rezolvare completa varianta 1 subiect 3 m1 2009.pdf
DESCRIPTION
mateTRANSCRIPT
Rezolvari complete Variante BAC 2009 - 1 - profil M 1
Rezolvare Varianta 1 - subiectul 3
Rezolvare subiectul 3 - Varianta 1 profil M1 BAC 2009 matematica
(1) Se considera numarul real si functia , ( ) .
a). Sa se determine asimptota oblica la graficul functiei catre . Rezolvare :
■ Observatii :
● recapitulare - notiunea de asimptota :
♦ vom intelege prin asimptota o dreapta ( orizontala , oblica sau verticala ) fata de care graficul
functiei se apropie oricat de mult
♦ se pune problema existentei unei asimptote la graficul unei functii , are sens doar pentru
functii avand ramuri spre infinit , adica functii al caror grafic nu este continut intr-un
dreptunghi
● recapitulare - asimptota oblica :
- fie functia unde este nemarginit la capete sau cel putin la unul dintre ele
- dreapta de ecuatie :
este asimptota oblica catre la
♦ exista si este finita limita :
( )
, ,
♦ exista si este finita limita :
[ ( ) ] ,
- daca conditiile de mai sus nu sunt indeplinite atunci spunem ca functia nu admite
asimptota oblica catre la
■ In cazul nostru :
● tinand cont de observatiile de mai sus , asimptota oblica la graficul functiei catre , este
dreapta de ecuatie :
● calculam :
(1)
( )
(
)
(
)
cu proprietatea {
deoarece {
(2)
[ ( ) ]
[( ) ( ) ]
[ ]
cu proprietatea , finit
Rezolvari complete Variante BAC 2009 - 2 - profil M 1
Rezolvare Varianta 1 - subiectul 3
Rezolvare subiectul 3 - Varianta 1 profil M1 BAC 2009 matematica
● concluzie - tinand cont de cele de mai sus avem :
{
este ecuatia asimptotei oblice la graficul functiei catre
■ Solutie :
b). Sa se determine punctele de extrem local ale functiei .
Rezolvare :
■ Observatii :
● Teorema lui Fermat :
- fie functia , unde un interval iar un punct de extrem
- daca functia este derivabila in atunci : ( )
● Teorema lui Fermat afirma ca :
- punctele de extrem local ale unei functii derivabile se regasesc printre punctele critice
- se numesc puncte critice solutiile ecuatiei ( )
● Stabilim daca un punct critic este punct de extrem pentru o f-tie derivabila :
(1) cu ajutorul tabelului de monotonie :
♦ daca ( ) ( ) ( ) unde este o vecinatate a lui
punctul este punct de minim local
♦ daca ( ) ( ) ( ) unde este o vecinatate a lui
punctul este punct de maxim local
(2) daca functia este de doua ori derivabila pe si :
♦ daca ( ) atunci este punct de minim local pentru
♦ daca ( ) atunci este punct de maxim local pentru
♦ daca ( ) atunci nu este punct de extrem local pentru
■ In cazul nostru :
● avem functia , ( ) care este o functie derivabila ( ) ________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
● determinam punctele critice ale functiei :
♦ calculam prima derivata , respectiv ( ) :
( ) ( ) ( ) ( )
♦ determinam solutiile ecuatiei ( ) :
{ ( )
( ) unde logaritmand obtinem
solutie
Rezolvari complete Variante BAC 2009 - 3 - profil M 1
Rezolvare Varianta 1 - subiectul 3
Rezolvare subiectul 3 - Varianta 1 profil M1 BAC 2009 matematica
♦ din cele de mai sus avem : punct critic ________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
Studiem daca punctul critic este punct de extrem local si natura lui :
● calculam limite la capetele intervalului functiei , ( ) :
♦
( )
( )
♦
( )
(
)
( )
■ Observatie - avem in vedere ca :
pentru
● calculam valoarea functiei in punctul critic :
{ ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) unde stim ca , _____________________________________________________________________________________________________________________________________________
● construim tabelul de variatie al functiei folosindu-ne de cele determinate anterior :
( )
( ) ( )
● din tabelul de variatie al functiei , de mai sus , concluzionam :
(1) pentru ( ] avem ( ) functia este monoton crescatoare
- acest lucru este demonstrat si de linia a doua a tabelului de variatie care ne indica ca
valorile functiei descresc de la la ( ) ( ) ( ]
( ) [ ( ) )
(2) pentru [ ) avem ( ) functia este monoton crescatoare
- acest lucru este demonstrat si de linia a doua a tabelului de variatie care ne indica ca
valorile functiei cresc de la ( ) la ( ) [ )
( ) [ ( ) )
● concluzie - tinand cont de tabelul de variatie al functiei si concluziile trase spunem ca :
punctul critic este punct de extrem si tinand cont de monotonia functiei
punct de minim
■ Solutie :
c). Sa se determine ( ) stiind ca ( ) , ( ) . Rezolvare :
■ In cazul nostru :
● din enunt avem ( ) ( ) si observand ca ( ) atunci avem :
Rezolvari complete Variante BAC 2009 - 4 - profil M 1
Rezolvare Varianta 1 - subiectul 3
Rezolvare subiectul 3 - Varianta 1 profil M1 BAC 2009 matematica
( ) ( ) adevarat ( ) punct de minim global
( ) conform Teoremei lui Fermat , punct de extrem
● stim din cele anterioare , respectiv :
(1) din punctul (b) : punct de extrem , de minim
(2) din : ( ) ( ) ( ) ( ) punct de minim
din (1) si (2) avem : solutie
■ Solutie :
(2) Se considera functia ( ) , ( )
√ .
a). Sa se arate ca functia ( ) , ( ) √ ( ) este o primitiva a f-tiei . Rezolvare :
■ Observatii :
● o functie admite primitive pe intervalul daca exista o functie :
♦ cu proprietatile :
(1) este derivabila pe intervalul
(2) ( ) ( ) , ( ) .
