§ 22. Regularizare a ecuației complet

22.1 Compoziție de operatori speciale.    Așa cum a fost prezentat în 21 , unele dintre cele mai simple ecuațiilor integrale singulare sunt rezolvate într-o formă închisă . B mai târziu ( Capitolul VII ) va pune in evidenta anumite tipuri particulare de ecuațiilor integrale singulare complete, care pot fi , de asemenea, rezolvate în formă închisă . În cazul general , soluția a ecuațiilor integrale singulare se realizează prin aducerea lor la o ecuație integrală Fredholm .  Procesul de a aduce un speciale ( singular ) din ecuația integrală a Fredholm ( obișnuit ) este numit de regularizare . Următoarele va descrie moduri diferite regularizarea , de cel mai important, care este de a aplica pentru un anumit operator la altul , special selectate , un operator special .Să - operatori speciale :

(22.1)

(22.2)

   Operatorul , definit prin formula , va fi numit compoziție sau un produs al operatorilor și (în această ordine: operatori de produse, în general, nu comutativ) .Forma expresia pentru operatorul :

(22.3)

Și de a evidenția partea sa intrinsecă. Pentru a face acest lucru, efectuați următoarea transformare:

(22.4)

(În ultimul rând, am folosit ordinea permutare de integrare (7.7 ).)Ușor pentru a vedea că toate integrale de kernel în ultimele termenii laturile dreptul de (22.4) la au o singularitate de a nu mai

Pentru primele două nuclee, atunci când consideră că funcțiilor , satisface o condiție Holder,

evident. În acest din urmă nucleul, introducerea notația , face transformarea:

unde

În conformitate cu clauza 5.1 funcții , îndeplinească o condiție Holder , în plus , astfel

încât are , de asemenea, nucleul cel mai recent la caracteristică nu este mai mare

. Etichetarea, în § 20.1,

(22.5)

găsim că caracteristice compoziții operatorul K ( lucrări) Pentru doi operatori speciali și sunt date de

(22.6)

Ne scrie operatori , sub forma ( 20.3 ), cu partea caracteristică a subliniat în mod clar:

(22.7)

(22.8)

Astfel, coeficienții a ( t ) decaracteristici ale produsului de operatori K2K1 exprimate prin formuleleAceste formule nu contin nucleele regulate K1, K2 și sunt simetrice în raport cu indicii 1 și 2. Prin urmare, putem concluziona:1. Partea intrinsecă a activității operatorilor speciale nu depinde de partea lor obișnuit și nu depinde de ordinea de acești operatori în produs.

Astfel , schimbarea ordinii de operatori, precum și schimbările în cadrul lor obișnuit afectează doar o parte regulată a produsului operatorului, fără a afecta partea sa intrinsecă .Se calculează coeficientul deproblema Riemann corespunzătoareoperatorului caracteristică ( K2K1 ) . De (21.5), (22.9), avem(22.10)

unde(22.11)

Probleme Riemann sunt coeficienții care corespundK1 operatori, K2. Din aceasta rezultă o concluzie importantă:2 . Coeficientul deoperatorul Riemann ( K2K1 ) este produsulRiemann probleme operatorii K1 și K2 , și deci indicele produsului este suma operatorilor speciale pentru a multiplica operatori indici:(22.12)    Declarația completă este determinat de expresia K2K1

Atunci când o ( t ) , b ( t ) definit de ( 22,9 ) . Pentru nucleu regulat formule bazate poate scrie cu ușurință o expresie explicită , dar ca și în viitor, oriunde, această expresie nu va folosi , și apoi nu se da .

22.2. Regularizarea operatorului. Dacă operatorul personalizat K este astfel încâtK2K1 operatorul este regulat ( Fredholm ), adică, nu există nici singular integrală ( b ( t ) = 0 ), atunci K2 este numit operatorul regulyaruzuyuschim în raport cu un anumit operator de K1 sau scurt regularizator său. Rețineți că, dacă K2 este regularizer, apoi de proprietate 1 operatori de cale și operatorul va fi k1k2 regulat.Găsi forma generală a unui operator de regularizării.prin definiție, trebuie să avem

( 22.13)de unde rezultă că

(22.14) unde y ( t ) - funcția de nonvanishing arbitrar satisface o condiție Holder .

    Prin urmare, în cazul în care K - operatorul personalizat

( 22.15 ) este forma generală a regularizer acestuia , care va fi notată curenți K:

( 22.16 )

unde k ( t , t ) - arbitrar nucleu Fredholm și y ( t ) - o funcție arbitrară care satisfac Holder.

     Deoarece indicele de operator regulate ( b ( t ) = 0 ) este în mod evident egal cu zero, atunci proprietățileprodusului a doi operatori rezultă căindicele de regularizare operatorului egală în mărime și cu semn schimbatoperatorul index REGULARIZABILITY .Aceeași concluzie poate fi făcută direct de către forma deregularizare (22.16), pe baza faptului că

     Astfel, pentru orice operator special cu nucleu Cauchy ( 22.15 ) de tip normal , există nenumărate operatori de regularizare (22.16) cu o parte intrinsecă a care depinde de o funcție arbitrar ( t ) , și conțin un k arbitrar nucleu regulat .

     Elemente arbitrare poate, uneori, pentru ca regularizarea operatorul care îndeplinesc anumite condiții suplimentare. Puteți, de exemplu, pentru a obține o ecuație regularizate factor de normalizare pentru, ceea ce face egal cu unitatea. Pentru a face acest lucru aveți nevoie pentru a pune

. În cazul în care nu sunt impuse condiții, este firesc să folosească cele mai simple reglementeaza. Le vom primi, în cazul în care formula (22.16) ne-am stabilit

, atunci regularizer va avea forma

(22.17)

тогда

 (22.18)

     Cel mai simplu operatorilor și folosite ca regularizators cele mai multe ori.    Deoarece operatorii de multiplicare nu sunt comutative, trebuie să distingem între două regularizare: de regularizare din stânga, atunci când rezultatul este un operator de nave spațiale și regularizare a dreptul, atunci când se duce la un operator de .Pe baza observația de mai sus este atât de regularizer dreapta regularizer și la stânga, și vice- versa . Astfel, operațiunea este regularizare comutativă.      Proprietatea § 22.1 implică faptul că această operație este reciproc, adică, în cazul în care operatorul este operatorul regulyaruzuyuschim K, și invers, operatorul K este un regularizer pentru operatorul .       Operatorii și pot diferi de la unul de altul doar o parte regulat. Daca notam regulat ( Fredholm ) operatorul , legătura simbolică dintre lucrările operatorilor speciale, ordinea diferitelor factori vor fi înregistrate după cum urmează:

22.3 Metode de regularizare.Să presupunem că se dă o ecuație integrală singulară complet

(22.19)

După cum sa menționat deja, soluția (și de cercetare teoretică) este produs de regularizare a ecuației). Trei metode utilizate în mod obișnuit de regularizare. Primele două sunt bazate pecompozițiaoperatorului singular si regularizer sale (regularizareastânga și dreapta).A treia metodă este substanțial diferită deprimele două, esteeliminarea unei integrale singulare prin rezolvareaecuației caracteristice corespunzătoare.         În construirea teoriei ecuatiilor singulare (teorema Noether lui), vom folosi doar primele două metode de regularizare, așa că am să le prezinte în primul rând și de prezentare a treia metodă de a nu întrerupe legătura logică am pus la sfârșitul § 24.

. Regularizare din stinga.Ia operator de regularizare (22.16)

(22.20)

    Prin substituirea în loc deexpresia funcției de ajunge laecuația integrală

(22.21)

Prin definiție, ( - regularizer ) operatorul Fredholm , prin urmare, ecuația (22.21) este o ecuație Fredholm. Astfel, am transformatecuatia integral singular (22.19) în ecuația integrală Fredholm (22.21) în raport cu aceeași funcție necunoscută .       Aceasta este prima metodă de regularizare - regularizare a plecat. Rețineți că această metodă a fost folosită chiar și de către fondatorii teoriei ecuațiilor integrale singulare Hilbert și Poincare (vezi date istorice).

    . Dreptul de regularizare. Substituind în ecuația (22.19) în loc de funcția dorită a expresiei dorite (22.20):

(22.22)unde m - unele nouă funcție necunoscută, obținem ecuația integrală

(22.23)care este, de asemenea, Fredholm. Astfel, dintr -o ecuație integrală singulară (22.19) pentrufuncția necunoscută am mutat într-o ecuație integrală Fredholm în raport cu noua funcție necunoscută . Decizia de ecuația Fredholm (22.23) de (22.22), vom găsi soluția ecuației inițiale (22.19). Aplicarea formulei (22.22) necesită numai în cuadratură de calcul (un ordinar integral și unul special). Aceasta este a doua metodă de regularizare - drept regularizare.

22.4. Comunicarea între soluțiile și ecuațiile regularizat speciale. În procesul de a aduce o ecuație integrală singulară a ecuației regulat a produs o transformare funcțională. Această transformare poate, în general, sau a soluțiilor străine care nu satisfac ecuația inițială, sau provoca unele pierderi. Prin urmare, ecuația rezultată, în general, nu echivalent cu originalul. Să ne stabilirea de legături între soluții ale acestor ecuatii.

