Cercul

1. Noţiunea de cercul. Ecuaţia g a cercului. Diametrul cercului.

Fie E2 un spaţiu afin euclidian în care se consideră reperu afin Ra={O,i,j}. Notăm cu CR(S) cercul de centru S şi rază R, respectiv CR cercul cu centrul în origine şi rază R. Defini ţie. Se numeşte cerc locul geometric al punctelor din plan egal depărtat de un punct fix numit centru.

Din definiţa cercului putem scrie CR(S)={M∈E2 d(M,C)=R}.

Deci ecuatia cercului cu centrul C(a,b) şi rază r în sistemul cartezian rectangular are forma (x-a)2+(y-b)2=r2. Ecauţia dată se mai numeşte ecuaţia canonică a cercului.

Exemplu. Să se scrie ecuaţia cercului de rază r=2 şi centru C(-2,1).

Soluţie:

Ecuatia cercului cu centrul C(a,b) şi rază r are forma (x-a)2+(y-b)2=r2. În cazul dat avem: raza r=2 şi centru C(-2,1). Deci ecuaţia cercului are forma: (x-(-2))2+(y-1)2=22

sau (x+2)2+(y-1)2=4

Răspuns: (x+2)2+(y-1)2=4.

Dacă centrul cercului în sistemul cartezian rectangular coincide cu originea axelor de coordonate şi rază r, atunci ecuaţia cercului are forma x2 +y2=r2.

Definiţie. Ecuaţia cecului de forma x2+y2+2mx+2ny+p=0 se numeşte ecuaţia general a cercului.

Prin identificarea coeficienţilor între ecuaţiile: (x-a)2+(y-b)2=r2 şi x2+y2+2mx+2ny+p=0 obţinem:

(x-a)2+(y-b)2-r2 = x2+y2+2mx+2ny+p

x2-2ax+ a2+ y2-2by+ b2- r2= x2+y2+2mx+2ny+p

-2ax+ a2-2by+ b2- r2= 2mx+2ny+p

De unde obţinem:

{ m❑=−an=−b

p=a2+b2−r2

¿

Ecuaţia normală a cercului

Ecuaţia generală a cercului

2. Ecuaţia vectorială a cercului.3. Intersecţia cercului cu o dreaptă4. Ecuaţiile parametrice ale cercului

5. Ecuaţia cercului în coordonate polare6. Ecuaţia cercului care trece prin trei puncte

Fie date punctele necoplanare Pi(xi,yi), unde i=1,2,3. Dacă P(x,y) este un punct oarecare al cercului A(x2+y2)+Bx+Cy+D=0. Dacă P(x,y) este un punct oarecare al cercului dat atunci obţinem următorul sistem de ecuaţii:

{A (x 2+ y2)+Bx+Cy+D=0A (x 2+ y2)+Bx+Cy+D=0A ( x 2+ y2 )+Bx+Cy+D=0A (x 2+ y2)+Bx+Cy+D=0

un sistem de ecuaţii cu patru necunoscute A, B, C şi D.

Sistemul are soluţii diferite de soluţia banală dacă :

¿

e

7. Intersecţia a două cercuri.8. Distanta de la cetrul cercului pînă la o dreaptă9. Proiecţia ortogonală a unui cerc pe o dreaptă

10.Ecuaţia tangentei la cerc.11.Intersecţia cercului cu axele Ox şi Oy.

01.Să se determine raza cercului de ecuaţie: x2+y2-4x+6y-12=0.

02.Să se determine ecuaţia tangentei la cercul x2+y2=10 dusă prin puncul P(3,1).

03.Să se determine locul geometric al centrului cercului circumscris unui pătrat cu vîrful în origine şi cu diagonala egală cu 2√2 .

