrie sau teoria erorilor, la vremea respectiva, aveau repartitii normale.

Credinta in valabilitatea generala a legii normale a disparut cu greu. Dupa cumnoteaza Poincare in cartea " Calculul Probabilitatilor", toata lumea crede in legeanormala; experimentatorii deoarece cred ca este 0 teorema matematica, iarmatematicienii deoarece cred ca este un fapt experimental". [7.29]

r"> Desi foarte multe fenomene ale naturii - este cunoscut si recunoscut astazi - case abt de la repartitia normala nu poate fi exagerat minimalizata ca importantadeoarece este usor de manipulat in calculele practice, poate fi folosita intre-o primaaproximare si pentru alte repartitii iar anumite repartitii asimetrice se pot reduce larepartitia normal a primtr-o schimbare de variabila convenabil aleasa.

Proprietatile repartitiei normale sunt sumarizate in tabelul 7.1. si fig. 7.19.

0,5-----~ 0,4

0,3

0,2

0,1

°

1 jx-~lI(x) = e 2£7

-J21UJ

DENSITATE DE REPARTITIE

f(x)

," 68,26% ., PUNCT DE INFLEXIUNE

9 I 09 ,13 Yo95,J5% •. ,

x-3a-3

I

x-2a x-a-2

I

_IX - 0,6745~ x x + 0,67145aI I I

--1

0,75

1,0 ------------- ---- - ------- -- --- -- -------------DENSITATE DE REPARTITIE

x (x-~L--n~)~~~I~~-2ardL---- .

- - - -- - - - -- - ------ - - -\ --- - I --- PUNeT DE INFLEXIUNE\ !, '

0,50

0,25

° , x , x+20"

x-30" x-20" x-O,67450" x+O,67450" x+20"-3 -2 -1 0 1 2 ",:)

I I I I I I I

x +30" X,

Fig. 7.19. Repartitia normala (GAUSS) [7.5] x-xy=--

aTabelul 7.1. Repartitia normala (Gauss)

Nr. Proprietati ale repartitieiCrt.

1 Densitatea de repartitie

2 Domeniul de definitie3 Functia de repartitie

F(x)

Expresii analitice

1 jx-~lI(x) = .e 20-

0--J2;r-oo<x<+oo; 0->0

1 x jX-~LdxF(x) = Ie 20-

2

0--J2;r -00

4 Media, Modul, Mediana,.............,

5 Abaterea standard6 Coeficientul de variatie7 Coeficientul de oblicitate

8 Coeficientul de exces

9Estimarea parametrilor (x si CT)

x=x=x

V=o-/xjji; =0

Curba f(x) este simetricaP2 =3 Y2 =0Curba "normal a"

nLXiX = i=I

n

2

--. Repartitia normal a este eomplet earaeterizata prin media x si abaterea standard

a.-

Densitatea de repartitie f(x) este simetriea in raport eu x, are forma de c1opot sipunetele de inflexiune la x = ±a .

Repartitia este unimodala si Modul = Media = Mediana. _Deoareee f(x) este definita pe domeniul - 00 < x < +00 media x trebuie sa fie

suficient de mare fata de X=O (de exemplu x - 3a > 0) pentru ea in reprezentareagrafiea repartitia sa nu se intinda in zona x<O. eonditia poarta numele de eonditia de"truneare" a repartitiei normale.

f(x)

1+-------+-----~---

DENSITATE DE REPARTITIEO,5,-J---=-=t'rt::--r---t-----t--------t---

0 x- x

F(x)1

FUNCTIA DE REPARTITIE

° x x

R(x1

(jx- =0,5FUNCTIA DE REABILITATE

0,5

° x x

hex)(jx- =0,5

3

2FUNCTIA DE RISC 1

° x x

Fig. 7.19. Repartitia normala (GAUSS) [7.14]

