responsabil disciplină, Şef lucrări dr. ing. ciprian...

Hidraulică 1

Şef lucrări dr. ing. Ciprian BACOŢIU

Responsabil disciplină,

Conţinut Curs :

C1 : Introducere. Obiectul cursului. Metode generale de studiu folosite în hidraulică.

C2 : Noţiuni de analiză dimensională. Teorema PI.

C3-C4 : Elemente de similitudine hidraulică. Proprietaţile fluidelor.

C5-C6 : Statica fluidelor. Legea hidrostaticii. Măsurarea presiunii.

C7-C8 : Forţe de presiune pe suprafeţe plane.

Forţe de presiune pe suprafeţe curbe.

C9 : Plutirea corpurilor. Legea lui Arhimede. Echilibrul relativ al fluidelor.

C10 : Cinematica fluidelor. Mărimi şi noţiuni specifice mişcării fluidelor.

Ecuaţia de continuitate.

C11-C12 : Dinamica fluidelor. Ecuaţia lui Bernoulli pentru un fluid perfect.

Ecuaţia lui Bernoulli pentru un fluid real.

C13 : Ecuaţiile lui Cauchy, Navier-Stokes, Reynolds.

Consideraţii cu privire la integrarea acestor ecuaţii.

C14 : Teorema impulsului

Conţinut Seminar :

S1 : Analiză dimensională

S2 : Teorema PI a analizei dimensionale. Similitudine hidraulică.

S3 : Proprietăţile fluidelor.

S4 : Legea hidrostaticii.

S5 : Forţe de presiune.

S6 : Plutirea corpurilor.

S7 : Repausul relativ.

Bibliografie

Curs[1] L. Marian, M. Muste - Hidraulica şi Maşini hidraulice. UTC-N, 1993

(2 volume)[2] C. Iamandi, V. Petrescu - Mecanica fluidelor, E.D.P., Bucureşti, 1978[3] Cristea Mateescu - Hidraulica, E.D.P., Bucureşti, 1961[4] A. Hoţupan, C. Bacoţiu - Hidraulică 1 – Elemente de teorie şi aplicaţii,

Ed. NAPOCA STAR, Cluj-Napoca, 2009[5] C. Bacoţiu - Teste de hidraulică, Ed. NAPOCA STAR, Cluj-Napoca, 2012

Seminar[1] L. Marian, M. Muste - Hidraulica şi Maşini hidraulice. UTC-N, 1993[2] C. Iamandi, ş.a. - Hidraulica instalaţiilor - aplicaţii, E.T., Bucureşti, 1985[3] D. Cioc, ş.a. - Hidraulică: probleme, E.D.P., Bucureşti, 1973[4] J. Florea, ş.a. - Mecanica fluidelor şi maşini hidropneumatice, E.D.P.,

Bucureşti, 1982[5] D. Taşcă, I. Băcanu - Culegere de probleme de hidraulică tehnică, E.T.,

Bucureşti, 1966

Ca urmare, ideal ar fi ca studenţii să o folosească activ în timpul orelor de curs şi seminar.Având cartea în faţă, eficienţa activităţii noastre creşte mult, focusul fiind orientat spre înţelegerea materiei.

LucrareaL. Marian, M. Muste - Hidraulica şi Maşini hidraulice. UTC-N, 1993va fi considerată ca referinţă pentru toată activitatea noastră.

Pentru studenţii care nu vin la curs, beneficiul adus de aceste materiale auxiliare este redus. Practic, în mod voit structura lor a fost concepută astfel încât să necesite prezenţa activă la curs.

Notele de curs / slide-urile au fost gândite doar ca un sprijin suplimentar, ca un ghid minimal de parcurgere a materiei de studiu, subliniind elementele esenţiale.

Pagina web

http://users.utcluj.ro/~bacotiu/

[email protected]

Necazuri, pericole, semnale de alarmă

Viziunea deformată a relaţiei : Materie de studiu - Cadru didactic - Student

“Trăim în România … “

Respectarea regulilor “jocului” : no tricks !!!

Elemente de folclor studenţesc

Toamna grea şi lungă : scurt istoric

Duşmanul din umbră : Fizica (de liceu)

Modalitatea de examinare

Pilele … “nu se poate face CEVA ?” … “să fie bine pentru toţi …”

Totul pe final … în sesiune

Construcţie gradată a materiilor de studiu → bumerang

Elementul cheie : cadrul didactic ?!?

Neverending story

Obiectul cursului

Etimologie

Fluide … fluiditate

Clasificare

Ipoteza continuumului material

Legătura cu alte discipline

Scurt istoric

Generalităţi

Metoda teoretică-modelare, simplificare-definiţia particulei fluide-consecinţe-modele de fluid

Metoda experimentală-scopuri

Metoda analogică-identitate formală, asemănare

Metode generale de studiu în hidraulică

Obiect şi scop

-studiul structurii relaţiilor fizice

-stabilirea regulilor generale de formare a acestor relaţii

Obs. : relaţia fizică ≠ relaţia matematică

Mărime fizică

-Def. : Un anumit aspect cantitativ şi calitativ

al fenomenului studiat…

-formalismul x=X·a (exemplu d=3m)

-operaţii cu mărimi fizice

x1+x

2=X

1·a+X

2·a=(X

1+X

2)·a=X·a

x1·x

2=(X

1·a

1)·(X

2·a

2)=(X

1·X

2)·(a

1·a

2)=X·a=x

Noţiuni de analiză dimensională

Unităţi de măsură-sisteme necoerente: dezordine-unităţi de măsură fundamentale şi derivate-sisteme coerente de unităţi de măsură:

S.I. ; S.T. (MKfS) ; C.G.S.-adoptarea S.I. în România : STAS 737-1973-7 (!) unităţi şi mărimi fundamentale: m, kg, s, A, K, cd, mol

Formule dimensionale-operatorul [ ] : [x] = A-A se numeşte dimensiunea mărimii fizice x şi este un simbol-exemple: L, M, T, LT-1

-reţinem 4 notaţii convenţionale : x, X, a, Ax=mărime fizicăX=valoarea mărimii fizice x (număr)a=unitatea de măsură a mărimii fizice xA=dimensiunea mărimii fizice x (simbol)

TstimpTstimpTstimp

MgmasăFkgfforţăMkgmasă

LcmlungimeLmlungimeLmlungime

Dim.U.M.

fundam.

Mărimi

fundam.

Dim.U.M.

fundam.

Mărimi

fundam.

Dim.U.M.

fundam.

Mărimi

fundam.

C.G.S.S.T. (MKfS)S.I.

Cele 3 sisteme coerente de unităţi de măsură

Concluzie

Mărimi şi unităţi derivate : anexa pag. 381

Ce cunoştinţe am dobândit în acest curs?

-cu ce se ocupă Hidraulica-ce este fluiditatea-ce metode de studiu se folosesc în Hidraulică-ce este particula fluidă-modele de fluid-la ce foloseşte analiza dimensională-sisteme coerente de unităţi de măsură-dimensiunea unei mărimi fizice-mărimi fizice / unităţi de măsură fundamentale şi derivate

Test de v

erificare

a c

unoştinţe

lor 1) Dimensiunea unei mărimi fizice este ...

A. un numărB. un simbolC. unitatea de măsură a respectivei mărimi fizice

2) Sistemul Tehnic de unităţi de măsură se mai numeşte şi ...A. CGSB. InternaţionalC. MKfsD. unidimensional

3) Sistemul Internaţional de unităţi de măsură are la bază 7 unităţi de măsură fundamentale.

A. AdevăratB. Fals

4) Pentru Hidraulică, dimensiunile mărimilor fundamentale în Sistemul Tehnic sunt:

A. L,M,TB. m,kg,sC. M,K,FD. L,F,T

B

C

A

D

Obiective:

-studiul structurii relaţiilor fizice

-familiarizarea studenţilor cu mărimile fizice fundamentale şi derivate

-utilizarea sistemelor de unităţi de măsură: S.I., S.T., C.G.S. -> conversii

-folosirea noţiunii de dimensiune a unei mărimi fizice

-teorema 1 a analizei dimensionale: aplicare şi importanţă / exemple

-teorema 2 a analizei dimensionale: importanţă

-definirea noţiunii de complex adimensional

-criteriul Reynolds

-criteriul Froude

Cursul 2

Recapitulare:

-formalismul x=X·a-unităţi de măsură fundamentale şi derivate în 3 sisteme coerente-operatorul dimensional-folosirea anexei pag. 381

TstimpTstimpTstimp

MgmasăFkgfforţăMkgmasă

LcmlungimeLmlungimeLmlungime

Dim.U.M.

fundam.

