UNIVERSITATEA DE STAT DIN TIRASPOL

Cu titlu de manuscrisC.Z.U.: 512.548(043.2)

LUPA�SCO NATALIA

BUCLE MOUFANG COMUTATIVE CUCONDI�TII DE FINITUDINE

111.03 � LOGICA MATEMATIC�A, ALGEBR�A �SI TEORIANUMERELOR

Autoreferatul tezei de doctor ��n �stiin�te matematice

CHI�SIN�AU, 2018

Teza a fost elaborat�a ��n cadrul catedrei �Algebr�a, Geometrie �si Topologie� a Univer-sit�a�tii de Stat din Tiraspol, cu sediul la Chi�sin�au.

Conduc�ator �stiin�ti�c:

SANDU Nicolae , dr. ��n �st. �z.-mat., conferen�tiar universitar, UST.

Consultant �stiin�ti�c:

CHIRIAC Liubomir, dr. hab. ��n �st. �z.-mat., profesor universitar, UST.

Referen�ti o�ciali:

1. �SCERBACOV Victor, dr. hab. ��n �st. �z.-mat., conf. cercet., IMI.2. S�IRBU Parascovia, dr. ��n �st. �z.-mat., conf. univ., USM.

Componen�ta Consiliului �Stiin�ti�c Specializat:

1. REABUHIN Iurie, pre�sedinte, acad. al A�SM, dr. hab. ��n �st. �z.-mat., prof.univ., IMI.2. IZBA�S Vladimir, secretar �stiin�ti�c, dr. ��n �st. �z.-mat., conf. cercet., IMI.3. CIOBAN Mitrofan, acad. al A�SM, dr. hab. ��n �st. �z.-mat., prof. univ., UST.4. LEAH Ion, dr. ��n �st. �z.-mat., conf. univ., UTM.5. CUZNE�TOV Eugeniu, dr. ��n �st. �z.-mat., conf. univ., IMI.

Sus�tinerea va avea loc la 26 iunie 2018, ora 15:00 ��n �sedin�ta Consiliului�Stiin�ti�c Specializat D 01.111.03 - 09 din cadrul Institutul de Matematic�a �siInformatic�a al Academiei de �Stiin�te a Moldovei (cab. 340; str. Academiei 5, or.Chi�sin�au, MD-2028, Republica Moldova).

Teza de doctor �si autoreferatul pot � consultate la biblioteca Institutului deMatematic�a �si Informatic�a al Academiei de �Stiin�te a Moldovei �si la pagina webwww.cnaa.md.

Autoreferatul a fost expediat la 25 mai 2018.

Secretar �stiin�ti�c al Consiliului �Stiin�ti�c Specializat,

IZBA�S Vladimir, dr. ��n �st. �z.-mat., conf. cercet.

Conduc�ator �stiin�ti�c,

SANDU Nicolae , dr. ��n �st. �z.-mat., conf. univ.

Consultant �stiin�ti�c,

CHIRIAC Liubomir, dr. hab. ��n �st. �z.-mat., prof. univ.

Autor,

LUPA�SCO Natalia

c© LUPA�SCO Natalia, 2018

REPERE CONCEPTUALE ALE CERCET�ARII

Actualitatea temei. Este remarcabil faptul c�a dezvoltarea dinamic�a aunor clase de algebre neasociative: algebre alternative, algebre Jordan, alge-bre Mal'cev, algebre Lie, etc., s-a produs gra�tie studierii algebrelor respectivecu diverse condi�tii de �nitudine. Condi�tia de �nitudine a unei clase de alge-bre reprezint�a o proprietate algebric�a pe care o poseda toate algebrele �nitedin clasa respectiv�a dar, ��n acela�si timp, exist�a algebre in�nite ce nu posed�aproprietatea dat�a.

Astfel, un punct de cotitur�a ��n dezvoltarea algebrelor alternative ��l con-stituie demonstra�tia celebrei teoreme a matematicianului sco�tian de J. H. M.Wedderburn, prin care reu�se�ste s�a arate c�a orice corp �nit este comutativ.Ulterior, Emil Artin �si Max Zorn au extins rezultatul respectiv pentru alge-bre neasociative. Astfel, teorema Artin-Zorn este o generalizare a teoremeiWedderburn, care a�rm�a c�a corpul neasociativ, ��n care orice dou�a elementegenereaz�a un subcorp asociativ, la fel este corp �nit comutativ. Ceva mait�arziu E. Noether a ar�atat c�a rezultatele ob�tinute de E. Artin sunt adev�aratepentru inele ce satisfac doar condi�tia de minimalitate.

�In contextul respectiv men�tion�am faptul c�a rezultate importante care �tinde cercetarea algebrelor alternative, Jordan, Mal'cev au fost ob�tinute �si dematematicienii: A. I. Shirshov, K. A. Zhevlacov, E. N. Kuz'min, I. P. Shes-takov, V. T. Filippov etc. O contribu�tie important�a ��n cercetarea grupurilorcu condi�tii de �nitudine �tine de rezultatele ob�tinute de �scoala Profesorului S.N. Chernicov �si de discipolii s�ai Ia. D. Polovithkii, D. I. Zait'ev, V. A. Onish-ciuk, etc. De exemplu, ��n lucrarea [1], S. N. Chernicov a introdus clasele degrupuri local nilpotente �si local rezolubile pentru a scoate ��n eviden�ta obiectede cercetare cu condi�tii de �nitudine.

�In condi�tiile respective, cercetarea buclelor Moufang comutative (abreviatBMC) ce satisfac diferitor condi�tii de �nitudine reprezint�a o direc�tie impor-tant�a a algebrei contemporane.

Descrierea situa�tiei ��n domeniul de cercetare �si identi�carea pro-blemelor de cercetare

Apari�tia �si cercetarea buclelor Moufang are conexiune str�ans�a cu exami-narea planelor proiective, ��n mod special, ��n anii 30 a secolului XX. Termenulde quasigrup a fost introdus pentru prima dat�a ��n lucrarea matematicieneide origine german�a R. Moufang care cerceta coordinatizarea planelor proiec-tive [2]. Prin no�tiunea de quasigrup R. Moufang ��n�telegea obiectul matema-tic care ast�azi se nume�ste bucl�a Moufang - bucla ��n care au loc identit�a�tile(x ·yz)x = xy ·zx, x(yz ·x) = xy ·zx, x(y ·xz) = (xy ·x)z, (zx ·y)x = z(x ·yx).R. Moufang a demonstrat o teorem�a remarcabil�a care ilustreaz�a �conexiunea�dintre buclele Moufang �si grupuri:

Teotema Moufang [2]. Dac�a pentru trei elemente a, b, c din bucla Mo-ufang are loc legea asociativ�a (a · b) · c = a · (b · c), atunci ele genereaz�a o bucl�a

3

asociativ�a (grup).O consecin�t�a important�a a acestei teoreme se refer�a la diasociativitatea

buclei Moufang: orice dou�a elemente a buclei Moufang genereaz�a o buclaasociativ�a. �In prezent sunt cunoscute pu�tine metode �si algoritmi care nepermit construc�tia buclelor Moufang noi. Una din cele mai cunoscute metodeeste metoda Chein, care ne ofer�a posibilitatea s�a construim bucle Moufangneasociative de ordinul 2n din orice grup necomutativ de ordinul n.

Este interesant de punctat faptul c�a O. Chein �si H. O. P�ugfelder [3] aug�asit bucla Moufang neasociativ�a de ordinul cel mai mic. Aceasta este buclaMoufang de ordinul 12 cu trei generatori. O. Chein a identi�cat �si clasi�-cat toate buclele Moufang de ordinul mai mic ca 64. Ulterior toate bucleleMoufang neasociative de ordin mai mic ca 64 au fost g�asite prin intermediulcomputerului de G. Nagy �si P. Vojtechovsky ��n 2007.

Orice abordare nou�a utilizat�a la studierea buclelor Moufang este impor-tant�a �si necesar�a, deoarece permite ��n�telegerea mai profund�a a propriet�a�tiloralgebrice examinate.

Astfel, Stephen M. Gagola examineaz�a propriet�a�tile grupurilor cu triali-tate �si le aplic�a la demonstra�tia unor rezultate importante din teoria buclelorMoufang �nite [4]. �In contextul respectiv, M. W. Liebeck utiliz�and grupurilecu trialitate a �nalizat clasi�carea buclelor Moufang simple neasociative. A.N. Grishcov �si A. V. Zavarnitsine au demonstrat teorema Lagrange generali-zat�a �si teorema Sylow pentru buclele Moufang �nite.

Teoria buclelor Moufang comutative ���si are ��nceputul din anul 1936, odat�acu construc�tia de c�atre Hans Julius Zassenhaus, cunoscut matematician ger-man ��n domeniul algebrei abstracte �si algebrei computeriale, a primelor exem-ple de bucle Moufang comutative, utilizate ulterior de c�atre Boll pentru cerce-tarea obiectelor geometrice. �In anii 40, mai mul�ti matematicieni din diferite�t�ari au cercetat intensiv buclele Moufang comutative structura c�arora era�aproape�, ��ntr-un anumit sens, de structura grupurilor abeliene. Rezultatefundamentale din teoria buclelor Moufang comutative pot � g�asite ��n [5], [6].

