resursĂ educaŢionalĂ deschisĂ - isjolt.ro · despre didactica matematică, despre ce înseamnă...

1

RESURSĂ EDUCAŢIONALĂ DESCHISĂ

Denumire: CLASE SPECIALE DE NUMERE NATURALE – LUCRARE

METODICO-ŞTIINŢIFICĂ DE GRADUL I

Autor: RIŞCĂ FLORIN ADRIAN

Unitatea de învăţământ: Şcoala Gimnazială „Ştefan

Protopopescu” Slatina

Disciplina: Matematică

Clasa: Gimnaziu

Scopul materialului propus: de documentare pentru cadrele

didactice

2

ARGUMENT

Am ales această lucrare pentru că numerele naturale, deşi cele mai simple numere pe care le

folosim, au fost studiate de-a lungul istoriei şi sunt în continuare studiate. Se descoperă permanent

câte un lucru nou referitor la numerele naturale, ceea ce înseamnă că acest domeniu este practic

inepuizabil.

Această temă este eficientă, ea fiind necesară în completarea noţiunilor elevilor, dar este

utilă chiar şi profesorilor, mai ales celor din învăţământul gimnazial şi constituie baza pentru

tendinţa actuală de a se insista pe calculul algebric.

De altfel, numerele naturale se învaţă practice de la cele mai fragede vârste, copilul învăţând

să numere din primii ani de viaţă. Evident că el nu ştie noţiunea de număr natural, dar el foloseşte

simbolurile numerelor.

Mai târziu află ce este aceea mulţimea numerelor naturale notată cu simbolul , mulţime

despre care află că este infinită şi este reprezentată astfel:

.

Apoi află că numerele naturale se folosesc în operaţii de adunare, scădere, înmulţire,

împărţire şi putere şi că fiecare dintre acestea este guvernată de reguli clare care trebuie respectate

întocmai.

În clasa a V-a află de existenţa numerelor prime, de divizibilitate şi de criteriile cele mai

simple de divizibilitate, cu 2, 5 şi 10. Tot acum află că numerele naturale se pot reprezenta pe axa

numerelor.

Mai târziu, în clasa a VI-a află că există şi alte criterii de divizibilitate, cu 3, cu 4, cu 9, cu

25. Elevii mai pasionaţi de matematică află că există şi alte criterii de divizibilitate şi că, de fapt, se

pot crea multe alte criterii de divizibilitate combinându-le pe cele cunoscute.

Practic, putem considera că, în fiecare an, se mai adaugă câte ceva în bagajul de cunoştinţe

ale unui elev despre numerele naturale.

Lucrarea este structurată pe 5 capitole.

La început se face o introducere în ceea ce înseamnă meseria de profesor de matematică, cu

tot ce înseamnă aceasta, cu ce se confruntă în activitatea sa, cu multele obstacole pe care le

3

întâmpină în motivarea elevilor şi în promovarea respectului celorlalţi pentru munca deosebită pe

care trebuie să o depună un profesor de matematică.

În primul capitol sunt prezentate câteva chestiuni preliminare de aritmetică, cu definirea

noţiunii de număr natural, operaţii cu numere naturale, teorema împărţirii cu rest şi o demonstraţie a

ei.

De asemenea, tot în cadrul acestui capitol sunt prezentate câteva teoreme importante pentru

aritmetică, cum ar fi Teorema fundamentală a aritmeticii, Teorema lui Euler, Teorema lui Fermat,

Teorema lui Wilson.

Se introduce noţiunea de număr prim şi se exemplifică modul cum se poate face trecerea

unui număr natural dntr-o bază de numeraţie într-o altă bază de numeraţie.

În capitolul al doilea se insistă pe mulţimea numerele prime, teoreme referitoare la

infinitatea numerelor prime, câteva criterii mai deosebite de divizibilitate, Ciurul lui Eratostene de

determinare a numerelor prime şi teoremele Bertrand-Cebîşev şi Scherk.

În capitolul al treilea sunt definite numerele de tip Fermat, numerele de tip Mersenne,

numerele de tip Fibonacci, numerele perfecte, numerele pseudoprime, numerele absolut

pseudoprime, numerele Carmichael, numerele triunghiulare, numere prime gemene şi numerele

pitagoreice.

Pentru fiecare dintre ele sunt prezentate consideraţii practice şi teoreme importante

referitoare la acestea.

Capitolul al patrulea conţine aplicaţii referitoare la divizibilitatea în mulţimea numerelor

naturale, la mulţimea numerelor prime şi la fiecare dintre clasele speciale de numere naturale.

În capitolul următor se prezintă chestiuni metodice despre predarea algebrei în gimnaziu,

despre didactica matematică, despre ce înseamnă meseria de profesor şi despre cum se predă în

şcoală noţiunea de număr natural.

În contextual actual când ne aflăm în era calculatoarelor, se înregistrează multe progrese în

studiul matematicii folosind computerele cu memorie şi cu o viteză de calcul foarte mare.

De altfel, de exemplu, legat de numerele prime, s-a ajuns să se afle cel mai mare număr

prim, de peste 10 milioane de cifre şi lucrurile nu s-au oprit aici, existând în continuare cercetări

pentru a afla numere prime şi mai mari.

Matematica are o contribuţie însemnată în societate, studiul acestei discipline realizează

obiective operaţionale şi neoperaţionale cu precădere, determinând dezvoltarea gândirii şi

progresului omenirii.

4

INTRODUCERE

Alegerea viitoarei meserii (în principiu, a facultăţii ce trebuie urmată) trebuie să fie

considerată o decizie esenţială în evoluţia vieţii fiecărei persoane. Dacă opţiunea este făcută având la

bază doar motivaţia materială (un venit consistent şi rapid), structura socială şi economică a societăţii

la acel moment sau dorinţele unor părinţi prea autoritari, de multe ori se ajunge la insatisfacţie sau

eşec profesional. Nu spunem că aceste aspecte nu trebuie luate în seamă, dar ele nu trebuie să fie

dominante în hotărârea fiecăruia (oricum, la ritmul de schimbare a configuraţiei socio-profesionale

actuale, ele pot fi înşelătoare). E bine să alegem o specialitate care poate oferi posibilitatea de a lucra

în mai multe domenii, care este indispensabilă dezvoltării anumitor ramuri economice, ştiinţifice,

etc. Opţiunea trebuie să se bazeze în primul rând pe o analizare critică a aptitudinilor, posibilităţilor,

dorinţelor personale, deoarece profesiunea aleasă trebuie să fie practicată din plăcere.

Alături de medic şi preot, profesorul joacă un rol important în viaţa fiecăruia. Dacă primii doi

au grijă de sufletul şi trupul nostru şi ne învaţă cum să le îngrijim, dascălul ne îndrumă în a acumula

experienţe, cunoştinţe, modelează gândirea, dezvoltă personalitatea, oferă exemple de viaţă şi criterii

de valoare morală. Din acest motiv, profesiunea de dascăl este una vocaţională.

Marele matematician Grigore Moisil spunea că profesorul este cel care într-o anumită

disciplină, ştie în fiecare zi mai mult decât ieri, învăţându-l pe altul ce ştie el azi, îl pregăteşte

pentru ce va afla mâine şi care poate să fundeze ceea ce ştie într-o anumită disciplină, pe ceea ce

ştie din celelalte discipline pe care aceasta se reazemă.

În cadrul pregătirii profesionale a unui profesor se îmbină două laturi: cea ştiinţifică şi cea

pedagogică. Este evident că un dascăl bun trebuie să fie o persoană cu o pregătire ştiinţifică bogată,

bine fundamentată, net superioară nivelului la care se predă. Chiar dacă un profesor predă doar la

gimnaziu, el trebuie să cunoască ceea ce se predă la orele de matematică în liceu pentru a pregăti

corespunzător elevii făcând legătura dintre noţiunile predate de el şi cele viitoare, asigurând

continuitatea învăţării. Considerăm că cea mai mare răspundere în formarea abilităţilor şi gândirii

matematice a elevilor o are profesorul de matematică din gimnaziu. El este primul profesor de

specialitate care trebuie să-I facă pe copii să îndrăgească matematica şi să-i iniţieze cu răbdare în

tainele acesteia. Pentru aceasta, el are menirea dificilă de a transpune noţiuni, greu de aprofundat în

această etapă, într-un limbaj accesibil vârstei, fără a renunţa la rigoarea matematică. Profesorul care

predă doar la liceu trebuie să cunoască exact noţiunile predate în perioada gimnazială, acestea fiind

5

fundamental pe care va clădi şi va dezvolta în continuare. De asemenea, este necesar ca el să fie

familiarizat cu metodele specifice de abordare a matematicii în gimnaziu pentru a realize o punte de

legătură cu noile metode din liceu. Ţinând cont de faptul că noţiunile din liceu devin din ce în ce mai

abstracte (analiza matematică, în special), profesorul trebuie să creeze motivaţii puternice, să pună

accentual pe caracterul interdisciplinar al matematicii, să încurajeze căutarea şi cercetarea elevilor.

Dacă profesorul pune accentul pe latura problematică a matematicii, adică explică probleme

care conduc la introducerea unor noţiuni noi sub forma precizată (de ce a apărut?, la ce foloseşte?, de

ce aşa?), se vor dezvolta motivaţiile care stau la baza acestora. Cărţile de cultură matematică

generală joacă aici un rol important. Spre deosebire de manualele, revistele, culegerile de

matematică care au o formă conservatoare şi rigidă, acestea prezintă rezultate matematice sub o

formă mai plăcută, stabilesc mai uşor motivaţii şi conexiuni cu alte domenii. Dintre aceste cărţi, este

bine să nu lipsească din bibliografia de studiu următoarele: Licuricii din adâncuri, Aventura

geometriilor neeuclidiene, Istoria numărului pi (Florica T. Câmpan), Vraja geometriei demodate

(Viorel Vodă), etc.

Un prim pas în dezvoltarea creativităţii, inteligenţei elevilor constă în încurajarea acestora în a

întreba (chiar dacă uneori răspunsurile sunt elementare) fără a-i admonesta că sunt obraznici sau a-i

face să se simtă stânjeniţi. Matematicianul Solomon Marcus subliniază acest fapt precizând că

„discursul matematic are totdeauna caracter deschis, generator de întrebări. A învăţa să te

nedumereşti este lucrul cel mai important. Restul vine aproape ca un corolar.”

Atitudinea elevului relative la învăţarea matematicii trebuie să fie activă. El trebuie învăţat să

gândească singur, să abordeze şi să caute soluţii personale la anumite probleme sau demonstraţii de

teoreme pe care apoi să le confrunte cu altele. Acesta este şi începutul activităţii sale de cercetare

(care are loc la orice nivel, chiar şi în gimnaziu). Oferirea unor „reţete” sau soluţii „de-a gata” nu

dezvoltă imaginaţia, căutarea, judecata elevilor. De exemplu, în cazul construcţiilor ajutătoare în

problemele de geometrie, dacă nu „se vede” modul de demonstraţie, printr-un lanţ de întrebări,

adecvat alese, elevul poate găsi singur, la un anumit pas, rezolvarea şi, pentru a o reţine, va avea o

motivaţie mult mai profundă decât cea clasică „pentru că aşa se face”. În cadrul concursurilor

şcolare, găsim de multe ori abordări originale care nu urmează şablonul clasic, rezolvări inedite, care

arată că elevii sunt capabili de activităţi creatoare începând chiar din cele mai mici clase.

Gândirea matematică presupune capacitatea de a raţiona în etape riguros alcătuite, fiecare

legată de cele anterioare dar şi capacitatea de concentrare a atenţiei pe durată mare. În acest sens,

exerciţiile de calcul suficient de lungi, atât de desconsiderate de mulţi, le dovedesc elevilor cât sunt

de pregătiţi în canalizarea atenţiei şi concentrarea asupra lucrului curent. Concursul „Cangurul” cere

6

şi el atenţie şi concentrare maximă; printre altele, participanţii află cât de importantă este citirea cu

atenţie a enunţului unei probleme. Elevii trebuie să fie conştienţi de faptul că greşelile de calcul

conduc la penalizări, chiar dacă raţionamentul este corect; ei au datoria ca, prin exerciţiu personal,

să-şi dezvolte capacitatea de concentrare.

Problemele de tipul „unde este greşeala?” contribuie atât la formarea spiritului de rigoare cât şi

la testarea cunoştinţelor asimilate. De asemenea, dacă vom propune analizarea unor texte matematice

din cărţi, reviste de specialitate, lucrări ale elevilor sau ale profesorului, elevii vor putea comenta

forma estetică, modul de expunere, neclarităţile, ambiguităţile, eventualele greşeli şi se vor acomoda

cu studiul ştiinţific. Astfel, ei vor cerceta învăţând.

Ţinând cont de influenţa tehnicii computaţionalizate în viaţa curentă, profesorul de

matematică trebuie să pună accentual pe dezvoltarea gândirii algoritmice a elevilor.

Formarea capacităţii de abstractizare este un alt deziderat în activitatea desfăşurată la orele de

matematică. Procesul începe încă din gimnaziu prin exerciţii de recunoaşterea unor noţiuni, formule,

proprietăţi, teoreme, indiferent de notaţie. Pentru aceasta, este important să exprimăm şi în cuvinte

orice enunţ formulat simbolic (mai ales la analiză matematică şi algebră). Chiar dacă redactarea

simbolică este de cele mai multe ori mai concisă, riguroasă şi comodă, pentru a fi reţinută şi aplicată

în alte demonstraţii ea trebuie înţeleasă în profunzime. Enunţul matematic transpus numai în cuvinte

face apel la un limbaj mult mai familiar elevilor şi evidenţiază în mod direct semnificaţia avută în

vedere, făcând apel atât la logică cât şi la intuiţia fiecăruia.

Doar pregătirea ştiinţifică superioară a unui cadru didactic nu reprezintă garantul unui profesor

bun. Esenţială este şi capacitatea de a comunica elevilor cunoştinţele, de a le prezenta într-o formă

accesibilă, comodă, motivată, care să conducă la obţinerea unor rezultate cât mai bune. Pentru

aceasta, profesorul trebuie să cunoască psihologia copilului, să-şi perfecţioneze metodica de predare-

învăţare-evaluare, deţinând noţiuni de pedagogie; să aibă tact; să fie deschis la nou.

Profesorul de matematică nu are menirea doar de a-i învăţa pe elevi matematica. El trebuie să

le sublinieze acestora rolul disciplinei în dezvoltarea societăţii, oferind motivaţii puternice învăţării;

prin metodele de lucru şi limbajul ştiinţific, el dezvoltă inteligenţa, spiritul creator, talentul elevilor,

îi învaţă să gândească logic, să caute adevărul şi noutatea, să lucreze singuri, dar şi în echipă. De

asemenea, el trebuie să le dezvolte spiritul de obiectivitate, de corectitudine, de etică, fiind un

exemplu pentru ei în acest sens.

7

CAPITOLUL 1. PRELIMINARII DE ARITMETICĂ

1.1. TEORIA NUMERELOR

Obiectul iniţial al teoriei numerelor a fost studiul proprietăţilor numerelor naturale. Ca

ramură a matematicii, teoria numerelor s-a constituit sistematic abia mai târziu. Rezultate separate

se cunosc încă din antichitate şi aparţin lui Euclid (300 î. H.) şi lui Diofante (250 î. H.). În secolul al

XVII–lea, în cercetările sale Pierre Fermat (1601-1666) face descoperiri remarcabile, de o reală

valoare ştiinţifică.

Progrese mari a realizat prin numeroasele sale lucrări Leonhard Euler (1707-1783) ale cărui

idei au fost deosebit de fructuoase.

Teoria numerelor este azi o ramură cu multe ramificaţii, înrudită cu algebra abstractă (în

special în ceea ce priveşte teoria algebrică a numerelor) şi care foloseşte cele mai rafinate metode

ale analizei (în teoria analitică a numerelor). Apar astfel probleme şi subdomenii care au numai

indirect legătură cu numerele întregi.

Spre deosebire de alte domenii ale matematicii, multe rezultate ale teoriei numerelor sunt

accesibile şi unor nespecialişti fără cunoştinţe temeinice aprofundate. Demonstraţiile acestor

rezultate necesită un instrument matematic foarte complicat.

Teoria numerelor este denumită “regina matematicii“. Vorbind de ea, Gauss a afirmat “Este

remarcabil că oricine se ocupă serios de această ştiinţă este cuprins de o adevărată pasiune“ (Gauss

1808 –către prietenul său din tinereţe Bolyai).

Elevii fac cunoştinţă cu mulţimea numerelor naturale 0,1,2,3, … , n notată cu încă din

clasele primare. Matematicianul italian Giuseppe Peano (1858-1932) a definit numerele naturale ca

fiind elemente ale unei mulţimi în care s-a fixat un element 0 (numit numărul natural 0) împreună

cu o funcţie (numită funcţie succesor) astfel încât axiomele următoare să fie îndeplinite:

AXIOMELE LUI PEANO

A1. Zero este număr natural

A2. Orice număr natural admite un succesor unic, care este tot număr natural.

A3. Zero nu este succesorul nici unui număr natural.

A4. Dacă succesorii a două numere naturale coincid, atunci numerele coincid.

8

A5. Dacă o mulţime de numere naturale conţine pe 0 şi pentru fiecare număr din această

mulţime succesorul său aparţine mulţimii, atunci mulţimea considerată coincide cu mulţimea tuturor

numerelor naturale.

OBSERVAŢIA 1.1. Axioma A5 se mai numeşte principiul inducţiei sau axioma inducţiei.

DEFINIŢIA 1.2. Se numeşte adunarea numerelor naturale aplicaţia:

(unde ) astfel încât:

1. a+ 0 = a .

2. ( = succesorul lui b ).

Proprietăţile adunării numerelor naturale sunt:

1. Adunarea numerelor naturale este asociativă. , (a+b)+c = a+ (b+c).

2. Adunarea numerelor naturale este comutativă . , a+b=b+a.

3. Adunarea numerelor naturale admite pe 0 ca element neutru, adică ,

.

DEMONSTRAŢIE: Fie şi fie .

Evident iar dacă atunci

deci şi . Aşadar şi proprietatea e demonstrată.

Fie şi fie . Din definiţia numerelor naturale rezultă că

. Dacă atunci .

Din definiţia numerelor naturale rezultă:

şi .

.

DEFINIŢIA 1.3. Se numeşte înmulţirea numerelor naturale aplicaţia:

astfel încât:

1. , .

2. ( = succesorul lui b ).

Proprietăţile înmulţirii numerelor naturale sunt:

1. Înmulţirea numerelor naturale este asociativă .

2. Înmulţirea numerelor naturale este comutativă .

3. Înmulţirea numerelor naturale are pe 1 ca element neutru .

4. Înmulţirea numerelor naturale este distributivă faţă de adunarea numerelor naturale

.

DEMONSTRAŢIE:

1. Pentru definim .

9

Este clar că şi dacă atunci:

deci

.

Aşadar, şi proprietatea e demonstrată.

Pentru , fie . Evident iar dacă , atunci:

deci . Rezultă că şi astfel proprietatea e demonstrată.

Fie .

.

4. Fie şi fie .

Evident . Dacă , atunci:

deci .

Aşadar şi relaţia e demonstrată.

TEOREMA 1.4. Adunarea şi înmulţirea numerelor naturale au proprietăţile următoare pentru

:

;

;

;

;

.

DEMONSTRAŢIE: Dacă atunci cu . Rezultă că

. Contradicţie.

Fie . Evident .

Presupunem că şi că .

Atunci şi aplicând A4 (din axiomele lui Peano) rezultă .

Cum şi deci . Aşadar şi proprietatea e

demonstrată.

Presupunem că . Fie astfel încât . Avem

şi din relaţia 1 rezultă . Contradicţie.

Fie şi .

Dacă atunci şi din relaţia 3 rezultă , deci .

Presupunem că şi . Cum din relaţia 3 rezultă că

, deci de unde .

10

Fie astfel încât .

Din rezultă , deci conform relaţiei 2.

Cum deducem şi deci . Aşadar , deci şi proprietatea e

demonstrată.

Cum , avem .

Fie astfel încât , . Avem

şi A4 ( din axiomele lui Peano ) rezultă că .

Aplicând relaţiile 1 şi 3 obţinem şi , deci şi

.

1.2. TEOREMA ÎMPĂRŢIRII CU REST ÎN CAZUL NUMERELOR NATURALE

În acest paragraf vom enunţa şi demonstra prima teoremă de o importanţă considerabilă

pentru întregul studiu care urmează. Până la demonstraţia lui Zermelo a teoremei fundamentale a

aritmeticii, dată în secolul nostru, teorema împărţirii cu rest deschidea singura cale pentru

demonstraţia teoremei fundamentale a aritmeticii dată de Euclid acum 2000 de ani.

În cazul numerelor naturale vom enunţa şi demonstra numai un aspect al teoremei împărţirii

întregi cu scopul de a folosi acest lucru în demonstraţia teoremei împărţirii întregi, în cazul general

al numerelor întregi. Procedând în acest fel, se scoate în acelaşi timp în evidenţă şi modul în care

ajungem la teorema împărţirii întregi, în cazul când cel puţin unul din numerele întregi considerate

nu e număr natural. Acesta e chiar modul în care lucrăm în diferitele cazuri concrete.

TEOREMA 1.2.1. Dacă a şi b sunt numere naturale, iar , atunci există o pereche de

numere natural , unde q este denumit cât şi r este denumit rest, astfel încât şi

.

DEMONSTRAŢIA o vom face în mai multe etape.

Etapa I Determinarea câtului q.

Vom considera multiplii lui b, diferiţi doi câte doi, cuprinşi între b şi a, atunci când aceştia

există, precum şi multiplul de b egal cu b, cât şi cel egal cu a, dacă a este multiplu de b. Astfel de

multiplii de b există, deoarece un astfel de multiplu de b este chiar b.