04.Să se scrie ecuaţia cercului care trece prin origine şi are centrul în A(-3,2).05.Să se determine în cite puncte intersectează dreapta (d): x-y+5=0 cercul ©:

x2+y2=9.06.Să se determine a¿0 ştiind că punctul A(a,1-a) se află pe cercul ©:

x2+y2=25.07.Să se determine în cite puncte intersectează dreapta (d): 2x-3y=0 cercul ©:

x2+y2=13.08.Să se determine în cite puncte intersectează dreapta (d): 2x+y-5=0 cercul

©: x2+y2=5.09.Fie A(a,0) cu a¿0. Să se scrie ecuaţia cercului care trece prin vîrfurile

pătratului OABC, В fiind în primul cadran.10.Să se determine ecuaţia unui cerc tangent dreptelor x=-2 şi x=4 şi trece prin

punctul A(√5+1, 3).11.Fie dat cercul de ecuaţie (x-1)2+(y+2)2=13. Să se scrie ecuaţia tangentei la

cerc dusă prin punctul A(4,0).12.Fie dat cercul de ecuaţie 2x2+2y2-5x+3y-1=0. Să se determine coordonatele

centrului şi raza cercului.13.Fie dat punctu A(4,8) şi dreapta (d): y=2. Să se scrie ecuaţia cercului cu

diametrul AB, unde В este proiecţia punctului A pe dreapta (d).14.Se consideră punctele A(-1,3) şi B(1,5). Să se determine ecuaţia cercului de

diametru AB.15.Să se scrie ecuaţia cercului

16. § 17. Окружность17.

18. Уравнение19. (х—)2+ (у—)2 = R2 (1)

20. определяет окружность радиуса R с центром С (; ).21. Если центр окружности совпадает с началом координат, т. е. если = 0, =

0, то уравнение (1) принимает вид22. х2 + у2 = R2 (2)

23. 385. Составить уравнение окружности в каждом из следующих случаев:24. 1) центр окружности совпадает с началом координат и её радиус R = 3;25. 2) центр окружности совпадает с точкой С(2; — 3) и её радиус R = 7;26. 3) окружность проходит через начало координат и её центр совпадает с точкой С (6;

— 8);27. 4) окружность проходит через точку А(2; 6) и её центр совпадает с точкой С(—1; 2);

28. 5) точки А(3; 2) и В(—1; 6) являются концами одного из диаметров окружности;29. 6) центр окружности совпадает с началом координат и прямая 3 х — 4у + 20 =

0 является касательной к окружности;30. 7) центр окружности совпадает с точкой С(1; —1) и прямая 5х—12у + 9 = 0

является касательной к окружности;31. 8) окружность проходит через точки А(3; 1) и В(—1; 3), а её центр лежит на прямой 3х — у

— 2 = 0;32. 9) окружность проходит через три точки: А(1; 1), B(1; — 1) и С(2; 0);33. 10) окружность проходит через три точки: M1(— 1; 5), М2(— 2; — 2) и M3 (5; 5).34. 386. Точка С(3; — 1) является центром окружности, отсекающей на прямой 2х — 5у + 18 =

035. хорду, длина которой равна 6. Составить уравнение этой окружности.

36. 387. Написать уравнения окружностей радиуса R =√5 , касающихся прямой х — 2у — 1=0 в точке М1 (3; 1).

37. 388. Составить уравнение окружности, касающейся двух параллельных прямых: 2х + у — 5 = 0, 2х + у +15 = 0, причём одной из них — в точке А(2; 1).

38. 389. Составить уравнения окружностей, которые проходят через точку А(1; 0) и касаются двух параллельных прямых:

39. 2х + у + 2 = 0, 2х + у — 18 = 0.40. 390. Составить уравнение окружности, которая, имея центр на прямой

41. 2х + у = 0,42. касается прямых

43. 4х — 3у+10 = 0, 4х — 3у — 30 = 0.44. 391.Составить уравнения окружностей, касающихся двух пересекающихся прямых: 7х – у –

5 = 0, х + у + 13 = 0, причём одной из них – в точке М1 (1; 2).45. 392. Составить уравнения окружностей, проходящих через начало координат и

касающихся двух пересекающихся прямых: 46. х + 2у – 9 = 0, 2х – у + 2 = 0.

