Teodor HUIDUCornelMARIN PROBLEME REZOLVATEDEMECANIC Recenzia tiinific: Prof. dr. ing. Nicolae Enescu Prof. dr. ing. Ion ROCA PROBLEME REZOLVATE DE MECANIC 2 DescriereaCIP a Bibliotecii nationale a Romniei HUIDU, TEODOR Probleme rezolvate de mecanic/Teodor Huidu,Cornel Marin. -Trgovite : Editura Macarie, 2001 260p;25cm- (Universitaria) Bibliogr. ISBN 973 - 8135 - 60 - 5 I. Marin, Cornel 531(076) Consilier editorial: Mihai VLAD Tehnoredactare computerizat: Cornel MARIN 2001 -Toate drepturile sunt rezervate autorilor PROBLEME REZOLVATE DE MECANIC 3CUPRINS PREFA CAPITOLUL I STATICA PUNCTULUI MATERIAL Elemnte de baz din teoriavectorilor. Rezumat 1.1.Statica punctului material. Probleme din teoria vectorilor. 1.2.Reducerea unui sistem de fore concurente coplanare. Probleme rezolvate1.3.Reducerea unui sistem de fore concurente spaiale. Probleme rezolvateEchilibrul punctului material liber i supus la legturi. Axioma legturilor Rezumat 1.4 Echilibrul punctului material liber. Probleme rezolvate1.5 Echilibrul punctului material supus la legturi ideale i reale. Probleme rezolvateProbleme propuse CAPITOLUL IIREDUCEREA SISTEMELOR DE FORE Reducerea istemelor de fore aplicate solidului rigid. Rezumat 2.1. Reducerea sistemelor coplanare de fore i cupluri. Probleme rezolvate 2.2. Reducerea sistemelor de fore paralele. Probleme rezolvate . 2.3. Reducerea sistemelor spaiale de fore i cupluri. Probleme rezolvate CAPITOLUL IIICENTRE DE MAS SICENTRE DE GREUTATE Centre de mas i centre de greutate. Rezumat 3.1Centrul de mas pentru bare omogene. Probleme rezolvate. 3.2Centrul de mas pentru plci omogene. Probleme rezolvate. 3.3Centrul de mas pentru corpuri omogene. Probleme rezolvate. CAPITOLUL IVECHILIBRUL FORELOR APLICATE SOLIDULUIRIGID Teoremele echilibrului forelor aplicate solidului rigid. Rezumat 4.1. Echilibrul solidului rigid liber sub aciunea unui sistem spaial de fore.4.2. Echilibrul solidului rigid de tip plac sau bar supus la legturi subaciunea unui sistem coplanar de fore. CAPITOLUL V ECHILIBRUL SISTEMELOR DE CORPURI Teoremele echilibrului forelor aplicate sistemelor de corpuri. Rezumat5.1.Echilibrul sistemelor plane de corpuri de tip bar. Probleme rezolvate 5.2.Echilibrul sistemelor plane de corpuri cu frne de tip sabot, tampon sau band. Probleme rezolvate CAPITOLUL VIGRINZI CU ZBRELE Echilibrului forelor aplicate grinzilor cu zbrele. Rezumat PROBLEME REZOLVATE DE MECANIC 4Grinzi cu zbrele. Probleme rezolvate . CAPITOLUL VIIECHILIBRUL FIRELOR OMOGENE Echilibrul firelor omogene. Rezumat. Probleme rezolvate de echilibrul firelor omogene CAPITOLUL VIII CINEMATICA MICRII ABSOLUTE A PUNCTULUI MATERIAL Probleme rezolvate de cinematica micrii absolute a punctului material CAPITOLUL IX DINAMICA MICRII ABSOLUTE A PUNCTULUI MATERIAL Probleme rezolvate de dinamica micrii absolute a punctului material CAPITOLUL X CINEMATICA RIGIDULUI I A SISTEMELOR DE RIGIDE Probleme rezolvate de cinematica rigidului i a sistemelor de rigide Probleme propuse CAPITOLUL XI CINEMATICA MICRII RELATIVE A PUNCTULUI MATERIAL Probleme rezolvate de cinematica micrii absolute a punctului material Probleme propuse CAPITOLUL XII DINAMICA MICRII RELATIVE A PUNCTULUI MATERIAL Probleme rezolvate de dinamica micrii absolute a punctului material Probleme propuse CAPITOLUL XIII DINAMICA RIGIDULUI I A SISTEMELOR DE RIGIDE Probleme rezolvate de dinamica rigidului i a sistemelor de rigide Probleme propuse CAPITOLUL XIV MECANIC ANALITIC Principiul lucrului mecanic virtual i principiul lui dAlembert. Probleme rezolvate Ecuaiile lui Lagrange de spea a doua. Probleme rezolvate. PROBLEME REZOLVATE DE MECANIC 5PREFA Aceastlucrareesterezultatulexperieneiautorilornpredareacursului de Mecanica teoretic, studenilor Facultilor de inginerie din cele dou centre universitare:UniversitateaPetrol-GazePloietiiUniversitateaValahia Trgovite. Lucrareacuprinde14capitoleianume:Staticapunctuluimaterial,Elementedebazdinteoriavectorilor,Reducereaforeloraplicatesolidului rigid, Centre de mas i centre de greutate, Echilibrul forelor aplicate solidului rigid,Echilibrulsistemelordecorpuri,GrinzicuzbreleiEchilibrulfirelor omogene,Cinematicapunctuluimaterial,Dinamicapunctuluimaterial, Cinematicamicriirelativeapunctuluimaterial,Dinamicamicriirelative punctuluimaterial,Cinematicarigiduluiiasistemelorderigide,Dinamica rigidului i a sistemelor de rigide, Elemente de mecanic analitic. Primele apte capitoleconincteunscurtRezumatdeteoriepentrunelegereaproblemelor rezolvateicaresuntnacordcuProgramaanaliticacursuluideMecanic predat studenilor n anul I i II la facultile tehnice.S-au prezentat cinci algoritmi de rezolvare a unor probleme de Static cu ajutorulprogramuluiMicrosoftEXCEL,cucteunexempluconcretpentru fiecare caz .Uneleaplicaiisuntinspiratedinpracticainginereasc,alteleaufost create de autori de-a lungul anilor, ca subiecte de examen. Acestea au un grad de dificultatemediu,fiindaccesibilestudenilordinaniiIiIIdelaprofilurile mecanic,metalurgic,electric,etc.Formadeprezentareclarpuneneviden experienanactivitateacustudenii,fiecarecapitolfiindbinefundamentati uor de asimilat.Aceastculegereesterezultatulcolaborriifructuoasedintredoiautoride formaiidiferite:unmatematicianiuninginermecanic.Autoriisperc prezentareasubaceastformaproblemeloriatemeloraplicativevafiutil attpentrupregtireaexamenuluideMecanic(pentrustudeniianilorIiII) precumipentrutoiceiinteresainrezolvareaunoraplicaiipracticede Mecanic.Autoriidorescsmulumeasctuturorstudeniloricolegilorpentru observaiile, sugestiile, adugirile pe care le-au adus n timp i care au contribuit la apariia lucrrii sub aceast form.De asemenea mulumim clduros sponsorilor care au contribuit la apariia acesteiediii,ipecareiasigurmattderecunotinanoastrctmaialesde cea a beneficiarilor acestei lucrri. TrgoviteAutorii PROBLEME REZOLVATE DE MECANIC 7CAPITOLUL I STATICA PUNCTULUI MATERIAL REZUMAT DE TEORIE a. Mrimi scalare i vectorialenMecanicateoreticseopereazcumrimi scalare (de exemplu: masa, timpul,lungimea,etc)icumrimivectoriale(deexemplu:fora,momentul uneiforenraportcuunpunct,cupluldefore,viteza,acceleraia,impulsul, momentul cinetic, etc). Vectorul este o entitate matematic caracterizat prin: punct de aplicaie, direcie (suport), sens (orientare) i mrime (scalar, modul)n funcie de punctul de aplicaie se deosebesc: vectorilibericareaupunctuldeaplicaieoriundenspaiuisuntcaracterizaidetreiparametriscalariindependeni(respectiv,proieciile vectorului pe cele trei axe de coordonate); vectorialunectori-aupunctuldeaplicaiesituatpeodreaptdinspaiui suntcaracterizaidecinciparametriscalariindependeni(respectiv, proieciile vectorului pe cele trei axe de coordonate i coordonatele punctului de intersecie al suportului su cu planul Oxy); vectorilegai-aupunctuldeaplicaiefixnspaiuisuntcaracterizaide aseparametriscalariindependeni(respectivproieciilevectoruluipecele trei axe i coordonatele punctului de aplicaie). b. Expresia analitic a unui vector liber i a unui versor SeconsiderunsistemcarteziandeaxeOxyzavndversoriik , j , ipentrucaresecunoscproieciileax,ay,az,alevectoruluipeceletreiaxe. Expresia analitic a vectoruluiaeste: k a j a i a az y x+ + =.(1) Mrimeavectoruluia esteprindefiniienumrulpozitivnotatcu: 2 2 2z y xa a a a a + + = = (2) Cosinuii directori ai unghiurilor vectoruluia cu direciile celor 3 axe sunt: aa) k , a cos( ;aa) j , a cos( ;a a aaaa) i , a cos(zyz y xx x= =+ += =2 2 2 (3) PROBLEME REZOLVATE DE MECANIC 8Versorulvectoruia esteprindefiniieunvectorunitar,avndmrimea egal cu 1, aceeai direcie i sens cu vectora : kaajaaiaaaau a verszyxa+ + = = = (4) Unvectorpoatefidefinitprinceledouextremitialesaleavnd coordonateleA(xA,yA,zA)iB(xB,yB,zB), i are expresia analitic: k ) z z ( j ) y y ( i ) x x ( ABA B A B A B + + =(5) Expresia analitic a versorului vectoruluiAB conform (4) este:2 2 2) z z ( ) y y ( ) x x (k ) z z ( j ) y y ( i ) x x (ABABAB versA B A B A BA B A B A B + + + + = = (6) Observaie ncazulrigiduluisupuslalegturi,reaciunilesuntnecunoscuteale problemei(deoarecenusecunoatemrimeaisensullor):pentrurezolvarea problemeisealegeunsensoarecarealereaciunii;dacdincalculrezultun numrpozitiv,atuncisensulalesestecorect;dacdincalculrezultunnumr negativ, sensul real este opus celui ales. c. Produsul scalar a doi vectori. Proiecia unui vector pe o axDndu-seunsistemdeaxecartezianOxyzivectoriia ib avnd expresiileanalitice:k a j a i a az y x+ + = ,k b j b i b bz y x+ + = ,sedefinete produsul scalar al celor doi vectori , numrul (pozitiv sau negativ):) b , a cos( b a b a = (7) Expresia analitic a produsului scalar este:y z y y x xb a b a b a b a + + = (8) z Oy x akjia) z AOy x k ajiax ayazb)Fig.1.1 z Oyx akjic) A(xA,yA,zA) B(xB,yB,zB) PROBLEME REZOLVATE DE MECANIC 9Cu ajutorul produsului scalar se poate exprima cosinusul unghiului dintre cei doi vectori ; din relaiile (7) i (8) rezult: 2 2 2 2 2 2z y x z y xz z y y x xb b b a a ab a b a b aabb a) b , a cos(+ + + ++ +== (9) Cuajutorulprodusuluiscalarsepoateexprima analitic proiecia unui vectora , peodirecieorientat avnd versorul: k cos j cos i cos u + + = , (10) astfel: + + = = = cos a cos a cos a u a a pr az y x u (11)inndseamaexpresia(11),proieciavectoruluik a j a i a az y x+ + = pe direcia vectoruluik b j b i b bz y x+ + =se scrie : bb a b a b au a a pr az z y y x xbbb + + = = = (12) d. Produsul vectorial a doi vectori, a produsului mixti a produsului dublu vectorial a trei vectori SeconsiderunsistemcarteziandeaxeOxyzivectoriia ib avnd expresiileanalitice:k a j a i a az y x+ + = irespectivk b j b i b bz y x+ + = .Se defineteprodusulvectorialalcelordoivectorib a c = ,unvectoravnd urmtoarele caracteristici: mrimea sau modulul egal cu aria paralelogramului format din cei doi vectori a ib :) b , a sin( b a c = direcia-perpendicularpeplanulparalelogramuluiformatdinceidoi vectoria i b :) b , a ( c (fig.1.2). sensul - dat de regula burghiului drept sau triedrul format din cei trei vectori a,bic(fig.1.2). Fig.1.2 bcaO Fig.1.3 bcaOPROBLEME REZOLVATE DE MECANIC 10Produsul vectorial a doi vectoria ibare expresia analitic: k ) b a b a ( j ) b a b a ( i ) b a b a ( c: sau ,b b ba a ak j ib a cx y y x z x x z y z z yz y xz y x + + == = (13) Produsul mixt a trei vectoria,biceste prin definiie produsul scalar dintre vectorulaivectorul ( c b ): ( ) ( )z y xz y xx x xc c cb b ba a ac , b , a c b a = = (14) Produsul mixt respect urmtoarea regul (a permutrilor circulare): ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) b , a , c a , c , b c , b , a saub a c a c b c b a= = = = (15) Produsulmixtreprezintvolumulparalelipipeduluiavndcamuchii concurente ntr-un vrf, pe cei trei vectori (fig. 1.3) Produsuldubluvectorialatreivectoria ,b ic esteprindefiniie produsulvectorialdintrevectorula ivectorul( c b )isedetermincu ajutorul formulei: ( ) c ) b a ( b ) c a ( c b a = (16) 1.1 OPERAII CU VECTORI PROBLEMEREZOLVATE1.1.1 Se consider vectorii avnd urmtoarele expresii anlitice fa de un sistem de axe Oxyz:j i c ; k j b ; k j i a + = + = + = 2 4 5 3 2Se cere s se calculeze: ) b a ( c ); b a ( c ); b , a cos( ; b a ; b a ; a pr ; b ab Problemas-arezolvatfolosindrelaiileprezentatenrezumatuldeteorie cuajutorulprogramuluiMicrosoft-Excelconformalgoritmuluiprezentatn continuare. PROBLEME REZOLVATE DE MECANIC 11ALGORITMULDECALCULPENTRUPROGRAMUL MICROSOFT EXCELIREZULTATELEOBINUTE PENTRU PROBLEMA1.1.1 DATE DE INTRAREDATE DE IEIRE ABCDEFGHIJKLM Nr.ax ay az bx by bz cx cy cz abc b a 0 SQRT(A1^2+ B1^2+C1^2) SQRT(D1^2+ E1^2+F1^2) SQRT(G1^2+ H1^2+I1^2) A1*D1+ B1*E1+ C1*F1 12-13054-2103,74166,40312,23617 NOPRS a prb ( )xb a ( )yb a ( )zb a b a A1*D1/K1+B1*E1/K1+C1*F1/K1=M1/K1 B1*F1-C1*E1C1*D1-A1*F1A1*E1-B1*D1 SQRT(O1^2+ P1^2+R1^2) 1,0932-19-81022,9129 TUVWX ) b , a cos( ( ) b a c ( ) [ ]xb a c ( ) [ ]yb a c ( ) [ ]zb a c M1/(J1*K1) G1*O1+H1*P1+I1*R1 H1*R1-I1*P1I1*O1-G1*R1G1*P1-H1*O1 0,292230102035 Conform rezultatelor din tabel, mrimile cerute sunt:( ) k j i b a c; ) b a ( c; , ) b , a cos(; , b a; k j i b a; , a pr ; b ab35 20 10302922 09129 2210 8 190932 1 7+ + = = == + = = = 1.1.2 Se consider punctele A1(1,-2,3), A2(2,4,1), A3(4,5,6). Se cere: s se exprime analitic vectorii, A A si A A3 2 2 1

