SEMINAR 1 - VEGHES OVIDIU

Octombrie 2015 / Facultatea de Management

Tema seminarului: Introducere în calculul financiar.1.1.1 Exercitiu Într-un regim cu capitalizare anuala, o persoana depune anual posticipat timp

de patru ani, urmatoarele sume: 800, 1000, 600 si 1500 euro. Stiind ca procentele anuale cores-punzatoare celor patru ani sunt succesiv 4%, 3%, 2% si 3, 5%, sa se determine: a) fondul totalacumulat la sfârsitul ultimului an de plasament; b) ce suma ar trebui depusa o singura data pentrua realiza dupa patru ani aceeasi valoare finala; c) ce suma anuala constanta ar trebui depusa lasfârsitul fiecarui an cu procentele mentionate pentru a realiza dupa 4 ani aceeasi valoare finala.

Indicatie. a) S4 = R1u2u3u4 +R2u3u4 +R3u4 +R4 = 4046, 597 euro;

b) S4 = A4u1u2u3u4 de unde A4 = 3578, 317 euro;

c) S4 = Ru2u3u4 +Ru3u4 +Ru4 +R de unde R = 968, 532 euro .

1.1.2 Exercitiu Un capital în valoare de 100 000 u.m., plasat în regim de dobânda simpla cuun anumit procent anual si pe o durata de timp a produs o dobânda de 27 000 u.m. Acelasi capitalplasat pe aceeasi durata de timp în regim de dobânda compusa cu procentul anual de 4% a produso dobânda de 42 331, 18 u.m. Sa se determine durata celor doua operatiuni si procentul anual alprimei operatiuni.

Indicatie. a) În regim de dobânda simpla St = S0 (1 + it), de unde Ds = St − S0 = S0it.

În regim de dobânda compusa (comerciala) St = S0 (1 + ic)t, de unde Dc = St − S0 = S0

((1 + ic)

t− 1

).

Obtinem t = 9 ani si i = 0, 03 = 3% pe an.

1.1.3 Exercitiu a) Ce suma unica trebuie depusa imediat pentru a înlocui plata a 8 anuitatiposticipate de 500 u.m. fiecare, cu procentul anual real de 5% ?

b) De ce suma va dispune o persoana peste 20 de ani daca depune la începutul fiecarui an câte500 u.m. cu 5% ? Care este valoarea actuala a acestor depuneri ?

c) Care este valoarea actuala a unui sir de depuneri în perpetuitate la începutul fiecarui an decâte 500 u.m. cu 5% ?

Indicatie. a) A8 = Rv +Rv2 + . . .+Rv8, de unde A8 = 500 ·1−

(1

1,05

)8

0,05= 3231, 606 u.m.

b) S20 = Ru20 +Ru19 + . . .+Ru, de unde S20 = 500 · 1, 05 ·1,0520−1

1,05−1= 17 359, 626 u.m.;

S20 = A20u20, de unde A20 = S20 · 1

1,0520= 6542, 660 u.m. .

c) A∞ = R +Rv +Rv2 + . . . =, de unde A∞ = 500 · 1,050,05

= 10 500 u.m. .

1.1.4 Exercitiu a) Care este valoarea finala a unui sir de 10 anuitati egale cu 1 000 u.m.platibile la sfârsitul fiecarui an, plata fiind amânata 5 ani, pentru un procent anual real de 5% ?

b) Care este suma unica pe care urmeaza sa o plateasca o persoana pentru a înlocui plata a 12anuitati posticipate de 3 000 u.m. fiecare, amânate 3 ani, cu procentul anual real de 5% ?

Indicatie. a) 5S15 = Ru9 +Ru8 + . . .+R, de unde 5S15 = 1000 ·1,0510−1

0,05= 12 577, 892 u.m.

b) 3A15 = Rv4 +Rv5 + . . .+Rv15, de unde 3A15 = 3000 ·(

1

1,05

)3·1−

(1

1,05

)12

0,05= 22 969, 230 u.m.

1.1.5 Exercitiu Capitalul de 8 500 u.m. este depus cu o taxa anuala de 10, 5%. Din acest fondse extrag 2 000 u.m. la sfârsitul fiecarui an. Dupa cât timp se epuizeaza fondul?

Indicatie. Problema corespunde unei anuitati temporare imediate posticipate cu rata constanta R = 2000 u.m.a carei valoare actuala cu taxa i = 0, 105 este P = 8500 u.m. Din relatia

P = An = Rv +Rv2 + . . .+Rvn

se obtine ecuatia în necunoscuta n:

8 500 = 2 000 ·1− 1, 105−n

0, 105.