3

) Tabelul 7.12. Valorile densitati. repartitie normala

fCy) = _1_e-y2 /2

-J21l

} )x-x

y=--a

y 0.00 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.090.0 0.3989 0.3989 0.3989 0.3988 0.3986 0.3984 0.3982 0.3980 0.3977 0.39730.1 0.3970 0.3965 0.3961 0.3956 0.3951 0.3945 0.3939 0.3932 0.3925 0.39180.2 0.3910 0.3902 0.3894 0.3885 0.3876 0.3867 0.3857 0.3847 0.3836 0.38250.3 0.3814 0.3802 0.3790 0.3778 0.3765 0.3752 0.3739 0.3725 0.3712 0.36970.4 0.3683 0.3668 0.3653 0.3637 0.3621 0.3605 0.3589 0.3572 0.3555 0.35380.5 0.3521 0.3503 0.3485 0.3467 0.3448 0.3429 0.3410 0.3391 0.3372 0.33520.6 0.3332 0.3312 0.3292 0.3271 0.3251 0.3230 0.3209 0.3187 0.3166 0.31440.7 0.3123 0.3101 0.3079 0.3056 0.3034 0.3011 0.2989 0.2966 0.2943 0.29200.8 0.2897 0.2874 0.2850 0.2827 0.2803 0.2780 0.2756 0.2732 0.2709 0.26850.9 0.2661 0.2637 0.2613 0.2589 0.2565 0.2541 0.2516 0.2492 0.2468 0.24441.0 0.2420 0.2396 0.2371 0.2347 0.2323 0.2299 0.2275 0.2251 0.2227 0.22031.1 0.2179 0.2155 0.2131 0.2107 0.2083 0.2059 0.2036 0.2012 0.1989 0.19651.2 0.1942 0.1919 0.1895 0.1872 0.1849 0.1826 0.1804 0.1781 0.1758 0.17361.3 0.1714 0.1691 0.1669 0.1647 0.1626 0.1604 0.1582 0.1561 0.1539 0.15181.4 0.1497 0.1476 0.1456 0.1435 0.1415 0.1394 0.1374 0.1354 0.1334 0.13151.5 0.1295 0.1276 0.1257 0.1238 0.1219 0.1200 0.1182 0.1163 0.1145 0.11271.6 0.1109 0.1092 0.1074 0.1057 0.1040 0.1023 0.1006 0.0983 0.09728 0.095661.7 0.09405 0.09246 0.09089 0.08933 0.08780 0.08628 0.08478 0.08329 0.08183 0.080381.8 0.07895 0.07754 0.07614 0.07477 0.07341 0.07206 0.07074 0.06943 0.06814 0.66871.9 0.06562 0.06438 0.06316 0.06195 0.06077 0.05959 0.05844 0.05730 0.05618 0.055082.0 0.053992.5 0.017533.0 0.004433.5 0.0008734.0 0.0001345.0 0.00000149

4

Tabelul 7.12. Valorile functiei (. epartitie normala1 Y

J2/2

F(y) = ~ «r dy-V 2iC -00

) )x-x

y=--a

y 0.00 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.090.0 0.5000 0.5040 0.5080 0.5120 0.5160 0.5199 0.5239 0.5279 0.5319 0.53590.1 0.5398 0.5438 0.5478 0.5517 0.5557 0.5596 0.5636 0.5675 0.5714 0.57530.2 0.5793 0.5832 0.5871 0.5910 0.5948 0.5987 0.6026 0.6064 0.6103 0.61410.3 0.6179 0.6217 0.6255 0.6293 0.6331 0.6368 0.6406 0.6446 0.6480 0.65170.4 0.6554 0.6591 0.6628 0.6664 0.6700 0.6736 0.6772 0.6808 0.6844 0.68790.5 0.6915 0.6950 0.6985 0.7019 0.7054 0.7088 0.7123 0.7157 0.7190 0.72240.6 0.7257 0.7291 0.7324 0.7357 0.7389 0.7422 0.7454 0.7486 0.7517 0.75490.7 0.7580 0.7611 0.7642 0.7673 0.7703 0.7734 0.7764 0.7794 0.7823 0.78520.8 0.7881 0.7910 0.7939 0.7967 0.7995 0.8023 0.8051 0.8078 0.8106 0.81330.9 0.8159 0.8186 0.8212 0.8238 0.8264 0.8289 0.8315 0.8340 0.8365 0.83891.0 0.8413 0.8438 0.8461 0.8485 0.8508 0.8531 0.8554 0.8577 0.8599 0.86211.1 0.8643 0.8665 0.8686 0.8708 0.8729 0.8749 0.8770 0.8790 0.8810 0.88301.2 0.8849 0.8869 0.8888 0.8907 0.8925 0.8944 0.8962 0.8980 0.8997 0.901471.3 0.90320 0.90490 0.90658 0.90824 0.90988 0.91149 0.91309 0.91466 0.91621 0.917741.4 0.91924 0.92073 0.92220 0.92364 0.92507 0.92647 0.92785 0.92922 0.93056 0.931891.5 0.93319 0.93448 0.93574 0.93699 0.93822 0.93943 0.94062 0.94179 0.94295 0.944081.6 0.94520 0.94630 0.94738 0.94845 0.94950 0.95053 0.95154 0.95254 0.95352 0.954491.7 0.95543 0.95637 0.95728 0.95818 0.95907 0.95994 0.96080 0.96164 0.96246 0.963271.8 0.96407 0.96485 0.96562 0.96638 0.96712 0.96784 0.96856 0.96926 0.96995 0.970621.9 0.97128 0.97133 0.97257 0.97320 0.97381 0.97441 0.97500 0.97558 0.97615 0.976702.0 0.977252.1 0.982142.2 0.986102.3 0.989282.4 0.991802.5 0.993793.0 0.998653.5 0.9997674.0 0.99996834.5 0.99999665.0 0.999999715.5 0.99999999981