produsul lor scalar alvectorilor, A A si A A3 2 2 1 s se calculeze unghiurile celor doi vectori. Problemas-arezolvatfolosindrelaiileprezentatenrezumatuldeteorie cuajutorulprogramuluiMicrosoft-Excel,conformalgoritmuluiprezentatn continuare. PROBLEME REZOLVATE DE MECANIC 12ALGORITMULDECALCULPENTRUPROGRAMULMICROSOFT EXCELIREZULTATELEOBINUTE PENTRU PROBLEMA 1.1.2 DATE DE INTRARE DATE DE IEIRE ABCDEFGHIJKL Nr.xA1 yA1 zA1 xA2 yA2 zA2 xA3 yA3 zA3 x) A A (2 1 y) A A (2 1 z) A A (2 1 0 D1-A1E1-B1F1-C1 11-2324145616-2 MNOPRST x) A A (3 2 y) A A (3 2 z) A A (3 2 2 1A A 3 2A A 3 2 2 1A A A A COSG1-D1H1-E1I1-F1SQRT(J1^2+K1^2+ L1^2) SQRT(M1^2+N1^2+ O1^2) J1*M1+K1*N1+ L1*O1 S1/(P1*R1) 2156,40315,4772-2-0,057 Conformrezultatelordintabel,expresiileanaliticealecelordoivectori, produsul lor scalar i unghiul dintre vectori, conform rezultatelor din tabel sunt: 057 0 25 2 2 63 2 2 13 2 2 1, cos ; A A A Ak j i A A ; k j i A A = = + + = + = PROBLEME PROPUSE Acelai enun ca la probleme 1.1.1 pentru vectorii: 1.1.3.j i c ; k j b ; k j i a = + = + = 2 4 3 21.1.4.k j i c ; k j i b ; k j i a 2 2 4 3 2 + + = + + = =1.1.5.j i c ; k j b ; k i a 4 2 5 3 + = + = + =1.1.6.k j i c ; k j i b ; i a + = + + = = 2 4 5 4 21.1.7.j i c ; k j b ; k j i a = = + + = 2 4 5 3 21.1.8.k j i c ; k j b ; k j i a 4 6 2 6 3 9 2 + = + = + =Acelai enun ca la probleme 1.1.2 pentru punctele: 1.1.9. A1(0,1,3), A2(2,4,6), A3(-4,5,8). 1.1.10. A1(1,-5,3), A2(2,4,-4), A3(4,5,0). 1.1.11. A1(1,-2,0), A2(7,4,-1), A3(4,0,6). 1.1.12. A1(1,-6,3), A2(8,0,1), A3(0,5,6). PROBLEME REZOLVATE DE MECANIC 13 1.2REDUCEREA FORELOR CONCURENTE COPLANARE PROBLEMEREZOLVATE 1.2.1. Se consider un punct material asupra cruia acioneaz un sistem de 4 forecoplanare{ }4 1,.. i iF=(fig.1.2.1.a)avndmoduleleidireciilefadeOx date de:33 223 242 84 4 3 3 2 2 1 1 = = = = = == = , F F ; , F F ; , F F ; , F FSeceressedeterminerezultantacelorpatrufore(camrime,direciei sens). Rezolvare:Pentruadeterminarezultantacelorpatruforedinfig.1.2.1.aseaplic teoremaproieciilorpeaxelesistemuluiOxy:mrimeaproiecieirezultantei dup cele dou direcii Ox i Oyesteegal suma mrimilor proieciilor forelor: F sin F sin F sin F sin F Y YF ) ( cos F cos F cos F cos F X Xiiii23 2 43 63 2 44 3 2 1414 3 2 141= + + += =+ = + + += === Expresia anlitic a rezultantei celor trei fore i mrimea ei sunt date de: j F i F ) ( j Y i X R 2 3 6 + + = + = ;3 12 432 2+ = + = = F Y X R R DireciaisensulrezultanteisuntdatedemrimeaunghiuluiRpecare aceatsa l face cu axa Ox (fig 1.2.1.b) :

0502 14 258 03 62, ; ,XYtgR R= =+= = F1 R y R F3Fig. 1.2.1.b F2F4Ox F1 y 4 1 F3 Fig. 1.2.1.a F2 F4 O x PROBLEME REZOLVATE DE MECANIC 141.2.2AsupraunuipunctmaterialOacioneaz foreleconcurenteicoplanare{ }4 ,.. 1 i iF=avnd mrimile, direciile i sensurile din fig.S1.2.2.Se cunosc: 42 2236263 44 4 3 32 2 1 1 = == = = == =; F F ; , F F, F F ; , F F Secere:Expresiaanaliticarezultanteiforelor i unghiul pe care l face aceasta cu axa Ox .Rspuns: 62 3 2 = =R; j P i P RProblemas-arezolvaticuajutorulprogramuluiMicrosoft-Excel, conform algoritmului prezentat n continuare. ALGORITMULDECALCULPENTRUPROGRAMUL EXCELIREZULTATEOBINUTE PENTRU PROBLEMA 1.2.2 DATE DE INTRARE ABCDEFGH Nr.F1/FF2/FF3/FF4/F1 234 0 1 6,9292262,8284/63/2-/4 DATE DE IESIREJKLMN X/FY/FR/Ftg R R (rad) A1*cosE1+B1*cosF1+ C1*cosG1+D1*cosH1 A1*sinE1+B1*sinF1+ C1*sinG1+D1*sinH1 SQRT (J1^2+K1^2) K1/J1arctgM1 3,4641 ( 3 2 ) -24-0,5773-0,5236(-/6) F1y 4 1F3 Fig. 1.2.2. F2 F4 O x PROBLEME REZOLVATE DE MECANIC 151.3REDUCEREAFORELORCONCURENTE SPAIALEPROBLEMEREZOLVATE 1.3.1. Asupra unui punct material M acioneaz un sistem de 4 fore concurente { }4 1,.. i iF=avndmodulele:F F , F F , F F , F F 5 4 37 3 5 10 24 3 2 1= = = = i direciile date de muchiile sau diagonalele unui paralelipiped dreptunghic ca n fig. S1.3.1(MO); se cunosc: OA=a,OC=2a,OO'=6a. Se ceres se determine rezultantaforelor (mrimea, direcia i sensul). Rezolvare:Expresiileanaliticealecelorpatru forefadesistemuldereferinOxyz ales (MO) sunt: k F j Fz y xk z j y i xFC O vers F F vers F Fc c cc c c3 2 10 22 2 21 1 1 1+ =+ ++ + == = = k F O O vers F F vers F F 52 2 2 2= = =k F i F) a ( ak a i aF A O vers F F vers F F 18 36637 32 23 3 3 3+ =++= = =j F i F) a ( aj a i aF OB vers F F vers F F 8 4225 42 24 4 4 4+ =++= = =Expresia analitic a rezultantei este:k F j F i F F Rii29 10 741+ + = = = Proieciile rezultantei pe axele sistemului de coordonate Oxyzsunt:X=7F, Y=10F, Z=29F. Mrimea rezultantei este dat de:F Z Y X R R 110 32 2 2= + + = = . Direciaisensulrezultanteiestedatdeunghiurilepecarelefacecu axele sistemului de coordonate: 000827 22 921 0469 71 318 0145 77 222 0, ; , cos, ; , cos, ; , cosR RR RR R= = = = = = C z B F2 F3 F1F4Fig.1.3.1 A A C O MO yx B PROBLEME REZOLVATE DE MECANIC 16PROBLEMEPROPUSE 1.3.2.AsupraunuipunctmaterialMacioneazforeleconcurente { }4 1,.. i iF=avnd mrimile:F F , F F , F F , F F 6 73 4 13 2 68 34 3 2 1= = = = . direciileisensurilefiinddatedemuchiilesaudiagonaleleparalelipipedului dreptunghic din fig. 1.3.2 (MO); se cunosc: OA=3a,OC=8a,OO'=2a. Secereexpresiaanaliticarezultanteiforeloriunghiurilepecarelface aceasta cu axele de coordonate. ; , ; , ; , ; F , R ; k F j F i F RR R R0 0 0783 74 270 23 825 72 959 60 16 56 18 = = = = + + = 1.3.3. Acelai enun ca la problema 1.3.2 (fig. 1.3.3) cu datele: F F , F F , F F , F F 13 34 4 294 3 2 1= = = = , OA=3a, OC=2a, OO'=5a. 0 0 041252 27 285 75 604 67 748 15 14 4 6 , , , , , ; F , R ; k F j F i F F RR R R ii= = = = + + = == Problema1.3.2s-arezolvaticuajutorulprogramuluiMicrosoft-Excel, conform algoritmului prezentat n continuare. Cz BF4 F2 F1 F3 Fig. 1.3.2 A A CO MOy x B C z B F2F3F1F4Fig. 1.3.3 A A C O y x B MOPROBLEME REZOLVATE DE MECANIC 17ALGORITMULDECALCULPENTRUPROGRAMUL MICROSOFT EXCEL PENTRU PROBLEMA1.3.2 DATE DE INTRARE ABCDEFGHIJKLM Nr.x1/ay1/a z1/a x2/a y2/a z2/a x3/a y3/a z3/a x4/a y4/a z4/a F1/F 108230238000224,74 DATE DE IESIRE NOPQRS F2/FF3/FF4/F(versF1)x (versF1)y (versF1)z A1/[SQRT(A1^2+ B1^2+C1^2)] B1/[SQRT(A1^2+ B1^2+C1^2)] C1/[SQRT(A1^2+ B1^2+C1^2)] 7,211134,1760600,97010,2425 TUVWXY (versF2)x (versF2)y (versF2)z (versF3)x (versF3)y(versF3)z D1/SQRT(D1^2+E1^2+F1^2) E1/SQRT(D1^2+E1^2+F1^2) F1/SQRT(D1^2+E1^2+F1^2) G1/[SQRT(G1^2+ H1^2+I1^2)] H1/[SQRT(G1^2+H1^2+I1^2)] I1/[SQRT(G1^2+ H1^2+I1^2)] 0,832000,55470,35110,93630 ZAAABACADAE (versF4)x (versF4)y (versF4)zX/FY/FZ/F J1/SQRT(J1^2+K1^2+L1^2) K1/SQRT(J1^2+K1^2+L1^2) L1/SQRT(J1^2+K1^2+L1^2) M1*Q1+N1*T1+ O1*W1+P1*Z1 M1*R1+N1*U1+ O1*X1+P1*AA1 M1*S1+N1*V1+ O1*Y1+P1*AB1 001185616 AFAGAHAI R/F RR R SQRT(AC1^2+AD1^2+ AE1^2) arccos(AC1/AF1)arccos(AD1/AF1)arccos(AE1/AF1) 60,95972,8250 23,2700 74,7830 PROBLEME REZOLVATE DE MECANIC 181.4. STATICA PUNCTULUI MATERIALREZUMAT DE TEORIE a. Principiul paralelogramului Fiind date dou fore 2 1F si Fcare acioneaz asupra unui punct material liberA,principiulparalelogramuluipostuleazcefectulcelordouforeeste acelaicualuneiforerezultanteR ,careestediagonalamarea paralelogramului avnd ca laturi forele 2 1F si F(fig. 1.4.1)Sunt valabile urmtoarele relaii: = = += + + = + =sinF) sin(FsinR;cos F Fsin Ftg ; cos F F F F R ; F F R2 12 122 12221 2 12 b. Teorema proieciilor Fiinddatunsistemdefore, concurententr-unpunctOdinspaiu, { }n ,... . i iF2 1 =acestasereduce(saueste echivalent)npunctulOcuofor rezultantR ,careseobineaplicnd succesivprincipiulparalelogramului enunat mai sus: ==niiF R1.Dac se noteaz cu Xi, Yi , Zi, proieciile unei fore oarecare Fi a sistemului i cu X, Y, Z proieciile forei rezultanteRpe axele triedrului triortogonal drept Oxyz, atunci sunt valabile urmtoarele relaii: . Z Z ; Y Y ; X Xniiniinii = = == = =1 1 1 Acesterelaiiteoremaproieciilorcareseenunastfel:proiecia rezultantei pe o direcie oarecare este egal cu suma proieciilor tuturor forelor sistemului dup acea direcie. Sunt valabile urmtoarele relaii: ( ) ( ) ( )2 2 22 2 2 + + = + + =+ + =i i iZ Y X Z Y X Rk Z j Y i X R c. Axioma legturilor DacasupraunuipunctMdinspaiusupuslalegturiacioneazun sistem de fore{ }n ,... . i iF2 1 = (a crui rezultant se noteaz cu aR ), conform axiomei AF1F2 R Fig. 1.4.1 PROBLEME REZOLVATE DE MECANIC 19legturilor orice legturi geometrice pot fi ntotdeauna suprimate i nlocuite cu fore corespunztoare (a cror rezultant se noteaz culegR ).Din punct de vedere geometric punctul material poate fi considerat ca un punctmaterialliber,iardinpunctdevederemecanicconstrngerileaufost nlocuite cu fore de legtur. Teoremaechilibruluipuctuluimaterialsupuslalegturi:condiia necesarisuficientpentrucaunpunctmaterialsrmnnechilibrusub aciunea forelor exterioare i de legtur este ca rezultanta lor s fie nul: ; Z Z ; Y Y ; X XR Rleg a leg a leg aleg a0 0 00= + = + = += + Dinpunctdevederealnaturiiforelordelegtur,legturilepunctului material pot filegturi fr frecare(ideale) i legturi cu frecare (reale). b. Echilibrul punctului material supus la legturi cu frecare Unpunctmaterialaflatpeosuprafacufrecarenuvaprsipoziiade repausatttimpctrezultanataforeloraplicateseaflninteriorulconuluide frecare(avndaxadupnormalalasuprafaiunghiullavrf2).Forade frecare T respect urmtoarele legi ale frecrii uscate (legile lui COULOMB): a.modulul forei de frecare maxTeste proporional cu reaciunea normal N; b.modulul maxT depindedenaturacorpuriloridestareasuprafeelordecontact: maxT =uNundeu=tgestecoeficientuldefrecaredealunecare, iar este unghiul de frecare;c.modulul maxT nudepindedemrimeasuprafeeidecontact.Sensulforeide frecare de alunecarese opune totdeauna tendinei de deplasare. PROBLEMEREZOLVATE 1.4.1. Se consider o sfer M de greutate Gcare se reazem fr frecarepe un plan nclinat cu unghiul i este prins printr-un fir de un punct A ; firul face cu verticala unghiul ( vezi fig. 1.4.1.a).Se cere s se detremine mrimea reaciunii normaleNi a tensiunii din firS .Rezolvare:Ecuaiavectorialdeechilibrudupintroducereaforelordelegtur (conform axiomei legturilor) se scrie : 0 = + + N S G(a) PROBLEME REZOLVATE DE MECANIC 20AlegndaxeleOxiOynmodconvenabil(fig.1.4.1.b)iproiectndpe acestea ecuaia vectorial de echilibru, se obin ecuaiile: = + = ==0000G cos S sin Nsin S cos NYXii (b) nmulind,primaecuaiecucosiadouacusininsumndu-le membru cu membru se obine: ) cos(sinG N = ; ) cos(cosG S = (c) 1.4.2.SeconsiderobildegreutateGcaresereazempesuprafaaunei sfere de raz r,fiind legat cu un fir de lungime AM=lde punctul fix A aflat la distana AB =d , fa de suprafaa sferei (fig.1.4.2.a). Se cere mrimea tensiunii din fir S i a reaciunii N. Rezolvare: Ecuaia vectorial de echilibru se scrie: 0 = + + N S G (a) DacseintroducunghiurileiisealegconvenabilaxeleOx i Oy (ca n fig.S1.5.2.b) condiia deechilibru se scrie: 00==iiYX= + = + 00G cos N cos Ssin N sin S(b) Multiplicnd prima ecuaie (b) cu cos i a doua cu sin i nsumndu-le membru cu membru se obine: ) sin(sinG S ;) sin(sinG N + = + = (c) Fig. 1.4.2 AdBrrOM A y S NxGO b) a) A M Fig. 1.4.1 b. y S N x G OMa. PROBLEME REZOLVATE DE MECANIC 21Din teorema sinusurilor aplicat n triunghiul OAM, avem:

r d ) sin(sin;r dr) sin(sin) sin(r dsinrsin += + += + + +==l l deci se obine:r dG S ;r drG N+=+=l (d) 1.4.3. Se consider un inel M de greutate neglijabil care se reazem cu frecare (coeficientuldefrecarefiindu)peunsemicercderazR.Deinelsuntlegate dou fire care trec fr frecare prin inelele fixe A1 i A2 (fig.1.4.3).La capetele firelorsuntlegaredoucorpuridegreutiG1iG2 . Seceressedetermine raportulgreutilor 2 1G / G pentrucainelulsrmnnrepauspentruun unghi dat. Rezolvare:a)SeconsidermainticinelulMare tendinadealunecaresprepunctulA1 (fig. 1.4.3.b);sealegcaaxedecoordonate tangenta i normala la cerc n punctul MEcuaia de echilibru se scrie:02 1= + + + N T S S;(a)

sau n proiecii pe axe:02 2002 202 12 1= + == =N cos S sin S YT sin S cos S Xii(b) Condiia fizic a frecrii este: N T u . (c) Din ecuaiile (b) rezult: 2 2 2 22 1 2 1+== cos S sin S N ; sin S cos S T(d) A1 A2 r O G1G2 M Fig.1.4.3.a b. x y r /2 O S1 S2 T N Tendinta de miscareFig. 1.4.3 c. x y r /2 O S1 S2 T N Tendinta de miscarePROBLEME REZOLVATE DE MECANIC 22care introdusen (c) i innd seama c tensiunile din fir pentru cele dou ramuri ale firului au mrimile S1=G1 iS2=G2 , conduc la: 2 22 221u u +sin coscos sinGG(e) b. Se considr acum cealalt tendin de alunecare a inelului M spre punctul A2 (fig.1.4.3.c),ecuaiiledeechilibrusescriuanalogcuceledinprimulcaz, schimbnd semnul din faa lui u i sensul inegalitii (e) 2 22 221u +u sin coscos sinGG(f) Decivalorilepecarelepoateluaraportul 2 1G / G ,suntcuprinsen intervalul:2 22 22 22 221u u + u +u sin coscos sinGGsin coscos sin,(g) care se mai scrie sub forma: |.|

\| + |.|

\| 2 221tgGGtg (h) 1.4.4.SeconsideruninelMdegreutateneglijabilcaresereazemcu frecarepeuncercderazr.Deinelsuntlegatedoufirecaretrecprindou inelefixenA1 iA2 fr frecare. La capetele firelor sunt legate dou corpuri degreutiG1iG2(canfig.1.4.4.a).Secereraportul 2 1G / G pentruca punctul M s rmn n repaus n poziia dat de unghiul , dac se consider cunoscute coeficientul de frecareui . Rezolvare:1.SeconsidermainticinelulMare tendinadealunecaresprepunctulA1 (fig. 1.4.4.b);sealegcaaxedecoordonate tangenta i normala la cerc n punctul MEcuaia de echilibru se scrie:02 1= + + + N T S S;(a) Fig. 1.4.4.a A1 A2 r O G1 G2 M PROBLEME REZOLVATE DE MECANIC 23 sau n proiecii pe axe:02 4 2002 4 202 12 1= + == =N ) sin( S sin S YT ) cos( S cos S Xii(b) condiia fizic a frecrii:N T u , (c) nlocuind n (c) expresiile lui N i T rezulatate din ecuaiile (b)avem:

+u ) sin( S sin S ) cos( S cos S2 4 2 2 4 22 1 2 1(d) i innd seama c tensiunile din fir pentru cele dou ramuri ale firului au mrimile: S1=G1 iS2=G2se obine: 2 22 4 2 421u u +sin cos) sin( ) cos(GG(e) b) Se consider cealalt tendin de alunecare a inelului M (spre A2, fig.1.4.4.c), ecuaiiledeechilibrusescriuanalog,obinndu-se,prinschimbareasemnului din faa lui u i a sensului inegalitii (e) relaia: 2 22 4 2 421u +u sin cos) sin( ) cos(GG(f) Condiia final de echilibru deci se scrie: 2 22 4 2 42 22 4 2 421u u + u +u sin cos) sin( ) cos(GGsin cos) sin( ) cos((g) sau forma echivalent:( )( )( )( ) + + 22 422 421/ cos/ / cosGG/ cos/ / cos(h) Fig. 1.4.4.b. x y r /2 /4-/2 O S1 S2 A2 A1 T N OM Tendina de miscarec. x y r /2 /4-/2O S1 S2A2A1 T N Tendina de miscarePROBLEME REZOLVATE DE MECANIC 241.4.5.CulisaMdegreutateG1sepoatedeplasacufrecarepebaravertical OB, coeficientul de frecare de alunecare fiind cunoscut: uCulisa este legat de greutateaG2 prinintermediulunuifiriaunuiscripetefrfrecareA.Se cunosc:AB=aiBM=h(fig.1.4.5.a).SeceregreutateaG2pentruca echilibrul s aib loc n poziia din figur. Rezolvare: a)Fa de sistemul de axe Oxy, pentru tendina de deplasare a culisei n jos (fig. 1.4.5.b) forele care acioneaz asupra culisei sunt indicate n figur; ecuaiile de echilibru n proiecii pe cele dou axe se scriu: = += ==00001 22G cos G Tsin G NYXii (a) N T u ,condiia fizic a frecrii(b) innd seama c tensiunea din fir este S2=G2, rezult: u + sin cosGG12(c) b)Pentrutendinadedeplasarensusaculisei(fig.1.4.5.c)foradefrecare T acioneaz n sens invers fa de primul caz, ecuaiile de echilibru se scriu analog cu cele din primul caz, schimbnd n relaia (c) semnul din faa lui u i sensul inegalitii: u sin cosGG12(d) Condiia final de echilibru se scrie: u u + sin cosGGsin cosG121 (e) sau sub forma echivalent:BA G1 G2 M Fig. 1.4.5.a Tendina de alunecare G1S2NT Mb.y x c. G1 S2 NT M y x OO Tendina de alunecare PROBLEME REZOLVATE DE MECANIC 2512 22 12 2Ga hh aG Ga hh au + u ++(f) PROBLEME PROPUSE 1.4.6. Se consider un inel M de greutate neglijabil care se reazem cu frecare (ucoeficientuldefrecare)peunsemicercderazR.Deinelsuntlegate:un corp de greutate G3 i dou fire care trec fr frecare peste inelele fixe A1 i A2 (fig.1.4.6).La capetele firelor sunt legate dou corpuri de greuti G1 i G2 .

Se cere raportul greutilor 2 1G / Gpentru ca inelul s rmn n repaus pentru unghiul dat. 1.4.7. Se consider un inel M de greutate neglijabil care se reazem cu frecare (u coeficientul de frecare) pe un sfert de cerc de raz R. De inel sunt legate: un corp de greutate G3 i dou fire care trec fr frecare peste inelele fixe A1 i A2 (fig.1.4.7).La capetele firelor sunt legate dou corpuri de greuti G1 i G2 .

Se cere raportul greutilor 2 1G / Gpentru ca inelul s rmn n repaus pentru unghiul dat. 1.4.8. Se consider un inel M de greutate neglijabil care se reazem cu frecare (u1coeficientuldefrecare)peunsfertdecercderazR.Deinelsuntlegate doufirecaretrecfrfrecarepesteinelelefixeA1iA2.Lacapetelefirelor suntlegatedoucorpuridegreutiG1iG2 ,firulcaresusinecorpulde greutate G2 fiind trecut cu frecare (u2 coeficientul de frecare) peste un cilindru fix(=/2)(fig.1.4.8). Secereraportulgreutilor 2 1G / G pentrucaineluls rmn n repaus pentru unghiul dat. Fig. 1.4.6 R O G2MG1 G3 A2 A1 Fig. 1.4.7 ROG2MG1 G3 A1 A2 PROBLEME REZOLVATE DE MECANIC 26 1.4.9. Se consider un inel M de greutate neglijabil care se reazem cu frecare (u1coeficientuldefrecare)peunsfertdecercderazR.Deinelsuntlegate doufirecaretrecfrfrecarepesteinelelefixeA1iA2.Lacapetelefirelor suntlegatedoucorpuridegreutiG1iG2 ,firulcaresusinecorpulde greutate G2 fiind trecut cu frecare (u2 coeficientul de frecare) peste un cilindru fix(=/2)(fig.1.4.9). Secereraportulgreutilor 2 1G / G pentrucaineluls rmn n repaus pentru unghiul dat. Fig. 1.4.8 R OG1 MG2u1 A2 A1 u2Fig. 1.4.9 ROG2MA1 A2 G1 u2 u1PROBLEME REZOLVATE DE MECANIC 27CAPITOLULII REDUCEREAFORELOR APLICATE SOLIDULUIRIGID REZUMAT DE TEORIE a. Momentul unei fore n raport cu un punct Onoiunefoarteimportantutilizatn Mecanicacorpuluirigidesteaceeade momentaluneiforeF fadeunpunct oarecareO(foraF esteaplicatntr-un punctoarecareAdinspaiuOA)care se definete prin : F OA ) F ( MO =DindefiniiaprodusuluivectorialdatncapitolulI,rezultcmomentul unei foreFfa de un punct O, este un vector aplicat n punctul O, perpendicularpevectoriiF si OA ,sensulsufiinddeterminatdesensulde rotaie al luiF , dup regula urubului drept iar mrimea sa dat de: d F sin F OA ) F ( MO = =unde: este ungiul dintreF si OAiar d este distana de la punctul O la suportul foreiF(braul forei, vezi fig. SB2.1). DacpunctulOesteorigineasistemuluicarteziandeaxe,punctulAare coordonateleA(x,y,z)iarexpresiaanaliticaforeieste:k Z j Y i X F + + = , atunci expresia analitic a momentului foreiF fa de O este: k ) yX xY ( j ) xZ zX ( i ) zY yZ (Z Y Xz y xk j iF OA ) F ( MO + + = = =Componentele lui) F ( MO :yX xY N ; xZ zX M ; zY yZ L = = =,reprezint momentul foreiFfa de cele trei axe Ox, Oy, Oz (aa cum rezult din paragraful urmtor). b. Momentul unei fore n raport cu o ax oarecare A O d ) F ( MOFFig.SB2.1 PROBLEME REZOLVATE DE MECANIC 28OaltnoiuneimportantutilizatnMecanicacorpuluirigidesteaceea demomentaluneifore F fadeoax , care se definete ca proiecia momentului foreiFfa de un punct, care aparine axei , pe aceast ax: Z Y Xz y xc b a) F OA ( ) F ( M) F ( M ) F ( M pr ) F ( MO O= = = = unde:k c j b i a vers + + = = Se observ c dac coincide cu axa Ox: i versOx = = momentul foreiFn raport cu axa Ox este: L zY yZ MOx= = . Analog:; N yX xY M ; M xZ zX MOz Oy= = = = c. Torsorul de reducere al unui sistem de fore ntr- un punct Dac se consider o for iF aplicat ntr-un punct Ai al unui rigid, efectul acestei fore este acelai cu efectul celor dou elemente de reducerea forei ntr-un punctO: fora iFi momentul forei n raport cu punctul O) F ( Mi O: O in aplicate) F ( MFA in aplicata Fi Oii i)` Dacseconsiderunsistemdefore iFaplicatenpunctele(Ai)i=1,2,n ise face reducerea pentru fiecare for a sistemului npunctulO,prinnsumareaforelori momentelorconcurenterezultatese obineunsistemechivalentcusistemul dat format din dou elemete (fig.SB2.3):-Rezultanta: ==niiF R1 -Momentul rezultant: = = = =nii inii O OF OA ) F ( M M1 1. A O ) F ( MOFFig.SB2.2 ) F ( MAn O OM1FFig.SB2.3 A1 2FiFnFAi A2 RPROBLEME REZOLVATE DE MECANIC 29 Perecheaformatdin OM si R senumetetorsoruldereducereal sistemului de fore n punctul O: O. d. Torsor minimal. Axa centralDacseconsiderunaltpunctO'ncare sefacereducereasistemuluidefore (O'O)rezultanta ==niiF R1nuse modific(primulinvariant)iarmomentul rezultant se modific conform relaiei: R ' OO M R O ' O M MO O ' O = + =DecitorsoriidereducerenOiO'sescriu: =R ' OO M MR: ;MR:O ' O' OOO DacsenmuletescalarrelaiademaisuscuR ,seobine: ct R M R MO ' O= = ; constanta acesta se numete trinomul invariant (al doilea invariant).Dacsempartetrinomulinvariantlamodululrezultanteiseobine proiecia momentului rezultant pe direcia rezultantei:R / R M MO R =Pentruanumitepunctedereduceredinspaiu,torsoruldereducereeste format din doi vectori coliniari) M ; R (Ri se numete torsor minimal:= RRRR MM ; R :OR min Axcentralreprezintloculgeometricalpunctelordinspaiuunde fcndreducereasistemuluidefore,rezultantaimomentulrezultantsuntdoi vectori coliniari;axa central este dat de ecuaiile:

ZyX xY NYxZ zX MXzY yZ L + =+ =+

sau sub forma parametric: + = + = + = += 2222R / ) YL XM ( Z zR / ) XN ZL ( Y yR / ) ZM YN ( X xRRM Ro An O OM1FFig.SB2.3 A1 2FiFnFAi A2 ROM RPROBLEME REZOLVATE DE MECANIC 302.1. REDUCEREA SISTEMELOR DE FORE COPLANARE PROBLEME REZOLVATE 2.1.1. Asupra cadrului dreptunghiular din figura 2.1.1.a avnd laturile OA=a,OC=2a,acioneazforelecoplanare:F1=F2= F 2 nclinatecu unghiul4 / = i F3 = 2F ca n fig. 2.1.1.a. Se cer :1) Torsorulul de reducere n punctul O. 2) Ecuaia suportului rezultanteiR , prin tieturi. Rezolvare :1)Se scriu expresiile analitice ale vectorilor fore:

i F i F F) j i ( F j ) sin F ( i ) cos F ( F) j i ( F j ) sin F ( i ) cos F ( F23 32 2 21 1 1 = =+ = + =+ = + =(a) Rezultanta sistemului este:j F i F R F Rii2 231+ = ==(b) Momentul rezultant fa de O este: (c) k aF M ) i F ( ) j a i a (F Fa ak j i) j i ( F j a MF OB F OD F OC ) F ( M Mii3 200 2 20 03 2 1 0310= + ++ + = + + = = = Torsorulul de reducere n punctulO este deci: = = = == = = + =aF N ; M L k aF MZ , F Y ; F X j F i F R3 0 30 2 2 2 20 (d) F1 y D C F2B x O A Fig. 2.1.1.a F3 a aayDCx OMOA RRFig. 2.1.1.b Axa central\ Q (0, 3a/2)P (3a/2,0)PROBLEME REZOLVATE DE MECANIC 312)Ecuaia axei centrale:ZyX xY NYxZ zX MXzY yZ L + =+ =+

pentru valorile de mai susse scrie: == + = =02302 2 32222zay xFy Fx aFFFzFFz(e) Axa central este o dreapt definit prin tieturile ei:P(3a/2,0)i Q(0,3a/2) (f) Sistemuldeforeesteechivalentcutorsorul) M , R (O dereduceren punctulO,sausistemuldeforeesteechivalentcuorezultantunicRsituat pe axa central (ntruct n acest caz:0 00 0= = M R sau , M R ). 2.1.2.SeconsideroplacdreptunghiularavndlaturileOA=2a,OC=4a (fig.2.1.2.)asupracreiaacioneazuncuplunOi4forecoplanare respectiv n A1, A2, A3, A4 nclinate cu: = = = = 4 3 2 14 4 0 ; / ; / ;i avnd modulele date:aF M 4 = ; F F ; F F 2 221= = ; F F 2 33 =F F 44 = . Se cere : 1) Torsorul de reducere n punctul O. 2) Ecuaia axei centrale prin tieturi (xP, yQ)3) Cu ce este echivalent sistemul? Rezolvare 1.Expresiile analitice ale forelor, cuplului1M i momentelor fa de O sunt:

( )k X y Y x ) F ( M; k M Mj ) sin F ( i ) cos F ( F; j Y i X FP p p p p Op p p p pp P p == + =+ =1 1(a) Introducnd valorile rezult: k aF M ; k aF ) F ( M ; k aF ) F ( M ; ) F ( M ; ) F ( Mi F F ; j F i F F ; j F i F F ; i F FO O O O4 8 15 0 04 3 3 2 21 4 3 2 14 3 2 1= = = = = = = + = = (b) 23 F1 yCF2B x O A Fig. 2.1.2 F3 a2a 2a a F4A4A1 A2 2a2aA3 M1PROBLEME REZOLVATE DE MECANIC 32Rezultanta sistemului este prin urmare:F sin F Y F cos F X F Rp ppp pppp = = = = == = =4141412(c)Momentul rezultant fa de O este: k aF M ) F ( M Mp OpO3141 = + ==(d) 2.Ecuaia axei centrale pentru sistemul de fore dat este: 0 = + yX xY N:x+2y=3a(e) Axa central este definit prin tieturile (fig S2.2.2.a): P(N/Y,0) xP=3a;yP=0siQ(0,-N/X)xQ=0;yQ=3a/2; (f) 3.SistemuldeforeesteechivalentcutorsoruldereducerenpunctulO: ) M , R (O saucuorezultantunicR situatpeaxacentral(ntructncazul unui sistem coplanar de fore:0 00 0= = M R sau , M R ). PROBLEME PROPUSE Seconsiderplacaplanavndformaidimensiuniledinfigur(fig.2.1.3 ...2.1.6.) asupra creia acioneaz un cuplu i 4 fore coplanare respectiv n A1, A2, A3, A4 nclinate avnd modulele i direciiledate. Se cere : 1) Torsorul de reducere n punctul O; 3)Ecuaia axei centrale i trasarea ei prin tieturi ; y C BxOAFig. 2.1.2.a 2a4aMO P(3a,0)Q(0,3a/2) RAxa centralRPROBLEME REZOLVATE DE MECANIC 33 xA4 AA2 A3 O y F2 F3F1 F47a 4a a a 3a a Fig. 2.1.3 Date: aF M; F F F; F F; F F423214 321== ===450 MO2a3aA12a a2ayFig. 2.1.4 F1F3F4Date: F F ; F FF F; F F255 24 321= ===xF2 A2A3 A4y a xOa A1A3 A4F4 F2F1 F3 A2Fig. 2.1.5 Date: ; F F; F F ; F F F52 253 2 1== = = a y 2pFig. 2.1.7 O 3a 4a A1 xF1 F2p Date: ; ap F; ap F2521== F4eF3e A2xF1OA2Fig. 2.1.8 p2pF24a3a3ayDate: ; ap F F 52 1= =F4eF3e A1Date: ; F F; F F; F F; F F32 224321====aa 2aA3 A4 F2y 450xF3OF4F1 Fig. 2.1.6 1350 PROBLEME REZOLVATE DE MECANIC 34REZULTATELE PROBLEMELOR PROPUSE Nr. probl.Torsorul n O O Ecuaia axei centralePunctele de inters. Ox i Oy 0134 2.1.3 =+ =k aF Mj F , i F , R:OO124 3 8 2 3,4x-2,8y=-12aP(-3.53a,0) Q(0,4,29a) 2.1.4 = + =k aF Mj F i F R:OO23 3 3x-3y=2aP(2a/3,0) Q(0,-2a/3) 2.1.5 = + =k aF Mj F i F R:OO42 3 2x+3y=4aP(2a,0) Q(0,4a/3) 2.1.6 = + =k aF Mj F i F R:OO3 3 3x+3y=-aP(a/3,0) Q(0,a/3) 2.1.7 = =k p a Mj ap i ap R:OO23 x+3y=23aP(23a,0) Q(0,23a/3) 2.1.8 =+ =k p a , Mj ap i ap R:OO25 114 5 4x-5y=-11,5aP(-2,875a,0) Q(0,2,3a) ALGORITMULDECALCULUTILIZAT PENTRU PROGRAMUL EXCELIREZULTATELEOBINUTE Algoritmul de calcul n EXCEL pentru datele concrete ale problemei 2.1.2.DATE DE INTRARE ABCDEFGHIJKLM Nr.x1/a y1/a F1/Fcos1 sin 1 x2/a y2/a F2/Fcos2 sin 2 x3/a y3/a F3/F 110110222.82840.7071 0.7071144.2426 DATE DE IEIRE NOPQRSTUVW cos3 sin 3 x4/a y4/a F4/Fcos4 sin 4 M4/aF X/F=Fi cosi /F Y/F=Fi sini/F C*D+H*I+ M*N+R*S C*E+H*J+ M*O+R*T 0.7071-0.7071 024-1042-1 XYZAAABAC ADAE xiFisini/aF yiFi cosi/aF Moz/aF =M1 +(xiFisini - yiFi cosi)/aF xP/ayQ/axJ/a yJ/aMJz/aF = (-xJ*Y+yJ*X)/aF +Moz/aF A*C*E+F*H*J+ K*M*O+P*R*T B*C*D+G*H*I+ L*M*N+Q*R*S X - Y + UZ / W-Z / V-AC*W+AD*V+Z PROBLEME REZOLVATE DE MECANIC 3518-331.5057 2.2. REDUCEREA SISTEMELOR DE FORE PARALELEPROBLEME REZOLVATE 2.2.1 Se consider uncub de latur a asupra criua se apic un sistem de cinci foreparaleleverticale 5 4 3 2 1F , F , F , F , F respectivnpunctele:A1(a,0,0);A2 (0,a,0);) / a , , / a ( A ); , / a , / a ( A ); a , a , / a ( A 2 0 2 0 2 2 25 4 3(vezifig.2.2.1.a). Forele au acelai modul:F F F F F F 25 4 3 2 1= = = = = .Se cere : 1)Torsorulul de reducere n O;2)Ecuaia axei centrale; 3) Poziia centrului forelor paralele.

Rezolvare: 1) Expresiile analitice ale vectorilor i ale rezultantei acestora, sunt:

F Z ; Y X k F Rk F F F F , k F F F2 0 22 25 4 3 2 1= = = = = = = = =(a) Expresia analitic a momentului rezultant este: 5 5 4 4 3 3 2 2 1 1 0510F A O F A O F A O F A O F A O ) F ( M Mii + + + + = == . N ; aF M ; aF L j aF i aF M 00= = = = (b) 2) Ecuaia general axei centrale se scrie: = = =+ =R zay xFFx Fa Fy Fa2 2004 204 2(c) ntruct pentru toate sistemele de fore paralele avem ndeplinit condiia: 0 00 0= = M R sau , M Rsistemul se reduce la o rezultantRsituat pe axa central care este paralel cu forele (cu axa Oz). ( fig. 2.3.1.b).z F5 F2 F3 Fig. 2.2.1.a A2A3 A5 F4A4A1 F1 O yx a a a z M0R Axa central\ O R Centrul vectorilor paraleliC(a/2, a/2, 3a/2) Fig. 2.2.1.b yxP(a/2,a/2,0) aaa PROBLEME REZOLVATE DE MECANIC 36Centrul vectorilor for paraleli C (, , ) se determin cu ajutorul relaiilor: iii iiiii iiiii iiFz F,Fy F,Fx F55551551= = = = = (d) nlocuindvalorilecorespunztoare,centrulvectorilorparaleliCare coordonatele :|.|

\| = = = 232 2 232 2a,a,aCa,a,a(e) 2.2.2.Seconsideruncubde latur2aasupracriuaseapic unsistemde6forencentrele feelorcubuluidelatur2aavnd direcialuiOBi , i=1,2,3,4(fig. 2.2.2) de module: ; F F ; F F ; F F 3 23 21= = =F F ; F F ; F F 6 5 46 54= = = Se cere : 1)Torsorulul de reducere n O;2)Ecuaia axei centrale; 3)Centrul forelor paralele Rezolvare: 1) Expresiile analitice ale vectorilor paralelii ale rezultantei acestora, sunt: i i i i i i iOB vers ) cos F ( R OB vers cos F F = = (a) unde versorul direciei iOBse scrie:2 2 2) z ( ) y ( ) x (k z j y i xOBOBOB versBi Bi BiBi Bi Biiii+ ++ += =Expresia analitic a momentului rezultant este: ) OB vers A O ( F ) F ( M Mi i i iiO = ==051 2) Ecuaia axei centrale:ZyX xY NYxZ zX MXzY yZ L + =+ =+ 3) Centrul vectorilor for paralele C (, , ) se determin cu ajutorul relaiilor: iii iiiii iiiii iiFz F,Fy F,Fx F55551551= = = = = (b) z A2 F5 F2 Fig. 2.2.2 A3 A5 F6 A1 A4 F4 O y x F3 F1 A6 B1 B2 B3 B4 PROBLEME REZOLVATE DE MECANIC 37ALGORITMULDECALCULUTILIZAT PENTRU PROGRAMUL EXCELIREZULTATELEOBINUTE DATE DE INTRARE ABCDEFGHIJ Nr.x1/ay1/a z1/a F1/Fcos1 x2/ay2/a z2/a F2/Fcos2 11101-111221 KLMNOPQRSTU x3/ay3/a z3/a F3/Fcos3 x4/ay4/a z4/a F4/Fcos4 x5/a 01131211 4-11 VWXYZAAABACADAEAFAG y5/a z5/a F5/Fcos5 x6/ay6/a z6/a F6/Fcos6 xB/ayB/azB/a 01511216-1222 DATE DE IEIRE AHAIAJAKAL Fixicosi / aFFiyicosi / aFFizicosi / aFx= versOBx y=versOByA*D*E+F*I*J+K*N*O+P*S*T+U*X*Y+Z*AC*AD B*D*E+G*I*J+L*N*O+Q*S*T+V*X*Y+AA*AC*ADC*D*E+H*I*J+M*N*O+R*S*T+W*X*Y+AB*AC*ADAE/SQRT(AE^ 2+ AF^2+AG^2) AF/SQRT(AE^ 2+ AF^2+AG^2)-8-1220,57735 AMANAOAPAQAR z=versOBzR/ F = Ficosi/F X/ F = x.R /F Y/ F = y.R /F Z/ F = z.R /F MOx/aF =Z Fi yicosi/aF -y Fi zi cosi/aF AG/SQRT(AE^2+AF^2+AG^2) D*E+I*J+N*O+S*T+X*Y+AC*AD AN*AKAN*ALAN*AMAM*AI - AL*AJ 0,57735-1 -0,57735-0,57735-0,57735 -8,0829 ATAUAVAWAXAY MOy/aF =x Fi zi cosi/aF- -z Fi xi cosi/aF MOz/aF =y Fi xi cosi/aF -x Fi yi cosi/aF R.MO/a2F= (X.MOx+ Y.MOy + Z.MOz )/a2F =0(verificare) /a/a/a AK*AJ - AM*AHAL*AH - AK*AIAO*AR+AP*AT+AQ*AUAH/ANAI/ANAJ/AN 5,77352,30940812-2 S-au obinut deci urmtoarele rezultate pentruproblema 2.2.2: PROBLEME REZOLVATE DE MECANIC 381)Torsorul de reducere n O: + + = =k aF , j aF , i aF , Mj F , i F , R:309 2 773 5 083 8577 0 577 000(c) 2)Ecuaia axei centrale: F ,Fy , Fx , aF ,F ,Fx , Fz , aF ,F ,Fz , Fy , aF ,577 0577 0 577 0 309 2577 0577 0 577 0 773 5577 0577 0 577 0 083 8+ ==+ =+ (d) ntruct pentru toate sistemele de fore paralele avem: 0 00 0= = M R sau , M R sistemulsereducelaorezultantR situat pe axa central care este paralel cu forele (cu axa Oz).3)Centrul forelor paralele are coordonatele: ( ) a , a , a C a , a , a 2 12 8 2 12 8 = = = (e) PROBLEM PROPUS 2.2.3 Se consider sistem defore paralele verticale 4 3 2 1F , F , F , F care se aplicrespectiv n punctele: A1 (3a,a,0); A2 (a,2a,0); A3 (2a,-a,0); A2 (-2a,5a,0);(fig. 2.2.1.a). Forele aumodulele:F F ; F F ; F F ; F F = = = =4 3 2 19 3 5 .Se cer: 1)Torsorulul de reducere n O;2)Ecuaia axei centrale i poziia centrului forelor paralele.

Rezultate: 1)Torsorul de reducere n O: + ==j aF i aF Mk F R:8 13600 2)Ecuaia axeicentrale i centrul vectorilor paraleli: |.|

\| = = 06133461334; a ; a C ; a y ; a xz Fig. 2.2.3A1A4F2F4F1A2F3A3x O y PROBLEME REZOLVATE DE MECANIC 392.3. REDUCEREA SISTEMELOR SPAIALE DE FORE I CUPLURI. PROBLEME REZOLVATE 2.3.1Seconsideruncubrigiddelatura,asupracruiaacioneazforele: 4 3 2 1F , F , F , Fca n figura 2.3.1.a.Mrimile acestor fore sunt cunoscute:F F , F F F , F F 2 34 3 2 1= = = = . Se cer:1) Torsorul de reducere n punctul O;2) Torsorul de reducere n punctul B'; 3) Ecuaia axei centrale;4) Cu ce este echivalent sistemul?

