Setul 5de probleme si exercitii de matematica

( relative la aspecte algebrice ale lui Rn )

S5.1 Daca numarul a ∈ N∗\{1} nu-i un patrat perfect, sa se arate ca multimea Q(√a) = {x +

y√a | x, y ∈ Q}, ınzestrata cu operatiile interna ⊕ si externa �, definite respectiv prin

(x1 + y1√a)⊕ (x2 + y2

√a) = (x1 + x2) + (y1 + y2)

√a), ∀ x1, x2, y1, y2 ∈ Q

si

α� (x+ y√a) = αx+ αy

√a,∀ α ∈ Q, x, y ∈ Q,

este un Q-spatiu liniar.

S5.2 Fie M = {A ∈M32(R) | A =

a bc 00 d

, a, b, c, d ∈ R, a = b+ c}.

i) Sa se arate ca M este un subspatiu liniar al spatiului (M32(R),R,+, ·).

ii) Sa se afle o baza a lui M si dim(M).

iii) Sa se arate ca B = {A1, A2, A3}, unde

A1 =

0 −11 00 1

, A2 =

2 11 00 −1

, A3 =

0 1−1 0

0 1

constituie o baza a lui M . Sa se afle coordonatele vectorului C =

4 22 00 1

ın aceasta baza.

S5.3 Sa se analizeze liniara dependenta / independenta a urmatoarelor multimi si sa se stabileasca,ın caz de dependenta liniara a lor, relatia de dependenta ın cauza.

a) {(1, 1, 1), (1,−2, 3), (−1, 11,−9)} ⊂ (R3,R,+, ·);

b) {f1(x) = e2x, f2(x) = xe−x, f3(x) = x2ex} ⊂ (F(R,R),R,+, ·);

c) {(1,−1, 3), (−1, 1, 4), (1, 1, 1)} ⊂ (R3,R,+, ·);

d) {f1(x) = 1, f2(x) = cos 2x, f3(x) = cos2 x} ⊂ (F(R,R),R,+, ·).

S5.4

1◦. Sa se arate ca B = {(3, 1, 5), (3, 6, 2), (−1, 0, 1)} formeaza o baza pentru (R3,R,+, ·), la felorientata ca si baza canonica a lui R3.

2◦. Sa se determinem ∈ R, astfel ıncat multimeaB′ = {(m, 2,−3), (1, 1,−1), (m, 1, 3)} ⊂ (R3,R,+, ·)sa fie o baza a lui R3, contrar orientata bazei canonice {e1, e2, e3}.

3◦. Pentru valorile lui m determinate la 2◦, sa se afle matricea S a schimbarii de baza de la B la B′.

4◦. Sa se determine coordonatele vectorului x = (1, 2,−1) ın baza B.

S5.5 Sa se arate ca aplicatia < · , · >: R3 × R3 → R, definita prin

< x, y >= 2x1y1 + x1y2 + x2y1 + x2y2 + 5x3y3,∀ x = (x1, x2, x3), y = (y1, y2, y3) ∈ R3,

defineste un produs scalar pe R3.S5.6 Fie spatiul liniar real R3, dotat cu produsul scalar euclidian. Sa se analizeze ortogonaliatea

sistemului de vectori U = {(1,−1, 1), (0, 1, 1), (−2,−1, 1)}. Sa se calculeze apoi ^(u, v), ^(u,w) si^(v, w), unde u = (−1, 1, 2), v = (−1, 1, 1) si w = (1, 2, 3).

S5.7 Se considera spatiul euclidian R4, dotat cu produsul scalar canonic. Folosind procedeul deortonormare a lui Gram-Schmidt, sa se afle o baza ortonormata B′, plecand de la baza

B = {(1, 2,−1, 0), (1,−1, 1, 1), (−1, 2, 1, 1), (−1,−1, 0, 1)}.

S5.8 In spatiul euclidian R4, ınzestrat cu produsul scalar canonic, se considera sistemul de vectoriC = {(1, 4, 3, 2), (1, 1,−1, 1), (−3, 0, 7, 6)}.

a) Sa se determine S = Sp(C) si S⊥.

b) Sa se afle proiectiile ortogonale ale vectorului w = (14,−3,−6,−7) pe S si pe S⊥. Sa se verificeca avem

||w − prS(u)|| ≤ ||w − u||,∀ u ∈ C,

unde prS(u) este notatia pentru proiectia ortogonala a vectorului u pe S, care, prin definitie,ınseamna acel vector v ∈ S, pentru care u− v = x ∈ S⊥.

S5.9

a) Folosind inegalitatea lui Minkowski, sa se arate ca aplicatia || · ||p : Rn → R, definita prin

||x||p =

(n∑i=1

|xi|p) 1

p

, ∀ x = (x1, x2, . . . , xn) ∈ Rn, unde p ∈ [1,+∞) este indicat, constituie o

norma pe Rn.

b) Sa se arate ca ||x||∞def= max

1≤k≤n|xk| = lim

p→∞||x||p, ∀ x ∈ Rn.

c) Sa se demonstreze ca:

||x||∞ ≤ ||x||2 ≤ ||x||1 ≤√n||x||2 ≤ n||x||∞,∀ x ∈ Rn.

d) Sa se arate ca inegalitatea lui Holder se poate reda sub forma

| < x, y >c≤ ||x||p · ||y||q,∀ x, y ∈ Rn, p, q ∈ [1,∞),1

p+

1

q= 1,

unde < x, y >c ınseamna produsul scalar canonic al elementelor x si y din Rn.

