PROBLEME PREGATITOARE PENTRUOLIMPIADA BALCANICA DE JUNIORI

OBJ.95. Aratati ca daca a, b, c > 0 verifica abc ≤ 1, atuncia

b+

b

c+

c

a+ abc ≥

a + b + c + 1.

Marian Cucoanes, Marasesti, Andrei Eckstein, Timisoara si Sladjan Stankovik,Macedonia

OBJ.96. Fie x1, x2, x3, x4, x5, x6 numere reale pozitive astfel ıncat

1

1 + x1

+1

1 + x2

+1

1 + x3

+1

1 + x4

+1

1 + x5

+1

1 + x6

= 5.

Aratati ca

1

1 + 25x1

+1

1 + 25x2

+1

1 + 25x3

+1

1 + 25x4

+1

1 + 25x5

+1

1 + 25x6

≥ 1.

Lucian Tutescu si Liviu Smarandache, Craiova

OBJ.97. Daca a, b ∈ Z, aratati ca ab6 + 2019 si ab2016 + 2016 nu pot fi simultancuburi perfecte.

Mihaela Berindeanu, Bucuresti

OBJ.98. Aratati ca exista o infinitate de perechi de numere naturale astfel casuma si produsul lor sa fie numere naturale rasturnate.

Gheorghe Stoica, Petrosani

OBJ.99. Fie ABC un triunghi ın care unghiul A este cel mai mare. Con-sideram N un punct oarecare pe mediana [AM ] si punctul D ∈ (BC) astfel ıncat^BAD ≡ ^BCA. Daca cercul circumscris triunghiului CDN intersecteaza a douaoara dreapta BN ın punctul P si ^APB ≡ ^ABC, demonstrati ca m(^A) = 90◦.

Titu Zvonaru, Comanesti

OBJ.100. Fie ABC un triunghi ascutitunghic. Cercul care trece prin punctul Bsi este tangent la dreapta AC ın punctul A, intersecteaza a doua oara latura [BC]ın punctul D, iar cercul care trece prin punctul C si este tangent la dreapta ABın punctul A, intersecteaza a doua oara latura [BC] ın punctul E. Notam cu Fcel de-al doilea punct de intersectie a celor doua cercuri si cu G cel de-al doileapunct de intersectie a dreptei AF cu cercul circumscris triunghiului ABC. Maiconsideram punctele {I} = BG ∩ FD si {J} = CG ∩ FE. Aratati ca:a) patrulaterul FIGJ este paralelogram;b) punctul F este centrul de greutate al triunghiului AIJ .

Mihai Miculita, Oradea

56