Pentru buclele Moufang comutative (bucle pentru care identitatea x2 ·yz =xy · xz este just�a) s-a demonstrat urm�atorul rezultat fundamental:

Teorema Bruck-Slaby [5]. Bucla Moufang comutativ�a generat�a de nelemente este central nilpotent�a de clasa n− 1.

Central nilpoten�ta se de�ne�ste analog nilpoten�tei pentru grupuri. Dac�a obucl�a este isotop�a unei bucle Moufang, atunci ea ��ns�a�si este bucl�a Moufang,altfel spus proprietatea de a � bucl�a Moufang este universal�a. Mai mult, dac�adou�a bucle Moufang comutatuve sunt isotope, atunci ele sunt �si isomorfe. �Inprezent aceste bucle au o vast�a aplica�tie ��n studiul diferitor algebre, cum ar �quasigrupurile distributive �si CH-quasigrupurile. Destul de detaliat sunt stu-diate buclele Moufang ��n monogra�ile [5], [6] �si [7]. O contribu�tie important�ala dezvoltarea teoriei buclelor Moufang, la etapa ini�tial�a, au avut lucr�arile de

4

o ��nalta �tinut�a �stiin�ti�c�a elaborate de R. Bruck [5], [8] V. Belousov [6], Iu.Manin [9].

�In anul 1958, V. Belousov a demonstrat c�a utiliz�and careva automor�smeale buclei Moufang comutative (Q,+) folosind construc�tia x · y = ϕx + ψy,unde ϕ �si ψ sunt automor�sme BMC (Q,+) poate � ob�tinut orice quasigrupdistributiv (Q, ·) . Quasigrupul ��n care au loc identit�a�tile xy = yx, x(xy) =y �si orice trei elemente genereaz�a un subquasigrup medial se nume�ste CH-quasigrup. Quasigrupul (Q, ·) este medial dac�a are loc identitatea xy · zt =xz·yt. No�tiunea de CH-quasigrup a fost introdus�a de Iu. Manin��n leg�atur�a cuinvestiga�tiile din geometria algebric�a �si anume cu studierea hipersuprafe�telorcubice. Iu. Manin a demonstrat c�a orice CH-quasigrup poate � ob�tinutaplic�and construc�tia xy = (−x − y) + d, unde d este un element din centrulBMC (Q,+). Prin centrul BMC vom ��n�telege a�sa o mul�time Z, astfel ��nc�atZ = {a ∈ Q|a+ (x+ y) = (a+ x) + y, x, y ∈ Q}.

Dup�a cum men�tioneaz�a H.O. P�ugfelder [10] rezultatele ob�tinute de Profe-sorul V. Belousov au in�uen�tat pozitiv cercet�arile din domeniu �si au contribuitesen�tial la dezvoltarea teoriei quasigrupurilor �si buclelor.

Astfel, de exemplu, T. Kepka �si P. N�emec descriu buclele Moufang comu-tative de ordinul ≤ 728, quasigrupurile distributive de ordinul ≤ 15, quasi-grupurile distributive nemediale de ordinul 81 �si quasigrupurile distributivecomutative nemediale de ordinul 81 �si 82. Un rezultat��n care se arat�a conexiu-nea dintre buclele Moufang, IP -buclele �si A-bucle au ob�tinut M. K. Kinyon,K. Kunen �si J. D. Phillips. Astfel, s-a demondtrat c�a pentru orice A-bucl�a Lsunt echivalente a�rma�tiile: (i) L este IP -bucl�a; (ii) ��n L sunt adev�arate iden-tit�a�tile de alternativitate de st�anga �si de dreapta x ·xy = x2 · y, yx ·x = y ·x2(iii) L este diasociativ�a; (iv) L este bucl�a Moufang.

Reamintim c�a bucla L se nume�ste IP -bucla, dac�a ��n L sunt adev�arateidentit�a�tile: x−1 · xy = y �si yx · x−1 = y. No�tiunea de IP -bucl�a, dar �si IP -quasigrup, a fost introdus�a de R. H. Bruck. Bucla L se nume�ste A-bucl�a, dac�aorice substitu�tie intern�a a ei este automor�sm. �Inc�a un rezultat interesant �tinede lucr�arile lui J. Smith [11], G. Malbos [12] �si L. Beneteau [13] ��n care s-ademonstrat c�a grani�ta exact�a de sus a clasei de nilpoten�t�a a buclei Moufangcomutative libere 3-periodice cu n-generatori liberi este n−1, de unde rezult�ac�a clasa tuturor buclelor Moufang comutative 3-periodice nu este nilpotent�a.

Monogra�ile elaborate de V. Andrunachievici [14], Iu. Reabuhin [15], V.Belousov [6] au contribuit la dezvoltarea algebrei ��n Moldova �si alte �t�ari.

O contribu�tie important�a ��n dezvoltarea teoriei buclelor Moufang �si a con-exiunilor cu alte quasigrupuri, a fost adus�a de reprezentan�tii �scolii de mate-matic�a fondat�a de V. D. Belousov: A. S. Basarab [16], N. I. Sandu [17], [18],[19], F. Sokhatsky [20], W. Dedek [21], L. Ursu [22], G. Beleavscaia, A. Ta-barov [23], V. Shcerbacov [24], V. Izba�s [25], V. Ursu [26], [27], I. Leah [28],E. Kuzne�tov [29], etc.

5

Putem constata c�a cercet�arile descriu ��n mare m�asur�a c�at de �aproape�buclele Moufang comutative sunt de grupuri. La cercetarea quasigrupurilorapar ��n eviden�t�a urm�atoarele structuri:

� grupul multiplicativ M;� grupul automor�smelor;� semigrupul endomor�smelor;� semigrupul matricilor peste c�ampuri, etc.�In cercet�arile predecesorilor nu au fost stabilite profund conexiunile bucle-

lor Moufang comutative cu aceste grupuri �si semigrupuri. Prin urmare esteactual�a urm�atoarea problem�a.

Problema de cercetare. Descrierea propriet�a�tilor buclelor Moufang co-mutative care va contribui la identi�carea conexiunii lor cu grupul multipli-cativ �si cu grupul de automor�sme ��n vederea determin�arii structurii buclelorMoufang comutative cu condi�tii de �nitudine.

Pentru solu�tionarea problemei de cercetare este necesar s�a realiz�amurm�atoarele obiective:

- De determinat condi�tiile ��n care bucla Moufang comutativ�a este centralnilpotent�a (de clasa data).

- De descris grupul de automor�sme F (1) al buclei Moufang comutative cese aproximeaz�a cu bucle Moufang central nilpotente.

- De determinat grupul de automor�sme al buclei Moufang comutative cucondi�tii de minimalitate.

- De determinat structura buclelor Moufang comutative ce admit descompu-nere ��n �sir central inferior.

- De determinat structura buclelor Moufang comutative metahamiltoniene.

Metodologia cercetarii stiinti�ce. Construc�tiile �si metodele �stiin�ti�cese bazeaz�a pe aplicarea no�tiunilor de bucl�a Moufang comutativ�a cu condi�tiide �nitudine, grupul automor�smelor �si semigrupul endomor�smelor ei.

Noutatea �si orignalitatea �stiin�ti�c�a: Rezultatele principale din lu-crare sunt noi. Astfel, sunt stabilite condi�tiile ��n care bucla Moufang comuta-tiv�a este central nilpotent�a de clasa n. Este descris grupul de automor�smeF (1) al buclei Moufang comutative ce se aproximeaz�a cu buclele Moufangcentral nilpotente. Este determinat grupul de automor�sme al buclei Mou-fang comutative cu condi�tii de minimalitate. Este demonstrat c�a semigrupulendomor�smelor buclei Moufang comutative ce poseda descompunere ��n pro-dus direct a propriilor subbucle este izomorf semigrupuluiM�matricilor. Estedeterminat�a structura buclelor Moufang comutative ce admit descompunere��n �sir central inferior. Este determinat�a structura buclelor Moufang metaha-miltoniene.

6

Problema �stiinti�c�a solu�tionat�a rezid�a ��n descrierea propriet�a�tilor bu-clelor Moufang comutative care contribuie la identi�carea conexiunii lor cugrupul multiplicativ �si cu grupul de automor�sme ��n vederea determin�ariistructurii buclelor Moufang comutative cu condi�tii de �nitudine.

Semni�ca�tia teoretic�a. Au fost elaborate concep�tii, metode �si construc�tiinoi care au contrubuit la rezolvarea obiectivelor propuse. Rezultatele ob�tinutereprezint�a un pas important ��n studiul buclelor Moufang comutative cucondi�tii de �nitudine.

Valoarea aplicativa a lucrarii. Lucrarea poart�a un caracter teore-tic. Metodologia aplicat�a, concep�tiile �si metodele elaborate ��n lucrare aupermis solu�tionarea unor probleme concrete ori ale unor aspecte ale proble-melor formulate ��n cadrul teoriei buclelor Moufang comutative. De asemenearezultatele lucr�arii pot � utilizate ��n predarea cursurilor de specialitate pen-tru studen�tii, masteranzii �si doctoranzii de la specialit�a�tile de matematic�a,matematic�a aplicat�a, etc.