. Regularizare din stinga. Lăsa

(22.24)- Setați ecuația special și

 (22.25) - corespunzătoare în mod regulat. Scrie (22.25), sub forma

(22.25´)

   Deoarece operatorul K este omogen, atunci fiecare solutie a ecuatiei originale (22.24) (funcția expresie uitat de zero) și, de asemenea, satisface ecuatia (22.25´). Prin urmare, regularizarea stânga nu duce la o pierdere de luare.     Noi acum inversa întrebarea dacă fiecare solutie a ecuatiei este reglementată soluție de original? Este ușor de a arăta că acest lucru nu este întotdeauna cazul.    Luați în considerare ecuația corespunzătoare operatorului singular regularizării integral

(22.26)Să - solutii sale sistem complet, adică, toate functii proprii liniar independente regularizare operatorului .Având înecuația (22.25´) ca o ecuație de forma specială (22.26) cu funcția dorită , va avea

(22.27)unde - sunt constante . Astfel, ecuația regularizat este echivalentă cu ecuația inițială nu este (22.24), iar ecuația (22.27). Dacă se aplică în ecuația (22.27), operatorul K, atunci vom obține ecuația (22.25) pentru arbitrare

. Prin urmare, cum putem concluziona că ecuația (22.25) este echivalent cu (22.27) pentru arbitrare . (New invariabil ajunge la concluzia greșită.) De fapt, acesta este doar în cazul în care ecuația (22.27) este rezolvabil pentru arbitrară .

 În cazul în care pentru ei membru gratuit de solvabilitate trebuie să îndeplinească anumite condiții,

apoi introducerea expresia condiții de solvabilitate , obținem valorile pentru un sistem de

ecuații 2 . Se poate ca aceste ecuații sunt satisfăcute pentru valori arbitrare de , pot fi determinate de la ei doar o parte permanentă șirestul rămân arbitrar, și este posibil ca toate vor fi valori - definite. Este ușor de a construi exemple în care pentru a pune în aplicare oricare dintre aceste caracteristici. Prin urmare, ecuația (22.25) este echivalentă cu ecuația (22.27) , în care 2 - sau anumite constante arbitrare . Se poate ca ecuația (22.27) poate fi rezolvată numai cu condiția ca toate . În acest caz, ecuația (22.25) este echivalentă cu ecuația inițială (22.24), și va fi regularizer echivalent. În special, în cazul în care regularizer nu are funcții corespunzătoare, în partea dreaptă a ecuației (22.27) este identic nula, și cu siguranță este echivalent. Această declarație există în mod clar la de exemplu, ele pot fi regularizer de a nu avea în acest caz functiile proprii). Întrebări de regularizare echivalentă, în cazul general, vor fi discutate mai târziu.

. Dreptul de regularizare. Fie

(22.24) și original ecuația speciale

(22.28)ecuație - regularizată obținut prin substituirea

. (22.29)Dacă există nici o soluție a ecuației (22.28), rezultă din (22.29) se obține soluția corespunzătoare a ecuației original

.Prin urmare, regularizarea drept nu poate conduce la soluții străine. Invers, să presupunem că este o soluție a ecuației originale. Apoi, soluția ecuației regularizat (22.28) poate fi obținut casoluția ecuației singular

,

care, cu toate acestea, poate fi insolubilă.

Astfel, regularizarea corect poate provoca soluții de pierdere. Astfel de pierderi nu va avea loc atunci când ecuația (22.29) este rezolvabil pentru orice partea dreaptă. In acest caz, operatorul este corect regularizator echivalent. Observatia. Având în vedere utilizarea acestor rezultate în viitor materialul carte, am vorbit despre soluții de comunicare ale ecuației originale și speciale obținute de la ea de regularizare. Dar rezultatele s-au implicații mai largi. Ori de câte ori a menționat pe ecuația regularizării, putem vorbi despre ecuația obținută din aceasta prin înmulțirea cu un operator la stânga sau la dreapta . Obținute aici relațiile dintre soluții de ecuații originale și transformate sunt valabile pentru conversia (stânga sau dreapta). de orice fel

23. Proprietățile de bază de ecuații singulare.

23.1. Unele proprietăți ale operatorilor Uniunii.În viitor, vom folosi două proprietăți operatori aliate. Aceste proprietăți nu sunt specifice anumitor operatori, și comune tuturor operatorul liniar . Pentru comoditatea cititorului, vom da derivarea acestor

proprietăți. Deoareceprezenta unui integrantă singular face fără complicații în dovada, vom nota, pentru simplitate, doar un kernel special K ( t , s) .Fie un operator special:

- operatorul său uniune:

Proprietate . Pentru orice funcții și satisfacerea deținătorului, următoarea identitatea deține

(23.1)

Dovada. Avea

.

       Etichetare în variabila dubla integral prin , dar prin prin gruparea termenilor corespunzător, obținem egalitatea dorită (23.1).        Rețineți că identitatea (23.1) caracterizează complet operatorul de uniune, și este uneori considerat ca definirea acestui operator .

Proprietate . Avem identitatea

 (23.2)

Dovada. Efectuarea, la fel ca în § 22.1, compoziția operatori speciali (22.3) și efectuarea transformărilor simpli, inclusiv aplicareaformulei remaniereordinul de integrare (7.7), găsim

De definiția operatorului de uniune (§ 20.1)

Face acum operatorii de compoziție

și compararea rezultatelor, se verifică dacă (23.2) .

23.2. Teoreme de bază cu privire la ecuațiilor integrale singulare (teorema lui Noether).        Proprietățile de bază ale ecuațiilor integrale Fredholm sunt caracterizate de trei teoreme, cunoscute sub numele de teoreme Fredholm (§ 20.2). Avand in vedere cele § 21 de ecuații integrale singulare simple sunt caracteristice - am observat că unele dintre aceste proprietăți (condiții de solvabilitate a ecuatiei neomogene ), coincid cu proprietățile ecuatiei Fredholm, în timp ce altele (de exemplu, relația dintre numărul de soluții de ecuații de două Union ) a diferit în mod semnificativ.Apoi a menționat că proprietățile de bază ale ecuațiilor caracteristice sunt valabile pentru cazul general alecuației complet. Vom demonstra acest lucru și, prin urmare, să stabilească proprietățile de bază ale ecuații singulare de acest tip .      Să presupunem că se dă o ecuație integral singular complet

. (23.3)     Este cunoscut faptul cănumărul de soluții ale ecuației integrale Fredholm (număr de funcții proprii aparținând acestei valori proprii) curs. Este ușor să se stabilească faptul că aceeași proprietate deține pentru ecuațiile specifice.

Teorema I. Number Teorema de o ecuație integral singular (23.3) este finit.

Demonstrația rezultă direct din posibilitatea de regularizare a ecuației singular. Acesta a fost stabilit (p.22.4), regularizare nu este lăsat ca o luare pierdere. Prin urmare, numărul de soluții speciale ale ecuatiei (23.3), nu mai mult decât numărul de soluții de Fredholm . Prin urmare, afirmația a teoremei , care este în concordanță cu Teorema B (p. 20.2) .     Vom demonstra că condițiile speciale de solvabilitatea a ecuatiei au aceeași formă ca și pentru ecuațiile Fredholm (teorema a treia Fredholm).

Teorema II. O condiție necesară și suficientă pentru solvabilitatea a ecuației singular (23.3) este de egalitati)

(23.4)

unde - sistem complet de solutii liniar independente ale adjunct omogen ecuația .        Necesitatea de condiții (23.4) este o simplă consecință a (23.1). De fapt, având în vedere integral (23.4) ft = k și utilizarea (23.1) și faptul că k = 0, se obtine egalitatea (23.4):

      Suficiență dovadă împarte în două cazuri.1 . . Operatorii de regularizare au index , astfel încâtsetul de acești operatori pot alege întotdeauna un operator , care nu are o structură de funcționare ( de exemplu, ). Prin urmare, ecuația Fredholm

(23.5)echivalentă cu ecuația inițială (23.3) și, prin urmare, ecuația (23.5) și (23.3) simultan rezolvabile sau de nerezolvat.

        Scriem condițiile de solvabilitatea a ecuației (23.5):

 (23.6)

unde - de solvabilitate

  (23.5’)uniune din cauza (23.2), cu (23.5).      Aplicarea identitatea (23.1), Vom da conditia (23.6) formular

(23.6’)

   Având în vedere ecuația (23.5), ca ecuatia integral singular cu operatorul și funcția dorită , că funcția este o eigenfunction de . Notând prin , obținem condiția (23.4).2 . . Se aplică regularizare dreapta/. Efectuarea înlocuirea

(23.7)ajunge la o ecuație Fredholm,

   (23.8)echivalentă cu ecuația inițială (23.3), în sensul că ele sunt simultan rezolvabile sau imposibil de rezolvat , și că fiecare soluție de (23.8), formula (23.7) atribuie o soluție definitivă a ecuației (23.3) , și invers - fiecare soluție (23.3) de (23.7) corespund unele soluție de ( 23.8 ) ( a se vedea §22.4).Scriem condițiile de solvabilitatea a ecuației (23.8):

unde este un sistem complet de soluții ale ecuației

 (23.8’)

uniune cu ecuația (23.8).  Luați în considerare ecuația (23.8), ca un operator special și funcția dorită . Operator K, ca caracterichesky cu un indice negativ , nu are funcții corespunzătoare, așa

.