Mărimi

fundam.

Dim.U.M.

fundam.

Mărimi

fundam.

Dim.U.M.

fundam.

Mărimi

fundam.

C.G.S.S.T. (MKfS)S.I.

Noţiuni de analiză dimensională (continuare)

Teorema 1 (a omogenităţii)

O relaţie fizică poate fi reductibilă la o relaţie matematică dacă relaţia este omogenă din punct de vedere dimensional, în raport cu un sistem coerent de mărimi fundamentale.

adică

Dimensiunea membrului stâng = Dimensiunea membrului drept

SAU

Unitatea de măsură din m. s. = Unitatea de măsură din m. d.

Exemple

Teoremele analizei dimensionale

Problema 1 (alimentări cu apă):

Pentru un deznisipator orizontal-longitudinal se calculează

volumul depunerilor: [m3]

în care:

Q - debitul [m3/s]T - durata între 2 curăţiri succesive [zile] ; se alege 1…7 zilea - proporţia de subst. în suspensie care sunt reţinute în deznisipator (0,25…0,3)p0 - concentraţia totală de particule în suspensie [g/m3] ; se alege pt. cazul cel mai defavorabil = viiturăρ - densitatea depunerilor [kg/m3] ; se alege între 1500…1700 kg/m3

Ce reprezintă 86400 ?

Aplicaţii inginereşti: timp alocat – aproximativ 1 h

ρ⋅

⋅⋅⋅

⋅=

100086400

0TQpa

Vd

Problema 2 (instalaţii sanitare):

Se dă formula de dimensionare a unui rezervor tampon deschis dintr-o staţie de

hidrofor:

[ l ]

în care Qp - debitul pompei [l/s].

Ce părere aveţi despre această formulă din punct de vedere dimensional ?

)(PRTD

Q10150V +⋅=

Teorema 2

O relaţie fizică (scrisă cu respectarea teoremei omogenităţii) nu îşimodifică forma în cazul schimbării sistemului de unităţi de măsură, dacă dimensiunile (unităţile de măsură) ale mărimilor derivate, înambele sisteme, se exprimă sub forma unor formule dimensionalede tip monom.

adică

A = LαMβTγ respectiv A = LdFeTf


Complexe adimensionale

Definiţie : Raportul dintre două sau mai multe mărimi fizice, de aceleaşidimensiuni, ce contribuie la desfăşurarea unui fenomen.


Criterii = complexe adimensionale cu rol deosebit în tehnică

Exemple : criteriul Reynolds, criteriul Froude

0

yy

y=π cu condiţia ]y[]y[

0=

ν

⋅

=

lvRe

2 observaţii pag.19

hg

vFr

2

⋅

=


-importanţa analizei dimensionale

-transformări de unităţi de măsură

-primele 2 teoreme ale analizei dimensionale

-aplicarea practică a teoremei omogenităţii

-complex adimensional

-criteriu

Test de v

erificare

a c

unoştinţe

lor 1) Operatorul [ ] ...

A. se numeşte operator SchollB. este operatorul dimensionalC. dă rezultat subunitar în sistemul CGS

2) Teorema 1 a analizei dimensionale se mai numeşte şi ...A. teorema omogenităţiiB. teorema πC. teorema monomuluiD. teorema Van der Waals

3) Un criteriu este un complex adimensional special.A. AdevăratB. Fals

4) Complexele adimensionale se notează uzual în hidraulică…A. cu litera XB. folosind simbolul πC. liber, nu există nicio convenţieD. cu formule de tip monom

B

A

A

B

Obiective:

-complexe adimensionale (continuare)-teorema 3 a analizei dimensionale: enunţ şi demonstraţie-critici legate de teorema π-reguli de aplicare practică-exemple de folosire a teoremei Buckingham în cercetare-noţiuni de similitudine: teorie şi aplicaţii

Cursul 3

Recapitulare:

-dimensiunea unei mărimi fizice-teorema omogenităţii-complex adimensional-criteriu

Teorema 3 (teorema π sau teorema Buckingham)

Scop : Descoperirea şi scrierea sub formă de relaţii fizice a legilor unor fenomene

Metodă : Simplificarea relaţiei fizice prin înlocuirea unor mărimifizice cu complexe adimensionale.

O relaţie fizică (scrisă cu respectarea teoremelor I şi II a analizei dimensionale) cuprinzând n+1 mărimi, poate fi (re)scrisă ca o relaţie între n+1-k complexe adimensionale, dacă se renunţă la sistemul iniţial de unităţi de măsură şi se adoptă un sistem propriu fenomenului studiat, format din mărimile x

1, x

2, …, x

k.

Teoremele analizei dimensionale (continuare)

)x,,x,,x,x,,x,x(fy np1kk21 KKK

+=

Complexele adimensionale:

k21d

k

d

2

d

1xxxYy ⋅⋅⋅= L

kpp2p1 e

k

e

2

e

1pp xxxXx ⋅⋅⋅= L n,1p =

k21 d

k

d

2

d

1

yxxx

yY

⋅⋅

=π=

L

kpp2p1p e

k

e

2

e

1

p

xpxxx

xX

⋅⋅

=π=

L

În urma aplicării teoremei PI se obţine o altă relaţie funcţională:

k21

n1k

d

k

d

2

d

1xxxxx),,(y LK ⋅⋅ππϕ=

+

Observaţii la Teorema π

-la ce foloseşte-alegerea corectă a mărimilor fizice ce determină fenomenul …

k < n … forme multiple

-critici-pentru fenomene mecanice k=3-grupe (categorii) de mărimi : -liniare

-cinematice şi dinamice -proprietăţi fizice ale fluidului

“Reţete” pentru mărimile alese:

-să intervină cu pondere în desfăşurarea fenomenului;

-să fie independente dimensional;

-sistemul propriu ales să fie coerent;

-să fie alese mărimi din fiecare categorie, conform clasificării anterioare.

cba

kvD),(R ρ⋅⋅⋅ππϕ=

η

zyxkvD

k

ρ⋅⋅=π

twu

vD ρ⋅⋅

η=π

η

ρ⋅⋅⋅

ϕ= 22vD

Re

1,

D

kR

Aplicaţie pag. 23

Rezistenţa la înaintare a unui corp sferic, care se mişcă cu viteză

constantă într-un fluid omogen aflat în repaus.

R = f ( D, k, v, ρ, η );

3 ecuaţii cu 3 necunoscute

Elemente de similitudine hidraulică

Similitudine = asemănare generalizată

Scara tuturor mărimilor care au dimensiunea [x]:

N

M

x

x

xS =

2 teoreme

Aplicaţie pag. 29

unde M - model, N - natură


-teorema 3 a analizei dimensionale

-reguli de aplicare practică a teoremei π

-similitudine

-folosirea analizei dimensionale şi similitudinii în activitatea de cercetare

Test de v

erificare

a c

unoştinţe

lor 1) Teorema π se poate aplica ...

A. doar în S.I.B. doar în S.T.C. în orice sistem de unităţi de măsură coerent

2) Teorema 3 a analizei dimensionale se mai numeşte şi ...A. teorema omogenităţiiB. teorema BuckinghamC. teorema ReynoldsD. teorema Adler

3) Similitudinea operează cu noţiunea de scară a unei mărimi fizice.