In particular, cand p = q = 2, inegalitatea lui Cauchy-Buniakowski-Schwarz se poate rescrie ınforma:

| < x, y >c | ≤ ||x||2 · ||y||2, ∀ x, y ∈ Rn.

S5.10 Fie < · , · > un produs scalar pe Rn si || · || norma indusa de acesta. Sa se arate ca au locrelatiile, ∀ x, y ∈ Rn:

i) ||x+ y||2 + ||x− y||2 = 2(||x||2 + ||y||2) (Euler ) si

ii) ||x+ y||2 − ||x− y||2 = 4 < x, y > (Hilbert).

S5.11 Fie W un subspatiu liniar al lui Rn si f : W → R, o functie astfel ıncat f 6≡ 0, {x ∈W | f(x) = 0} = {0Rn} si f(αx+ βy) = αf(x) + βf(y), ∀ α, β ∈ R, ∀x, y ∈W . Se defineste aplicatia< · , · >: W ×W → R, prin:

< x, y >= f(x) · f(y), ∀ x, y ∈W.

a) Sa se arate ca W este un spatiu prehilbertian.

b) Sa se dovedeasca ca oricare doua elemente ale lui W , diferite de 0Rn , sunt liniar dependente(altfel spus, dim(W ) = 1).

S5.12 Pe multimea R∗+ = {x ∈ R | x > 0}, se definesc operatiile ⊕ : R∗+ × R∗+ → R∗+, prinx ⊕ y = xy, ∀x, y ∈ R∗+ si � : R × R∗+ → R∗+, prin α � x = xα, ∀x ∈ R∗+, α ∈ R. Sa se arate ca(R∗+,R,⊕,�) este un spatiu liniar. Se poate structura R∗+ ca o algebra?

S5.13 Care dintre multimile de mai jos este un subspatiu liniar?

a) {x ∈ Rn | x = (x1, x2, . . . , xn), x1 + xn = 0} ⊂ (Rn,R,+, ·);

b) {A ∈M2(R) | det(A) = 0} ⊂ (M2(R),R,+, ·).

S5.14 Sa se studieze, dupa valorile parametrului real m, dependenta liniara a urmatoarelor sistemede vectori. In caz de dependenta liniara, sa se gaseasca relatia de dependenta respectiva.

i) {(3, 1, 4), (−1, 1, 2), (1, 3,m)} ⊂ (R3,R,+, ·);

ii) {(6, 1, 8, 3), (2, 3, 0, 2), (4,−1,−8,−2), (1, 1, 1,m)} ⊂ (R4,R,+, ·);

iii) {f1(x) = e−x, f2(x) = ex, f3(x) = shx} ⊂ (F(R,R),R,+, ·).

S5.15 In spatiul (M2(R),R,+, ·), se considera:

B1 =

{[1 −21 1

],

[1 12 2

],

[−1 −1

3 1

],

[−2 1

3 2

]}si

B2 =

{[−2 0−8 6

],

[5 6−1 6

],

[−2 5−11 7

],

[2 10

−10 5

]}a) Sa se arate ca B1 si B2 sunt baze pentru M2(R);

b) Sa se scrie matricea S a schimbarii de la B1 la B2;

c) Sa se afle coordonatele matricii A =

[1 −11 2

]ın cele doua baze B1 si B2.

S5.16 Sa se arate ca aplicatia < · , · >: R3×R3 → R, definita prin < x, y >= x1y1+x1y3+x2y2+x3y1 + 2x3y3, ∀ x = (x1, x2, x3), y = (y1, y2, y3) ∈ R3, este un produs scalar pe R3.

S5.17 Fie U = {(0, 1, 1, 0), (0, 2,−2, 1), (2, 1,−1,−4), (9,−1, 1, 4)} o submultime a spatiului liniar(R4,R,+, ·). Sa se arate ca U este un sistem ortogonal de vectori ın raport cu produsul scalar canonicpe R4 si sa se calculeze unghiul dintre ultimii doi vectori din U .

S5.18 Folosind procedeul de ortonormalizare Gram-Schmidt, sa se afle o baza ortonormata a luiR4, plecand de la

B = {(0, 1, 1, 0), (0, 4, 0, 1), (1,−1, 1, 0), (1, 3, 0, 1)}.

S5.19 Fie R4 dotat cu produsul scalar canonic si U = {(−3, 0, 1, 2), (1,−1, 0, 1)}. Sa se calculezeSp(U) si U⊥, precum si proiectiile ortogonale ale vectorului (2, 1, 2, 1) pe U si U⊥.

S5.20 Fie || · || o norma pe Rn. Sa se arate ca:

a) ‖−x‖ = ‖x‖ ,∀ x ∈ Rn;

b)

∥∥∥∥∥m∑k=1

uk

∥∥∥∥∥ ≤m∑k=1

‖uk‖, ∀ u1, u2, . . . , um ∈ Rn;

c) |‖x‖ − ‖y‖| ≤ ‖x− y‖, ∀ x, y ∈ Rn.

Bibliografie selectiva

1. Veronica T. Borcea, Catalina I. Davideanu, Corina Forascu - Probleme de algebra liniara, Ed.“Gheorghe Asachi”, Iasi, 2000.

2. St. O. Tohaneanu, Rodica Danet - Curs practic de algebra liniara cu 327 de exercitii siprobleme rezolvate, Ed. Matrix Rom, Bucuresti, 2004.

3. C. Dragusin, O. Olteanu, M. Gavrila - Analiza matematica. Probleme (Vol. I), Ed. MatrixRom, Bucuresti, 2006.

4. E. Cioara - Algebra liniara.Geometrie analitica ( culegere de probleme), Editura ”Fair Part-ners”, Bucuresti, 2009.