Rezultatele principale �stiin�ti�ce ��naintate spre sus�tinere:

- Au fost stabilite condi�tiile ��n care bucla Moufang comutativ�a este centralnilpotent�a de clasa n (Teorema 2.1);

- A fost descris grupul de automor�sme F (1) al buclei Moufang comutativece se aproximeaz�a cu bucle Moufang central nilpotente (Teorema 2.2);

- A fost determinat grupul de automor�sme al buclei Moufang comutative cucondi�tii de minimalitate (Teorema 2.3 �si Teorema 2.4);

- A fost determinat�a structura buclelor Moufang comutative ce admit des-compunere ��n �sir central inferior (Teorema 3.1);

- A fost stabilit�a structura buclelor Moufang metahamiltoniene (Teorema 4.1,Teorema 4.2 �si Teorema 4.3).

Implementarea rezultatelor �stiin�ti�ce. Rezultatele lucr�arii pot �implementate ��n teoria buclelor Moufang comutative, criptogra�e, sistemeinforma�tionale, la elaborarea unor cursuri speciale pentru masteranzi �si doc-toranzi.

Aprobarea rezultatelor �stiin�ti�ce. Rezultatele tezei au fost expuse ��ncadrul urm�atoarelor conferin�te �si seminare �stiin�ti�ce:

1. Second Conference of the Matemathical Society of Republic of Moldova,august 17 � 19, 2004.

2. Seminarul �stiin�ti�c anual dedicat matematicianului V. D. Belousov.

3. Profesorul Osm�atescu � 80 de ani, Universitatea Tehnic�a din Moldova,Chi�sin�au, noiembrie 19, 2005.

7

4. A 6-a Conferint�a Anual�a a Societ�atii de �Stiinte Matematice din Rom�ania,Bucure�sti, 28 iunie - 4 iulie, 2007.

5. The XIV-th Conference on Applied and Industrial Mathematics, dedica-ted to the 60th anniversary of the Faculty of Mathematics and ComputerScience of Moldova State University, Chisin�au, august 17-19, 2006.

6. International conference �Mathematics & Information techoloies: Re-search and Education� (MITRE 2011), dedicated to the 65th anniver-sary of the Moldova State University, August 22 � 25, 2011.

7. The XIV-th Conference on Applied and Industrial Mathematics, Ia�si,septembrie 22 � 25, 2011.

8. The XXV-th Conference on Applied and Industrial Mathematics, Ia�si,septembrie 14 � 17, 2017.

9. Seminarul catedrei Algebr�a, Geometrie �si Topologie al Universit�a�ti deStat din Tiraspol (cu sediul ��n Chi�sin�au).

10. International conference on mathematics, informatics and informationtechnologies: dedicated to the illustrious scientist Valentin Belousov,April 19 � 21, 2018, B�al�ti.

Publica�tii la tema tezei. Rezultatele de baz�a ale tezei au fost publicate��n 12 lucr�ari �stiin�ti�ce, inclusiv:

1. Monogra�a �Êîììóòàòèâíûå ëóïû Ìóôàíã ñ íåêîòîðûìè óñëîâèÿìèìèíèìàëüíîñòè�, Tipogra�a UST, 2017, 103 p. [37]

2. (a) Dou�a articole ��n revista �Buletinul Academiei de �Stiinte a Republi-cii Moldova� seria Matematica Nr 2(51) 2006 [38] �si Nr 3(61) 2009[39] (categoria B, actual de categoria A).

(b) Un articol publicat ��n revista �Ìàòåìàòè÷åñêèå Çàìåòêè� 2012, ò.91, � 3 (impact factor 0.46) [40];Articolul respectiv publicat ��n versiunea englez�a ��n �MathematicalNotes� April 2012, Volume 91, Issue 3-4 (impact factor 0.484).

(c) Dou�a articole ��n revista �Äèñêðåòíàÿ Ìàòåìàòèêà�, 2011, ò. 23,� 1, [41] �si 2011, ò. 23, � 2 [42] (impact factor 0.453);Articolele respective ��n versiunea englez�a publicate ��n revista �Dis-crete Mathematics And Applications�, respectiv Volume 21, Issue 1(Jan 2011) �si Volume 21, Issue 3 (Apr 2011), (impact factor 0.552).

3. �Sase rezumate la conferin�te na�tionale �si interna�tionale: MITI 2018 [43],MITRE 2011 [44], CAIM 2006 [45], CAIM 2011 [46], CAIM 2017 [47] �sila �The 6th Congres of Romanian Mathematicians� 2007 [48].

8

Dintre care de un singur autor: o monogra�e, 3 articole �si 5 teze laconferin�te na�tionale �si interna�tionale. Volumul total al publica�tiilor este apro-ximativ 9.75 coli de autor.

Structura �si volumul tezei. Teza con�tine introducere, patru capitole,concluzii generale �si recomand�ari, bibliogra�a ce include 113 de titluri. Volu-mul total de baz�a este de 111 pagini.

Cuvinte cheie: bucl�a Moufang comutativ�a, condi�tii de �nitudine, grupulautomor�smelor din BMC, semigrupul endomor�smelor.

CON�TINUTUL TEZEI�In introducere se argumenteaz�a actualitatea temei tezei, se prezint�a scopul

�si obiectivele, problemele cercet�arii �si se expune succint con�tinutul lucr�arii.�In primul Capitol - Analiza situa�tiei ��n domeniul buclelor Mou-

fang comutative - se face o analiz�a a publica�tiilor ��n domeniul cercet�arii,se efectueaz�a o trecere ��n revist�a a unor elemente introductive din litera-tura de specialitate, sunt prezentate rezultate cunoscute care sunt utilizate ��nurm�atoarele capitole. De asemenea se argumenteaz�a actualitatea problemeide cercetare.

�In al doilea Capitol - Grupul automor�smelor buclei Moufangcomutative - const�a din �sase paragrafe. Rezultatele acestui capitol au fostpublicate ��n [37], [40], [41], [42], [44], [46]. �In acest capitol au fost cercetateobiectivele 1-3.

�In primul paragraf se examineaz�a grupul automor�smelor buclei Moufangcomutative. Eveden�tiem: Teorema 2.1, Propozi�tia 2.1. �In contiunare estecaracterizat�a bucla Moufang comutativ�a cu condi�tii de �nitudine prin grupulautomor�smelor.

Vom scoate ��n eviden�t�a urm�atoarele no�tiuni.�In orice bucl�a Moufang comutativ�a arbitrar�a sunt adev�arate identit�a�tile

L(x, y)x = z(z, y, x) (2.1)

x, y, z = (y−1, x, z) = (y, x, z)−1 = (y, z, x) (2.1)

(x, y, z)3 = 1 (2.3)

(xy, u, v) = (x, u, v)((x, u, v), x, y) · (y, u, v)((y, y, v), y, x)(2.4)

�Sir central a buclei Moufang comutative se nume�ste consecutivitatea ordonat�adup�a incluziune

1 = Z0 ⊆ Z1 ⊆ Z2 ⊆ . . . ⊆ Zα ⊆ . . . ⊆ Zγ = Q (2.5)

de subbucle normale a buclei Moufang comutativeQ, ce satisfac condi�tiilor:

(1) Zα = Σβ<αZβ pentru num�arul limit�a de ordine α �si

9

(2) Bucla-factor Zα+1/Zα � factorul �sirului (2.5) pentru orice α se con�tine ��ncentrul buclei-factor Q/Zα.

�Sirul central cresc�ator (2.5) al buclei Moufang comutative Q se nume�ste �sircentral superior dac�a factorul cresc�ator Zα+1/Zα pentru orice α coincide cucentrul buclei factor Q/Zα.

Bucla Moufang comutativ�a care dispune de �sir central superior se nume�steZA�bucl�a.

Dac�a �sirul central superior al ZA�buclei este �nit, atunci ea se nume�stecentral nilpotent�a, iar num�arul de factori cu astfel de �siruri se nume�ste clas�acentral nilpotent�a.

Se noteaza prin Qi subbuclele buclei Moufang comutative Q, generate detoti asociatorii de forma (x1, x2, . . . , x2i+1) unde (x1, . . . , x2i−1, x2i, x2i+1) =((x1, . . . , x2i−1), x2i, x2i+1). �Sirul de subbucle normale

Q = Q0 ⊇ Q1 ⊇ Q2 ⊇ . . . ⊇ Qi ⊇ . . . (2.6)

se nume�ste �sir cenrtal inferior al buclei Moufang comutative Q.Bucla Moufang comutativ�a Q se nume�ste central nilpotent�a de clas�a n,

dac�a �sirulrile central superior (2.5) �si inferior (2.6) au structura:

1 = Z0 ⊆ Z1 ⊆ Z2 ⊆ . . . ⊆ Zn = Q

Q = Q0 ⊇ Q1 ⊇ Q2 ⊇ . . . ⊇ Qn = 1

�In lucr�arile [11], [12], [13] sunt construite exemple de bucle Moufang co-mutative cu n generatori, care sunt central nilpotente de clasa n− 1. Astfel,conform teoremei Bruck-Slaby, este adev�arat�a:

Lema 2.1 Bucla Moufang comutativ�a liber�a cu n generatori liberi estecentral nilpotent�a de clasa n− 1.

