COALA NICOLAE BLCESCU, DRGANI CONCURS MEMORIAL NICOLI SANDA EDIIA A XV A 12 NOIEMBRIE 2011 SUBIECTE CLASA A IIIA SUBIECTUL Ia) Scriei n ordine cresctoare toate numerele de 2 cifre diferite, formate cu cele mai mici 6 cifre. b) Calculai B-A, unde A este suma primelor 5 numere, iar B, este suma ultimelor 5 numere din irul de la a). c) Scriei toate numerele de 3 cifre diferite, formate cu cele mai mici 6 cifre, care au cifra unitilor 1.Prof. Malvin Telepan

SUBIECTUL IICnd sunt aliniai la ora de educaie fizic, Daniel observ c n faa lui sunt 11 colegi, iar n spate are 9 biei i 9 fete. Dac n clas bieii sunt cu 2 mai puini dect fetele, aflai cte fete i ci biei are Daniel in faa sa.Prof. Malvin Telepan

SUBIECTUL IIIConsiderm irul de numere naturale 1,2,3,4,5,6,,20. a) Scriei toate perechile de numere din acest ir care au suma 25. b) Imprii cele 20 de numere n dou grupe, astfel nct, suma numerelor din fiecare grup s fie aceeai. ( Fiecare numr al irului apare o singur dat, ntr-o singur grup). Gsii cel puin 3 astfel de grupri. c) Cte grupe de cte patru numere diferite (din cele 20) se pot forma, astfel nct suma numerelor din fiecare grup s fie 50?Prof. Ion Marcel Neferu

NOTA Toate subiectele sunt obligatorii. Fiecare subiect , rezolvat corect, are 10 puncte ( 1p din oficiu ) Timp de lucru: 2h 30 min

SUCCES! COALA NICOLAE BLCESCU, DRGANI CONCURS MEMORIAL NICOLI SANDA EDIIA A XV A 12 NOIEMBRIE 2011 SUBIECTE CLASA A IV A SUBIECTUL I a) Cte perechi de numere naturale (a,b) au proprietatea c a+b=100 ? b) Cte din aceste perechi, au proprietatea c diferena celor dou numere se mparte exact la 4 ?Prof. Malvin Telepan

SUBIECTUL II Surorile Dana i Oana au mpreuna 36 ani. Dana constat c n urm cu 4 ani, o treime din vrsta ei era ct un sfert din vrsta ( de atunci ) a Oanei. a) Aflai ce vrst are fiecare. b) Dac mama lor are dublul vrstei Oanei, pesta ci ani, suma vrstelor surorilor va fi egal cu vrsta mamei?Prof. Ion Marcel Neferu

SUBIECTUL III Un numr natural de patru cifre se numeste mperecheat dac este format din dou perechi de cifre egale (de exemplu 5577, 5775, 5757, 5555 sunt mperecheate). Considerm irul numerelor mperecheate n ordine cresctoare. a) Scriei numrul 2011 ca sum a dou numere mperecheate; b) Scriei primii 4 i ultimii 4 termeni ai irului numerelor mperecheate. c) Ci termeni mai mici ca 2011 conine irul numerelor mperecheate? d) Ci termeni conine irul numerelor mperecheate?Prof. Ion Marcel Neferu

NOTA Toate subiectele sunt obligatorii. Fiecare subiect , rezolvat corect, are 10 puncte ( 1p din oficiu ) Timp de lucru: 2h 30 min

SUCCES!

SUBIECTE CLASA A V-AI. a) Aflai pe x din egalitatea:

{ 64 32 + 5 [13 + 3 ( 484 : 44 486 : x ) ]} : 29 = 77 .b) Ctul a dou numere naturale este 5, restul este 7, iar suma dintre ct, rest i cele dou numere naturale este 2011. Aflai cele dou numere. c) Artai c numrul x =1 1 ... 1 2 ... 2 n care att cifra 1 ct i cifra 2 apar de n ori, n 1 1 22 este un produs de dou numere naturale consecutive. II. a) Artai c numrul x =1 3 5 7 ... ( 2n +1) se divide cu 10 pentru orice numr natural, n 2 . b) Aflai toate numerele naturale a pentru care 2 11 a se divide cu 23. b 0 b III. Fie irul de perechi de numere naturale:

(1;3), (4;7 ), (7;11 ), (10 ;15 ),...a) Completai irul cu urmtoarele dou perechi de numere naturale. b) Aflai a 2011-a pereche din ir. c) Aflai pe x tiind c perechea ( x;403 ) face parte din ir. d) Calculai suma tuturor numerelor naturale ale primelor 100 perechi din ir.