A. AdevăratB. Fals

4) La aplicarea teoremei π în hidraulică, pentru numărul mărimilor fizice ce determină fenomenul …

A. se alege k=3B. se alege k>5C. nu există nicio restricţie

C

B

A

A

Obiective:

-enumerarea forţelor care acţionează asupra fluidelor

-studiul caracteristicilor fizice ale fluidelor:

-compresibilitatea

-dilatarea termică

-densitatea

-greutatea specifică

Cursul 4

Forţe exterioare:

-forţe de suprafaţă

-forţe masice: G, fm

-forţe de inerţie: doar pentru particule de fluid în mişcare

Forţe interioare:

-forţe masice interioare

-forţe de suprafaţă interioare (de legătură): efort unitar pn

Forţele care acţionează asupra fluidelor

Noţiunea de fluid

-stări de agregare-fluide, fluiditate

-reologia

-interpretarea fig. 2.1:

-fluid newtonian

-fluid perfect-fluid Bingham

Caracteristici fizice ale fluidelor

Compresibilitatea fluidelor

- coeficient de compresibilitate

Fig. 2.2: dpVdV ⋅⋅β−=

ββ

=ε1

Integrarea ecuaţiei diferenţiale conduce la relaţia:

unitate de măsură: m2/N

)pp(

1212eVV

−⋅β−⋅=

Dacă se dezvoltă în serie exponenţiala rezultă expresia în diferenţe finite:

pVV1∆⋅⋅β−=∆

12FL][

−

⋅=β

Variaţia cu temperaturaVariaţia cu presiunea: în majoritatea situaţiilor, lichidele se pot considera

practic incompresibile, deci ρ=const., iar β=0. Interpretare fig. 2.3.Excepţie: propagarea undelor de presiune. Ar rezulta c = ∞ !

Aplicaţii:

1. Calculaţi creşterea de presiune necesară producerii uneireduceri relative a unui volum de apă cu 5%. Cum interpretaţirezultatul ? Se dă β ≈ 5·10-10 m2/N.

2. Încercarea etanşeităţii unui tronson dintr-o conductă de fontăavând diametrul D = 200 mm şi lungimea L = 500 m se face cu apă la presiunea 7 at (scara manometrică). După un anumit timpse constată că presiunea apei din conductă a scăzut cu 3 at. Săse determine volumul de apă pierdut prin neetanşeităţi. Temperatura apei este de 20oC (β = 4,68·10-10 m2/N).Se ştie că 1 at = 1 kgf / 1 cm2.

Dilatarea termică a fluidelor

Coeficientul de dilatare termică:

Integrarea ecuaţiei diferenţiale conduce la relaţia:

Se preferă expresia în diferenţe finite:

dT

1

V

dV⋅=α se măsoară în 1/K

)TT(

1212eVV

−⋅α

⋅=

TVV1∆⋅⋅α=∆

Densitatea

Relaţia de definiţie pentru fluide omogene:V

m=ρ

3LM][−

⋅=ρ unitate de măsură: kg/m3

Densitate relativă : fluid de referinţă

;

O altă formulă care exprimă variaţia densităţii cu temperatura:

Anomalia apei !!

Variaţia densităţii cu temperatura:T1

1

2

∆⋅α+

ρ=ρ

Tabelul 2.4

Variaţia densităţii cu presiunea:

Efectul combinat al presiunii şi temperaturii (“suprapunerea efectelor”):

T1∆⋅ρ⋅α−=ρ∆

p1∆⋅ρ⋅β=ρ∆

)pT(VV1

∆⋅β−∆⋅α⋅=∆

)pT(1

∆⋅β+∆⋅α−⋅ρ=ρ∆

Tabelul 2.5

Aplicaţie

Trei studenţi, pregătindu-se pentru examenul de hidraulică, au intratîntr-o dispută cu privire la formula care exprimă variaţia densităţii unuifluid în raport cu temperatura…Considerând că mărimile fără indice exprimă starea finală, iarmărimile cu indice 0 starea iniţială, iată ce susţine fiecare:

Cine are dreptate ? De ce ?

T1

0

∆⋅+=

α

ρρA)

)( T10

∆⋅−⋅= αρρ

T

0e

∆⋅−⋅=

α

ρρ

B)

C)

;

Greutatea specifică

Legătura dintre densitate şi greutate specifică:

Relaţia de definiţie pentru fluide omogene:

unitate de măsură: N/m3

V

G=γ

22TLM][

−−

⋅⋅=γ

g⋅ρ=γ


-înţelegerea forţelor care acţionează asupra fluidelor

-analiza a 4 caracteristici fizice ale fluidelor (vor urma şi altele

în cursul viitor):

-compresibilitatea

-dilatarea termică

-densitatea

-greutatea specifică

-modul de aplicare a formulelor corespunzătoare acestor proprietăţi în

probleme de instalaţii

Test de v

erificare

a c

unoştinţe

lor

1) Care afirmaţie este FALSĂ?A. Forţa masică unitară are dimensiunea unei acceleraţii.B. Fluidul Bingham se mai numeşte şi fluid dilatant.C. Dacă un fluid este incompresibil, atunci β est nul.

2) Care este densitatea mercurului?A. 1000 kg/m3

B. 2250 kg/m3

C. 13600 kg/m3

D. 30000 kg/m3

3) Greutatea specifică se măsoară în S.I. în kgf/m3.A. AdevăratB. Fals

B

C

B

A

4) La creşterea presiunii, volumul fluidului scade.A. AdevăratB. Fals

Obiective:

- studiul caracteristicilor fizice ale fluidelor (continuare):

-vâscozitatea

-tensiunea superficială

-capilaritatea; legea lui Jurin

-absorbţia şi degajarea gazelor; cavitaţia

Cursul 5

Vâscozitatea

O proprietate a fluidelor de a se opune mişcării / deformării.

Forţele datorate vâscozităţii se manifestă ca forţe de frecare interioară →consum de energie.

Fig. 2.4 pentru ilustrarea ipotezei lui Newton

η – coeficient de vâscozitate dinamică

υ – coeficient de vâscozitate cinematică

Legea lui Newton pentru vâscozitate:

n

vAT

∆

∆⋅⋅η=

ρ

η=υ

Semnul lui τ : pozitiv dacă normala suprafeţei este în sensul creşterii vitezei

dn

dv⋅η=τ

Geometric, gradientul vitezei reprezintă viteza de deformare a

unghiului drept în unitatea de timp.

Deosebiri între forţa de vâscozitate şi forţa de frecare “clasică” …

m2/s m2/s Stokes = cm2/sυ

kgf·s/m2N·s/m2 (daP)Poise = dyn·s/cm2η

STSICGS

Gradul Engler (tolerat)

Fig. 2.7: Variaţia lui υ cu temperatura pentru apă, respectiv aer

Fluide newtoniene (normal vâscoase)

Fluide ideale (perfecte) = lipsite de vâscozitate

Aplicaţie pag. 54

Experimente simple de fizică de liceu

Suprafaţa unui lichid se comportă ca o membrană elastică, uniform solicitată, care tinde permanent să îşi reducă aria.

La suprafaţa liberă a lichidului, forţele moleculare de coeziune se

echilibrează numai parţial, dând o rezultantă de compresiune, îndreptată spre interiorul lichidului.

dF = σ·dL dW= σ·dA

σ – coeficient de tensiune superficială, se măsoară în N/m

Fig. 2.12, 2.13 … “udare perfectă”

Tensiunea superficială

Forţe de adeziune = forţe de atracţie la suprafaţa de contact dintre un corp solid şi un fluid.

Fig. 2.14 … menisc concav, menisc convex

Grosimea stratului aderent este de ordinul unei sutimi de mm !

Adeziunea

Capilaritatea

Se manifestă în tuburi cu secţiune mică sau între 2 suprafeţe de corpuri solide apropiate (ex.: plăci plan paralele).

Fig. 2.15 Ascensiune / coborâre în tuburi capilare

Legea lui JURINd

4h

⋅γ

σ⋅=

Absorbţia = pătrunderea prin difuzie a gazelor şi vaporilor în masa unui lichid.

Coeficient de solubilitate = raportul dintre volumul de gaz dizolvat şi volumul de lichid care îl conţine.

Aerul dizolvat în apă ≠ aerul atmosferic

Degajarea gazelor se produce la scăderea presiunii sau la creşterea temperaturii masei de lichid.

