8/7/2019 S25C-411032811000

1/40

CAPITOLULIBAZELE EXPERIMENT ALE ALE FIZICnCUANTICE (ORIGINILE FIZICII CUANTICE)

1.1 Criza fizicii clasiceFizica clasica, adica cea fondata si dezvoltata pana la inceputul secolului al

XX-lea, are la baza doua discipline fundamentale: mecanica rationala (Newton) sielectromagnetismul (Maxwell). Fondatorii acestor discipline concepeau Universul cafiind constituit din materie cu cele doua aspeete ale sale - substanta (particule) siradiatie (unde) - intre care exists 0 distinctie neta. Particulele se supun legilormecanicii newtoniene, iar radiatia este descrisa de ecuatiile lui Maxwell., ,

Prin prelungirea mecanieii newtoniene ell mecanica statistics s-a dezvoltatterrnodinamica iar prin extinderea teoriei electromagnetismului la lumina s-adezvoltat optica. Un saIt remarcabil a 1 fizicii c1asice a avut loc odata eli rezolvareaincompatibilitatii dintre mecanica newtonian a ~i electromagnetism (ecuatiile luiMaxwell nu raman invariante Ia transformarile lui GaliIei) - prin fonnularea de catreEinstein a teoriei relativitatii si elaborarea transformarilor Lorentz (fata de careecuatiile lui Maxwell raman invariante); nici teoria lui Einstein nu modifica distinctianeta intre substanta si radiatie.

Toate aceste discipline au reusit sa explice majoritatea fenomenelor fizieedin Iumea inconjuratoare, deci aparent formau un edificiu complet.

La inceputul secolului aI XX-lea, evolutia tehnicii a permis efectuarea unorexperiente si evidentierea unor paradoxuri care nu-si gaseau explicatia in teoriilefizicii clasice dezvoltate pana atunci, Este bine cunoscut paradoxul stabilitatiiatomului (teoria campului electromagnetic prevede instabilitatea in sensul caderiielectronilor pe nuclee, dar nu exists nici 0 dovada experimentala c a atornii ar fiinstabili); discontinuitatea spectrelor de emisie, caldurile specifice ale solidelor,fenomenul fotoelectric, repartitia energiei In spectruI corpului negro - iata numai

!cateva exemple de fenornene in a carer explicare fizica clasica a esuat.

1

8/7/2019 S25C-411032811000

2/40

Explicarea acestor fenomene a necesitat introducerea de idei, concepte,ipoteze si postulate noi care, impreuna cu un aparat matematic adecvat, au dus lanasterea unei noi teorii - teoria cuantica.

Teoria cuantica are ca obiect studiul sistemelor cuantice. Apar urmatoareleintrebari: Ce este un sistem cuantic? Cum 11deosebim de unul clasic? Cand Iegilec1asice nu mai sunt suficiente pentru descrierea unui sistem?

Un sistem cuantic este in general un sistem de microparticule, fie izolat, fiein interactie cu aIte sisteme, cuantiee sau necuantice. Acelasi ansamblu demicroparticule pot forma in unele imprejurari un sistem c1asic iar in alte imprejudiriun sistem cuantic.

Criteriul de distinctie intre un sistem cIasic si unul cuantic este ordinul demarime a i unor marimi fizice din sistem. Aceste marimi fizice au dimensiunea uneiactiuni, rnasurandu-se in Js (de exemplu momentul cinetic). Constanta universaladenumita constanta lui Planck, h = 6,6261O-34].s are aceeasi dimensiune ~i se mainumeste cuanta de actiune.

Compararea valorii marimilor eu dimensiunea unei actiuni, caracteristiceunui sistem, cu valoarea constantei lui Planck poate sa constituie un criteriu deincadrare a sistemului respectiv in categoria eeIor clasice sau eelor cuantiee.

Daca, pentru un sistem fizic, orice marime fizica eu dimensiunea de actiuneare valori numeriee eomparabile cu constanta lui Planck, sistemul trebuie descris ineadrul fizieii euantice. Daca valorile nurneriee ale unor astfel de marimi sunt insarnult mai mari d~a. valoarea constantei lui Planck, legile fizicii clasiee vor fisuficiente pentru descrierea sistemului, deei el este un sistem clasic.

Fenomenele care au dus la formularea fizieii cuantice pot fi cIasificate inurmatoarele eategorii [19]:

+ Fenomene in care schimbul de energie intre substanta si campul Cit( { r i ; ( ( "( / , IJelectromagnetic are loc discontinuu (radiatia termica, absorbtia si emisia luminii,etc).

+ Fenornene in care se manifesta proprietatile corpuseulare ale radiatieielectromagnetice (efectuI fotoelectric, efectul Compton, etc).

2

8/7/2019 S25C-411032811000

3/40

~ Fenomene care pot fi explicate pe baza cuantificarii unor marimi fizice

etc).specifice sistemelor fizice microscopice (experienta Frank-Hertz, spectrele optice,",,'/;"';,!

Fenomene In care se manifesta proprietatile ondulatorii alernicroparticulelor (difractia microparticulelor pe retele cristaline, etc).

Vom studia in continuare aceste categorii de fenomene.

1.2 Fenomene in care schimbul de energie intre substanta ~icampulelectromagnetic are loc discontmuu. Radiatia corpului negru.

1.2.1.Marimi caracteristiceSuprafata unui corp aflat la orice temperatura mai mare decat zero absolut

emite energie sub forma de radiatie electrornagnetica, eu frecventa cuprinsa intre 0 si00.

o incinta vida, adusa la 0 temperatura T, se "umple" eu radiatieelectromagnetica a carei stare stationara este atinsa atunci cand peretii incintei absorbin unitatea de timp a energie egala eu eea pe care 0 emit. In aeeste conditii se poateatribui radiatiei aceeasi temperatura T ca a incintei, iar radialia poarta numele deradiatie termica de echilibru.

Distributia energiei dupa lungimea de unda (distributia spectrala) depinde detemperatura: 1a temperaturi joase, eea mai mare parte a energiei este distribuita laIungimi de unda mari (infrarosu indepartat); cand temperatura creste, balantadistributiei de energie inclina catre lungimi de unda din vizibil (eorpurile devin rosii,apoi galbene - stralucesc) pentru ca la temperaturi foarte mari (3000K) corpuIemitator s a devina "alb fierbinte" iar radialia ernisa cu preponderenta are lungimeade unda in ultravi olet.

Marimile fizice caracteristice radiatiei termice de echilibru pot fi: marlmiglobale (integrale) (referitoare 1a tot speetrul, care nu tin seama de distributiaenergiei pe free vente ) ~imarimi spectrale (tin seama de aceasta distributie).

a) - Densitatea volumica de energie - este energia radiatiei cuprinsa inunitatea de velum:

3

8/7/2019 S25C-411032811000

4/40

(1.1)eu unitatea de masura

[w 1 : : : : J/m 3- Densitatea spectrala de energie - este energia unitatii de velum a

radiatiei eu frecventa cuprinsa intre V si v-dv, raportata Ia intervalul de frecventa:dww =-v dv (I.2)

sau din intervaluI unitate de pulsatii:dw

WaJ=-. dm (1.3)

iar in scara lungimilor de unda,dwW..l=-dA (104)

Intre cele trei marirni spectrale w v W (Jj, w).. exists relatia:wvdv =w( jJdro : : : : WAd). (15)

b) - Fluxul radiant (puterea radiants) se defineste ea viteza de transfer aenergiei radiante, adica

t/J=dWdt (1.6)eu uni tatea de masura

[] =W Fluxul radiant spectral definit pe unitatea de interval de frecvente este:

(1.7)

Analog , pe unitatea de interval de pulsatii avem " , = : .

c) - Puterea emisiva totala (sau emitanta energetics totala) a unei surse deradiatie este fluxul energetic ernis de unitatea de arie a unei surse de radiatie:

4

8/7/2019 S25C-411032811000

5/40

R= d := dW (de la suprafata emitatoare spre exterior). (I.8)dS dSdt "eu unitatea de rnasura

[R ] = W /m2

- Emitanta spectrala (puterea emisiva spectral a) este emitanta din unitatea deinterval de freevente R = dR. de pulsatie R = dR. sau de lungirni de unda, Y dv t (J) dw'