Not: Toate subiectele sunt obligatorii. Timp de lucru 2 ore i 30 de minute. Pentru fiecare din subiectele I, II i III se acord cte 9 puncte i un punct din oficiu. Total 30 de puncte.

Subiecte propuse de prof. Constantin Boangiu

SUBIECTE CLASA A VI ASubiectul I a) Doi frai au produsul vrstelor un cub perfect. tiind c unul dintre ei are vrsta cuprins ntre 30 i 40 de ani, iar cellalt ntre 40 i 50 de ani, aflai vrsta fiecruia. b) Care este cel mai mic numr natural care verific simultan condiiile : mprit la 2 1 ne d restul 2 1 1 , mprit la 2 2 d restul 2 2 1 , mprit la 2 3 d restul 2 3 1 , , mprit la 2 2011 d restul 2 2011 1 ? c) Rezolvai ecuaia : 31 + 2 31 + 2 3 2 + 2 3 3 + ... + 2 3 2011 = 3 x 3 . Subiectul al II-lea a) Pe un cerc sunt scrise numerele naturale nenule 1,2,3.,N, astfel nct fiecare dou numere vecine s aib cel puin o cifr comun. Aflai cel mai mic numr natural N care ndeplinete condiia i dai un astfel de exemplu. b) Determinai numerele naturale de forma5a4b

divizibile cu 45.

c) ntr-un tabel ptrat cu 8 rnduri i 8 coloane sunt scrise toate numerele naturale nenule de la 1 la 64. Dou ptrele se numesc vecine dac au o latur comun. Artai c exist dou ptrele vecine pentru care diferena numerelor din ele nu este mai mic dect 5. Subiectul al III-lea Pe dreapta d se consider punctele A1 , A2 , A3 ,..., A2011 , n aceast ordine, astfel nct A1 A2 = 1 cm, A2 A3 =1 cm, A3 A4 = 2 cm, A4 A5 =1 cm, A5 A6 = 3 cm, A6 A7 = 1 cm, A7 A8 = 4 cm i aa mai departe, pn la A2011 , dup aceeai regul. a) Aflai lungimile segmentelor [ A1 A11 ], [ A1 A2011 ], [ A100 A1000 ] . b) Dac M 1 = mijlocul segmentului [ A1 A2 ] , M 2 = mijlocul segmentului [ A2 A3 ] ,, M 2010 = mijlocul segmentului [ A201 A2011 ] , aflai lungimile segmentelor [ M 1 M 5 ] , [ M 200 , M 2000 ] . Subiecte selectate de prof. Anca Luculescu Not : Timp de lucru 2 ore i 30 de minute Toate subiectele sunt obligatorii. Fiecare subiect rezolvat corect va fi notat cu 10 puncte.

SUBIECTE CLASA A VII-A SUBIECTUL I1. Rezolvai n Z ecuaia : 4 xy + 6 x 6 y = 12 . 2. Dac a,b,c sunt numere ntregi careab c 2 = 11 + c( a b)

verific

relaia

atunci

a+ b

=2 1

. . Artai c S

3. Fie

este cubul unui numr raional. SUBIECTUL II

1 1 1 1 2 S= + + + ... + 121 122 122 123 123 124 1330 1331 1331

1. Suma a trei numere naturale impare distincte este 779. Aflai numerele tiind c al doilea numr este divizibil cu primul numr, iar al treilea este divizibil cu al doilea numr. 2. Un obiect cost 45 de lei. Dup dou scumpiri consecutive de 15% i 20%, urmeaz dou ieftiniri consecutive de 15% i 20 %. Care este noul pre al obiectului? SUBIECTUL IIIA Fie ABCD un paralelogram cu m( ) < 90 0 . Bisectoarea unghiului A intersecteaz [ DC ] n E. Dac EC=9 cm, BC=6 cm: a) Calculai perimetrul paralelogramului. m( ) =150 0 calculai B b) Dac aria triunghiului ADE i aria paralelogramului ABCD. c) Ct la sut reprezint aria triunghiului ADE din aria paralelogramului ABCD?