Mulţimea considerată a multiplilor de b este o mulţime finită, deoarece sau conţine numai pe

b dacă sau dacă coincide cu mulţimea care conţine pe b, pe a şi pe fiecare dintre

numerele întregi aflate între b şi a, atunci când aceştia există, ceea ce se întâmplă atunci când

sau este o submulţime proprie a acestei mulţime finită, conform proprietăţii numerelor întregi şi

11

conform teoremei mulţimilor finite. Proprietatea numerelor naturale spune că între două numere

naturale diferite care nu sunt consecutive se află doar un număr finit de numere naturale diferite

două câte două. Teorema mulţimilor finite spune că reuniunea a două mulţimi disjuncte finite este o

mulţime finită.

Mulţimea considerată a multiplilor de b, fiind o mulţime finită, putem determina pe cel mai

mare dintre ei. Să notăm cu acest multiplu de b, şi atunci şi , deoarece

fiecare multiplu de b din mulţimea considerată este cel mult egală cu a, iar dacă am avea

, atunci din cauză că , iar ar fi cel mai mare multiplu de b dintre multiplii

de b consideraţi. Numărul natural q care apare în multiplul este câtul căutat.

Etapa II Determinarea restului r

Numărul întreg r din este restul căutat.

Etapa III Demonstraţia relaţiilor şi .

Din rezultă , iar din şi deducem că

şi , deci şi sau .

OBSERVAŢIE 1.2.2. Un lucru foarte important este acela că în cele de mai sus nu putem

determina decât o singură pereche de numere naturale q şi r.

1.3. DIVIZIBILITATEA PE

DEFINIŢIA 1.3.1. Daca vom considera două numere naturale a si b, spunem ca

a divide b si scriem daca există un număr natural c astfel încât . În acest caz,

a se numeşte divizor al lui b. Este evident că orice număr are cel puţin doi divizori: pe

1 si pe el însu şi. Prin divizor propriu al lui n înţelegem un divizor diferit de numarul n, iar

prin divizor netrivial al lui n, un divizor diferit de 1 si n.

Relaţia | definită pe se numeşte relaţie de divizibilitate pe , adică este o relaţie

reflexivă, antisimetrică şi tranzitivă, deci o relaţie de ordine pe .

DEFINIŢIA 1.3.2. Un numar , care nu are alti divizori în afară de 1 si el

însusi se zice prim. Un numar se numeste compus daca are cel puţin un divizor netrivial.

Numărul 2 este singurul număr natural par şi prim. Celelalte numere prime sunt impare

şi mai mari decât 2. Este clar că nu orice număr impar este prim. Putem da exemplu numărul 9

care se divide cu 3.

LEMA1.3.3.Orice numar natural, mai mare decat 1 are un divizor prim.

DEMONSTRAŢIE: Pentru a demonstra afirmaţia, reducem la absurd şi

12

presupunem că există un număr care nu are divizori primi. Dacă notăm

mulţimea acestor numere cu S, cum ea este nevidă şi este bine ordonată există un cel

mai mic element în S. Fie acesta . Numărul este atunci un număr compus, deci

, cu . Pentru a nu contrazice alegerea lui , adică a are un divizor prim care

va fi divizor si pentru , ceea ce contrazice faptul ca .

Cele mai mici numere prime sunt 2, 3, 5, 7, etc. (mai târziu vom demonstra că există o

infinitate de numere prime). Astfel singurul număr prim par este 2. Am demonstrat mai sus

teorema împărţirii cu rest în : dacă , , atunci există şi sunt unici astfel

încât , iar ; numărul c se numeşte câtul împărţirii lui b la a, iar r este

restul acestei împărţiri (evident dacă şi numai dacă ).

TEOREMA 1.3.4. Fiind date două numere , există (vom nota

astfel încât , , iar dacă mai avem atunci atunci (adică

în mulţimea parţial ordonată pentru orice două elemente a şi b există ).

DEMONSTRAŢIE: Conform teoremei împărţirii cu rest, putem scrie cu

, iar .

Dacă atunci şi în mod evident .

Dacă , atunci conform aceleiaşi teoreme de împărţire cu rest putem scrie

, cu iar .

Dacă , atunci . Într-adevăr, din deducem că , iar din

deducem că . Dacă mai avem astfel încât , atunci cum

, deducem că .

Dacă , atunci din nou putem scrie , cu şi algoritmul

descris până acum continuă, obţinându-se un şir descrescător de numere naturale

astfel încât . Acest şir este staţionar.

Astfel, dacă pentru un anume k, avem , atunci , pe când dacă

atunci .

De exemplu:

1. Dacă şi avem:

;

;

;

13

de unde obţinem că .

2. Dacă şi avem:

;

;

;

de unde deducem că .

OBSERVAŢII:

1. Numărul d poartă numele de cel mai mare divizor comun (c.m.m.d.c.) al lui a şi b

şi îl scriem .

2. Algoritmul de găsire a celui mai mare divizor comun a două numere naturale

descris mai înainte poartă numele de algoritmul lui Euclid.

3. Dacă pentru avem , vom spune despre a şi b că sunt prime între

ele.

4. Inductiv se arată că pentru oricare n numere naturale ( există

astfel încât pentru orice şi dacă mai avem pentru

orice , atunci . Numărul d se notează prin şi

poartă numele de cel mai mare divizor comun al numerelor .

1.4. TEOREMA FUNDAMENTALĂ A ARITMETICII

DEFINIŢIA 1.4.1. Fie şi , , un număr prim. În mod evident, există

astfel încât şi (altfel zis, k este cel mai mare număr natural cu

proprietatea ). Convenim să notăm şi să-l numim ordinul sau exponentul lui

p în a. Dacă a=0 vom lua , iar .

PROPOZIŢIA 1.4.2. Orice număr natural nenul se scrie ca un produs de numere

naturale prime.

DEMONSTRAŢIE: Fie A mulţimea numerelor naturale nenule ce nu se scriu ca produs

de numere natural prime. Dacă prin absurd propoziţia pe care trebuie să o demonstrăm nu ar fi

adevărată, atunci . Această mulţime va conţine un element minimal . În particular

şi cum nu este prim putem scrie cu , iar ,

deducem că , deci m şi n se scriu ca produse de numere prime. Atunci şi se

14

scrie ca produs de numere prime, absurd! Deci şi cu aceasta propoziţia este

demonstrată.

COROLAR 1.4.3. Pentru orice există numerele natural prime

astfel încât

cu .

TEOREMA 1.4.4. (TEOREMA FUNDAMENTALĂ A ARITMETICII): Pentru orice

număr natural nenul n, există o descompunere a lui n în factori primi

cu

exponenţii unic determinaţi de n (de fapt ).

DEMONSTRAŢIE: Scrierea lui n în forma din enunţ rezultă din Corolarul 1.4.3. Să

probăm acum unicitatea acestei scrieri. Aplicând pentru un q prim în

obţinem . Deducem că şi astfel teorema este

demonstrată.

COROLAR 1.4.5. Pentru orice n există şi sunt unice numerele prime distincte

şi numerele naturale nenule astfel încât

(spunem

că această scriere a lui n este descompunerea lui n în factori primi ).

COROLAR 1.4.6. Fie astfel încât şi . Atunci există

astfel încât şi .

DEMONSTRAŢIE: Fie

şi

descompuneri ale

numerelor în factori primi (deci , pentru şi ). Din

deducem că . Obţinem deci că

, egalitate ce dă descompunerea lui în factori primi.

Însă, conform teoremei fundamentale a aritmeticii (T.F.A.), descompunerea unui

număr natural în produs de puteri de numere prime distincte este unică (abstracţie făcând de

ordinea de alegere a factorilor). Astfel, dacă

, atunci

, de unde deducem că şi , , .

Atunci putem considera

şi

.

TEOREMA 1.4.7.(LEGENDRE): Dacă iar p este un număr prim, atunci

exponentul lui p în este dat de

.

15

DEMONSTRAŢIE: În mod evident exponentul al lui p în este dat de

, unde este numărul numerelor dintre care se divid cu p dar nu cu

, este numărul numerelor dintre care se divid cu dar nu cu , etc.

Să calculăm acum un . Numerele ce se divid cu dintre sunt

, cu , deoarece dacă j este luat dintre şi

avem şi cum avem . Dar

, deci

.

Numerele dintre care se divid cu se află toate printre numerele

care se divid cu . Dacă din numerele dintre care se divid cu (ce sunt în număr de

extragem toate care se divid cu (ce sunt în număr de

) obţinem

numai numerele care se divid cu dar nu se divid cu o putere mai mare a lui p

(deoarece acestea nu se divid cu ).

Conform celor de mai sus, numărul acestora este egal cu .

Avem deci

(această sumă este definită deoarece va exista un astfel încât şi atunci

pentru orice ).

OBSERVAŢIA 1.4.8. Dacă atunci .

1.5. CONGRUENŢE PE

DEFINIŢIA 1.5.1. Fie , un număr fixat. Vom spune că sunt

congruente modulo n dacă ; în acest caz scriem .

PROPOZIŢIA 1.5.2. Relaţia de congruenţă modulo n este o echivalenţă pe

compatibilă cu operaţiile de adunare şi înmulţire de pe (adică este o congruenţă pe inelul

.

DEMONSTRAŢIE: Faptul că relaţia de congruenţă modulo n este o relaţie de

echivalenţă pe se probează imediat. Pentru aproba compatibilitatea acesteia cu operaţiile de

adunare şi înmulţire pe , fie astfel încât şi ,

adică şi , astfel încât . Atunci

, adică şi scriind

16

deducem şi că .

COROLAR 1.5.3. Fie astfel încât pentru orice numere

. Atunci

şi

. În particular,

dacă astfel încât şi , atunci .

Pentru vom nota clasa de echivalenţă modulo n. Deoarece resturile împărţirii

unui număr oarecare din prin n sunt , deducem imediat că dacă notăm

mulţimea claselor de echivalenţă modulo n prin , atunci , iar pentru

avem . Pe mulţimea se definesc operaţiile de

adunare şi înmulţire astfel: şi (ţinând cont de propoziţia 1.5.2.

deducem că acestea sunt bine definite).

PROPOZIŢIA 1.5.4. este inel comutativ în care unităţile sale sunt:

.

DEMONSTRAŢIE: Cum verificarea axiomelor nu ridică probleme deosebite, vom

reaminti doar că elementul neutru din faţă de adunare este , iar iar elemental

neutru faţă de înmulţire este . Dacă , atunci există astfel încât

, de unde deducem că .

Reciproc, dacă şi , atunci există astfel încât

, de unde deducem că , deci .

De exemplu, .

DEFINIŢIA 1.5.5. Pentru un număr natural definim iar pentru ,

avem numărul numerelor naturale astfel încât . Astfel,

, etc., iar . Această funcţie definită prin

definită mai sus poartă numele de indicatorul lui Euler. Ea a fost studiată de Euler încă din

anul 1760. Notarea funcţiei lui Euler prin a fost făcută de Gauss ceva mai târziu în anul

1801.

17

1.6. TEOREMELE LUI EULER, FERMAT ŞI WILSON

LEMA 1.6.1. Dacă G este un grup (multiplicativ) finit cu n elemente ( ), atunci

, pentru .

DEMONSTRAŢIE: Fie , iar (ordinul lui x). Atunci şi conform

teoremei lui Lagrange , adică există astfel încât . Deducem imediat că:

.

OBSERVAŢIA 1.6.2. Dacă G este comutativ, există o demonstraţie elementară ce evită

teorema lui Lagrange. Pentru aceasta se alege şi . Cum

,

deducem că .

COROLAR 1.6.3. (EULER): Dacă este un număr natural iar astfel încât

, atunci ( fiind indicatorul lui Euler ).

DEMONSTRAŢIE: S-a putut remarca mai înainte că este monoid cu

elemente inversabile. Astfel, aplicând lema 1.6.1. grupului (ce are elemente)

pentru obţinem că:

.

COROLAR 1.6.4. (MICA TEOREMĂ A LUI FERMAT): Dacă este un număr

prim, iar astfel încât , atunci .

DEMONSTRAŢIE: Cum p este un număr prim, atunci şi acum, conform

Euler de mai sus demonstraţia este evident.

LEMA 1.6.5. Fie G un grup (multiplicative) finit comutativ iar produsul tuturor

elementelor din G. Atunci .

DEMONSTRAŢIE: Vom scrie

. Dar, în cadrul

produsului vom grupa fiecare element x cu (avem căci dacă

atunci ar însemna că şi deci , absurd ) şi astfel , de unde

concluzia noastră .

COROLAR 1.6.6. (WILSON): Dacă este un număr prim, atunci

.

DEMONSTRAŢIE: Cum p este prim este un grup cu elemente, iar

18

conform lemei 1.6.4., avem:

. Ne vor rămâne de pus în evidenţă

elementele cu proprietatea că

de unde deduce că sau , astfel

că .

Există mai multe metode de generalizare a Teoremei lui Wilson (Corolarul 1.6.5.):

LEMA 1.6.7. Fie un număr prim, iar un număr natural. Atunci:

(i). Dacă şi atunci în grupul numai elementele

au ordinul cel mult 2;

(ii). Dacă atunci în grupul numai elementele au ordinul cel

mult 2.

DEMONSTRAŢIE: Ştim că

. Trebuie să

determinăm în acest grup elementele astfel încât , adică acele numere

naturale a astfel încât , cu şi .

Evident verifică . Dacă , atunci putem scrie şi

cu , , iar .

Dacă atunci , deci şi cum rezultă că , de

unde şi astfel obţinem elementul ce verifică de asemenea relaţia

de mai sus notată cu .

Dacă atunci , deci şi cum rezultă că de unde

, contradicţie.

Dacă , atunci , adică , deci dacă , obţinem o

contradicţie.

În concluzie: dacă , atunci în avem numai elementele şi

ce au ordinul cel mult 2, ceea ce înseamnă concluzia de la (ii).

Dacă , atunci din rezultă că sau . Dacă atunci

, deci şi cum avem că şi .

Deci, în acest caz, dacă a verifică atunci .

În cazul în care atunci , deci şi cum

rezultă că sau (cazul este exclus pentru că numerele v şi 2 sunt prime

19

între ele).

Dacă atunci avem sau . În cazul în care rezultă că

, iar pentru cazul obţinem . Se obţine astfel concluzia (i).

COROLARUL 1.6.7. (O GENERALIZARE A TEOREMEI LUI WILSON): Dacă p este

un număr prim şi n un număr natural, atunci:

(i). Dacă şi este adevărată

;

(ii). Dacă şi este adevărată

;

(iii). Dacă şi este adevărată

.

DEMONSTRAŢIA este evident pe baza lemei 1.6.4. şi ţinând cont de ceea ce s-a

obţinut în lema 1.6.6.

1.7. RĂDĂCINI PRIMITIVE MODULO UN NUMĂR PRIM

DEFINIŢIA 1.7.1. Cel mai mic număr natural nenul m pentru care se

numeşte gaussian sau ordin al lui a şi se notează prin . De fapt în

.

LEMA 1.7.2. Fie K un corp comutativ şi un polinom cu . Atunci

f are cel mult n rădăcini distincte.

DEMONSTRAŢIE: Vom folosi inducţia matematică după n. Pentru este evident

adevărată. Presupunem că este adevărată relaţia pentru orice polinom f din cu

.

Dacă f nu are rădăcini în K totul este clar.

Dacă există astfel încât , atunci avem: şi

.

Dacă este o altă rădăcină a lui f, cu , atunci ceea ce

implică . Cum prin ipoteza de inducţie g are cel mult rădăcini distincte,

deducem că f are cel mult n rădăcini distincte.

COROLAR 1.7.3. Fie K un corp comutativ iar două polinoame astfel

încât . Dacă pentru numerele în număr de

elemente distincte astfel încât pentru orice , atunci .

20

DEMONSTRAŢIE: Considerăm polinomul . Trebuie să demonstrăm că

. Evident şi cum h are cele rădăcini distincte notate în ipoteză

, obţinem că şi deci .

COROLAR 1.7.4. Dacă este un număr prim, atunci dacă vom considera orice

, avem: .

DEMONSTRAŢIE: Cum p este prim, atunci este corp comutativ. Notăm polinomul

cu şi ştim că

pentru orice (ţinând cont şi de mica teoremă a lui Fermat).

Folosim lema 1.7.2. şi obţinem .

OBSERVAŢIA 1.7.5. Dacă în corolarul 1.7.4. de mai sus considerăm obţinem că

, adică teorema lui Wilson (corolarul 1.6.6.).

PROPOZIŢIA 1.7.6. Fie un număr prim şi . Atunci congruenţa

are exact d soluţii.

DEMONSTRAŢIE: Dacă , atunci:

, ceea ce înseamnă că din care

obţinem că .

Cum are exact rădăcini (care sunt chiar , conform micii

teoreme a lui Fermat) şi ţinând cont de lema 1.7.2. deduce atunci că are exact d

rădăcini în şi, deci congruenţa are exact d soluţii în .

DEFINIŢIA 1.7.7. Fie un număr prim. Un număr spunem că este o

rădăcină primitivă modulo p dacă generează .

De exemplu, 2 este o rădăcină primitivă modulo 5 (se poate verifica uşor că

este cel mai mic număr n pentru care ), dar 2 nu este rădăcină primitivă

modulo 7 (se observă uşor că există 3, un număr mai mic pentru care ).

LEMA 1.7.8. Dacă p este un număr natural prim şi avem: .

DEMONSTRAŢIE: Ştim faptul că numărul

şi deoarece

iar p nu divide nici pe şi nici pe şi de aici notând

atunci

deducem că şi deoarece şi, deci

.

21

LEMA 1.7.9. Dacă este un număr natural, iar este un număr natural prim

şi astfel încât , atunci .

DEMONSTRAŢIE: Considerăm un număr cu proprietatea că .

Atunci obţinem în care şi astfel încât

, de unde .

COROLAR 1.7.10. Dacă este un număr prim iar unde , atunci

pentru orice .

DEMONSTRAŢIE: Vom considera inducţie după n pentru a face demonstraţia.

Pentru demonstraţia este evidentă.

Presupunem că afirmaţia din enunţ este adevărată pentru n. Trebuie să arătăm că este

adevărată pentru . Din lema 1.7.9.: .

Dezvoltăm cu ajutorul binomului lui Newton şi obţinem: ,

unde este o sumă de termeni. Utilizăm din nou lema 1.7.8. şi se poate verifica uşor că

toţi termenii lui sunt divizibili prin , exceptând eventual ultimul termen .

Deoarece obţinem şi cum se deduce şi

astfel , adică relaţia este adevărată şi pentru .

1.8. REPREZENTAREA NUMERELOR NATURALE ÎNTR-O BAZĂ DATĂ

Din cele mai vechi timpuri s-a căutat să se obţină procedee de scriere a numerelor

naturale care să poată permite o mai rapidă estimare a ordinului lor de mărime şi elaborarea

unor reguli simple de a efectua operaţiile de bază cu acestea (adunarea, înmulţirea). Acestor

probleme li s-au dat rezolvări specifice diferitelor etape de dezvoltare a matematicilor

(adaptarea sistemului de numeraţie zecimal, sistem cu care suntem noi azi obişnuiţi s-a

finalizat abia în secolele al XVI-lea şi al XVII-lea când acesta a cunoscut o largă răspândire în

toată Europa). În acest paragraf, vom fundamenta ceea ce înseamnă scrierea numerelor

naturale în baza u, unde , cu .

LEMA 1.8.1. Fie un număr natural. Oricare ar fi numărul natural , există

numerele naturale astfel încât:

, ;

22

, ;

, ;

, .

DEMONSTRAŢIE: Dacă , luăm , pe şi şi astfel lema este

adevărată. Dacă , atunci fie astfel încât , unde .

Cum , avem . Există astfel încât ,

şi aşa mai departe continuă procesul.

Dacă , atunci din rezultă , de unde se obţin

inegalităţile succesive: .

Atunci sigur există n astfel încât şi . Rezultă că şi

atunci lema este demonstrată.

LEMA 1.8.2. Fie astfel încât iar pentru

şi . Atunci:

DEMONSTRAŢIE: Cum pentru , atunci:

de unde rezultă lema.

TEOREMA 1.8.3. Fie un număr natural. Oricare ar fi numărul , exstă

numerele naturale unic determinate astfel încât:

, în care şi pentru orice .

DEMONSTRAŢIE: Conform 1.8.1. există şi astfel

încât:

, ;

, ;

, ;

, .

23

Înmulţim aceste egalităţi respectiv cu . Adunând apoi termen cu termen

egalităţile ce se obţin, rezultă:

.

Trebuie să mai dovedim şi faptul că numerele . Presupunem că mai

există de asemenea şi numerele naturale

astfel încât să verifice

unde

şi pentru .

Dacă , atunci şi din lema 1.8.2. rezultă:

deci , contradicţie.

Analog se arată că este imposibil să avem şi astfel s-a demonstrat că .

Trebuie să demonstrăm acum şi că pentru orice . Dacă atunci

se obţine .

Pentru demonstrăm prin inducţie. Presupunem adevărată relaţia pentru .

Ştim egalităţile:

, unde şi . Atunci rezultă, folosind unicitatea câtului

împărţirii lui a prin u, că şi

. Folosim ipoteza de ipoteza de inducţie, din ultima egalitate deducem că

pentru .

În concluzie, teorema este demonstrată.

Vom putea acum defini ceea ce este cunoscut sub numele de bază de numeraţie în baza

u, unde este un număr natural.

La fiecare număr natural facem să corespundă o secvenţă finită de numere

naturale , unde pentru orice i cu proprietatea iar şi

. Aşadar un număr în baza u cu cifrele se scrie astfel:

.

Din teorema 1.8.3. rezultă că se poate stabili o corespondenţă biunivocă între numerele

naturale nenule şi secvenţele finite de numere naturale unde pentru

orice i cu proprietatea iar . Când trebuie să atragem atenţia asupra faptului

că lucrăm într-o anumită bază de numeraţie, obişnuim să scriem astfel:

sau .