(1.9)(Observatie: in unele tratate, emitanta si emitanta spectrala se noteaza eu M,

respectiv Mv).In electromagnetism se demonstreaza cii intre ernitanta energetics :} l

densitatea volumica de energie exista relatia:cR=-w.4 (a) (1.10)

ciar intre aceleasi rnarimi spectrale, relatia: R; = -wy4 (b)

unde c este viteza de faza a luminii In vid.d) Radianta (stralucirea) unei suprafete este definita ca fluxul radiant pe

unitatea de unghi solid ;;ipe unitatea de me normala la directia de emisie:d 2 d 2B= = _ _ _ : _ _ _dQdS /I dQdS cos e (1.11)

unde e este unghiuI dintre normala Ia suprafata emitatoare si directia de emisie.Unitatea de masura a stralucirii este

[B J =W/m2srad- Radianta spectrala (stralucirea spectrala) este definita pe unitatea de interval de

frecventeB = dB.v dv ' (a)

de pulsatie: B _dB0)- dw (b) (1.12)

de lungimi de unda B'A = dBc f A (c)

5

8/7/2019 S25C-411032811000

6/40

lntre stralucire si emitanta energetica exista relatia:R =1lB (1.13)

Aceeasi relatie exista intre marimile spectrale corespunzatoare.Marimile a) - d) definite anterior se refera la sursele de radiatie. Pentruradiatia incidenta pe suprafata unui corp, se definesc:e) - Iluminarea energetica E a unei suprafete este raportul dintre fluxul de

radiatie incidents normal pe aceasta suprafata si aria suprafetei.d r f J .E = - - ; ; ; (spre suprafata)

f) Factorul de absorbtie integral este fractiunea de energie radianta,(1.14)

absorbita din cea incidenta pe suprafata:a = dabs

dinc (LIS.a)Pentru un interval de frecvente dat, factoruI de absorbrie spectra! va fi:

(I.15.b)

Experienta arata ca factorul de absorbtie integral depinde de temperatura, iarfactorul de absorbtie spectral depinde atat de frecventa cat si de temperatura.

Corpul negru sau total absorbant este corpul care absoarbe toata energiaradianta incidents pe suprafata sa. EI are factorul de absorbtie egal eu unitatea latoate frecventele si la toate temperaturile.

Corpul negro este un model; corpurile reale, apropiate prin proprietatile lorde corpul negru sunt funinginea $i negrul de platina.

Un corp negru poate fi realizat practic sub forma unei incinte inchise siinnegrite in care s-a practicat un orificiu al carui diametru este mai mic cu eel putinun ordin de marime decat diametrul incintei. Pentru un observator exterior, aeestorificiu apare ca suprafata unui corp negro, deoarece, orice raza care patrunde prin el,datorita reflexiilor repetate pe peretii interiori ai incintei, va fi p a n a la urma absorbitacomplet, probabilitatea de a iesi din incinta fiind practic nula.

6

8/7/2019 S25C-411032811000

7/40

1.2.2 Legile clasice ale radiatiei termiceAceste legi au fost obtinute in mod empiric, adica experimental:a) Legile lui Kirchhoff (1859)ar Radiatia termica de echilibru este omogena (proprietatile sale nu

depind de punet), izotropa (proprietatile nu depind de directie) si nepolarizata(vectorul intensitate a campului electric, E poate oscila in toate directiile),

Pentru orice lungime de unda, raportul dintre puterea ernisivaspectrala si factorul de absorbtie spectral este acelasi pentru toate corpurile aflate 1aaceeasi temperatura si e 0 functie universals de frecventa ~i de temperatura:

R v (T) = f(v,T)av (T) (116)

Pentru corpurile negre av (T) :::: 1, deci functia j( V,1) este chiar putereaemisiva spectrala (emitanta spectral a) a corpului negru la temperatura T.

Pe baza relatiei (1.10) avem:cf(v,T)=-wv(T)4 (1.17)

care ne arata e a densitatea spectrala de energie dintr-o incinta ce contine radiatieterrnica la echilibru, nu depinde de naturasi proprietatile corpurilor din incinta cinumai de temperatura si frecventa,

Aceasta lege, justificata pnn considerente termodinamice, situeaza IncentruI atentiei functia universals f (v,T), determinarea formei acestei functiiconstituind problema fundamentals a studiului radiatiei tennice.

Cunoscand functia f (v, 1) si masurand Qv (1) pentru un corp oarecare, sepoate deterrnina emitanta energetics a acestuia pe baza relatiei (1.16).

b) Legea Stefan-Boltzmann - a fost stabilita experimental in 1897 deStefan si demon strata In 1884 de Boltzmann pe baza principiilor termodinamicii,considerand radiatia termica un gaz ideal ell ecuatia terrnica de stare cunoscuta.

Relatia gasita de Boltzmann este:w = a r (1 . 18.a)

unde a:::: 7,62 1O-16Jm-3KA, este determinata numai experimenta1.Folosind (1.10) rezulta relatia lui Stefan si Boltzmann:

7i,

..~J

8/7/2019 S25C-411032811000

8/40

R==crr (L18_b)unde C 5 = 5,67-1O-8Wm-2K4 este constanta Stefan-Boltzmann.

Se observa cii legea Stefan-Boltzmann e 0 lege globala, neprecizandcompozitia spectral a a radiatiei, Ea este verificabila experimental.

c) Legile lui Wien -,'Tratand radialia termica ca un gaz ideal supus unei compresii adiabatice siaplicand principii Ie termodinamicii 1 ale eleetromagnetismului, Wien a stabilit in1893 0 lege de dependents a densitatii spectrale de energie, de frecventa - 1temperatura de forma

(I.19.a)sau, in functie de pulsatie,

W{t} (~I) - (j)3 f (afT) (I.19_b)sau, in functie de lungimea de unda

W~ (;t,T) - A -5 f (XI) (L19.c)unde f(vlT)[sau f(ufl) sau f(AI)} este 0 functie de 0 singura variabila, raportul (vII)care nu poate fi determinata din termodinamica. Relatiile (1.19) nu pot fi verificateexperimental dar sunt corecte pentru di due imediat Ia formula Stefan-Boltzmann.Intr-adevar:

unde a este valoarea integralei.Curba WJ (A,1) a fast gasita experimental in 1899 de catre O. Lummer si E.

Pringsheim si este reprezentata In functie de A pentru diferite temperaturi in fig. 1.1.Pentru fiecare valoare constants a Iungimi de unda A, WAcreste odata elicresterea ternperaturii, iar pentru fiecare temperatura exista 0 lungime de unda A m

pentru care W A atinge un maxim; experimental s-a constatat ca aceasta lungime deunda este invers proportional a eu temperatura:

Arn-T = = b (sau ffirr/T= = const.)unde b = 2,8981 0- 3mK -1se numeste constanta de deplasare Wien.

(1.20)

8

8/7/2019 S25C-411032811000

9/40

/> T 2 > T l/ : \I : \I : \/ '/IA

A 2 m A l m A ( I . 1 m )

Fig. 1.1.

Relatia (1.20) se numeste legea deplasarii a lui Wien, si arata ca la crestereatemperaturii absolute, maximul densitatii spectrale de energie "se deplaseaza" sprelungimi de unda mai mici.

Relatia (1.20) se poate obtine ~1 teoretic punand conditia de maxim( d ; ; ) = 0 si folosind pentru waJexpresia (I.19.b), ceea ce arata c a aceasta expresieeste corecta; deci, expresia functiei waJ (00,7) trebuie sa cantina, in afara de uneleconstante, cubul frecventei ~j 0 functie de raportul (0, indiferent pe ce ipoteze s-arTbaza deducerea ei.

d) Formula Rayleigh-JeansPentru a determina functia f (;) ~i deci expresia densitatii de

energie w Ol (to,T), tinand seama ca aceasta este independenta de forma cavitatii ~i denatura corpurilor din interior, Rayleigh si Jeans au studiat comportarea unei cavitatiparalelipipedice, eu pereti perfect conductori, cavitate ce contine un dielectric. Dinteoria electromagnetidi se stie ca radiatia dintr-o cavitate exista sub forma de undeelectromagnetice stationare - moduri de oscilatie - a carer densitate (numarul demoduri de oscilatie din unitatea de velum si din unitatea de interval de pulsatie) este:

9, J

8/7/2019 S25C-411032811000

10/40

(1)2n( m) = -2-3;T[ C

(1.21)Rayleigh si Jeans au sugerat ca undele stationare din cavitate se datoreaza

oscilatiilor atomilor din peretii cavitatii astfel ca energia medie a unui oscilator este = kT (k = = 1,38.10-23 11K este constanta lui Boltzmann). Atunci densitateaspectrala de energie va fi:

(1.22)

care se poate pune sub forma indicate de Wien dad notarn f ( ; ) = ( ; ) - 1 . Analizandformula lui Rayleigh-Jeans (1.22), observarn ca ea nu prezinta un maxim, adica, inspectrul radiatiei termice, cea mai mare parte a energiei ar reveni domeniuluiultraviolet. Aceasta situatie a fost numita de P.S. Ehrenfest "catastrofa ultravioleta".