Rezolvare: 1) Expresiile analitice ale vectorilor for se scriu astfel: ) k j i ( Fak a j a i aFO BO BF F vers F F + =+ == =331 1 1 1 F Z , Y X k F F Rk F F vers F F ; j F F vers F F ; i F F vers F Fii3 0 32414 4 4 3 3 3 2 2 2= = = = = = = = = = == (a) i expresiile analitice ale vectorilor moment: 0 2 2204 3 2 1410 0= = = = + + + + == + + + = ==N , aF M , aF L ) j i ( Fa Mk F ) k a j a ( j F k a i F ) j a i a (F C O F O O F OA F OB ) F ( M Mii(b) 2) Momentul rezultant n punctul B se calculeaz cu ajutorul relaiei: F4 Cz B F2 F3 F1 Fig. 2.3.1. a A A COO y x B a a a C Axa centrala z BR M0Fig. 2.3.1.b AAC OOy x BD(a/3, 2a/3,0) R PROBLEME REZOLVATE DE MECANIC 40) j i ( aF k F ) k a j a i a ( j aF i aF R O B M M OB2 3 2 + = + = + =(c)Ecuaia axei centrale se scrie: ZyX xY NYxZ zX MXzY yZ L + =+ =+ R z ,ay ,axFFx aF Fy aF = = =+ =323 300303 2 (d) iesteodreaptperpendicularpeplanulOxy(paralelcuaxaOz)care intersecteaz Oxy n punctul D(a/3, 2a/3, 0). 4)ntruct0 0 = = RooM sau R M R M ,sistemulsereducelaunvector unic R situatpeaxacentral.Prinurmaresistemuldefore(4 3 2 1F , F , F , F ) aplicate n A1,A2,A3,A4 este echivalent cu: a. un torsor) M , R (o aplicat n O; b. o rezultant unicRaplicat ntr-un punct oarecare de pe axa central. 2.3.2.Seconsiderparalelipipeduldreptunghicrigidculaturile:OA=3a, OC=4a,OO'=12aasupracruiaacioneazforele4 3 2 1F , F , F , F dup direciilediagonalelorABCBCOrespectivAO(fig.2.3.2.a.).Foreleau mrimile: 17 3 12 44 2 3 1F F F , F F F = = = = Se cere: 1) Torsorul de reducere n O;2) Ecuaia axei centrale;3) La ce se reduce sistemul? Rezolvare: C zAxa central\ BRM0Fig. 2.3.2.b AAC OOyxB D(3a/2, 2a, 0) C z B F1 F4 F2 F3 Fig. 2.3.2.a A A C O O yx B12a 3a 4a RPROBLEME REZOLVATE DE MECANIC 411) Expresiile analitice ale celor patru fore sunt: ) k i ( Fak a j aFB AB AF F vers F F 3 410 412 410 41 1 1 1+ =+== = (a) ) k i ( Fak a i aFB CB CF F vers F F 4 317 312 317 32 2 2 2+ =+== = ) k j ( Fak a j aFO CO CF F vers F F 3 410 412 410 43 3 3 3+ =+ == = (a) ) k i ( Fak a aiFO AO AF F vers F F 4 317 312 317 34 4 4 4+ =+ == =Expresiile rezultantei i al momentului rezultant n punctul O vor fi: F Z , Y X k F F Rii48 0 4841= = = = = =(b) ) c ( N , aF M , aF Lj aF i aF MF Fak j iF Fak j iF Fak j iF Fak j iMF OA F OC F OC F OA ) F ( M Mii0 72 9672 9612 0 30 0 312 4 00 4 04 0 30 4 012 0 40 0 3004 3 2 1 0410= = = = ++ + = + + + = = =2) Ecuaia axei centrale se scrie: FFx aF Fy aF480048 72048 96=+ =(d) arbitrar z , a y ,ax = = = 223,deciaxacentralesteparalelcuOz fiind chiar axa de simetrie a paralelipipedului, (vezi fig. 2.3.2.b). Ecuaia axei centrale sub form vectorial se scrie: ; RRM Ro += 2 sau + + + = + + ) k j i ( FaF aF aFF F Fk j iFk z j y i x 2 3 213 14 22 3 21712 Deci ecuaiile parametrice ale axei centrale se scriu: PROBLEME REZOLVATE DE MECANIC 42 + = + = = F a z ; F a y ; F a x 217223173021767(e) 3)ntructR M R M oo = 0 ,sistemulsereducelaorezultantunicRsituat pe axa central, (vezi fig. 2.1.2.b). 2.3.3.Seconsidersistemeleformatedintreifore 3 2 1F , F , F itreicupluri z y xM , M , M ceacioneazasupraunuiparalelipipedavndformai dimensiunileprecizatenfig.2.3.3;orientareaforelor 3 2 1F , F , F estedatde vectorii EF , CD , AB , iar orientarea celor trei cupluri este dup cele trei axe de coordonate (Ox, Oy, Oz). Se dau modulele acestor fore i cupluri:; aF M ; M M ; F F ; F F ; F Fz y x2 0 2 5 223 2 1= = = = = =S se determine: 1.Torsorul de reducere al sistemului, n punctul O;2.Torsorul minimal;3.Ecuaia axei centrale; Pentru creerea algoritmului de calcul n EXCEL pentru problema 2.3.3. s-au utilizat urmtoarele relaii: Expresiile analitice ale celor patru vectori: zFig. 2.3.3 C(0,a,3a)G(a,4a,2a)D(4a,4a,3a)A(4a,3a,0)Oy x B(2a,0,3a)F2F1F3MzE(a,0,2a)PROBLEME REZOLVATE DE MECANIC 43 1 1 1 3 3 2 22 2 21 1 1 1M vers M M ; EF vers F F ; CD vers F F;) z z ( ) y y ( ) x x (k ) z z ( j ) y y ( i ) x x (FABABF AB vers F FA B A B A BA B A B A B = = = + + + + = = =(a) Expresiile analitice ale momentelor celor 3 fore n raport cu O:

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )i X y Y x i Z x X z i Y z Z y F OE ) F ( Mi X y Y x i Z x X z i Y z Z y F OC ) F ( Mi X y Y x i Z x X z i Y z Z y F OA ) F ( ME E E E E E OC C C C C C OA A A A A A O3 3 3 3 3 3 3 32 2 2 2 2 2 2 21 1 1 1 1 1 1 1 + + = = + + = = + + = =(b) Componentele torsorului de reducere al sistemului n punctul O: k N j M i L M ; k Z j Y i X RO+ + = + + =(c) Componentele torsorului minimal: k ZRM Rj YRM Ri XRM RMO O Omin2 2 2++= (d) Componentele produsului vectorial : k ) YL XM ( j ) XN ZL ( i ) ZN YN ( M RO + + = (e) din ecuaia vectorial a axei centrale:( ) R R / M R k z j y i xO + = + + = 2 (f) Rezultatele calculelor conform relaiilor de mai sus sunt: 1. Torsorul de reducere n punctul O: =+ + =) k i ( aF M) k j i ( F R:OO6 43 2 2(g) 2. Torsorul minimal: =+ + =k aF , j aF , i aF , M) k j i ( F R:minmin5882 4 0588 3 0588 33 2 2(h) 3. Ecuaia axei centrale sub form parametric:F a z ; F y ; F a x + = = + = 31782 21712(i) Relaiile de mai sus se regsesc n urmtorul algoritm de calcul: ALGORITMULDECALCULUTILIZAT PENTRU PROGRAMULEXCELIREZULTATELEOBINUTEDATE DE INTRARE ABCDEFGHIJKL Nr.xA/ayA/a zA/a xB/a yB/a zB/a xC/a yC/a zC/a xD/a yD/a zD/a 1430203013102 MNOPQRSTUVXYZ PROBLEME REZOLVATE DE MECANIC 44xE/a yE/a zE/a xF/a yF/a zF/a F1/FF2/FF3/FM1/aF vers M1xvers M1yvers M1z 4431424,6904 522001 DATE DE IEIRE AAABAC (versF1)x (versF1)y (versF1)z (D1-A1)/SQRT((D1-A1)^2+ (E1-B1)^2+(F1-C1)^2) (E1-B1)/SQRT((D1-A1)^2+(E1-B1)^2+(F1-C1)^2) (F1-C1)/SQRT((D1-A1)^2+ (E1-B1)^2+(F1-C1)^2) -0,4264-0,63960,6396 AEAFAG (versF2)x (versF2)y (versF2)z (J1-G1)/SQRT((J1-G1)^2+ (K1-H1)^2+(L1-I1)^2) (K1-H1)/SQRT((J1-G1)^2+ (K1-H1)^2+(L1-I1)^2) (L1-I1)/SQRT((J1-G1)^2+ (K1-H1)^2+(L1-I1)^2) 0,80,60 AHAIAJ (versF3)x (versF3)y (versF3)z (P1-M1)/SQRT((P1-M1)^2+ (Q1-N1)^2+(R1-O1)^2) (Q1-N1)/SQRT((P1-M1)^2+ (Q1-N1)^2+(R1-O1)^2) (R1-O1)/SQRT((P1-M1)^2+ (Q1-N1)^2+(R1-O1)^2) 010 AKALAMANAOAP X/FY/FZ/FR2/F2 (MOF1/aF)x(MO F1/aF)y AA1*S1+AE1*T1+ AH1*U1 AB1*S1+AF1*T1+ AI1*U1 AC1*S1+AG1*T1+ AJ1*U1 AK^2+AL^2+ AM^2 S1(B1*AC1-C1*AB1) S1(C1*AA1-A1*AC1) 223179-12 AQARASATAUAV (MOF1/aF)Z(MO F2/aF)x(MOF2/aF)y(MO F2/aF)z(MOF3/aF)x(MO F3/aF)y S1(A1*AB1-B1*AA1) T1(H1*AG1-I1*AF1) T1(I1*AE1-G1*AG1) T1(G1*AF1-H1*AE1) U1(N1*AJ1-O1*AI1) U1(O1*AH1-M1*AJ1) -6-912-4-40 AWAXAYAZBA (MOF3/aF)z L/aF = (MO /aF)xM/aF = (MO/aF)yN/aF = (MO /aF)zR.MO/aF2 U1(M1*AI1-N1*AH1) AO1+AR1+AU1+X1*V1 AP1+AS1+AV1+Y1*V1 AQ1+AT1+AW1+ Z1*V1 AK1*AX1+AL1*AY1+AM1*AZ1 2-40-6-26 BBBCBDBEBFBG (Mmin/aF)x(Mmin/aF)y(Mmin/aF)z (2aF / M RO )x(2aF / M RO )y (2aF / M RO )zBA1*AK1/AN1 BA1*AL1/AN1BA1*AM1/AN1AL1*AZ1-AM1*AY1 AM1*AX1-AK1*AZ1 AK1*AY1-AL1*AX1 -3,0588-3,0588-4,5882-1208 PROBLEME PROPUSE PROBLEME REZOLVATE DE MECANIC 45Seconsiderunparalelipipedrigid,asupracruiaacioneazforele: 4 3 2 1F , F , F , Fca n figurile 2.3.4...2.3.10.Mrimile acestor fore sunt cunoscute.Se cer:1) Torsorul de reducere n punctul O;2) Torsorul de reducere n punctul C'; 3) Ecuaia axei centrale sub form parametric;

z O CBA 3aa a O yx CF2 F1F3 BA Fig. 2.3.5 aF M ; F F; F F ; F F: Date5 310 111 32 1= == =M1 = = = = = =4 0 328 128 4z ; y ; a x; j aF i aF M; j aF M ; k F R: zultate Re' cOz O CBA 3aa 2a O yx CF2F1 F3 BA Fig. 2.3.6 aF M ; F F; F F ; F F: Date2 210 3 141 32 1= == =a z ; a y ; x; k aF j aF i aF M; j aF M ; j F i F R: zultate Re' cO72 6 8 26 4 128 6 2= = = = = =Fig. 2.3.4 Cz B F1 F2 F3A A COO yx B 4aa 2a aF M ; F F; F F ; F F: Date10 25 2 21 21 32 1= == =M1 = = = = = =10 0 4010 4 2010 4 10z ; y ; a x; k aF j aF i aF M; k aF j aF M ; k F R: zultate Re' cOPROBLEME REZOLVATE DE MECANIC 46

Fig. 2.3.7 Cz B F1 F2 F3 A A CO Oyx B 4a a 3a = = =+ = = =6 108 125 2 188 6z ; a y ; a x; k aF j aF i aF M; j aF M ; k F R: zultate Re' cOM1aF M ; F F; F F ; F F: Date5 210 261 32 1= == = z O CBA 3aa a O yx CF2 F1F3 BA Fig. 2.3.8 M1aF M ; F F; F F ; F F: Date4 210 111 32 1= == = + = = = = = + =2 8 23 24 2a z ; a y ; a x; k aF i aF M; j aF i aF M ; k F i F R: zultate Re' cOz O CBA 3a2a 2a O yx CF2F1 F3 BA Fig. 2.3.9 M1 aF M ; F F; F F ; F F: Date2 2 213 171 32 1= == =a z ; y ; x; k aF j aF M; j aF M ; i F R: zultate Re' cO4 0 26 22 2= = = = = =zO CBA 2aa aOyx CF2 F1 F3 BA Fig. 2.3.10 M1aF M ; F F; F F ; F F: Date4 25 61 32 1= == = = = = = = =3 0 64 2 64 2 3z ; y ; a x; k aF j aF i aF M; k aF j aF M ; k F R: zultate Re' cOPROBLEME REZOLVATE DE MECANIC 47CAPITOLULIII CENTRUL MASELOR - CENTRE DE GREUTATE REZUMAT DE TEORIE Centruldegreutatepentruunsistemrigidcontinuudepunctemateriale are vectorul de poziiei coordonatele ( , , ) , date de relaiile: ( )( )dmdm rDD= ; ( )( )( )( )( )( )dmzdm,dmydm,dmxdmDDDDDD= = = Se deosebesc urmtoarele cazuri particulare: a.n cazul plcilor omogene (dm=uSdA, uS=constant), expresiile vectorului de poziie i coordonatele centrului de greutate sunt date de relaiile: ( )( )dAdA rSS= ;( )( )( )( )( )( )dAzdA,dAydA,dAxdASSSSSS= = = . b.ncazulbareloromogene(dm=ulds,ul=constant)expresiilevectoruluide poziie i coordonatele centrului de greutate sunt date de relaiile: ( )( )dsds rll= ; ( )( )( )( )( )| |dszds,dsyds,dsxdsllllll= = = Dacunsistem(continuummaterial)secompunedintr-unnumrpde subsisteme(S1),(S2),...,(Sp)avndmasele:M1,M2,...,Mpicentreledemas (C1,C2,...,Cp)avndvectoriidepoziie:1,2,2,... p,atuncivectorulde poziie al centrului de mas al corpului se determin cu relaia: ========= = = = piipii ipiipii ipiipii ipiipii iMz M,My M,Mx M;MM11111111, Dacunsistemmaterialesterezultatuleliminriidintr-unsistem(S1)de mas M1 i centru de mas C1, a unui sistem (S2) de mas M2 i centru de mas C2 , atunci vectorul de poziie al centrului de mas C este dat de:

2 12 2 1 12 12 2 1 12 12 2 1 12 12 2 1 1M Mz M z M,M My M y M,M Mx M x M;M MM M= = = = PROBLEME REZOLVATE DE MECANIC 48n tabelul urmtor sunt date formule pentru calculul centrelor de greutate ale unor corpuri omogene uzuale: Nr. crt. Tipul corpului omogen FiguraCoordonatele centrului de greutate 1Bara omogen de lungime L 02= = ;L 2Bara omogen: arc de cerc de raz R i semideschiderea 0 = = ;sinR3Plac omogen n form de sector circular de raz R i semideschiderea 032= = ;sinR4Plac omogen n form de segment de cerc de raz R i semideschiderea 0323= = cos sinsinR 5Plac omogen planan form de triunghi ;y y y;x x xD B AD B A33+ += + += 6Corp omogen conic de nlime h 430 0h; ;= = = 7Corp omogen semisferic de raz R 830 0R; ;= = = C(,) OyxABR OC(,) xyBARC(,)OyxABRC(,) OyxABDC(,,)OyxzO'RyAO xC(,) LzC(,,)OyxO'hPROBLEME REZOLVATE DE MECANIC 493.1. CENTRUL DE MAS PENTRU BARE OMOGENE PROBLEME REZOLVATE 3.1.1Seconsiderobaromogen,deforma unui crlig plan (n planul Oxy ca n fig. 3.1.1), pentrucaresecunoscdimensiuneaa,razele semicercurilor i lungimile barelor. SecercoordonatelecentruluidemasalcrliguluiC(.),nraportcusitemuldeaxe dat. Rezolvare:Crligulsecompunedinpatrusegmentede bar simple: dou segmente sub form de semicerc avnd centrele de masnotatecu C1(x1, y1 ), C3 (x3 ,y3), respectiv lungimile L1 i L3 dou segmente drepte avnd centrele de mas C2 (x2, y2), C4 (x4, y4) respectiv lungimile L2,L4. FadesitemuldeaxeOxy,coordonatelecentruluidemasC(.)al crligului, se calculeaz cu formulele : .Ly L,Lx Lii iiiii ii41414141= = ===(a) Pentru segmentul de bar (1)avem: |.|

\|+ =+ = ====aa , aa LCaa ya xasinasinR C O242422211 111 1(b) Pentru segmentul de bar (2) avem: = ==a L) a , ( C a yx42 0 2022 22(c) Pentrusegmentuldebar(3)avem: |.|

\| = =====a, aa LCaya xasinasinR C O42242422233 333 3(d) O1 C1 y a C2 O3x Fig. 3.1.1 C3C4 4a 2a O PROBLEME REZOLVATE DE MECANIC 50Pentru segmentul de bar (4) avem:x4 = 3a, y4 = 0, L4 = 2a C4 (3a, 0). (e) Se introduc valorile calculate n formulele lui i obinndu-se:||.|

\|+ + + + = = ) (a ) (, a C) (a ) (; a2 31 2 22 31 2 2(f) Acelai rezultat se obine cu ajutorul urmtorului tabel: Corpul nr. Forma corpului LixiyiLixiLiyi 1 aa 42aa+ a2(4 +2) a2 2 4a02a08a2 3 2a2a 4a 4a28a2 4 2a3a06a20 3a(+2)3a2 ( +2)2a2 (2 +1) 3.1.2Seconsideruncadruspaial formatdin4bareomogenesudatei dispuse n raport cu sistemul de axe Oxyz, ca n fig. 3.1.2. Se cunosc dimensiunea a, razele semicercurilor (lungimile barelor). Secerepoziiacentruluidemasal cadrului n raport cu sistemul de axe ales Rezolvare: Pentruarceledecercpoziiilecentrelor de mas sunt date de: =====2 2 2 2444 4 3aasinR C O ,asinasinR OC (a) O4C4 C3 C1 C2 Fig. 3.1.2 z yO x aa a yO3 C3 4aC2 2a C4 a C1 O1 2a xxxxyyyPROBLEME REZOLVATE DE MECANIC 51 Coordonatelecentrelordemasalesegmentelordebarilungimile acestora vor fi: 22 2022202024 4 2 23 3 1 1aL ;) ( a,) ( a, a C ; a L ; ,a, a C;aL ;a, ,aC ; a L ; , a ,aC=|.|

\| =|.|

\|=|.|

\| =|.|

\|(b) Pentru determinarea coordonatelor centrului de mas al cadrului spaial C (.,) aplic formulele: ii iiiii iiiii iiLz L,Ly L,Lx L414141414141= = = =====.(c) nlocuind valorile se obin coordonatele centrului de greutate :. a) (, a) (, a) ( 2 2 2 212 25+ = + + = + = (d) Acelai rezultat se obine completnd urmtorul tabel: Corp nr. Formacorpului LixiyiziLixiLiyiLizi 1 a a2 a 0 a22 a20 2 a aa2 0a2a22 0 3 a2 2a 0 2a a2 0a2 4 a2 0a( ) 2 a( ) 2 0a222( ) a222( ) a(2+) 522a ( ) + 222a a22 aC1yOz x aC2 yOz x aC3 Oyz x aC4O4 Oyz x PROBLEME REZOLVATE DE MECANIC 52S3.2. CENTRUL DE MAS PENTRU PLCI OMOGENE PROBLEME REZOLVATE 3.2.1Seconsideroplacplan omogenavndformadinfig.3.2.1.Se cunoate dimensiuneaa. Se ceres se determine poziia centrului demasC(.)alplciifade sistemuldeaxeOxyconsideratnfig. 3.2.1. RezolvarePlacaomogensecompunedin4pri simpleavndcentreledemasCi(xi,yi) i ariile Ai( i=1,2,3,4) ca n fig. 3.2.1. innd seama de relaia care d poziia centrul unui sector circular de raz R i unghi la centru2 , avem: = == =342232 2 4443324 4 2 2asina C O ;asina C O (a) CoordonatelecentruluidemasalplciifadesistemuldeaxeOxyse determin cu ajutorul relaiilor: 4 3 2 14 4 3 3 2 2 1 14 3 2 14 4 3 3 2 2 1 1A A A Ay A y A y A y A,A A A Ax A x A x A x A + += + += (b) Pentrufiecaredincelepatruplcisimple:placa1(dreptunghiul3ax2a), placa2(sectorcircularderaz3a),placa3(triunghiulax2a,carese decupeaz) i placa 4 (sector circular de raz a , care se decupeaz) avem: 21 1 16 2 3 a A ; a y ; / a x = = =4 9 4 2 4 322 2 2/ a A ; / a a y ; / a a x = + = = (c) 23 3 33 8 3 8 a A ; / a y ; / a x = = =2 3 4 221 4 4/ a A ; / a y ; a x = = =nlocuind n relaiile lui i de mai sus se obine:a) () (, a) () (20 7 370 27 220 7 332 69+ + = + = ,sau . a , ; a , 458 2 4667 1 = = (d) La acelai rezultat se ajunge completnd urmtorul tabel : y a xaaa C2 C3 O2 O4C1 C4 2a 2a Fig. 3.2.1 PROBLEME REZOLVATE DE MECANIC 53Corpul nr.FiguraAixiyiAi xi Ai yi 1 6a2 32a a9a3

2 942a 34aa 24aa+ 943 43a ( ) 9223a( )

3 a2 83a 83a 833a 833a

4 a22 2a 43a a3 233a 7 204 +a 69 32123 a 27 7063 +a 3.2.2Seconsideroplacplan omogenavndformadinfig.3.2.2. pentrucaresecunoatedimensiuneaa.Se ceres se determine poziia centrului demasC(.)alplciifade sistemul de axe Oxy considerat.

Rezolvare Coordonatelecentruluidemasalplcii fadesistemuldeaxeOxzsedetermin cu ajutorul relaiilor: 4 3 2 14 4 3 3 2 2 1 14 3 2 14 4 3 3 2 2 1 1A A A Ay A y A y A y A,A A A Ax A x A x A x A + += + += (a) innd seama de relaia care d poziia centrul unui sector circular de raz R i unghi la centru2 , avem: = == =32 164443238222324 4 2 2asina C O ;asina C O (b) aa xy C2 O2 C3 C1 O C4 O42a2a4a 4a2a Fig. S3.2.2 y 2a 3a C1 O x y 3a 3a O y x O2 C2 a 2a O x C3 O2 y a aO xC4 O4 PROBLEME REZOLVATE DE MECANIC 54Pentru placa simpl 1(dreptunghiul 6a 4a): 21 1 124 2 3 a A ; a y ; a x = = = (c) Pentru placa simpl 2 (sector circular de raz 2a): 22 2 22 3 8 4 4 a A ; / a a y ; a x = + = = (d) Pentru placa simpl 3 (triunghiul 4a a, care se decupeaz): 23 3 32 3 8 3 a A ; / a y ; / a x = = =(e) Pentru placa simpl 4 (sector circular de raz 4a, care se decupeaz): 21 4 44 3 16 3 16 6 a A ; / a y ; / a a x = = =(f) nlocuind n relaia de mai sus se obine:a , a) () (; a , a) (296 311 33 10 457 211 324 136= += = = (g) La acelai rezultat se ajunge dac se completeaz urmtorul tabel : Figura nr. FormaAixiyiAixiAi yi 1 24a23a2a72a348a3 2 2a24a 483aa+ 8a3 ( ) 81333 + a

3 2a2a3 83a 233a 1633a

4 4a2 6163aa 163a ( ) 246433 + a 6433a (222)a2 278 4833 a 80 2433+ a 4a 6a C1 O x y 4a 2a 4a O y x O4 C4 2a 4a 2a x O2 C2 y O a4a x C3y O PROBLEME REZOLVATE DE MECANIC 553.2.3Se considero plac omogen de forma unui ptrat de latur a din care sedecupeazuntriunghiisosceldenlimehcanfig.3.2.3.Seceresse determine nlimea triunghiului isoscelastfel nct centrul de mas C (. ) s coincid cu vrful triunghiului. Rezolvare: FadesistemuldeaxeOxydinfig.3.2.3, coordonatelecentrelordegreutatepentruptrat i pentru triunghi sunt:C1 (0, a/2) , C2(0,h/3) (a) iar ariile corespunztoare sunt: A1 = a2,A2 = 2ah.(b) CoordonataacentruluidegreutatedupOysedxetremincuajutorul relaiei: A Ay A y Ai= 12 2 1. (c) Condiia=hconducelaurmtoareaecuaiedegradulIInh:0 3 6 22 2= + a ah h avnd soluiile:a h,23 32 1= (e) ntructh ctgagsauagtg sin a cos g2220 (v) 12.2.SeconsidercadrulOABCdinfigura12.2.aformatdintr-untubOA nclinatcuunghiulfadeaxaderotaie,situatnplanvertical,carese rotetenjurulaxeiverticaleBCcuvitezaunghiular=constant.nacelai timp,ninteriorultubuluisedeplaseazfrfrecareunpunctmaterialM(o bil) de mas m, care este prins prin intremediul unui arc de constant elastic cdepunctulfixO;punctulmaterialpornetedinD(OD=l0=lungimeaarcului nedeformat) fr vitez iniial. Se mai cunosc lungimile: CO =a; CB=h. Se cere: 1.ssededucecuaiilemicriirelativea punctuluiMninteriorultubuluiisoluia ecuaiei difereniale respective. 2.ssedetermineforadepresiunepecareo exercitpunctulMdemasmasuprapereilor tubului. 3.SsedeterminedistanaOMpentrupoziia de repaus relativ al punctului M fa de tub D M C z1 A B a h Fig. 12.2.a OPROBLEME REZOLVATE DE MECANIC 191Rezolvare: Fa deproblema 12.1, n acest caz mai apare o for ce acioneaz asupra punctuluimaterial(fig.12.2.c)ianumeforaelasticaarculuiavnd mrimea: ) x ( c Fe 0l = , unde x este distana de la punctul M la punctul O. Sealegceledousistemedeaxecanfig.12.2.a: triedrul fix O1x1y1z1 i triedrul mobil Oxyz cu originea n punctul O astfel nct planul cadrului AABB s coincid cu planul Oxz . Vectorii , , r , roseexprimprinproieciilelorpeaxeletriedrului mobil Oxzy, astfel (fig. 12.2.b): 00= = + = = = = =&; k sin i cosk cos a i sin a CO r ; i x OM r(a) Expresiileanaliticealevitezeirelativeidetransportseexprimfade triedrul mobil Oxzy astfel (fig. 12.1.b): i xtrvr& == (b) ( ) ( ) j sin x a i x ) k sin i cos () k cos i sin ( a ) k sin i cos ( r r r r r v vt + = + ++ + = + = + = + =0 0 0& (c) Expresiileanaliticealeacceleraiilorrelativ,detransportiCoriolisntriedrul mobil Oxzy (fig. 12.1.b) sunt: ( ) ( )( ) ( )j sin x ) i x ( ) k sin i cos ( v ai sin k cos ) sin a x ( a j sin x ) k sin i cos (j a ) k sin i cos ( r r a a, i xtrar Cttr = + = = + = + ++ + = + + ===& && &2 2 22022(d) Fig. 12.2.b z x1 y1O1CyOMz1 AB xa M CatarvtvraO M z1 ABahFig. 12.2.c CF2NG1NtFy zxO1CeF PROBLEME REZOLVATE DE MECANIC 192Ecuaiafundamentaladinamiciimicriirelativeapunctuluimaterial este: C t rF F F a m + + = ,(e) undeF reprezintrezultantaforelorefectivaplicateidelegtur, tF fora complementardetransporti CF foracomplementarCoriolis.Conformfig. 12.1.c expresiile analitice ale acestor fore n proiecii pe axelesistemului mobil Oxzy, sunt: ( )( )j sin x m a m Fk cos i sin sin x a m a m Fj N k N i ) x ( c k sin g m i cos g m N N F g m Fc Ct te = = + = =+ + = + + + =&l222 1 0 2 1(f) Ecuaia fundamental a dinamicii micrii relative (e) se scrie astfel: | |k ) cos sin x m sin g m N (j ) sin x m N ( i ) x ( c sin x m cos g m i x m ++ + + =212 02 22 & l & &(f) sau n proiecii pe axe, sistemul de ecuaii scalare: ( )( ) + = = + =cos sin x a m sin g m Nsin x m N) x ( c cos mg sin sin x a m x m2120202 0 &l & & (g) Prima ecuaie a sistemului (g) reprezint o ecuaie diferenial de ordinul IIneomogen, care se scrie astfel: + + =|.|