47. 393. Составить уравнения окружностей, которые, имея центры на прямой48. 4х – 5у – 3 = 0,

49. касаются прямых50. 2х – 3у – 10 = 0, 3х – 2у + 5 = 0.

51. 394. Написать уравнения окружностей, проходящих через точку А(–1; 5) и касающихся двух пересекающихся прямых:

52. 3х + 4у – 35 = 0, 4х + 3у + 14 = 0.53. 395. Написать уравнения окружностей, касающихся трёх прямых:

54. 4х – 3у – 10 = 0, 3х – 4у – 5 = 0 и 3х – 4у – 15 = 0.55. 396. Написать уравнения окружностей, касающихся трёх прямых:

56. 3х + 4у – 35 = 0, 3х – 4у – 35 = 0 и х – 1 = 0.57. 397. Какие из нижеприводимых уравнений определяют окружности? Найти центр С и

радиус R каждой из них:58. 1) (х – 5)2 + (у + 2)2 = 25; 2) (х + 2)2 + у2 = 64;59. 3) (х—5)2 + (у + 2)2 = 0; 4) х2 + (у – 5)2 = 5;60. 5) х2+у2 – 2х + 4у – 20 = 0; 6) х2+у2 – 2х + 4у + 14 = 0;61. 7) х2 + у2 + 4х – 2у + 5 = 0; 8) х2 + у2 + х = 0,62. 9) х2 + у2 + 6х – 4у + 14 = 0; 10) х2 + у2 + у =0

63. 398. Установить, какие линии определяются следующими уравнениями:

64. 1) y =+√9−х2 ; 6) y=15−√64−х2 ;

65. 2) y=−√25−х2 ; 7) х=−2−√9− у2 ;

66. 3) х=−√4− у2 ; 8) х=−2+√9− у2 ;

67. 4) х=+√16− у2 ; 9) y=−3−√21−4 х−х2 ;

68. 5) y=15+√64−х2 ; 10) х=−5+√40−6 у− у2 .69. Изобразить эти линии на чертеже.70. 399. Установить, как расположена точка А (1; —2) относительно каждой из следующих

окружностей – внутри, вне, или на контуре:71. 1) х2 + у2 = 1; 2) х2 + у2 = 5; 3) х2 + у2 = 9;

72. 4) х2 + у2 – 8х – 4у – 5 = 0; 5) х2 + у2 – 10х + 8у = 0.73. 400. Определить уравнение линии центров двух окружностей, заданных уравнениями:74. 1) (х – 3)2 + у2 = 9 и (х + 2)2 + (у – 1)2 = 1;75. 2) (х + 2)2 + (у – 1)2 = 16 и (x + 2)2 + (у + 5)2 = 25;76. 3) х2 + у2 – 4х + 6у = 0 и х2 + у2 – 6х = 0;77. 4) х2 +y – х + 2у = 0 и х2 + y2 + 5х + 2у – 1 = 0.78. 401. Составить уравнение диаметра окружности

79. х2 + у2 + 4х – 6у – 17 = 0,80. перпендикулярного к прямой

81. 5х + 2у – 13 = 0.82. 402. Вычислить кратчайшее расстояние от точки до окружности83. в каждом из следующих случаев:84. а) А(6; – 8), х2 + у2 = 9;85. б) В(3; 9), x2 + у2 – 26х + 30у + 313 = 0;86. в) С(– 7; 2), х2 + у2 – 10х – 14у – 151=0.87. 403. Определить координаты точек пересечения прямой 7х – у + 12 = 0 и окружности (х –

2)2 + (у – 1)2 = 25.88. 404. Определить, как расположена прямая относительно окружности (пересекает ли,

касается или проходит вне её), если прямая и окружность заданы следующими уравнениями:

89. 1) у = 2х – 3 и х2 + у2 – 3х + 2у – 3 = 0;

90. 2) у =

12 х –

12 и х2 + у2 – 8х + 2у + 12 = 0;