Tabelul 2.11: presiunea de vaporizare a apei în funcţie de temperatură

Efectele distructive ale cavitaţiei: mecanice, chimice, termice, electrice

Absorbţia şi degajarea gazelor. Cavitaţia


-analiza a încă 4 caracteristici fizice ale fluidelor:

-vâscozitatea

-tensiunea superficială

-capilaritatea

-absorbţia şi degajarea gazelor

-modul de aplicare a formulelor corespunzătoare acestor proprietăţi în

probleme de instalaţii

Test de v

erificare

a c

unoştinţe

lor

1) Care afirmaţie este FALSĂ?A. Poise este unitate de măsură a vâscozităţii dinamice.B. Fluidul perfect est considerat normal vâscos.C. Legea lui Jurin se referă la capilaritate.

2) Anomalia apei se referă la …A. variaţia densităţii cu temperaturaB. variaţia vâscozităţii cu temperaturaC. structura de dipolD. caracterul dual undă-corpuscul

3) Vâscozitatea este proprietatea fluidelor de a curge.A. AdevăratB. Fals

4) Coeficientul de tensiune superficială este adimensional.A. AdevăratB. Fals

B

A

B

B

Obiective:

-ce este presiunea

-proprietăţile presiunii hidrostatice

-ecuaţiile lui Euler din statica fluidelor

-legea fundamentală a hidrostaticii

-consecinţe şi aplicaţii ale legii hidrostaticii

Cursul 6

Starea de tensiune la fluide în repaus

Stare de repaus = forţe de inerţie zero = viteze nuleAsupra masei de fluid în repaus acţionează doar forţe masice şi de legătură.

Metoda secţiunilor imaginare (fig. 3.1)

Presiunea statică medie:

Diferenţa dintre presiune medie şi presiune punctuală (hidrostatică)

Proprietăţile presiunii hidrostatice:

Statica fluidelor

A

Fpm= (este un efort unitar mediu)

-presiunea este întotdeauna normală la suprafaţa pe care se exercită-presiunile sunt eforturi unitare de compresiune-într-un punct al unui fluid în repaus, presiunea are aceeaşi valoare după toate direcţiile (presiunea este deci o mărime scalară care nu depinde de orientarea suprafeţei pe care acţionează, ci numai de poziţia punctului considerat !)

Ecuaţiile lui Euler din statica fluidelor

- sunt ecuaţii de echilibru static, care exprimă legea de variaţie a presiunilor din interiorul unui fluid aflat în stare de repaus, în funcţie de poziţia punctului considerat.

În scriere vectorială : pgrad1

fρ

=

r

sau 0p1

f =∇ρ

−r

Integrarea ecuaţiilor lui Euler

Se introduce funcţia de potenţial U−=π

dzfdyfdxfdzyx

++=π−

0dp

d =ρ

+π - ecuaţia fundamentală a staticii fluidelor sub formă diferenţială

Dacă ρ = const. (fluid incompresibil), atunci rezultă .constp=

ρ+π

Proprietăţi generale ale echilibrului fluidelor

-Suprafeţele echipotenţiale sunt şi suprafeţe izobare.-Presiunile cresc în direcţia scăderii potenţialului.-Suprafeţele echipotenţiale sunt şi izodense, şi izoterme.

-Suprafaţa de separaţie dintre 2 fluide nemiscibile este o suprafaţă izobară (echipotenţială).-Într-un fluid în repaus, suprafeţele echipotenţiale nu se intersectează.

Legea hidrostaticii în câmp gravitaţional terestru

Forţa masică unitară are componentă doar după axa z, pe –g.

.constp

zg =ρ

+⋅ sau .constp

z =γ

+

Pentru 2 puncte din masa fluidului: )zz(ppBAAB

−⋅γ+=

Caz particular: hppat

⋅γ+=Observaţie legată de aplicare !

-Valoarea presiunii depinde doar de înălţimea coloanei de lichid şi de densitatea sa (vezi paradoxul hidrostaticii … nu forma contează, nici volumul !)

-Trasarea corectă a graficului distribuţiei presiunilor pe un perete oarecare (fig. 3.9)

-Suprafeţele izobare sunt plane orizontale … principiul vaselor comunicante

-Legea lui Pascal: orice modificare a presiunii într-un punct al unui lichid în repaus se transmite nemodificată în toate celelalte puncte ale lichidului. Fig. 3.10: presa hidraulică

-Legea hidrostaticii se poate aplica doar pentru o masă de fluid omogen aflat în echilibru … atenţie la cazul fluidelor nemiscibile (fig. 3.11)

Consecinţe şi aplicaţii ale legii hidrostaticii

Aplicaţia 3.1


-noţiunea de presiune

-proprietăţile presiunii hidrostatice

-ecuaţiile lui Euler din statica fluidelor

-legea fundamentală a hidrostaticii

-consecinţe ale legii hidrostaticii

-aplicaţii bazate pe legea fundamentală a hidrostaticii

Test de v

erificare

a c

unoştinţe

lor

1) Care afirmaţie este FALSĂ?A. Presiunile sunt eforturi statice de compresiune.B. Paradoxul hidrostaticii se explică pe principiul vaselor

comunicante.C. Suprafeţele echipotenţiale sunt şi suprafeţe izobare.

2) Suprafaţa de separare dintre 2 fluide nemiscibile este …A. o suprafaţă convexăB. o suprafaţă concavăC. un paraboloid hiperbolicD. o suprafaţă izobară

3) În câmp gravitaţional terestru, funcţia de potenţial este g.A. AdevăratB. Fals

4) Valoarea presiunii depinde doar de înălţimea coloanei de lichid.

A. AdevăratB. Fals

B

D

B

B

Obiective:

-interpretarea legii hidrostaticii-scări pentru măsurarea presiunii-unităţi de măsură pentru presiune-statica gazelor-instrumente pentru măsurarea presiunii

Cursul 7

Recapitulare:

-presiunea-legea fundamentală a hidrostaticii-consecinţe

Geometric : reprezentare grafică în 2 situaţii

z = înălţime de poziţie (sarcină de poziţie)

Interpretarea legii hidrostaticii

Energetic : energia potenţială (ca sumă dintre energia de poziţie şi energia de presiune) se conservă.

γ

p= înălţime piezometrică

Hp = cotă piezometrică (sarcină hidrostatică)

Reprezentarea grafică a legii hidrostaticii

în cazul p0>pat

Reprezentarea grafică a legii hidrostaticii

în cazul p0<pat

Exprimarea presiunii în 3 scări de măsură:

-scara absolută (barometrică)-scara relativă (manometrică) : pat = 0-scara vacuumetrică

Unităţi de măsură pentru presiune

Definiţii:1 Atmosferă fizică = 1 At ≡ 760 mm Hg1 atmosferă tehnică = 1 at = 1 kgf / 1 cm2

1 torr ≡ 1 mm Hg1 bar = 105 Pa1 psi = 1lbf / 1 in2 (1 pound = 1 lb = 0,453 kg ; 1 inch = 2,54 cm)

Fig. 3.15 şi 3.16 - foarte importante

Aplicaţii – conversia unităţilor de măsură pentru presiune

Statica gazelor : 2 cazuri

-în ipoteza incompresibilităţii gazelor (!) : p = const., deoarece γ ≈ 0

-în general însă, ρ este funcţie de presiune şi temperatură (ecuaţia de stare a gazelor), ceea ce determină o lege de variaţie a presiunii de tip exponenţial (relaţia 3.44).

-instrumente cu lichid (piezometre)-manometre cu piston-instrumente cu element elastic (manometre metalice): -cu arc

-cu membrană-cu burduf

-instrumente electrice: piezoelectrice, tensometrice, capacitive etc.

Măsurarea presiunii

Un sistem hidraulic format din trei cilindri verticali cu diametrele D

0= 0,2 m, D

1= 0,1 m, D

2= 0,15 m

conţine apă. La suprafaţa apei, în fiecare cilindru se află câte un piston de bronz. Înălţimile sunt h

0= 0,1 m, h

1= 0,07 m, h

2 = 0,05 m.

Se consideră că pistoanele alunecă fără frecare. Să se determine cotele absolute Z' ale pistoanelor, când sistemul se află în echilibru. Se cunoaşte volumul total de apă V = 0,02 m3, iar ρbronz

= 8800 kg/m3. Se neglijează volumul apei în tuburile de legătură.