\| sin amccos g xmcsin x2 0 2 2l& & (h) Soluia general a acestei ecuaii este egal cu suma dintre soluia general a ecuaiei omogene (xom) i o soluie particular a ecuaiei neomogene (xp): p omx x x + = (i) Se consider cele dou ipoteze posibile: a)Dac:2 2 2 2 20 = < mcsin notam ,mcsin (j) Soluia general a ecuaiei omogene (xom) se scrie sub forma: t r t rome C e C x2 12 1+ = ,(k) unde r1 i r2 sun rdcinile ecuaiei caracteristice: 02 2= + r , adic = i r,2 1, deci(k) devine: t sin A t cos A e C e C xt i t iom + = + = 2 1 2 1 Soluia particular a ecuaiei neomogene se gsete de forma: + + =2 22 0sinmcsin amc cos gxpl(l) Deci soluia general se scrie:PROBLEME REZOLVATE DE MECANIC 193 + + + + =2 22 02 1sinmcsin amc cos gt sin A t cos A xl(m) iar derivata ei se scrie: t cos A t sin A x + =2 1&(n) unde A1 i A2 sunt constante de integrare care se determin din condiiile iniiale ale problemei:pentru t=0x(0) =l0, i0 0 = ) ( x& . Se obin astfel pentruA1 i A2 valorile: == + + =0202 22 00 1Axsinmcsin amc cos gAll (o) deci ecuaia (m) a micrii se scrie:t sin x x v) t (cos x x = = + =00 01&l(p) nlocuind soluiile (n) n a doua i a treia ecuaie (f) rezult reaciunile N1 i N2 care sunt egale n modul cu forele de presiune pe care le exercit punctul M asupra pereilor tubului dup Oy i Oz. innd seama c cele dou reaciuni suntperpendiculare,foratotaldepresiuneNpecareoexercitpunctulM asupra tubului este: 2221N N N + =b)Dac 2 2 2 2 20 = > mcsin notam ,mcsin(q) Soluia general a ecuaiei omogene (xom) se scrie sub forma: t r t rome C e C x2 12 1+ = ,(r)unde r1 i r2 sunt rdcinile ecuaiei caracteristice: 02 2= r ,adic =2 1,r , deci(r) devine: t tome C e C x + =2 1 Soluia particular a ecuaiei neomogene se gsete de forma: mcsinsin amc cos gxp + + =2 22 0l(s) Deci soluia general se scrie:PROBLEME REZOLVATE DE MECANIC 194mcsinsin amc cos ge C e C xt t + + + + = 2 22 02 1l(t) iar derivata ei se scrie: t te C e C x =2 1&(u) unde C1 i C2 sunt constante de integrare care se determin din condiiile iniiale ale problemei:pentru t=0x(0) =l0, i0 0 = ) ( x& . Se obine astfel urmtorul sistem de dou ecuaii cu dou necunoscute C1 i C2: = = + + + +02 102 22 02 1C Cmcsinsin amc cos gC C ll (v) Dac se noteaz: 02 22 00xmcsinsin amc cos g= + + ll(w) se obine:202 1xC C = =, deci ecuaia micrii se scrie:(x) ( )t sh x x vt ch x x ) e e (xxt t = =+ = + + = 00 0 0 0012&l l(y) Sepoateexprimalegeademicareisubformarelaieintrevitezi deplasare innd seama de relaia matematic:12 2= x sh x ch . Relaiile (y) se mai scriu astfel: t shxv; t chxx = = +0 001l (z) Legea de micare sub forma relaiei ntre vitez i deplasare este deci: 1 120200=||.|

\|||.|

\|+xvxx l (aa) 2. nlocuind soluiile (n) n a doua i a treia ecuaie (y) rezult reaciunile N1 i N2 care sunt egale n modul cu forele de presiune pe care le exercit punctul M asupra pereilor tubului dup Oy i Oz: innd seama c cele dou reaciuni sunt perpendiculare,foratotaldepresiuneNpecareoexercitpunctulMasupra tubului este: 2221N N N + = (r) PROBLEME REZOLVATE DE MECANIC 1953. Condiiile de repaus relativ sunt date de:0 0 = = = = x v si x ar r& & & ,(ab) care introduse n ecuaiile (g) conduc la: ( ) + + ==+ + + = =sin x a m sin g m NNc sin msin a m c cos mg) OM ( xRR R2122 2200l(ac) Repausul relativ se realizeaz dac este ndeplinit condiia: 02 220ll>+ + + c sin msin a m c cos mg (ad) 12.3.SeconsidercadrulOABCdinfigura12.3.aformatdintr-untubOA nclinatcuunghiulfadeaxaderotaie,situatnplanvertical,carese rotetenjurulaxeiverticaleBCcuvitezaunghiular=constant.nacelai timp,ninteriorultubuluisedeplaseazfrfrecareunpunctmaterialM(o bil) de mas m, pornind din punctul Ofr vitez iniial. Tubul este nclinat fa de vertical cu unghiul .Se mai cunosc lungimile: CO =a; CB=h. Se cere: 1.ssededucecuaiilescalarealemicrii relative a punctului M n interiorul tubului i legea de micare. 2.ssedetermineforadepresiunepecareo exercitpunctulMdemasmasupra pereilor tubului. 3.SsedeterminepoziiapunctuluiMpentru poziia de repaus relativ fa de tub. Rezolvare: Sealegceledousistemedeaxecanfig. 12.3.a:sistemuldeaxe(triedrul,reperul)fix O1x1y1z1isistemuldeaxemobilOxyzcu originea n punctul O astfel nct planul cadrului AABB s coincid cu planul Oxz i Oy dat de regula urubului drept.Pentrustudiulmicriisepleacdelaecuaiafundamentaladinamicii micrii relative a punctului material: C t rF F F a m + + = ,(a) A M B z1 O C a h Fig. 12.3.a PROBLEME REZOLVATE DE MECANIC 196undeconform fig. 12.3.c se poate scrie: j N k N k cos g m i sin g m N N g m F2 1 2 1 + = + + = (b) rezultanta forelor efectiv aplicate i de legtur, t ta m F =fora complementar de transport (c) C Ca m F =fora complementar Coriolis. (d) AcceleraiiledetransportiCoriolisfadetriedrulmobilOxzy(fig. 12.3.b) sunt: ( )j cos x ) i x ( ) k cos i sin ( v ak sin i cos ) cos x a ( a ar Ct t = = = = =& & 2 2 22(d) Rezult expresiile analitice ale forelor complementare ( )j cos x m a m Fk sin i cos ) cos x a ( m a m FC Ct t = = + = =& 22(e) Ecuaia fundamental a dinamicii micrii relative (e) se scrie astfel: ( ) j cos x m k sin i cos ) cos x a ( mj N k N k cos g m i sin g m i x m + + ++ + =&& &222 1 (f) sau n proiecii pe axe, sistemul de ecuaii scalare: + + = + = =sin ) cos x a ( m cos g m Ncos x m Ncos ) cos x a ( m sin g m x m212202 0 && & (g) Prima ecuaie a sistemului (g) reprezint o ecuaie diferenial de ordinul IIneomogen, care se scrie astfel: = cos a sin g x cos x2 2 2& & (h) Fig. 12.3.b zx1 y1O1ByA Mz1 OC x a M CatarvtvraOM z1 A CahFig. 12.3.c CF2NG1NtFyzx O1B PROBLEME REZOLVATE DE MECANIC 197Soluiageneralaacesteiecuaiiesteegalcusumadintresoluia generalaecuaieiomogene(xom)iosoluieparticularaecuaieineomogene (xp): + = + = 2 222 1coscos a sin ge C e C x x xcos t cos tp om(i) Derivata soluiei generale se scrie:( ) =cos t cos te C e C cos x2 1&(j) unde C1 i C2 sunt constante de integrare care se determin din condiiile iniiale ale problemei:pentru t=0x(0) =0, i0 0 = ) ( x& . Se obine astfel urmtorul sistem de dou ecuaii cu dou necunoscute C1 i C2: = = +02 12 222 1C Ccoscos a sin gC C (k) Dac se noteaz: 0 2 22xcoscos a sin g= (l) se obine:202 1xC C = =, deci ecuaia micrii se scrie:(m) | |) cos t ( sh cos x ) e e ( cosxx v) cos t ( ch x ) e e (xxcos t cos tt cos t cos t = = = = + = 000021 22& (n) Sepoateexprimalegeademicareisubformauneiecuaiivitez- deplasare innd seama de relaia matematic:12 2= x sh x ch . Relaiile (n) se mai scriu astfel: ) sin t ( shcos xv) cos t ( chxx = = +001 (o) Legea de micare sub forma relaiei ntre vitez i deplasare este deci: 1 12020=||.|

\| ||.|

\|+cos xvxx(p) 2.nlocuindsoluiile(n)nadouaiatreiaecuaie(f)rezultreaciunile N1i N2 care sunt egale n modul cu forele de presiune pe care le exercit punctul M asupra pereilor tubului dup Oy i Oz: | |) cos t ( sh x cos m cos x m Nsin ) ) cos t ( ch x cos a ( m cos g m N = = + =02 220212 21&(q) ForatotaldepresiuneNpecareoexercitpunctulMasupratubului este:2221N N N + = (r) PROBLEME REZOLVATE DE MECANIC 1984.Condiia de repaus relativ este dat de:0 0 = = = = x v si x ar r& & & ,x=xR (s) care introduse n ecuaiile (g) conduc la:

+ + = = =sin ) cos x a ( m cos g m NNcos ) cos x a ( m sin g mRR2122000(t) Din prima ecuaie rezult poziia de repaus relativ a punctului fa de tub: + =2 22coscos a sin gxR (u) repaus relativ care se realizeaz dac este ndeplinit condiia: > < > + tgagsaugatg cos a sin g2220 (v) 12.4. Se consider cadrul ABBA format dintr-un tub situat n plan vertical de formasemicircularcanfigura12.4,careserotetecuvitezaunghiularconstant . n acelai timp, n interiorul tubului se deplaseaz fr frecare un punctmaterialdemasm,porninddinpunctulAcuviteziniial.Semai cunosc lungimile: AA =a;AB=h. Se cere: 1.ssededucecuaiilemicriirelativea punctuluininteriorultubuluipecele dou poriuni AB i BB 2.ssedetermineforapecareoexercit punctulmaterialdemasmasupra peretelui tubului pe cele dou poriuni . Rezolvare: a. Micarea pe AB Seconsiderceledousistemedeaxeca nfig.12.4.a:sistemuldeaxe(triedrul, reperul) fix O1x1y1z1 i sistemul de axe mobil Oxyzcuorigineanacelaipunctdepeaxa derotaieastfelnctplanulcadrului ABBA s coincid cu planul Oxz i Oy dat de regula urubului drept.Seexprimvectorii , , r , roprinproieciilelorfadetriedrulmobil Oxzy astfel (fig. 12.4.a): A M A z1 BBa R Fig. 12.4 v0 PROBLEME REZOLVATE DE MECANIC 199000= = = = = =&; kr ; i x OM r(a) VitezarelatividetransportseexprimfadetriedrulmobilOxzy astfel (fig. 12.4.a): i xtrvr& == (b) ( ) j x i x ) k ( r v vt = = + =0 Acceleraiilerelativ,detransportiCoriolisseexprimfadetriedrul mobil Oxzy astfel (fig. 12.4.a): ( )( ) ( ) j x i x k v ai x ) j x ( ) k ( r r a a, i xtrar Ctr = = = = = + + ===& && &2 2 22022(c) Expresiile analitice (n raport cu sistemul de axe mobil Oxzy) ale forelor exterioare(directaplicateidelegtur)iaforelorcomplementare(de transport i Coriolis) conform fig. 12.3.b sunt j x m a m Fi x m a m Fj N k N k g m N N g m Fc Ct ty z y z = = = =+ + = + + =& 22 (d) Ecuaia fundamental a dinamicii micrii relative a punctului material:C t rF F F a m + + = ,se scrie analitic astfel:(e) k ) g m N ( j ) x m N ( i x m i x mz y + + = & & & 22 (f) AO M A z1z B B R Fig. 12.4.a tay xCarvtv AOMAz1zB B R Fig. 12.4.b y x CFyNGzNtFPROBLEME REZOLVATE DE MECANIC 200sau n proiecii pe axele triedrului mobil: = = =g m Nx m Nx m x mzy02 02&& & (g) Prima ecuaie (g) se mai scrie:02= x x& & (h) i are soluia de forma:t te C e C x + =2 1 , (i) respectiv derivata: ( )t te C e C x =2 1&(j) unde C1 i C2 sunt constante de integrare care se determin din condiiile iniialealeproblemei:x(0)=0,i 00 v ) ( x = & .Seobineastfelurmtorul sistem de dou ecuaii cu dou necunoscute C1 i C2: = = +02 12 10vC CC C (k) se obine:= =202 1vC C, deci ecuaia micrii se scrie:) t ( ch v x) t ( shv) e e (vxt t = = = 00 02&(l) Sepoateexprimalegeademicareisubformavitezfunciedespaiu innd seama de relaia matematic evident:12 2= x sh x ch : 12020=||.|

\| ||.|

\|vxvx& (m) sau sub forma: 1200+||.|

\| = =vxv x ) x ( v &(n) n punctul B viteza va fi:1200+||.|

\| =vav vB(o) Din ultimele dou ecuaii (g) rezult reaciunile Ny i Nz: g m N ;vav m x m Nz y= +||.|

\| = = 1 0 2 220& (p) b. Micarea pe BB Seconsiderceledousistemedeaxecanfig.12.4.c:sistemuldeaxe (triedrul,reperul)fixO1x1y1z1isistemuldeaxemobilOxyzcuoriginean acelaipunctdepeaxaderotaieastfelnctplanulcadruluiABBAs coincid cu planul Oxz i Oy dat de regula urubului drept.PROBLEME REZOLVATE DE MECANIC 201Seexprimvectorii , , r , roprinproieciilelorfadetriedrulmobil Oxzy astfel (fig. 12.4.a): 00 10= = = = + + = =&; kr ; k ) cos ( R i ) sin R a ( OM r(q) VitezarelatividetransportseexprimfadetriedrulmobilOxzy astfel (fig. 12.4.a): = + ==& & &R k sin R i cos Rtrvr (r) ( ) j ) sin R a ( k ) cos ( R i ) sin R a ( ) k ( r v vt + = + + = + = 10 SeobservcvitezadetransportestenacelaisenscuaxaOy,fiind proporional cu distana pn la axa de rotaie: + = = sin R a ' MM d . Acceleraiilerelativ,detransportiCoriolisseexprimfadetriedrul mobil Oxzy astfel (fig. 12.4.a): ( ) ( )( ) | |( ) ( ) j cos R k sin R i cos R k v ai ) sin R a ( j ) sin R a ( ) k ( r r a ak cos R sin R i sin R cos Rtrar Ctr = + = = + = + = + + = + + ==& & && & & & & &2 2 2202 222(s) Expresiile analitice (n raport cu sistemul de axe mobil Oxzy) ale forelor exterioare(directaplicateidelegtur)iaforelorcomplementare(de transport i Coriolis) conform fig. 12.4.d sunt j cos R m a m Fi ) sin R a ( m a m Fj N k cos N i sin N k g m N N g m FC Ct t = = + = =+ + = + + =&222 1 1 2 1(t) AOM Az1zBB R Fig. 12.4.d y x CF 1N G2N tF AO M A z1z B B R Fig. 12.4.c tay xCarvtv rararC M MC PROBLEME REZOLVATE DE MECANIC 202Ecuaia fundamental a dinamicii micrii relative a punctului material:C t rF F F a m + + = ,(u)se scrie analitic astfel: ( ) ( )j cos R m i ) sin R a ( m j N k cos Ni sin N k g m k cos R sin R m i sin R cos R m + + + ++ = + + && & & & & &222 112 2 (w) sau n proiecii pe axele triedrului mobil: ( )( ) + = + = + + = cos N g m cos R sin R mcos R m N) sin R a ( m sin N sin R cos R m1222122 0& & &&& & &(x) Dac se multiplic prima ecuaie (x) cu cos i a treia cu sin i se adun membru cu membru se obine ecuaia diferenial: ( ) + = + = + sin g cos ) sin R a ( Rsau , sin mg cos ) sin R a ( m sin cos mR22 2 2& && &(y) Multiplicndecuaia(y)cu:dt d = &iintegrndseobineoprim form integrala soluiei: C cos g cos R sin aRd sin g d cos ) sin R a ( dt R+ + = + = 24122 222&& & &(z) Constanta de integrare se obine din condiiile iniiale:1 0200+||.|