Fie bucla Moufang comutativ�a Q cu �sir central inferior (2.6). Prin AutQnot�am grupul automor�smelor buclei Q, iar prin F (k), k = 1, 2, . . . mul�timeatuturor automor�smelor din AutQ care induc aplica�tia identic�a pe Q/Qk.Subgrupul F (k) este subgrup normal al grupului AutQ.

Not�am prin F (1) = F0 ⊇ F1 ⊇ . . . ⊇ Fi ⊇ . . . �sirul central inferior asubgrupului F (1) a grupului AutQ. Are loc urm�atoarea lem�a:

Lema 2.2 Pentru m = 1, 2, . . . �si pentru orice num�ar nenegativ k elemen-tele grupului F (k) induc aplica�tia identic�a pe Qm/Qm+k.

Fie acum Q o bucl�a Moufang comutativ�a cu centrul Z(Q) �si cu grupulsubstitu�tiilor interne I(Q), �si Z(I) centrul grupului I(Q). �In lucrarea [5] s-ademonstrat, I(Q/Z) ∼= I/Z(I). Atunci din aceast�a egalitate �si de�ni�tiile ZA�buclei �si buclei central nilpotente cu ajutorul induc�tiei se ob�tine a�rma�tia:

Teorema 2.1 Pentru bucla Moufang comutativ�a Q �si grupul de automor-�sme F (1) urm�atoarele condi�tii sunt echivalente:

10

1. Bucla Q este central nilpotent�a de clasa n;

2. Grupul F (1) este nilpotent de clasa n− 1;

3. Grupul substitu�tilor interne I(Q) este nilpotent de clasa n− 1.

Propozi�tia 2.1 Pentru bucla Moufang comutativ�a Q urm�atoarele condi�tiisunt echivalente:

1. Bucla Q este ZA�bucl�a;

2. Grupul F (1) este ZA�grup;

3. Grupul I(Q) este ZA�grup.

�In 2.2 este caracterizat�a bucla Moufang comutativ�a prin grupul automor-�smelor.

Teorema 2.2 Fie c�a bucla Moufang comutativ�a Q se aproximeaz�a cu bucleMoufang comutative central nilpotente. Atunci grupul s�au de automor�smeeste extensie a grupului F (1). Dac�a bucla Q este central nilpotent�a de clasan, atunci grupul F (1) este nilpotent de clasa n − 1 �si ordinul 3k, unde k =max{r|2r ≤ n}. �In particular, dac�a, bucla Q este �nit generat�a, atunci F (1)este 3-grup �nit.

Este bine cunoscut�a teorema A. I. Mal'cev [30] (la fel [31]):Grupul resolubil de automor�sme a grupului abelian �nit generat este polici-clic.

Acest rezultat a fost extins �si pentru buclele Moufang comutative, astfeleste adev�arat�a

Propozi�tia 2.2 Grupul resolubil al automor�smelor al buclei Moufangcomutative �nit generate este policiclic.

�In 2.3 este realizat obiectivul 3.Bucla (grupul) satisface condi�tiei de minimalitate pentru subgrupuri (vom

utiliza doar termenul condi�tiei de minimalitate) dac�a nu exist�a nici un �sirin�nit descresc�ator de subbucle (subgrupuri). Datorit�a observa�tiei formulatede V. Ursu ��n lucrarea [32] am rev�azut formularea �si demonstra�tiile lemei ceurmeaz�a �si toate a�rma�tiile care folosesc lema ��n demonstra�tie.

Fie acum Q o bucl�a Moufang comutativ�a cu grupul multiplicativ M, cesatisface condi�tiilor de minimalitate pentru subbucle.

Lema 2.11 Pentru bucla Moufang comutativ�a central simpl�a Q cu grupulmultiplicativ M, urm�atoarele condi�tii sunt echivalente:

1) Bucla Q satisface condi�tia de minimalitate pentru subbucle;

2) Bucla Q poate � descompus�a ��n produs de un num�ar �nit de grupuri qua-siciclice D =

∏p∈S Cp∞ din centrul Z(Q) al buclei Q �si o bucl�a Moufang

comutativ�a �nit�a H;

11

3) Bucla Q poate � descompus�a ��n produs direct de un num�ar �nit de grupuriquasiciclice

∏p∈S Cp∞ �si Q3, Q =

∏p∈S Cp∞×Q3, unde S este o mul�time

de numere prime diferit de 3, iar Q3 este �nit�a sau Q3 = Cp∞ · F , F osubbucl�a �nit�a;

4) Grupul multiplicativ M poate � descompus ��n produs direct de un num�ar�nit de grupuri D =

∏p∈S Cp∞ din centrul Z(M) al grupului M �si un

grup �nit G.

�In conformitate cu Lema 2.11

Q = D ×H, M = D ×G, unde D =∏p∈S

Cp∞ ,

H este bucl�a Moufang comutativ�a �nit�a, G este grup �nit. �In conformitatecu Lema 2.10,

H =∏p∈T

Hp, G =∏p∈T

Gp, unde Gp ∼= MHp

�si dac�a bucla Moufang comutativ�a Q este neasociativ�a, atunci 3-subbucla H3

este neasociativ�a �si 3 - subgrupul maximal G3 este necomutativ. Mul�timilede numere prime S, T sunt �nite. Are loc:

Teorema 2.3 Fie Q o bucl�a Moufang comutativ�a cu grupul multiplicativM, ce satisface condi�tiilor de minimalitate pentru subbucle. Atunci grupurileautomor�smelor AutQ, AutM izomorf se reprezint�a prin matrici peste sumadirect�a de c�ampuri GLn(Zp∞) de numere ��ntregi p-adice. Mai exact, aicip ∈ S, unde S este mul�timea numerelor prime, din Lema 2.11, iar n estenum�arul lor.

Reamintim c�a �ecare bucl�a aproape toat�a se aproximeaz�a dac�a dispunede careva proprietate dac�a ea con�tine o subbucl�a normal�a de indice �nit,care dispune de aceea�si proprietate. Atunci, ca ��n cazul grupurilor [33] �si dinTeorema 2.2 similar rezult�a:

Corolarul 2.6 Fie bucla Moufang comutativ�a Q cu grupul multiplicativM, ce satisface condi�tiilor de minimalitate pentru subbucle. Atunci grupulautomor�smelor AutQ (respectiv AutM) aproape nu are torsiune �si aproapetoat�a se aproximeaz�a cu p-grupuri �nite nilpotente.

�In [33] Teorema 2.3 �si corolarul ei se demonstreaz�a pentru grupul auto-mor�smelor externe AutG = AutG/IntG, unde G este grup Chernicov, adic�aeste extensie �nit�a al produsului direct de un num�ar �nit de grupuri quasi-ciclice, iar IntG este grupul automor�smelor lui interne. Dar, spre deosebirede bucla Moufang comutativ�a, aceste a�rma�tii nu sunt adev�arate pentru totgrupul automor�smelor AutG. Este su�cient s�a analiz�am ��n calitatea de Gconexiunea dintre grupurile quasiciclice cu grupul �nit netrivial.

12

�In 2.4 este caracterizat�a bucla Moufang comutativ�a cu condi�tia de mini-malitate

Teorema 2.4 Pentru bucla Moufang comutativ�a neasociativ�a Q cu grupulmultiplicativ M urm�atoarele condi�tii sunt echivalente:

1) Bucla Q satisface condi�tiei de minimalitate pentru subbucle.

2) a) Bucla Q este periodic�a,

b) Grupul periodic de automor�sme al Q este �nit.

3) a) Bucla Q este periodic�a,

b) Grupul periodic de automor�sme al buclei Q satisface condi�tiilor deminimalitate pentru subgrupuri.

4) a) Bucla Q este periodic�a,

b) 3-subgrupurile elementare abeliene a grupului automor�smelor al bucleiQ sunt numerabile.

5) a) Bucla Q este periodic�a,

b) Grupul substitu�tiilor interne I(Q) al buclei Q este un 3-grup �nit,

c) Grupul M admite prezentare matricial�a izomorf�a asupra unui c�amp decaracteristica zero.

6) a) Bucla Q este periodic�a,

b) Subgrupurile normale (respectiv neabeliene) grupului M admit prezen-tare izomorf�a matricial�a asupra unui c�amp de caracteristica zero.

7) a) Bucla Q este periodic�a,

b) Cel pu�tin un subgrup abelian maximal al grupului M admite prezentareizomorf�a matricial�a asupra unui c�amp de caracteristica zero.

8) a) Bucla Q este periodic�a,

b) Grupul M este local nilpotent, de aceea subgrupurile normale (respectivneabeliene) grupului M admit prezentare izomorf�a matricial�a asupraunui c�amp de caracteristica zero.

9) a) Bucla Q este periodic�a,

b) Orice grup periodic de automor�sme al grupului M este �nit.

10) a) Bucla Q este periodic�a,

b) Factor-grupul M/Z(M) este un 3-grup �nit,

c) Grupurile elementare primare abeliene ale grupului automorismelor Msunt numerabile.