R : 0,178 m ; 0,442 m ; 0,618 m

Aplicaţie


-interpretarea legii hidrostaticii

-folosirea celor 3 scări pentru măsurarea presiunii

-relaţii de transformare între unităţile de măsură a presiunii

-legea fundamentală a staticii gazelor

-cunoaşterea instrumentelor pentru măsurarea presiunii

Test de v

erificare

a c

unoştinţe

lor 1) 1 torr = 760 mmHg.

A. AdevăratB. Fals

2) Piezometrele …A. funcţionează pe baza efectului piezoelectric.B. au nevoie de un burduf pentru a măsura presiunea.C. sunt nişte manometre cu lichid.D. au nevoie de un mecanism multiplicator Engler.

3) Care afirmaţie este ADEVĂRATĂ?A. Sarcina hidrostatică este cota piezometrică.B. Manometrele cu arc se numesc manometre Bourbon.C. 1 bar = 10 mHg

4) Atmosfera fizică este mai mare decât atmosfera tehnică.A. AdevăratB. Fals

B

C

A

A

Obiective:

-forţe de presiune pe suprafeţe plane

-calculul forţelor de presiune pe suprafeţe curbe

-legea lui Arhimede

-noţiuni legate de plutirea corpurilor

Cursul 8

Recapitulare:

-presiunea / legea fundamentală a hidrostaticii

-moment static al unei suprafeţe în raport cu o axă

-coordonatele centrului de greutate pentru o figură plană

Rezultanta eforturilor unitare de presiune care acţionează pe suprafaţa considerată.

pat nu se ia în considerare !

Trebuie determinate: mărimea forţei, punctul de aplicaţie, direcţia şi sensul.

Volumul presiunilor este egal ca mărime cu forţa de presiune.Punctul de aplicaţie al forţei de presiune este C, centrul de greutate al volumului presiunilor.

Forţe de presiune

Aplicaţie

Să se determine forţa de (supra)presiune a apei pe un

stăvilar plan, care închide un canal triunghiular cu

dimensiunile b = 0,8 m şi h = 0,9 m.

R : 108 kgf

Forţe de presiune pe suprafeţe plane

Fig. 3.26: perete înclinat

-punctul de aplicaţie:

-mărimea forţei: ApAzFGG⋅=⋅⋅γ=

undex

Gx

GC

S

I'z'z += A'zS

Gx⋅=

Uneori se calculează componentele forţei de presiune după axe: relaţiile 3.61 şi 3.62.Ay reprezintă proiecţia ariei A pe un plan de normală y.

Cazuri particulare: -perete plan orizontal-perete plan vertical

Aplicaţie pag. 113 (de corectat !)

Semnificaţia mărimilor:

-zGx = distanţa măsurată (pe verticală)de la planul de apă până în centrulde greutate al proiecţiei ariei A pe

un plan de normală x

-Vz = volumul de fluid cuprins în corpulde presiune

Forţe de presiune pe suprafeţe curbe

-se calculează pe componente după axe: relaţiile 3.72

xGxxGxxApAzF ⋅=⋅⋅γ=

yGyyGyy ApAzF ⋅=⋅⋅γ=

zzVF ⋅γ=

Corpul de presiune = un “cilindru” cu generatoare verticale, o bază este A

(suprafaţa curbă), iar cealaltă bază este Az din planul manometric.

Foarte important: Dacă generatoarele verticale intersectează suprafaţa curbă în mai multe puncte, forma corpului de presiune se stabileşte ţinând seama de părţile comune de volum şi de semnele acestora.

Să se determine efortul global la care trebuie

calculate îmbinările 1-1 şi 2-2, care realizează

legarea suprafeţei sfert de cilindru cu pereţii

rezervorului.

Se dau : R = 1 m, L = 5 m, h1

= 2 m, h2

= 1 m,

γ1

= 1 kgf/dm3, γ2

= 0,8 kgf/dm3.

Greutatea proprie a părţii sfert de cilindru este

G = 500 kgf.

R : 22,68 tf

Aplicaţie

VFA

⋅γ−=

Plutirea corpurilor. Legea lui Arhimede

Fig. 3.32

Formularea din liceu a legii lui Arhimede

se numeşte portanţă (sau forţă arhimedică) şi reprezintă o forţă verticală ce trece prin centrul de greutate al volumului de fluid dezlocuit.

Dacă corpul este cufundat parţial în fluid, se va considera doar volumul imersat.

Fig. 3.33: condiţii de plutire

Plutirea (la suprafaţă) înseamnă egalitatea a 2 forţe: G = FA’

Definiţii şi noţiuni legate de plutirea corpurilor: vezi fig. 3.34-carenă, deplasament, plan de plutire, linie de plutire, axă de plutire, axă longitudinală, pescaj etc.

Să se determine pescajul unui con din lemn

(ρL

= 800 kg/m3) care pluteşte în apă. Se dă

h = 30 cm.

R : 0,278 m

Aplicaţie

D = ?


-calculul forţelor de presiune pe suprafeţe plane

(orizontale şi înclinate)

-calculul forţelor de presiune pe suprafeţe curbe

-legea lui Arhimede

-noţiuni legate de plutirea corpurilor

Test de v

erificare

a c

unoştinţe

lor 1) Centrul de presiune este centrul de greutate al

volumului presiunilor.A. AdevăratB. Fals

2) Carena este …A. volumul pescajuluiB. volumul de fluid dezlocuit de plutitorC. aria laterală a plutitoruluiD. o mărime adimensională

3) La o suprafaţă înclinată, mărimea forţei de presiune depinde de unghiul α.

A. AdevăratB. Fals

4) Care afirmaţie este ADEVĂRATĂ?A. Pescajul este situat pe axa longitudinală de plutire.B. Corpul de presiune are o bază în planul manometric.C. Volumul imersat nu depinde de densitatea fluidului.

A

B

B

B

Obiective:

-condiţii de stabilitate a corpurilor plutitoare-echilibrul relativ de translaţie:

-legea de variaţie a presiunilor-ecuaţia suprafeţelor izobare

-echilibrul relativ de rotaţie:-legea de variaţie a presiunilor-ecuaţia suprafeţelor izobare

Cursul 9

Recapitulare:

-noţiuni legate de plutirea corpurilor-noţiuni de geometrie analitică-noţiuni de calcul integral (determinarea volumului)

Un plutitor este scos din poziţia de echilibru şi lăsat să oscileze.

Curba tuturor centrelor de carenă se poate asimila cu un cerc de rază r.Centrul acestui cerc se numeşte metacentru şi se notează cu M.

Poziţia metacentrului pe axa de plutire este o caracteristică geometrică şi mecanică a plutitorului.

Dacă M este situat deasupra lui G, plutirea este stabilă.Dacă M coincide cu G, echilibrul este indiferent.Dacă M este situat sub G, plutirea este instabilă.

Stabilitatea corpurilor plutitoare

Distanţa dintre C şi M se numeşte rază metacentrică = rDistanţa dintre G şi M se numeşte distanţă metacentrică = δ

CGr −=δ

carenaV

Ir =

Deci stabilitatea se poate studia determinând semnul lui δ:

δ > 0 => echilibru stabilδ = 0 => echilibru indiferentδ < 0 => echilibru instabil

unde

I este momentul de inerţie al ariei de plutire în raport cu axa cu care se studiază stabilitatea (de obicei axa longitudinală de plutire)

Aplicaţie:

Un cilindru din lemn având diametrul D şi înălţimea h pluteşte vertical pe apă.Să se afle pentru ce raport D/h cilindrul îşi va pierde stabilitatea.Se dă densitatea relativă a lemnului: 0,75.

R : 1,225

Fig. 3.40: după o direcţie orizontală

Se obţine o lege de variaţie a presiunilor de aceeaşi formă ca în cazul repausului absolut.

Ecuaţia suprafeţelor izobare într-o secţiune de tip xOz:

Particulele de fluid sunt în mişcare faţă de un sistem de referinţă fix …Suprafaţa liberă a lichidului nu mai este plană şi orizontală !Apar deci forţe de inerţie care trebuie luate în calcul.