24

Dacă baza sistemului de numeraţie este 10 (zece) sistemul de numeraţie se numeşte

zecimal. Cifrele sistemului de numeraţie zecimal se numesc cifre zecimale. Aceste cifre sunt

numere mai mici decât zece şi cifrele sunt .

De exemplu, secvenţa de cifre zecimale sau reprezintă un număr

natural cu valoarea egală cu .

Pentru spunem că sistemul de numeraţie este un sistem binar, cifrele binare fiind

cele mai mici decât 2, adică 0 şi 1.

Aşadar, dacă avem numărul el se transformă în baza 10 astfel:

.

Un alt sistem de numeraţie des întâlnit este baza 16 numit şi sistemul de numeraţie

hexazecimal, iar cifrele hexazecimale sunt mai mici decât 16 şi sunt:

literele reprezentând corespondentele pentru

. Un exemplu de acest tip este:

.

Există o serie de probleme care se pun în mod curent în legătură cu reprezentarea

numerelor într-o bază:

(I). Stabilirea raportului de mărime între două numere reprezentate în aceeaşi bază de

numeraţie.

(II). Stabilirea unor algoritmi (adică unor reguli) de efectuare a sumei, produsului, etc.,

adică a operaţiilor pentru numere reprezentate în aceeaşi bază de numeraţie.

(III). Elaborarea unor algoritmi pentru reprezentarea numerelor într-o bază dată, adică

transformarea unui număr dintr-o bază în alta.

Vom încerca să soluţionăm aceste probleme în cele ce urmează:

TEOREMA 1.8.4. Fie a şi b două numere naturale, şi

. Atunci dacă şi numai dacă şi , unde numărul p astfel

considerat este cel mai mare i astfel încât .

DEMONSTRAŢIE: Dacă , din lema 1.8.2. rezultă , deci

. Dacă şi , unde , atunci

25

, de unde obţinem , adică .

Reciproc, dacă ştim că atunci pentru că situaţia implică .

Pentru nu mai trebuie demonstrat nimic. Considerăm şi fie

. Dacă obţinem, conform primei părţi a demonstraţiei că , fals. Atunci

adică teorema este astfel demonstrată.

Această teoremă ne prezintă cum se face comparaţia între două numere, adică am

rezolvat problema (I).

Pentru problema (II) vom arăta cum se face adunarea şi înmulţirea într-o bază u. În

cazul bazei 10 sunt cunoscute procedeele de adunare şi înmulţire.

Fie a şi b două numere naturale, cu şi .

Trebuie să găsim cifrele ale numărului în baza u. Putem scrie

şi

Deoarece şi , obţinem prin adunare

membru cu membru , deci cu . Atunci

sau . Pentru avem . Dacă iar atunci

, dacă . Rezultă că

Se observă că , de unde unde , unde

sau . Se obţine ş.a.m.d.

Se obţine faptul că cifrele ale sumei sunt

pentru orice unde iar pentru avem:

şi astfel sau

şi astfel

Când , numărul are:

1). m cifre dacă

2). cifre dacă , iar cifra cu rangul este în acest caz

.

Dacă , considerăm, de exemplu, , iar ceea ce am obţinut mai sus rămâne

valabil considerând .

Pentru a putea calcula suma în baza u ar trebui să descoperim sau să consultăm

pur şi simplu tabla adunării numerelor naturale mai mici decât u. Fie . Vom scrie tabla

adunării numerelor naturale mai mici decât 5 exprimate în baza 5 astfel:

26

⁺ 0 1 2 3 4

0 0 1 2 3 4

1 1 2 3 4 10

2 2 3 4 10 11

3 3 4 10 11 12

4 4 10 11 12 13 Tabel 1

Observăm că regula se verifică, adică orice număr în baza 5 se poate scrie doar cu cifre

mai mici decât 5, adică .

Se poate redacta acum un algoritm al adunării numerelor naturale în baza u, pornind de

la motivaţia teoretică expusă mai sus. În acest algoritm apare variabila cu valoarea ei iniţială

iar valorile pentru un sunt egale cu 1 când şi sunt

egale cu 0 în cazul în care . Se spune că variabila realizează

transportul unităţii de la cifrele de rang i la cele de rang pentru orice

Dacă adunăm două numere naturale, folosind algoritmul adunării în baza u vom folosi

următoarea reprezentare:

ultima linie, cea care descrie transportul unităţii, se omite în mod curent.

Fie şi numerele şi atunci calculul

se face după cum urmează:

+

Deci, am obţinut: . Evident că, în

acest caz, am folosit tabla adunării numerelor naturale în baza 2:

⁺ 0 1

0 0 1

1 1 10 Tabel 2

27

Înmulţirea în baza u este bazată pe următoarele tipuri de operaţii:

1). Înmulţirea unui număr natural a cu o putere a bazei u;

2). Înmulţirea unui număr natural a cu o cifră a sistemului de numeraţie u, deci cu un

număr natural j pentru care ;

3). Adunarea în baza u.

Considerăm . Atunci:

j zerouri

şi astfel am obţinut cum se face o înmulţire de tipul 1) în baza u.

Pentru a clarifica lucrurile în problema 2). considerăm i şi j două numere naturale mai

mici decât u. Atunci obţinem . Folosind teorema împărţirii cu rest pentru numere

naturale, obţinem:

unde şi , fiind câtul

împărţirii numărului la u şi fiind restul aceleiaşi împărţiri, amândouă depinzând de i

şi j.

Considerăm un număr natural a în baza u unde

şi

luăm o cifră j a sistemului de numeraţie în baza u, care, evident, îndeplineşte condiţiile:

. Avem:

, deci efectuarea produsului în baza u se reduce la efectuarea sumei dintre

numerele şi

Considerăm numărul

şi atunci produsul

se poate efectua făcând suma în baza u a numerelor pentru toate numerele

. Dar

. Atunci este o operaţie de tipul 2). şi operaţia

este de tipul 1).

Evident consideraţiile de mai sus sunt foarte uşor verificabile considerând

pentru că în baza 10 suntem obişnuiţi să lucrăm în mod obişnuit. În regula de înmulţire în baza

u trebuie să cunoaştem numerele şi cu . Se deduce că şi

sunt cifrele numărului pentru reprezentat în baza u. Dacă avem

. Deci, procedeul de înmulţire astfel expus foloseşte tabla înmulţirii numerelor

28

naturale mai mici decât u, dar cu rezultate în baza u.

Considerăm tablele înmulţirii în bazele şi .

Tabla înmulţirii în baza 3

· 0 1 2

0 0 0 0

1 0 1 2

2 0 2 11 Tabel 3

Tabla înmulţirii în baza 6

· 0 1 2 3 4 5

0 0 0 0 0 0 0

1 0 1 2 3 4 5

2 0 2 4 10 12 14

3 0 3 10 13 20 23

4 0 4 12 20 24 32

5 0 5 14 23 32 41 Tabel 4

Pentru a calcula pe hârtie folosim următorul procedeu:

29

a u

u Figura 5

u

u

u

0

Un număr natural a ce urmează să fie reprezentat într-o bază u este dat, de obicei

într-o bază v şi trebuie să facem trecerea lui a din baza v în baza u. Avem 3 moduri de

rezolvare:

1). Trecerea lui a din baza v în baza u cu efectuarea calculelor în baza v;

2). Trecerea lui a din baza v în baza u cu efectuarea calculelor în baza u;

3). Trecerea lui a din baza v în baza u cu efectuarea calculelor într-o altă baza

intermediară w.

Trecerea lui a din baza v în baza u se realizează, făcând întâi trecerea lui u în baza v

şi se aplică algoritmul sistemelor de numeraţie pentru a şi u, cu efectuarea calculelor în

baza v. Se ştie că în actualele computere numerele sunt reprezentate în baza , metoda

1). Se poate aplica astfel şi se livrează rezultate numerice, care de obicei sunt în baza

. Astfel, rezultatele obţinute cu ajutorul algoritmului pot fi trimise calculatorului

pentru exemplificare. Metoda se aplică şi atunci când folosim trecerea unui număr din baza

într-o altă bază oarecare u, calculele efectuându-se, de preferat, în baza

unde calculele sunt foarte uşoare.

Un exemplu ar putea fi trecerea numărului din baza în baza

. Algoritmul este următorul:

30

474 8

2 59 8 Figura 6

3 7 8

7 0

Aşadar, obţinem: .

Metoda 2). o vom folosi pentru a trece numărul din baza v

în baza u. Pentru asta vom reprezenta numerele şi v în baza u cu ajutorul

algoritmului sistemelor de numeraţie. Numerele şi v astfel reprezentate se

introduc în expresia

şi vom efectua astfel acest calcul

folosind algoritmul adunării şi algoritmul înmulţirii în baza u. Se obţine, astfel, rezultatul.

Metoda 3). Combină primele două metode. Dacă dorim să trecem un număr a dintr-

o bază într-o bază putem trece pe a în baza 2 cu metoda 2). şi îl trecem apoi

în baza u cu metoda 1). În acest fel, ne putem folosi de un computer, care lucrează numai

în baza 2. Dacă şi putem folosi baza intermediară şi efectuăm

calculele în această bază care este uzuală.

OBSERVAŢII:

a). Trecerea unui număr natural a din baza v în baza u se simplifică atunci când

unde r este un număr natural mai mare decât 1. Putem justifica această metodă prin

faptul că orice număr natural se poate scrie într-un mod unic astfel:

cu , cu proprietatea .

Din asta rezultă că reprezentarea numărului

în baza u unde pentru se face scriind fiecare

cifră a numărului ca mai sus şi anume şi înlocuim

fiecare element cu secvenţa şi astfel vom putea obţine secvenţa

.

Se înlătură toate cifrele de 0 de la începutul secvenţei de mai sus şi obţinem

reprezentarea numărului a în baza u.

Considerăm şi vrem să îl transformăm în baza 2. Scriem:

;

;

31

deci, secvenţa de mai sus în acest caz este .

Rezultatul este .

Putem verifica pornind de la rezultat, transformând întâi în baza 10 şi apoi

rezultatul obţinut în baza 2:

Pentru a-l transforma pe 253 din baza 10 în baza 8 considerăm algoritmul de mai

sus şi obţinem rezultatul .

b). Când şi , trecerea unui număr din baza v în baza u se face printr-o

metodă care urmează calea inversă a metodei de la observaţia 1. În acest caz, pentru a trece

în baza u numărul se separă de la dreapta la stânga grupe de câte r

cifre (ultima grupă având cel mult r cifre) şi fiecare grupă va reprezenta o cifră în baza u,

cu care vom înlocui grupa respectivă. Se obţine astfel reprezentarea lui a în baza u.

Astfel, dacă şi , deci , numărul are în baza 8

reprezentarea pentru că cifrele lui a în baza 2 pot fi grupate astfel:

şi grupele obţinute reprezintă în baza 2 cifrele 3,7 şi 5 ale bazei 8.

3) Sistemul de numeraţie binar are şi el inconvenientele lui, şi anume, prin faptul că

reprezentarea numerelor mari necesită secvenţe de cifre binare exagerat de lungi. Aceasta

complică mult citirea numerelor şi aprecierea ordinului de mărime. Pentru a atenua aceste

inconveniente putem folosi sisteme de numeraţie cu baze mixte. Un exemplu în acest sens

este sistemul de numeraţie zecimal codat în binar, rezervându-se câte patru poziţii binare

fiecărei cifre zecimale. Astfel, considerând numărul , reprezentarea lui în

sistemul zecimal codat în binar va fi:

7 9 3

În practică se foloseşte curent sistemul de numeraţie cu baza mixtă. Astfel, expresia

6 ani, 7 luni, 3 săptămâni, 4 zile, 13 ore, 10 minute şi 6 secunde este un exemplu de

reprezentare a timpului într-un sistem de numeraţie cu 8 baze.

32

CAPITOLUL 2. MULŢIMEA NUMERELOR PRIME

Înţelegerea numerelor prime este dată de câteva probleme simple care apar în

legătură cu înmulţirea numerelor naturale care este o operaţie aritmetică elementară.

Se ştie că produsul a două numere naturale este totdeauna un număr natural. Prin

urmare, există numere naturale ce reprezintă produsul a alte două numere naturale mai

mari decât unitatea. Dar, putem remarca faptul că există numere naturale mai mari decât

unitatea care nu sunt produsul altor două numere mai mari decât unitatea. Putem lua ca

exemple numerele 2,3,5,7 sau 11. Pe acestea din urmă le vom numi numere prime.

Anterior, am definit mulţimea numerelor prime.

Putem considera şi o altă definiţie:

DEFINIŢIA 2.1.Numărul prim este un număr natural, mai mare decât unitatea, care

nu este produsul a două numere naturale mai mari decât unitatea.

Observăm că singurul număr par şi prim este 2 iar pentru orice

dacă n este prim, atunci cu necesitate n este impar. Evident, condiţia că un

număr este impar este insuficientă pentru dovedirea că un număr este prim şi

putem lua ca exemplu pe 15 care este impar dar nu este prim.

Numerele prime pot fi privite ca blocuri din care se formează numerele

naturale, cum, de altfel, orice număr natural este un produs de numere

prime.

Se pune întrebarea dacă pentru orice număr natural avem

posibilitatea să stabilim dacă este sau nu prim. Din definiţia numărului prim

putem răspunde la această întrebare.

Într-adevăr, dacă numărul natural nu este prim, atunci el reprezintă

produsul a două numere naturale a şi b mai mari decât unitatea, adică ,

unde şi , de unde rezultă în mod automat că şi .

Numărul nefiind prim, este deci produsul a două numere naturale mai

mici decât n şi mai mari decât unitatea. Aceste numere se numesc numere

compuse. Dacă un număr natural n este compus, atunci el se poate scrie sub

forma unde şi , cu . Numerele a şi b sunt

divizori ai numărului natural n.

Practic, pentru a arăta că un număr natural este prim, este suficient

să constatăm că nu are un divizor şi . Pentru aceasta ar fi suficient să

33

efectuăm împărţiri consecutive ale numărului n la numerele .

Dacă nici una din împărţiri nu este exactă, atunci şi numai atunci numărul n este

prim.

Astfel, teoretic, putem constata oricând (cu ajutorul unui număr finit de

împărţiri) dacă un număr natural n este prim sau compus. Această metodă poate

da dificultăţi serioase dacă numărul n este mare.

S-a putut constata că aplicarea acestui procedeu este foarte anevoios

pentru numărul , care are 31 de cifre (în baza 10), dar prin altă metodă

s-a constatat că acesta este un număr compus. Nu se ştie încă o descompunere a

acestui număr în produsul a două numere naturale mai mari decât unitatea (deşi

se ştie sigur că există o astfel de descompunere). De asemenea, nu s-a putut afla

dacă numărul (care are 30457 de cifre) este sau nu prim.

Vom demonstra o teoremă simplă referitoare la numere prime:

TEOREMA 2.2. Orice număr natural compus n are cel puţin un divizor

prim .

DEMONSTRAŢIE: Numărul n fiind compus, el se poate scrie

unde şi , cu . Considerăm, fără a restrânge

generalitatea, că . Atunci , şi prin urmare, . Dar ,

deoarece în cazul când ar rezulta că , iar ipoteza spune că .

Numărul a are un divizor prim şi deci . Dar p ca divizor al

divizorului a al numărului n este şi el divizor al numărului n. Aşadar, numărul n

are un divizor prim .

2.1. TEOREME REFERITOARE LA INFINITATEA NUMERELOR PRIME

Una dintre primele probleme studiate referitor la mulţimea numerelor prime a

constat ın stabilirea cardinalităţii acesteia: este această mulţime infinită sau nu?

Pentru a avea un răspuns la această întrebare s-a dat următoarea teoremă:

TEOREMA 2.1.1.(EUCLID): Mulţimea numerelor prime este infinită.

DEMONSTRAŢIE: Presupunem, prin absurd, că multimea numerelor prime este

finita. Astfel, presupunem ca exist a doar n numere prime . Numarul

este mai mare decat 1, iar pentru orice . Din teorema

fundamentală a aritmeticii obţinem că există q prim care să dividă pe N. Cum numerele

34

n

prime sunt doar în mulţimea a tunci , pentru un , ceea

ce este absurd pentru că pentru orice . Deci, mulţimea numerelor prime

este infinită.

OBSERVAŢIA 2.1.2. În continuare pentru orice număr natural vom nota cu

al n-lea număr prim, iar mulţimea numerelor prime va fi notată

(evident putem observa că , , , etc.).

TEOREMA 2.1.3. (DIRICHLET) Dacă iar , atunci mulţimea

conţine o infinitate de numere prime.

TEOREMA 2.1.4. Dacă n este un număr natural unde atunci între n şi

există cel puţin un număr prim (unde reprezintă produsul ).

DEMONSTRAŢIE: Deoarece , atunci numărul întreg este un

număr mai mare decât 1 şi are cel puţin un divizor prim p, conform teoremei 2.3. Despre

numărul p putem spune că şi deci . Dar nu putem avea , deoarece p ar

fi unul din factorii produsului şi, prin urmare, p ar fi un divizor al

numărului ; deoarece el este şi un divizor al numărului N, rezultă că p ar fi un divizor al

diferenţei acestor numere, diferenţă ce este egală cu , ceea ce este imposibil.

Rezultă că şi, ştiind că obţinem:

Aşadar, pentru orice număr natural există un număr prim mai mare decât el.

Această teoremă împreună cu demonstraţia ei ne prezintă o modalitate de a arăta că

numerele prime sunt infinite, lucru cunoscut chiar şi de Euclid. În particular, putem deduce

că există, spre exemplu, numere prime care au, în sistemul de numeraţie zecimal cel puţin

20000000 de cifre. Cel mai mare număr prim cunoscut este cel descoperit în anul 2012 de

cei de la Universitatea din California, la Los Angeles. Numărul are 13 milioane de cifre şi

au fost folosite 75 de calculatoare foarte puternice simultan pentru efectuarea unui număr

imens de calcule, destinate găsirii acestui număr. Cercetătorii erau într-un concurs al

Fundaţiei Electronic Frontier, cea care a promis că oferă un premiu de 100000 $ pentru

descoperirea unui număr prim de peste 10 milioane de cifre. Numărul aflat este egal cu

şi vom remarca într-un capitolul următor că el este un număr Mersenne.

De altfel, în acest domeniu, s-au făcut mari progrese în ultimii 60 de ani, asta şi

datorită calculatoarelor electronice din ce în ce mai performante. În anul 1951, cel mai

mare număr prim cunoscut era tot un număr Mersenne şi anume şi avea doar 39

de cifre (faptul că acest număr este prim se dovedise deja din anul 1876).

Aceeaşi fundaţie Electronic Frontier a promis premii importante pentru

35

descoperirea unui număr prim de cel puţin 100 milioane de cifre.

În legătură cu teorema 2.1.4. se poate observa că în anul 1850 Cebîşev a demonstrat

o teoremă mult mai tare (aşa-numitul postulat al lui Bertrand), conform căreia pentru un

număr natural , avem cel puţin un număr prim cuprins între n şi . Atunci în

teorema anterioară putem înlocui pe cu . De asemenea, se poate demonstra că pentru

un număr natural avem cel puţin două numere prime cuprinse între n şi .

Din teorema lui Cebîşev deducem uşor că pentru orice număr natural s există trei

numere prime, care are fiecare câte s cifre. Într-adevăr, putem considera numerele ,

, şi care evident au câte s cifre, iar, conform teoremei lui

Cebîşev, pentru orice există trei numere prime p, q şi r astfel încât:

şi, prin urmare, este clar că fiecare dintre numerele p, q şi r au câte s cifre.

Evident, este probabil să existe şi mai multe numere prime cu un oarecare număr de

cifre. De exemplu, există patru numere prime de câte o cifră (2,3,5 şi 7), 21 de numere

prime de câte două cifre şi 163 numere prime de câte trei cifre. Dar ceea ce am obţinut este

faptul că există cel puţin trei numere prime cu un oarecare număr de cifre.

Putem considera în continuare exemple de teoreme ce prezintă cazuri particulare

ale teoremei lui Dirichlet, teoreme pe care le putem demonstra mai uşor.

TEOREMA 2.1.5. Există o infinitate de numere de forma , cu .

DEMONSTRAŢIE: Presupunem prin reducere la absurd că mulţimea

conţine un număr finit de numere prime. Fie acestea şi să considerăm

numărul . Numărul q astfel considerat ar trebui să aibă un factor prim

în descompunere de forma , pentru că, dacă toţi factorii primi ai lui q ar fi de forma

atunci şi q ar trebui să fie de această formă. Atunci există un ceea ce este

absurd conform definirii lui q. Deci, există o infinitate de numere prime cu forma din

enunţ.

TEOREMA 2.1.6. Există o infinitate de numere prime de forma , cu .

DEMONSTRAŢIE: Presupunem prin reducere la absurd că există un număr finit de

numere prime de forma şi fie acestea şi fie numărul

. Numerele prime sunt de forma sau şi deducem că q

trebuie să conţină cel puţin un factor prim în descompunere de forma (în caz

contrar numărul q ar trebui să fie de forma ). Atunci ar trebui ca un număr să

dividă pe q ceea ceea ce este absurd din definirea lui q. Atunci concluzia din enunţ este

36

adevărată.

TEOREMA 2.1.7. (A. RATKIEWICZ): Pentru un număr prim fixat p există o

infinitate de numere prime de forma , cu .

DEMONSTRAŢIE: Presupunem prin reducere la absurd că există un număr finit

de numere prime de forma din enunţ şi considerăm numărul

(în cazul în care există numere prime de forma ) sau în caz contrar.

Considerăm numărul şi fie q un divizor al lui

N. Atunci şi astfel . Avem două variante:

1). şi şi deci se obţine

. Cum şi atunci , contradicţie.

2). şi atunci cu , deci . Cum am presupus că

sunt toate numerele prime de forma şi deducem că există

astfel încât . Atunci obţinem ca şi în primul caz faptul că şi şi deci

contradicţia că .