1

2 SEMINAR 1 - VEGHES OVIDIU

Solutia este n = 5, 919 575 089 ani. Deci va fi posibil sa se ridice 5 rate de câte 2 000 u.m., dar nu se va putea ridicacea de-a sasea. Capitalul rezidual obtinut dupa plata celei de a cincea rate este

Pu5 −(Ru4 +Ru3 + . . .+R

)= 8500 · 1, 1055 − 2000 ·

1, 1055 − 1

0, 105= 1 670, 978 u.m.

Debitul rezidual capitalizat pentru un an are o valoare finala de 1 670, 978·1, 105 = 1 846, 430 u.m. valoare insuficienta

pentru a mai achita o rata.

1.1.6 Exercitiu Cât trebuie sa depuna o persoana la sfârsitul a fiecarui an, timp de 40 de ani,pentru a beneficia el si urmasii sai de o renta anuala de valoarea 100 u.m., în conditiile în careavem o dobânda anuala de 5% ?

Indicatie. Ecuatia A40 (R) =40 A∞ (P ) cu necunoscuta R, unde P = 100 si v = 1

1,05este factorul de actualizare

sunt parametri de valori cunoscute, este Rv 1−v40

1−v= P v41

1−v. Obtinem R = 100

(1

1,05

)40

1−

(1

1,05

)40 = 16, 556 u.m. .

1.1.7 Exercitiu O persoana care dispune de un capital în valoare de 100 000 u.m. plaseazaîntr-un regim cu capitalizare anuala o parte a acestuia pe o durata de 7 ani si partea ramasa pe odurata de 10 ani, cu procentul anual de 2% în regim de dobânda compusa. Sa se determine celedoua parti ale capitalului, stiind ca raportul valorilor finale ale acestora este 10/7.

Indicatie. a) Obtinem sistemul

S1 + S2 = 100 000S1(1+ 2

100 )7

S2(1+ 2100 )

10 =10

7

cu solutia{S1 = 60 254, 553 u.m.S2 = 39 745, 447 u.m.

.

Bibliografie recomandata:

Bibliografie

[1] Popescu O. (coord.), ... — Matematici aplicate în economie. vol.2. Ed.Didactica si Pedagogica, Bucuresti, 1993.[2] Purcaru I. — Matematici financiare. Ed.Economica, Bucuresti, 1998.[3] Beganu G. — Matematica financiara clasica si moderna. Ed.Intact, Bucuresti, 2000.[4] Butescu V. — Matematici financiare. Ghid metodologic. Ed.Lucman, Bucuresti, 2001.[5] Beganu G., Giuclea M. — Elemente fundamentale de matematica în economie. Ed.ASE, Bucuresti, 2011.[6] Serban Fl., Dedu S. — Matematici aplicate in economie. Culegere de probleme, Tipogrup Press, Bucuresti, 2005.[7] Cenusa Gh (coord.) — Matematici pentru economisti. Culegere de probleme. Ed. CISON, 2000.[8] Popescu O. (coord.) — Matematici aplicate în economie. Culegere de probleme. Ed. Didactica si Pedagogica,

1996.

Formule de retinut:Pentru usurinta efectuarii unor calcule este util sa retinem în cazul unor plati esalonate anuale

imediate de valoare (constanta) R formulele:

Valoare actuala Valoare finala

Plati posticipate An = R1−( 1

1+i)n

iSn = R

(1+i)n−1i

Plati anticipate An = R (1 + i)1−( 1

1+i)n

iSn = R (1 + i)

(1+i)n−1i

unde n este numarul de ani avuti în vedere si i dobânda unitara anuala. Daca platile contin operioada initiala de gratie de q ani (sunt amânate q ani) atunci:

Valoare actuala Valoare finala

Plati posticipate qAn =(

11+i

)qAn−q qSn = Sn−q

Plati anticipate qAn =(

11+i

)qAn−q qSn = Sn−q

Pentru R = 1 u.m. valorile actuale si finale se noteaza cu litere mici.În calculul platilor esalonate perpetue intervin urmatoarele serii numerice:

1 + x+ x2 + x3 + x4 . . .+ xn + . . . = 11−x , ∀x ∈ (−1, 1) ;

1 + 2x+ 3x2 + 4x3 . . .+ nxn−1 + . . . = 1(1−x)2

, ∀x ∈ (−1, 1) ;2 · 1 + 3 · 2x+ 4 · 3x2 . . .+ n (n− 1) xn−2 + . . . = 1·2

(1−x)3, ∀x ∈ (−1, 1) .