Relatia Rayleigh-Jeans este verificata experimental numai pentru frecventemici (Iungirni de unda mari); ea este in dezacord eu legea Stefan-Boltzmann,deoarece

(1.23)ceea ce este absurd.

e) Formula semiempirica a lui WienIn 1896, Wien a propus pentru densitatea spectrala de energie 0 formula in

concordanta eu experienta in domeniul frecventelor mari (lungirni de unda mici),adica aeolo unde formula Rayleigh-Jeans nu este valabila. Wi en face ipotezesuplirnentare asupra mecanisrnului ernisiei radiatiei, ipoteze conform caroradistributia energiei la scara frecventelor este analoga distributiei lui Maxwell:

W lrJ(t},T)= ClaJ3 exP [-C2 ;] (1.24)cu C1 si C2 constante care se determina experimental.

10

8/7/2019 S25C-411032811000

11/40

t) Formula serniempiridi a lui PlanckCele doua fonnule concrete existente pentru densitatea spectrala de energie

sunt verificate experimental doar pentru portiunile extreme ale spectrului (frecventemici respectiv frecvente mari).

Pe baza unor masuratori precise efectuate de Rubens si Kurlbaum, Planck apropus in 19 octombrie 1900 0 formula pur ernpirica pentru densitatea spectral a deenergie:

WI ( m , T) = elm [ m ]exp C - -12T3 1 (1.25)

apropiata de datele experimentale in toate regiunile spectrului. (Constantele C1 si C2se determine experimental). Se observa ca formulele Rayleigh-Jeans ~iWien suntcazuri particulare ale formulei (1.25) pentru cele doua regiuni extreme ale spectrului.Intr-adevar, pentru frecvente mici Cz ( ) ) I ~ dezvoltand exponentiala de laTnumitoruI expresiei (1.25) in serie si retinand doar prirnii doi tenneni, se obtine 0relatie de tipul (I.22) (Rayleigh-Jeans) iar pentru frecvente rnari, C2 ; 1 (unitatea

este neglijabila fata de exponentials), se obtine (1.24) (formula Wien).Toate rezultatele anterioare referitoare 1a distributia energiei in spectruIradiatiei terrnice au fost gasite folosind fizica clasica si sunt rezumate In fig. 12.

\\ -..._/ Rayleigh-JeansXPlanck (~i curba experirnentala)..... Wlen

~ - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - ~ ~A _Fig. 1.2.

11

8/7/2019 S25C-411032811000

12/40

1.2.3 Teoria lui Planck. Ipoteza cuantelor de energieLa numai opt saptarnani de la eomuniearea formulei semiempirice (1.25) si

anume la 14 deeembrie 1900, Max Planck a prezentat la sedinta Societatii Germanede Fizica din Berlin 0 dernonstratie a Iegii radiatiei corpului negru.

Aceasta data poate fi considerata ca ziua de nastere a fizicii cuantice. Pentruobtinerea densitatii spectrale de energie a radiatiei, Planck s-a indepartat de fizicaclasica, facand ad-hoc 0 ipoteza revolutionara:

.Un oscilator de frecvetuii proprie V poate absorbi sau emite energie doarin cantitiui discrete de miirime Co :=hv ", unde h este 0 noua constanta fundamentalsa naturii.

Urrnand ideea lui Rayleigh si Jeans asupra provenientei radiatiei termicedintr-o incinta - emisia radiatiei de catre oscilatorii (atomii) din peretii incintei -Planck echivaleaza corpul negru cu un ansamblu de oscilatori arrnonici care potexista doar in anumite star! selectionate, In care energia lor e un multiplu intreg a 1cantitatii Eo: E o , 2Eo,.... , nEo,..... Prin emisie sau absortie de energie, oscilatorii treedintr-o stare a acestui sir in alta prin salturi, evitand starile intennediare.

Cantitatea Eo = hv se numeste cuanta de energie.In aeest caz, energia medie a unui ansamblu de oseilatori cu frecventa v,

aflat in echilibru terrnic, este data de fizica statistica clasica (distributiaBoltzmann)[23]:

(1..26)unde p este probabilitatea de oeupare a nivelului En:

gn exp ( -# JPo = ~go exp(

8/7/2019 S25C-411032811000

13/40

IE n exp (-5:__J fnEo exp( -n~J InEo exp ( - npEo )n=O kT n=O kT n=O

= ~e{:~)= ~e,{-:;) =~t~_o-e -xp - ( - -np -~o~) -(1.28)In (1.28) am notat / 3 = _1_ . Se observa ca:kT '

< E >= - _ : ! . _ _ I n ( f e x p ]- nfJEo ) Jd / 3 n=O (1.29)iar suma din paranteza este 0 progresie gecmetrica infinit descrescatoare ell ratiaq = exp(- p E o ) . Atunei:

= 1Iexp(- nfJEo) = ( )1-exp - P c .n~ O 0 (1.30)deci:

< E >=__ : ! _ I n ( 1 J = E o exp(- P E o ) = E o. d P 1- exp(- f J E a ) 1- exp(- , B E o ) ( E o J (1.31)exp - -1kTConsiderand densitatea de oscilatori (1.21) ~] tinand seama ca

E o = hv = tiro ( P i : : : : 2h r r .J , Planck a obtinut relatia:(1.32)

numita legea Planck de distrlbutie spectrala ..Se observa e a aceasta lege satisface conditia lui Wien (pana la valoarea unor

coeficienti depinde de w 3 si de 0 functie de raportul wiT); prin comparare ell (1.25) sedetermi 1 C ti . C t z A b - d - I '1pot eterrruna constante e 1 =~2 -3 st 2 = :: :: - , in una concor anta eu va on eTIC k '

gasite experimental.La frecvente mari tim kT si se regaseste formula Wien (vezi problema 4)

tar la frecvente rnici tuo kT si se regaseste formula Rayleigh-Jeans (vezi problema4). Prin integrare pe tot spectrul:

13

8/7/2019 S25C-411032811000

14/40

(vezi problema 6) deei se regaseste legea Stefan-Boltzmann.Folosind relatia wAd). =w(I1dw se gaseste (vezi problema 3) densitatea

spectrala de energie:8 : n J z c 1w,l.(;{,T)=_. ( );{5 heexp -- -1AkT

(1.33)

din care, punand conditia ca ( d : ; ; ) = 0 se regaseste legea deplasarii a lui Wien si sedetermine constanta b:

). T =b "" hem 4,965k (1.34)

(vezi problema 5)

1.2.4 Confirmiiri ulterioare ale ipotezei lui PlanckIdeea cuantificarii energiei era In complet dezacord eu fizica clasica dar

postulatul fundamental al lui Planck asupra cuantificarii energiei este corect siconceptia lui a fost folosita la scurt timp (1905) de catre Einstein pentru a explicafenomenul fotoelectric si reprezinta punctul de pornire pentru formularea fiziciicuantice.

In teoria lui Planck oscilatorii care reprezinta sursa de camp electromagnetic(radiatie) au energii de vibratie cuantificate. Einstein cuantifica insusi carnpulelectromagnetic, introducand notiunea de foton sau cuanta de lumina.

In lumina ipotezei lui Einstein, radiatia termica poate fi considerata un gazideal de fotoni. Proprietatile specifice gazului ideal provin din liniaritatea ecuatiilorcampului electromagnetic, din care rezulta c a fotonii nu interactioneaza intre ei. Dacaradialia se gaseste intr-o substanta, proprietatile de gaz ideal se pastreaza numai dadenergia de interactie dintre radiatie si substanta este neglijabila: aceasta se intfunpIain medii rarefiate (gaze), departe de frecventele de absortie si in medii mai dense latemperaturi ridicate.