91. 3) y = x + 10 и х2 + у2 – 1 = 0.92. 405. Определить, при каких значениях углового коэффициента k прямая у = kх93. 1) пересекает окружность х2 + у2 – 10х + 16 = 0;94. 2) касается этой окружности;95. 3) проходит вне этой окружности.96. 406. Вывести условие, при котором прямая y = kx + b касается окружности х2 + у2 = R2 .97. 407. Составить уравнение диаметра окружности

98. (х – 2)2 + (у + 1)2 = 16,99. проходящего через середину хорды, отсекаемой на прямой х – 2у – 3 = 0.100. 408. Составить уравнение хорды окружности

101. (х – 3)2 + (у – 7)2 = 169,102. делящейся в точке М(8,5; 3,5) пополам.103. 409. Определить длину хорды окружности

104. (х – 2)2 + (у – 4)2 = 10,105. делящейся в точке А(1; 2) пополам.106. 410. Дано уравнение пучка прямых

107. (х – 8у + 30) + (х + 5у – 22) = 0.108. Найти прямые этого пучка, на которых окружность

109. x2 + y2 – 2х + 2у – 14 = 0

110. отсекает хорды длиною 2√3 .111. 411. Даны две окружности

112. (х – m1)2 + (y – n1)2 = R12

, (х – m2)2 + (y – n2)2 = R22

,113. пересекающиеся в точках M1(х1; y1) и M2(х2; у2). Доказать, что любая окружность,

проходящая через точки М1, M2, а также прямая M1M2 , могут быть определены уравнением вида

114. [(х – m1)2 + (y – n1)2 – R12 + [(х — m2)2 + (у – n2 )2 – R2

2] = 0

115. при надлежащем выборе чисел и .116. 412. Составить уравнение окружности, проходящей через точку А(1; – 1) и точки

пересечения двух окружностей:117. х2 + у2 + 2х – 2у – 23 = 0, х2 + у2 – 6х + 12у – 35 = 0.

118. 413. Составить уравнение окружности, проходящей через начало координат и точки пересечения двух окружностей:

119. (х + 3)2 + (у +1)2 = 25, (х – 2)2 + (у + 4)2 = 9.120. 414. Составить уравнение прямой, проходящей через точки пересечения двух

окружностей:121. х2 + у2 + 3х – у = 0, 3х2 + 3у2 + 2х+у = 0.

122. 415. Вычислить расстояние от центра окружности х2 + у2 = 2х до прямой, проходящей через точки пересечения двух окружностей:

123. х2 + у2 + 5х – 8у + 1 = 0, х2 + у2 – 3х + 7у – 25 = 0.124. 416. Определить длину общей хорды двух окружностей:

125. х2 + у2 – 10х – 10у = 0, х2 + у2 + 6х + 2у – 40 = 0.126. 417. Центр окружности лежит на прямой х + у = 0. Составить уравнение этой

окружности, если известно, что она проходит через точки пересечения двух окружностей:127. (х— 1)2 + (y + 5)2 = 50, (х + 1)2 + (у + 1)2 =10.

128. 418. Составить уравнение касательной к окружности х2 + у2 = 5 в точке А(– 1; 2).129. 419. Составить уравнение касательной к окружности (х + 2)2 + (у – 3)2 = 25 в точке

А(– 5; 7).130. 420. На окружности

131. 16х2 + 16у2 + 48х – 8у – 43 = 0 132. найти точку M1 , ближайшую к прямой

133. 8х – 4у + 73 = 0,134. и вычислить расстояние d от точки M1 до этой прямой.135. 421. Точка M1 (X1, y1 ) лежит на окружности х2 + у2 = R2. Составить уравнение

касательной к этой окружности в точке M1.

136. 422. Точка М1(х1; у1) лежит на окружности

137. (х – )2 + (у – )2 = R2.138. Составить уравнение касательной к этой окружности в точке M1.