Acest lucru înseamnă că este o funcție corespunzătoare a .Notând sa ajung din nou la condițiile (23.4).       Teorema este dovedită.        Vom proceda la demonstrația teoremei, care este un punct central în teoria ecuație singulare cu nucleu Cauchy. Conformdoua teoremă Fredholm Fredholm aliate au același număr de soluții. În contrast,numărul de soluții aliat ecuații speciale, în general vorbind, nu coincid. Următoarea teoremă stabilește relația exactă dintre ele. Teorema III. Diferența de solutii liniar independente ale ecuației singular , iar numărul soluții liniar independente ale ecuației adjunct depinde numai de caracteristicile operatorului și este egală cu indicele său, adică

. (23.9)

     Dovada. Fie . Se ia ca regularizarea operator de . Atunci ecuatia Fredholm este echivalentă cu ecuația originală , și, prin urmare, vor avea, de asemenea, solutii. De -a doua ecuație Fredholm teorema a uniunii sale

(23.10)va avea, de asemenea, solutii. Ultima ecuație este echivalentă cu (a se vedea § 22.4 ,1) următoarele caracteristici:

(23.11)

Deoarece , apoi de rezultatele § 21.2 , acesta din urmă ecuația este rezolvabil pentru orice partea dreaptă, și, prin urmare, toate permanent și va fi arbitrar. Ecuația (23.11) va avea același număr de soluții (de exemplu, ), și că (23.10). Dar este caracteristic indice neomogen , și de (21.12), soluția este de forma

Este ușor pentru a dovedi că funcțiile de pe partea dreaptă de ultima egalitate sunt liniar independente. Într-adevăr, să presupunem că relația

cel puțin un diferit de zero. Aceasta conduce la o contradicție, deoarecepartea stângă a ultimului

expresie estesoluția ecuației neomogene și , prin urmare, nu poate fi zero. Egalitatea

pot fi satisfăcute numai dacă toate cu egale cu zero, datorită faptului că funcțiile ft sunt liniar independente prin definiție. Prin urmare, ecuația (23.10) are soluții liniar independente. Urmare , ceea ce conduce la (23.9). Pentru cazul de nici o dovadă separată. Având în vedere că operatorii de proprietate să fie aliat reciproc, atunci vom lua ca un operator de uniune pornire , având indicele de .

Dar bazat pe dovedit, avem

,

unde din nou ne-am ajunge la (23.9). Teorema este dovedita. Trei teoreme s-au dovedit în acest paragraf , de obicei numit teorema Noether (a se vedea informații istorice).

23.3. Unele consecințe. Teorema Noether lui III, se exprima, așa cum a fost subliniat, proprietățile caracteristice ale ecuatiei singulare cu nucleu Cauchy, permite de a obține unele consecințe importante, care sunt frecvent utilizate în aplicații ale acestor ecuatii.

. Toate teorema Fredholm ca formulat în care acestea sunt, de obicei, dat (§ 20.2), sunt pentru ecuația singular neloiale și trebuie să fie înlocuite numai stabilit că teorema Noether.

Cu toate acestea , diferența nu este văzut în aceeași măsură. În al doilea rând teorema Fredholm, care afirmă egalitatea de numărul de soluții ale ecuației adjunct , contrazice puternic Teorema 3 Noether și ar trebui să fie înlocuită cu o . Primelor două teoreme Fredholm nu se transferă înecuația special numai în temeiulformulării specifice, care sunt prezentați. Puteți să-l schimbe, astfel încât acestea să rămână valabile pentru ecuația Fredholm, și , de asemenea, dovedit a fi adecvat pentru ecuații specifice. Pentru a face acest lucru doar în formularea acestor teoreme pentru a înlocui această ecuație omogen pentru unirea.        Teoremele I și III Fredholm (combinat și modificată).        Dacă ecuatiei omogene, această uniune nu este solubil ,neomogen necondiționat rezolvabil. Dacă uniune ecuatiei omogene este solvabilă, atunci neomogen rezolvabil numai dacă sunt îndeplinite condițiile

,

unde - sistem complet de functii proprii ale operatorului uniune.       În cazul în care indicele de , Teorema III coincide cu cea de a doua teorema Noether Fredholm. În acest caz, Teoremele I și III sunt potrivite pentru o anumită ecuație Fredholm Fredholm. Astfel , pentru o ecuație special cu indice zero, sunt toate teorema Fredholm corect. ea a dat naștere NI Muskhelishvili ( 16 , pagina 23.6) , numit ecuațiilor integrale singulare cu un indice de cvasi - Fredholm zero.

. Teorema Noether III pot obține importante Consecință. Dintre toate ecuațiile speciale cu index , cel mai mic număr de soluții au caracteristic.   Într-adevăr , numărul de soluții ale ecuației caracteristice este exact x la x = 0 și zero la x = 0. Având în vedere că numărul de soluții ale ecuației adjunct nenegativă,nunde n estenumărul de soluții ale acestei ecuații special.Astfel , orice alegere de o parte regulată anucleului în ecuația completă nu poate reducenumărul de soluții acesteia în raport cu caracteristica. Dimpotrivă, se poate dovedi cu ușurință căselectarea o parte regulată adecvat poate fi realizat în scopul de a completa orice ecuație dat are o serie de soluții, mai mare decât x (vezi Exercitarea 15 lasfârșitul capitolului). Cu toate acestea, după cum se va arăta mai jos ( secțiunea 24.6 ), atunci cândnumărul de soluții ale ecuației completă șicaracteristica corespunzătoare nu se potrivește, sunt doar excepțională. De obicei, ecuația completă a cât mai multe soluții ca si caracteristica.   Din cele de mai sus rezultă căoperatorul K, cu un indice negativ nu există fără regularizarea funcții proprii operatorului K .Acest lucru rezultă direct din faptul că indicele este opus în semn index regularizer al operatorului, și a înființat anchetei.

23.4 Teoria generală a operatorilor noetherian. Pe baza teoriei prezentate de operatori integrali cu nucleu Cauchy originea teorie abstractă de operatori liniari, care satisfac teoremaNoether lui . În ea sunt obiectul de cercetare operatori liniari abstracte în spații Banach și operatori Noether , prin definiție, sunt acei operatori liniari care îndeplinesc proprietățile de bază ale operatorilor speciale ( singular ), obținute de noi sub numele de teorema Noether . Astfel teoria de bază ale singulare ( Noether ) operatori , este o axiomă , astfel încât indicele este definită ca diferența imediat , numărul de zerouri ale operatorului și conjugatul său .      Formulăm rezultatele folosite în continuare a acestei teorii .     Teorema A. Produsul a doi operatori este , de asemenea, un operator de Noether Noether , produsul operatorul este suma indicilor lor :IND ( N1N2 ) = H1 + IndN2 Indus .

Teorema B. În cazul în care H - operatorul Fredholm , și T - un operator complet continuu , apoi H + T - operator de Noether și Indus ( H + T ) = IndT .

Teorema B. Pentru orice operator de H noetherian există un număr 0 , operatorul H + B este noetherian și Indus ( H + V ) = IndN .

Ei spun că un operator liniar H admite o la stânga ( dreapta) de regularizare , în cazul în care există un operator mărginit H liniar , că H * H ( H * H ) este un operator Fredholm . Operator de H în acest caz se numește o la stânga ( dreapta ) regularizer N.Teorema G. Pentru a liniar Fredholm operatorului H a fost necesară și suficientă pentru a tolera stânga și la dreapta de regularizare .Prezentarea relativ accesibil de o teorie abstractă pot fi găsite în cartea : Danilyuk , Prelegeri pe probleme la limita pentru funcții analitice și ecuații integrale singulare , publ Novosibirsk . University Press , 1964 .

23,5 . Ecuațiilor integrale singulare cu Carleman .La 17 ani , a fost considerat o problemă Riemann valoare limită generalizată

( 23,12 )trecerea de la , afișează o schiță de unu la unu, zonele de conservare . De problema valorii limită ( 23.12 ) oferă ecuatia integral singular cu o schimbare ( a se vedea problema 16 pentru ch . 3 ) .Luați în considerare ecuația mai general ( 23.13 )unde k ( m , n) - nucleu regulat , sugerând că funcția de schimbare are o am am Holder satisfacatoare derivat și să nu se întoarcă la gloanțe . Când aceasta schimbare poate salva atât atom și schimba direcția la conturul .Dacă forfecare nu sunt impună condiții suplimentare , studiul de ecuația ( 23.13 ) este foarte dificil și problema ecuației studiu complet ( 23.13 ) rămâne deschisă până în prezent . Dacă schimbare AM îndeplinește condiția suplimentară

( 23,14 )Ecuația ( 23.13 ) are o investigație relativ simplu . Shift la , satisfacerea ( 23.14 ) se numește Carleman . Ne arata ca studiul de ecuația ( 23.13 ) în cazul ( 23.14 ) poate fi redusă la studiulecuației singular este studiată fără schimbare. Acest lucru va asigura pentru ecuația ( 23.13 ) tepremy Noether Teoreme clauză similară 23,2 . Reducerea ecuației ( 23.13 ) pentru aecuației fără o schimbare bazată pe faptul căcompoziția operatorilor speciale ( 23.13 ) cu schimbare Carleman este din nou un operator special deacelași tip . Și anume , să H1 și H2 - operatorii de forma ( 23.13 ) :H1 = Au + b + K ,H2 = ax + b + K ,unde pentru simplitate vom notaF = FtSt = DTGK1 și K2 - operatori integrali cu nuclee regulate . Compunerea N2N1 realizate diferit, în funcție de faptul dacă menține sau schimbă direcția funcției contur la .Cazul 1 . Am schimbare păstreazădirecțiaconturului .N2N1 compoziția folosind următoarele proprietăți speciale ale operatorului și operatorul de schimbare D :1 ), în conformitate cu clauza 7.3 ;2 ) de ( 23,14 ) ;3 ) , având în vedere ( 23,15 )Operatorii A și F naveta până la termenul cu nucleu regulat .avea ( 23.16 )

unde K este operatorul cu nucleu regulat și

( 23,17 )