Pe de alta parte, substanta este indispensabila pentru realizarea echilibruluitermic al radiatiei - mecanismul realizarii eehilibrului fiind emisia si absortia defotoni de catre substanta. Prin urmare, gazul de fotoni este un gaz eu un numar

14

8/7/2019 S25C-411032811000

15/40

variabil de particule N. In aceste conditii energia libera a gazului de fotoni va fiFeT, V,N) iar conditia de echilibru la T si V date revine Ia a scrie ca:

(~~t~ o .Dar ( a F ) = j.l (potentialul chimic) adica pentru un gaz de fotoni ) . . . l = o .a N TYFotonii, fiind bosoni, distributia Bose-Einstein [16][19] eu ) . . . l = 0 si e, =lua;

va pennite scrierea nurnarului rnedi u de fotoni pe a stare eu energia Ck:(1.35)

ce conduce in final tot la relatia (1.32).In 1907, Einstein a folosit din nou formula lui Planck (1.31) (a energiei

medii a unui oscilator) pentru a studia variatia cu temperatura a caldurilor specificeale soIidelor, problema nesolutionata de fizica clasica. Rezultatele lui Einstein,perfectionate in 1912 de catre Debye, au fost in concordanta deplina cu experienta,confirrnand corectitudinea ipotezei lui Planck.

o confirmare recenta a fost data in 1964, cand Penzias si Wilson, folosindun radiotelescop, au detectat in domeniul undelor radio un "zgomot" izotrop deorigine cosmica. Radiatia detectata are lungimea de unda 7,35 ern, iar intensitatea eiar corespunde unei temperaturi de 3K.

"Zgomotul" a fost interpretat ca datorat radiatiei unui corp negru cutemperatura de 3K, radiatie care umple uniform intregul Univers si este incidenta pe..Pamant din toate directiile, ell aceeasi intensitate.

Prezenta acestei radiatii este 0 dovada a teoriei "big-bang" asupra originiiUniversului. Aceasta teorie presupune ca initial Universul se prezenta ca unconglomerat de particule si radiatie eu temperatura si densitatea foarte mari, care asuferit 0expansiune,

Presupunand c a expansiunea e descrisa de un factor S (adica dimensiunileau crescut de Sari), lungimile de unda se vor rnultiplica de Son, datorita deplasarii

15

8/7/2019 S25C-411032811000

16/40

Doppler [5]; astfel dad initial un foton a avut lungirnea de unda A, dupa expansiuneel va avea A ' ; : : : : S'A, deci energia sa c '==. he = ! . . . . seade de Sari.A' S

Volumul Universului creste de S3 on, deci presupunand ca nu sunt creati ~iniei anihilati fotoni, densitatea acestora (numarul de fotoni din unitatea de volum)seade de S3 on. Inseamna ca dupa expansiune, densitatea de energie a fotonilor dinintervalul euprins intre A ' $ 1 A ' + dA ' la temperatura Tva fi

(1.35)

Fiindca d J . . . = ~ , obtinem, folosind (1.34):d J . . . S ' .(1.36)

sau .WJ(A ' , T)= 8m:c ( 1 )J . . . ' he Sexp -_ -1A'kT (1.37)

Aceasta relatie ar fi identica ell (1.34) daca lnloeuim T '==. ~ :(A' T') 81lhc_-:-_1--,-_

w). , = 2.5 exp(~h_e_)_1A'kT'

(1.38)

deci radiatia corpului negru dintr-un univers in expansiune ar putea fi descrisa ellformula lui Planck eu conditia sa admitem ca temperatura descreste uniform ellacelasi factor S eu care se dilata Universul.

Radiatia detectata de Penzias si Wilson are lungimea de unda A'::: 7,35 em sicorespunde unei temperaturi T' = 3K, fiind a radiatie .fosila", racita si "expandatii",avand originea intr-o epoca in eare Universul era mai mic $1mai fierbinte deditacurn, S-a estimat [24] c a In perioada de origine a aeestei radiatii Universul avea 0varsta de aproximativ 106 ani, fiind .Jnundat" eu radiatie la temperatura T ; : : : : 3000KSe estimeaza atunci ca de la emisia acestei radiatii si pfma la detectia ei Universul asuferit 0 expansiune eu un factor S ::::1000.

16

8/7/2019 S25C-411032811000

17/40

1.2.5 Aplicatii practice ale legilor radiatiei corpului negruPirometria opticaMetodele de determinare a temperaturii bazate pe legile radiatiei corpului

negru se numesc metode de pirornetrie optica, iar aparatele folosite - pirometreoptice.

a) Pirometrul de radiarie (fig. 1.3)

sFig. 1.3

Experimental se mascara stralucirea absoluta B A la 0 lungime de unda dataiar pe baza relatiei intre H J . . si w A si a legii lui Planck se determine temperatura.

Radiatiile ernise de sursa S sunt foealizate eu ajutoruI Ientilei eonvergente L;in focarul lentilei se plaseaza sudura calda "a" a unui termocuplu. Curentultermoeleetrie care ia nastere in cireuitul terrnocuplului si este inregistrat de aparatulde masura A este proportional eu stralucirea B a sursei. Folosind relatiile (1.12) si(1.18) se poate determina temperatura sursei de radiatii.

b. PirometruI optic cu disparitie de filament

s

R

Fig. 1.4

17

8/7/2019 S25C-411032811000

18/40

Masurarea stralucirii absolute fiind dificila, se poate compara stralucireaeorpului observat eu 0 stralucire cunoscuta oarec are, utilizandu-se dispozitivul dinfig. lA. Lentila L2 este plasata in planul focal al lentilei LI iar pe ecranul E seobserva simultan iinaginile suprafetei corpului S studiat si filamentul unui bee B.

Cu ajutorul reostatului R se variaza intensitatea eurentului prin beeul B p a n acand stralucirea imaginii sale pe eeran va egala pe cea a imaginii sursei; atunci peecran nu se va rnai distinge forma filarnentului becului B (filamentul "dispare") siputem atribui aceeasi temperatura de stralucire atat becului c a t si sursei. Cunoscandcurba de etalonare a filamentului beeului B (adica dependenta temperaturii sale destralucire de intensitate, la lungimea de unda a filtrului F), masurand curentul la cares-a produs "disparilia" filamentului, se determine temperatura corpului S studiat.

Observatie: Temperatura de stralucire Ts a unui corp eu temperatura realaT, pentru a lungime de unda data, este temperatura unui corp negru care, pentruaceeasi lungime de unda, are aceeasi putere spectrala de emisie (R),) sau aceeasistralucire spectrala B ) . . ca ~i corpul cu temperatura T .

1.2.6 Exercitii ~iprobleme1. Spectrul solar poate fi aproximat eu spectrul eorpului absolut negru

pentru care maximul densitatii de energie spectrala corespunde lungirnii de unda A .m= 0,48)J.m. Sa se calculeze puterea radianta < I> a SoareIui. Se cunose:

b = 2,8S1O-3mK; (j:;;: 5,671O-8W /m 2K4, raza soarelui rs = 71Q8m.Rezolvare:Din legea deplasarii a lui Wien se calculeaza temperatura T corespunzatoare

maximului distributiei spectrale:T=_E_=6.103K.

A mlnrre puterea ernisiva R si puterea radianta r p exista relatia

R = d ,deci d 9= RdS .dSPresupunand c a suprafata Soarelui emite uniform, 9 = KS = R4J[rr Dar

din legea Stefan-Boltzmann, R= a-T,

18

8/7/2019 S25C-411032811000

19/40

deci:

2. Considerand Soarele ca un corp negru cu temperatura T ::; 6000K, careradiaza izotrop, calculati:

'a) Care este energia prirnita In fiecare secunda de unitatea de suprafatadispusa normal pe directia de emisie a radiatiei, la distanta D de centrul Soarelui (Drs, rs fiind raza Soarelui) stiind d. diametrul aparent (unghiuI sub care se vedeSoarele de pe aceasta suprafata) este f 3 = 5-10-4 rad. Se da (J = 5,67-1O-8W /m 2-K4_

b) Presupunand casuprafata de la punetuJ a) eorespunde unui punet de peplaneta Uranus (eu raza ru), asimilata de asemenea eu un eorp negru, calculatitemperatura medie de echilibru a planetei Uranus Tis.