5

Cateva valori specifice repartitiei normale (vezi si fig. 7.19) sunt urmatoarele:

p(~ - 0,67450- < X < ~ + 0,67450-)= 0,5000 = 50%

p(x - a < x < X + a)= 0,6826 = 68,26%

p{x - 2a < x < X + 2a)= 0,9545 = 95,45%

p(x - 30-< X < ~ +30-)= 0,9973 = 99,73%(7.177)

Efectuand schimbarea de variabila

x-xY=--

0-(7.198)

si tinand seama si de schimbarea limitelor de integrare in expresia lui I(x), se obtinurmatoarele expresii pentru densitatea si functia de repartitie a variabilei normata(standardizata sau redusa) y,

fey) = _1_e-i12-J2n

I Y 2

F(y) = ~ fe-Y /2 dy....;27r -00

(7.199)

Repartitia normal a redusa (normata sau standardizata) are media zero si abatereaunu,

y=o

Valorile lui fey) si F(y) sunt date in tabelul 7.2.

-Cuantilii repartitiei normale (xp) se calculeaza ca fractiuni de media x, fie in

functie de abaterea standard, fie in functie de coeficientul de variatie.

(7.200)

In functie de marimea probabilitatii p prin care se definesc cuantilii x,

6

Valorile coeficientului K sunt date in tabelul 7.3.

Tabelul 7.3. Cuantilii repartitiei normale

p K p K p K500/0 0.000 34% 0.468 14% 1.08049% 0.025 31% 0.496 13% 1.12648% 0.051 30% 0.524 12% l.17547% 0.075 29% 0.553 11% 1.22746% 0.100 28% 0.583 10% 1.281450/0 0.125 27% 0.613 9% 1.34144% 0.150 26% 0.643 8% 1.40543% 0.176 25% 0.674 7% 1.47642% 0.202 24% 0.706 6% 1.55541% 0.228 23% 0.739 5% 1.64540% 0.254 22% 0.772 4% l.75139% 0.279 21% 0.806 3% 1.88138% 0.306 20% 0.842 2% 2.05437% 0.332 19% 0.878 1% 2.32636% 0.358 18% 0.915 0.1% 3.090

, 35% 0.385 17% 0.954 0.01% 3.720 '34% 0.412 16% 0.995 0.001% 4.26533% 0.440 15% 1.036

In cele ce urmeaza sunt infatisate doua aplicatii ale repartitiei normale pentru,,-, rezistentele otelurilor si respectiv betoanelor.

Aplicatie 7.1. Repartitia normala pentru rezistentele de curgere ale oteluluiOL44; tabele cu grosimi 17-40 mm.

In tabelul 7.4, coloanel1-6 sunt date dupa lucrarea [3.20], pentru productia dehotel a Combinatului Siderurgic Galati pe primele 6 luni ale anului 1968, rezultateleincercarilor de tractiune (pentru rezistenta de curgere) efectuate la I.C.C.F. pentruotelul sudabil OL 44 (tabele cu grosimi 17 - 40 mm).

In coloanele 7 - 9 sunt calculate media aritmetica si abaterea standard arezistentelor de curgere.

- 2X = 33,02kgf / mm

a = 2,94kgf / mm2

7

Coeficientul de variatie este in consecinta:

v = ~ = 2,94 = 0 088 = 8 8%x 33,02' ,

In coloanele 11 - 12 sunt calculate densitatea de repartitie fey) si functia derepartitie F(y) pentru variabila redusa y (coloana 10).

x-xy=--

(J

Densitatea de repartitie a rezistentelor de curgere ale otelului OL 44 se scrie inrepartitia de frecvente normal a (Gauss) astfel (~ si o in kgf/mm"),

1f(x) = .J2i. 2,94 e

(x-33,023f2·8,68

1f(x)=-e7,34

(x-33,023?17,36

(7.201)

iar functia de repartitie

x x (x-33,023)2

F(x) = f f(x)dx = _1_ Ie 17,36 dx737

-00 ' -00

In fig. 7.20 sunt reprezentate histograma si poligonul frecventelor relative sifrecventelor relative cumulate pentru variabila x, grupata pe intervale de marimea~ = 2 kgf/mm".