( Nu am conduce calculele , cititorul le poate face singur . )Reamintim că, în22 K1 operatorului special regularizarea pe baza capacității de a alege operatorul personalizate K2 , astfel încât compoziția este operatorul K2K1 Fredholm .Întrebarea care se pune în mod firesc dacă este posibil ca un anumit operator de schimbare H1 astfel alege operatorul de H2 la compoziția lor ( 23.16 ) a fost doar un operator special , care nu conțin forfecare , de exemplu , că ( 23.16 )Vin = dt = 0 .Se pare , este întotdeauna posibil . Asta este , în cazul în care n = H1 - operatorul ( 23.130 , H2 poate fi luat ca un operator deTokda în conformitate cu ( 23.16 ) ( 23,18 )și în mod similar ( 23,19 )unde T1 și T2 - operatori cu regularitate , precum și a coeficienților de mt și pt sunt , în conformitate cu ( 23.17 ) , după cum urmează :

ca o ecuație specială cu nucleu Cauchy poate fi redusă la o ecuație Fredholm , rezultă din ( 23.18 ) - ( 23.19 ) și ecuația ( 23.13 ) cu o schimbare poate fi redusă la o Fredholm . Problema echivalenței de astfel de informații prezintă dificultăți considerabile și nu a fost încă investigate .    denota, și presupunem că m = 0 , t = 0 . Apoi, următoareleTeorema 1 . Pentru ecuația ( 23.13 ) dețin toate cele trei din teorema Noether , iar indicele se calculează prin formula .

 ( 23,20 )Pentru a obține declarația de teorema , este convenabil de a folosi teoremele generale § 23.4 , deși acest lucru ar putea fi realizat fără a recurge la teoria generală a operatorilor liniari . Teoria Noether este valabilă pentru ecuația ( 23.13 ) implică ( 23.18 ) - ( 23.19 ) rezultă că H admite o regularizare stânga și la dreapta . De la ( 23.18 ) - ( 23.19 ) , de asemenea, rezultă din Teorema 23.4 O cerere care

Prin urmare , pentru a dovedi ( 23,20 ) , este suficient să se arate că xH = xH . Pentru a face acest lucru , vom introduce operatorii

Notăm operatorul de multiplicare de

Având în vedere că trecerea păstrează direcția conturului , rezultă din ( 23.14 ), care colab nu are puncte fixe de pe contur . Prin urmare , t = 0 . Verificare directă poate verifica validitatea de egalitate ( 23.21 )operator de Ege T3 cu nucleu regulat . Dacă m = 0 , atunciA și operatorii Un tip obișnuit și A = a . Din ( 23.21 ) si Teorema B § 23.4 , rezultă că

Unde X = n , în funcție de necesități . În cazul în care condiția de la - t = 0 nu este îndeplinită, atunci procedați după cum urmează . Noi aproxima funcția care funcții legate atm , astfel că e = 0 . Apoi , în conformitate cu regula n precedent = 0 , adică indici sunt operatori adecvate dacă n suficient de mică . având în vedere indicele de stabilitate pentru schimbari mici ( Teorema B § 23.4 ), aflăm că n = n . Dovedește ultima concludent ( 23,20 ) .Cazul 2 . Schimbare am schimbă direcția pe conturul .Operatorii compoziție Aici N2N1 cu o schimbare se face în mod similar , cu excepția faptului că , spre deosebire de ( 23.15 ) ,nucleul are o regulat operator de c + . Operator de N ar trebui să ia în opinia

Argumentând pe aceleași linii ca și mai sus , ajungem la următoarea teoremă .Teorema 2 . Să m = mAtunci ecuația ( 23.13 ) dețin toate cele trei din teorema Noether lui , și indexul său este

Dovada teoremei 2 este similar cu demonstratia teoremei 1 , singura diferență fiind că în ( 23,21 ), în loc de U ar trebui să ia operatorul S.

23,6 . Ecuațiilor integrale singulare care conțin conjugatul complex de funcție necunoscută . Luați în considerareecuația particulară aformei

. ( 23.22 )unde k și l - nucleele regulate . Această ecuație , așa cum vom vedea , în multe privințe similare la ecuația cu schimbare Carleman , schimbarea direcției de bucla .La fel ca în § 23.5 , este posibil să se reducă ecuația ( 23.22 ) Ecuația specială, fără conjugare complexă și verificare directă pentru a se asigura că kompoziviya doi operatori de forma ( 23.22 ) este din nouacelași operator .Asta este , dacă

unde L1 - operatorii cu nuclee regulate , atunci( 23.23 )

unde m și - operatorilor cu nuclee regulate și

 ( 23.24 )

Am ales coeficienții de H2 , astfel încât ecuația ( 23.23 ) nu conține conjugare în principalele sale componente , și anume

Este suficient pentru a lua

Astfel , în cazul în care n este un operator arbitrară aformei ( 23,22 ) , apoi stabilirea

va fi

și în mod similar

în cazul în care operatorii T1 , B1 sunt nucleele regulate și în conformitate cu ( 23.24 )

        Astfel , la fel ca în § 23.5 , a ajuns la o ecuație special cu nucleu Cauchy . Pornind de raționament similar § 23.5 , obținem ecuația ( 23.22 ) Teorema Noether și formula pentru indicele . Fără a intra în detalii , să ne formulăm rezultatul final . Menționăm mai întâi că atunci când se analizeazăindependența liniară de soluții ale ecuației omogene corespunzătoare ( 23,22 ) , și la prepararea soluției sale generale folosește numai constante reale . Prin urmare , indicele de ecuația ( 23.22 ) va fi dublat ( a se vedea ( 23,25 ) ) .Teorema . lăsa

Atunci ecuația ( 23.22 ) avem teorema Noether lui , indexul său este

 ( 23,25 )și condițiile de solvabilitate au forma

unde CT este un sistem complet de solutii ale ecuatiei adjunct .

23,7 ecuație bisingular .1 . Bisngulyarnoe ecuație caracteristică

( 23,26 )unde C1 - operatorii introduse în § 9.5 , A0, A1 - funcția satisface o condiție Holder pe scheletul A = A * A este echivalentă cu problema valorii limită Riemann ( 14,36 ) - ( 14,37 ) , în care

Solutie a ecuatiei caracteristice ( 23,26 ), într-o formă închisă pot fi obținute pentru toate acele cazuri în care este primit aceeași formă soluția corespunzătoare a problemei Riemann .operator

operator de uniune C corespunde problema valorii limită

Structura sa este semnificativ diferită destructuraproblemei ( 14.36 ) - ( 14.37 ) . Aici se află una dintre diferențele față de două - dimensional operatorul caracteristică unidimensională .A doua diferență este că diferența dintre cele două compoziții caracteristice 222 de operatori 2 și 2 nu este un operator obișnuit , ca și în cazul unidimensional . Este , în plus față departea obișnuit , conține încă operatori de tip 12 , caracterizat prin aceea

Operatorul are un miez cu o singularitate slab . ( A se vedea mai sus despre spus Gakhov , VA Kakichev 1 ) și VA Kakichev 6 ) , 7 ) . ) În referință 7 ) VA Kakichev , în plus , condiții suficiente , astfel încât diferența dintre două formulări diferite de complete de operatori singulari bidimensionale era obișnuit .

Aceste condiții reduce la solvabilitatea dintre cele două sisteme de ecuații singulare , care complet kahhdaya conține două funcții necunoscute și depinde de cea de a doua variabila ca un parametru .2 . Operator de bisingular Noetherianness

( 23,27 )

generalizează naturaloperatorul ( 20.1 ) . Dacă A este un tor , și funcțiile k , K1, K2 îndeplinească o condiție titular în toate variabilele , atunci operatorul ( 23.27 ) este Fredholm în spațiul de funcții pătrat integrabile dacă și numai dacă reversibile patru operatori care au aceeași structură ca și șioperatorul ( 20.1 ) , dar încă depinde de o variabilă ca parametru . Acest rezultat se datorează Simonenko 5 ) , distribuite VS Pilidi 2 ) pe funcțiile sumabilă cu un grad n - 1 A * A , unde A este un simplu curbe închise netede Lyapunov . Aceiași autori calculatindicele de operatorul Noether ( 23.27 ), precum și indicele de ( 14.36 ) - ( 14.37 ) , condițiile Noether care sunt date în Teorema 3 din § 14.10 .În concluzie , am act de faptul că cercetarea pe Noetherianess operatorilor bisingular bazate pe utilizarea metodei locale de a studia operatori liniari dezvoltate Simonenko 6 ) .