2 lucruri sunt necesare a fi determinate:- legea de variaţie a presiunilor din masa de lichid- ecuaţia suprafeţelor izobare

Echilibrul relativ al lichidelor

Echilibrul relativ de translaţie

g

Cx

g

az +⋅−=

- familie de drepte cu coeficient unghiularg

atgm −=β=

Fig. 3.42: în jurul unei axe verticale

Se obţine o lege de variaţie a presiunilor de aceeaşi formă ca în cazul repausului absolut…

Ecuaţia suprafeţelor izobare: familie de paraboloizi de rotaţie în jurul axei Oz verticale şi cu vârful la cota z

0:

Echilibrul relativ de rotaţie

Cota z0 rezultă din condiţia de conservare a volumului !

Ce se întâmplă la rotaţia în jurul unei axe orizontale ?

Aplicaţii tehnice ale echilibrului relativ: accelerometrul şi tahometrul

Aplicaţiile se rezolvă folosind noţiuni simple de geometrie analitică …

Ce se întâmplă după o direcţie înclinată ?

2

2

0r

g2zz ⋅

⋅

ω+=

Un rezervor conic de rază R şi înălţime H, iniţial

plin cu apă, începe să se rotească în jurul axei

proprii. Se cere să se determine viteza unghiulară

ω, astfel încât suprafaţa liberă a lichidului să

devină tangentă la suprafaţa laterală a

rezervorului la partea lui superioară. Să se

calculeze în acest caz volumul de apă care se

pierde din rezervor.

Aplicaţie:

R

gH=ω

V4

3⋅

R:


-analiza stabilităţii corpurilor plutitoare

-scrierea legii de variaţie a presiunilor şi determinarea

ecuaţiei suprafeţelor izobare în cazul echilibrului

relativ de translaţie

-scrierea legii de variaţie a presiunilor şi determinarea

ecuaţiei suprafeţelor izobare în cazul echilibrului

relativ de rotaţie

Test de v

erificare

a c

unoştinţe

lor 1) Metacentrul este punctul de aplicaţie

al forţei arhimedice. A. AdevăratB. Fals

4) Plutirea este stabilă dacă …A. distanţa metacentrică este pozitivăB. distanţa metacentrică este zeroC. distanţa metacentrică este negativăD. M este situat sub G

3) Accelerometrul cu mercur este o aplicaţie tehnică a echilibrului relativ de translaţie.

A. AdevăratB. Fals

2) Care afirmaţie este ADEVĂRATĂ?A. Distanţa metacentrică nu poate fi egală cu raza

metacentrică.B. Tahometrul hidraulic se foloseşte la măsurarea presiunii.C. Repausul relativ nu ia în considerare forţele de inerţie.

B

A

A

A

Obiective:

-sisteme de reprezentare a mişcării-ipotezele lui Helmholtz-mărimi şi noţiuni specifice mişcării fluidelor-clasificarea mişcării fluidelor-mişcări laminare şi mişcări turbulente-ecuaţia de continuitate

Cursul 10

Recapitulare:

-particula fluidă-noţiuni de teoria câmpurilor

Cinematica fluidelor

Mişcarea fluidului este considerată ca mişcarea unui sistem continuu de particule fluide (!) care ocupă în întregime spaţiul în care se află fluidul.

Particula fluidă este asimilată cu punctul material din mecanica teoretică.

2 sisteme de reprezentare a mişcării: Lagrange şi Euler

Sistemul de reprezentare Lagrange

-studiază mişcarea fiecărei particule în lungul traiectoriei sale, raportată la un sistem de axe fix.Coordonatele particulei în momentul iniţial (a, b, c) sunt variabileindependente (se numesc variabilele lui Lagrange).

Sistemul de reprezentare Euler

-studiază parametrii mişcării tuturor particulelor care trec printr-un punctfix din spaţiu, în timp.Coordonatele punctului considerat sunt variabile independente !

-linie de curent: condiţia de tangenţă a vitezelor !-traiectorie

Asemănări, deosebiri… concluzii pag. 135

Ipotezele lui Helmholtz : descompunerea mişcării unei particule fluide

Rotorul vitezelor : pag. 139… mişcări rotaţionale / irotaţionale

Mărimi şi noţiuni specifice mişcării fluidelor

-viteza medie a curentului-perimetru udat-raza hidraulică-vârtej

-tub de curent-suprafaţă de curent-suprafaţă de control

-viteză locală-secţiune vie-debit

-fir de curent-linie trasoare

-mişcări permanente şi nepermanente

-mişcări tridimensionale, bidimensionale, unidimensionale

-mişcări uniforme şi neuniforme

-mişcări paralele şi neparalele

-mişcări sub presiune şi mişcări cu suprafaţă liberă

-mişcări laminare şi mişcări turbulente

Clasificarea mişcării fluidelor

Fig. 4.24 şi 4.25: Punerea în evidenţă a fenomenului

Mişcarea laminară: ordonată, în straturi paralele, aspect telescopic înconducte circulare

Mişcarea turbulentă: dezordonată, straturile se încrucişează, aparvârtejuri, consum energetic sporit

Fig. 4.23: Distribuţia vitezelor într-o conductă circulară pentru cele 2 tipuride mişcări

Important: în domeniul instalaţiilor, în marea majoritate a cazurilor, mişcarea este turbulentă !

Mişcări laminare şi mişcări turbulente

Criteriul Reynoldsυ

⋅

=

DVRe

D

Trecerea de la mişcarea laminară la cea turbulentă are loc la valoareacritică 2300 (conducte circulare !)

Modelarea mişcărilor turbulente

2 fenomene specifice mişcării turbulente:

-difuzia turbulentă: caracterul spaţial al mişcării, deplasări uneoriperpendiculare pe direcţia de curgere.

-pulsaţia vitezei: chiar în ipoteza unui regim permanent, se constată căviteza prezintă variaţii rapide în jurul unei valori medii…rezultă o uniformizare a vitezei în “sâmburele central” al curgerii şi o variaţierapidă într-un strat foarte subţire lângă perete.

Se doreşte înlăturarea formală a vitezelor de pulsaţie … se considerămacroparticule … schema simplificată Boussinesq-Reynolds.

În mişcarea turbulentă, efortul tangenţial are 2 componente: unavâscoasă şi una turbulentă.

Ecuaţia de continuitate

Forma generală: 0)v(divt

=ρ+∂

ρ∂ r

Pentru mişcarea permanentă şi fluide incompresibile: 0z

v

y

v

x

vzyx=

∂

∂+

∂

∂+

∂

∂

Cazul tubului de curent

Forma generală: 0t

)A(

l

)Q(=

∂

ρ∂+

∂

ρ∂

Pentru mişcarea permanentă şi fluide incompresibile: 0l

Q=

∂

∂

debitul rămâne constant în lungul tubului de curent. Pe scurt, Q = AV = const.

Ecuaţia de continuitate în noduri/ramificaţii: 0Qi=∑

Debit volumic, debit masic, debit de greutate … ATENŢIE

adică


-caracterizarea sistemelor de reprezentare a mişcării

-ipotezele lui Helmholtz

-mărimi şi noţiuni specifice mişcării fluidelor

-clasificarea mişcării fluidelor

-caracterizarea mişcărilor laminare şi mişcărilor turbulente

-ecuaţia de continuitate

Test de v

erificare

a c

unoştinţe

lor 1) Rotorul vitezelor este dublul vectorului

de rotaţie al particulei fluide.A. AdevăratB. Fals

2) Mişcarea permanentă se mai numeşte şi …A. EulerB. LagrangeC. staţionarăD. laminară

3) O mişcare paralelă poate fi uniformă sau neuniformă.A. AdevăratB. Fals

4) Care afirmaţie este ADEVĂRATĂ?A. Mişcarea laminară are o structură dezordonată.B. Traiectoria coincide cu linia de curent doar la mişcarea permanentă.C. Fenomenul pulsaţiei vitezei este specific mişcării laminare.

