raza cercului este distan ţ a de la o la un punct de pe cerc

Definiţii

Teoreme

Aplicaţii

Ştiaţi că…

Legendă

CerculCercul

Alice Puricica, Mihaela Puricica

Fie O un punct în plan şi r un număr real pozitiv, mulţimea punctelor din plan, situate la distanţa r faţă de O se numeşte cerc de centru O şi rază r (punctul O centrul cercului).

Notaţie: C(o,r)

Raza cercului este distanţa de la O la un punct de pe cerc.

Segmentul determinat de două puncte ale unui cerc se numeşte coarda.

Coarda care conţine centrul cercului se numeşte diametru.

Capetele diametrului se numesc puncte diametral opuse.

Cercurile care au raze egale se numesc cercuri congruente.

Exterioară

Tangentă

Secantă

Unghi

Triunghi

Poligon regulat

Formule

Definiţii

Teoreme

Aplicaţii

Ştiaţi că…

Legendă

CerculCercul


Poligon regulat

Triunghi

Tangentă

Unghi

Secantă

Exterioară

Formule

• Fiind dat C(O,r) mulţimea punctelor P din plan pentru care OP<r se numeşte interiorul cercului. Int C(O,r) ={P/OP<r}

• Fiind dat C(O,r) mulţimea punctelor Q din plan pentru care OQ>r se numeşte exteriorul cecului cercului. Ext C(O,r) ={Q/OQ>r}

A

B

O

.P

.Q

• Un unghi cu vârful în centrul cercului se numeşte unghi la centru. • Dacǎ A şi B sunt douǎ puncte distincte ale unui cerc cu centrul în O, atunci intersecţia acestuia cu interiorul unghiului la centru AOB, reunite cu punctele A şi B, se numeşte arcul mic AB.• Punctele A şi B se numesc capetele (extremitaţile) arcului; coarda [AB] corespunde arcului AB şi reciproc. Mulţimea celorlalte puncte ale cercului reunitǎ cu punctele A şi B se numeşte arcul mare AB. • Oricare trei puncte distincte ale unui cerc sunt necoliniare.• Dacǎ cele două capete ale unui arc, sunt extremităţile unui diametru, atunci arcele de cerc se numesc semicerc.

Definiţii

Teoreme

Aplicaţii

Ştiaţi că…

Legendă

CerculCercul


Dacǎ distanţa de la centrul unui cerc la o dreapta d este mai mare decât raza cercului, atunci dreapta nu are puncte comune cu cercul şi se numeşte exterioară.

r > OA d C(O,r)= Tangentă

Secantă

Definiţii

Teoreme

Aplicaţii

Ştiaţi că…

Legendă

CerculCercul


Dacǎ distanţa de la centrul unui cerc la o dreapta d este egală cu raza cercului, atunci dreapta are un punct comun cu cercul şi se numeşte tangentă.

r = OA d CO,r)={A}

Tangentă

Secantă

Definiţii

Teoreme

Aplicaţii

Ştiaţi că…

Legendă

CerculCercul


Dacǎ distanţa de la centrul unui cerc la o dreapta d este mai mică decât raza cercului atunci dreapta are două puncte comune cu cercul şi se numeşte secantă.

r < OC d C(O,r)={A,B}Tangentă

Exterioară

Definiţii

Teoreme

Aplicaţii

Ştiaţi că…

Legendă

CerculCercul


Fie cercurile C`(O`, r`), C(O, r) şi d = OO’(distanţa dintre centrele cercurilor).

Dacǎ OO’> r+ r’ cercurile nu au puncte comune şi se numesc cercuri exterioare.

Dacǎ OO’< |r- r’| cercurile nu au puncte comune şi se numesc cercuri interioare.

Definiţii

Teoreme

Aplicaţii

Ştiaţi că…

Legendă

CerculCercul


Fie cercurile C`(O`, r`), C(O, r) şi d = O`O (distanţa dintre centrele cercurilor)

Dacǎ | r` - r|< OO’< r` + r" cercurile au două puncte comune şi se numesc cercuri secante.

