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SECRETARIA DE EDUCACIONASOCIACION NACIONAL DE PROFESORES DE MATEMATICAS A.C. .

DELEGACION CHIAPAS

XXII OLIMPIADA REGIONAL DE MATEMATICASPARA ALUMNOS DE PRIMARIA Y SECUNDARIA

Soluciones de Primaria

2 de diciembre de 2017

1. En la Olimpiada Nacional de Matematicas de este ano, celebrada en Jerez, Zacatecas, se pre-miaron a 15 alumnos con medalla de oro. Si se sabe que uno de cada 13 participantes obtuvomedalla de oro, ¿cuantos alumnos participaron en la Olimpiada?

A) 13 B) 15 C) 28 D) 170 E) 195

Solucion. E) 13× 15 = 195.

2. Huberto sale a correr por las mananas para prepararse para una carrera. Al principio corre 225

kilometros al dıa, al cabo de un mes ya corre 312

kilometros al dıa. ¿Que tanto, en metros, mejoroHuberto en ese mes? Recuerda que 1 kilometro es igual a 1000 metros.

A) 1000 m B) 1100 m C) 1200 m D) 1300 m E) 1400 m

Solucion. B) La respuesta, en metros, es

1000 ·[(

3 +1

2

)−(

2 +2

5

)]= 1000 (3.5− 2.4) = 1100

3. Calcula el area del trapecio. Cada cuadrito mide 1 cm × 1 cm.

A) 15 cm2 B) 17.5 cm2 C) 18 cm2 D) 20 cm2 E) 21 cm2

Solucion. D) El area del trapecio es: 4× 7+32

= 20 cm2.

4. Las siguientes sucesiones A y B contienen ambas al 14,

A : 2, 8, 14, 20, ... B : 7, 14, 21, 28, ...

¿Cual es el siguiente numero que es comun a ambas?

A) 28 B) 42 C) 56 D) 70 E) 98

Solucion. C) La sucesion A va de 6 en 6, mientras que la sucesion B va de 7 en 7, ası quecoincidiran cada 42 a partir de la primera coincidencia. Como coinciden en el 14, la siguientecoincidencia sera 14+42=56.


DELEGACION CHIAPAS

5. Florina empezo a leer un libro de 600 paginas un sabado. Entre semana, de lunes a viernes, lee12 paginas por dıa. Los fines de semana, sabado y domingo, lee 20 paginas por dıa. ¿Cuantosdıas le tomo leer todo el libro?

A) 42 dıas B) 44 dıas C) 46 dıas D) 51 dıas E) 60 dıas

Solucion. A) En 7 dıas lee 2× 20 + 5× 12 = 100 paginas. Ası que tarda 6× 7 = 42 dıas en leerel libro.

6. Cada ladrillo de la barda mide 15 cm por 30 cm. ¿ Cuantos metros mideel perımetro de la barda?

A) 2.4 m B) 3 m C) 3.6 m D) 4.2 m E) 5.4 m

Solucion D). Observamos que si movemos los ladrillos como se muestra,el perımetro de la barda no cambia. El perımetro es entonces 2× 8× 15cm + 2× 5× 30 cm = 240cm+ 300cm = 540cm

7. Marıa Elena tiene dos listones de 105 cm y 165 cm cada uno y los corta de manera que le quedanpuros pedazos iguales del mayor tamano posible. ¿Cuantos pedazos obtuvo en total?

A) 2 B) 11 C) 18 D) 20 E) 54

Solucion. C) El maximo comun divisor de 105 y 165 es 15, ası que de este tamano deben serlos listones. Luego, de cada tira van a salir 105/15=7 y 165/15=11 pedazos, respectivamente.Esto da un total de 18 pedazos de 15 cm cada uno.

8. Pedro Anselmo viaja exactamente 2 veces por semana y puede escoger los dıas en que va a viajar.Si Pedro Anselmo viaja un lunes, ya no viaja el viernes. Ademas, nunca viaja en sabado. ¿Decuantas maneras puede escoger los 2 dıas de viaje en una semana determinada?