Am obţinut deci concluzia ce trebuia demonstrată

2.2. CIURUL LUI ERATOSTENE; CRITERII DE DIVIZIBILITATE

S-a pus problema încă din antichitate a găsirii tuturor numerelor prime mai mici

decât un număr natural dat. Metoda pe care o vom expune, cunoscută chiar din antichitate,

poartă numele de ciurul lui Eratostene.

CRITERIUL 2.2.1. Fiind dat un număr natural , pentru a stabili dacă el este

prim sau nu, este suficient să verificăm dacă el este prim prin împărţire succesivă la

numerele prime .

DEMONSTRAŢIE: Într-adevăr, să presupunem că n este compus şi că toate

numerele prime ce îl divid verifică inegalităţile succesive . Dacă un anumit

număr prim divide pe n, atunci putem scrie faptul că pentru un număr .

Atunci avem:

şi . Am obţinut că numărul are cel puţin un factor

prim, număr care va fi mai mic decât , ceea ce este absurd.

Este evident că ne putem folosi la verificările privind faptul că un număr este prim

sau nu de criteriile de divizibilitate. Reamintim câteva dintre aceste criterii cu

demonstraţie, evident acestea fiind doar câteva dintre criterii:

37

2.2.2. CRITERIUL DE DIVIZIBILITATE CU ŞI , . Un număr

este divizibil cu respectiv cu , , dacă şi numai dacă numărul

format din ultimele n cifre ale lui m, este divizibil cu respectiv cu .

DEMONSTRAŢIE: Numărul m se scrie în baza 10 sub forma:

. Deoarece ( ) pentru

orice , rezultă că ( ) dacă şi numai dacă

( ).

2.2.3. CRITERIUL DE DIVIZIBILITATE CU 7, 11, 13. Un număr natural este

divizibil cu 7 ( sau 11, sau 13) dacă şi numai dacă diferenţa dintre cele două numere

naturale obţinute prin „tăierea” numărului dat în două astfel încât la dreapta să rămână un

număr de 3 cifre, este divizibilă cu 7 (sau 11, sau 13).

DEMONSTRAŢIE: Fie unde , şi

şi . Atunci

. Rezultă că dacă .

Exemplu: Să arătăm că numărul 83564 se divide cu 13.

unde .

2.2.4. CRITERIUL DE DIVIZIBILITATE CU 11. Un număr natural se divide cu 11

dacă şi numai dacă diferenţa dintre suma cifrelor de rang par şi suma cifrelor de rang impar

din numărul dat, se divide cu 11.

DEMONSTRAŢIE: Fie

şi .

Dacă , atunci .

cifre

Dacă +1, atunci

. zerouri cifre

Rezultă că şi deci dacă şi numai dacă .

Exemplu: Fie numărul 72424.

Diferenţa între suma cifrelor de rang par şi suma cifrelor de rang impar este:

2.2.5. CRITERIUL DE DIVIZIBILITATE CU 3, 7 ŞI 19. Un număr natural se divide

cu 3 (sau 7, sau 19) dacă şi numai dacă suma dintre numărul format din ultimele două cifre

mărit de 4 ori şi numărul format din celelalte cifre, este divizibilă cu 3 (sau 7, sau 19).

38

OBSERVAŢIA 2.2.6. Dacă este necesar se repetă procedeul până când se obţine un

rezultat a cărui divizibilitate cu 3 sau 7 sau 19 este evidentă.

DEMONSTRAŢIA CRITERIULUI 2.2.5.: Fie , unde

şi şi , .

Atunci avem:

. Rezultă că dacă şi numai dacă .


iar .

2.2.7. CRITERIUL DE DIVIZIBILITATE CU 19. Un număr natural se divide cu 19

dacă şi numai dacă suma dintre dublul cifrei unităţilor şi numărul format din celelalte cifre,

este divizibilă cu 19.

DEMONSTRAŢIE: Fie , şi şi .

Atunci: .

Cum , avem că dacă şi numai dacă .


iar

2.2.8. CRITERIUL DE DIVIZIBILITATE CU 27 ŞI 37. Un număr natural se divide

cu 27, respectiv 37 dacă şi numai dacă suma numerelor naturale obţinute prin „tăierea”

numărului în grupe de câte 3 cifre, începând de la dreapta, se divide cu 27, respectiv cu 37.

DEMONSTRAŢIE: Fie . Atunci

. Cum , avem

.

Deci dacă şi numai dacă .


Atunci: iar .

Se poate deduce din cele de mai sus un criteriu general de divizibilitate:

39

2.2.9. CRITERIUL GENERAL DE DIVIZIBILITATE. Numărul natural

se divide cu , cu , dacă şi numai dacă înlăturând

ultima cifră, apoi înmulţind numărul obţinut cu q şi scăzând (sau adunând) la noul număr

de p ori cifra suprimată, se obţine un număr divizibil cu .

DEMONSTRAŢIE: Efectuând operaţiile indicate se obţine numărul

. Atunci

. Rezultă că dacă şi numai dacă ( .

Exemplu: Să se verifice dacă numărul 232716 se divide cu 43.

, deci şi .

Succesiv obţinem:

iar .

Aşadar, criteriul 2.2.1. de mai sus stă la baza „ciurului” prin care Eratostene a

stabilit care numere dintr-o mulţime finită de numere naturale sunt prime. Mai precis, el a

scris toate numerele de la 2 la n în ordine crescătoare. A tăiat toţi multiplii proprii ai lui 2,

apoi toţi multiplii proprii ai lui 3, pe urmă cei ai lui 5. În această etapă, cel mai mic număr

natural superior lui 5 care nu a fost tăiat este 7. A continuat acest procedeu cu multiplii lui

7. Se continuă în acelaşi fel, până când cel mai mic număr natural care nu a fost tăiat este

. În acel moment procedeul se opreşte, deoarece conform criteriului 2.2.1. enunţat

mai devreme, toate numerele netăiate din şirul sunt numere prime .

De exemplu, numărul 311 nu se divide cu . Nu este necesar să

verificăm dacă numărul se divide prin 19 pentru că . Obţinem astfel că

numărul 311 este prim.

Pentru a obţine toate numerele prime mai mici sau egale cu 100, eliminăm din şirul

(pe 1 nu îl putem considera nici prim nici compus) multiplii lui 2 diferiţi de 2,

multiplii lui 3 diferiţi de 3, multiplii lui 5 diferiţi de 5, multiplii lui 7 diferiţi de 7. Nu este

necesar să eliminăm multiplii lui 11 din şir pentru că . Am obţinut:

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

40

21 22 23 24 25 26 27 28 29 30

31 32 33 34 35 36 37 38 39 40

41 42 43 44 45 46 47 48 49 50

51 52 53 54 55 56 57 58 59 60

61 62 63 64 65 66 67 68 69 70

71 72 73 74 75 76 77 78 79 80

81 82 83 84 85 86 87 88 89 90

91 92 93 94 95 96 97 98 99 100

Numerele 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20, 22, 24, 26, 28, 30, 32, 34, 36, 38, 40, 42,

44, 46, 48, 50, 52, 54, 56, 58, 60, 62, 64, 66, 70, 72, 74, 76, 78, 80, 82, 84, 86, 88, 90, 92,

94, 96, 98, 100 se elimină fiind multiplii ai lui 2, numerele 9, 15, 21, 27, 33, 39, 45, 51, 57,

63, 69, 75, 81, 87, 93, 99 se elimină fiind multiplii ai lui 3, numerele 25, 35, 55, 65, 85, 95

se elimină fiind multiplii lui 5, iar numerele 49, 77, 91 se elimină fiind multiplii lui 7.

Numerele scrise în caractere bolduite sunt numerele prime până la 100, adică 2, 3, 5, 7, 11,

13, 15, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97.

În anul 1909 au fost editate tabele cu numerele prime mai mici decât 10.000.000, în

care se dau şi cei mai mici divizori primi pentru fiecare număr natural care

nu se divid cu 2, 3, 5 sau 7.

În anul 1951 au fost publicate tabele de numere prime până la 11.000.000. Jacob

Philipp Kulik (1793-1863) a întocmit tabele de numere prime până la 100.000.000

(manuscrisul lui se păstrează la Academia Austriacă de Ştiinţe din Viena). C.L. Baker şi

J.F. Grunberger au întocmit în anul 1959 un microfilm care conţine toate primele

6.000.000 numere prime, adică până la . Este evident că din ce în

ce ştiinţa avansează într-un ritm accelerat şi, cu ajutorul calculatoarelor moderne se

descoperă şiruri de numere prime din ce în ce mai mari.

41

2.3. TEOREMA BERTRAND-CEBÎŞEV

În cadrul acestui capitol vom demonstra următorul rezultat:

TEOREMA 2.3.1. Dacă , cu , atunci între şi se află cel puţin

un număr natural prim.

Acest rezultat a fost formulat încă din anul 1845 de către J. Bertrand însă cel care a

prezentat primul o soluţie a acestuia a fost P. L. Cebîşev în anul 1850. O soluţie interesantă

propune P. (adaptată de L. Kalmar). Această soluţie se bazează pe demonstrarea

următoarelor leme:

LEMA 2.3.2. Dacă , cu , atunci:

(1)

DEMONSTRAŢIE: Facem inducţie după n. Pentru , relaţia (1) este adevărată

deoarece

ceea ce este evident.

Cum

, pentru probarea relaţiei (1) pentru , este suficient

să demonstrăm că

ceea ce este evident.

LEMA 2.3.3. Dacă definim iar pentru orice definim

, atunci

, pentru orice .

DEMONSTRAŢIE: Vom face din nou inducţie după n. Pentru sau

totul este clar. Presupunem adevărată relaţia pentru orice număr şi trebuie să o

demonstrăm pentru n.

Dacă n este par, atunci şi concluzia este evidentă. Dacă n este impar,

considerăm ( ), atunci orice număr prim p astfel încât

este un divizor al lui

. Din

deducem că . (2)

Produsul tuturor numerelor prime p astfel încât divizând

este inferior lui (ţinând cont de (2)). Scriind că

şi ţinând cont de ipoteza de inducţie, adică de şi de (2) deducem că

şi astfel lema 2.3.3. este demonstrată.

42

LEMA 2.3.4. Dacă p este un număr prim ce divide astfel încât , atunci

în descompunerea în factori primi a lui numărul p apare cu exponentul 1.

DEMONSTRAŢIE: Exponentul lui p în

va fi

.

Pentru avem două cazuri:

Dacă şi atunci lema este adevărată căci

Dacă deducem imediat că

, de unde lema este

demonstrată.

DEFINIŢIA 2.3.5. Pentru un număr real pozitiv x definim ca fiind numărul

numerelor prime q astfel încât .

LEMA 2.3.6.Dacă p este un număr prim şi astfel încât , atunci

şi .

DEMONSTRAŢIE: Din , deducem că exponentul lui p în descompunerea

lui în factori primi este

şi verifică inegalitatea .

Dacă am avea , pentru am avea

şi atunci

. Cum pentru orice avem şi ar trebui să avem

ceea ce contrazice de fapt că . Atunci . Pentru a putea demonstra

partea a doua a lemei vom ţine cont de faptul că în descompunerea în factori primi a lui

nu pot să apară decât numere prime q astfel încât , de unde deducem că

.

Lema 2.3.7. Dacă , , atunci nici un număr prim p nu poate să dividă pe

numărul p fiind ales astfel încât

.

DEMONSTRAŢIE: Dacă

, atunci

şi

, obţinem

şi

, de unde deducem că

. Cum pentru orice avem

şi deci

.

Pentru , avem

şi atunci

pentru orice şi deci

. Rezultă astfel că în cazul obţinem .

În cazurile în care şi , cu necesitate şi atunci în mod sigur lema

este adevărată pentru că numerele şi

nu se divid cu 3.

43

LEMA 2.3.8. Un număr prim p astfel încât apare în descompunerea lui

în factori primi cu exponentul 1 pentru orice .

DEMONSTRAŢIE: Dacă atunci

şi

şi, deci

şi

.

Pentru , avem

, deci pentru avem

şi

şi

.

Deci, lema este demonstrată.

LEMA 2.3.9. Dacă , , atunci

, unde este cel definit

mai sus, adică numărul de numere prime mai mici decât n.

DEMONSTRAŢIE: Se face prin inducţie după n. Se verifică uşor că

, adică lema este adevărată pentru .

În şirul numerelor ştim sigur că numerele

, care sunt în

număr de

sunt compuse. Pentru şirul conţine şi numerele

care sunt impare şi neprime. Deducem atunci că

pentru că

. Astfel, lema este demonstrată.

LEMA 2.3.10. Definim

iar dacă nu există numere prime.

Atunci, pentru orice avem

.

DEMONSTRAŢIE: După felul în care am definit pe deducem că şi

atunci putem scrie , cu . Comform lemei 2.3.8. , dacă p este un

număr prim astfel încât , atunci . Dacă p este prim şi , atunci cu

necesitate . Conform lemei 2.3.7. avem chiar mai mult, adică

. În acest caz,

produsul divizorilor primi ai lui va fi cel mult egal cu

iar conform lemei 2.3.3.

acest produs va fi unul cu proprietatea că va fi

.

Conform lemei 2.3.4. , deoarece se vede că exponentul unui număr prim p

din descompunerea lui nu poate fi decât dacă .

44

Numărul acestor numere va fi, conform lemei 2.3.9. , înlocuind în aceasta pe n cu

, lucru evident posibil deoarece din , iar de aici şi ,

număr inferior lui

.

Conform lemei 2.3.6. , produsul puterilor acestor numere prime (numere care divid

, deci şi pe ) va fi cel mult egal cu

, de unde deducem în final că

.

Astfel, cum

deducem, ţinând cont de lema 2.3.2. şi de inegalitatea de mai

sus că

, adică exact inegalitatea de demonstrat.

LEMA 2.3.11. Dacă , , atunci .

DEMONSTRAŢIE: Folosim inducţia matematică. Cum , atunci

verificarea este demonstrată.

Considerăm un i pentru care . Se obţine

, adică relaţia este adevărată pentru .

Deci, lema este adevărată.


DEMONSTRAŢIE: Pentru , avem şi conform lemei 2.3.11.

avem .


DEMONSTRAŢIE: Folosim inducţia matematică după k sau putem folosi lema

2.3.11. şi trebuie să demonstrăm inegalităţile pentru şi care sunt adevărate

deoarece şi .


DEMONSTRAŢIE: Se face la fel ca în cazul lemei 2.3.12.


DEMONSTRAŢIE: Ţinând cont de lema 2.3.10. este suficient să demonstrăm că

pentru avem

. Cum pentru se obţine

şi

conform lemei 2.3.14. avem

, de unde ridicând ambii membri la puterea

deducem că

.

45

De asemenea, din , deducem că

şi atunci conform lemei 2.3.12.

avem

, de unde

.

Deci, pentru , se obţin

şi

de unde

şi cu aceasta lema este demonstrată.

LEMA 2.3.16. Dacă , atunci între n şi 2n se află cel puţin două numere prime

distincte.

DEMONSTRAŢIE: Dacă , atunci conform definirii lui , dacă în

intervalul nu ar exista nici un număr prim, sau numai unul, atunci , ceea

ce ar fi în contradicţie cu lema 2.3.15.

Dacă , lema este adevărată căci între 6 şi 12 se află numerele prime 7 şi 11.

Mai trebuie demonstrată lema 2.3.16. pentru . Acest lucru poate fi

făcut utilizând tabelul numerelor prime sau prin construirea unui şir de numere

prime astfel încât iar pentru orice k astfel încât

şi .

Un şir de acest tip se poate construi astfel: pentru numerele prime

formează şirul: .

Va trebui să vedem cum rezultă lema 2. 3. 16. pentru .

Primul termen al şirului nu îl depăşeşte pe n decât dacă

, deci .

Există deci un indice maximal astfel încât . Atunci

şi deoarece , atunci între n şi 2n există cel puţin numerele

prime şi şi astfel lema este complet demonstrată.

TEOREMA 2.3.17. (CEBÎŞEV): Dacă , cu , atunci între n şi

avem cel puţin un număr prim.

DEMONSTRAŢIE: Pentru şi teorema este adevărată în mod evident,

pentru că între 4 şi 6 există numărul 5 care este prim, iar între 5 şi 8 există numărul 7 care

este de asemenea prim.

Pentru , conform lemei 2.3.16. între n şi 2n există cel puţin două numere

prime distincte p şi q. Considerăm . Dacă cel mai mare dintre numere este

, atunci celălalt trebuie să fie mai mic decât pentru că este par şi compus

în cazul nostru m, adică pentru . Deci . Dacă şi ţinând

46

cont de ipoteza considerată că deducem că şi astfel, teorema lui

Cebîşev este complet demonstrată.

Teorema lui Cebîşev are mai multe corolare ce pot fi utile în aplicaţii:

COROLAR 2.3.18. Dacă , cu , atunci între n şi se află cel puţin un

număr prim.

DEMONSTRAŢIE: Dacă totul rezultă din teorema lui Cebîşev. Pentru

obţinem că între 2 şi 4 se află numărul 3 prim şi pentru obţinem că între 3 şi 6 se

află numărul 5 care este prim. Astfel, corolarul este demonstrat.

OBSERVAŢIA 2.3.19. În anul 1892 J.J. Silvester a demonstrat următoarea

generalizare a corolarului 2.3.18.: Dacă , unde , atunci în şirul

se află cel puţin un număr admiţând un divizor prim .

Practic, corolarul 2.3.18. este, pentru demonstraţia lui J. J. Silvester.

Această generalizare a mai fost demonstrată şi de I. Schur în 1929 ca şi de P.

în 1934.

COROLAR 2.3.20. Dacă , , atunci .

DEMONSTRAŢIE: Folosim inducţie după k. Pentru avem .

Dacă , conform corolarului 2.3.18. există cel puţin un număr prim p astfel încât

şi astfel corolarul este demonstrat.

COROLAR 2.3.21. Dacă , cu , atunci în descompunerea lui în factori

primi găsim cel puţin un număr prim cu exponentul 1.

DEMONSTRAŢIE: Pentru , evident şi 2 este număr prim cu

proprietatea cerută. Pentru , evident şi 2 şi sunt numere prime cu

proprietatea cerută.

Fie . Dacă n este par, atunci n este de forma , unde şi conform

corolarului 2.3.18. între k şi există cel puţin un număr prim p astfel încât

. Trebuie să demonstrăm că p apare cu exponentul 1 în descompunerea lui în

factori primi. Într-adevăr, următorul număr din ce ar fi multiplu de p este însă din

.

Dacă n este impar, atunci considerăm , unde şi, din nou, conform

corolarului 2.3.18. între k şi există cel puţin un număr prim p unde . Avem

deci şi şi din nou ajungem la concluzia că p

apare în descompunerea lui în factori primicu exponentul 1.

OBSERVAŢIA 2.3.22. De fapt, corolarele 2.3.18. şi 2.3.21. sunt echivalente.

47

DEMONSTRAŢIE: Mai sus am văzut cum corolarul 2.3.18. implică evident

corolarul 2.3.21.

Reciproc, presupunem adevărat corolarul 2.3.21. (adică pentru orice număr natural

în descompunerea în factori primi a lui există cel puţin un număr prim cu

exponentul 1) şi trebuie să demonstrăm corolarul 2.3.18. (adică pentru orice , între n

şi se află cel puţin un număr prim). Într-adevăr, fie p număr prim ce apare în

descompunerea lui în factori primi ce are exponentul 1. Avem ,

deoarece dacă am avea , atunci în

apar şi p şi şi astfel exponentul lui p în ar fi cel puţin 2. În concluzie,

, adică şi cum deducem că .

Deducem imediat următoarele:

COROLAR 2.3.23. Dacă , atunci nu poate fi puterea unui număr

natural cu exponentul .

COROLAR 2.3.24. Pentru orice , , avem inegalitatea .

DEMONSTRAŢIE: Pentru avem şi atunci conform lemei

2.3.16. între şi există cel puţin două numere prime distincte. Cum cele mai mici

dintre aceste numere vor fi şi , atunci .

COROLAR 2.3.25. Pentru orice , , avem inegalitatea

.

DEMONSTRAŢIE: Pentru şi se verifică imediat prin calcul. Pentru

totul rezultă din corolarul precedent.

2.4. TEOREMA LUI SCHERK

Următorul rezultat este datorat lui H. F. Scherk şi reprezintă un fel de recurenţă

„slabă” pentru şirul al numerelor prime.

Vom demonstra:

TEOREMA 2.4.1. (H. P. SCHERK) Pentru orice număr natural există o

alegere convenabilă a semnelor „+” sau „–” astfel încât:

(1) şi

(2) .

OBSERVAŢIA 2.4.2. Formulele (1) şi (2) au fost enunţate de Scherk în anul 1830

iar S. S.Pillai a fost primul care a prezentat o demonstraţie a lor în anul 1928.

48

În cele ce urmează vom prezenta o soluţie dată de W. Sierpinski în anul 1952.

DEMOSTRAŢIA TEOREMEI 2.4.1. : Pentru , observăm că:

, adică

.

Pentru , avem:

, adică:

Vom spune că un şir de numere naturale impare are proprietatea (P) dacă

el este strict crescător. Evident, şirul , , , , , ,

şi , pentru orice .

Evident, şirul al numerelor prime este un şir cu proprietatea (P).

Astfel, pentru a putea proba formulele (1) şi (2) ale lui Scherk, este suficient să le

probăm pe acestea pentru un şir ce are proprietatea (P).

LEMA 2.4.3. Dacă este un şir ce are proprietatea (P), atunci pentru orice

număr natural impar , unde , există o alegere convenabilă a semnelor „+”

sau „–” astfel încât .

DEMONSTRAŢIE: Demonstraţia se face prin inducţie matematică după n,

considerând . Pentru , ştim că iar numerele impare m unde

sunt . Prin calcul direct se pot verifica egalităţile:

şi obţinem că lema este adevărată pentru .