24 . Regularizare echivalentă . A treia metodă de regularizare

       24,1 . Creșterea întrebarea . Interpretări diferite ale conceptului de regularizare echivalentă .În secțiunea 22.4 a fost deja indicat că operațiunea de regularizare duce la ecuația , în general vorbind , nu este echivalent cu originalul . Aceasta poate să apară ca soluții străine de aspect ( de la regularizarea stânga ) , și pierderea a soluțiilor (în regularizarea dreapta) . Este de interes considerabil , atât teoretice, cât și practice , soluție la problema în ce condiții , și modul în care o anumită ecuație poate fi redus la Fredholm echivalent , de exemplu , astfel încât conține toate solutiile ecuatiei originale , pe de o parte , și toate soluțiile care satisfac original - altele . Problema poate fi abordată din diferite puncte de vedere , și stabilirea de care are nevoie să fie clarificat .         Poate solicita această echivalență , precum și ecuațiile regularizate pentru orice drept . In acest caz, vorbim despre regularizarea echivalent nu luate individual ecuația cu un anumit partea dreaptă , și întreaga clasă de ecuații cu anumit operator special K. Astfel , în esență , aici a abordat problema de operator de regularizare echivalentă K. Puteți pune aceeași întrebare într-o anumită ecuații cu partea dreaptă predeterminat . Aici vor fi luate în considerare și proprietățile partea dreaptă și , eventual, o situație în care ecuația în unul și același operator admite o regularizare echivalentă cu un singur partea dreaptă și nu -l permite la altul .          Aborda problemele depinde, în mod semnificativ , de asemenea, dacă sau nu pentru a cere ca ecuația regularizate conține funcția dorită la fel ca originalul , sau permis compilarea ecuație regulat pentru noua funcție . în ceea ce privește metodele de regularizare pe stânga , sau , de asemenea, permite chiar regularizare .Ne rezolve mai întâi o întrebare simplă despre operator de regularizare echivalentă .

24,2 operator de regularizare echivalentă .1 . Noi presupunem admisibilă numai regularizare stânga .      Lema . Operatorul K a fost regularizator echivala pentru o ecuație special K = f pentru orice dreapta 2 este necesar și suficient ca aceasta nu a avut propriile sale funcții .      Dovada . În cazul în care condiția este îndeplinită , apoi 22 = 0 urmează imediat 2-3 = 0 , care stabilește adecvarea acesteia .      Vom demonstra acum necesitatea .      Prin ipoteză , există un operator K , echivalentă cu regularizarea ecuația 2 = 0 pentru orice 2 . Să presupunem că , spre deosebire de ipoteza din lema că operatorul are propria sa funcție la 6 , și a stabilit 5 = 2 . Apoi , prin ipoteză , ecuațiile 5 și 8 = 4 = 5 = 0 sunt echivalente . Dar acesta din urmă , și , prin urmare, prima ecuație au soluție la zero . Prin urmare, trebuie să aveți 5 = 0 , după cum este necesar .

         După cum se arată în 23 , cu operatorul non- negativ regularizer nu a avea propriile lor funcții și operatorul cu un indice negativ de regularizer nu are . Conexiune de acest rezultat cu următoarea lema putem concluziona .       Teorema . Pentru a ecuatia integral singular 2 = 3 admite o regularizare echivalentă pentru orice dreapta 5 este necesar și suficient ca operatorul index să fie non-negativ .       Teorema instalat rezolvă complet problema echivalent stânga operatorului de regularizare .      Obligația de a aplica numai la regularizarea stânga face imposibilă , ca urmare , regularizarea echivalent de întreaga clasă de operatori care au un indice negativ .     2 . Noi ne asumăm regularizare acum permis de stânga și dreapta . Sunt de acord să-și asume regularizarea drept este echivalent , în cazul în care fiecare solutie a ecuatiei originale 2 2 = 2 formula substituind 2 = 2 corespunde la o decizie de regularizare ecuație definitivă 2 2 = 2 , și vice- versa . În acest caz, este ușor de a arăta tuturor restricțiilor dispare și devine posibil regularizare echivalentă a întregii clase de operatori speciale .        Tot ce este necesar pentru a susține această afirmație este conținută în secțiunea 22.4 , vom da doar concluziile finale .        Operator 2 = 2 pentru orice index este regularizer echivalent șila 2 = 0 , trebuie să se aplice regularizarea stânga2 = 0 pentru - chiar regularizare .        În acest ultim caz , o nouă ecuație pentru funcția de 2 , dar știind că vă permite să găsiți toate soluțiile ecuației originale de cuadraturi , și regularizare prin dreptul de proprietate nu poate fi soluții străine .Astfel , în absența unor restricții privind metoda de regularizare și generalizare a conceptului de echivalență a oricărui operator de special poate fi regularizată echivalent . Acest fapt ne-am folosit deja , fără formularea ca o proprietate în special dovada de teoreme Noether .        24,3 . Regularizare echivalent stânga ecuație singular .Condiție prealabilă .Livra această importantă întrebare practică . Având în vedere ecuația special

( 24,1 )

un anumit mod predeterminat în partea dreaptă . Necesare pentru a stabili în ce condiții există pentru regularizer stânga K , conducându-l la ecuația Fredholm echivalent :

( 24.2 )

 și în cazulexistenței unui astfel de operator pentru a se construi .     În cazul în care indicele x = 0 , există , după cum știm , operatorul nu are propriile sale funcții ( de exemplu , K ) . Acesta va fi, evident, regularizator echivala plecat pentru orice f . Prin urmare, interesul este cazul x = 0 , atunci când nu există nici o functii proprii regularizer .    Ușor de a găsi condițiile necesare pentru existența acestei ecuații este regularizer echivalent . Astfel cum este prevăzut la alineatul 22,4 , 1 , ecuația ( 24,2 ) este echivalent cu ecuația

( 24,3 )

în cazul în care - un sistem complet de functii proprii ale operatorului K - sunt constante , care pot fi fie arbitrare sau definit .

Prin definiție , ecuatia ( 2.24 ) va fi echivalentă cu ecuația inițială ( 24,1 ), dacă și numai dacă toate c ^ va fi egală cu zero. Să vedem cum acest lucru se poate întâmpla .Să ) - un sistem complet de functii proprii ale operatorului uniune K. Înmulțind ecuația ( 24,3 ) și integrarea succesiv pe contur L , se obține , având în vedere identitatea , sistemul de ecuații

( 24,4 )unde

Evident, B4.4 sistem ) pot fi satisfăcute cu valori de zero și , numai în cazul în care toate fi 0 . Dar ultima egalitate sunt condițiile de solvabilitate a ecuației ( 24,1 ) . Prin urmare, avem urmatorul rezultat . În cazul în care operatorul regularizarea are funcții proprii diferite de zero , în scopul de a prezenta singular B4.1 ecuație integrală ) ar putea fi redus la ecuația Fredholm echivalent ( 24,2 ) , este necesar ca aceasta este rezolvabil . Dacă această condiție este suficient ? Răspunsul la această întrebare este da , dar nu doar pentru a dovedi cartografiere . Informații justificative necesare , la prezentarea pe care ne întoarcem acum .24,4 . Adjunct ecuație . O altă formă de condițiile de solvabilitate a ecuației neomogene . Introdus în § 20.1 conceptului de operatorul de reuniune este diferit de la un concept echivalent aloperatorului adjunct , este folosit înteoria operatorilor liniari complexe . În acest sens , iar starea de solvabilitate am primit o altă formă . De exemplu , am putea nu-l articuleze ca o condiție de ortogonalitate membru gratuit la soluția ecuației adjunct . Acum vom introduce notiunea de operator adjunct și să dea o nouă formă de condiții de solvabilitate a ecuației neomogene .       Pentru aceleași motive ca în § 23.1 , nu va aloca în mod explicit caracteristică nucleu .       Fie K - operatorul special definit de

 ( 24,5 )

și să

( 24,6 )

O ecuație de circuit , unde k - abscisă arc . Când să accepte o anumită valoare , complexul Coordonata corespunzătoare t va fi notat cu r ( e ) .   Suntem de acord pentru a desemna funcții de variabile reale , k , obținute prin înlocuirea variabilelor ( 24,6 ) , aceleași litere ca funcțiile originale ale variabilei complex t , 1 . de exemplu

Apoioperatorul ( 24,5 ) poate fi scrisă ca

* Pentru a apela un operator definit prin formula

( 24,7 )operatorul adjunct K.Ecuația va fi numit conjugat . Evident, satisface operatorul adjunct

noi numim expresia

 ( 24,8 )

produs scalar a două funcții 1i1 . evident

În cazul în care funcțiile sunt numite 1i1 ortogonale .