A) 4 B) 5 C) 9 D) 10 E) 14

Solucion. E). Veamos dos casos:Caso 1. Si Pedro viaja el lunes, entonces tiene 4 posibilidades para escoger el otro dıa de viaje:martes, miercoles, jueves y domingo.Caso 2. Si Pedro no viaja el lunes, entonces hay 5 dıas disponibles de los cuales puede escoger 2y esto lo puede hacer (viendo la lista) de 4 + 3 + 2 + 1 = 10 maneras.Entonces, en total hay 4 + 10 = 14 maneras de escoger los dıas de viaje.


DELEGACION CHIAPAS

9. En la figura cada triangulo equilatero mide de lado 1 cm. Encuentra elperımetro de la flor. Recuerda que π = 3.14.

A) 6 B) 6.28 C) 12 D) 12.56 E) 18.84

Solucion. D) Cada petalo de la flor esta compuesto por dos arcos de un sexto de circunferencia.En total hay 12 de estos arcos, por lo que el perımetro equivale a 2 circunferencias completas.De aquı que el perımetro de la flor es 2× 2π = 4π.

10. Si se sigue con el patronℵ, ∞, ∇, ∂, Ω, ℵ, ∞, ∇, ∂, Ω,ℵ, . . .

¿Que sımbolo quedara en la posicion 2017?

A) ℵ B) ∞ C) ∇ D) ∂ E) Ω

Solucion. B) El patron va de 5 en 5, ası que despues de 2015 figuras se volvera a iniciar, esdecir, en la posicion 2016 va a comenzar de nuevo con ℵ y luego seguira ∞ en la posicion 2017.

11. Armando, segun la receta de su medico, debe tomar todo el contenido de un frasco de pastillasen 4 dıas, de la siguiente manera: el primer dıa toma un cuarto del total; el segundo dıa tomaun tercio de lo que queda; el tercer dıa, la mitad de lo queda y el cuarto dıa 6 pastillas, ¿cuantaspastillas tenıa el frasco?

Solucion. Armando tomo la mitad de lo quedaba en el frasco y le quedaron 6 pastillas. Entonceshabıan 2 · 6 = 12 pastillas. Un dıa antes Armando tomo la tercera parte de lo quedaba y lequedaron 12 pastillas. Ası que habıan 3

2· 12 = 18 pastillas. Por ultimo, al tomar un cuarto del

total de pastillas, le quedaron 18 pastillas. Ası que en el frasco habıan 43· 18 = 24 pastillas.

Comprobacion:

Pastillas Dia 1 Dia 2 Dia 3 Dia 424 1

4· 24 + 3

4· 24 = 6 + 18 1

3· 18 + 2

3· 18 = 6 + 12 1

2· 12 + 1

2· 12 = 6 + 6 6

12. Sofıa, Jordi, Marien, Carlos, Nınive y Fabian jugaron un torneo de ajedrez. Cada uno de los 6jugo exactamente una vez con los demas y no hubo empates. Si Sofia gano 2 partidas, Jordi 1,Marien 4, Carlos 3, Nınive 2, ¿cuantas partidas gano Fabian?Solucion. Haciendo la lista se puede observar que el numero de parejas que se pueden formares 5 + 4 + 3 + 2 + 1 = 15, entonces hubo 15 partidas en total.Como no hubo empates, en total tambien hubieron 15 victorias. En cada juego sabemos que hayun ganador, ası que la suma de las victorias de cada uno de los 6 debe dar en total 15.Por lo tanto el numero de partidas que gano Fabian es

15− (2 + 1 + 4 + 3 + 2) = 3


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Soluciones de 1ro de Secundaria

1. Hector compra naranjas a $ 36 la docena. Si quiere ganar $ 12 por docena, ¿cual sera el precioal que debe vender cada naranja?

A) $ 3 B) $ 3.50 C) $ 4 D) $ 4.50 E) $ 5

Solucion. C) Si las vende a $ 4, va a obtener 4× 12 = 48 pesos por docena. Lo cual se traducea una ganancia de 48− 36 = 12 pesos que es lo se buscaba.


A : 2, 8, 14, 20, ... B : 7, 14, 21, 28, ...