Subiecte propuse de: Prof. Nicolaescu Ioan

SUBIECTE CLASA A VIII A SUBIECTUL I a) Calculati media aritmetica si media geometrica a numerelor: i) x=45+ si y=45ii)

a=

si b= este numarProf.Ion Neferu Marcel

b) Aratati ca A=

natural SUBIECTUL II Fie A={x N/ x2011}, B={x A/ Q}, P={x A/x e numar par} I={x A/x e numar impar}. Notam cu SA ,SB, SP, SI suma elementelor multimilor, A, B, P, respectiv I. a) Determinati card B. b) Stabiliti care dintre numerele A,B, I, P sunt rationale; c) Aflati numarul submultimilor lui A, care au exact 4 elemente, iar suma celor 4 elemente este 4030.Prof.Ion Neferu Marcel

SUBIECTUL III Fie cubul NICOLIITA si P,Q,R,S,M, mijloacele muchiilor (CT), (TA),(AL), (LN), respectiv, (NI). a) Aratati ca RQ//(ANC) b) Calculati masura unghiului dreptelor: i) PQ si RS; ii) PQ si SC; c) Construiti punctele U si V pe (NO), respectiv, (MO), astfel incat MU+UV sa fie minim. Exprimati acest minim, in functie de muchia cubuluiProf.Ion Marcel Neferu

NOTA Toate subiectele sunt obligatorii. Fiecare subiect , rezolvat corect, are 10 puncte ( 1p din oficiu ) Timp de lucru: 2h 30 min

BAREM CLS A III A SUBIECTUL I Cele mai mici 6 cifre sunt 0,1,2,3,4,5 10,12,13,14,15,20,21,23,,50,51,52,53,54 (25 numere) (se acord 0,1p/nr, dar se scade 0,1p/nr scris in plus) b) A=64, B=260, B-A=196 (1p+1p+1p) c) 201,231,241,251, 301,321,341,351,401,421,431,451,501,521,531,541 ( 16nrx0,15=2.4, se acord bonus 0,6 daca le scrie pe toate) SUBIECTUL II In clasa sunt 9+9+1+11=30 elevi Baieti 14, fete 16 In fata sunt 16-9=7 fete , 14-10=4 baieti 0,5p 2,5p 3p 3p

(1p+2p)

3p 3p 3p

SUBIECTUL III a) (5,20), (6,19),(7,18), (8,17), (9,16), (10,15), (11,14), (12,13) 8x0,25 2p b) 1+2+3+4+.+20=210 0,5p O grupa =105 0,5 20+19+18+17+16+15=105, 1+2+3++14=105 0,5p (1,2,3,4,5,,14), (15,16,17,18,19,20) (1,2,3,4,5,6,15,9,10,11,12,13,14), (7,8,16,17,18,19,20) (1,2,3,4,5,6,16,8,10,11,12,13,14), (7,9,15,17,18,19,20) 1,5p c) Grupele de 4 numere se obtin combinand grupele de la a) 1p (5,20) grupata cu celelalte grupe, obtinem 7 grupe (5,20,6,19), (5,20,7,18),(5,20,8,17), (5,20,9,16), (5,20,10,15),(5,20,11,14) (5,20,12,13) 1p Analog (6,19) cu celelalte grupe vor forma, 6 grupe, (7,8) cu celelalte vor forma 5 grupe,.(11,14) cu (12,13) o grupa 1p Total 7+6+5+4+3+2+1=28 grupe 1p Nota:Daca scrie grupele se acorda 0,1p/grupa= 2,8p,+ bonus 1,2p daca le scrie pe toate 28