\| = = = vav R vB& (aa) Se obine astfel legea de micare sub forma: ) cos ( Rg sin R sin a R v R ) ( vB + + = = 1 2 22 2 2 2 2& (ab) Viteza n punctul B se obine din relaia (ab) n care =1800: Rg v vB ' B42 = (ac) Pentru ca punctul s ajung n B trebuie ndeplinit condiia: ( )( )20202244 4 + a Rg v : sauRg v a sau Rg vB(ad) PROBLEME REZOLVATE DE MECANIC 20312.5.SeconsidercadrulAABBdinfigura12.5formatdintr-untubAB nclinatcuunghiulfadeaxaderotaie,situatnplanvertical,carese rotetecuvitezaunghiularconstant.nacelaitimp,ninteriorultubului se deplaseaz fr frecare un punct material de mas m, pornind din punctul A fr vitez iniial. Se mai cunosc lungimile: AA =a;AB=h. Se cere: 1.ssededucecuaiilemicriirelativea punctului n interiorul tubului 2.ssedeterminevitezaabsolutn momentul prsirii tubului (n punctul B); 3.ssedetermineforapecareoexercit punctul material de mas m asupra peretelui tubului. Rezolvare: Seconsiderceledousistemedeaxecan fig. 12.5.a: sistemul de axe (triedrul, reperul) fix O1x1y1z1isistemuldeaxemobilOxyzcu origineanacelaipunctdepeaxaderotaie astfelnctplanulcadruluiAABBscoincid cuplanulOxziOydatderegulaurubului drept.Seexprimvectorii , , r , roprinproieciilelorfadetriedrulmobil Oxzy astfel (fig. 12.5.a): 000= = + = = = =&; k sin i cosr ; i x OM r(a) VitezarelatividetransportseexprimfadetriedrulmobilOxzy astfel (fig. 12.5.a): i xtrvr& == (b) ( ) j sin x i x ) k sin i cos ( r v vt = + = + =0 Acceleraiilerelativ,detransportiCoriolisseexprimfadetriedrul mobil Oxzy astfel (fig. 12.5.a): ( )j sin x ) i x ( ) k sin i cos ( v ak cos sin x i sin x a) j sin x ( ) k sin i cos ( r r a a, i xtrar Cttr = + = = = + = + + ===& && &2 2 22 2 2022(c) A MA z1 B B a h Fig. 12.5 PROBLEME REZOLVATE DE MECANIC 204 Expresiile analitice (n raport cu sistemul de axe mobil Oxzy) ale forelor exterioare(directaplicateidelegtur)iaforelorcomplementare(de transport i Coriolis) conform fig. 12.5.b sunt j sin x m a m Fk cos sin x m i sin x m a m Fj N k N k sin g m i cos g m N N g m Fc Ct ty z y z = = + = =+ + = + + =& 22 2 2(d) Ecuaia fundamental a dinamicii micrii relative a punctului material:C t rF F F a m + + = ,se scrie analitic astfel:(e) k ) cos sin x m sin g m N (j ) sin x m N ( i ) sin x m cos g m ( i x mzy + ++ + + =22 22 & & & (f) sau n proiecii pe axele triedrului mobil: + = = + =cos sin x m sin g m Nsin x m Ncos mg sin x m x mzy22 202 0 && & (g) Prima ecuaie (g) se mai scrie: = cos g x sin x2 2& & (h) A M Az1 BBa hFig. 12.5.b CFyNGzNtFyzxO1OFig. 12.5.a zO1O yAMA z1 BB xa M CatarvtvPROBLEME REZOLVATE DE MECANIC 205i are soluia de forma: + = 2 22 1sincos ge C e C xt sin t sin , (i) respectiv derivata:( )t sin t sine C e C sin x =2 1&(j) unde C1 i C2 sunt constante de integrare care se determin din condiiile iniiale ale problemei: x(0) =a/sin, i0 0 = ) ( x& . Se obine astfel urmtorul sistem de dou ecuaii cu dou necunoscute C1 i C2: = += +02 12 22 1C Csincos gsinaC C (k) Dac se noteaz: 02 2xsincos gsina= +(l) se obine:202 1xC C = =, deci ecuaia micrii se scrie:(m) ) t sin ( sh sin x xsincos g) t sin ( ch x xsincos g) e e (xxt sin t sin = = + = 02 202 202&(n) Sepoateexprimalegeademicareisubformavitezfunciedespaiu inndseamaderelaiamatematicevident:12 2= x sh x ch ;relaiile(n)se scriu astfel: ) t sin ( shsin xx) t sin ( chsin xcos gxx = = +02020& (o) rezult deci legea de micare sub forma: 12022020=||.|

\| ||.|

\| +sin xxsin xcos gxx &(p) sau sub forma: 1220200||.|

\| + = =sin xcos gxxsin x x ) x ( v &(q) 2. Viteza cu care punctul material prsete tubul se obine innd seama c cele dou viteze (relaliv i de transport) sunt perpendiculare (conform relaiilor b): 2 2tB rB Bv v v + = (r) unde: PROBLEME REZOLVATE DE MECANIC 206 viteza relativ: 1220200||.|

\| + = =sin xcos gxxsin x x vBB rB& (s) viteza de transport: = sin x vB tB(t) unde : +=coshsinaxB(u) 3.Dinadouaiatreiaecuaie(f)rezultreaciunileN1iN2alepunctului materialasuprapereteluitubuluicaresuntegalecamrimecureaciunileNzi Nyce acioneaz asupra punctului: = = = =cos sin x m sin g m N Nsin x m N Nzy2122 &(v) innd seama c cele dou reaciuni sunt perpendiculare, reaciunea total N asupra tubului este: ( )2 222 22214 x cos x g sin m N N N & + = + = (w) PROBLEM PROPUS 12.6.SeconsidercadrulAABBdinfigura12.6formatdintr-untubAB nclinatcuunghiulfadeaxaderotaie,situatnplanvertical,carese rotetecuvitezaunghiularconstant.nacelaitimp,ninteriorultubului se deplaseaz fr frecare un punct material M de mas m, pornind din punctul O cu viteza iniial v0. Se mai cunosc lungimile: AA =a;AB=h. Se cere: 1. s se deduc ecuaiile micrii relative a punctului n interiorul tubului 2. s se determine fora pe care o exercit punctulmaterialdemasmasupra peretelui tubului. 3.ssedeterminepoziiaderepaus relativiforapecareoexercitpunctul materialdemasmasupraperetelui tubului n acest poziie A M B z1 O C a h Fig. 12.6 PROBLEME REZOLVATE DE MECANIC 207CAPITOLUL XIII DINAMICA RIGIDULUI I ASISTEMELOR DE RIGIDE PROBLEME REZOLVATE 13.1.Seconsidervolantuldinfiguraalturatcareserotetecuturaia | | min / rot n0 n jurul unei axe perpendiculare pe planul su (xOy), ce trece prin O. Volantul are razaR,greutatea Gi momentul de inerie n raport cu axa de rotaie (Oz) J0 . Se frneaz volantul cu ajutorul a doi saboi apsai fiecare cu fora radial P (fig. 13.1). Coeficientul de frecare, de alunecare dintre volanti saboiesteu .SeceressecalculezenumruldeturecompleteN1pecare-l efectueaz volantul pn la oprire. Rezolvare Seizoleazvolantul,sefigureaztoateforelecareacioneaz(forele efectivaplicateidelegtur)iseaplicteoremamomentuluicineticfade axa de rotaie Oz: ( )iniozF M J== 10 & & (a) care, n cazul de fa se transcrie astfel: ) t tan cons (JR PR P J= u = u = 0022& && &(b) Integrnd succesiv de dou ori avem: 2 120102C t C tJPR, C tJPR+ +u = +u = &Constantele de integrare C1 i C2 sedetermin din condiiile iniiale: ( )( )=== = = =0303000 0020100CnCnt&(c) Se obin legile de micare pentru viteza unghiular i unghiul de rotaie: tntJPRntJPR303020 2000+u = +u = (d) Pentru oprire se pune condiia =0 i se calculeaz timpul t1 necesar pn la oprire din relaia (d): Fig. 13.1.a J0 R O G V H TPTPFig. 13.1. J0 R O G n0 P PPROBLEME REZOLVATE DE MECANIC 208 00101060 3020 JPRntntJPRu= +u =Pn la oprire volantul se rotete cu unghiul PRJ ntntJPRu=+u = 3600 30020210 2101(e) Numrul de ture pn la oprire va fi deci partea ntreag a valorii: PRJ nNu==7200 20 0 11(f) Observaie:ncazulvolantuluisubformaunuidiscomogensepoate nlocui momentul de inerie cu:. RgG R MJ2202 2== 13.2.SeconsiderundiscomogenderazRi greutate G avnd nfurat pe circumferinasaunfirfixatnpunctulA(fig.13.2).Disculestelsatscad liber pe vertical plecnd din repaus .Se cer legea de micare i tensiunea din fir. Rezolvare Se aplic teorema de variaie a energiei cineticepentru intervalul de timp (t0, t1): E1 - E0 = L0-1(a) unde:E0 = 0, deoarece v0 = 0 i 2122 22 2 21432 21212121cc cz cvgGERv RgGvgGJ Mv E= + = + = Lucrul mecanic efectuat asupra discului pentruacelai interval de timp este L0-1 = Gh,h fiind deplasarea greutii G aplicat n centrul discului Difereniind relaiile anterioare avem: c c ccc ca v , v h undedt Gv dLdt a vgGdE= ===& &&23(b) Din teorema energiei scris sub forma diferenialdE = dL se obine aceleraia centrului discului: g ac32= (c) Aplicnd teorema impulsului n proiecii pe vertical: Y agGsau Y Mac c= = (d) Fig. 13.2.a SJ0 R vC C G IFig. 13.2 J0 R C G A PROBLEME REZOLVATE DE MECANIC 209unde :Y reprezint suma proieciilor pe vertical (pe axa Cy) a tuturor forelor Prin urmare din (d)putem deduce tensiunea din fir S: 3GS S G agGc= = (e) Observaie:Aceleairezultateseobindacsefoloseteteorema momentului cinetic scris succesiv, fa de centrul instantaneu de rotaie I i fa de centrul discului C avem: ( )( ) R SRgGF M JR GRgGF M JiiCz CziniIz Iz = = = = =& & & && & & &223221 innd seama cRac= = & &se obin relaiile (c) i (e). 13.3. Se consider bara OA de lungime 2a i greutate G articulat n Odin fig. 13.3,care se afl la momentul iniial n repaus n poziie orizontal, de unde i seddrumulfrviteziniial.ArticulaiaOestefrfrecare.Seceresse determinevitezaunghiulariunghiulformatdereaciuneatotaldinO Rleg iaxalongitudinal a barei. Rezolvare MetodaI. Se ale un sistem de axe fix cu axaO1z1scoincidcuaxaderotaiaa bareiiacelaisenscuvitezaunghiular i un sistem de axe mobil cu axa Ox s coincidcuaxalongitudinalabareiiar OzscoincidcuaxaO1z1(fig13.3.a). Vitezaunghiularrezultdinteortema momentului cinetic scris sub forma: = == = cos Ga M iar ,gG aJ: undeM J : sau M Jz zz z z z342& & (a) Deciteoremamomentuluicineticdevine: = = cosagcos GagG a43342& & & & (b) OO1 Fig. 13.3 y1 x1A G x y A0 C OO1 Fig. 13.3.a y1 x1 A G x y A0 C Yleg Xleg Rleg PROBLEME REZOLVATE DE MECANIC 210Dac se multiplic ecuaia (b) cu :dt d = &i se integreaz se obine:C sinagd cosagdt + = = 432 432&& & & (c) Constanta de integrare C se determin din condiiile iniiale0 0 = = &care conduce la C=0. Deci viteza unghiular este: = = sinag23& (d) MetodaaII-a.Sepoatedeterminavitezaunghilarfolosindteoremade variaie a energiei cinetice sub forma:E1-E0=L0-1 (e) unde E0=0 este energia cinetic la momentul iniial,iar 20 121 = J E , este energia cinetic la un moment oarecare t.gG aJ3420 = estemomentuldeineriemecanicalbareifadeaxade rotaie ce trece prin O; =sin Ga L1 0, este lucrul mecanic al forei de greutate a barei. nlocuind aceste valori se obine acelai rezultat (d): = sinag23 Pentru poziia vertical a barei se obine viteza unghiular (maxim): ag23= (f) 2.Pentrudeterminareareaciunii legR sefoloseteteoremaimpulsului scris sub forma teoremei micrii centrului de mas C, adic: leg aR R M + = 1& &(g) care proiectat pe axele sistemului fix O1x1y1 se obine: = = = = G YgGXgGG Y MX Mlegleglegleg1111& && && && &(h) Unde 1 1 si suntcoordonatelepunctuluiC.Acesteaiderivatele corespunztoare se scriu astfel: = = = = = = sin a cos acos a sin acos asin asin acos a21211111& & & & && & && && &&&(i) PROBLEME REZOLVATE DE MECANIC 211innd seama de relaia (b) a lui& & i (d) a vitezei unghiulare& , ultimele relaii (i) devin: = = ) sin ( gsin g2113 143289& && &(j) astfel nct relaiile (h) devin:

+ = =) sin ( G Ysin G Xlegleg23 1431289(j) Se obine n final unghiul cutat (fig.13.3.a): += 2893 14312sin) sin (tg (k) Pentru dou poziii particulare ale barei date de =0 i =900 se obine: === == = 2502400GYX;GYXlegleglegleg(l) 13.4. Se consider bara AB de lungime 2li greutate G din fig. 13.4.a,care sedeplaseaz fr frecare sprijinindu-se cu extremitile ei pe un perete vertical i pe o suprafa orizontal. Bara se afl la momentul iniial n repaus fcnd cu direcia vertical unghiul 0de unde i se d drumul fr vitez iniial.Seceressedeterminelegeademicareiforeledelegturcuceledou suprafee. Rezolvare Metoda I . Pentru determinarea micrii i a forelor de legtur se alege sistemul de referinfixO1x1y1nplanulverticalal micrii (fig 13.4.b) i se aplic teoremele impulsuluiimomentuluicineticfade centrul maselor) , ( C1 1 : C CM K si R M = = && &1(a) unde( ) = =& &l& &&1222gGJ KCz C(b) Fig. 13.4.a A G CB 0 PROBLEME REZOLVATE DE MECANIC 212 n proiecii pe axele sistemuluide coordonate aceste relaii se scriu: = = G NgGNgGAB11& && &(c) respectiv: = cos N sin NgGB Al l& &l32(d) Coordonatelecentruluidemasiderivatelecorespunztoaresescriu astfel: = = = = = = cos sinsin cossincoscossin21211111&l& &l & &&l& &l& &&l &&l&ll(e) Introducnd aceste rezultate n relaiile (c) se obine: ( )( )+ = + = ABN G cos singGN sin cosgG22& & &l& & &l(f) Introducnd aceste rezultate n relaiile (d) se obine ecuaia diferenial a micrii: = singl& &43 (g) Dac se multiplic ecuaia (g) cu :dt d = & i se integreaz se obine:C cosgd singdt + = = l&l& & &432 432(h) Constanta de integrare C se determin din condiiile iniiale: 0 00= = =&si t , care conduce la 043 = cosgCl. (i) Deci legea de micare este: ( ) = cos cosg0223l&(j) ForeledelegturNAiNBseobinnlocuindnrelaiile(f) 2 & & &siobinute n relaiile (g) i (j): y1 x1Fig. 13.4.b A G CB O1 NANB y1x1Fig. 13.4.c A0 GCB0O1I B C Gh0h APROBLEME REZOLVATE DE MECANIC 213( )( )|.|

\| =|.|

\| =cos cos cos sin sin G Nsin cos cos cos sin G NAB00234312343(k)

MetodaaII-a.Sepoatedeterminavitezaunghilarfolosindteoremade variaie a energiei cinetice sub forma:E1-E0=L0-1 (l) unde E