A

C

A

B

Obiective:

-obiectul dinamicii fluidelor

-ecuaţiile de mişcare în forma dată de Euler

-forma Lamb-Helmholtz a ecuaţiilor de mişcare

-integrarea ecuaţiilor de mişcare

-ecuaţia lui Bernoulli în câmp gravitaţional

-aplicaţii ale ecuaţiei energiei

Cursul 11

Dinamica fluidelor

Ecuaţiile de mişcare tip Euler – comparaţie cu statica

∂∂⋅

ρ−=

∂∂⋅

ρ−=

∂∂⋅

ρ−=

z

p1f

dt

dv

y

p1f

dt

dv

x

p1f

dt

dv

z

z

y

y

x

x

În formă diferenţială:

În formă vectorială: pgrad1

fdt

vd⋅

ρ−=

r

În formă diferenţială:

În formă vectorială:

Forma Lamb-Helmholtz a ecuaţiilor de mişcare

Ω⋅−Ω⋅+∂

∂=

++π

∂

∂−

Ω⋅−Ω⋅+∂

∂=

++π

∂

∂−

Ω⋅−Ω⋅+∂

∂=

++π

∂

∂−

yxxyz

2

xzzx

y2

zyyzx

2

vvt

v

2

vP

z

vvt

v

2

vP

y

vvt

v

2

vP

x

++π−=×Ω+

∂

∂

2

vPgradv

t

v2

unde π este funcţia de potenţial, iar P funcţia de presiune: ∫ρ

=dp

P

Integrarea ecuaţiilor de mişcare

Se face notaţia2

vPe

2

++π=

şi ecuaţia diferenţială devine:

zyx

zyx

vvv

dzdydx

dzz

edy

y

edx

x

eΩΩΩ=⋅

∂

∂−⋅

∂

∂−⋅

∂

∂−

Se notează determinantule

zyx

zyx

vvv

dzdydx

δ−=ΩΩΩ

ecuaţiile lui Euler admit ca soluţieintegrala lui Bernoulli

0e=δDacă determinantul atunci

Ecuaţia lui Bernoulli în câmp gravitaţional (mişcare permanentă, fluid incompresibil)

.constHg2

vpz

2

==+γ

+

Există 4 situaţii în care determinantul respectiv este nul

-mişcare irotaţională

-mişcare în lungul unei linii de curent

-mişcare în lungul unei linii de vârtej

-mişcare elicoidală

Integrala lui Bernoulli .const2

vPe

2

=++π=

Legea lui Bernoulli se scrie de obicei pentru 2 secţiuni consecutive în lungul firului de curent:

Hg2

vpz

g2

vpz

2

22

2

2

11

1=+

γ+=+

γ+

Ecuaţia lui Bernoulli este o lege de conservare a energiei

Semnificaţia celor 3 termeni din ecuaţie:

a) energii specifice-energie specifică de poziţie-energie specifică de presiune-energie specifică cinetică γ

+p

z -energie specifică potenţială

b) înălţimi-înălţime de poziţie-înălţime piezometrică-înălţime cinetică

Fig. 5.4 - Linii caracteristice: linia piezometrică şi linia energetică

Reprezentarea grafică a legii lui Bernoulli – fig. 5.3

Alte forme ale legii lui Bernoulli

.const2

vpzg

2

=+ρ

+⋅

.const2

vpz

2

=⋅ρ++⋅γ

Presiunea hidrodinamică este egală cu suma dintre presiunea de poziţie, presiunea statică şi presiunea dinamică.

Evidenţierea presiunii de stagnare (impact)

Aplicaţii: -Sondele pentru măsurarea vitezelor

-Venturimetrul


-obiectul dinamicii fluidelor

-scrierea ecuaţiilor de mişcare în forma Euler

-scrierea ecuaţiilor de mişcare în forma Lamb-Helmholtz

-integrarea ecuaţiilor de mişcare

-scrierea ecuaţiei lui Bernoulli în câmp gravitaţional, fluid perfect

-aplicaţii ale ecuaţiei energiei

Test de v

erificare

a c

unoştinţe

lor

1) Care afirmaţie este ADEVĂRATĂ?A. Integrala lui Bernoulli se notează cu B.B. Presiunea statică se mai numeşte presiune de stagnare.C. Presiunea de impact este presiunea dinamică.

2) Linia piezometrică …A. nu poate creşte în sensul curgerii fluduluiB. trece deasupra liniei energetice pentru mişcări turbulenteC. se reprezintă pe baza termenilor z şi p/γD. se datorează termenului cinetic

3) În integrala lui Bernoulli, P este funcţia de potenţial.A. AdevăratB. Fals

C

C

B

A

4) Venturimetrul este un aparat pentru măsurarea debitului.A. AdevăratB. Fals

Obiective:

-ecuaţia energiei pentru un fir de fluid real în mişcare permanentă-ecuaţia energiei pentru un tub de curent real în mişcare permanentă-ecuaţia energiei pentru curenţi unidimensionali în mişcare nepermanentă-ecuaţia energiei pentru conducte pe care sunt montate maşini hidraulice-starea de tensiune la fluide reale-ecuaţiile Cauchy pentru mişcarea fluidelor reale-ecuaţiile de mişcare Navier-Stokes-integrarea ecuaţiilor de mişcare a fluidelor vâscoase

Cursul 12

Recapitulare:

-fir de curent-tub de curent-legea lui Bernoulli pentru fluidul perfect

Cazul fluidelor reale EEE21

∆=−

Ecuaţia energiei pentru un fir de fluid real în mişcare permanentă

21r

2

22

2

2

11

1h

g2

vpz

g2

vpz

−

++γ

+=+γ

+

Fig. 5.10 – interpretare … Panta hidraulică

Ecuaţia energiei pentru un tub de fluid real în mişcare permanentă

v=kV vezi fig. 5.11 Coeficientul lui Coriolis

∫=α

A

3dAk

A

1

-la fluide perfecte α=1

-la fluide reale, α este cuprins între 1 şi 1,1

-la mişcarea laminară în conducte circulare α=2

-la mişcarea turbulentă în conducte circulare α=1,03…1,05

-la mişcarea turbulentă în canale deschise α=1,1

-la ieşirea din pompe şi pe aspiraţia turbinelor α=3…7

2 observaţii:

În final se obţine

21r

2

22

2

2

11

1h

g2

Vpz

g2

Vpz

−

+α

+γ

+=α

+γ

+

• Relaţia de mai sus este valabilă pentru un curent de fluid real

incompresibil, mişcarea fiind permanentă.

Uzual se aplică pentru puncte situate pe axul conductei.

• Relaţia este riguros exactă numai pentru mişcarea uniformă.

Liniile caracteristice pentru o conductă care prezintă zone de neuniformitate a curgerii (diafragmă, respectiv lărgire bruscă de secţiune) indică apariţia unor pierderi suplimentare de energie.

Ecuaţia energiei pentru curenţi unidimensionaliîn mişcare nepermanentă

Ecuaţia energiei pentru conducte pe care sunt montate maşini hidraulice

Apare un termen de corecţie H* - reprezintă schimbul de energie care se

produce între curentul de fluid şi maşină.

Semnul lui H* !

Cazul turbinei, cazul pompei

Apare un termen nou, de tip pierderi, numit înălţime inerţială (cuantifică energia consumată pentru variaţia vitezelor locale în timp).

t

V

g

lhi

∂

∂β= unde

3

2+α=β

Evident se trasează şi o nouă linie caracteristică, linia inerţială.

Starea de tensiune la fluidele reale

În jurul unui punct la un fluid real, se poate exprima starea de tensiune printr-o matrice pătrată formată din 9 elemente, ce poartă numele de tensorul eforturilor unitare:

Primul indice dă axa normală la suprafaţa considerată,

iar al doilea indice dă direcţia efortului unitar.

Tensorul eforturilor unitare are 2 proprietăţi:-simetria faţă de diagonala principală.-suma elementelor de pe diagonala principală este un invariant.