13

�In al treilea Capitol - Semigrupul endomor�smelor buclei Mou-fang comutative - este cercetet obiectivul 4, iar re�ectate rezultatele suntpublicate ��n lucr�arile: [37], [41], [48].

Se cunoa�ste c�a endomor�smele �si automor�smele spa�tiilor vectoriale pot �prezentate ca matrici asupra c�ampurilor respective. Aceast�a prezentare ma-tricial�a joac�a un rol important ��n teoria grupurilor liniare - grupurile automor-�smelor spa�tiilor vectoriale. Analogic, prezentarea matricial�a se cerceteaz�a �sipentru produsele directe ale grupurilor multiplicative [34].

Fie c�a bucla Moufang comutativ�a Q se descompune ��n produs direct alecomponentelor sale

Q = Q1 ×Q2 × . . .×Qi × . . . (3.1)

Dac�a u ∈ Qi, v ∈ Qj , w ∈ Qt �si cel pu�tin doi din trei ��ndici i, j, t suntdiferi�ti, atunci din de�ni�tia produsului direct rezult�a c�a uv · w = u · vw.Mai mult, analiz�am produsul a = (a1a2 . . . an)α pentru o careva distribu�tiea parantezelor α, unde ai ∈ Qj . Dac�a (a1a2 . . . an)α con�tine nu mai mult dedoi factori ai, aj (i, j = 1, . . . , n), ce apar�tin uneia �si aceleia�si componente Qk,atunci expresia (a1a2 . . . an)α nu se schimb�a pentru orice alt�a distribu�tie aparantezelor α �si pentru orice substitu�tie ale factorilor a1, a2, . . . , an. Aceast�aproprietate a expresiei α o vom numi asociativitatea componentelor.

Acum, anal�agic c�a ��n [34], de�nim urm�atoarele no�tiuni. Fie M , N dou�amul�timi �si L un sistem algebric cu opera�tii de ��nmul�tire (·), adunare (+) �siopera�tia nulara 0. Se vor examina diferite func�tii A,B, . . . de dou�a variabile,de�nite pe produsul cartezian M × N �si cu valori ��n L. Astfel de func�tiise numesc M,N -matrici asupra sistemului L. Prin aαβ se noteaz�a valorilefunc�tiei pentru argumentele α �si β : A(α, β) = aαβ , iar func�tia este matricece se noteaz�a prin (aαβ). Dac�a A = (aαβ) este matrice, atunci, �x�and ��naceasta primul element, ob�tinem func�tia de o singur�a variabil�a este linia aα =(aα(β)), �si analogic, �x�and al doilea argument, ob�tinem coloana aβ = (aβ(α)).Matricea A se nume�ste linie �nit�a, dac�a��n toate liniile sale este doar un num�ar�nit de zerouri. Respectiv se de�nesc matricile de coloane �nite. Fie acum Aeste M,N -matrice �si B este N,K-matrice, cu condi�tia c�a A este linie �nit�a �siB este coloan�a �nit�a. Atunci produsul C = AB este M,K-matrice, de�nit�aprin formula

cαβ =∑γ

aαγbγβ ,

unde α ∈M , γ ∈ N , β ∈ K �si sum�and num�arul��n�nit de zerouri la fel ob�tinemzero. �In �nal, func�tia a = (aαα) este diagonal�a principal�a aM -matricii (aαβ).

Acum trecem la cercetarea leg�aturilor ��ntre M -matrici �si endomor�smelebuclei Moufang comutative Q, ce dispune de descompunere ��n produs direct(3.1).

14

Teorema 3.1 Semigrupul endomor�smelor buclei Moufang comutative Q,ce dispune de descompunere ��n produs direct de subbucle (3.1) cu proprietateade asociativitatea componentelor este izomorf semigrupului M -matricilor.

�In [17] este demonstrat, c�a orice bucl�a Moufang comutativ�a periodic�a sedescompune ��n produs direct al p-componentelor sale. Unde p-componentelesunt bucle complet caracteristice. Atunci din Teorema 3.1 rezult�a:

Corolarul 3.1 Semigrupul endomor�smelor buclei Moufang comutativeperiodice este izomorf cu semigrupul M -matricilor diagonale.

�In 3.2 este examinat�a interconexiunea dintre produsul direct, semigrupulendomor�smelor �si repzezentarea lor matricial�a ��n bucla Moufang comutativ�a.

�In Capitol patru - Bucle Moufang comutative cu restric�tii - seexpun studiile asupra obiectivului 5, care au fost re�ectate ��n publica�tiile [38],[39], [45], [47].

Grupul G se va numi f�ar�a torsiune dac�a orice element g 6= e din grupulrespectiv are ordin in�nit. Dac�a orice element g 6= e din grupul G are ordin�nit atunci grupul se nume�ste periodic.

Un grup se nume�ste ciclic, dac�a este generat de un singur element al s�au.Acest element se nume�ste generator al grupului.

Un grup neabelian �nit este numit grup Miller�Moreno dac�a toate sub-grupurile sale sunt abeliene.

Un IH-grup (respectiv IH�grup) este un grup in�nit ��n care toate sub-grupurile sale abeliene in�nite (respectiv nonabeliene) sunt normale.

Grupul Hamiltonian este grupul neabelian ��n care toate subgrupurile suntnormale.

Grupul G se nume�ste metahamiltonian dac�a toate subgrupurile neabelienedin G sunt normale.

�In [1] este descris�a construc�tia IH-grupurilor, cu elemente de ordin in�-nit �si IH-grupurilor periodice, care nu satisfac condi�tia minimalit�a�tii pentrusubgrupurile abeliane. De asemenea, se descriu grupurile resolubile IH cusubgrupuri �nite sau in�nite de comutatori �si se caracterizeaz�a IH-grupurile(resolubile) metahamiltoniene sau non-metahamiltoniene.

Fie M(H) un subgrup al grupului multiplicativ M(Q) al buclei Moufangcomutative Q, generat de mul�timea {L(x)|x ∈ H}. Are loc:

Teorema 4.1 Dac�a grupul multiplicativ M al buclei Moufang comutativeQ este un IH-grup, atunci M este abelian �si, prin urmare, bucla Q esteasociativ�a.

Propozi�tia 4.1 Grup multiplicativ M al buclei Moufang comutative nea-sociative in�nite Q nu con�tine subgrupuri in�nite neabeliene, dac�a �si numaidac�a Q = D×H, unde D este un grup quasiciclic, H este o 3-bucl�a generat�aneasociativ�a sau M = D ×G, unde G este un grup Miller-Moreno.

Teorema 4.2 Dac�a grupul multiplictiv M al buclei Moufang comutativeQ este un IH-grup, atunci:

15

1) Grupul M este un grup meta-hamiltonian;

2) Toate subbuclele neasociative ale buclei Q sunt normale;

3) Dac�a grupul M este neperiodic, atunci subgrupul comutator M′ din grupulM este 3-grup �nit abelian;

4) Dac�a M este periodic, atunci subgrupul comutator M′ din grupul M este3-grup resolubil �nit de clas�a nu mai mare ca trei.

�In 4.2 se cerceteaz�a bucla Moufang comutativ�a cu restric�tii asupra siste-melor de subbucle asociative in�nite.

Teorema 4.3 Pentru o bucl�a Moufang comutativ�a Q cu grupul multiplictivM urm�atoarele a�rma�tii sunt echivalente:

1) Bucla Q este asociativ�a.

2) Bucla Q are a�sa o subbucl�a in�nit�a H pentru care orice subbucl�a asociativ�ace are o intersec�tie in�nit�a cu H este o subbucl�a normal�a ��n Q.

3) Grupul M este abelian.

4) Grupul M are un subgrup in�nit N pentru care orice subgrup are ointersec�tie in�nit�a cu N este un subgrup normal ��n M.

Construc�tia grupurilor arbitrare care satisfac echivalen�ta a�rma�tiilor 3),4) din Teorema 4.3 este descris�a��n [36]. Demonstra�tia echivalen�tei a�rma�tiilor3), 4) din Teorema 4.3, prezentate aici, este similar�a cu demonstra�tiaechivalen�tei a�rma�tiilor 1), 2) din acee�si Teorem�a 4.3.

CONCLUZII GENERALE �SI RECOMAND�ARI

Cercet�arile ��n domeniul teoriei buclelor Moufang au fost ini�tiate ��n a douajum�atate a secolului XIX-lea. Teoria buclelor Moufang comutative cu restric�tiide �nitudine prezint�a un interes special pentru cercetare datorit�a �apropierii�de teoria grupurilor. Dar s-a determinat c�a nu sunt su�cient cercetate pro-priet�a�tile buclelor Moufang comutative cu condi�tii de �nitudine �si conexiunealor cu diverse structuri asociate.

Rezultatele principale ale lucr�arii sunt noi. Cercet�arile realizate ��n aceast�alucrare se refer�a la obiectivele propuse pentru investiga�tie �si ne permit s�aformul�am urm�atoarele concluzii:

1. Aplic�and grupul de automor�smre, au fost determinate condi�tiile ��n carebucla Moufang comutativ�a este central nilpotent�a (de clasa dat�a).