Definiţii

Teoreme

Aplicaţii

Ştiaţi că…

Legendă

CerculCercul


Dacǎ d = r` + r" cercurile au un punct comun şi se numesc cercuri tangente exterior.

Fie cercurile C`(O`, r`), C(O, r) şi d = OO’ (distanţa dintre centrele cercurilor)

Dacǎ OO’ = r` + r cercurile au un punct comun şi se numesc cercuri tangente exterioare.

Dacǎ OO’ = |r` - r| cercurile au un punct comun şi se numesc cercuri tangente interioare.

Cercuri concentrice – au acelaşi centru

r

A

BO r’

AO O’

A

Definiţii

Teoreme

Aplicaţii

Ştiaţi că…

Legendă

CerculCercul


Unghiul BAC se numeşte unghi înscris în cerc, dacǎ punctele B, A, C aparţin C(O,r).

Un unghi cu vârful în centrul cercului se numeşte unghi la centru.

m(AOB )=m(AB)

Definiţii

Teoreme

Aplicaţii

Ştiaţi că…

Legendă

CerculCercul


Masura unui unghi înscris în cerc este jumatate din masura arcului cuprins între laturile sale.

• Toate unghi, care au varful pe un arc de cerc şi ale caror laturi contin capetele arcelor sunt congruente.

Masura unui unghi cu varf pe cerc avand una din laturi secanta, iar cealalta tangenta este egala cu jumatate din masura arcului inclus in interiorul unghi.

Definiţii

Teoreme

Aplicaţii

Ştiaţi că…

Legendă

CerculCercul


Unghi cu varful in interiorul cercului

Un unghi al carui varf este un punct din interiorul

unui cerc, altul decat centrul cercului,se numeste unghi cu varful în interiorul cercului.

Masura unui unghi cu varful în interiorul cercului este egala cu semisuma masurilor arcelor cuprinse între laturile sale.

A

B

M

C

D

Un unghi al carui varf este un punct din exteriorul unui cerc, iar laturile lui sunt secante sau tangente (sau o secanta şi o tangenta )se numeste unghi cu varful în exteriorul acelui cerc.

Masura unui unghi cu varful în exteriorul cercului este egala cu jumatate din valoarea absoluta a diferentei arcelor cuprinse cuprinse între laturile lui.

Unghi cu varful in exteriorul cercului

C

AB

D

P

Definiţii

Teoreme

Aplicaţii

Ştiaţi că…

Legendă

CerculCercul


• Teorema 1: În acelaşi cerc sau în cercuri congruente , la arce congruente corespund coarde congruente.

• Teorema reciprocă T1 : În acelaşi cerc sau în cercuri congruente, la coarde congruente corespund arce congruente.

• Teorema 2 : Perpendiculara din centrul unui cerc pe o coardă a lui Imparte această coardă şi arcele corespunzătoare în părţi congruente.

• Teorema 3 : În acelaşi cerc sau în cercuri congruente, coardele egal depărtate (echidistante) faţă de centru sunt congruente.

• Teorema 4 : În acelaşi cerc sau în cercuri congruente, orice douaă coarde congruente sunt egal depărtate de centru.

• Teorema 5 : Arcele cuprinse între douaă coarde paralele sunt congruente.

Teorema: Lungimea unei coarde, care nu conţine centrul cercului, este mai mica decat 2r.Teorema: Intr-un cerc, diametrul este cea mai mare coarda.

Teorema : Dacǎ trei puncte sunt necoliniare, atunci ele determina un cerc şi numai unul.

Coarde şi arce

Definiţii

Teoreme

Aplicaţii

Ştiaţi că…

Legendă

CerculCercul


« Proprietăţile ciocului de cioară !»