BAREM CLASA A IV A SUBIECTUL I a) (0,100), (1,99), (2, 98), (3,97),,(99,1),(100,0) 101 perechi b) Toate perechile de numere pare au proprietatea ceruta Deci sunt 51 de perechi SUBIECTUL II In urma cu 4 ani, suma varstelor era 28 ani Reprez grafica 28:7=4 4x3+4=16 ani (Dana in prezent) 4x4+4=20 ani (Oana in prezent) Mama are 40 ani In fiecare an, fetele recupereaza cate 1 an Deci 4 ani (40-36) vor fi recuperati in 4 ani SUBIECTUL III a) 1001+1010=2011 b) 1001, 1010, 1100, 1111 (4x0,25p) 9999, 9988, 9898, 9889 (4x0,25p) c) In afara de 2002, toti ceilalti termeni, au prima cifra 1 perechile (1,1), (0,0): 1001,1010,1100 3 termeni (1,1),(2,2): 1221,1212,1122 3 termeni .. (1,1), (9,9): 1991,1919,1199 3 termeni Mai este si 1111 In total 27+1+1=29 termeni d) Am vazut ca intre 1000 si 2000 avem 28 termeni La fel in concentrele 2000-3000; 3000-4000;.8000-9000 In total 28x9=252 termeni 1p 1p 1p 0,5p 1p 2p 1p 1p 1p 1p 1p 1p 4p 3p 2p

3p 0,25p 0,25p 0,5p 1p 0,5p

BAREM DE EVALUARE SI NOTARE CLASA A V-A I a) 2048+5[13+3(11-486:x)]=7729=2233 5[13+3(11-486:x)]=2233-2048=185 3(11-486:x)=185:5-13=24 11-486:x=24:3=8 486:x=11-8=3 X=486:3=162 b) a=5b+7 a+b+5+7=2011 a+b=1999 5b+7+b=1999 b=1992:6=332 a=5332+7=1667 c) x= + x= +2 x= ( +2) x= ( +3) x= 3( +1) x= ( +1) 0,5 puncte 0,5 puncte 0,5 puncte 0,5 puncte 0,5 puncte 0,5 puncte 0,5 puncte 0,5 puncte 0,5 puncte 0,5 puncte 0,5 puncte 0,5 puncte 0,5 puncte 0,5 puncte 0,5 puncte 0,5 puncte 0,5 puncte 0,5 puncte (justificare) ( justificare) 0,5 puncte 1 punct 1 punct 0,5 puncte 0,5 puncte 0,5 puncte 0,5 puncte 0,5 puncte

II a) Rezultatul produsului 1357. . . (2n+1) este nr.impar Rezultatul produsului 1357. . . (2n+1) are ultima cifra 5 34n = 81n (justificarea) Ultima cifra a lui 81n este 1 ( justificare) Ultima cifra a lui 534n este 5 (justificare) Ultima cifra a lui x este 0 (justificare) X este divizibil cu 10 (justificare) b) 0,5puncte 11 + 11 + 11 + 11 + 11 + 11 + 11 + = = 23 = 46 = 69 = 92 = 115 - 8743.23 = 23 11 = 12 = 46 11=35 = 69 11 = 58 = 92 11 =81 = 115 11 = 104 imposibil pt. ca = 201100 + = 874323 + 11 +

0,5 puncte 0,5 puncte 0,5 puncte 0,5 puncte 0,5 puncte 0,5 puncte are doua cifre

este multiplul lui 23

Deci { 12;35;58;81 } 0,5 puncte III a) Completarea sirului cu perechile (13 ; 19), (16 ; 23) cate 0,5 puncte pt. fiecare pereche b) Notam cu Pi = (ai;bi ) , i = 1,2,3, . . . ,n Observam ca: a1 = 1