�In acest scop a fost demonstrat c�a urm�atoarele condi�tii sunt echivalente:bucla Moufang comutativ�a Q este central nilpotent�a de clasa n; grupul

16

F (1) este nilpotent de clasa n − 1; grupul aplica�tiilor interne I(Q) estenilpotent de clasa n− 1.

2. Pentru buclele Moufang comutative ce se aproximeaz�a cu bucle Moufangcentral nilpotente a fost descris�a sructura grupului F (1).

�In acest scop a fost demonstrat c�a dac�a bucla Moufang comutativ�a Q seaproximeaz�a cu bucle Moufang comutative central nilpotente, atunci gru-pul s�au de automor�sme este extensia grupului F (1) nilpotent aproximabil,generat de toate automor�smele ce induc aplica�tia identic�a pe Q/Q1, pringrupul automor�smelor grupului abelian Q/Q1. De asemeni s-a extins re-zultatul lui A. I. Mal'cev asupra grupul resolubil al automor�smelor Φ albuclei Moufang comutative Q �nit generat�a s-a demonstrat c�a este polici-clic.

3. A fost determinat grupul de automor�sme al buclei Moufang comutativecu condi�tii de minimalitate.

Pentru realizarea acestui obiectiv a fost demonstrat c�a bucla Moufang co-mutativ�a Q cu grupul multiplicativ M, ce satisface condi�tiilor de minima-litate pentru subbucle, atunci grupurile automor�smelor AutQ, AutM izo-morf se reprezint�a prin matrici peste suma direct�a de c�ampuri GLn(Zp∞)de numere ��ntregi p-adice. La fel au fost caracterizate buclele Moufangcomutative neasociative arbitrare prin grupul s�au de automor�sme, de-monstr�andu-se echivalen�ta unui set de condi�tii.

4. Folosind asociativitatea componentelor buclei a fost determinat�a structurabuclelor Moufang comutative ce admit descompunere ��n �sir central inferior.

�In acest sens a fost de�nit�a asociativitatea componenetelor buclei Moufangcomutative. Pentru buclele Moufang comutative cu asociativitatea com-ponenetelor �si descompunere ��n produs direct de subbucle, semigrupul en-domor�smelor este izomorf semigrupului M -matricilor. La fel semigrupulendomor�smelor buclei Moufang comutative Q este izomorf semigrupuluiM -matricilor. Pentru semigrupul endomor�smelor s-au demonstrat c�atevapropriet�a�ti.

5. A fost stabilit�a structura buclelor Moufang comutative metahamiltoniene.

Pentru buclele Moufang comutative cu restric�tii asupra subbuclelor �si su-bgrupurilor grupului multiplicativ au fost stabilite condi�tiile pentru carebucla Moufang comutativ�a Q este asociativ�a.

Pentru bucla Moufang comutativ�a Q cu restric�tii asupra sistemelor de su-bgrupuri ale grupului multiplicativ M au fost stabilite condi�tiile pentrucare: grupul M este grup metahamiltonian; toate subbuclele neasociativedin bucla Moufang comutativ�a Q sunt normale; subgrupul comutator M′

17

dinM este 3-grup �nit abelian; subgrupul comutatorM′ dinM este 3-grup�nit resolubil.

Pentru bucla Moufang comutativ�a cu restric�tii asupra sistemelor de sub-bucle asociative in�nite au fost stabilite condi�tiile pentru care urm�atoarelea�rma�tii sunt echivalente: bucla Moufang comutativ�a Q este asociativ�a;Bucla Q are a�sa o subbucl�a in�nit�a H pentru care orice subbucl�a aso-ciativ�a ce are o intersec�tie in�nit�a cu H este o subbucl�a normal�a ��n Q.grupul M este abelian; Grupul M are un subgrup in�nit N pentru careorice subgrup are o intersec�tie in�nit�a cu N este un subgrup normal ��n M.

Prin urmare, toate obiectivele tezei sunt realizate �si este complet solu�tionat�aproblema �stiin�ti�c�a: rezid�a ��n descrierea propriet�a�tilor buclelor Moufang co-mutative care a contribuit la identi�carea conexiunii lor cu grupul multiplicativ�si cu grupul de automor�sme ��n vederea determin�arii structurii buclelor Mo-ufang comutative cu condi�tii de �nitudine.

Recomand�ari:

1. Lu�and��n considera�tie rolul buclelor Moufang comutative ��n algebra abs-tract�a, �zica teorietic�a �si aplicat�a, criptogra�e �si sisteme informa�tionaleputem considera c�a teoria �si metodele elaborate pot � aplicate e�cient ��ncercet�arile din domeniile men�tionate, c�at �si ��n alte direc�tii de cercetare.

2. Se recomand�a ca rezultatele ob�tinute �si construc�tiile elaborate s�a �eaplicate:

- la examinarea propriet�a�tilor algebrice ale buclelor Moufang comuta-tive cu diverse restric�tii;

- la cercetarea propriet�a�tilor topologice �si algebrice ale buclelor Moufangtopologice;

- la studierea anumitor compartimente din criptogra�e �si sistemeinforma�tionale;

- la elaborarea cursurilor op�tionale pentru masteranzi �si doctoranzi.

18

LISTA PUBLICA�TIILOR

1. ×åðíèêîâ Ñ. Í. Ãðóïïû ñ çàäàííûìè ñâîéñòâàìè ñèñòåìû ïîäãðóïï.Íàóêà, Ìîñêâà, 1980.

2. Moufang R. Zur Asruktur von Alternativ Korpen. Mathematische An-nalen, pages 416 � 430, 1935.

3. Chein O. and P�ugfelder H. O. The smallest Moufang loop. Archiv derMathematik, 22(6):273 � 276, 1971.

4. Stephen M. Gagola III. The conjugacy of triality subgroups of Sylowsubloops of Moufang loops. Journal of Group Theory, (13):821 � 840,2010.

5. Bruck R. H. A survey of binary systems. Springer Verlag, Berlin-Heidelberg, 1958.

6. Áåëîóñîâ Â. Ä. Îñíîâû òåîðèè êâàçèãðóïï è ëóï. Íàóêà, Ìîñêâà,1967.

7. Chein O., P�ugfelder H. O., and Smith J. D. H. Quasigroups and Loops:Theory and applications. Helderman Verlag, Berlin, 1990.

8. Bruck R. H. Contributions to the Theory of Loops. Transactions of theAmerican Mathematical Society, (60):245 � 354, 1946.

9. Ìàíèí Þ. È. Êóáè÷åñêèå ôîðìû. Íàóêà, Ìîñêâà, 1972.

10. P�ugfelder H. O. Historical notes on loop theory. CommentationesMathematicae Universitatis Carolinae, 41(2):359 � 370, 2000.

11. Smith J. D. H. On the nilpotence class of commutative Moufang lo-ops. Mathematical Proceedings of the Cambridge Philosophical Society,3(84):387 � 404, 1978.

12. Malbos J.-P. Sur la classe de nilpotence des boucles commutatives deMoufang et des espaces mediaux. Comptes Rendus de l'Acad�emie desSciences - Series I - Mathematics, 287:691 � 693, 1998.

13. Beneteau L. Free commutative Moufang loops and anticommutativegraded rings. Journal of Algebra, 67:1 � 35, 1980.

14. Àíäðóíàêèåâè÷ Â. À. and Àðíàóòîâ Â. È. Êîíñòðóêöèèòîïîëîãè÷åñêèõ êîëåö è ìîäóëåé. Øòèèíöà, Êèøèí¼â, 1988.

15. Àíäðóíàêèåâè÷ Â. À. and Ðÿáóõèí Þ. Ì. Ðàäèêàëû àëãåáð èñòðóêòóðíàÿ òåîðèÿ. Íàóêà, Ìîñêâà, 1979.

19

16. Basarab A. S. Generalized Moufang L-loops. Quasigroups and RelatedSystems, 3:1 � 5, 1996.

17. Ñàíäó Í. È. Êîììóòàòèâíûå ëóïû Ìóôàíã ñ êîíå÷íûìè êëàññàìèñîïðÿæåííûõ ïîäëóï. Ìàòåìàòè÷åñêèå çàìåòêè, 73(2):269 � 280,2003.

18. Sandu N. I. Commutative Moufang loops with minimum condition forsubloops I. Buletinul Academiei de �Stiin�te a Republicii Moldova, Mate-matica, 3(43):25 � 40, 2003.

19. Sandu N. I. Commutative Moufang loops with minimum condition forsubloops II. Buletinul Academiei de �Stiin�te a Republicii Moldova, Mate-matica, 2(45):33 � 48, 2004.

20. Sokhatsky Fedir M. and Fryz Iryna V. Invertibility criterion of com-position of two multiary quasigroups. Commentationes MathematicaeUniversitatis Carolinae, 53:429 � 445, 2012.

21. Dudek W. A., Glazek K., and Gleichgewicht B. A note on the axioms ofn-groups. Coll. Math. Soc. J. Bolyai, 29:195 � 202, 1978.

22. Ursu Leonid. About one special inversion matrix of non-symmetri. In TheFourth Conference of Mathematical Society of the Republic of Moldovadedicated to the centenary of Vladimir Andrunachievici, pages 165 � 169,2012.