A) 28 B) 42 C) 56 D) 70 E) 98


3. En la siguiente figura, ¿cuanto vale el angulo x?

A) 90 B) 100 C) 110 D) 130 E) 150

Solucion. B) El angulo x mide (180 − 130) + (180 − 130) = 100.

4. Magnus Carlsen esta jugando el Torneo de Ajedrez de Linares. Cada victoria vale 1 punto, cadaempate vale medio punto y se obtienen 0 puntos cada vez que se pierde. Despues de las primeras13 partidas, Magnus tiene 10 puntos y tiene el mismo numero de empates que de partidasperdidas. ¿Cuantas partidas ha ganado Magnus?

A) 5 B) 6 C) 7 D) 8 E) 9

Solucion. E) Vemos los casos:

Victorias Empates Derrotas Puntos5 4 4 5 + 2 = 77 3 3 7 + 1.5 = 8.59 2 2 9 + 1 = 10

De la tabla vemos que Magnus lleva 9 partidas ganadas.


DELEGACION CHIAPAS




6. Marıa tiene dos listones de 105 cm y 165 cm cada uno y los corta de manera que le quedan purospedazos iguales del mayor tamano posible. ¿Cuantos pedazos obtuvo en total?

A) 2 B) 11 C) 18 D) 20 E) 54

Solucion. C) El maximo comun divisor de 105 y 165 es 15, ası que de este tamano deben serlos listones. Luego, de cada tira van a salir 105/15=7 y 165/15=11 pedazos, respectivamente.Esto da un total de 18 pedazos de 15 cm cada uno.

7. En la figura cada triangulo equilatero mide de lado 1 cm. Encuentrael perımetro de la flor. Recuerda que π = 3.14.

A) 6 B) 6.28 C) 12 D) 12.56 E) 18.84


8. Jorge y Manuel entran a un concurso de comer tacos por parejas. Jorge puede comer un tacocada 20 segundos y Manuel puede comer un taco en 30 segundos. Si comen juntos, ¿cuantostacos pueden comer en 8 minutos?

A) 5 B) 10 C) 14 D) 40 E) 50

Solucion. D) Jorge puede comer 3 tacos por minuto y Manuel 2 tacos por minuto. Entre losdos comen 5 tacos por minuto. Por lo tanto entre los dos comen 8× 5 = 40 tacos en 8 minutos.

9. Se lanzan dos dados uno rojo y uno blanco. ¿Cual es la probabilidad de que la suma de losnumeros que salgan sea 11?

A) 16

B) 13

C) 221

D) 136

E) 118

Solucion. E) En total hay 6×6 = 36 casos totales. Para que la suma sea 11, solo es posible como5+6, ası que puede ser 5 rojo y 6 blanco o 5 blanco y 6 rojos; entonces hay 2 casos favorables.Por lo que la probabilidad es 2

36= 1

18.


DELEGACION CHIAPAS

10. En el planeta Marte los anos duran 687 dıas. Si el ano comienza un lunes y las semanas sonnormales de 7 dıas, ¿en que dıa va a acabar el ano?

A) Domingo B) Lunes C) Martes D) Miercoles E) Sabado

Solucion. B) Dividimos 687 entre 7 para ver cuantas semanas hay en el ano marciano. Nosqueda que 687 = 7 × 98 + 1. Entonces hay 98 semanas exactas y sobra un dıa, ası que si elano comenzo en lunes entonces van a haber 98 semanas exactas y el dıa 687 va a empezar unasemana nueva. De aquı que el ultimo dıa del ano tambien sera lunes.

11. Sofıa, Jordi, Marien, Carlos, Nınive y Fabian jugaron un torneo de ajedrez. Cada uno de los 6jugo exactamente una vez con los demas y no hubo empates. Si Sofıa gano 2 partidas, Jordi 1,Marien 4, Carlos 3, Nınive 2, ¿cuantas partidas gano Fabian?