a2 = 1 + 13 a3 = 1 + 23 a4 = 1 + 33 a5 = 1 +43 ........ an = 1 + (n 1) 3 1 punct b1 = 3 b2 = 3 + 14 b3 = 3 +24 b4 = 3 + 34 b5 = 3 + 44 .......... bn = 3 + (n 1) 4 1 punct a2011 =1 +20103 = 6031 0,5 puncte b2011 = 3 + 20104 = 8043, deci a 2011-a pereche din sir este (6031 ; 8043) 0,5 puncte Deci a 2011-a pereche din sir este (6031 ; 8043) 0,5 puncte c) 3 +(n 1) 4 = 403 (n 1) 4 = 400 n 1 = 100 n = 101 1 punct x = 1 + (101 1) 3 x = 301 1 punct d) S1 = a1 + a2 + a3 + a4 + . . . + a100 = 1 + (1+13) + (1+23) +(1+33) + . . . +(1+993) S1 =1100 + 3 (1 + 2 + 3 + . . . + 99 ) S1 = 100 + 399100:2 S1 = 14950 1 punct S2 = b1 + b2 + b3 +b4 + . . . b100 = 3 + (3+14) + (3+24) + (3+34) + . . . +(3+994) S2 = 3100 +4 (1 + 2 +3 + 4 + . . . + 99) S2 = 300 +499100:2 S2 = 20100 1 punct S =S1 + S2 =14950 +20100 =35050 0,5 puncte Pentru orice alta solutie corecta se acorda punctajul maxim la fiecare problema. Se acorda 10 puncte din oficiu. Daca se acorda note de la 1 la 10 se imparte numarul de puncte obtinute la 10 si se afla nota acordata.

Barem clasa a VI-aSubiectul I1 2 3 9 a) Vrsta 1 : 3 ,3 ,3 ,..., 3 . Vrsta 2 : 41 ,42 ,43 ,..., 49 .1p Descompunerea numerelor din factori primi...1p Alegerea corect a vrstelor-36 i 48...1p b) x = 2 1 c1 + 2 1 1,2 1 1 < 2 1 x = 2 2 c 2 + 2 21 1,2 2 1 < 2 21

] k , unde k este numr Deci x +1 = [2 ,2 ,2 ,..., 2 natural.1p Pentru k = 0 , nu gsim x natural; pentru k =1 , gsim x = 2 2011 1 ...1p c) Calcularea sumei i obinerea rezultatului 3 2012 ..1p 3 x = 3 2012 + 3 1p x = 3 2011 +1 ..1p Din oficiu.1p1 2 3 2011

x = 2 2011 c 2011 + 2 20111 1,2 2011 1 < 2 2011 ,

x = numr natural..1p

Subiectul al II-lea a) Se observ c N > 9 , pentru a avea o cifr comun.1p Deoarece apre 9, vor fi i 19 i 29, deci N min im = 29 1p Ordinea: 1,11,10,20,21,12,2,22,23,3,13,14,4,24,25,5,15,16,6,26,27,7,17,18,8,28,29,9,19..1p b) 45 =5 9; 5a4b este divizibil cu 5, deci b este 0 sau 5.1p 5a 4 este divizibil cu 9, deci numerele sunt 5040 i 0 5940..1p 5a 4 este divizibil cu 9, deci numrul este 5 5445..1p c) Pres. Pentru orice dou ptrele vecine, diferena numerelor este cel mult 4.1p Pt. Ptrelele n care se afl i 1 i 64, nr. Maxim de ptrele dintre ele este 13...1p Suma diferenelor dintre aceste ptrele este cel mult 4 14 = 56 < 64 , Contradicie, deci exist 2 ptrele cu diferena cel puin 51p Din oficiu..1p Subiectul al III-lea a) A1 A11 = 20 cm..1p A1 A2011 = 506520 cm.2 p

A100 A1000 =124425 cm...