Ca și în § 23.1 se poate dovedi identitatea

  ( 24,9 )

Stabilească legături între soluțiile ecuației adjunct

 ( 24,10 )

și ecuația adjunct . ( 24,11 )Revenind la conjugatele complexe și consumul de desemnare p.18.1 obține

  ( 24.11 " )

Compararea ecuația ( 24.10 ) și ( 24.11 " ) arată că decizia a Uniunii și a controalelor duble sunt legate de

   ( 24,12 )

Prin urmare , printre altele , că conjugat ecuație și această unire avea același număr de soluții . Folosind ( 24,12 ) , starea de solvabilitate a ecuației neomogene special ( 24,1 )

poate fi administrat o formă diferită .Și ( 23,4 )

Luând în considerare ( 24,12 ) , vom obține

   ( 24,13 )

Condiții de solvabilitate ( 24.13 ) poate fi formulat după cum urmează :Pentru a ecuație non- omogen special ( 24,1 ) a fost solvabilă dacă și numai dacă termenul constantă a ecuației este perpendiculară pe toate soluțiile de adjunct ecuatiei omogene ( 24,11 )Am obține o altă identitate auxiliar

   ( 24.14 )

Având în vedere funcția 111 , ca urmare a aplicăriioperatorului 1 la funcția 1 ,prima parte a ecuației obținem din ( 24,9 ) , iar al doilea -definiția produsului scalar ( 24,8 ) .Acum ne întoarcem la întrebarea de ecuație regularizare echivalentă .24,5 . Teorema pe ecuație regularizare echivalentă . Vom avea nevoie de o propunere auxiliar .Lema . Să ecuație special neomogen integral ( 24,1 )rezolvabil . Apoi, este echivalentă cuecuația ( 24,15 )

Prin ipoteză , există o funcție care satisface ( 24,1 ) . Ea este , deomogenitateaoperatorului K * este , de asemenea, o soluție a ecuației ( 24.15 ) . Vom demonstra ca orice altă funcție care satisface ( 24,15 ) , va satisface , de asemenea, ecuația ( 24,1 ) .avem :

Scăderea prima ecuație de -al doilea , se obtine ca functia este o solutie a ecuatiei omogene

Noi acum forma produsul scalar de funcții . Folosind egalitatea și identitatea ( 24.14 ) , se obține :

De aici , sau

Dar , în consecință ,

QED .         Acum suntem gata să încheie rezultatul principal .         Este ușor de a arăta prin calcul direct că operatorul K * , în general vorbind , nu este un operator de regularizării K ( se va regularizator numai în cazul în care operatorul are o valid K ) . Prin urmare ,B4.15 ecuația ) nu vor Fredholm . Operatorul Index adjunct K * va coincide cu indicele de operatorul de reuniune K , și, prin urmare , egal cu indicele operatorului K cusemn schimbat . Deoarece compoziția indicelui de doi operatori estesuma operatorilor constitutive index ( 22,1 ) , rezultă că ecuația ( 24,15 ) este o ecuație integrală singulară cu un indice de zero. Dar această ecuație , se știe ( § 22.4 ) , are regularizer fără funcții corespunzătoare , deși , de exemplu ,operatorul ( K * K ) ° .      Astfel , ne-am demonstrat următoarea teoremă fundamental despre ecuația regularizare echivalentă .      Teorema . Dacă într -o anumită ecuație( 24,17 )partea F dreapta ( t) este de așa natură că este solvabilă , atunci există un operator de regularizării pe stânga , care -l conduce la ecuația Fredholm echivalent .       În conformitate cu o dovadă mai mare ca atare regularizer echivalent poate fi folosit operatorul( 24.16 )unde K * - operatorul adjunct definit de B4.4 ) , și ( K * K ) ° - operatorul caracteristic , definit de către operator K * K formula ( 20.6 ) .         Prin urmare , deși în lipsa unor regularizer fara functii proprii ( x < 0 ) și nu există , după cum se arată în secțiunea 24.2 , producătoare de regularizare pentru orice drept operator , dar termenul liber , care îndeplinește condiția de solvabilitate a ecuației singular KAV , pentru el acolo și pot fi construite în mod eficient operatorului regularizării echivalent . În această formă minunat de acest operator care nu depinde pe partea dreaptă , astfel că, pentru toate ecuațiile rezolvate cu operatorul dat K poate avea același regularizer echivalent .

24,6 . Soluție regularizare a ecuației caracteristice ( metoda Carleman - Vekua ) . În specialteoria construită deasupra ecuație am folosit numai

regularizarea pe baza compoziției operatorilor speciale , menționate la punctul 223 al treilea modul de regularizare , care constă în folosirea soluțiilor expliciteecuație caracteristică , a rămas până latura .Acum vom prezenta în acest fel teoretice și practice importante .Transferarea unui membru regulat al ecuației singular în partea dreaptă , l-am scrie , după cum urmează :

sau în formă simbolică ( 24,18 )        Noi rezolvaultima ecuație și luând în considerare caracteristicile temporar în partea dreaptă ca o funcție cunoscută * ) . Aplicarea ( 21,9 ) , se obține :

( 24.19 )

la % < 0 trebuie pus . Schimbarea în ordinea dubla integral de integrare , putem scrie ultimul termen în paranteze drepte , după cum urmează :

De la Z ( £ ) îndeplinește condiția Holder ( și , prin urmare, limitată) și nu dispare , și este aproape de evaluare , este ușor să vezi că toată integrala

are aceeași ca estimarea . În consecință , nucleul

( 24,20 )

este Fredholm . Transferarea toți termenii care conțin , în partea stângă , se obține

 ( 24,21 )

unde K ( t , t ) - nucleu Fredholm definit de ( 24.20 ) , și D ( t ) - termenul liber alformei

( 24,22 )

       Dacă indicele de ecuația ( 24.19 ) v. < 0 , atunci , în conformitate cu clauza 21.2 , formula ( 21,9 ) , în care aveți nevoie pentru a pune are loc numai în condițiile ( 21.13 ) . În acest din urmă caz , trebuie să fie înlocuite cu

       Prin urmare , atunci când împreună cuecuația B4.21 Fredholm ) funcția trebuie să satisfacă relațiile

( 24.23 )

Am stat rezultatul .        Dacă x > 0 , atunci soluția ecuațiilor integrale singulare B4.18 complet ) este redusă la soluția unui Fredholm integrantă B4.21 ecuație ) . Dacă x < 0 , ecuatia( 24.19 ) se reduce la ecuația ( 24.21 ) ( care au nevoie pentru a pune împreună o condiții funcționale ( 24.23 ) . Aceasta din urmă poate fi scris sub forma

 ( 24.24 )

în cazul în care - și funcții cunoscute - numere cunoscute .

24,7 . Exemplu . Ca un exemplu pentru a ilustra teoria prezentată în moduri diferite, va produce următoarea regularizarea o ecuație integral singular :

( 24,25 )

unde L - cercul unitate .O parte regulată a kernel-ului este degenerat , astfel încât ecuația în același mod , care este folosit pentru rezolvarea ecuațiilor Fredholm cu nucleu degenerat poate fi redusă la un set de ecuația caracteristică și ecuații algebrice liniare și , prin urmare , a decis în formă închisă .Astfel , nu este nevoie de regularizare . Cu toate acestea , ecuația la îndemână pentru a ilustra metode comune , ca tot aicinykladki poate avea loc înainte de sfârșitul anului .

Pentru comoditatea de discuții ulterioare rezolva această uravpenie pre . denotă

 ( 24,26 ) scrie înformacaracteristicii

Pentru corespunzătoare limită problema valoare Rpmana

( 24.27 )

indice x -2 , precum și condițiile de solvabilitate ( a se vedea secțiunea 21.2 ), va fi efectuată numai în cazul în care un 0 . în acest

Prin urmare , vom obține soluția ecuației ( 24,25 )

Substituind această expresie în ( 24,26 ) , vom vedea că acesta este mulțumit cu A = 0 . Prin urmare , această ecuație este rezolvabil și aresoluție unică

1 ° . Regularizare a plecat . Astfel cum rezultă din condiția la limită ( 24.27 ) , indicele de ecuația % - 2 < 0 . Prin urmare , orice operatorului sale regulyarnzuyuschy va avea o structură de funcționare ( cel puțin două ) , astfel încât conductorii de regularizare stânga , în general , ecuația nu este echivalentă cuoriginalul .        Luați în considerare în primul rând regularizarea stânga folosind regularizer simplu . Găsi functii proprii ale ecuatiei

Corespunzătoare Riemann problemă valoare limită

are acum un index x 2 . Găsirea formule § 21,2 functii proprii ale K , obținem :

Pe baza teoriei generale ( secțiunea 22.4 , I ) ecuația regulat K ° ° CEB ar echivala cu un special :

( 24,28 )

unde a, , a2 - unele constante , care pot fi definite sau arbitrar IPT . Utilizarea ( 24,26 ) , scriem ecuația ( 24.28 ) , sub formă de caracteristic :

Riemann corespunzător problema valoare limită vor fi după cum urmează :

Soluția ei este reprezentată oficial în formă

Condiții de solvabilitate va

Ecuația ( 24.28 ) poate fi apoi determinată prin formula

Substituindvaloarea p în ecuația ( 24.26 ) , obținemidentitate A A. Astfel ,constanta este arbitrară și nu regularizate ecuație este echivalentă cu ecuația inițială , iarecuația

având o soluție permanentă . Ultima soluție satisface ecuatia inițial numai în cazul în care un 0 .Ne întoarcem acum la găsirea polarizatorul este echivalent cu stânga . Din moment ce această ecuație este solvabilă , un regularizer pentru ea există și poatesă fie construite în mod efectiv de către Teorema 24.5 .Construi în primul rând adjunct operatorului K * .Prin definiție ,

Având în vedere că

se obține :( 24,29 )

ConformLema de § 24.5 este echivalentă cu ecuația originală , dar , în general , vor fi regulate . Rolul transformareaoperatorului K * redus, în general pentru a aduce această ecuație rezolvabilă special la altul , aceasta este echivalent cu o ecuație specială cu indicele de zero , acesta din urmă în cele din urmă regularizată . Cu toate acestea , în acest caz ,partea caracteristică aoperatorului K * coincide cu operatorul K 0 , care este cunoscut a fi un regularizer pentruoperatorul K. Prin urmare ,ecuația este un Fredholm .Efectuarea tuturor calculelor ( Cititorul este informat , folosind schema generală de la punctul 24.3 , pentru a le face ) , obținem următoarea ecuație Fredholm :

( 24,30 )

Ravposilnost ultima ecuație urmează echilibrul inițial a Lema 24,5 și , prin urmare, nu are nevoie de nici o justificare mai departe . Să subliniem , totuși , referindu-se la alte cazuri similare în care astfel de justificare poate necesita cititorului cum se face aici , bazându-se pe ne de lema .Deoarece ecuație B4.NO ) are un nucleu degenerat , atunci soluția cea mai simplă - pentru a rezolva această ecuație . Se pare că acesta este , ca șiecuația specială originală are o soluție unică q > ( t ) - t . Acceptare mai generală - esteutilizarea metodei , care anterior fusese stabilit noi ecuație neravnosilnost K ° K ( K p 0 unmarketable studiu diagramei . .Rezolvarea ecuației K * f * 0 , găsim functiile proprii ale operatorului K * :

Rezolvarea apoi uravpenpe special cu nucleu regulat degenerate

echivalent Fredholm ecuație B4.30 ) , găsim că este rezolvabil numai în cazul în care ar aa 0 . Dovada echivalenței se termină .