Solucion. Haciendo la lista se puede observar que el numero de parejas que se pueden formares 5 + 4 + 3 + 2 + 1 = 15, entonces hubo 15 partidas en total.Como no hubo empates, en total tambien hubieron 15 victorias. En cada juego sabemos que hayun ganador, ası que la suma de las victorias de cada uno de los 6 debe dar en total 15.Por lo tanto el numero de partidas que gano Fabian es

15− (2 + 1 + 4 + 3 + 2) = 3

12. Esteban quiere romper el record del tablero de ajedrez mas grande del mundo. Para lograrloconstruye un tablero de ajedrez de 2017 × 2017 cuadraditos, en vez del clasico de 8×8. Luegoprocede a pintar las casillas alternadamente de blanco y negro, comenzando con negro en lasesquinas. ¿Cuantas casillas negras tiene el tablero de ajedrez de Esteban?

Solucion. En las columnas 1, 3, ..., 2017, hay 1009 casillas negras y 1008 blancas, y son 1009columnas en total, entonces aquı hay 1009 × 1009 casillas negras. En las columnas 2, 4, ..., 2016hay 1008 casillas negras y 1009 blancas, aquı son 1008 columnas, entonces aquı hay 1008× 1008casillas negras. Entonces el numero de casillas negras es 1009×1009+1008×1008 = 2, 034, 145.


DELEGACION CHIAPAS

Soluciones de 2do de Secundaria

1. Magnus Carlsen esta jugando el Torneo de Ajedrez de Linares. Cada victoria vale 1 punto, cadaempate vale medio punto y se obtienen 0 puntos cada vez que se pierde. Despues de las primeras13 partidas, Magnus tiene 10 puntos y tiene el mismo numero de empates que de partidasperdidas. ¿Cuantas partidas ha ganado Magnus?

A) 5 B) 6 C) 7 D) 8 E) 9

Solucion. E) Hacemos los casos:

Victorias Empates Derrotas Puntos5 4 4 5 + 2 = 77 3 3 7 + 1.5 = 8.59 2 2 9 + 1 = 10

De la tabla vemos que Magnus lleva 9 partidas ganadas.




3. Un abuelo reparte 40 dulces entre sus nietos de 5, 7, y 8 anos de manera proporcional a susedades. ¿Cuantos dulces le tocan al mayor?

A) 8 B) 10 C) 14 D) 16 E)20

Solucion. D) En total la suma de los anos de los nietos es 5+7+8=20. Como el total de dulceses 40, entonces la proporcion de edades a dulces es 1:2. Por lo que al mayor le tocan 16 dulces.

4. Pedro Anselmo viaja exactamente 2 veces por semana y puede escoger los dıas en que va a viajar.Si Pedro Anselmo viaja un lunes, ya no viaja el viernes. Ademas, nunca viaja en sabado. ¿Decuantas maneras puede escoger los 2 dıas de viaje en una semana determinada?

A) 4 B) 5 C) 9 D) 10 E) 14

Solucion. E). Veamos dos casos:Caso 1. Si Pedro viaja el lunes, entonces tiene 4 posibilidades para escoger el otro dıa de viaje:martes, miercoles, jueves y domingo.Caso 2. Si Pedro no viaja el lunes, entonces hay 5 dıas disponibles de los cuales puede escoger 2y esto lo puede hacer (viendo la lista) de 4 + 3 + 2 + 1 = 10 maneras.Entonces, en total hay 4 + 10 = 14 maneras de escoger los dıas de viaje.


DELEGACION CHIAPAS

5. En la figura cada triangulo equilatero mide de lado 1 cm. Encuentrael perımetro de la flor.

A) 6 B) 2π C) 12 D) 4π E) 6π


6. Si se sigue con el patronℵ, ∞, ∇, ∂, Ω, ℵ, ∞, ∇, ∂, Ω,ℵ, . . .

¿Que sımbolo quedara en la posicion 2017?

A) ℵ B) ∞ C) ∇ D) ∂ E) Ω

Solucion. B) El patron va de 5 en 5, ası que despues de 2015 figuras se volvera a iniciar, esdecir, en la posicion 2016 va a comenzar de nuevo con ℵ y luego seguira ∞ en la posicion 2017.