Observăm că pentru lema nu este adevărată. Într-adevăr, , iar, de

exemplu, numărul 5 nu se poate scrie sub forma pentru nici o alegere a

semnelor „+” sau „–”.

49

Presupunem că lema este adevărată pentru un număr şi fie un număr

impar astfel încât .

Cum şirul are proprietatea (P) deducem că şi atunci

deducem că astfel că pentru o alegere convenabilă a

semnelor „+” sau „–” avem .

Din deducem că

şi astfel pentru o nouă alegere convenabilă a semnelor „+” sau „–” avem

. Cum numerele şi sunt impare, deducem că şi

numărul este impar şi cum , conform

ipotezei de inducţie găsim o alegere convenabilă a semnelor „+” sau „–” astfel încât

, de unde deduce că

la o alegere convenabilă a semnelor „+” sau „–” avem

şi astfel am demonstrat lema.

COROLAR 2.4.4. Pentru o alegere convenabilă a semnelor „+” sau „–” avem

egalitatea: .

DEMONSTRAŢIE: Pentru se verifică imediat . Pentru se

verifică .

Demonstrăm acum formulele (1) şi (2) din teorema lui Scherk.

Într-adevăr, pentru , numărul este impar şi şi deci,

conform lemei anterioare, printr-o alegere convenabilă a semnelor „+” sau „–” avem

egalitatea: şi de aici obţinem egalitatea:

şi formula (2) rezultă imediat considerând

pentru .

Pentru se verifică imediat . Pentru se verifică şi

, astfel că formulele (2) sunt valabile pentru orice .

Pentru a demonstra formulele (1) observăm că şi

este impar şi este , deci conform lemei de mai sus printr-o alegere convenabilă a

semnelor „+” sau „–” avem egalitatea:

de unde . Considerăm în loc de pe

n obţinem: şi astfel şi egalităţile (1) sunt

verificate pentru .

50

Pentru se verifică imediat . Pentru se verifică imediat

. Pentru se verifică şi ,

astfel că formulele (1) sunt valabile pentru orice , considerând .

51

CAPITOLUL 3. CLASE SPECIALE DE NUMERE NATURALE

3.1. NUMERE DE TIP FERMAT

DEFINIŢIA 3.1.1. Se numesc numere de tip Fermat numerele naturale de forma

cu . Vom avea deci:

ş.a.m.d.

Studiul numerelor care îi poartă numele acum a fost iniţiat de Fermat atunci când el

a observat că dacă numărul cu este prim, atunci obligatoriu m este de forma

cu .

Într-adevăr, dacă există un divizor impar k al lui m, atunci cu şi

atunci:

, ceea ce contrazice

faptul că este prim.

Studiind numerele care mai târziu i-au purtat numele Fermat observă că

sunt prime iar de aici concluzia pripită că este număr prim pentru

orice Euler l-a contrazis, arătând că nu este prim, el fiind divizibil cu 641.

Observăm că:

Importanţa numerelor Fermat a crescut atunci când a apărut un celebru rezultat al

lui Gauss potrivit căruia un poligon regulat cu n laturi poate fi construit cu rigla şi

compasul dacă şi numai dacă n este de forma unde iar fiecare

dintre numerele sunt numere Fermat prime.

52

Legat de mulţimea numerelor Fermat se pun mai multe probleme (care nu

sunt încă rezolvate în întregime! ):

Problema 1: În şirul există o infinitate de numere prime ?

Problema 2: În şirul există o infinitate de numere compuse ?

Referitor la prima problemă, este ştiut faptul că în afară de nu se

mai cunoaşte nici un alt număr Fermat prim!

În privinţa celei de-a doua probleme putem spune că se cunosc peste 100 de numere

Fermat compuse, cel mai mare fiind care are un număr de cifre şi care se

divide prin numărul .

O curiozitate este faptul că nu se ştie dacă numărul este prim sau compus.

PROPOZIŢIA 3.1.2. (i) Numerele Fermat sunt de forma , cu ;

(ii) Pentru orice număr natural n, avem:

iar

dacă

(iii) Dacă n este par atunci iar dacă n este impar, atunci

;

(iv) Pentru nici o valoare a lui n, numărul nu este pătrat sau cub perfect;

(v) Pentru divizorii primi p ai lui sunt de forma

).

DEMONSTRAŢIE: (i). Scriem şi cum , deduce că

.

(ii). Prima egalitate se obţine prin calcul direct. Pentru a doua egalitate vom recurge

la metoda inducţiei matematice după n şi obţinem:

(Verificarea).

iar aplicând ipoteza de inducţie se obţine exact egalitatea

cerută.

Pentru a treia concluzie vom lua şi fie .

Se observă din a doua egalitate că dar sunt impare şi atunci .

(iii). Evident . Cum pentru orice , ,

atunci

iar dacă presupunem că , atunci se va obţine:

53

şi totul va

rezulta prin inducţie.

Pentru cazul cu n impar se procedează analog.

(iv). Demonstraţia o vom face prin reducere la absurd.

Presupunem prin reducere la absurd că pentru un anumit număr există

astfel încât cu

absurd !

Presupunem de asemenea prin absurd că pentru un anumit există

astfel încât . Conform punctelor anterioare, pentru orice ,

sau pe când , deci şi egalitatea este

imposibilă.

(v). Dacă p este un divizor prim al lui , atunci

. Fie cel mai mic număr natural cu propietatea că . Atunci

, deci cu . Dacă , din deducem că

, ceea ce este absurd. Deci k=n+1. Conform micii teoreme a lui Fermat,

şi atunci , adică cu iar Astfel p=8t+1

şi

, adică 2 este rest pătratic modulo p. Atunci

şi în final

OBSERVAŢIA 3.1.3. Punctul (v) al propoziţiei de mai sus permite identificarea cu

uşurinţă a acelor numere prime care ar putea fi divizori ai unui număr Fermat. De exemplu,

pentru eventualii divizori primi ai săi trebuie să fie de forma

, adică 257, 641, ş.a.m.d., aşa că a fost relativ uşor pentru Euler să identifice factorul 641

ca fiind divizor prim al lui . Asemănător s-a putut demonstra faptul că

.

TEOREMA 3.1.4. (LUCAS-1891): Pentru , este număr prim dacă şi numai

dacă

.

DEMONSTRAŢIE: Conform propoziţiei 3.1. , este de forma . Pe

de altă parte, dacă un număr prim p este de forma p=12k+5, atunci

.

Astfel, dacă p= este prim, atunci

. Să presupunem că

. Atunci şi fie un divisor

prim, iar I cel mai mic număr natural pentru care . Conform micii

54

teoreme a lui Fermat,

.

Dacă cu , atunci

. Cum ,

şi astfel din

, de unde , adică p=2 ceea ce este imposibil

deoarece este impar. Prin urmare şi cum atunci

. Cum

şi , deci este prim.

3.2. NUMERE DE TIP MERSENNE

DEFINIŢIA 3.2.1. Se numesc numere de tip Mersenne toate numerele naturale de

forma , unde . Astfel, se obţin: , , , ,

, etc. În mod evident, dacă n este compus, atunci şi este compus. Pentru ca

să fie prim trebuie ca şi n să fie prim. Observăm că , ceea ce

înseamnă că pentru un prim nu este suficient ca n să fie prim.

Marin Mersenne a trăit în secolul 17 (1588-1648), dar numerele ce îi poartă azi

numele erau cunoscute încă din antichitate de Euclid.

Din păcate nu se ştie până azi dacă există o infinitate de numere prime p astfel încât

să fie prim, după cum nu se ştie exact nici dacă există o infinitate de numere prime p

astfel încât să fie compus. Unul din lucrurile importante care a impus studiul numerelor

Mersenne este acela că cele mai mari numere prime cunoscute până acum sunt de tip

Mersenne (se cunosc 42 astfel de numere ).

Iată un criteriu care ne permite să stabilim dacă un număr Mersenne este compus

sau nu:

PROPOZIŢIA 3.2.2. Fie p un număr prim, astfel încât este prim

şi . Atunci , deci este compus.

DEMONSTRAŢIE: Din deducem că , deci

.

OBSERVAŢIA 3.2.3. Din propoziţia anterioară deducem că , ,

, , , etc.

PROPOZIŢIA 3.2.4. Fie un număr prim, , sau

, , dar . Atunci n este număr prim.

DEMONSTRAŢIE: Fie , unde şi d=ord2(mod n) (deci d este

cel mai mic număr natural nenul cu proprietatea că ). Atunci ,

55

şi cum . Însă , deci

, unde n are descompunerea

. Cum

are un factor prim , deci .

Cum . Dacă , atunci ,

şi .

Dacă , se obţine , de unde . Absurd.

Dacă , avem , , , de unde

,

şi , ,

. Deci , dacă

şi . De asemenea se obţine ceva absurd!

Rezultă şi este prim. Să presupunem acum că şi să

considerăm şi în enunţul problemei anterioare. Avem şi ,

dar . Deci este prim.

TEOREMA 3.2.5.(LUCAS-LEHMER) Pentru număr prim impar,

este prim dacă şi numai dacă , unde este dat de şi

pentru .

OBSERVAŢII:

1. Nu se ştie încă dacă există o infinitate de numere Mersenne cu p prim;

cel mai mare număr Mersenne prim cunoscut era şi avea

2098960 cifre (a fost determinat în 1999 de Nayan Hajratwala ).

2. Cel mai mare număr Mersenne compus este cu

(care este prim ); acest număr a fost pus în evidenţă de A. Keller în

1987.

56

3.3. NUMERE DE TIP FIBONACCI

DEFINIŢIA 3.3.1. Numim şir Fibonacci şirul definit prin şi

pentru . Evident acest şir este un şir de numere naturale.

Acest şir de numere a fost introdus în anul 1228 de către matematicianul italian

Leonardo Fibonacci pornind de la studiul înmulţirii iepurilor de casă.

Ţinând cont că ecuaţia caracteristică a şirului Fibonacci este cu

rădăcinile:

şi

, deducem imediat că pentru orice ,

.

Următorul rezultat conţine o serie de proprietăţi interesante ale şirului .

PROPOZIŢIA 3.3.2. (i). Pentru orice are loc egalitatea

;

(ii). Pentru orice avem ;

(iii). Dacă atunci ;

(iv). Dacă şi este prim, atunci şi n este prim.

DEMONSTRAŢIE: (i). Se face inducţie matematică după m (sau n ).

(ii). Presupunem prin absurd că există astfel încât şi îl

alegem pe m minim cu această proprietate. Cum deducem că

şi atunci , cunoscând minimalitatea lui m.

(iii). Să presupunem că m|n, adică n=mk cu . Cum

şi

avem

(deoarece din

şi deducem că

pentru orice , de unde

concluzia.

(iv). Să presupunem prin absurd că n nu este prim; atunci cu şi din (i)

deducem că (cu contrazicând faptul că este prim.

57

3.4. NUMERE PERFECTE

DEFINIŢIA 3.4.1. Un număr natural n se zice perfect dacă (adică suma

a divizorilor săi naturali strict mai mici decât n este egal cu n ).

Numerele perfecte au fost studiate încă din antichitate, fiind cunoscute numerele

perfecte mai mici decât 10000 şi anume: 6, 28, 496, 8128.

Caracterizarea numerelor perfecte este dată de:

TEOREMA 3.4.2. Un număr natural n este perfect dacă şi numai dacă

, cu iar este prim.

DEMONSTRAŢIE: Necesitatea (Euler ). Să presupunem că (cu şi m

impar ) este perfect, adică . Cum , iar este multiplicativă,

, astfel că

.

Din ultima egalitate deducem că şi deoarece

(fiindcă este impar ) rezultă că , adică cu

. Rezultă că .

Dacă , numerele 1, d şi sunt divizori distincţi ai lui m şi vom

avea . Dar este în

contradicţie cu , deci d=1, adică . Dacă m nu este prim atunci

(fiindcă ar avea şi alţi divizori în afară de 1 şi )

şi contrazice .

Deci dacă n este perfect atunci cu necesitate cu şi

este prim.

Suficienţa (Euclid ). Dacă cu şi prim, atunci

, adică n este perfect.

Astfel, numerele pare perfecte sunt strâns legate de numerele prime Mersenne; cum

nu se ştie încă dacă există sau nu o infinitate de numere prime Mersenne, nu se ştie nici

dacă există sau nu o infinitate de numere pare perfecte.

Legat de numerele impare perfecte, din păcate nu se ştie până acum nici dacă există

astfel de numere!

58

3.5. NUMERE PSEUDO-PRIME, ABSOLUT PSEUDO-PRIME ŞI CARMICHAEL

DEFINIŢII: Un număr natural compus se zice:

(i). pseudo-prim dacă ;

(ii). absolut pseudo-prim dacă pentru orice întreg a avem ;

(iii). număr Carmichael dacă pentru orice întreg a pentru care

.

Legat de aceste numere, o concluzie este clară: aceste categorii de numere au apărut

în strânsă legătură cu mica teoremă a lui Fermat (cap. 1 ): dacă p este prim, atunci pentru

orice număr întreg a, .

În particular pentru orice număr prim p.

Astfel, o întrebare se pune în mod natural: dacă şi (adică n

este pseudo-prim ) rezultă că n este prim?

Pentru se ştie (încă de acum 4500 de ani de către matematicienii chinezi! )

că răspunsul la întrebarea de mai sus este afirmativ.

Numai că pentru avem că pe când 341 nu este prim

ci compus: .

OBSERVAŢII:

1. Numerele pseudo-prime mai mici ca 10000 sunt 341, 361, 1103.

2. H. Beezer a demonstrat că există o infinitate de numere pare ce sunt pseudo-

perfecte, cel mai mic fiind .

3. Există numere pseudo-prime ce sunt pătrate perfecte precum şi ; nu

se ştie încă dacă există o infinitate de astfel de numere.

Legat de numere pseudo-prime impare avem următorul rezultat:

TEOREMA 3.5.1. Dacă n este impar pseudo-prim, atunci şi este

pseudo-prim.

DEMONSTRAŢIE:Avem şi deci

, astfel că

, deci .

COROLAR 3.5.2. Există o infinitate de numere pseudo-prime impare.

Ca exemplu de numere absolut pseudo-prime avem pe sau

.

În schimb numărul 341 nu este absolut pseudo-prim deşi este pseudo-prim.

59

Cel mai mic număr Carmichael este 561; alte exemple sunt:

; cel mai mare număr Carmichael cunoscut are

1057 cifre.

Nu se ştie însă dacă există sau nu o infinitate de numere Carmichael.

Următoarea teoremă dă o caracterizare a numerelor Carmichael:

TEOREMA 3.5.3. Un număr compus

este număr Carmichael

dacă şi numai dacă sunt îndeplinite următoarele condiţii:

(i). n este impar;

(ii). ;

(iii). şi pentru orice .

DEMONSTRAŢIE: . Presupunem că există astfel încât . Fie

şi deci (a,n)=1. Dacă , atunci avem succesiv:

.

Cum , rezultă contradicţia

şi deci pentru orice

, adică .

Fie b o rădăcină primitivă şi . Considerăm ecuaţia

. Deoarece , această ecuaţie are soluţia . Numărul

este rădăcină primitivă şi în plus .

Avem deci şi , . Aşadar

şi cum este o rădăcină primitivă, rezultă , adică

pentru orice .

Cel puţin unul dintre factorii este impar şi deci este par şi, cum

, rezultă că este par, deci n este impar.

Pentru avem , . Fie o rădăcină primitivă pentru şi în

plus . Din rezultă şi deci

. Aceasta constituie o contradicţie deoarece şi a este

rădăcină primitivă.

„ . Fie (a,n)=1. Rezultă pentru orice şi deci,

notând , rezultă , . Cum

, rezultă . Deoarece pentru orice

rezultă şi .

60

3.6. NUMERE TRIUNGHIULARE

Definiţia 3.6.1.Un număr triunghiular este numărul de puncte dintr-un triunghi

unilateral umplut uniform cu puncte. De exemplu, trei puncte pot forma un triunghi şi deci

3 este un număr triunghiular. Al n-lea număr triunghiular este numărul de puncte dintr-un

triunghi cu n puncte pe latură.

Un număr triunghiular este, practic, suma primelor n numere naturale de la 1 la n:

.

Figura 7

Termenul din dreapta formulei de mai sus, termen format din două numere,

şi 2 unul peste celălalt între paranteze, este notaţia standard pentru coeficientul binomial, şi

poate fi citit „combinări de luate câte 2”. În această formă, numărul triunghiular

rezolvă „problema strânsului mâinilor”, adică dă numărul de strângeri de mână în cazul în

care fiecare persoană dintr-o cameră cu persoane dă mâna câte o singură dată cu

toate celelalte.

Şirul numerelor triunghiulare pentru n = 1, 2, 3... este:

1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, 36, 45, 55, ....

Numerele triunghiulare sunt un analog aditiv al factorialului, care este produsul

numerelor întregi de la 1 la n.

http://ro.wikipedia.org/wiki/Num%C4%83r_natural

http://ro.wikipedia.org/wiki/Coeficient_binomial

http://ro.wikipedia.org/wiki/1_(num%C4%83r)



http://ro.wikipedia.org/w/index.php?title=10_(num%C4%83r)&action=edit&redlink=1







http://ro.wikipedia.org/wiki/Factorial

http://ro.wikipedia.org/wiki/Fi%C8%99ier:N%C3%BAmeros_triangulares.png

61

Numerele triunghiulare au o gamă întreagă de legături cu alte numere figurate. Cea

mai simplă este că suma a două numere triunghiulare consecutive, este un pătrat perfect, şi

anume pătratul diferenţei celor două. Algebric, avem:

.

Alternativ, acelaşi fapt se poate demonstra grafic:

6 + 10 = 16

Figura 8 10 + 15 = 25

Figura 9

Există o infinitate de numere triunghiulare care sunt şi pătrate perfecte; de exemplu,

1, 36. Unele din ele pot fi generate printr-o formulă recursivă simplă:

unde .

Toate numerele triunghiulare şi pătrate pot fi găsite cu formula recursivă:

unde şi .

De asemenea, pătratul celui de al n-lea număr triunghiular este acelaşi cu suma

cuburilor numerelor întregi de la 1 la n.

3.7. NUMERE PRIME GEMENE

Definiţie: Dacă p şi sunt simultan numere prime, vom spune despre ele că

sunt numere prime gemene. De exemplu, numere prime gemene sunt: , ,

, , etc.

În 1949, Clément, P. A. (în cartea ”Congruences for sets of primes”, Amer. Math.

Monthly, 56, 1949, 23-25) a prezentat următorul rezultat legat de numerele prime gemene:

Pentru , numerele n şi sunt simultan prime dacă şi numai dacă

. Din păcate, din punct de vedere practice, acest rezultat nu are

nici o utilitate.

Nu se ştie la ora actuală dacă există o infinitate de numere prime gemene. Printre

cele mai mari numere prime gemene cunoscute amintim numerele ,

apoi numerele ca şi numerele .

http://ro.wikipedia.org/w/index.php?title=Num%C4%83r_figurat&action=edit&redlink=1

http://ro.wikipedia.org/w/index.php?title=P%C4%83trat_perfect&action=edit&redlink=1

http://ro.wikipedia.org/wiki/Fi%C8%99ier:Square_number_16_as_sum_of_two_triangular_numbers.svg

http://ro.wikipedia.org/wiki/Fi%C8%99ier:Square_number_25_as_sum_of_two_triangular_numbers.svg

62

Singuratatea numerelor prime gemene

O carte premiată cu trofeul Strega în 2008, despre doi oameni cu vieţi

disfuncţionale, defecte…

Alice suferă un accident de ski în copilărie şi rămâne şchioapă. Nu poate să-şi ierte

părinţii care o obligaseră să ia lecţii de ski şi devine o adolescentă anorexică, chinuită de

depresii şi frustrări.

Mattia are o soră geamănă care suferă de retard mintal şi pe care părinţii îl obligă să

o ia cu el peste tot, deşi simte că-l face de ruşine. În clasa a şaptea, băieţelul o lasă pe sora

lui într-un parc pentru câteva ore si n-o mai găseşte niciodată. Ca să-şi învingă propriile

fantome, începe să se taie cu lama.

Toate personajele cărţii sunt stranii, bântuite de trecut, de frustrări şi neîmpliniri. E

o lectură întunecată, genul de carte pe care nu simţi nevoia s-o mai citeşti a doua oară sau

s-o răsfoieşti din nou. E greu să ţi se mai facă dor de ea…

Mi-a plăcut însă enorm pasajul care dă şi titlul cărţii. Ideea este profundă, frumoasă şi

sinceră. Şi teribil de adevărată:

,,Numerele prime sunt divizibile numai cu unu şi cu ele însele. Stau la locul lor în

infinita serie de numere naturale, strivite, la fel ca restul, între altele două, dar cu un pas

mai încolo faţă de celelalte. Sunt numere bănuitoare şi solitare şi de aceea Mattia le găsea

minunate. Uneori credea că au ajuns din greşeală în acea secvenţă, că rămăseseră prinse în

capcană, ca nişte mici perle înşirate pe un colier. Alteori, în schimb, bănuia că şi lor le-ar fi

plăcut să fie ca restul, numai nişte numere oarecare, dar că, pentru un motiv anume, nu

erau în stare.

Al doilea gând îl atingea mai ales seara, în împletirea haotică de imagini dinaintea

somnului, când mintea e prea vlăguită ca să-şi spună minciuni.

La un curs din primul an, Mattia învăţase că, printre numerele prime, sunt unele şi

mai speciale. Matematicienii le numesc numere prime gemene: sunt perechi de numere

prime care sunt aproape, de fapt foarte aproape, pentru că între ele este mereu un număr

par care le împiedică să se atingă cu adevărat. Numere ca 11 şi 13, ca 17 şi 19, ca 41 şi 43.