23. Áåëÿâñêàÿ Ã. Á. è Òàáàðîâ À. Õ. Ãðóïïîèäû ñ òîæäåñòâîì,îïðåäåëÿþùèì êîììóòàòèâíûå ëóïû Ìóôàíã. ÔóíäàìåíòàëüíàÿÈ Ïðèêëàäíàÿ Ìàòåìàòèêà, 14(6):33 � 39, 2008.

24. Shcherbacov Victor. Elements of Quasigroup Theory and Applications.Taylor Francis Group CRC Press, Boca Raton London New York, 2017.

25. Izba�s V. Crossed-inverse-property groupoids. Buletinul Academiei de�Stiin�te a Republicii Moldova, Matematica, (2(54)):101 � 106, 2007.

26. Ursu Vasile I. On quasivarieties of nilpotent Moufang loops. I. Commen-tationes Mathematicae Universitatis Carolinae, 53(3):475 � 489, 2012.

27. Ursu Vasile I. On quasivarieties of nilpotent Moufang loops. II. Co-mmentationes Mathematicae Universitatis Carolinae, 53(3):491 � 499,2012.

28. Ëÿõ È. Î ïðåîáðàçîâàíèÿõ îðòîãîíàëüíûõ ñèñòåì îïåðàöûéè àëãåáðàè÷åñêèõ ñèñòåì. PhD thesis, Èíñòèòóò ìàòåìàòèêè èèíôîðìàòèêè ÀÍ ÌCCP, 1986.

20

29. Kuznetsov E. General form transversals in groups. Buletinul Academieide �Stiin�te a Republicii Moldova, Matematica, (2(81)), 2016.

30. Ìàëüöåâ À. È. Î íåêîòîðûõ êëàññàõ áåñêîíå÷íûõ ðàçðåøèìûõãðóïï. Ìàòåìàòè÷åñêèé ñáîðíèê, 3(28):567 � 588, 1951.

31. Ñàíäó Í. È. Î öåíòðàëüíî íèëüïîòåíòíûõ êîììóòàòèâíûõ ëóïàõÌóôàíã. Â ñá.: Êâàçèãðóïïû è ëóïû. Øòèèíöà, Êèøèíåâ, pages145 � 155, 1979.

32. Ursu V. O observa�tie asupra buclelor moufang comutative cucondi�tiaminimalit�a�tii. In International conference Mathematics, Informatics andInformation technologies: dedicated to the illustrous scientist ValentinBelousov, pages 98 � 99, B�al�ti, 4 2018. USARB.

33. Ìåðçëÿêîâ Þ. È. Ìàòðè÷íîå ïðåäñòàâëåíèå ãðóïï âíåøíèõàâòîìîðôèçìîâ ÷åðíèêîâñêèõ ãðóïï. Àëãåáðà è ëîãèêà, 4(8):478 �482, 1969.

34. Ïëîòêèí Á. È. Ãðóïïû àâòîìîðôèçìîâ àëãåáðàè÷åñêèõ ñèñòåì.Íàóêà, Ìîñêâà, 1966.

35. Êàðãàïîëîâ Ì. È. Îñíîâû òåîðèè ãðóïï. Íàóêà, Ìîñêâà, 1977.

36. Semko N. N. Some forms of non-abelian groups with given systems ofinvariant in�nite abelian subgroups (in russian). Ukrainian MathematicalJournal, (2):211 � 213, 1981.

Lista publica�tiilor autorului la tema tezei

37. Ëóïàøêî Í. Êîììóòàòèâíûå ëóïû Ìóôàíã ñ íåêîòîðûìèóñëîâèÿìè ìèíèìàëüíîñòè. Tipogra�a UST, Êèøèíýó, 2017.

38. Lupa�sco N. T. On commutative Moufang loops with some restrictions forsubgroups of its multiplication groups. Buletinul Academiei de �Stiin�te aRepublicii Moldova, Matematica, (2):95 � 101, 2006.

39. Lupa�sco N. T. On commutative Moufang loops with some restrictions forsubloops and subgroups of its multiplication groups. Buletinul Academieide �Stiin�te a Republicii Moldova, Matematica, (3):52 � 56, 2009.

40. Ëóïàøêî Í. Ò. è Ñàíäó Í. È. Îá àâòîìîðôèçìàõ êîììóòàòèâíûõ ëóïÌóôàíã ñ óñëîâèåì ìèíèìàëüíîñòè. Ìàòåìàòè÷åñêèå çàìåòêè,91(3):407 � 421, 2012.

21

41. Ëóïàøêî Í. Ò. è Ñàíäó Í. È. Î ïîëóãðóïïàõ ýíäîìîðôèçìîâïðÿìûõ ïðîèçâåäåíèé êîììóòàòèâíûõ ëóï Ìóôàíã. ÄèñêðåòíàÿÌàòåìàòèêà, 23(1):84 � 93, 2011.

42. Ëóïàøêî Í. Ò. Îá àâòîìîðôèçìàõ êîììóòàòèâíûõ ëóï Ìóôàíã.Äèñêðåòíàÿ Ìàòåìàòèêà, 23(2):108 � 114, 2011.

43. Lupasco N. Despre condi�tia de minimalitate a buclei Moufang comuta-tive. In International conference Mathematics, Informatics and Informa-tion technologies: dedicated to the illustrous scientist Valentin Belousov,pages 55 � 57, B�al�ti, 4 2018. USARB.

44. Lupasco N. On automorphisms of commutative Moufang loops. In Inter-national conference Mathematics and Information technologies: researchand education, Abstracts, pages 71 � 71, Chi�sin�au, 8 2011. Moldova StateUniversity.

45. Lupasco N. About commutative Moufang loops with some restrictionfor subgroups of its multiplication groups. In The XIV Conference OnAppend And Industrial Mathematics, Book of abstracts, pages 230 � 231,Chi�sin�au, 8 2006. ROMAI, MSRM.

46. Lupasco N. and Sandu N. On groups of automorphsms of commutativeMoufang loops. In The XXV Conference On Append And IndustrialMathematics, Book of abstracts, pages 89 � 90, Ia�si, 9 2011. ROMAI,UAIC.

47. Lupasco N. About commutative Moufang lops with some restrictions forsubloops. In The XXV Conference On Append And Industrial Mathe-matics, Book of abstracts, pages 89 � 90, Ia�si, 9 2017. ROMAI, UAIC.

48. Lupashco N. T. On endomorphism semigroups of direct products ofcommtative Moufang loops. In The 6th Congres of Romanian Mathema-ticians, Abstracts, pages 98 � 99, Bucharest, 7 2007. IMAR.

22

ADNOTAREla teza de doctor �Bucle Moufang comutative cu condi�tii de �nitu-dine� , prezentat�a de c�atre Natalia Lupa�sco pentru ob�tinerea titlului de doctor��n �stiin�te matematice la specialitatea 111.03 � Logica Matematic�a, Algebr�a �siTeoria Numerelor. Teza a fost elaborat�a la Universitatea de Stat din Tiraspol,Chi�sin�au, anul 2018.Structura tezei: teza este scris�a ��n limba rom�an�a �si const�a din introducere,4 capitole, concluzii generale �si recomad�ari, 113 titluri bibliogra�ce, 111 paginitext de baz�a. Rezultatele ob�tinute sunt publicate ��n 12 lucr�ari.Cuvinte cheie: bucl�a Moufang comutativ�a (BMC), condi�tii de �nitudine,grupul automor�smelor, semigrupul endomor�smelor.Domeniul de studiu al tezei: BMC cu condi�tii de �nitudine.Scopul �si obiectivele lucr�arii: De determinat condi�tiile ��n care bucla Mo-ufang comutativ�a este central nilpotent�a (de clasa data). De descris grupulF (1) al buclei Moufang comutative ce se aproximeaz�a cu buclele Moufangcentral nilpotente. De determinat grupul de automor�sme al buclei Moufangcomutative cu condi�tii de minimalitate. De determinat structura buclelor Mo-ufang comutative ce admit descompunere��n �sir central inferior. De determinatstructura buclelor Moufang comutative metahamiltoniene.Noutatea �si originalitatea �stiin�ti�c�a: Rezultatele principale din lucraresunt noi. Astfel, sunt stabilite condi�tiile ��n care bucla Moufang comutativ�aeste central nilpotent�a de clasa n. Este descris grupul F (1) al buclei Mo-ufang comutative ce se aproximeaz�a cu buclele Moufang central nilpotente.Este determinat grupul de automor�sme al buclei Moufang comutative cucondi�tia de minimalitate. Este demonstrat c�a semigrupul endomor�smelorbuclei Moufang comutative ce poseda descompunere ��n produs direct a pro-priilor subbucle este izomorf semigrupului M -matricelor. Este determinat�astructura buclelor Moufang comutative ce admit descompunere ��n �sir centralinferior. Este determinat�a structura buclelor Moufang metahamiltoniene.Problema �stiinti�c�a important�a solu�tionat�a rezid�a ��n descrierea pro-priet�a�tilor buclelor Moufang comutative, care contribuie la identi�carea con-exiunii lor cu grupul multiplicativ �si cu grupul de automor�sme, ��n vedereadetermin�arii structurii buclelor Moufang comutative cu condi�tii de �nitudine.Semni�ca�tia teoretic�a �si valoarea aplicativ�a a lucr�arii: Metodologiaaplicat�a �si concep�tiile elaborate ��n lucrare au permis solu�tionarea unor pro-bleme concrete ori a unor aspecte ale problemelor formulate ��n cadrul teorieiBMC.Implementarea rezultatelor �stiin�ti�ce: Rezultatele lucr�arii pot � imple-mentate ��n teoria BMC, criptogra�e, sisteme informa�tionale, la elaborareaunor cursuri speciale pentru masteranzi �si doctoranzi.