♦ functia se numeste , este o primitiva a functiei .
♦ multimea tuturor primitivelor functiei este :
∫ ( ) ( )
unde este multimea tuturor functiilor constante ,
● daca sunt doua functiii derivabile pe , atunci :
♦ si produsul lor este o functie derivabila pe ;
♦ derivata produsului este egala cu :
( )
■ In cazul nostru :
● functia este o primitiva a functiei pe ( ) daca si numai daca :
(1) functia este derivabila pe
(2) derivata functiei este egala cu functia : ( ) ( ) .
● functia este o f-ctie derivabila pe ( ) fiind o compunere de functii elementare derivabile
pe ( ) .
● calculam derivata functiei ( ) √ ( ) :
( ) [ √ ( )] ( √ )
( ) √ ( )
Rezolvari complete Variante BAC 2009 - 5 - profil M 1
Rezolvare Varianta 1 - subiectul 3
Rezolvare subiectul 3 - Varianta 1 profil M1 BAC 2009 matematica
( )
√ ( ) √ [( ) ]
√ ( ) √ (
)
( ) √
( )
√
√
( )
√
√ )
√
√
( )
● concluzie :
{ ( )
( )
( ) ( ) adevarat ( ) ( ) functia este o primitiva a
funtiei
■ Observatii - in rezolvarea acestui punct am tinut cont de urmatoarele :
● ( )
● (√ )
√ , ( )
, ;
● ( ) , =constanta .
■ Solutie : ( )
b). Sa se arate ca orice primitiva a functiei este crescatoare pe [ ) . Rezolvare :
■ Observatii :
● daca este functie derivabila pe , atunci avem discutia :
♦ daca ( ) , ( ) , atunci functia este crescatoare pe ;
♦ daca ( ) , ( ) , atunci functia este descrescatoare pe ;
■ In cazul nostru :
● avem : ∫ ( ) ( ) multimea primitivelor functiei , ( ) ( ) ,
si consideram :
o primitiva a functiei pe ( ) atunci ( ) ( ) , ( ) ( )
● tinand cont de observatiile de mai sus spunem ca functia , unde :
( ) ( )
( ) ( ) este crescatoare pe [ )
( ) respectiv daca ( ) ( ) [ )
● determinam semnul functiei :
( )
√
√
√ ( ) ( )
√ adevarat ( ) [ )
● concluzie : { ( ) ( )
( )
√
( ) adevarat ( ) [ )
este crescatoare pe intervalul [ )
Rezolvari complete Variante BAC 2009 - 6 - profil M 1
Rezolvare Varianta 1 - subiectul 3
Rezolvare subiectul 3 - Varianta 1 profil M1 BAC 2009 matematica
c). Sa se calculeze aria suprafetei plane cuprinse intre graficul functiei , axa si
dreptele de ecuatii
si .
Rezolvare :
■ Observatii :
● pentru a calcula aria suprafetei plane determinate de graficul functiei delimitata de axa si
dreptele de ecuatii si , , se utilizeaza formula :
( ) ∫ ( )
sau simplu ∫ ( )
unde purtam discutia :
(1) daca ( ) , ( ) [ ] atunci : ∫ ( )
;
(2) daca ( ) , ( ) [ ] atunci : ∫ ( )
.
- am notat cu subgraficul functiei , suprafata plana determinata de conditiile impuse
● recapitulare :
♦ formula lui Leibniz-Newton - fie [ ] o functie continua , iar [ ] o
primitiva a lui pe [ ] , , atunci :
∫ ( )
( )
( ) ( )
♦ formula integrarii prin parti - daca [ ] sunt doua functii derivabile , cu derivate
continue , atunci :
∫ ( ) ( )
( ) ( )
∫ ( ) ( )
♦ proprietatea de aditivitate la interval - fie [ ] continua si ( ) , atunci :
∫ ( )
∫ ( )
∫ ( )
■ In cazul nostru :
● studiem semnul functiei ( ) , ( )
√ :
( ) solutie { ( ) ( ) ( )
( ) ( ) [ )
● tinand cont ca functia este continua pe ( ) , aria suprafetei plane cuprinse intre graficul
functiei , axa si dreptele de ecuatii
si , este :
∫ ( )
unde tinand cont de semnul functiei , respectiv : { ( ) ( ) [
)
( ) ( ) [ ]
aria ceruta este :
∫ ( )
∫ ( )
∫ ( )
● calculam aria suprafetei plane :
∫ ( )
∫ ( )
∫ ( )
∫
√
∫
√
♦ pentru a ne usura calculul ariei vom calcula separat fiecare integrala :
Rezolvari complete Variante BAC 2009 - 7 - profil M 1
Rezolvare Varianta 1 - subiectul 3
Rezolvare subiectul 3 - Varianta 1 profil M1 BAC 2009 matematica
♦ tinem cont de punctul (a) unde am aratat ca :
( ) √ ( ) este o primitiva a functiei ( ) , ( )
♦ calculam si :
(1) ∫
√
( )
√ ( )
[√ ( ) √
(
)]
[ ( )
√ ( )] (
√ )
√
√
(2) ∫
√
( )
√ ( ) [√ ( ) √ ( )]
[√ ( ) ( )] ( √ ) √
√
♦ din cele de mai sus avem :
{
√
√
(
√ ) √
√ √
√ √ aria suprafetei plane cerute
■ Solutie :
√ √