Relaţii generale de calcul la curenţii de fluid compresibil în mişcarea permanentă (gaze)

3 variabile în loc de 2 (deoarece densitatea nu este constantă), ca urmare sunt necesare 3 ecuaţii:

-ecuaţia de continuitate

-ecuaţia de stare fizică a fluidului

-relaţia de bilanţ energetic

=

zzyzxz

zyyyxy

zxyxxx

ppp

ppp

ppp

T

Ecuaţiile generale ale mişcării fluidelor realeîn funcţie de eforturile unitare

Ecuaţiile lui Cauchy:

∂∂

+∂

∂+

∂∂

⋅ρ

+=

∂

∂+

∂

∂+

∂

∂⋅

ρ+=

∂∂

+∂

∂+

∂∂

⋅ρ

+=

z

p

y

p

x

p1f

dt

dv

z

p

y

p

x

p1f

dt

dv

z

p

y

p

x

p1f

dt

dv

zzyzxz

z

z

zyyyxy

y

y

zxyxxx

x

x

Ecuaţiile de mişcare ale fluidelor vâscoase(ecuaţiile Navier-Stokes)

θ∂∂

⋅ν

+∆⋅ν+∂∂⋅

ρ−=

θ∂∂

⋅ν

+∆⋅ν+∂∂⋅

ρ−=

θ∂∂

⋅ν

+∆⋅ν+∂∂⋅

ρ−=

)(z3

)v(z

p1f

dt

dv

)(y3

)v(y

p1f

dt

dv

)(x3

)v(x

p1f

dt

dv

zz

z

yy

y

xx

x

2

x

2

2

x

2

2

x

2

x

z

v

y

v

x

v)v(

∂

∂+

∂

∂+

∂

∂=∆⋅ν

∂

∂+

∂

∂+

∂

∂⋅=θ

z

v

y

v

x

v3 zyx

unde

şi

Integrarea ecuaţiilor de mişcare a fluidelor vâscoase

Nu există metode generale de integrare!

Se impun următoarele categorii de condiţii:

-condiţii iniţiale: au sens doar pentru mişcările nepermanente,

descriu câmpul de viteze şi presiuni la un moment dat.

-condiţii geometrice de contur: legate de forma pereţilor rigizi

care delimitează domeniul curgerii : problema internă, problema externă,

pericolul apariţiei discontinuităţilor…

-condiţii legate de caracteristicile fluidului: densitate şi vâscozitate,

adeziune, strat limită.

-condiţii cinematice şi dinamice: pentru viteze, respectiv presiuni pe

anumite frontiere ale mişcării.


-scrierea ecuaţiei energiei pentru un fir de fluid real în mişcare permanentă

-scrierea ecuaţiei energiei pentru un tub de curent real

în mişcare permanentă

-scrierea ecuaţiei energiei pentru curenţi

unidimensionali în mişcare nepermanentă

-scrierea ecuaţiei energiei pentru conducte pe

care sunt montate maşini hidraulice

-starea de tensiune la fluide reale

-scrierea ecuaţiilor Cauchy pentru mişcarea fluidelor reale

-scrierea ecuaţiilor de mişcare Navier-Stokes

-condiţii de integrare a ecuaţiilor de mişcare a fluidelor vâscoase

Test de v

erificare

a c

unoştinţe

lor

1) Panta hidraulică este de fapt un număr adimensional.A. AdevăratB. Fals

2) Coeficientul lui Coriolis …A. este subunitar la mişcări laminareB. este egal cu 2300 în mişcări permanenteC. apare la caracterizarea firului de curent staţionarD. este egal cu 1 la fluide perfecte

3) Tensorul eforturilor unitare este o matrice 4x4.A. AdevăratB. Fals

4) Care afirmaţie este ADEVĂRATĂ?A. Pierderea de sarcină este egală cu panta hidraulică.B. Ecuaţiile Navier-Stokes descriu mişcarea fluidului vâscos.C. Nu există nici un impediment de a folosi în loc de viteza v,

viteza V.

A

D

B

B

Obiective:

-la ce foloseşte teorema impulsului

-expresia forţei de impuls

-forma generală a teoremei impulsului

-aplicaţii în domeniul instalaţiilor

Cursul 13

Recapitulare:

-ce este impulsul

-teorema lui d’Alembert din mecanică

Teorema impulsului şi aplicaţii

Utilitate: permite obţinerea unor relaţii pe suprafaţa care delimitează domeniul mişcării, fără a fi necesară cunoaşterea în detaliu a mişcării fiecărei particule din interiorul domeniului.

De exemplu: calculul forţelor care acţionează pe palele unei turbine, pe pereţii rigizi ai unui tub de curent, determinarea pierderilor de sarcină locale, etc.

În hidraulică ecuaţia impulsului are o formă proprie, care se obţine însă din forma generală dată de mecanica teoretică.

Impulsul (cantitatea de mişcare) este produsul dintre masa unui punct material m şi viteza sa v.

Teorema lui d'Alembert din mecanica teoretică: derivata cantităţii de mişcare a unui punct material în raport cu timpul este egală cu suma forţelor exterioare care acţionează asupra acelui punct material.

0)I(IRFFG21C21=−+++++

rrrrrr

în care:G - greutatea masei de fluid din interiorul suprafeţei de controlF1, F

2- forţele de presiune pe suprafaţa de intrare, respectiv ieşire

I1, I

2- forţele de impuls prin suprafaţa de intrare, respectiv ieşire

RC

- reacţiunea conturului solid

Expresia mărimii forţei de impuls

VQI ⋅⋅ρ⋅β=

în care:β - coeficient de neuniformitate a vitezelor în secţiune... vezi cursul 12ρ - densitatea fluiduluiQ - debitul volumicV - viteza medie în secţiune

Observaţii:-ecuaţia vectorială a impulsului trebuie proiectată pe o axă sau pe un

sistem de axe convenabil ales. -atenţie la semnul MINUS din faţa vectorului I

2!

-ecuaţia vectorială a impulsului este folosită în principal pentru determinarea mărimii lui R

C- reacţiunea conturului solid.

-punctul de aplicaţie al acestei forţe se determină cu ajutorul unei alte ecuaţii: o ecuaţie de moment a forţelor implicate în ecuaţia impulsului în raport cu un punct arbitrar din spaţiu.

Aplicaţia 1: Reacţiunea opusă de pereţii unei conducte rectilinii la mişcarea uniformă a fluidului

0)VV(QRPPsinG2121=−⋅⋅ρ⋅β+−−+α⋅

Se aplică ecuaţia impulsului, care se proiectează după axa conductei:

21VV = ApP

11⋅= ApP

22⋅= lAG ⋅⋅γ=

21zzsinl −=α⋅Dar

Dacă se exprimă reacţiunea R prin produsul dintre efortul tangenţial mediu la perete şi aria pe care acesta acţionează

lPR0

⋅⋅τ=

rezultă o relaţie care va fi folosită ulterior la calculul pierderilor de sarcină:

JRh0⋅⋅γ=τ

în care:

γ

γ - greutatea specifică a fluidului

Rh - raza hidraulică a conductei (=A/P)

J - panta hidraulică (uneori notată cu i, I sau j)

După aplicarea ecuaţiei lui Bernoulli, rezultă:

rhAR ⋅⋅γ=

21r

21

21h

ppzz

−

=γ

−γ

+−

Se obţine

Aplicaţia 2

O curbă la 90o aflată pe o conductă de alimentare cu agent termic

(ρ ≈ 1000 kg/m3) de diametru D = 500 mm este pozată în plan orizontal.

Presiunea medie a apei în conductă este p = 15·105 N/m2 (în scara

manometrică), iar debitul este 590 l/s.

Dacă nu se iau în considerare solicitările datorate diferenţei de

temperatură şi se neglijează pierderile de sarcină, să se determine forţa

care apare în curbă.

R : ~ 419 kN


-importanţa şi utilitatea teoremei impulsului

-scrierea relaţiei de calcul a forţei de impuls

-scrierea teoremei impulsului

-cum se poate aplica ecuaţia impulsului în domeniul instalaţiilor

Test de v

erificare

a c

unoştinţe

lor 1) Impulsul unui punct material este dublul

energiei sale cinetice.A. AdevăratB. Fals2) În expresia vectorială a teoremei impulsului, cu litera I s-a

notat …A. intensitatea debituluiB. forţa de inerţieC. forţa incidentă a pereteluiD. forţa de impuls3) Efortul tangenţial mediu la perete nu depinde de raza

hidraulică a conductei.A. AdevăratB. Fals4) Care afirmaţie este ADEVĂRATĂ?A. Coeficientul β din expresia mărimii forţei de impuls este

coeficientul lui Coriolis.B. Forţele de impuls acţionează perpendicular pe pereţii

conductei.C. Mărimea forţei de impuls depinde de debitul volumic.

B

D

B

C

responsabil disciplină, Şef lucrări dr. ing. ciprian...

Documents