7. La sucesion 3, 6, 11, 18, ..., se obtiene al evaluar n = 1, 2, 3, 4, ..., en una de las siguientesformulas, ¿cual?

A) 3n B) 2n+ 1 C) n2 + 2 D) n2 + 1 E) 2n− 1

Solucion. C) Al evaluar en n2 + 1 se obtiene precisamente 3 = 12 + 2, 6 = 22 + 2, 11 = 32 + 2,18 = 42 + 2, etcetera.

8. En el triangulo isosceles ABC, con AB = AC, se dibuja una lıneaCD de tal forma que CD = BC. Si ∠BAC = 46, ¿cuanto mide∠ACD?

A) 14 B) 15 C) 21 D) 23 E) 67

Solucion. C) Los angulos iguales del triangulo ABC miden (180 − 46)/2 = 67 cada uno.Ahora como CD=BC, el triangulo BCD tambien es isosceles y el angulo ∠BDC = ∠DBC = 67.De aquı que ∠DCB = 47 y entonces ∠ACD = 67 − 46 = 21.

9. Dona Lucy quiere poner azulejos cuadrados en el piso de su cuarto rectangular que mide 4.20 mpor 3 m. Ella quiere usar un numero exacto de azulejos del mayor tamano posible. ¿Cual es elmınimo numero que azulejos que necesitarıa Dona Lucy?

A) 70 B) 35 C) 20 D) 140 E) 150

Solucion. B) El maximo comun divisor de 420 y 300 es 60, de aquı que los azulejos mas grandesque se pueden usar son de 60 cm × 60 cm. Y como caben 7 a lo largo y 5 a lo ancho, se necesitarıa7× 5 = 35 baldosas.


DELEGACION CHIAPAS

10. ¿Cuantos triangulos hay en la figura?

A) 10 B) 20 C) 25 D) 35 E) 40

Solucion. D) Primero contamos los triangulos que tienen todos sus vertices en el pentagonoexterior. Los triangulos que comparten dos lados con el pentagono son 5. Los triangulos quecomparten solo un lado pero dos diagonales son otros 5. Aquı son 10.

Ahora contamos los triangulos que tienen dos vertices en el pentagono exterior y uno en elpentagono interior. Por cada lado del pentagono exterior hay 3 de estos. Tambien por cada dia-gonal del pentagono exterior hay uno de etos. Aquı son 15+5=20.

Finalmente contamos los triangulos dos vertices en el pentagono interior y uno en el pentagonoexterior. Aquı son 5.

Entonces en total son 10+20+5= 35.

11. Esteban quiere romper el record del tablero de ajedrez mas grande del mundo. Para lograrloconstruye un tablero de ajedrez de 2017 × 2017 cuadraditos, en vez del clasico de 8×8. Luegoprocede a pintar las casillas alternadamente de blanco y negro, comenzando con negro en lasesquinas. ¿Cuantas casillas negras tiene el tablero de ajedrez de Esteban?

Solucion. En las columnas 1, 3, ..., 2017, hay 1009 casillas negras y 1008 blancas, y son 1009columnas en total, entonces aquı hay 1009 × 1009 casillas negras. En las columnas 2, 4, ..., 2016hay 1008 casillas negras y 1009 blancas, aquı son 1008 columnas, entonces aquı hay 1008× 1008casillas negras. Entonces el numero de casillas negras es 1009×1009+1008×1008 = 2, 034, 145.

12. En una tombola hay 21 pelotitas enumeradas del 1 al 21. Edith saca una pelotita al azar y se laqueda, despues Karen saca otra pelotita al azar y se la queda. ¿Cual es la probabilidad de quela suma de los dos numeros que sacaron Edith y Karen sea par?

Solucion. La suma de los dos enteros es par si los dos son pares o bien, si los dos son impares. Enel primer caso, Edith tiene 10 opciones mientras que Karen tiene 9, entonces aquı hay 10 ·9 = 90casos favorables.

En el segundo caso, Edith tienen 11 opciones mientras que Karen tiene 10, aquı hay 11 ·10 = 110casos favorables. Entonces en total son 200 casos favorables.Los casos totales son 21 · 20 = 420. Entonces la probabilidad es 200

420= 10

21.


DELEGACION CHIAPAS

Soluciones de 3ro de Secundaria


A : 2, 8, 14, 20, ... B : 7, 14, 21, 28, ...