Dacă ai răbdarea de a merge mai departe cu numărătoarea, descoperi că aceste perechi,

treptat, sunt tot mai rare. Dai peste numere prime tot mai izolate, rătăcite în acel spaţiu

tăcut şi cadenţat, constituit numai din cifre, şi ai presentimentul neliniştitor că perechile

întâlnite până acolo sunt un fapt accidental, că adevăratul lor destin este de a rămâne

singure. Apoi, exact când te pregăteşti să renunţi, când nu mai ai chef să numeri, iată că dai

63

peste alte două numere gemene, agăţate strâns unul de celălalt. Printre matematicieni există

convingerea comună că atât cât se poate merge mai departe, vor fi mereu altele două, chiar

dacă nimeni nu poate spune unde, până nu le descoperă.

Mattia se gândea că el şi Alice erau astfel, două numere prime gemene, singure şi

pierdute, apropiate, dar nu îndeajuns pentru a se putea atinge cu adevărat. Nu-i spusese asta

niciodată”.

3.8. NUMERE PITAGOREICE

Definiţie: Numerele pitagoreice sunt numere care pot fi lungimile laturilor unui

triunghi dreptunghic. O să scriem întâi tripletele de bază de la care putem porni şi apoi

vom da o explicaţie:

3 4 5

5 12 13

7 24 25

9 40 41

11 60 61

13 84 85 ş. a. m. d.

Practic primul număr din triplet este impar, iar între al doilea şi al treilea este o

diferenţă de 1.

Explicaţia se poate da prin faptul că, între două pătrate perfecte consecutive există o

diferenţă impară, iar în cazul că luăm situaţia în care diferenţa este chiar un pătrat perfect,

se obţin tripletele.

Se poate observa că al doilea termen din triplet este întâi 4, apoi cu 8 mai mult, apoi

cu 12 mai mult, apoi cu 16 mai mult, apoi cu 20 mai mult ş. a. m. d.

Evident aceste numere pitagoreice de bază nu sunt doar ele singurele triplete

pitagoreice ci putem înmulţi fiecare component al tripletului cu acelaşi număr şi se pot

obţine de exemplu:

1553

1243

933

623

2054

1644

1234

824

2555

2045

1535

1025

, adică

tripletele (6,8,10), (9,12,15), (12,16,20), (15,20,25), pentru care putem verifica faptul că:

64

222

222

222

222

252015

201612

15129

1086

unde evident că:

625400225

400256144

22514481

1006436

65

CAPITOLUL 4. APLICAŢII

4.1. PROBLEME DE DIVIZIBILITATE PE

1. Arătaţi că numărul de forma este divizibil prin 8 dacă şi numai dacă

este divizibil cu 8. Generalizare: un număr natural este divizibil cu 8 dacă şi

numai dacă suma dintre cifra unităţilor, dublul cifrei zecilor şi cifra sutelor mărită de 4

ori, este divizibilă cu 8.

Soluţie: . Deci

dacă şi numai dacă .

Considerăm numărul

.

Deoarece , rezultă că

dacă şi numai dacă .

2. Arătaţi că dacă şi numai dacă .

Soluţie: Fie şi

.

Observăm că . Folosind criteriul de divizibilitate cu 37

obţinem că iar , deci dacă şi numai dacă .

3. Arătaţi că numărul se divide cu 7 dacă suma cifrelor numărului este 7.

Soluţie: Numărul dacă şi numai dacă .

Obţinem succesiv: , care se

divide cu 7 .

4. Să se determine numerele naturale formate din patru cifre impare diferite, care

sunt divizibile cu 21.

Soluţie: Fie , , cu .Cum

implică: .

Avem astfel numere n cu proprietatea .

Dintre acestea, folosind criteriul de divizibilitate cu 7, găsim pe cele divizibile cu 7.

De exemplu 5397 ( , care se divide cu 7).

66

5. Să se arate că numărul

unde ,

, nu poate fi prim.

Soluţie: Numărul n are cifre, iar diferenţa dintre suma cifrelor de

rang par şi suma cifrelor de rang impar este 0, deci şi .

6. Fie numărul de cifre şi numărul de

3n cifre, . Arătaţi că, dacă , atunci şi .

Soluţie: Dacă avem

. Cum

şi

rezultă că .

Avem . Cum

rezultă că .

7. Fie numărul . Stabiliţi dacă n se divide cu 11.

Soluţie: Numărul n are cifre.

Suma cifrelor de rang impar este

iar suma cifrelor de rang par este

. Cum , numărul n nu se divide cu 11.

8. Să se rezolve ecuaţia în : xy-3x+3y=2016.

Soluţie: Ecuaţia dată este echivalentă cu (x+3)(y-3)=2007.

Cum rezultă următoarele situaţii:

x+3=1 şi y-3=2007, care nu are soluţii naturale;

x+3=3 şi y-3=669, adică x=0 şi y=672;

x+3=9 şi y-3=223 rezultă: x=6, y=226;

x+3=227 şi y-3=9, adică x=224 şi y=12;

x+3=669 şi y-3=3, adică x=666, y=6;

x+3=2007 şi y-3=1 rezultă: x=2004, y=4.

9. Să se arate că numărul N=2005 2007

+2006 2008

+2007 2005

+2008 2006

nu e pătrat

perfect.

Soluţie: Evident, dacă scriem u(x) ultima cifră a numărului x avem următoarele:

u (2005 2007

) = 5

67

u (2006 2008

) = 6

u (2007 2005 ) = u (7 4*501+1 ) = u (71)= 7

u (2008 2006

) = u (8 2006

) = 4

u (N) = u (5+6+7+4) = 2 N nu e pătrat perfect.

10. Sa se compare numerele: şi

.

Soluţie: 2006=2005+1,

2007=2006+1.

A=2006·20062006

+20072006

=20062006

+2005·20062006

+20072006

B=20062006

+2007·20072006

=20062006

+2006·20072006

+20072006

Cum 2005<2006 si 20062006

<20072006

=>A<B.

11. a) Să se arate că numărul N=6+62+6

3+6

4+.....+6

100 este divizibil cu 7;

b) Să se afle ultima cifră a lui 2007 2005 ⋅ N .

Soluţie:

a) N=6(1+6)+63(1+6)+........+6

99(1+6) este divizibil cu 7;

b) u(N)=u(20072005

)u(N)=u(72005

)u(N)=0.

12. Să se determine numerele de forma ştiind că:

Soluţie: 7(10a+b)+10b+a=(1001a+110b):11+1

71a+17b=91a+10b+1 20a+1=7b a=1; b=3.

13. Să se determine suma numerele de forma cu

şi

.

68

Soluţie:

4.2. MULŢIMEA NUMERELOR PRIME

1. Fie astfel încât . Să se arate că nu poate

fi prim.

Soluţie: Din condiţia iniţială care spune că deducem că există numerele

naturale nenule astfel încât:

; ; ; .

Atunci obţinem:

.

2. Determinaţi toate numerele naturale astfel încât numerele , ,

, , şi să fie simultan prime.

69

Soluţie: Pentru , numărul este compus. Pentru , numărul

este compus. Pentru , numărul este compus. Pentru ,

numărul este compus. Pentru obţinem şirul format

numai din numere prime.

Trebuie să arătăm că este singura valoare pentru care problema este

adevărată. O să considerăm cazurile resturilor împărţirii numărului n la 5, adică:

Dacă , atunci numărul este divizibil cu 5, deci nu este prim.





Deci, nu mai există alt n care să satisfacă problema dată.

3. Determinaţi toate numerele naturale astfel încât numerele n, ,

, , şi să fie simultan prime.

Soluţie: Pentru , numărul este compus. Pentru , numărul

este compus. Pentru , numărul este compus. Pentru ,

numărul este compus. Pentru , numărul este compus. Pentru

obţinem şirul format numai din numere prime.

Trebuie să arătăm că este singura valoare pentru care problema este

adevărată. O să considerăm cazurile resturilor împărţirii numărului n la 5, pentru

adică:






Deci, nu mai există alt n care să satisfacă problema dată.

4. Să se determine numerele prime p pentru care .

Soluţie: Conform micii teoreme a lui Fermat, obţinem . Cum trebuie,

conform ipotezei, ca , atunci trebuie ca p să dividă diferenţa lor, adică ,

adică .

Se poate verifica uşor că .

70

5. Fie astfel încât este prim. Atunci sau , cu .

Soluţie: Dacă atunci este prim.

Dacă atunci alegem şi este prim.

Considerăm . Presupunem prin reducere la absurd că n nu este de forma .

Atunci n se scrie sub forma , unde şi atunci

şi atunci nu mai este prim, absurd.

Atunci sau , cu .

6. Dacă , atunci ( este al n-lea număr prim).

Soluţie: Facem inducţie după n.

Pentru , numărul şi . Între n şi găsim cel puţin două

numere prime şi deducem că . Atunci, dacă admitem

inegalitatea din enunţ pentru orice k, unde . Deci:

7. Fie p un număr prim şi numere întregi cu pentru orice

. Să se arate că utilizând numerele se pot forma sume ce dau

resturi diferite la împărţirea prin p.

Soluţie: Facem inducţie după r. Pentru totul este clar deoarece sumele dau ca

resturi 0 şi .

Presupunem adevărată relaţia adevărată pentru şi neadevărată

pentru şi vom ajunge la o contradicţie.

Presupunem că sumele formate din k termeni dau resturi diferite

. Atunci, deoarece după adăugarea lui numărul sumelor diferite nu

trebuie să se mărească, toate sumele , , … , (modulo p) vor fi cuprinse

în mulţimea . Practic, dacă la orice element al acestei mulţimi se adaugă b,

atunci se obţine tot un element din această mulţime. Deci, această mulţime conţine

elementele .

Deoarece iar şi , atunci în ştim că

. Contradicţia provine din faptul că mulţimea conţine p elemente

diferite deşi am presupus că .

8. Dacă p este un număr prim arbitrar, atunci din orice numere întregi se

pot alege p astfel încât suma lor să se dividă prin p.

71

Soluţie: Fie resturile împărţirii celor

numere la p. Fie diferenţele:

, , …,

Dacă unul dintre aceste numere este 0, de exemplu , atunci

iar suma celor p numere, adică .

Cazul în care toate diferenţele de mai sus sunt nenule se studiază separat. Fie x

restul împărţirii sumei la p. Dacă atunci totul este clar. Dacă

, putem forma din diferenţele de mai sus o sumă care să dea restul la

împărţirea cu p.

Adăugând respectivele diferenţe la şi efectuând reducerile

evidente obţinem o sumă formată din p termeni care se divide prin p.

9. Dacă este un număr natural oarecare, atunci dintre oricare

numere întregi se pot alege n astfel încât suma lor să se dividă prin n.

Soluţie: Trebuie să demonstrăm că dacă problema este adevărată pentru şi

atunci ea este adevărată şi pentru .

Trebuie demonstrată afirmaţia pentru n prim.

Fie date numere întregi. Deoarece afirmaţia este presupusă adevărată

pentru şi , din cele numere se pot alege b astfel încât

suma acestora se divide prin b.

Apoi, din cele rămase, (dacă nu sunt mai puţine de ) alegem încă b numere

care se bucură de această proprietate, ş.a.m.d.

Deoarece atunci această operaţie se poate repeta

de ori şi se pot obţine alegeri de câte b numere astfel încât media aritmetică

a celor b numere este număr întreg. Cum afirmaţia este presupusă adevărată pentru ,

din aceste medii aritmetice se pot alege a medii astfel încât suma acestora să se

dividă prin a.

Este sigur că cele numere formate din cele a alegeri de câte b numere au

proprietatea cerută, căci

.

10. Demonstraţi că orice număr natural se poate scrie sub forma

cu , , şi .

72

Soluţie: Dacă n este impar, cu atunci şi cum este

impar, atunci iar şi .

Dacă presupunem că n este par şi , atunci avem:

Dacă , unde atunci şi deoarece

iar avem din nou descompunerea dorită.

Dacă , unde atunci şi deoarece

arătăm că . Fie astfel încât

şi . Obţinem că . Dar d trebuie să fie impar. Atunci

nu poate să fie decât .

11. Demonstraţi că pentru orice , avem: .

Soluţie: Pentru , avem: .

Putem scrie cu , unde . Atunci

pentru orice . Fie şi cu p şi q prime şi putem presupune că

. Cum rezultă că , deci . Cum

deducem relaţia cerută.

4.3. CLASE SPECIALE DE NUMERE NATURALE

1. Demonstraţi că nici unul din numerele lui Fermat unde , n

număr natural, nu se poate scrie sub forma , unde p şi q sunt numere prime.

Soluţie: Cum, pentru , numărul este impar, dacă există numerele p şi q

prime astfel încât atunci cu necesitate şi şi astfel

, absurd.

2. Arătaţi că este cel mai mic divizor prim al numărului .

Soluţie: Se poate demonstra că dacă a este un număr natural par, şi p este

prim astfel încât , atunci p este de forma cu . Deci dacă

p este prim şi atunci . Cum numărul este

prim, atunci

, adică . Însă

,

deci şi atunci

, adică

deci este cel mai mic divizor prim al lui .

73

3. Să se arate că orice număr impar n este divizor pentru o infinitate de numere

Mersenne.

Soluţie: Fie cu . Atunci ,

de unde concluzia . Cum , conform teoremei lui Euler deduce că

.

4. Să se arate că pentru nu putem găsi astfel încât .

Soluţie: Presupunem prin absurd că pentru există astfel încât

(cu necesitate k este impar şi ). Pentru m număr par

rezultă contradicţia iar pentru cazul în care m este număr impar avem

, egalitate contradictorie deoarece

este impar şi .

5. Câte cifre are numărul ?

Soluţie: Se ştie că dacă , atunci ,

atunci a are n cifre. Avem:

şi deci are 31 cifre.

6. Să se demonstreze că pentru orice număr compus impar n care divide pe ,

există un număr compus impar m unde care de asemenea divide pe .

Soluţie: Fie cu impare şi astfel încât .

Notăm şi în mod evident . Cum

şi cum deducem că m este compus. Avem: şi

, astfel că .

7. Să se arate că numărul este pseudo-prim.

Soluţie: Trebuie să demonstrăm mai întâi că . Putem observa că

numerele sunt prime. De asemenea putem scrie:

.

.

.

Atunci , de unde putem deduce că .

74

Din mica teoremă a lui Fermat obţinem că şi deci

. Cum deducem că:

(1)

Avem şi şi astfel

. Cum deducem că .

Dar şi atunci deducem că:

(2)

De asemenea şi deci deducem că

. Obţinem şi astfel:

(3)

Din (1), (2) şi (3) deducem că , adică n este pseudo-prim.

8. Să se arate că

.

Soluţie: Prin calcul direct se obţine rezultatul.

9. Să se arate că şirul de numere Fibonacci verifică relaţiile:

i) ;

ii) ;

iii)

;

iv)

;

v)

.

Soluţie: Pentru i), iv) şi v) facem inducţie matematică după n ţinând cont că

unde

şi

.

Pentru cazurile ii) şi iii) facem calcule directe.

75

CAPITOLUL 5. METODICA PREDĂRII ALGEBREI ÎN GIMNAZIU

5.1. OBIECTUL METODICII PREDĂRII MATEMATICII

Matematica se diferenţiază în două componente ce se pot intitula succint

”matematica ştiinţă” şi ”matematica de conexiune”. Această desfacere nu este o împărţire

standard ci doar un mod convenţional.

Pentru ”Matematica ştiinţă” deosebim:

a) Structura;

Fundamentele matematicii precizează interpretarea matematicii ca teorie deductivă

raportată la sisteme axiomatice cu diverse niveluri de formalizare.

b) Rezultate;

Se referă la multitudinea de propoziţii împreună cu demersurile argumentării lor

logico-deductive.

c) Clasificări. Reordonări;

O bună gestionare a multitudinii rezultatelor impune clasificări pe domenii şi

subdomenii ce se referă inclusiv la redemonstrări.

d) Istorie. Evaluare;

Este necesară evidenţierea unor momente, idei, persoane sau şcoli şi relevanţa lor

actuală.

e) Direcţii de evoluţie.

”Matematica de conexiune” elucidează legăturile ei multifuncţionale cu:

i) Realitatea materială şi socială;

ii) Filozofia (ca reflectare în plan cognitiv a realităţii);

iii) Alte ştiinţe (în dinamica lor);

iv) Tehnica;

v) Didactica.

Didactica reflectă imperativele şi legităţile operaţiei de primă importanţă a

transmiterii peste generaţii de: cunoştinţe, deprinderi, abilităţi, emoţii. Prin obiectul şi

metodele ei, didactica apare ca ştiinţă de graniţă între pedagogie şi psihologie.

Metodica predării matematicii, numită pe scurt MPM constituie acea parte a

didacticii care se referă la matematică.

Schema următoare este relevantă pentru metodica predării matematicii:

76

Deoarece termenul de predare necesită măcar subînţelegerea unui adresant, a unei

persoane care să fie receptor al informaţiei, putem distinge în MPM următoarele adresări:

a) şcolii primare;

b) gimnaziului;

c) liceului;

d) universităţii;

e) postuniversitar.

În şcoala primară, cunoştinţele de matematică au un nivel redus de specificitate şi

particularizările ce apar în raport cu didactica sunt destul de puţin relevante.

Matematica predată în facultăţile şi colegiile de matematică este mai puţin legată de

predarea ei.

Este mai relevantă insistenţa pe metodica predării în gimnaziu şi liceu.

5.2. ALGEBRA ŞI ALGEBRA ŞCOLARĂ

Printre disciplinele matematice, algebra elementară joacă un rol fundamental.

Metoda algebrică este caracterizată prin faptul că numerele, şi apoi şi alte obiecte, se

notează prin litere şi operaţiile se fac după legi bine determinate, dar fără a preciza ce

număr reprezintă fiecare literă. Se fac operaţii cu numere oarecare, nedeterminate, dintr-o

anumită mulţime, în funcţie de nivelul clasei: mulţimea numerelor naturale , mulţimea

numerelor întregi , mulţimea numerelor raţionale , mulţimea numerelor reale .

Operaţiile şi relaţiile, la rândul, se notează prin semne (+ , -, =, > ).

Concepută la început ca un fel de stenografie, ca un mijloc de exprimare în scris,

notaţia algebrică s-a transformat treptat într-un instrument de lucru foarte eficace şi uşor de

manevrat. Datorită ei, gândirea nu se mai desfăşoară cu ajutorul cuvintelor din gândirea

obişnuită, ea lucrează direct cu simbolurile. Dar lucrurile nu se opresc aici. Treptat,

simbolurile algebrice se eliberează de conţinutul lor şi capătă o viaţă proprie, ele iau locul

noţiunilor corespunzătoare şi operaţiile matematice se reduc la operaţii cu simboluri.

MATEMATICĂ DIDACTICĂ INFORMATICĂ

MPM MP Inf

PEDAGOGIE PSIHOLOGIE PEDAGOGIE

77

Semnele algebrice devin adevărate vehicule ale gândirii, care duc uneori gândirea dincolo

de intenţiile iniţiale ale celor ce le folosesc. Este adevărată vorba în legătură cu rolul

literelor în formarea algebrei, că ”literele sunt mai înţelepte decât oamenii”.

Aproape toate disciplinele matematice care s-au format începând cu secolul al

XVII-lea, în special analiza matematică şi geometria analitică, s-au dezvoltat pe baza

algebrei. În toate disciplinele matematice, notaţia joacă un rol esenţial: în momentul în care

se introduce o noţiune nouă, o operaţie sau o relaţie nouă, se prezintă şi simbolul

corespunzător sau notaţia. Primul pas spre matematizarea unei ştiinţe este crearea unui

sistem de simboluri adecvat. Toate acestea se fac după modelul algebrei.

Acest fapt se poate observa că se reflectă şi în învăţământ. Nici o altă disciplină

matematică, în afară de geometria elementară (şi în această situaţie, numai în mică

măsură), nu se poate învăţa fără a stăpâni calculul algebric.

În decursul dezvoltării sale istorice, algebra şi-a schimbat de mai multe ori

conţinutul principal.

În urma unei dezvoltări discontinue, momentele principale sunt: calculul ”hau” al

egiptenilor, algebra geometrică a grecilor, Diofante şi matematica din Asia mijlocie (indo-

arabă). Apoi, la sfârşitul evului mediu şi în timpul Renaşterii ”algebra” se constituie ca

ştiinţă, mai ales datorită lucrărilor matematicienilor (Fibonacci, Tartaglia, Cardano ş.a.).

Tot atunci apare şi numele ei. Începând din acel moment, s-au putut deosebi trei perioade

principale în dezvoltarea algebrei, neputând fii trasate hotare de timp precise între ele:

1) Algebra în spiritul lui Vieta.

În prima perioadă se cristalizează notaţiile literare, se introduc semnele operaţiilor,

se dezvoltă calculul algebric, se obţin primele rezultate în rezolvarea ecuaţiilor şi se

inventează logaritmii. Tot atunci numerele negative se încetăţenesc definitiv în

matematică. Această parte a algebrei se numeşte în mod curent ”algebra elementară”. Ea

a fost sintetizată pentru prima dată de către marele matematician L. Euler, în cartea sa

”Introducere în algebră”(1767). Această carte a servit, direct sau indirect, ca model pentru

cele mai multe manuale şcolare de algebră şi prezintă interes şi astăzi din punct de vedere

metodic.

2) Algebra ca teorie a ecuaţiilor.

În a doua jumătate a secolului al XVIII-lea şi în prima jumătate a secolului al XIX-

lea, în centrul algebrei stă rezolvarea ecuaţiilor algebrice, adică a ecuaţiilor de forma:

78

Rezolvarea ecuaţiilor de gradul III şi IV a fost un succes imens, fiind prima realizare prin

care a fost depăşită ştiinţa antică. În această perioadă, cei mai de seamă matematicieni din

lume (Descartes, Euler, Lagrange, Gauss ş.a.) au făcut cercetări menite să aducă la găsirea

unor formule de rezolvare a ecuaţiilor de grad mai mare decât IV. Eforturile lor n-au avut

succes şi nu puteau să aibă. Cercetările din această direcţie au fost încheiate prin lucrările

lui Abel, care a demonstrat că ecuaţiile de grad mai mare decât IV nu pot fi rezolvate prin

radicali. Tot în acea perioadă s-au dezvoltat, în legătură cu geometria analitică, teoria

determinanţilor, a matricelor, a transformărilor liniare, a invarianţilor. Algebra creată în

această etapă poartă numele de ”algebră superioară”.