Rezolvare:a) ,,

Fluxul (puterea radianta) emis de Soare este = ctr 4nrs2 (problema L)-Acesta este emis uniform intr-un unghi solid 4n ~i este primit de 0 sfera de raza Dcare inconjoara Soarele. Fluxul incident pe unitatea de arie a aeestei sfere va fi.:

b) Planeta Uranus radiaza si ea ea un corp negro eu temperatura Tu, astfelincat Ru = (j'T~ , iar fluxul emis de ea este ~e) = a- T~ .4mJ .

Planeta primeste de la Soare fluxul i:) = l .m~ (am eonsiderat arianormala, a cercului mare).

La echilibru 0 " } = 0 e) , adica crT~4nrJ = 1 . st -rJ sau 4oT~ :;:074 ~ 2 , de

19

8/7/2019 S25C-411032811000

20/40

( 2 J I 1 4 J 7 3unde t;=T f! _ =T-=3000.j510-2 ;Tu=67K.16 23. Giisiti formula Planck de distributie spectral a a energiei la scara

lungirnilor de unda.Rezolvare:Din relat ia W,l. dA = w wdO ) a ve m W,l. (A,T) = WW I ~ ~ I

c a = 2 n v = 2 1 l ! : _ , deci Id w l = 2 1 l . . ! : . . . . . . . lnlocuind in (1.32) rezulta:. A dA A ?8nhc 1

W A (A, T) = 5 ( )A hcexp -- -1AkT4. Aratati ca formulele semiempirice Wien ~i Rayleigh - Jeans sunt cazuri

particulare ale formulei Planck l'n domenii spectrale diferite si pentru temperaturidiferite. Evaluati aceste domenii spectrale ~i temperaturile la care formuleleserniempirice pot fi folosite.(k = 1,3S10-23J IK; n = 1 ,05 -1O-34Js)_

Rezolvare:Formula Wien a fost verificata experimental numai la frecvente mari ale

radiatiei sau la temper aturi scazute. In aceste domenii n o r n: exp( ~~ > 1, decila nurnitorul forrnulei Planck se poate neglija unitatea. Obtinern:

() Ii 3 ( n w ]W =--0) e x - -UJ Wien Jr2 c3 P kT

Sa estimam dorneniile spectrale si temperaturile la care se poate folosiformula Wien In locu1 forrnulei Planck: valoarea exponentului lui e pentru careunitatea poate fi neglijata poate fi considerata = = 5 (e5 = = 146).

n ( j J ~ 5; w ~ 5k; w ~ 6,57 .1011K"ls-I.kT T 1 i T

20

8/7/2019 S25C-411032811000

21/40

Daca T : = ; 3000K (sub temperatura de topire a unor metale greu fuzibile),w?:210155-1; A : = ; 900 nm, adica domeniile ultraviolet, vizibil 1;>1chiar infrarosuapropriat.

Formula Rayleigh-Jeans a fost verificata experimental nurnai la frecventemici ale radiatiei sau la temperaturi inalte: tuc kT, adica nw 1; dezvoltand inkTserie exponentiala de la numitorul formulei Planck 9i retinand dear prirnii doitenneni

(h eu) lieuexp kT ' = = 1+ kTavem:

tzeu} kT 1 ,( W , J R - J =-2-3 '-=-2~3 eu~kT7I c: lieu 7I cPentru estimarea domeniilor spectrale si de temperatura la care putem folosi

formula Rayleigh-Jeans in locul fonnulei Planck, observam c a trebuie sa punemconditia X2

8/7/2019 S25C-411032811000

22/40

revine, folosind (1.33). la a minirniza numitorul acestei expresii:

de unde obtinern:

N ~ d he, . d . deviotan x =--, ecuatia e mal sus evme:A ,,;kT '

Aceasta este 0 ecuatie transcendenta, a carei singura solutie reala este Xo = 4,965.Se obtine: AmT = ~ = b = 0,289 1O-2mK., . k x o6. Folosind formula Planck (1.32) gasiti legea Stefan-Boltzmann.Rezolvare:

~ ~ h 3 dw=fw d w = f _ ! ! ! _ _ . O JIiJ Jt2C3 ( h O J )o 0 exp kT -1

tu n kT kT _Facem substitutia x =-,de unde m=-x,dm=-dx, astfel ca:'kT n n

Calculam integrala:

1 = ( 1 _ e~x ) - 1 se dezvolta in serie binorniala dupa relatia:I-x '-e( )a a.y a(a-l)y2 -x1+ y ;;0; 1+- + +,....., ell y =:; -e , a = -1- It 2t

Se obtine:

22

8/7/2019 S25C-411032811000

23/40

1 -~ _ _ = - 1+ e-x + e - 2x + e-3 x + . _ .. =~ e-nxl-e-x L.. decin=O= -I = 2 :J x 3e-rutdx = - 2)nn~l 0 n=I

Notand nx = t,n ~ 1,2,3 ...., x :::tin, dx = dt deci obtinernnI 1 ~ f 3 -ldn =4t e t.

n aTinand seama de definitia functiei T'(z) si de valoarea ei:-r(z)= f e - I t;:~ldt=(z-l)!

osi observand di in In , Z =4:

I _ r(4) _ 31 _ 6n --4---4 --4n n n- 1 ee 1 7(4 7(41 = 6 L - 4 ; darL - 4 =-,deci 1::::-;n=I n n~} n 90 15

7. Considerand Soarele ca un corp negru cu temperatura T: : : 6000K careradiaza izotrop si stiind ca diametruI aparent al Soarelui si eel al Lunii vazute de pePamant sunt egale (~ :::0,01 rad) calculati: a) iluminarea suprafetei lunare cand este"luna plina": b) stiind ca luna radiaza izotrop aproximativ 10% din lumina primita deIa Soare, calculati stralucirea sa $i apoi iluminarea solului terestru expus normalradiatiilor de la "luna plina".

Rezolvare:a) Folosind rezultateIe problernei 2). fluxul emis de Soare, = or 4 4m} va

@da pe suprafata Lunii fluxul (h =-'_'JlrZ, unde d este distanta Scare-Luna.4 J Z d 2~ crT44rcr2 4 ( r ) 2 4 ~ 2 WIlurninarea Lunii este E L ::::_ _ _ _ b _ . : : : : 2 S = crT .s. = crT -:::: 1837 ~2 lrcr~ 4rcd . d 4 illL

reprezinta fluxul primit de unitatea de suprafata normal a pe directia de propagare.

23

8/7/2019 S25C-411032811000

24/40

2b) Stralucirea B = d G > e m i s sau B = 6 . . C P em i s , unde nrjJ . =0,1'" /).Q=2ffdQdS J 6. .QD.S n erm s rc.iar DSn =m{ Se obtine B = 29,25 ; Vm srad

Fluxul reflectat de Luna ~= 0,1E L w ; , este distribuit intr-o emisfera,care, la nivelul Pamantului are raza dL-P (distanta Luna-Pamant), astfel ca unitateadin suprafata acestei emisfere (adica unitatea de arie de pe Parnant) prirneste inunitatea de timp energia ~ ,care este, prin definitie, tocmai iIurninarea soIului2trd L-Pterestru de catre Luna:

s; L= O,IELnr = 1. EL . ( . . . . . ! L J 2 = 0'1. EL . f 3 2 = 2296.10-5 W ::::2 3 roW- 2' , '2-' 22nth_p 2 dL_P 24m mObservatie: in timpul .Junii pline", iluminarea Pamantului de catre razele

solare directe si iluminarea Lunii de catre razele solare directe sunt egaIe. Se observaca iluminarea solului terestru de catre Luna este de 8.105 on rnai mica decat cead ~S I' [ E p-L E p_L 0,1,82 1 Jatorata oare U1 ---=--= =~~-5 .EL e, 8 810

8. Un cuptor are a deschidere circulara eu diametrul d, ::::3 em. El poate ficonsiderat ca un corp negro. Temperatura sa este T = l300K mentinuta constanta.Radiatia emisa prin deschidere este primita de un disc eu diametrul d2:::: 3 em plasatla distanta d :::: 1m de cuptor. Discul este inconjurat de aerul atmosferic cutemperatura To =: 300K si are fata indreptata spre cuptor perfect absorbanta iar ceaopusa, perfect reflectanta,

Calculati: a) emitanta si stralucirea deschiderii;b) iluminarea energetics a discului;c) temperatura de echilibru a discului. Se d a cr ::::5,67.10-8

Rezolvare:a) Ernitanta energetic a e data de legea Stefan-Boltzmann:

R=aT4 =162 k~.mStralucirea B se calculeaza folosind (I. 13)

24

8/7/2019 S25C-411032811000

25/40

R kWR = nB, de unde B =- = 51,6=r=::n rn~sradb) Fluxul emis de catre deschiderea cuptorului in exterior < p se ami din

relatia (LS)

Suprafata discului receptor face parte (aproxirnativ) din suprafata une iemisfere eu raza d, astfel ca fluxul 'receptat de disc de la euptor va fi:

< P re d 2(h=--'~,2nd 2 4Iluminarea energetics a discului

ne l2crT4._1_ 2_ ~ 2 _ < p _ 4 __c rT 4 ( _ d 1 ) - -19 ~Edisc - -~~ - --2 -----'-- ,Sdisc 2nd 2nd 2 8 d m'c) Discul primeste energie de la cuptor si de Ia atmosfera ambianta (doar pe

partea de catre cuptor).