A) 28 B) 42 C) 56 D) 70 E) 98


2. Un abuelo reparte 40 dulces entre sus nietos de 5, 7, y 8 anos de manera proporcional a susedades. ¿Cuantos dulces le tocan al mayor?

A) 8 B) 10 C) 14 D) 16 E)20

Solucion. D) En total la suma de los anos de los nietos es 5+7+8=20. Como el total de dulceses 40, entonces la proporcion de edades a dulces es 1:2. Por lo que al mayor le tocan 16 dulces.

3. En el triangulo isosceles ABC, con AB = AC, se dibuja una lıneaCD de tal forma que CD = BC. Si ∠BAC = 46, ¿cuanto mide∠ACD?

A) 14 B) 15 C) 21 D) 23 E) 67

Solucion. C) Los angulos iguales del triangulo ABC miden (180 − 46)/2 = 67 cada uno.Ahora como CD=BC, el triangulo BCD tambien es isosceles y el angulo ∠BDC = ∠DBC = 67.De aquı que ∠DCB = 47 y entonces ∠ACD = 67 − 46 = 21.

4. La sucesion 3, 6, 11, 18, ..., se obtiene al evaluar n = 1, 2, 3, 4, ..., en una de las siguientesformulas, ¿cual?

A) 3n B) 2n+ 1 C) 2n− 1 D) n2 + 1 E) n2 + 2

Solucion. E) Al evaluar en n2 + 1 se obtiene precisamente 3 = 12 + 2, 6 = 22 + 2, 11 = 32 + 2,18 = 42 + 2, etcetera.

5. Dona Lucy quiere poner azulejos cuadrados en el piso de su cuarto rectangular que mide 4.20 mpor 3 m. Ella quiere usar un numero exacto de azulejos del mayor tamano posible. ¿Cual es elmınimo numero que azulejos que necesitarıa Dona Lucy?

A) 70 B) 35 C) 20 D) 140 E) 150

Solucion. B) El maximo comun divisor de 420 y 300 es 60, de aquı que los azulejos mas grandesque se pueden usar son de 60 cm × 60 cm. Y como caben 7 a lo largo y 5 a lo ancho, se necesitarıa7× 5 = 35 baldosas.


DELEGACION CHIAPAS

6. Se lanzan dos dados uno rojo y uno blanco. ¿Cual es la probabilidad de que la suma de losnumeros que salgan sea 11?

A) 16

B) 13

C) 221

D) 136

E) 118

Solucion. E) En total hay 6×6 = 36 casos totales. Para que la suma sea 11, solo es posible como5+6, ası que puede ser 5 rojo y 6 blanco o 5 blanco y 6 rojos; entonces hay 2 casos favorables.Por lo que la probabilidad es 2

36= 1

18.

7. En Marte los anos duran 687 dıas. Si el ano comienza un lunes y las semanas son normales de 7dıas, ¿en que dıa va a acabar el ano?

A) Domingo B) Lunes C) Martes D) Miercoles E) Sabado

Solucion. B) Dividimos 687 entre 7 para ver cuantas semanas hay en el ano marciano. Nosqueda que 687 = 7 × 98 + 1. Entonces hay 98 semanas exactas y sobra un dıa, ası que si elano comenzo en lunes entonces van a haber 98 semanas exactas y el dıa 687 va a empezar unasemana nueva. De aquı que el ultimo dıa del ano tambien sera lunes.

8. ¿Cuantos triangulos hay en la figura?

A) 10 B) 20 C) 25 D) 35 E) 40

Solucion. D) Primero contamos los triangulos que tienen todos sus vertices en el pentagonoexterior. Los triangulos que comparten dos lados con el pentagono son 5. Los triangulos quecomparten solo un lado pero dos diagonales son otros 5. Aquı son 10.Ahora contamos los triangulos que tienen dos vertices en el pentagono exterior y uno en elpentagono interior. Por cada lado del pentagono exterior hay 3 de estos. Tambien por cadadiagonal del pentagono exterior hay uno de etos. Aquı son 15+5=20.Finalmente contamos los triangulos dos vertices en el pentagono interior y uno en el pentagonoexterior. Aquı son 5. Entonces en total son 10+20+5= 35.