Împreună, primele două stadii împreună mai poartă şi numele de ”algebră

clasică”.

3) Algebra modernă.

Datorită mecanicii şi fizicii au fost introduse în matematică ”mărimi” noi, cum ar fi

vectorii, tensorii, matricele ş.a., care se notează, ca şi numerele, prin litere şi cu ajutorul

cărora se fac operaţii.

Aceste operaţii se definesc pentru fiecare fel de mărime în parte (într-un fel se

adună două numere complexe şi altfel se adună două matrice, într-un fel se află produsul a

două numere naturale şi altfel produsul a două omotetii). Dar, fiecare din aceste operaţii au

multe proprietăţi comune sau asemănătoare cu proprietăţile operaţiilor cu numere.

În acest fel s-a trecut la studiul operaţiilor sub formă generală, în care se face

abstracţie de natura fiecărei operaţii în parte. Apariţia semnelor , , etc. prin care se

notează operaţiile oarecare corespunde introducerii literelor pentru a nota numerele

oarecare. Algebra modernă are ca obiect studiul sistemelor algebrice, adică al mulţimilor în

care sunt definite anumite operaţii, cum sunt: grupurile, inelele, corpurile, spaţiile

vectoriale ş.a.

Aritmetica, algebra clasică şi algebra abstractă (modernă) pot fi caracterizate prin

schema următoare:

Aritmetica – operaţii determinate cu elemente determinate;

Algebra clasică – operaţii determinate cu elemente nedeterminate;

Algebra abstractă – operaţii nedeterminate cu elemente nedeterminate.

Într-un anumit sens, algebra modernă este o revenire la algebra în spiritul lui Vieta,

căci ea se ocupă, pe o treaptă superioară, cu diverse calcule literale, având ca obiect

operaţiile, considerate sub formă generală.

79

În zilele noastre, apariţia maşinilor moderne de calcul, a computerelor, pune

algebrei probleme noi. Automatizarea a dus la crearea unor teorii noi, teoria mecanismelor

automate, la care algebriştii din ţara noastră, în frunte cu academicianul Gr. C. Moisil, au

adus contribuţii importante. Aplicaţiile cele mai noi ale matematicii în ştiinţele care nu au

folosit-o până acum ţin în mare măsură de algebră.

Cuvântul ”algebră”vine de la titlul tratatului ”Al-geabr v-al-mucabala”, scris de

Muhamad ibn Musa al Horesmi (sec. IX d. Hr.). Această carte a influenţat mult dezvoltarea

matematicii în Europa începând din secolul al XII-lea.

5.3. PRINCIPIILE DIDACTICII

Principiile didacticii sunt teze generale, norme directoare pentru întreaga activitate

instructiv-educativă. Ele au fost enunţate de Comenius, deşi unele se cunoşteau încă din

antichitate. Numărul lor şi modul lor de formulare variază de la autor la autor, dar

împreună formează un sistem. Numerotarea lor este nesemnificativă, iar enumerarea lor

poate fi justificată doar de necesităţile unei expuneri sistematice.

1. Participarea conştientă şi activă a elevilor.

2. Caracterul intuitiv al învăţământului.

3. Legătura cu practica.

4. Învăţământul sistematic şi continuu.

5. Însuşirea temeinică a cunoştinţelor şi deprinderilor.

6. Accesibilitatea (respectarea particularităţilor de vârstă şi individuale).

7. Conexiunea inversă.

8. Caracterul ştiinţific.

9. Motivaţia optimă.

10. Problematizarea.

11. Educaţia permanentă şi continuă.

Primele 7 principii aparţin didacticii clasice, 8,9 şi 10 se ridică la nivel de principii

în contextul restrâns la metodicii predării matematicii, iar ultimul este în strânsă legătură

cu psihopedagogia modernă.

1. Participarea conştientă şi activă a elevilor.

Acumularea accelerată a cunoştinţelor omenirii şi dorinţa unor profesori de a fi bine

informaţi în legătură cu noutăţile exercită presiuni asupra modului de transmitere a

informaţiei didactice, dând posibilitatea acceptării unor memorări superficiale, iniţial

80

considerate provizorii, dar care devin permanente prin veşnica lipsă de timp. Memorările

mecanice duc la fixări slabe, puţin stabile în timp, informaţia îmbogăţindu-se permanent şi

nu poate fi reţinută bine.

Putem vorbi de următoarele niveluri de cunoaştere:

- Mecanică ( a receptat-o, a reţinut-o şi poate să o aplice în mod brut);

- Inductivă ( a folosit regula de un număr de ori şi s-a convins că funcţionează

corect, chiar şi dacă se schimbă mult datele);

- Raţională ( a înţeles mecanismul şi poate să o aplice cu oarecare variaţii);

- Integrativă ( a înglobat regula într-un sistem şi poate să o folosească adaptând-o

într-un mod creativ).

2. Caracterul intuitiv al învăţământului.

Din punct de vedere etimologic, ”intuire” înseamnă ”a vedea în” (tuere = a vedea).

Practic, înţelesul este că ”vederea” nu se opreşte la detalii ce ar putea fi nesemnificative, ci

caută aspecte esenţiale. Când discutăm despre cuvântul „intuitiv” folosim două sensuri:

- neabstract, neriguros, plauzibil;

- integrativ (opus lui detaliat, analitic).

Limbajul profesorului de matematică trebuie să fie unul adaptat. În obligaţia sa de a

forma la elevi un limbaj ştiinţific riguros este indicat ca, în cadrul discursului său

matematic, să dea un bun exemplu. Principiul ne îndeamnă să părăsim cadrul abstract şi să

operăm pe un model concret ce are ca principal merit faptul că este senzorial, deci familiar.

Polya afirmă: ”Abstracţiunile sunt importante: uzaţi de toate mijloacele de a le face cât mai

accesibile. Nimic nu este prea bun sau prea rău, prea poetic sau prea vulgar pentru a vă

clarifica abstracţiunile”. De asemenea, Montaigne afirmă: ”Adevărul este un lucru atât de

mare, încât nu trebuie să dispreţuim nici unul dintre mijloacele ce ne conduc la el. De

aceea, dacă sufletul vă îndeamnă să fiţi un pic poetic sau un pic vulgar în clasă, nu vă lăsaţi

împiedicaţi de o jenă nejustificată”.

3. Principiul legării teoriei de practică.

Acest principiu este substanţial demonetizat de prea frecventa sa uzare într-un

context ideologic depăşit, dar nu trebuie negat complet. În linii mari, acest principiu revine

la o corectă corelare a senzorialului cu raţionalul şi permite adesea o extensie a motivaţiei.

În cadrul metodicii predării algebrei, principiul admite o relevanţă specială

deoarece conceptul de ”practică” este mult lărgit prin consens. Când o teorie acreditează un

algoritm îl considerăm drept ”practică” în raport cu ”teoria”. Cel puţin, folosind această

extensie de sens utilitatea principiului este prea evidentă pentru a mai fi argumentată.

81

4. Principiul învăţământului sistematic şi continuu.

Programa este împărţită la un moment dat pe clase şi profile. Profesorul îşi

detaliază secvenţele din programă în planul său calendaristic. El trebuie să gândească apoi

într-o desfăşurare sistematică şi continuă.

Sistematizarea vizează desfăşurarea ordonată logic şi pedagogic a conţinuturilor,

ordonarea capitolelor şi paragrafelor, succesiunea ideilor şi argumentelor.

Continuitatea se referă la un ritm de receptare, asimilare şi fixare a cunoştinţelor

permiţând astfel evaluări, controale şi reglări.

Cele două, sistematizarea şi continuitatea, se condiţionează reciproc, una fiind

nerealizabilă în absenţa celeilalte. Pregătind apoi grupuri de lecţii, profesorul îşi detaliază

planificarea iniţială respectând acelaşi principiu.

5. Principiul însuşirii temeinice a cunoştinţelor.

Învăţarea temeinică constă în calitatea ei de a produce rezultate consistente, stabile

şi aplicabile. Aceasta este validată atunci când învăţarea generează învăţare, adică

structurile cognitive personale manifestă tendinţe de autodezvoltare. Pedagogul ceh

Comenius asemăna această sete de întregire a cunoaşterii cu un pom care se alimentează

din propria sevă.

Dintre cele mai frecvente activităţi ale profesorului, orientate spre asigurarea

temeiniciei cunoştinţelor acumulate, se recomandă:

- recapitulări îmbogăţite;

- prezentări de noi criterii logice şi scheme de organizare a cunoştinţelor;

- evaluări în concepţii variate;

- reîmprospătări şi consolidări.

Nu se poate vorbi despre o însuşire temeinică a unei teme în ora de predare,

temeinicia având nevoie de consolidări, sedimentări şi restructurări.

Temeinicia învăţării se opune practic superficialităţii, învăţării în salturi sau cu

lacune şi învăţării formale, ultima dintre ele fiind relativ frecvent depistată la disciplina

matematicii.

6. Principiul accesibilităţii şi individualizării procesului de învăţământ.

Secvenţa predare-învăţare-evaluare notată pe scurt PIE trebuie să examineze

accesibilitatea unei secvenţe de cunoştinţe în raport cu un grup de elevi şi aici apare ca

relevant conţinutul secvenţei. În plus trebuie să intervină şi numeroşi alţi parametrii, cum ar

fi:

- durata PIE;

82

- metodele şi procedeele PIE;

- mijloacele disponibile;

- necesităţile secvenţei în disciplina de învăţământ şi în formarea elevilor;

- motivaţiile elevilor şi ale profesorului;

- performanţele ce sunt aşteptate.

După ce profesorul de matematică şi-a proiectat şi realizat lecţiile la nivelul de

accesibilitate pe care şi l-a propus, problema accesibilităţii se transferă fiecărui elev şi, cu un

oarecare grad de dificultate presupus dinainte, se va realiza o învăţare conştientă, activă şi

durabilă.

7. Principiul conexiunii inverse.

În mod prioritar, momentul evaluării permite controlul activităţii desfăşurate şi al

reglării ei spre optimizare. Evaluarea nu trebuie gândită în sensul strict, iar majoritatea

profesorilor simt chiar în timpul predării efective ”fluxul” care îi informează despre

receptivitatea elevilor. În raport cu planificarea stabilită iniţial, fiecare informaţie primită de

la clasă permite o adaptare mai eficientă a demersului instructiv-educativ. Controlul temei

de acasă reprezintă un alt instrument de reglare. În acelaşi timp, el poate şi trebuie să-i

stimuleze pe elevi să se autoevalueze şi, pe această bază, să corecteze şi să amelioreze

cunoştinţele dobândite. Pentru profesorii şi elevii conştiincioşi, aceste feed-back-uri capătă

caracter de continuitate.

Activitatea de învăţare a matematicii impune aproape mereu treceri pe lângă posibile

erori, imprecizii sau inadvertenţe. Profesorul îşi actualizează din timp posibilele sale erori şi

ale elevilor. Aici este foarte adecvată vorba: ”se învaţă mai bine din greşeli”.

8. Principiul caracterului ştiinţific al învăţământului matematic.

Acest principiu este asigurat de corectitudinea informaţiilor extrase din matematică,

cea care este practic regina ştiinţelor. Aceste informaţii parvin în primul rând prin manuale

şi nu sunt afectate de erori pasagere.

De asemenea, caracterul ştiinţific al predării matematicii este asigurat de nivelul de

rigoare adoptat. Acesta trebuie evident corelat cu gradul de accesibilitate. Accesibilitatea nu

afectează rigoarea definiţiilor şi teoremelor.

Acest principiu este validat şi de însuşirea treptată, dar conştientă, a metodelor şi

limbajului ”matematicii ştiinţă”.

Principiul este argumentat prin existenţa unor sisteme de evaluare precisă, în cadrul

cărora subiectivitatea şi şansa sunt reduse la minim.

Este destul de sigur că acest principiu nu restrânge creativitatea profesorului de

83

matematică sau a elevului.

9. Principiul motivaţiei optime.

Unui profesor de matematică ar putea să i se pară ciudat faptul că pentru a învăţa

este nevoie de o motivaţie. Pentru o explicaţie a acestui fapt este necesară cunoaşterea

”piramidei trebuinţelor”, aşa cum a explicat-o psihologul american H. Maslow.

Trebuinţe de autorealizare

Trebuinţe de stimă, statut

Trebuinţe de afiliere, apartenenţă

Trebuinţe de securitate

Trebuinţe biologice (alimentaţie, somn, etc.)

Sunt mai multe principii ce funcţionează în raport cu cele cinci categorii majore de

trebuinţe de mai sus:

- cu cât o trebuinţă este mai continuu satisfăcută, cu atât ea direcţionează şi susţine

energetic mai puţin comportamentul orientat spre satisfacerea ei;

- o trebuinţă nu constituie motivaţie dacă cea anterioară ei nu a fost satisfăcută

suficient;

- trebuinţele se realizează gradual;

- trebuinţele mai apropiate de vârf sunt specific umane.

Motivaţia admite mai multe forme:

- pozitivă (produsă de recompense) sau negativă (evitând pedepse);

- intrinsecă (satisfăcută de îndeplinirea acţiunii) şi extrinsecă (de exemplu, a

învăţa pentru notă, a alege o profesie datorită salariului ridicat, etc.);

- cognitivă sau afectivă.

O bună adecvare între intensitatea motivaţiei şi dificultatea sarcinii conduce la o

creştere a eficienţei activităţii şi a satisfacţiei resimţite.

Orice acţiune umană desfăşurată în timp se conexează cu un sistem motivaţional. În

raport cu totalitatea motivaţiilor, considerăm că o acţiune este slabă, optimă şi supramotivată.

Este evident că o acţiune slab motivată conduce la rezultate mediocre, slabe.

Supramotivarea are mai puţine efecte negative. Poate apărea riscul ca, după evoluţii

ascendente, promiţătoare, să apară stagnări, regrese sau chiar clacări dramatice. Practic,

supramotivarea poate conduce la suprasolicitare, care nu mai poate beneficia de împrospătări

relevante de motivaţie.

84

Între submotivare şi supramotivare există un nivel optim numit ”motivaţie optimă”.

Pericolul submotivării apare frecvent. Buna cunoaştere a elevului şi a anturajului său

permite o intervenţie orientată spre creşterea motivării. Între posibilele motivări prin

recompense şi pedepse, trebuie preferate primele.

Supramotivarea apare mai rar, profesorul omiţând-o de multe ori din consideraţiile

sale. Este destul de bine să se întâmple acest lucru frecvent, deoarece rezultatele elevului

sunt momentan favorabile.

Activitatea de învăţare şcolară este un act unitar. Principiul motivaţiei optime solicită

în acest caz toţi profesorii elevului. O analiză mai individualizată desprinde din contextul

general învăţarea la matematică şi motivaţiile sale specifice. Prin urmare, profesorului de

matematică nu îi poate fi suficientă antrenarea în eforturile celorlalţi.

Pericolul supramotivării la matematică apare mai ales în legătură cu participarea la

olimpiadă. Apare recompensa prin afirmarea pe plan naţional şi chiar internaţional,

participări la tabere de pregătire sau excursii, evitarea încadrării stricte într-un program

şcolar obişnuit, tratamentul pedagogic preferenţial şi imaginea de sine şi despre sine

favorabilă. De asemenea, părinţii susţin ca elevii să fie încadraţi în grupuri supraselecţionate.

Motivaţia intrinsecă majoră constă în înţelegerea formativă a matematicii cu scopul

de a ghida structura cognitivă personală către cariera aleasă. Acesta este un deziderat, adesea

puţin operant în timpul activităţii şcolare. De altfel, dacă discutăm despre atractivitatea

pentru elev către meseria de profesor de matematică, aceasta este foarte scăzută. Maximul de

eficienţă provine din faptul că învăţarea cuprinde în sine propria răsplată.

10. Principiul problematizării.

Acest principiu nu este inclus de psihopedagogie în sistemul principiilor didactice.

Există doar cerinţe metodice în această direcţie. Acest principiu este specific şi chiar necesar

în didactica matematică. Principiile participării conştiente şi active, al intuiţiei şi al legăturii

teoriei cu practica sunt conectate cu cel al problematizării, dar ele nu îl asimilează şi nu îi

ştirbesc individualitatea.

În psihologie, ”problema” apare ca un obstacol cognitiv între subiect şi realitatea pe

care trebuie sau doreşte să o cunoască. Practic ”rezolvarea problemei” reprezintă tentativele

de depăşire a obstacolului prin demersuri cognitive (reuşită-nereuşită, voluntară-involuntară,

algoritmică-euristică, etc.).

Termenii ”problemă” şi ”exerciţiu” nu sunt delimitaţi ferm şi sensurile lor se

suprapun parţial într-o variaţie subiectivă. De fapt, ”exerciţiul” admite o abordare algoritmică

(operaţii de recunoaştere, transfer specific, aplicare simplă de proprietăţi), în timp ce

85

”problema” necesită o abordare euristică, prin operaţii de analiză, sinteză, evaluare a

alternativelor şi a unor variante rezolutive anticipate.

În matematica şcolară, problemele reprezintă concretul, teoria justificându-se

prioritar prin organizarea raţională, abstractă a acestor entităţi. Se pot regăsi astfel o

multitudine de corelaţii: între particular şi general, între practică şi teorie, între senzorial şi

raţional.

Principiul problematizării îşi propune de fapt să realizeze o corelare armonioasă între

teoria matematică şi probleme. Predarea matematicii trebuie să înceapă cu situaţii

problematice ce activează şi conştientizează elevii. Pe măsura predării şi învăţării teoriei,

situaţiile problematice devin probleme.

Probleme necesită de multe ori aprofundări teoretice. Momentele de evaluare se pot

referi direct la teorie dar poate apărea pericolul memorării mecanice, o inadaptare la

sistemele instituţionalizate de evaluare şi incapacitatea aplicării cunoştinţelor teoretice în

rezolvări de probleme şi de situaţii problematice.

Un corolar al principiului problematizării vizează capacitatea elevilor de a se

descurca în raport cu anumite situaţii problematice. Este necesară o etapă preliminară pentru

a formula o problemă matematică clară. Ar trebui ca manualele şi culegerile să acorde o

atenţie mai mare etapei de trecere de la situaţia problematică la problema matematică. De

altfel, precizia limbajului matematic reprezintă o calitate, dar poate deveni şi un impediment

iniţial.

În acest principiu apare ca element central evidenţierea situaţiei problematice

relevante pentru secvenţa de cunoştinţe. Situaţia problematică prezintă o stare de conflict

între experienţa anterioară şi necunoscutul cu care se confruntă subiectul. Conflictul duce la

căutare şi descoperire, la intuirea unor soluţii noi.

Principiul problematizării facilitează dezvoltarea la elevi a unor strategii de rezolvare

ce se cristalizează în strategii cognitive, acestea constituie deschideri şi antrenamente spre o

ulterioară activitate de cercetare.

11. Principiul educaţiei permanente şi continue.

Metodica predării matematicii se referă aproape exclusiv la matematica şcolară.

Didactica generală priveşte educaţia într-un sens mai larg şi atunci se poate face referire la

acest cadru mai general:

a) Educaţia formală reprezintă o educaţie instituţionalizată, structurată ierarhic,

gradată cronologic şi condusă central, care a constituit centrul de interes al politicii şcolare.

86

b) Educaţia nonformală reprezintă orice activitate organizată sistemic în afara

sistemului formal şi care oferă tipuri selectate de învăţare subgrupelor specifice ale

populaţiei.

c) Educaţia informală reprezintă un proces ce durează întreaga viaţă şi în care se

dobândesc în mod neorganizat cunoştinţe, îndemânări, aptitudini din experienţa cotidiană.

Educaţia formală reprezintă doar o etapă foarte importantă din educaţia permanentă

şi continuă. Este o activitate intensă ce urmăreşte formarea persoanei, evitând concentrarea

maximă. Copilul se află în dezvoltare inclusiv intelectuală şi atunci învăţarea trebuie să

alterneze cu perioade de repaus şi sedimentare.

Studiul matematicii se concentrează aproape exclusiv în educaţia formală, dar admite

apropieri de educaţiile nonformale şi informale. Interesul şcolii este ca aceste apropieri să nu

fie contradictorii. Acest lucru impune ca matematica şcolară să selecteze din matematica

ştiinţă secvenţe stabile şi relevante.

§ 5.4. REZOLVAREA DE PROBLEME

Problemele, în matematica şcolară, reprezintă calea principală prin care se verifică

modul şi gradul în care s-au asimilat noţiunile teoretice. Capacitatea de a rezolva probleme

este, de cele mai multe ori, criteriul după care sunt selectaţi elevii la un examen (teste

naţionale, bacalaureat, admitere la facultate) sau „ierarhizări” la nivelul disciplinei. Pro

blemele propriu-zise, cât şi cele care reprezintă problematizarea teoriei au un puternic rol

informativ: cu ajutorul lor se subliniază rolul matematicii în viaţa curentă (calcule,

măsurări, aplicaţii în fizică, tehnică). Aceste aspecte realizează atât motivaţia cât şi scopul

învăţării matematicii.

O problemă reprezintă un enunţ prin care se oferă anumite informaţii elevilor şi în

care se cere să se demonstreze un fapt matematic sau să se calculeze valorile (măsurile)

unor elemente, astfel încât rezolvarea să implice o iniţiativă din partea rezolvitorului. Din

acest motiv, rezolvarea de probleme este o activitate cognitivă complexă datorită

operaţiilor cognitive necesare obţinerii soluţiei cât şi diversităţii situaţiilor cu care ne

confruntăm. De cele mai multe ori, anumite procese cognitive ce apar în rezolvare sunt

necunoscute rezolvitorului; dar se pot întâlni şi situaţii în care datele problemei sau soluţia

nu sunt familiare. Astfel, problemele au şi un rol formativ în educarea gândirii creatoare

prin exerciţiul de gândire logică pe care îl implică.