139. 423. Определить острый угол, образованный при пересеченна прямой 3х – у – 1=0 и окружности

140. (х – 2)2 + у2 = 5141. (углом между прямой и окружностью называется угол между прямой и

касательной к окружности, проведенной в точке их пересечения).142. 424. Определить, под каким углом пересекаются две окружности:

143. (х – 3)2 + (у – 1)2 = 8, (х – 2)2 + (у + 2)2 = 2144. (углом между двумя окружностями называется угол между их касательными в

точке пересечения).145. 425. Вывести условие, при котором две окружности

146. (х – 1)2 + (у – 1)2 = R12

(х – 2)2 + (у – 2)2 = R22

147. пересекаются под прямым углом.148. 426. Доказать, что две окружности

149. х2 +y2 – 2mх – 2ny – m2 + n2 = 0,150. х2 +у2 – 2nх + 2mу + m2 – n2 = 0 .

151. пересекаются под прямым углом.

152. 427. Из точки А ( 53 ;−53 ) проведены касательные к окружности х2 + у2 = 5. Составить

их уравнения.153. 428. Из точки А (1; 6) проведены касательные к окружности х2 + у2 +

2х – 19 = 0. Составить их уравнения.154. 429. Дано уравнение пучка прямых

155. (3х + 4у – I0) + (3x – у – 5)=0.156. Найти прямые этого пучка, которые касаются окружности

157. х2 + у2 + 2х – 4у = 0.158. 430. Из точки А (4; 2) проведены касательные к окружности х2 + у2 = 10. Определить

угол, образованный этими касательными.159. 431. Из точки Р (2; –3) проведены касательные к окружности ( х – 1)2

+ (у + 5)2 = 4. Составить уравнение хорды, соединяющей точки касания.160. 432. Из точки С (6; – 8) проведены касательные к окружности161. х2 +у2 = 25.162. Вычислить расстояние d от точки С до хорды, соединяющей точки касания.163. 433. Из точки Р(– 9; 3) проведены касательные к окружности164. x 2 +y 2 – 6х + 4у – 78 = 0.165. Вычислить расстояние d от центра окружности до хорды, соединяющей точки

касания.166. 434. Из точки М(4; – 4) проведены касательные к окружности167. х2+у2 – 6х + 2у + 5 = 0.168. Вычислить длину d хорды, соединяющей точки касания.169. 435. Вычислить длину касательной, проведённой из точки А(1; – 2) к окружности170. х2 +у2 +6х + 2y+5 = 0.171. 436. Составить уравнения касательных к окружности172. х2 +у2 +10х + 2y + 6 = 0.173. 437. Составить уравнения касательных к окружности

174. х2 + у2 – 2х + 4у = 0,175. перпендикулярных к прямой х – 2у + 9 = 0.176. 438. Составить уравнение окружности в полярных координатах по данному радиусу

R и полярным координатам центра C (R; θ 0).177. 439. Составить уравнение окружности в полярных координатах по данному радиусу

R и полярным координатам центра окружности:

178. 1) C(R; 0); 2) C(R; π ); 3) C(R;

π2 ); 4) C(R; –

π2 ).

179. 440. Определить полярные координаты центра и радиус каждой из следующих окружностей:

180. 1) = 4 cosθ ; 2) = 3 sinθ ; 3) = – 2 cosθ ; 4) = – 5cosθ ;

181. 5) = 6 cos( π3−θ )

; 6) = 8 sin(θ− π

3)

; 7) = 8 sin ( π3−θ )

. 182. 441. Окружности заданы уравнениями в полярных координатах:

183. 1) = 3 cosθ ; 2) = – 4sinθ ; 3) = cos6θ – sin6θ .184. Составить их уравнения в декартовых прямоугольных координатах при условии, что

полярная ось совпадает с положительной полуосью Ох, а полюс – с началом координат.185. 442. Окружности заданы уравнениями в декартовых прямоугольных координатах:

1) х2 + у2= х; 2) х2 + у2 = – 3х; 3) х2 + у2 = 5у; 4)х2 + у2 = –у; 5) х2 + у2 = х + у. Составить уравнения этих окружностей в полярных координатах при условии, что полярная ось совпадает с положительной полуосью Ох, а полюс – с началом координат.

186. 443. Составить полярное уравнение касательной к окружности = R в точке M1 (R; θ0 ).

187.