2p b) M 1 M 5 = 6 cm 2p M 200 M 2000 = 496350 cm 2p Din oficiu1p

BAREM CLASA A VII-aSUBIECTUL I 1) 4 xy + 6 x 6 y = 12 ( 2 x 3)( 2 y + 3) = 3 Obine soluiile {( 2,0 ); ( 3,1); (1,3); ( 0,2)} , cte 0,5 puncte de soluie 2) Obine ( b c )( a + c ) =11 Identific b c = 1, a + c = 11 1 Adun cele dou egaliti i finalizeaz a +b = 2 3) Scrie S =1 1 1 1 1 1 2 + + ... + 121 122 122 123 1330 1331 1331

1 punct 2 puncte 1 punct 1 punct 1 punct 1 punct 1 punct 1 punct 10 puncte

Reduce i obine S = Finalizeaz S = 2 11

1 3 3 2 11 113

Oficiu 1 punct Total SUBIECTUL II 1) I = x, II = kx , III = hkx , ( h, k ) =1 , x(1 + h + kh ) =19 41 , Lund x =19 , k ( h +1) = 40 , k =1, h +1 = 40 nu convine, numerele sunt distincte. Alte combinaii conduc la numere pare. Pentru x = 41 k ( h + 1) = 18 k = 3, h + 1 = 6, h = 5 Obine numerele 41 ,123 ,615 2) 45 +15 45 = 51,75 lei pre dup prima scumpire 100 20 51,75 + 51,75 = 62 ,10 lei pre dup a doua scumpire 100 15 62 ,10 62 ,10 = 52 ,785 lei pre dup prima ieftinire 100 20 52 ,785 52 ,785 = 42 ,228 lei pre final 100

2 puncte 2 puncte 2 puncte 0,75 puncte 0,75 puncte 0,75 puncte 0,75 puncte

Oficiu 1 punct Total 10 puncte SUBIECTUL III A A A E a) 1 2 , 2 (alt. int.) A1 E [ AD ] [ DE ] = 6 cm 1 punct PABCD = 2 15 + 2 6 = 42 Calculeaz 1 punct A D A b) Duce DM AB i afl n M , =30 1 punct

DE DM = 9 cm 2 2 Afl AABCD = AB DM = 15 3 = 45 cm 2 9 100 0,2 100 = = 20% c) 45 100 100

Afl [ DM ] = 3 cm i A ADE =

2 puncte 2 puncte 2 puncte Total 10 puncte

Oficiu 1 punct

BAREM, CLASA A VIII ASUBIECTUL I a) ma=45, mg= b) a=6+ b=6, ma=6, mg=5 c) Pentru usurarea calculelor, notam x=2000, apoi x2+21x=t A= = (t+55)=x2+21x+55=20002+42000+55 N SUBIECTUL II a) B={02,12,22,32,,442}, cardB=45 1p b) SA=20111006, nu e patrat perfect , A e irational 1p SB=444589:6, nu e patrat perfect , B e irational 1p 2 SI=1006 , e patrat perfect , I e rational 1p SP=10051006, nu e patrat perfect , P e irational 1p c) Mai intai vom pune in evidenta, submultimile de 2 elemente, cu suma 2015: {4,2011},{5,2010},{6,2009},{7,2008},..{1006,1009}, {1007,1008} 1p Submultimile de 4 elemente le vom obtine reunind, cate 2 din submultimile de mai inainte 1p Astfel {4,2011}, reunita cu fiecare din celelalte submultimi: 1003 subm. {5,2010}, reunita cu fiecare din celelalte submultimi: 1002 subm. {6,2009}, reunita cu fiecare din celelalte submultimi: 1001 subm. .. {1005,1010}, reunita cu fiecare din celelalte submultimi: 2 subm {1006,1009} {1007,1008}={1006,1007,1008,1009} 1 subm 1p In total 1+2+3+4+.+1003=1003502=503506 1p SUBIECTUL III a) RQ linie. mijl. RQ//LT//NCRQ//(ANC) 2p 2p 3p

4p

0 b) i) PQ//AC, RS//AN, m( )=600 m( 1p ii) PQ//ACm( )=m( )=450 3p (se poate aplica teorema cosinusului in triunghiul ASC, sau se poate lucra in trapezul isoscel ACMS) c) Fie B simetricul lui M fata de N si MD OB. Atunci U=MD ON 1p

V e simetrcul lui D fata de ON MU+UV=MD=2a /3

1p 1p