Pe aceeasi figura sunt rprezentate si ordonatele care rezulta din repartitiateoretica Gauss calculate in coloanele 13 si 14 astfel:

F(x) = F(y)Sl (7.203)

~f (x) . /1 = f(y) . -(J

unde f(x}/1 reprezinta frecventa relativa a valorilor x cuprinse in intervalul de la(x-~/2) la (x+~/2).

8

) ) ) )

TabeluI7.12. Repartitia normala pentru rezistentele de curgere ale otelului OL 44;Table cu grosimi 17 - 40 mm

Gruparea rezistentelor Frecventele rezistentelor Media aritmetica x si Repartitia normala Repartitia normalakgf/mm2 abaterea standard (J",

pentru variabila redusa pentru variabila-

Kgf/cm2 x-x xy=--

a-Intervalul Valoarea

~ ~ ~ ~ ~~ ~de grupare centrala a ;.0 ~=;.0 =- = '" ~ .~.~ := ~ = ~ ~

(Xi - xl~=2 intervalului ~-~- ~ .~ ~- fjXj J;~i -xl x· -x f(y) F(y) Ll F(x)=F(y)u 0 u 0 u- u = y=-'-kgf/mm2

~ fIl ~ ~ ~ = ~- f(y)-Xj ;",.Q ;""c ;,,- ;" ~ a~ = ~ = ~ e ~ ;" a-

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1426-28 27 13 13 0.018 0.018 48.6 36 0.649 -2.04 0.05 0.0207 0.034 0.020728-30 29 104 117 0.143 0.161 4.15 16 2.28 -1.36 0.159 0.0869 0.104 0.086930-32 31 182 299 0.252 0.413 7.81 4 1.008 -0.68 0.316 0.2483 0.215 0.248332-34 33 164 463 0.226 0.639 7.48 0 0 0 0.3989 0.5000 0.272 0.500034-36 35 142 605 0.195 0.834 6.82 4 0.78 +0.68 0.316 0.7517 0.215 0.751736-38 37 81 686 0.111 0.945 4.10 16 0.78 +1.36 0.159 0.9131 0.104 0.913138-40 39 28 714 0.039 0.985 1.51 36 0.41 +2.04 0.05 0.9793 0.034 0.979840-42 41 12 726 0.016 1.000 0,657 42 0.785 +2.72 0.0099 0.9967 0.0067 0.9967

a-=

9

Se verifica astfel ca poligonul frecventelor relative este 0 estimare a densitatii de--- repartitie, iar poligonul frecventelor relative cumulate este 0 estimare a functiei de

repartitie.Cuantilii 1%,2,3%, 1%, 5%, 10%, 15% etc. se pot calcula cu formula (7.200)

cu valorile K dupa tabelul 7.3.

Xl % = ~(1- 3,090 . 0,088) = 0,728·33,02 = 24,0 kg[ Imm2

Xl % = x(l- 2,326,0,088)= 0,796·33,02 = 26,3 kg[ / mm2

X2 3% = x(l- 2,000.0,088) = 0,824·33,02 = 27,2 kg[ Imm2,

X5 % = ~(1-1,645 . 0,088) = 0,855 ·33,02 = 28,2 kg[ Imm'(7.204)

XIO % = ~(1-1,281. 0,088) = 0,887 . 33,02 = 29,4 kg[ I mm2

XIS % = ~(1-1,036 ·0,088) = 0,909 . 33,02 = 30,0 kg[ Imm" (7.204)

Aplicatia 7.2. Repartitia normal a pentru rezistentele la compresiune alebetoanelor (marca).

In tabelul 7.5 coloanele 1-6 sunt date dupa AICI Comitte 235, [3.3], rezultatelea 164 incercari pentru betonul preparat in diferite fabrici sau statii de betoane dinS.U.A. in intervalul ianuarie 1958 - ianuarie 1959, beton prevazut a avea marca 212kgf/cnr' (f c = 3000 psi).