9. Sara y Sinaı estan inicialmente en lados opuestos de una piscina y empiezan a nadar al mismotiempo. Sara tarda 32 segundos en atravesar la piscina y Sinaı tarda 45 segundos. Ellas nadan deun lado a otro durante 24 minutos, sin perder tiempo en las vueltas. ¿Cuantas veces se cruzan(yendo en el mismo sentido o en sentidos opuestos) durante este tiempo?

A) 8 B) 13 C) 32 D) 44 E) 45

Solucion. D) En 24 min Sara da 24 × 60/32 = 8 × 3 × 4 × 15/32 = 45 vueltas a la piscina.Acabando en el lado opuesto de la piscina. Por otro lado Sinaı da 24×60/45 = 8×3×3×5×4/45 =32 vueltas a la piscina y acaba en el mismo lado que en el que empezo.Ademas, como 32 y 45 no tienen factores en comun, la primera vez que coinciden Sara y Sinaıen una orilla de la alberca es precisamente despues de 32×45=1440 segundos, es decir, al finaldespues de los 24 min. Ahora, por cada vuelta que da Sara a fuerza se tiene que encontrar aSinaı en el camino. Por lo tanto el numero de veces que se cruzan es 45-1=44, ya que la ultimavuelta Sara y Sinaı se encuentran juntas al final.


DELEGACION CHIAPAS

10. Un triangulo rectangulo tiene hipotenusa 6 y perımetro 14, ¿cual es su area?

A) 7 B) 8 C) 10 D) 14 E) No se puede saber

Solucion. A) Llamemos a los catetos a y b. Como el perımetro en total es 14 entonces se debetener que a+ b = 8, elevando al cuadrado se obtiene que a2 + 2ab+ b2 = 64.

Por otro lado, el teorema de Pitagoras nos dice que a2 + b2 = 62 = 36. De aquı que 2ab =64− 36 = 28.

Finalmente, el area del triangulo rectangulo es ab/2 = 28/4 = 7.

11. En una tombola hay 21 pelotitas enumeradas del 1 al 21. Edith saca una pelotita al azar y se laqueda, despues Karen sacan otra pelotita al azar y se la queda. ¿Cual es la probabilidad de quela suma de los dos numeros que sacaron Edith y Karen sea par?

Solucion. La suma de los dos enteros es par si los dos son pares o bien, si los dos son impares. Enel primer caso, Edith tiene 10 opciones mientras que Karen tiene 9, entonces aquı hay 10 ·9 = 90casos favorables.

En el segundo caso, Edith tienen 11 opciones mientras que Karen tiene 10, aquı hay 11 ·10 = 110casos favorables. Entonces en total son 200 casos favorables.

Los casos totales son 21 · 20 = 420. Entonces la probabilidad es 200420

= 1021

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12. Carlos lleva varios dıas leyendo el libro “El teorema del loro” del autor Denis Guedj. Ayer elpromedio de paginas que llevaba leyendo por dıa coincidio con el numero de dıas que llevabaleyendo el libro. Hoy lee 37 paginas mas y el promedio de paginas que ha leıdo por dıa vuel-ve a coincidir con el numero de dıas que lleva leyendo, ¿cuantos dıas lleva Carlos leyendo el libro?

Solucion: Denotemos por x a la cantidad de dıas que Carlos lleva leyendo el libro hasta el dıade ayer y sea S el numero de paginas que lleva leyendo hasta el dıa de ayer. La primer condicion“ayer el promedio de paginas que llevaba leyendo por dıa coincidio con el numero de dıas quellevaba leyendo”, da lugar a la ecuacion S

x= x, de donde x2 = S. De la misma manera cuando

lee las 37 paginas se tiene que S+37x+1

= x + 1, de donde (x+ 1)2 = S + 37. Al desarrollar, seobtiene que S+ 37 = x2 + 2x+ 1. Luego, al sustituir S = x2 y simplificar se obtiene que 2x = 36,de donde x = 18. Por lo tanto, Carlos lleva 19 dıas leyendo el libro.

Comprobacion 182

18= 18, 18

2+3719

= 19.

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