$ abs = ( P z + C P o = $2 + crTo4 S disc = ( 4 > + crT 04J S discSemisfer i iE1 radiaza ca un corp negru cu Te (pe partea de catre cuptor);

4< I> emis = crT d SdiscL hilib n. n. di ~ T4 -r4 $ T4 -r4 Edisca ec 1 1 ru 't'abs = 't' emis' a lea d = 10 + sau d = 10+--2nd .2c r (5

de unde

9, Calculati temperatura de pe suprafata Soarelui presupunand c aaeesta este un corp negro sferic eu raza rs = = 7.108m. Intensitatea radiatieisolare Ia suprafata Pamantului este 1,4,103 W/m2 iar distanta Soare-Pamanteste d= 1,5,10Ilm.

~$ r': 4nrfIndicatie: Intensitatea 1a suprafata Pamantului I =~ = - - - ~f ' . .S 4nd2de unde T = 5800K.

25

8/7/2019 S25C-411032811000

26/40

10. Se considera urmatoarele trei stele:1) 0 stea rosie (ca steaua Bernard) avand 0 temperatura de suprafata

de 3000K.2) 0 stea galbena (cum este Soarele) avand 0 temperatura de suprafata

de 6000K.3) 0 stea albastra (cum este Vega) avand 0 temperatura de suprafata

de lO OOO K.Presupunand ca aeeste stele radiaza asemenea unor corpuri negre, sa

se obtina pentru fiecare dintre ele: a) puterea totals de emisie; b) lungimea deunda A m la care emitanta lor spectrala este maxima.

Indicatie: Se foloseste (1 . I8.b). Se obtin rezultatele:RI = 4,6MW 1m2; R 2 =73,5 MW 1m2; R 3 = 567 MW 1m2

Din (l.20) \nl = 966nm; A m 2 = 483nm; Am3= 289,8nm.11. Consideram radiatia eorpului negru la temperatura absolute T. Sa se

arate eli numarul de fotoni din unitatea de volum este N = 2,029107T3 fotoni/rrr'. (Se2illintegrala [_X_dx = 2,4041).o eX-1

Rezolvare: Numarul de fotoni eu pulsatia cuprinsa intre 0) si co+ dw estedat de relatia:

2dN = ww(w,T) dw= _!E__. 1 dwtu n2 c3 ( n O ) ) 1exp - -kT

care se integreaza pentru toate pulsatiile:f" " 0)2 1 .. tu .N = J ! ---z3' ( ) dw ; eu substitutia x = kT ' N devineOne hs exp - -1kTk3 3 2T r"" 'xdx 7 3 . 3N = 2 3 3 J , - - = = 2,02910 T fotom/m.

1t c n 0 e" -112. Arata? ca valoarea medie per foton a radiatiei corpului negru la

temperatura Teste < c . > = 3,73 .1O-23T(J).Indicatie: se foloseste (1.18.a) si rezultatul problernei 11.

26

8/7/2019 S25C-411032811000

27/40

1.3 Fenomene in care se manifesta proprietatile corpusculareale radiatiei electromagnetice

1.3.1 Efectul fotoelectric externFenomenul de emisie de electroni de catre 0 suprafata metalica iradiata eulumina (din vizibil sau ultraviolet) a fast pus In evidenta In 1887 de catre HeinrichHertz, fiind denumit efect fotoelectric extern.

Legile efectului fotoelectric extern au fost deduse experimental, utilizand unmontaj ca eel reprezentat schematic in fig. 1.5.

f-----{vi--~

?f--J...._--~ )1 . ABFig. 1.5In tubul vidat T, catodul K poate fi iluminat cu radiatii de frecvente diferite

si de intensitati luminoase diferite. Montajul electric pennite variatia tensiunii dintrecatodul K si anodul A, existand si posibilitatea inversarii sensului campului electricdintre cei do! electrozi.

Microampermetrul flA indica intensitatea curentului fotoelectric rezultat Incircuit in urma efectului fotoelectric.

Se constata urmatoarele:a) Mentinand constanta frecventa radiatiilor (v = ct) si Inregistrand

dependenta curentului fotoelectric de tensiunea U 'intre catod ~i anod pentru fluxuriluminoase diferite se obtin dependente ca cele din fig. 1.6. Intensitatea curentului

27

8/7/2019 S25C-411032811000

28/40

fotoelectric atinge 0 valoare de saturatie Is care este direct proportional a eli fluxulluminos incident (Is - < 1

II s .2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .~ - - - - - - . < 1 > 2 > < 1 > 1

uFig. 1.6Se observa ca, indiferent de valoarea fluxului lurninos, la aceeasi frecventa a

radiatiei incidente, tensiunea inversa U; (de franare) la care curentul fotoelectric seanuleaza, este aceeasi.

b. Mentinand fluxulluminos constant si mregistrand eurbele 1=flU) pentrufrecvente diferite ale radiatiei incidente, se obtin dependentele din fig. 1.7.

------lI,>u,

1)

~-----u,

Fig. 1.7 Fig.I.8

In fig. 1.8. este redata dependenta tensiunii de stopare I Vol de frecventaradiatiei. Se constata ca panta dreptei I U o l = f(v) nu depinde nici de conditiileexperimentale, nici de materialul din care e alcatuit fotocatodul K.

28

8/7/2019 S25C-411032811000

29/40

2In tr-adevar, dad. tinem seama cil m v = = e l U o l iarW ::::hva, ecuatia lui2Einstein (1.39) devine:

h hI U 0 1 =:-v--voe e (1.41)dec! in figura L 8, panta drep te i I V 0 1 = J (v ) este chiar raportul ! ! . . . , din care se poateedetermina constanta h.

Experienta corespunzatoare a fost realizata pentru prima data de Millikan(1916). Atat in ipoteza lui Planck c a t si in ipoteza lui Einstein apare raportul ~, unde. vE este energia transferata de 0 cuanta de lumina unui electron iar v - frecventalurninii. Acest raport, independent de intensitatea luminii, de frecventa ei si dematerialul in care se afla electronii, are dimensiunea fizica a unei actiuni (energie xtirnp). Se pune problema dad acest raport constant este 0 noua constanta universalssau se poate construi si in fizica clasica din cornbinatii de constante universale.

2o combinatie de constante universale cu dimensiuni de actiune ar fi !__coc

care are insa 0 valoare de aproape 103 ori mai mica decat valoarea experimentaladeterminate de Millikan. Bazandu-ne pe argumente dirnensionale nu putem propuneun mecanism clasic care s a conduca la ecuatia ~ = h, astfel ca relatia E ::::;hv estevcornplet strain a fizicii clasice.

1.3.2 EJectul ComptonI n jurul anului 1900 au fost realizate mai multe experiente de difuzie a

raze lor X (Rontgen - 1895) de catre substan]e. In primele experiente efectuate deBarkla (1909) s-a eonstatat ca radiatia X este difuzata sub unghiuri diferite fliriischimbarea lungimii de unda - fenomen numit imprastierea Thomson. Din eauzaimposibilitatii rnasurarii - 1a aeea vrerne - a lungimii de unda a radiatiilor X,rezultatele experientelor lui Barkla nu au fost spectaculoase. in urma descoperirilorlui Max von Laue si apoi ale lui Bragg, legate de difractia razelor X pe eristale, s-apus la punet speetrometrul e ll cristal care perrnite determinarea lungimilor de unda in

31I)

8/7/2019 S25C-411032811000

30/40

spectrul radiatiei X 9i s-au reluat experientele de imprastiere a acestora pe diferitesubstante.