In coloanele 7-9 sunt calculate media aritmetica X si abaterea standard (j arezistentelor la compresiune.

x=270 kgf/cm2

(J' = 33,3 kg[ / em"Coeficientul de variatie este in consecinta

v = ~ = 33,3 = °123 = 123%X 2,70' ,

In coloanele 11-12 sunt calculate densitatea de repartitie F(y) pentru variabilaredusa y (coloana 10).

X-Xy=--

cr

10

) TabeluI7.12. Repartitia no. ala pentru rezistentele compresiun )e betonului; date dupa [3.3] )

Gruparea rezistentelor Frecventele rezistentelor Media aritmetica x si Repartitia normala Repartitia normalakgf/mm2 abaterea standard (J, pentru variabila redusa pentru variabila

-kgf/cm2 x-x x

y=--a

Intervalul Valoarea~ ~ ~ ~ ~~ ~~~de grupare centrala a = ....= .... = ~ = ,..~~ = ~ = ~ ~ ~ ........•

(Xi -~)-

1\=2 intervalului ,..- .,.- ,.. .•.. .,.....= fjxj .t;(xi -~) x·-x f(y) F(y) ~ F(x)=F(y)~ 0 ~ 0 ~ .•.. ~ oS a y=-'-kgflmm2 ~ "-l ~ "-l ~ ~ f(y)-Xj Ioc.c Ioc"c Ioc- ~ ~ = (J"

f;;I;c ~ IiIo4 ~ IiIo4 e ~ Ioc ~(J"

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14190-204 197 1 0.0060 1 0.0060 1.18 5329 32 -2.21 0.0347 0.0136 0.0150 0.0136204-218 211 6 0.0367 7 0.0427 7.75 3481 128 -1.78 0.0818 0.0375 0.0349 0.0375218-232 225 10 0.0610 17 0.1037 13.73 2025 220 -1.35 0.1604 0.0885 0.067 0.0885232-246 239 19 0.1160 36 0.2197 27.70 961 118 -0.93 0.2589 0.1762 0.109 0.1762246-260 253 30 0.1830 66 0.4027 46.30 289 53 -0.51 0.3521 0.3050 0.148 0.3050260-274 267 27 0.1650 93 0.5677 44.10 9 1.5 -0.09 0.3973 0.4641 0.169 0.4641274-288 281 26 0.1590 119 0.7267 44.70 121 19 +0.33 0.3778 0.6293 0.159 0.6293288-302 295 19 0.1160 138 0.8427 34.20 625 73 +0.75 0.3011 0.7734 0.126 0.7734302-316 309 17 0.1030 155 0.9457 31.80 1521 157 +1.17 0.2012 0.8790 0.085 0.8790316-330 323 5 0.0303 160 0.9760 9.80 2809 85 +1.59 0.1127 0.9441 0.047 0.9441330-344 337 2 0.0120 162 0.9887 4.05 4489 54 +2.00 0.0540 0.9773 0.023 0.9773344-358 351 1 0.0060 163 0.9940 2.10 6561 39 +2.40 0.224 0.9918 0.009 0.9918358-372 365 1 0.0060 164 1.0000 2.20 9025 55 +2.85 0.0069 0.9978 0.003 0.9988

i=l

11

Densitatea de repartitie pentru marca betonului se scrie in repartitianormala astfel (~ si a in kgf/crrr'),

1f(x) = -J2:r. 33,3 e

(x-270 )22·33,3

1f(x)=-e83,5

(x-270 )22220 (7.205)

iar functia de repartitie

x 1 x (x-270?

F(x) = I f(x)dx = - Ie 2220 dx83,5-00 -00

(7.206)

In ecuatiile (7.205) si (7.206) variabila x se masoara in kgf/cm",

In coloanele 13 s 14 ale tabelului 7.5 sunt calculate ordonatele functieide repartitie F(x) si densitatii de repartitie f(x) in dreptul centrelorintervalelor de grupare, asa cum rezulta din repartitia teoretica Gauss, cuformulele (7.203).

F(x) = F(y)

df( x) .d = f (y) . -

a

La fel ca in aplicatia precedenta f(X)-d reprezinta frecventa relativa avalorilor cuprinse in intervalul de la (x-LV2)la (x+A/2).

Cuantilii 1%, 2%, 1%, 5%, 10%, 15% etc. se pot calcula cu formula(7.200) cu valorile K conform tabelului 7.3.