23

ÀÍÍÎÒÀÖÈßäèññåðòàöèè �Êîììóòàòèâíûå ëóïûÌóôàíã ñ óñëîâèÿìè êîíå÷íî-ñòè� , ïðåäñòàâëåííàÿ Íàòàëüÿ Ëóïàøêo íà ñîèñêàíèå ó÷åíîé ñòåïåíèäîêòîðà ìàòåìàòè÷åñêèõ íàóê ïî ñïåöèàëüíîñòè 111.03. Äèññåðòàöèÿáûëà ðàçðàáîòàíà â Êèøèí¼âå, â ÒÃÓ, â 2018 ã.Ñòðóêòóðà äèññåðòàöèè: Äèññåðòàöèÿ íàïèñàíà íà ðóìûíñêîì ÿçûêåè ñîäåðæèò ââåäåíèå, 4 ãëàâû, âûâîäû, 113 áèáëèîãðàôè÷åñêèõ íàçâàíèÿ,111 ñòðàíèö îñíîâíîãî òåêñòà. Îñíîâíîé ðåçóëüòàò äèññåðòàöèè áûëîïóáëèêîâàí â 12 íàó÷íûõ ðàáîòàõ.Êëþ÷åâûå ñëîâà: Êîììóòàòèâíûå ëóïû Ìóôàíã (ÊËÌ), óñëîâèÿêîíå÷íîñòè, ãðóïïà àâòîìîðôèçìîâ, ïîëóãðóïïà ýíäîìîðôèçìîâ.Îáëàñòü èçó÷åíèÿ äèññåðòàöèè: ÊËÌ ñ óñëîâèÿìè êîíå÷íîñòè.Öåëü è çàäà÷è äèññåðòàöèè: Îïðåäåëèòü óñëîâèÿ, â êîòîðûõ ÊËÌÿâëÿåòñÿ öåíòðàëüíîé íèëüïîòåíòíîé (äàííîãî êëàññà). Îïèñàòü ãðóïïóF (1) ÊËÌ, êîòîðàÿ àïïðîêñèìèðóåòñÿ öåíòðàëüíûì íèëüïîòåíòûì ëóïàìÌóôàíã. Îïðåäåëèòü ãðóïïó àâòîìîðôèçìîâ ÊËÌ ñ óñëîâèÿìè ìèíè-ìàëüíîñòè. Îïðåäåëèòü ñòðóêòóðó ÊËÌ, êîòîðàÿ ðàçëîãàåòñÿ â íèæíåéöåíòðàëüíûé ðÿä. Îïðåäåëèòü ñòðóêòóðó ìåòàãàìèëüòîíîâîé ÊËÌ.Íàó÷íûå èííîâàöèè è îðèãèíàëüíîñòü: Îñíîâíûå ðåçóëüòàòûäèññåðòàöèè íîâû, òàêèì îáðàçîì, îïèñûâàþòñÿ óñëîâèÿ, â êîòîðûõ ÊËÌÿâëÿåòñÿ öåíòðàëüíûì íèëüïîòåíòîì êëàññà n. Îïèñûâàåòñÿ ãðóïïà F (1)ÊËÌ, êîòîðàÿ àïïðîêñèìèðóåòñÿ öåíòðàëüíûì íèëüïîòåíòíûì ëóïàìÌóôàíã. Îïðåäåëÿåòñÿ ãðóïïà àâòîìîðôèçìîâ ÊËÌ ñ ìèíèìàëüíûìèóñëîâèÿìè. Ïîêàçàíî, ÷òî ïîëóãðóïïà ýíäîìîðôèçìîâ ÊËÌ, êîòîðàÿèìååò ðàçëîæåíèå â ïðÿìîå ïðîèçâåäåíèå ïîäëóï, èçîìîðôíûM -ìàòðè÷-íîé ïîëóãðóïïû. Îïðåäåëåíà ñòðóêòóðà ÊËÌ, êîòîðûå ðàçëîãàþòñÿ âíèæíèé öåíòðàëüíûé ðÿä. Îïðåäåëåíà ñòðóêòóðà ìåòàãàìèëüòîíîâîéÊËÌ.Ðåø¼íàÿ íàó÷íàÿ çàäà÷à: çàêëþ÷àåòñÿ â îïèñàíèå ñâîéñòâ ÊËÌêîòîðîå ñïîñîáñòâîâàëî óñòàíîâëåíèþ èõ ñâÿçè ñ ìóëüòèïëèêàòèâíîéãðóïïîé è ãðóïïîé àâòîìîðôèçìîâ äëÿ îïðåäåëåíèÿ ñòðóêòóðû ÊËÌ ñóñëîâèÿìè êîíå÷íîñè.Òåîðåòè÷åñêàÿ çíà÷èìîñòü è ïðèêëàäíàÿ öåííîñòü äèññåðòàöèè:ðàçðàáîòàíû íîâûå êîíöåïöèè, ìåòîäû è íîâûå êîíñòðóêöèè, êîòîðûåñïîñîáñòâîâàëè äîñòèæåíèþ öåëåé è çàäà÷ èññëåäîâàíèÿ. Îñíîâíûåèññëåäîâàíèÿ ýòîé ðàáîòû íîâû. Ìåòîäîëîãèÿ, ïðèìåíÿåìàÿ â ðàáîòå,ïîçâîëèëà íàéòè ðåøåíèå êîíêðåòíûõ ïðîáëåì òåîðèè ÊËÌ.Ðåàëèçàöèÿ íàó÷íûõ ðåçóëüòàòîâ: ìîãóò áûòü èñïîëüçîâàíû â òåîðèèêâàçèãðóïï è ëóï, â êðèïòîãðàôèè è â ðàçðàáîòêå ó÷åáíûõ êóðñîâ.

24

SUMMARYof the thesis �Commutative Loops Moufang with �niteness condi-tions� presented by Natalia Lupa�sco for the competition of Ph. Doctor de-gree in Mathematical Sciences, speciality 111.03. The thesis was elaboratedin Chisinau, Tiraspol State University, in 2018.Thesis structure: the thesis is written in Romanian and contains introduc-tion, 4 chapter, conclusions, 113 references, 111 pages of basic text. The mainresult of the thesis was published in 12 scienti�c works.Key words: commutative loop Moufang(CLM), �niteness conditions, groupof automorphism, semigroup of endomorphisms.Field of study of the thesis: CLM with �niteness conditions.Thesis aim and objectives: establishing the condition for which the co-mmutative Moufang loop is the central nilpotent (of the given class); descri-bing the group F (1) of the commutative Moufang loop which is approximatewith commutative Moufang central nilpotence loops; determining the group ofautomorphism of commutative Moufang loop with minimal conditions; deter-mining the structure of commutative Moufang loop which admit decomposi-tion in the lower central series; determining the structure of meta-hamiltoniancommutative Moufang loops.Scienti�c innovation and originality: The main results of the paper arenew. Thus, there have been established the condition for which the commu-tative Moufang loop is the central nilpotent (of the given class); there havebeen described the group F (1) of the commutative Moufang loop which isapproximate with commutative Moufang central nilpotence loops; there havebeen determined the group of automorphism of commutative Moufang loopwith minimal conditions; there have been determined the structure of com-mutative Moufang loop which admit decomposition in the lower central series;there have been determined the structure of meta-hamiltonian commutativeMoufang loops.The important scienti�c problem solved: consists in the description pro-prietes of commutative Moufang loops and identifying their connection to themultiplicative group and the groups of automorphisms in order to determinethe structure of commutative Moufang loops with �niteness conditions.The theoretical signi�cance and applicative value of the thesis: therehave been elaborated the new concepts, methods and new constructions whichcontributed to achieving goals and objectives of the research. The basic re-search of the work are new. The methodology applied in work allowed to �ndthe solution of concrete problems of the theory of CLM.The implementation of the scienti�c results: the results from this workcan be used in the theory of quasigroups and loops, in cryptography and inelaborating teaching courses.

25

LUPA�SCO NATALIA

BUCLE MOUFANG COMUTATIVE CUCONDI�TII DE FINITUDINE

111.03 � LOGICA MATEMATIC�A, ALGEBR�A �SI TEORIANUMERELOR

Autoreferatul tezei de doctor ��n �stiin�te matematice

Aprobat spre tipar: 22.05.2018 Formatul h�artiei 60x84 1/16H�artie ofset. Tipar ofset. Tirajul 70 ex.Coli de tipar: 1.8 Comanda nr.249

Tipogra�a Universit�aii de Stat din TiraspolChi�sin�au, str. Gh. Iablocikin 5, MD-2069