I n 1923 Compton a efectuat un experiment de difuzie a razelor X culungime de unda bine precizata A o pe un bloc difuzor de grafit, analizand radiatiadifuzata cu ajutorul unui spectrograf de raze X cu cristal. Schema instalatiei folositede Compton este redata In fig. 19.

/\/\//'/\/F0-:

c

EIIIFig. 1 .9

Dupa trecerea radiatiei prin blocul difuzor B ea este colimata printr-unsistem de fante de plumb F, dupa care intra in spectrograful cu cristal C fiind preluatade 0 camera de ionizare D 91 un electrometru E. Cantitatea de electricitate dinelectrometru este 0 masura a intensitatii fasciculului de raze X difuzate dupa 0directie ce face unghiul e eu directia fasciculului incident.

Distributia pe lungimi de unda a radiatiilor X difuzate la diferite unghiuri e ,asa cum a fost obtinuta de Compton, este prezentata In fig. LID.

8=450/ " 1 .f'J:;! : . \_)" .~

8=90j\llFig. 1.10

Se observa ca in fasciculul difuzat exista doua componente: una eu Ao,numita components Thomson cu intensitatea h si una eu lungimea de unda maimare, J . . . , numita components Compton, avand intensitatea Ie.

32

8/7/2019 S25C-411032811000

31/40

(1.50)Fractiunea din energia fotonului incident cedata electronului va fi:

2/\ sin 2 ( f ! _ 2 )f = - _ E _ c = _ b . _ V = - L i A = ___:.._.c:__hvo V O A D + L i A . 2 ( 8 )A o + 2Asin " 2 (1.51 )

Se observa ca pentru raze X nu prea "dure" 0 " 0 mare) electronuI capata 0fractiune destul de mica din energia totala a fotonului. Acest lucru perrniteidentificarea experimentala a electronilor de recul din efectul Compton, fata defotoelectronii aparuti prin absorbtia totala a fotonilor. Electronii de recul au fostobservati de catre Bothe si Wilson (1923); ei apar simultan cu fotonii imprastiati(Bothe, Geiger - 1925).

Din relatia (1.48) se vede di deplasarea Compton depinde numai de unghiulde difuzie, nu si de lungimea de unda A o a fotonilor incidenti,

Experientele de difuzie Compton se realizeaza cu raze X de duritate mijlocie0 . ' 0 " '" 0,5A); in acest caz Mmax reprezinta aproximativ 10% din A o . Dad s-ar folosiradiatii din vizibil ( 1 .. 0 ; : : ; 4000A), la acelasi unghi s-ar obtine aceeasi deplasare daraceasta ar reprezenta doar 0,001 % din A o , componenta Compton fiind foarte greu dedecelat experimental fata de cea Thomson.

Teoria expusa nu explica de ce in radiatia difuzata, pe langa linia deplasata(Compton) se observe si componenta nedeplasata Thomson.

Explicatia este urmatoarea: in studiul cantitativ a] difuziei Compton s-apresupus interactia fotonului cu un electron .Jiber". Pentru atomii usori ~i pentruelectronii periferici aceasta cali tate este justificata, dat fiind raportul mic intreenergia de legatura a acestor electroni si energia fotonilor X incidenti.

Pentru elementele grele si pentru electronii din paturile interioare electroniinu mai pot fi considerati liberi; fotonul va schimba energia cu intregul atom sidatorita masei mari a acestuia, ciocnirea foton-atorn nu duce Ia modificareaimpuIsului fotonului, deci lungimea de unda nu se modifica.

Daca radiatiile incidente sunt din vizibil (/"0 foarte mare), energia lor ecornparabila eu cea de legatura, electronii nu mai pot fi considerati liberi,componenta Thomson predorninand.

35

8/7/2019 S25C-411032811000

32/40

Pentru radiatii y foarte dure ( 1 . . 0 extrern de mic) se observa numai Iiniadeplasata, deoarece energia acestor fotoni este mult mai mare decat cea de Iegatura.In plus, pentru aceste radiatii, M m a x e de ordinul de rnarime a1lungimii de unda 1 . .0

Ca 0 conc1uzie 1a cele expuse in 1.2, 1.3.1 $i 1.3.2 putem spune ca interactiafotonului eu un sistern fizic se poate caracteriza prin legile eantitative de conservare aimpulsului si energiei.

Caracterizand sistemul fizic prin valorile (E; ~.) si (Ef, P f) (inainte $i dupainteractia eu fotonul) iar fotonul pnn valorile(Ef =hvf,Pj =nkj)acestelegi sescriu

(L52)(1.53)

Se observa c a fenornenele studiate sunt cazun particulare de interactiefoton-sistern fizic.

a) efectul fotoelectrie - absorbtia complete a fotonului: Vi 7j: 0;v! ::;:0 .b) emisia de radiatie termica: v j ::;:0;V f 7j: 0 .c) efeetul Compton - difuzia fotonilor: Vi ':f; 0;v f *0 .Dad energia cinetica a sistemului este foarte mare comparativ cu energia

lui de repaus (moc2) se impune scrierea relativists a legilor de conservare. Acest Iueruse intarnpla Ia energii foarte man ale fotonilor incidenti.

Observatii:Este de remarcat ca daca sistemul este un electron liber in vid si este vorba

de absorbtia cornpleta a fotonului (a), legile de conservare nu se pot satisfacesimultan.

Intr-adevar, pentru eIectronuI Iiber in vid E, ::::0, p , = 0, deci cum v r : : : : 2(absorbtia completa) (1.52) devine hvo ::= m; iar (1.53) duce la h veo= mv din care s-ar obtine v = 2c - 0 relatie imposibila. Deci interactia electron - foton la efectulfotoelectric nu se poate face pe electronii liberi; electronii trebuie sa fie inglobatiintr-un alt sistern (retea cristalina, suprafata metalica, etc) care s a preia 0 parte dinimpulsul electronului.

Deci un electron liber in vid nu poate absorbi fotoni.

36

8/7/2019 S25C-411032811000

33/40

Sa aratam ca un electron liber In vid nici nu poate emite fotoni. Fie unelectron liber cu viteza v in vid si un sistem de referinta inertial legat de aces!electron (fata de care electronul este In repaus). Energia initiala a electronului inaeest sistem este E, =moc2 (nu exists foton).

Dad aeest electron ar emite un foton eu frecventa v electronul ar capata unrecul cu viteza u fata de referentialul ales, astfel incat In acest referential energia ar fime: iar ecuatia (1.52) s-ar scrie

din care se vede ca m < m.; lucru absurd pentru ca din teoria relativitatii restranse se "stie ca masa unui corp creste cu cresterea vitezei,

In conc1uzie, un electron liber in vid nu poate emite si nu poate absorbi[otoni.

1.3.3 Efeetul Cerenkov [12]Vom arata ca, spre deosebire de comportarea electronului liber in vid, un

electron care se misca cu viteza constants intr-un rnediu cu indicele de refractie npoate emite fotoni.

Consideram electronul cu viteza v fata de un sistem de referinta fix; el va

Presupunem ca el emite un foton cu frecventa v, ell energia E = hv sihv hvnimpulsul p = - - = - - ; viteza electronului devine u, masav Joron C

energia electronului E2 =m2c2 iar impulsul sau P2 =m2U.Schematic

~.JJ.~ ..... "-"L8hUnc

37

8/7/2019 S25C-411032811000

34/40

In sisternul de referinta fix eonsiderat, Iegile de conservare (I.52) si (1.53) sevor sene

(a)hvnmJv =r- cosrp+ --case (b)c (I.54)

O . hvn. e= m2u SInq > - --SInC . (c)Prin eliminarea lui c p din ecuatiile CI.54)(b) si (c) se obtine:

(I.55)din care se seade expresia (1.54) (a) ridicata la patrat.

Se obtine:

Termenul din membrul stang este chiar m~c4 , identic cu prirnul termen dinmembrul drept, deci se obtine relatia:

2m]c2 +hv{n2 -1) (1.57)cas8sa u

adica(1.58)

Dar cosf : s ; 1, care are loc numai daca:1. . . ! ! _ < 1, sau v > ! . ! . . . , adica viteza electronilor sa fie mai mare decat vitezavn n

luminii in rnediul respectiv (;)2. E E1 - adica electronii trebuie s a fie putemic accelerati.In conditiile 1) si 2), electronii liberi accelerati intr-un mediu eu indicele de .

refractie n vor emite radiatii (fotoni)., ,

3 8

8/7/2019 S25C-411032811000

35/40

Fenomenul descris a fost descoperit de fizicianul rus Cerenkov si poartanumele de efect Cerenkov. Fenomenul are numeroase aplicatii printre care ~jconstructia unui detector de particule (detector Cerenkov).