Ţinând cont de tipul de activitate intelectuală realizată de elev pe parcursul rezolvării

87

unei probleme, putem clasifica sarcinile unui rezolvitor de probleme în:

- sarcini de bază,

î n care procedeul de rezolvare a problemei este aproape evident, asemănător

sau identic cu cel al unei probleme rezolvate în clasă. În acest caz, procedeul de

rezolvare este cunoscut de către elev care nu trebuie decât să aplice un algoritm învăţat,

un rezultat imediat al unei teoreme, sau combinaţii simple ale acestora.

- sarcini asociate unei configuraţii sau care presupun o investigare, o

studiere a acesteia.

În această situaţie, procesul de rezolvare presupune alegerea, dintr-o mare

varietate de procedee deja învăţate, a unor metode potrivite şi (sau) combinarea acestora

în vederea obţinerii soluţiei problemei.

- sarcini pentru care nu este cunoscut procesul de rezolvare,

în care elevul trebuie să-l descopere singur.

Primului tip de sarcini îi corespund deprinderi intelectuale specifice,

corespunzătoare unui anumit conţinut matematic, pe când celelalte două implică şi

deprinderi intelectuale nespecifice (cognitive), caracteristice mai multor tipuri de

conţinuturi. Dintre acestea, putem menţiona pe cele mai des întâlnite în rezolvarea

problemelor:

- recunoaşterea, înţelegerea ipotezei şi a ceea ce se cere demonstrat;

-reamintirea unor informaţii relevante pentru acea sarcină; recunoaşterea unei părţi

a problemei deja rezolvată;

-înlocuirea concluziei cu o condiţie echivalentă, în care metoda de rezolvare este

mai simplă sau reamintirea unor proprietăţi a căror demonstrare este suficientă pentru a

obţine soluţia finală;

-obţinerea din ipoteză a unor consecinţe imediate, precizarea dacă sunt îndeplinite

(sau nu) condiţiile pentru aplicarea unor teoreme învăţate;

-revederea şi verificarea ipotezei, la un moment în care nu se „vede” o continuare

a rezolvării, pentru a stabili dacă toate condiţiile din ipoteză au fost folosite până la acel

pas; în caz contrar, condiţia neutilizată poate oferi o soluţie de a ieşi din impas;

-compararea, pe parcursul rezolvării, a rezultatelor intermediare cu ceea ce se cere

demonstrat sau aflat, pentru a alege varianta optimă de continuare a rezolvării.

Principalele reguli care trebuie cunoscute şi respectate de un rezolvitor de probleme

constau în:

88

1. Citirea corectă a enunţului problemei şi construirea exactă a figurii (la

geometrie), esenţiale în evitarea erorilor de raţionament. Citirea enunţului de mai multe ori

nu trebuie considerată „pierdere de timp” deoarece în cadrul acestuia sunt oferite anumite

indicaţii pe care elevul trebuie să le poată identifica şi, cu ajutorul acestora, să caute tehnici

de rezolvare.

2. Însuşirea enunţului problemei constă în cunoaşterea clară a datelor ipotezei, a

concluziei şi a legăturii dintre acestea, a teoremelor şi noţiunilor legate cu problema dată.

Ea se materializează în acele câteva minute premergătoare rezolvării propriu-zise în

care elevul încearcă „să simtă” problema, să o încadreze într-un cadru cunoscut. O

înţelegere atentă a enunţului reduce de cele mai multe ori calculele ce trebuie efectuate pe

parcursul rezolvării problemei. De exemplu: în cazul unei funcţii pare, vom face studiul

doar pentru valorile pozitive ale argumentului; proprietăţile funcţiei modul pot simplifica

rezolvarea unei ecuaţii.

3. Cunoaşterea unor procedee şi metode pentru rezolvarea problemelor care să

stabilească „paşi în gândirea rezolvării” (Am folosit toată ipoteza?, Ştiu o problemă

asemănătoare?). De exemplu, pentru a arăta că două drepte sunt paralele, elevul cunoaşte

anumite metode, cum ar fi: folosind unghiurile formate de drepte cu o secantă, găsind o

perpendiculară comună sau o paralelă comună, utilizând teorema lui Thales, proprietăţile

coardelor în cerc, determinând un paralelogram pentru care dreptele să constituie laturi

paralele, etc. În funcţie de particularităţile problemei, el va trebui să aleagă apoi metoda de

rezolvare cea mai potrivită.

4. Construirea de raţionamente noi pe baza axiomelor, definiţiilor, teoremelor şi

a altor raţionamente învăţate anterior. Pentru fiecare problemă trebuie realizată o scurtă

analiză a enunţului, trebuie motivată alegerea metodei de rezolvare, mersul gândirii în

procesul de rezolvare şi eventual, oferite mai multe variante de rezolvare. Toate acestea

oferă motivaţii logice de abordare şi sprijină obţinerea altor raţionamente.

5. Discuţia problemei. De multe ori, rezolvarea unei probleme nu se încheie cu

aflarea soluţiei; apar situaţii în care trebuie examinate şi condiţiile care arată existenţa altor

soluţii precizând, după caz numărul lor; sunt studiate diferite cazuri particulare care pot

apărea sau se generalizează problema.

6. Verificarea soluţiilor problemei. Pe parcursul rezolvării unor ecuaţii (de exemplu

care conţin radicali), se aplică transformări asupra ecuaţiei iniţiale care nu conduc

întotdeauna la ecuaţii echivalente cu cea iniţială. Soluţiile care se obţin pot fi doar o parte

a soluţiilor ecuaţiei iniţiale (prin împărţirea ambilor membri ai ecuaţiei cu o expresie care

89

conţine necunoscuta, fără a impune condiţia ca ea să fie nenulă, prin extragerea rădăcinii

pătrate din ambii membrii ai ecuaţiei), sau se introduc soluţii străine ecuaţiei iniţiale (prin

înmulţirea ambilor membri ai ecuaţiei cu o expresie care conţine necunoscuta, prin

ridicarea lor la pătrat, etc.). Pentru eliminarea soluţiilor străine, toate soluţiile găsite

trebuie verificate în ecuaţia iniţială. În problemele de construcţii geometrice, pentru

verificarea soluţiilor, se realizează de fapt o demonstraţie care arată că figura obţinută

corespunde cu cea cerută în enunţul problemei.

Înţelegerea unei demonstraţii nu presupune doar înţelegerea fiecărei secvenţe a

acesteia, ci trebuie cunoscută şi legătura care există între ea şi restul problemei.

Analizarea tuturor aspectelor parţiale ale unei demonstraţii este necesară în evidenţierea

ideii demonstraţiei; dacă elevul a înţeles şi a reţinut ideea demonstraţiei, el o poate

oricând reconstitui în detaliu, fără a fi nevoie să reţină demonstraţia în desfăşurarea sa

analitică.

Pentru fiecare unitate de învăţare (respectiv, lecţie), profesorul trebuie să-şi

stabilească cu claritate seturile de probleme ce se vor rezolva în clasă, problemele propuse

ca temă pentru acasă. La clasă, nu este recomandat să se rezolve „cât mai multe probleme”;

numărul de exerciţii şi probleme trebuie să fie corelat cu conţinutul acestora, cu timpul

avut la dispoziţie şi cu capacităţile de lucru ale elevilor. Problemele propuse trebuie să fie:

cu grad de dificultate diferit, de la exerciţii simple, cu rezolvare directă, până la probleme

complexe; ordonate corespunzător; să aibă o formulare neambiguă; să prezinte varietate

tematică şi de raţionament. În general, manualul conţine sau ar trebui să conţină aplicaţii

standard care trebuie rezolvate în întregime la clasă sau date ca temă pentru acasă. Pe lângă

acestea, profesorul va alege şi alte probleme ce pot fi reprezentative prin conţinut care să

asigure fixarea unor etape intermediare ale lecţiei, să facă legătura cu alte noţiuni déjà

învăţate, să permită dobândirea de noi cunoştinţe prin descoperire. Din multitudinea de

culegeri de probleme existente trebuie optat pentru acelea în care problemele sunt corect

formulate, soluţiile sunt riguros şi complet realizate (pentru ca elevii să se verifice nu

pentru a copia rezolvarea) şi unde apar multe probleme originale şi cu un nivel ştiinţific

înalt.

Profesorul are rolul principal în formarea la elevi a deprinderilor de muncă

independentă, de cercetare, lucrul individul stând la baza obţinerii performanţei în

matematică. Sprijinul acordat trebuie dozat cu grijă; în cazul în care ajutorul este

insuficient, elevul nu poate progresa singur, iar dacă nu mai are ce afla, motivaţia pentru

rezolvarea problemei dispare.

90

Înainte de a trece la rezolvarea unei probleme, profesorul trebuie să se asigure că

aceasta este înţeleasă de către elevi. Apoi, prin întocmirea (împreună cu elevii) a unui plan

de rezolvare, el fixează etape mari de lucru. În acest sens, se pot folosi chiar probleme de

sinteză cu subpuncte intermediare ajutătoare care schiţează de fapt calea de rezolvare. În

final, se redactează clar şi concis soluţia. Elevii trebuie învăţaţi să-şi recitească formularea

rezolvării pentru a se asigura de acurateţea şi corectitudinea raţionamentului. De asemenea,

mai trebuie subliniat faptul că folosirea limbii române nu trebuie făcută neglijent.

De foarte multe ori, argumentarea din cadrul unei demonstraţii se face „în proză”.

Chiar dacă o lucrare este corect redactată din punct de vedere matematic, apariţia

greşelilor de ortografie, a celor gramaticale reduc considerabil calitatea acesteia.

Problemele care constituie teme pentru acasă trebuie să fie gradate din punctul de

vedere al dificultăţilor, să fie într-o continuitate firească cu cele lucrate în clasă şi să poată

fi rezolvate fără a conduce la supraîncărcarea sau saturarea elevului. Este indicat ca ele să

reunească în rezolvare cât mai multe noţiuni din lecţia predată sau (şi) din lecţiile

anterioare, având în vedere recapitularea, reproducerea unor rezultate, dar şi activitatea

creatoare a elevului.

Majoritatea lecţiilor recapitulative pot fi realizate prin rezolvări de exerciţii şi

probleme. Conţinutul temei recapitulative, anunţat din timp, este scris la începutul lecţiei

pe tablă, pentru ca elevii să aibă o privire de ansamblu asupra orei în curs. Setul de

exerciţii şi probleme trebuie să acopere întreaga temă care se recapitulează, să structureze

noţiunile în discuţie şi să le coreleze cu cele deja aprofundate. Profesorul va atrage atenţia

asupra unor tipuri de exerciţii la care elevii au întâmpinat greutăţi, precizând că aşteaptă

acum de la ei un progres în abordarea lor.

La începutul lecţiei, se recapitulează definiţiile şi rezultatele teoretice fundamentale

necesare în rezolvarea problemelor propuse. Pentru fiecare exerciţiu în parte se stabileşte,

împreună cu elevii, o metodă de rezolvare (sau mai multe) şi se întocmeşte planul de

realizarea a rezolvării, pe etape. În acest fel se insistă pe participarea activă a elevilor în

realizarea lecţiei, se pune accentul pe activitatea individuală şi se dezvoltă spiritul de

competiţie.

În capitolul anterior am prezentat câteva tipuri de probleme ce se pot rezolva

folosind diferite metode. De cele mai multe ori nu există „reţete” de rezolvare a

problemelor, rezolvarea acestora putând fi abordată pe mai multe căi ce diferă în

funcţie de dificultate, de lungimea prezentării, de capacitatea de generalizare a

problemei, etc.

91

Putem prezenta şi alte metode de rezolvare a problemelor bazate pe principii

matematice cunoscute cât şi anumite tipuri de probleme clasice. Multe dintre teme pot

face subiectul unor opţionale de matematică sau pot fi folosite în pregătirea elevilor pentru

concursuri, pentru completarea culturii lor matematice.

§ 5.5. PREDAREA NOŢIUNII DE NUMĂR NATURAL

Noţiunea fundamentală cu care operează copiii încă din primele zile ale şcolarităţii o

constituie noţiunea de număr natural. Introducerea acesteia se bazează pe conceptual de

mulţimi echivalente.

Două mulţimi care pot fi puse în corespondenţă biunivocă se numesc mulţimi

echivalente. Relaţia de echivalenţă grupează mulţimile în clase de echivalenţă, fiecare clasă

cuprinzând mulţimile care au acelaşi număr de elemente, indiferent de natura lor. Prin

urmare, o clasă de echivalenţă este caracterizată printr-o proprietate comună tuturor

mulţimilor ce-i aparţin, anume proprietatea de a conţine acelaşi număr de elemente. Această

proprietate se numeşte puterea clasei de echivalenţă şi este reprezentată printr-un număr

numit număr natural. Deci, numărul natural este simbolul care caracterizează, cu un grad

înalt de generalitate, mulţimile echivalente.

Astfel, proprietatea caracteristică mulţimii vide este reprezentată prin numărul zero, de

unde rezultă că zero este un număr natural întrucât caracterizează clasa de echivalenţă a

mulţimilor care nu conţin nici un element. Proprietatea caracteristică mulţimilor cu un singur

element este reprezentată prin numărul 1, cea a mulţimilor cu un element şi încă unul este

reprezentată prin numărul 2, ş.a.m.d. Prin urmare, numerele: 0, 1, 2, 3, …, n, caracterizează

mulţimile echivalente formate, respectiv, din 0, 1, 2, 3, …, n, şi se numesc numere naturale.

Întrucât clasa tuturor mulţimilor echivalente cu o mulţime A se numeşte cardinalul

mulţimi A, notat card (A), rezultă că numărul natural corespunde cardinalului mulţimilor

finite de aceeaşi putere.

Pentru mulţimile finite, identificăm clasa mulţimilor de câte n elemente, deci

cardinalul finit n, cu numărul natural n. Spre exemplu, mulţimii elevilor unei clase, mulţimii

literelor din alfabetul latin etc., le corespunde câte un cardinal pe care îl identificăm cu

numărul elementelor mulţimii respective, deci cu un număr natural.

Dacă ne referim la mulţimile infinite, o clasă de mulţimi infinite echivalente se

numeşte cardinal transfinit.

Dezvoltarea în secolul trecut a teoriei mulţimilor a creat condiţii favorabile definirii

92

riguroase a numărului natural. Lucrări ale unor matematicieni celebri ca G. CANTOR sau

W. R. DEDEKIND, conţin diverse variante ale definiţiei numărului natural în maniera

constructivistă. Aceştia au pornit de la ideea comparării grupelor finite de obiecte, utilizând

corespondenţa bijectivă. Astfel, două colecţii finite, între care se poate stabili o

corespondenţă bijectivă au, prin definiţie, tot atâtea elemente. Pornind de la această definiţie,

numărul apare ca o idee abstractă comună, asociată tuturor colecţiilor finite de obiecte

distinct care se pot pune, între ele două câte două, în corespondenţa bijectivă. În virtutea

acestei definiţii, numărul natural 2 se asociază tuturor perechilor de obiecte distincte;

numărul natural 3 se obţine prin adăugarea unui obiect la o pereche de obiecte distincte

(triplete), etc. Această definiţie este foarte apropiată de ideea intuitivă despre numerele

naturale, dar prezintă dezavantaje din punct de vedere logic şi matematic, ce pot genera

paradoxul.

Ţinând cont că în teoria mulţimilor nu dispunem decât de clase şi mulţimi, putem lua

ca mulţime “standard” pentru definirea numerelor naturale, mulţimea vidă. Prin clasă se

înţelege o colecţie de obiecte oarecare, nelegată de alte condiţii. Termenul de mulţime

generează acele clase care aparţin ca element unei clase prealabil definite. Deci o clasă X

este mulţime dacă există o clasă Y care să o conţină ca element. Vom nota cu U universul

mulţimilor, conţinând toate mulţimile, reuniunea, intersecţia sau produsul cartezian al

oricăror mulţimi.

Oricare ar fi numerele naturale a, b, c ele au următoarele proprietăţi :

1. Reflexivitatea: Orice număr natural este egal cu el însuşi, adică a=a, a .

2. Simetria: Dacă un număr natural a este egal cu un număr natural b, atunci şi b=a;

a , b , a=b b=a.

3. Tranzitivitatea: Dacă un număr natural a=b, şi dacă b=c, atunci şi a=c;

a , b , c , dacă a=b şi b=c a=c.

În continuare, vom prezenta două axiome de bază ale teoriei mulţimilor, care sunt

necesare în definirea conceptului de număr natural, respectiv, în construirea mulţimii

numerelor naturale.

Fie U clasa tuturor mulţimilor.

AXIOMA INFINITULUI. Există cel puţin o mulţime A U care satisface condiţiile:

Ø A;

( ) mulţimea X A X’ A.

AXIOMA DE REGULARITATE. Oricare ar fi o mulţime X, avem X X (nici o

mulţime nu se include ca element).

93

Cardinalul unei mulţimi X din N se numeşte număr natural.

Prin urmare, |Ø| = 0 este numărul natural 0;

|{Ø}| = 1 este numărul natural 1;

|{Ø, {Ø}}| = 2 este numărul natural 2, etc.

Mulţimea cardinalelor elementelor mulţimii N o numim mulţimea numerelor naturale.

Vom nota cu ={0, 1, 2, 3, ..., n, ...}, mulţimea numerelor naturale. Este evident că

aplicaţia care asociază fiecărei mulţimi X N, numărul |X| este bijectivă, conform

propoziţiei precedente şi, prin urmare, N∼ .

Prezentarea conceptului de număr natural permite definirea mulţimilor finite,

respectiv, infinite. Se numeşte mulţime finită, o mulţime al cărei cardinal este un număr

natural. Mulţimile al căror număr cardinal nu este un număr natural se numesc mulţimi

infinite.

Mulţimea numerelor naturale include submulţimi infinite, al căror cardinal este N₀.

Această proprietate este un caz particular al unei teoreme celebre (DEDEKIND), care

afirmă că o mulţime este infinită dacă este cardinal echivalentă cu o submulţime proprie a sa.

94

BIBLIOGRAFIE

1. Brânzei, D. , Brânzei, R. , Metodica predării matematicii, Editura Paralela 45, Ediţia

a II-a, Piteşti, 2003.

2. Buşneag, D., Chirteş, F., Piciu, D., Complemente de aritmetică şi teoria numerelor,

Editura Gil, Zalău, 2007.

3. Buşneag, D., Boboc, F., Piciu, D., Aritmetică şi teoria numerelor, Editura

Universitaria, Craiova, 1999.

4. Cucurezeanu, I. , Probleme de aritmetică şi teoria numerelor, Editura tehnică,

Bucureşti, 1976.

5. Dan, C. T. , Chiosa, S. T. , Didactica matematicii, Editura Universitaria, Craiova,

2008.

6. Hollinger, A. , Metodica predării algebrei în şcoala generală, Editura didactică şi

pedagogică, Bucureşti, 1965.

7. Ion, D. I. , Radu, N. , Algebra, Editura didactică şi pedagogică, Bucureşti, 1991.

8. Sierpinsky, W. , Ce ştim şi ce nu ştim despre numerele prime, Editura ştiinţifică,

Bucureşti, 1966.

95

CUPRINS

ARGUMENT

INTRODUCERE

CAPITOLUL 1. PRELIMINARII DE ARITMETICĂ

1.1. TEORIA NUMERELOR

1.2. TEOREMA ÎMPĂRŢIRII CU REST ÎN CAZUL NUMERELOR NATURALE

1.3. DIVIZIBILITATEA PE

1.4. TEOREMA FUNDAMENTALĂ A ARITMETICII

1.5. CONGRUENŢE PE

1.6. TEOREMELE LUI EULER, FERMAT ŞI WILSON

1.7. RĂDĂCINI PRIMITIVE MODULO UN NUMĂR PRIM

1.8. REPREZENTAREA NUMERELOR NATURALE ÎNTR-O BAZĂ DATĂ

CAPITOLUL 2. MULŢIMEA NUMERELOR PRIME

2.1. TEOREME REFERITOARE LA INFINITATEA NUMERELOR PRIME

2.2. CIURUL LUI ERATOSTENE; CRITERII DE DIVIZIBILITATE

2.3. TEOREMA BERTRAND-CEBÎŞEV

2.4. TEOREMA LUI SCHERK

CAPITOLUL 3. CLASE SPECIALE DE NUMERE NATURALE

3.1. NUMERE DE TIP FERMAT

3.2. NUMERE DE TIP MERSENNE

3.3. NUMERE DE TIP FIBONACCI

3.4. NUMERE PERFECTE

3.5. NUMERE PSEUDO-PRIME, ABSOLUT PSEUDO-PRIME ŞI CARMICHAEL

3.6. NUMERE TRIUNGHIULARE

3.7. NUMERE PRIME GEMENE

3.8. NUMERE PITAGOREICE

CAPITOLUL 4. APLICAŢII

4.1. PROBLEME DE DIVIZIBILITATE PE

4.2. MULŢIMEA NUMERELOR PRIME

4.3. CLASE SPECIALE DE NUMERE NATURALE

CAPITOLUL 5. METODICA PREDĂRII ALGEBREI ÎN GIMNAZIU

96

5.1. OBIECTUL METODICII PREDĂRII MATEMATICII

5.2. ALGEBRA ŞI ALGEBRA ŞCOLARĂ

5.3. PRINCIPIILE DIDACTICII

5.4. REZOLVAREA DE PROBLEME

§ 5.5. PREDAREA NOŢIUNII DE NUMĂR NATURAL

BIBLIOGRAFIE

CUPRINS

resursĂ educaŢionalĂ deschisĂ - isjolt.ro · despre didactica matematică, despre ce înseamnă...

Documents