Fie A un punct exterior unui cerc de centru O, AT şi AT’ tangentele din A la cerc ( Tşi T’ pe cerc) . Demonstraţi propoziţiile :

1.Tangentele [AT] şi [AT’] sunt congruente. 2.[AO este bisectoarea unghiului TAT’ 3.[OA este bisectoarea unghiului TOT’ 4.OA este mediatoarea segmentului[TT’]

Definiţii

Teoreme

Aplicaţii

Ştiaţi că…

Legendă

CerculCercul


Un triunghi circumscris unui cerc are laturile tangente la cerc şi centrul O se afla la intersectia bisectoarelor unghi triunghiului.

Triunghiul inscris in cerc are varfurile situate pe cerc, iar laturile sale sunt coarde in cerc.

Dacǎ A, B, C sunt trei puncte distincte ale unui cerc, atunci centrul cercului este intersecţia mediatoarelor laturilor triunghiului ABC.

3

A=

A=

C B

A

.O

Definiţii

Teoreme

Aplicaţii

Ştiaţi că…

Legendă

CerculCercul


Patru sau mai multe puncte sunt conciclice Dacǎ exista un cerc caruia sa-i apartina.

Dacǎ un patrulater este inscris in cerc, atunci diagonalele sale formeaza unghi congruente cu doua laturi opuse ale patrulaterului.

In patrulaterul inscris intr-un cerc, unghile opuse sunt suplementare.

Un patrulater convex este inscriptibil, Dacǎ şi numai Dacǎ unghi sale opuse sunt suplementare.

Un patrulater convex este inscriptibil, Dacǎ şi numai Dacǎ unghile formate de o diagonale cu doua laturi opuse ale patrulaterului sunt congruente.

Definiţii

Teoreme

Aplicaţii

Ştiaţi că…

Legendă

CerculCercul


Lungimea cercului L=2R

Aria dicului A= R2 , R-Q

Lungimea arcului de cerc lAB=

A =Aria unui sector

A

B

Ou0

R

Definiţii

Teoreme

Aplicaţii

Ştiaţi că…

Legendă

CerculCercul


Poligoane regulate • Un poligon este regulat Dacǎ este convex, are toate laturile congruente şi toate unghiurile congruente.• Centrul O al cercului in care este inscris poligonul regulat se numeste centrul poligonului. • distanţa de la centrul unui poligon regulat la oricare dintre laturile sale se numeste apotema poligonului.

• Latura poligonului inscris in cerc

• Apotema poligonului regulat

• Aria poligonului regulat

Definiţii

Teoreme

Aplicaţii

Ştiaţi că…

Legendă

CerculCercul


Hexagon regulat

C

DA

B

EF

OR

M

Triunghi echilateral

L =R a = A=

Pătrat

a =L = R A=

A=a =L=R

Definiţii

Teoreme

Aplicaţii

Ştiaţi că…

Legendă

CerculCercul


Test de evaluare

1. Pe cercul cu centrul în O se iau punctele A,B,C. Dacă m( AOB)=40 atunci m( ACB) este: a) 40 ; b) 20 ; c) 80.

2. Un diametru şi o coardă ale unui cerc au un capăt comun. Dacă lungimea diametrului este de 40 cm şi lungimea coardei de 24 cm, atunci distanţa de la centru la coardă este: a) 16; b) 12; c) 15.

3. Fie [AB] diametrul în cercul de centru O. Coarda [CD] intersectează diametrul [AB] în punctul E, astfel încât m( CEB)=300 AE=6cm, EB=2cm. Distanţa de la O la CD este egală cu: a) 1; b) 2; c) 0,5.

4. Dimensiunile unui dreptunghi sunt direct proporţionale cu 4 şi 3, iar perimetrul este 56cm. Lungimea razei cercului circumscris dreptunghiului este : a) 10 ; b) 20 ; c) 15.

5. Latura unui pătrat înscris într-un cerc este 8cm. Aria triunghiului echilateral circumscris acestui cerc este : a) 192 ; b) 192 ; c) 48

6. Raza cercului înscris într-un triunghi isoscel ABC, ştiind că AB=AC=10 cm; BC=12 cm este egală cu: a) 3; b) 4; c).

7. Raza cercului circumscris triunghiului isoscel ABC, ştiind că AB=AC=10 cm; BC=12 cm este egală cu: a) 6,25; b) 6; c) 25.