2 ° . Dreptul de regularizare . Așa cum am lua dreptul de regularizer simple ° operatorului K . punerea

(24,31)

se ( sfătui pe cititor să facă calculele necesare ) ecuația Fredholm pentru funcția

(24,32)Rezolvarea ultima ecuație ca degenerate , avem :

unde a, P - constante arbitrare .Astfel , ecuația regularizat cu un relativ { t ) sunt două soluții liniar nezavpepln.gh , în timp ce (24.25 ecuația originală ) rezolvat unic .

Înlocuind această valoare în ( 24.31 ) , se obține :

- O soluție specială aecuației originale . Acest rezultat este în concordanță cuteoria generală , din moment negativindice de regularizare este echivalent cudreapta .3 ° . Soluție regularizare din ecuația caracteristică . Această metodă regularizare se realizează prin formulele ( 24.19 ) - ( 24.22 ) . în acesttrebuie să ne amintim că aceste formule sunt aplicabile ecuația , pentru care condiția , astfel încât aveți nevoie pentru a pre - diviza ( 24,25 )2 .Atunci avem :

Ecuație regularizate are forma( 24.33 )Pentru a -l doriti sa adaugati mai multe condiții de forma ( 24,24 ) pentru

Rezolvarea ecuației ( 24.33 ), ca un degenerat , pentru a afla unde constanta A- proiziolpaya . Astfel , ecuația regularizată nu este echivalentă cuoriginalul . Condiția ( 24.24 ) permiteselectarea totalitatea soluții ale ecuației regularizat cele care sunt soluții aleecuației originale . ConditiiAceste condiții se regăsesc în ! caz va avea forma

Prima ecuație este satisfăcută identic , al doileași la 0 . Ca rezultat , se obține o soluție a originaluluiecuație

Aceste ecuații au fost folosite în nuci JH în 2 ) pentru a ilustrametoda de regularizare a soluțieiecuației caracteristice .

§ 25 . Cazuri excepționale de ecuatii integrale singulareÎn studiul ecuațiilor integrale singulare cazuri sunt excluse în cazul în care funcția a ( t ) ± b ( t ) aplicat la L la zero . Acest lucru a fost cauzat defaptul căG coeficientul ( t ) - ; problema Riemann cărorași A ) ^ -0 ( t )în special având în ecuația caracteristică este în aceste cazuri , poli bucla și zerouri , și, astfel , o astfel de problemă nu ascultă de teoria generală .

Pe baza rezultatelor de § 15 , trage un studiu separat de cazurile excepționale .Noi ne asumăm aici și în următorul paragraf care coeficienții studiat ecuațiile speciale, cum arcare asigură conformitatea cu cerințele suplimentare ™ functii, cu care a fost prezentat în § 15 atunci când se analizează cazuri excepționaleproblema Riemann .25,1 . Soluție a ecuației caracteristice uravneniya.Rassmotrim caracteristică ( 21.1 ):( 25,1 )

presupunerea că funcția a ( t ) - b ( t ) și a ( t ) + b ( t ) au zerouri pe contur , respectiv , în puncte și comenzi integrale și , prin urmare, poate fi reprezentat ca ,

unde r ( t ) și s ( t ) nu dispar . Toate presupune a fi diferit .Convenabil să împartă ambele părți ale ecuației ( 25,1 ), pentru a continua să creadă că coeficienții sale satisface

 ( 25,2 )Uravnepie ( 25.1 ) în același mod ca la punctul 21.1 ndatproblema Riemann :

( 25.3 )unde . Soluția la această problemă în clasa functiilor satisfac F ( oo ) 0 , este definit de A5.7 ) și A5.8 ) . Aplicarea lor , găsim :

( 25,4 )

unde( 25-5 )o QQ { z) - interpolare funcție polinomială 4n ( z) de grad Q m + p - 1 cu noduri în punctele ak și P , respectiv , și multiplicități , unde

     De acord polinom ( ? Q B ), considerat ca fiind un operator atribuie f termenul liber ( t ) a ecuatiei ( 25,1 ) interpolare polinomial în acest felCauchy B5.5 integral ) . Vom nota acest operator

 ( 25,6 )Factorul 1/2 este luată pentru comoditatea de schimbare mai mult .       Pornind de la fel ca în § 21,2 , de la ( 25,4 ) găsim :

- Factor de 1/2 din ultimele termenii acestor formule este luată de arbitrariul a coeficienților polinomului .Din aceste formule , se obține :

( 25,7 )introducem notația

( 25,8 )Folosind această notație , șiraportul ( 25,2 ) reprezentat prinformula B5.7 ) ca

+ B ( t ) Z ( t ) Px - p - l ( t ) .Introducerea operatorului Rf formula

( 25,9 )în final, se obține :

( 25,10 )Ecuația ( 25.10 ) dă o soluție de ( 25,1 ) x - p > 0 , care depinde liniar de x - p - 1 constante arbitrare . Dacă x - p < 0 , există soluția numai dacă p - x -1 condiții speciale de solvabilitate impuse na termen liber f ( t ) , precum și condițiile de solvabilitate rezultate corespunzătoare la acest caz de problema Riemann ( 25,3 ) . Scrie clar aceste condiții nu vom .

             25,2 . Regularizare a ecuației complet . lua în considerarecompleteze ecuația special :

( 25.11)în aceleași ipoteze privind funcțiile a ( t ) ± b { t ) , la fel ca în paragraful anterior .

Prezentându-l ca un

aplice metoda soluție regularizare a ecuației caracteristice . De ( 25,10 ) se obține ecuația sau

( 25,12 )Ne arată că în expresia de R ( t , x ) de operare f ( t ) dx R în operațiunea de variabile și integrarea pe t naveta .

Implementa această expresie prin formula ( 25.9 ) :

( 25.13 )În al doilea termen este permutare admisibilă aordinului de integrare ( 7.1 ) . Făcut-o și schimbarea desemnarea variabilelor de integrare 5 pe 5 și 5 la 5 , se obține :

În operatorului T al treilea mandat la G ( t , t ) f ( t ) dx , în conformitate cu definiția în § 25.1 ( formula ( 25,5 ) , ( 25,6 ) ) ,oferă un polinom de interpolare

     Posibilitatea unei astfel de inversare a ordinii de integrare se poate concluziona că

Operatorul Tt index simbol t indică faptul căoperația ( 25,6 ) se face lat variabilă .    Acum ( 25.13 ) poate fi transformată după cum urmează :

Operațiuni Permutability s-au dovedit .           Revenind la ecuația ( 25.12 ) Să-i dau aspectul de

( 25,14 )Deoareceoperatorul R limitată ,ecuația integrală rezultată ( 25.14 ) este o ecuație Fredholm , și în consecință problema de regularizare a ecuației singular ( 25.11 ) este rezolvată .          Teoria generală de regularizare care x - p > 0 , ecuația ( 25.14 ) este echivalent cu ( 25.11 ) , iar pentru x - p < 0 - ecuația ( 25.14 ) șisistemul de ecuații funcționale anumite .          În concluzie , am act de faptul că pentru cazurile considerate ecuațiilor integrale singulare de teorema Noether sunt în general nedrept .

       25,3 .

§ 26 . informații istorice       Teoria ecuațiilor integrale singulare cu o integral , în sensul de valoare principal a început să se dezvolte aproape simultan cu teoria ecuațiilor Fredholm . În primele ziare ( Poincare [ 20 ] , Hilbert 1 ) , 1903-1904 ), considerat ecuație integrală cu ctg kernel - ( a se vedea § 31 ) . În care greșelile Hilbert hârtie făcute de către autor în [ 5 ] . teoria generală" Oh- s A ,ecuație singular ( de asemenea cu CLG nucleu --- I a fost dezvoltat pentru prima dată în Noether [ Noether 1 ) ] în 1921 în care a stabilit proprietățile generale de ecuații singulare , acum cunoscut sub numele de teoreme Noether . Trebuie remarcat faptul că dispozitivul , care a fost folosit de către Noether ( soluție de Hilbert , a se vedea Cap . IV ) , nu permite să se deducă aceste teoreme de ecuații complexe cu nucleu Cauchy . Lucrare scrisă Noether este foarte greu și dificil de înțeles .