12

X1% = ~(1- 3,09.0,123)= 0,621· 270 = 168 kg[ / cm2

X1% = ~(1- 2,326·0,123)= 0,714·270 = 193 kg[ / em"

X2% = ~(1- 2,054.0,123)= 0,748·270 = 168 kg[ / cm2

X5% = ~(1-1,645· 0,123)= 0,792·270 = 214 kg( / cm2 (7.207)

XlO% = ~(1-1,281. 0,123)= 0,841· 270 = 227 kg( / em"

X15% = ~(1-1,036 . 0,123)= 0,873 . 270 = 236 kg[ / cm2

Tinand seama de rezultatele celor 164 incercari marca prescrisa 9212kgf/crrr') corespunde cuantilului 4%, deci are probabilitatea 4% de a existavalori mai mici de 212 kgf/cm':

-Explicand K din ec. (7.200), xp = x - Ka ,

(7.208)

K = x-xp = 270-312 =~=1,74a 33,3 33,3

si din tabelul 7.3, pentru K=I,74, rezulta p = 4%.

7.13.2. REPARTITIA LOG- NORMALA

Repartitia log - normala este un caz particular al repartitiilor tipKaptain in care functia de repartitie si densitatea de repartitie au formageneral a [7.17],

13

1 xF(x) = . fe

CJg(x) -J27r -00

g(X)_g(X)22

20"g(x)

(7.209)g(x)-g(x)

I(x) = 1 .e 20"i(x) • dg(x)CJg(x)-J27r clt

unde - 00 < g(x) < +00 pentru a < x < b.Parametri distributiei Kaptain, g(x) si CJg(x) sunt respectiv media si

dispersia functiei g(x).In cazul repartitiei log - normala

g(x) = In x (7.211)

Sl prm urmarex (lnx-~f

I J' 2 2F(x) = . e O"lnx

CJ lnx -J 27r 0.d(lnx)

I)I (In;:~L d(lnx)

(x = .e lnx

0"1nx-J2Jr dx

respectiv

x (lnx-liiXfI fl 20"2F(x) = . -e lnx·dx

CJInx -J21r 0 X (7.210)

(lnx-liiXLI 2f(x) = ·e 20"lnx -dx

X • O"lnx -J 27r

14

,..."..-......,

Tbl176R ff I Ia eo . . epar I ia og-Dorma a .Nr. Proprietati Expresii analitice Observatiicrt. ale

repartitiei1 Densitatea de (Inx-InxL

repartitie f(x) = 1 2a-2lnr o <x< +00·ex . O"lnx..J2:r

2 Funetia de1 x 1

(lnx-lnrf (jInx este abate rearepartitie F(x) = .j2;' f-e

2a-~x ·dx standard aCTlnx 2:r OX variabilei lnx

3 Modul ~ Inx-o-2lnx Intre media x ,x =e4 Media - Inx+o-21nx/2 modul x si

x=e mediana x exista5 Mediana urmatoarea relatie:-

X =elnx -2 ~ ~3

X ·x=x6 Abaterea ax = ~ e(21nx+o-21nx) . (eo-21nx -1)

standard a -variabilei x

7 Coefieientul~=~l+V;de variatie al V = ~ea2lnX -1 x

variabilei x x Vezi fiz. 7.218 Coeficientul Ji{ = ~(ea21nx -1). (e

a2lnx + 2) .J7i; = V; + 3Vxde oblicitate Vezi fig. 7.21

9 Coefieientul fJ3 = 3 + (ea-21nx -1). (e3a-21nx + 3e2.a-21nx + 6ea-2lnx + 6) f32> 3de exees Repartitia

leotoeurtiea10 Estimarea Parametrul Inx al

parametrilor n repartitiei esterepartitiei ~)nxi media geometriea a- In i=l variabilei Xi definita(Inx si (jInx) X=

n G =~Xl • X2 • X3 •••.• Xn

Prin logaritmare se

n ( -r obtine~ Inx, -Inx 1 n

Inx=\ i-I InG = - ~)nXi =n n i=1

-= ln x

15

f(x)

4+-----~---r----+---~-

3+-~--~---+----4---~-

DENSITATEA DE REPARTITIE 2 ---+-

, crx =0,1 X=O1 o =0 5 x=O-+-x, I

i o, =1 x=O;o, =0,5 x=1

02 4 6 8 x

F(x)

1

FUNCTIA DE REPARTITIE0,5

o~~---+----~--~__2 4 6 x

R(x)

1~~~~-------------

FUNCTIA DE REABILITATE

2 6 x4

h(x)2+-~~----+---~---

FUNCTIA DE RISC

o~~~~----~----__2 6 x4

Fig. 7.21 a. Repartitia log - normala [7.14]

16