8. Fie trapezul isoscel ABCD cu baza AB paralelă cu baza CD şi m( A)=45 , AB=6cm, CD=2cm. Raza cercului circumscris trapezului este: a) b) 2c)

9. Două cercuri tangente exterioare au razele 5cm, respectiv 3 cm. Tangenta lor comună TT’ întâlneşte linia centrelor în S. Dacă O este centrul cercului mare atunci lungimea segmentului [OS] este : a) 10 ; b) 15 ; c) 20.

Definiţii

Teoreme

Aplicaţii

Ştiaţi că…

Legendă

CerculCercul


Construiţi numai cu ajutorul compasului:

Printre cele mai simple construcţii cu rigla şi compasul se numără şi determinarea centrului unui cerc dat.

Încearcă să-l determini numai cu compasul. Te încumeţi ?

Napoleon I vă propune o altă problemă: Folosind numai compasul să se împartă în patru părţi congruente circumferinţa unui cerc al cărui centru este precizat.

Cum puteţi transforma vaza din figura alăturată, a cărui desen este compus numai din arce de cerc, într-un pătrat?

Definiţii

Teoreme

Aplicaţii

Ştiaţi că…

Legendă

CerculCercul


Cine oare şi când a desenat un cerc?

Să fi fost un artist anonim, care într-un moment de odihnă şi singurătate a adus soarele, sau poate luna de-afară printr-o singură trăsătură pe pereţii peşterii?

Sau zeii în mărinimia lor de câte o dată, să-i fi arătat vreunui muritor această figură minunată?

Ori poate un truditor, care după îndelungi ani de opinteli, într-o clipă de genialitate şi-a imaginat, că roata i-ar putea uşura viaţa? Cine mai poate şti?

Doar dacă zăbovim o clipă şi încercăm să ascultăm şoaptele fiicei lui Zeus şi a Mnemosynei, blânda Clio, îl auzim pe Proclus comentând elementele lui Euclid:”…Cercul este prima, cea mai simplă şi cea mai perfectă figură”

Dintre toate poligoanele şi curbele închise, având un perimetru (lungime) dat(ă), acel(a) care cuprinde în interiorul său suprafaţa cea mai mare este cercul?

Definiţii

Teoreme

Aplicaţii

Ştiaţi că…

Legendă

CerculCercul


Vrând să-i recompenseze, satrapul Hieron i-a chemat la el pe cei trei dregători care au reuşit să determine proprietăţile funciare asupra teritoriilor Cartaginei.

- Drept mulţumire pentru munca voastră, iată trei frânghii lungi de mătase, toate de aceeaşi lungime. Veţi primi fiecare în dar câte un domeniu de forma pe care o doriţi şi pe care puteţi sa-l înconjuraţi cu frânghia de mătase primită. Însă pe cel mai ambiţios dintre voi, cel care a ales cea mai mare suprafaţă, îl voi face sfetnicul meu.

Spune legenda că primul şi-a ales un domeniu în formă de pătrat, al doilea în formă de hexagon…

- Voi doi supuşii mei mergeţi să mai învăţaţi! Doar tu Periferius, elev al lui Arhimede, meriţi să-mi fii sfetnic. Tu ai ales cea mai mare suprafaţă posibilă…

Definiţii

Teoreme

Aplicaţii

Ştiaţi că…

Legendă

CerculCercul


Bibliografie

• Ottescu ,Constantin;Cuculescu,Ion; Laurentiu ,N.,Gaiu, Matematica-manual pentru clasa a VII-a,Editura Didactica si Pedagocica , Bucuresti, 1990.

• Dancila,Ioan, Matematica gimnaziului intre profesor si elev, Editura Aramis,2001;

raza cercului este distan ţ a de la o la un punct de pe cerc

Documents