          La scurt timp , activitatea de Carleman [ Carleman 1 ) ] , care a fost deja discutat în capitolul anterior . Acesta a fost dat o soluție a ecuației caracteristice cu nucleu Cauchy încazul special când coeficienții intervalul său permanent sau contur coloanei vertebrale axa x [ 0 , 1 ] . Aici a fost specificată soluție metoda de regularizare a ecuatiei caracteristice . Teoria generală de ecuații singulare de Carleman nu atins .La scurt timp după apariția în 1937 a autorului 1 ), la studiul ecuatiilor singulare a fost aplicată această decizie în aceasta problemă Riemann valoare limită . Primii pași în această direcție au fost făcute de către Mikhlin 2 ), în 1939          Apoi Vekua în 1940 , în 1 ) a dat o soluție exhaustivă a ecuației caracteristice și începutul teoriei generale a ecuației singular . Această teorie a fost dezvoltată într-un număr de ei lucrează , urmată la scurt timp A941 -1943 gg . ) , Dintre care amintim cele mai importante 2 ) , 3 ) . Mai ales cu grijă , a dezvoltat o metodă de soluție regularizare a ecuației caracteristice 2 ) ( Muskhelishvili numita metodă a lui Karlemapa - Vekua ) . De asemenea, el a fost introdus mai întâi prin metoda regularizare spre dreapta , care a fost de asemenea utilizat pentru a dezvolta o teorie generală . O dovadă simplă a teoremei de-al doilea Noether lui , ne-a dat ( § 23.2 ) aparține Vekua 3 ) .

        În același timp ( din 1941 ) , o serie de lucrări Kupradze a le menționăm pe cele mai importante două unul ) , 2 ) , care a dezvoltat , de asemenea, teoria generală a ecuației singular . Folosind doar metoda clasică de regularizare - regularizare a plecat , el a dat o dovadă de proprietățile de bază ale opțiuni ecuații specifice - teorema Noether și regularizarea echivalent teorema . III Dovada teoremei lui Noether , dat în § 23.2 , având în vedere în Kupradze 2 ) .         Cazuri excepționale de ecuațiilor integrale singulare prin utilizarea de cercetare pentru cazul specific al problemei valorii limită Riemann ( § 15 ), au fost considerate de autor schematic în 1941 în teza sa de doctorat 2 ) ( a se vedea , de asemenea, [ 6 | ) . În 1952 , această întrebare prin aceeași metodă m a fost investigat obstoyatelpo LL Chshshnym 1 ) .15 *

În 1948 , DI Sherman 2 ) , indiferent de locul de muncă al autorului , care la momentul respectiv nu a fost încă publicat , altă metodă de cercetare a dat cazuri excepționale de sisteme de ecuatii integrale singulare , în special , aceasta conține o soluție la cazul .    Întrebările au început să fie dezvoltat regularizare echivalent Mikhlin 1 ) în 1938 , dar în această lucrare și în toate ulterior el mulțumit de problema de regularizare echivalent pentru orice drept ( a se

vedea § 24,1 ) . În ciuda faptului că primele studii au folosit metode grele ( de exemplu ,metoda de aproximări succesive 1 ) ) , trebuie remarcat importanța lor ca primele lucrări pe această temă care a atras atenția cercetătorilor la probleme de regularizare echivalentă . Teorema pe ecuație regularizare echivalentă în forma în care este formulată de către noi aici ( § 24,5 ) , a fost exprimată în primul rând de către autorul cărții în 1941 , în cadrul tezei 2 ) .   Dovada a fost dat în curând prima Kupradze 2 ) , și apoi într-un alt mod Vekua 3 ) . Privedenpoe ne ermetic (vezi § 24.5 ) este în esență identic cu cel al Vekua , deși forma este cu mult diferit de el . Acesta joacă cu unele modificări dovadă dat Mikhlin [ 15 ] .    Trebuie remarcat faptul cădezvoltarea teoriei de regularizare echivalentă a fost cel mai dificil , și nu a existat un număr maxim de erori permise .Soluție completă și relativ simplu la regularizarea echivalent bazat pe lucrarea menționată mai sus prezentate în această carte , este printre cele mai importante realizări ale teoriei ecuațiilor integrale singulare .     Ar trebui să subliniem din Sherman 1 ) -4 ) , care , deși nu sunt legate direct la regularizarea de strâns asociate cu ea . El a dezvoltat o metoda care permite utilizarea reprezentărilor integrale speciale de functii analitice , pentru a reduce problemele de graniță cu valoare de ecuatii Fredholm direct , ocolind specialeecuație ca un pas intermediar . ( Pentru detalii cu privire la aceasta , a se vedea § 34 . )     Dezvoltare din principalele probleme din teoria ecuațiilor integrale singulare cu nucleu Cauchy ( inclusiv cazul coeficienților discontinue și buclă deschisă ( a se vedea Sec . VI ) ) , bazat pe soluția problemei limita Riemann , a fost efectuat în 1940-1944 , în general , funcționează de matematicieni georgiene . În scopul de a evalua pe deplin progresele realizate în acest domeniu , cititorul ar trebui să compare dat în această carte conturarea declarația de problema în Noether [ Noether 1 ) ] , sau cel puțin în Mikhlin 1 ) , realizat în 1938 . , în cazul în care dezvoltarea acestei teorii a fost doar începutul .Trebuie menționat de o metodă de construire a teoriei ecuatiilor singulare , care nu ne-am atinge . Această metodă a fost indicat schematic prin Carleman [ Carleman 1 ) ] și apoi dezvoltate Kupradze . Acesta din urmă a arătat [ 11 ] căîntreaga teorie aecuației singular poate fi obținut prin această metodă . Cu toate acestea , această metodă , așa cum este indicat de Kupradze , nu este teoretic un avantaj față în această carte înseamnă utilizareasoluția problemei Rimapa , astfel încâtsemnificația teoretică a acestei noi dezvoltări este atât de departe încât fiecare O nouă abordare a problemei să-l înțeleagă mai bine . Utilizarea practică a metodei , așa cum este indicat de Kupradze pot fi rezolvate după această metodă este aplicată efectiv a rezolva ecuații specifice .   Dezvoltarea ulterioară a teoriei este în direcția de diverse generalizări . În primul rând , trebuie să menționăm activitatea Mikhlin , sunt importante pentru că ele asociază teoria specială a ecuațiilor cu ideile de analiză funcțională . În acest sens, trebuie notat , de asemenea, lucra 3 . Khalilov [ 29 ] . Există un număr considerabil de georgiene Matematicienii ( Magnaradze , Khvedelidze , Kartsivadze ) , care oferă un rezumat al teoriei ecuatiilor singulare în direcția de a folosi idei din teoria funcțiilor de o variabilă reală ( în sensul de Lebesgue de integrabilitate n t n ) . Noi nu ia în considerare aceste aspecte takkak ele merg dincolo de această carte .

PROVOCĂRI LA CAPITOLUL IIIDe-a lungul probleme contur L este o curbă închisă simplu împarte planul în două regiuni :interior și vneshpyuyu D * D , scrisori CLT e2 , • ■ ■ denota constante arbitrare .1 . Rezolva ecuatia caracteristic integral singular presupunând că punctul Z 0 aparține domeniului D * , și punctul de 2 - zona D.răspuns8 * A - 2 ) "Desemnare . Când rezolvarea problemelor , respectiv 2-8 ar trebui să utilizeze rezultatele Probleme 4-8 , 10 , 11 din capitolul II .2 . Rezolva caracteristică singular ecuație integrală , presupunând că litera i L . 2r aparțindomeniului D + , iarpunctul de - i- 2i - regiune D ~ .

Răspunde .

3 . Arată că IRI ecuația cu condiția ca punct - i pripadlezhit D * , iar punctele I , 2i , - 2i aparțin D ~ , este solubil numai în cazul în care o - d . Oferă o soluție a ecuației de această valoare parametru ." . - 2IT { t - 2i )Răspunde . p < 7 ) ^ • TIT4 . Rezolva ecuația Jt - i contur L , lăsând punctul 0 , 1 la D * .Răspunde .5 . Rezolva ecuația în următoarele ipoteze :a) punctul 1 face parte din D * ;b ) punctul 1 face parte D ~c ) pct. 1 din L.t 9Răspunde la a) ^ ( f) ia - 14 cu " - j -b ) și c ) , f ( i) r2 - 1 .6 . Rezolva ecuația « F în aceleași ipoteze ca și în problema precedentă ,

Răspunde la a) P ) ecuație este insolubil ;b ) V { t ) t + - ^ - j .7 . Rezolva uravieiie ( NFE oo « < Sow .a) în clasa functiilor satisfăcătoare | f ( ) | << ^ Un t ~ a ( a> 0 ) pentru mare | Z | ;■ b ) în clasa functiilor satisfacatoare - FC ( oo ) | <A t ~ (a> 0 ) pentru t de mare ( vezi pct. 4.6 ) .Răspunde .a) când h > 0v. ~ 2 ( < + i ) R2b < - i 0 ( i -0 1 t + i 2t - IFT Jh venerabile < 0vw ~ ( A - 2 ) ( t + i) ( A -2 ) ( * - i)b ) dacă A > 0când A < 08 . Rezolva ecuația ( Q d ! 0 , D0 < 7 sarcini în sala de clasă .răspunsa ) h Venerabilul > 0Venerabilul A < 0Venerabilulstare de solvabilitate b -