1.3.4 Exercitii ~iprobleme1.Lucrul de extractie pentru litiu este de 2,3eV.a) Sa se gaseasca frecventa de prag Vo si Jungimea de unda de prag 1 . . 0

corespunzatoare.b) Dad radiatia ultravioieta eu A = 300nm cade pe 0 suprafata de Li, sa se

calculeze energia cinetica maxima a fotoeleetronilor si valoarea tensiunii de stopareI v a i

Rezolvare:a) Conform (1.40) W=hv.; de undev = W = 2,3.1,6.10-19 =5,55.1014Hz.o h 6,63.10-34c 3.108 -6A o = - = .14 = 0,5410 m = = 540 nm (verde).Vo 5,5510

b) Conform (J.39)E =hv - W = h":' - W = = 2,95.10-19 J = 1,84eV.cmax A

Tensiunea de stop are I V a i = = 1,84V ( e l V a I = E c m a x ).2. Un fascicul omogen de lumina eu A = 300 nm si intensitatea 5.10.2 W/m2

cade pe 0 suprafata de sodiu. Lucrul de extractie pentru sodiu este W = 2,3 eV. Sa secalculeze

a) numarul mediu de fotoni pe m2 si pe secunda care Iovesc suprafata;b) numarul mediu de fotoeJectroni emisi de 1m2 i n tr -o secunda;c) energia cinetica maxima a fotoelectronilor.Rezolvare:a) Energia unu i foton e = hv = = h ~ = 6,63.10-19 J.

39

8/7/2019 S25C-411032811000

36/40

. aw E fuMIntensitatea I ; : : : : = , de unde < N >= I , eu / : ; , . t : : : ; : Is, l1S :::;:at . 6.S at . a s E

< N >= 7,5 .1016 fotoni.b) La efectul fotoeleetrie fieeare foton este absorbit de un fotoelectron deci

nurnarul mediu de fotoelectroni emisi de 1m2 intr-o secunda este tot = 7,5.1016fotoelectroni.

c) Ecmax = e - W = 2,95 .10-19 J = l,84eV.

3. Un faseicul de radiatii X cu A o =G.Inrn este difuzat de un bloc de carbon.,a) Care este energia fotonilor incidenti?b) Care este lungimea de unda a radiatiei difuzata Ia 8 = 90 fata de directia

faseieulului incident?c) Care este energia cinetica a electronului de recul ~I ee unghi va face

directia lui de miscare eu directia fasciculului incident?, 'i ,Rezolvare:a) EO = hc = 19,86,10-16 J :::12,4keV

A Dh . 2 ( e ) - 3b) Conform (1.48) M= 2-sm - = 2,4310 nm.moc 2

A = A o +M = O,l024nm.c) Energia cinetica a electronului de reeuI esteE; = me2 - moc2 = hvo - hv = hC(_I__ _ ! _ J = 4,73 .10-17 J = 295eV.A o A

. E 295Ea reprezinta fractmneaj = cs: = 3 = 2,3% din energia fotonuluiEo 12,410incident. eetg-

tg qi = ~ = 0,976; c p :0::43.1+-A o

40

8/7/2019 S25C-411032811000

37/40

4. Sa se arate di energia radiatiei imprastiate la 8 = 900 prin efect Comptonn u poate depasi energia de repaus a e1ectronului mo(_).

Rezolvare:E . diati dif he he henergla fa label 1 uzate este E = hv = - = = ( ), A A o+ N .. A .o + A l-co sHLa e = 90 E = he care este maxima cand A o e minima., A o + ALa limita A D ~O, C m a x = he = moc2 Pentru A D * - 0, < moc 2A .5. Consideram Imprastierea Compton a unui foton cu Iungimea de unda A o

pe un.electron liber care se deplaseaza pe aceeasi directie si 11).acelasi sens cu fotonulincident, avand un impuls P.

a) Sa se arate cii deplasarea Compton devine:M = 2A.o (P o + p ) c si n 2 ( ~ )E-cP 2

unde Po = . . . . ! ! _ este impulsul fotonului incident iar E=~m5e4 +p2e2 este energiaA . ototala initials a electronului.

b) Care este valoarea maxima a impuIsului electronului dupa ciocnire? Sa secompare rezultatele cu cazuI P = O.

Rezolvare:

hA P '

~/I n figura este reprezentata compunerea vectoriala a impulsurilor $ 1

conservarea impulsului total: Po + P - impulsul initial al sistemului foton-electron,p = : 1 irnpulsuI fotonului difuzat, P' - impuIsuI electronului de recul.A

41

8/7/2019 S25C-411032811000

38/40

Aplicand teorema lui Pitagora generalizata in triunghiul ABC:BC2 = AB2 +AC2 - 2AB ACcos 8, avem

Notand E' energia electronului de recul avern E'2 = p'2e2 +m~e4, de unde

h e ,h eConservareaenergiei: E+-= E +_. (b) ne conduce la1.0 AEn = (E + !! !_ - he)A care se inlocuieste in expresia lui r",acesta se indentifica eu. A o Aeel dat de expresia (a) si se obtine dupa efectuarea unor calcule:

2h2 h h A -A o2PoP+--(1-cos8)-2-Pcos8::c:2E- ,sau, tinand cont caA o A A e A o AhPO=~ ' o

( p A o + hXl-cos 8)= LU ( E - p ) , de unde M = 2Ao c ( p o + p ) sin2 ( ~ ) .e E- Pe 2Pentru P = 0, E = moc2 se obtine (1.48).

E'2b) Din relatia p' = -;z-m;e4 se observa c a P' este maxim cand E' este. D lati (b)' he he . A 1 maxim. m re atia E = E +- - , care este maxim pentru till. = maxim.1.0 1.0 +M

Pentru Ao si P date, M este maxim pentru S = 180, cand sin 2 ( i } = 1.Relatia (a) devine

h; = - - + Po + PA . maxParticularizand pentru P = 0 se obti ne p' = . . ! : . . _ +!!:_, relatie care se poate .m A A 'm 0

deduce usor din (1.46) cand 8 = 180.

42

8/7/2019 S25C-411032811000

39/40

Daca electronul s-ar misca in sens opus fotonului:

6. Un foton eu energia Eo = 2eV este difuzat 1a unghi 8 = rt de catre unelectron eu energia cinetica Ec = lOGeV, care se deplaseaza initial in sens opusfotonului. Care este energia fotonilor difuzati? Se illIlloC2 = 0,512MeV.

Rezolvare:Folosind rezultatuI problemei 5, pentru = avemM=:: 2;t~ (Po - p ) c : : :2 A o p oc - PcE+cP E+cP

h hePo =~; Eo =~= Pocoo 0,..,2..-.22 ~4 2 6ElectronuI are t: :::r c + m~c ; dar moc = = 0,512MeV = 0,51210 eV, care

Ee neglijabila fata de E. EleetronuI este in acest caz ultrarelativist, deci P "=_c

D .. 1. 1. A 1. he. . f "1 difuzati he Se aici /I. = /1.0 + f.JJ\. -;::;Ii iar energia atom or 1UZat1 E, = - : ; : = E cz E; . eobserva ca E1 Eo , deei frecventa fotonului creste, lungimea de unda scade.Fenomenul se numeste efect Compton invers si se petrece numai la difuzia luminiipe electronii ultrarelativisti,

Un calcul mai exact se face in felul urmator:

Se dezvolta radiealul in serie si se retin primii trei termeni:() a(a -1)x 21+ x a = 1+ ax +---'------'--

2!

43

8/7/2019 S25C-411032811000

40/40

2 4~ mocE -E + rn C+--o c 0 2E c2 42 mocE +m c ---c 4E c

Lungimea de unda finals:2 4E - E - m c2 + rn a co r 0 2E1+ c

2 42 mocE +m c ---c 0 4r

2 4E +_m_o_c~o 4E::;:20 --'c'--_2 4E + m c2 __m_o_c_

c 4c

2+6,5

:;:;2(1010 +0,512 .106 )eV8,5E1 = 0,235 E.Deci de fapt fotonul preia numai un sfert din energia electronului, energia

lui creste iar lungirnea de unda scade.