Probleme de zica modernaEmil Petrescu Daniela Buzatu30 ianuarie 2005Cuprins1 ORIGINILE FIZICII CUANTICE 31.1 Energia si impulsul fotonului . . . . . . . . . 31.2 Radiat ia termica . . . . . . . . . . . . . . . . . 101.3 Efect fotoelectric . . . . . . . . . . . . . . . . . 181.4 Efect Compton . . . . . . . . . . . . . . . . . . 251.5 Comportarea ondulatorie a microparticulelor 311.6 Relat iile de incertitudine . . . . . . . . . . . . 391.7 Modelul Bohr . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 432 FIZICA CUANTICA 552.1 Operatori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 552.2 Ecuat ia Schr odinger . . . . . . . . . . . . . . . 752.3 Oscilatorul cuantic . . . . . . . . . . . . . . . . 1632.4 Modelul vectorial al atomului . . . . . . . . . 1873 FIZICA SOLIDULUI 1953.1 Vibrat iile ret elei cristaline . . . . . . . . . . . 1953.2 Statistica purtatorilor de sarcina n metalesi semiconductori . . . . . . . . . . . . . . . . . 2113.3 Fenomene de transport . . . . . . . . . . . . . 2283.4 Proprietat i magnetice . . . . . . . . . . . . . . 2361CUPRINS 24 FIZICA NUCLEARA 2564.1 Structura nucleului . . . . . . . . . . . . . . . 2564.2 React ii nucleare . . . . . . . . . . . . . . . . . 2774.3 Radioactivitate . . . . . . . . . . . . . . . . . . 294Capitolul 1ORIGINILE FIZICIICUANTICE1.1 Energia si impulsul fotonului1.1.1 Sa se determine energia si impulsul unui foton a carui lun-gime de unda corespunde :a. domeniului vizibil al spectrului ( = 0, 6 m)

b. radiat iei X cu ungimea de unda de 0, 1 nmc. radiat iei cu lunimea de unda de 0, 001 nmSolut ieUtilizam formulele:E = h = hcp = h3CAPITOLUL 1. ORIGINILE FIZICII CUANTICE 4Rezuta cee trei cazuri:E = 2, 07 eV p = 1, 1 1027kg m/sE = 12, 4 keV p = 6, 62 1024kg m/sE = 1, 24 MeV p = 6, 62 1022kg m/s1.1.2 Sa se cacueze frecvet a uei radiat ii moocromatice acarei putere este egaa cu P = 3 102W si corespude a 1014fotoi /secuda.Sout ieEergia uui foto este h. Puterea este P = Nh. Rezuta: = PNh = 3 10210146, 626 1034 = 4, 53 1017Hz1.1.3 Sa se determie presiuea exercitata de o radiat ie eectromagetica cu itesitatea I, masurat a J/m2s ce cade ormape o suprafat a care o absoarbe totaitate.Sout ieVom determia egatura ditre itesitatea radiat iei I si co

cetrat ia de fotoi di uxu umios. Cosideram u ciidruCAPITOLUL 1. ORIGINILE FIZICII CUANTICE 5t cDcSFig. 1.1cu ugimea ct si sect iuea S cetru uxuui umios (veziFig. 1.1).Numaru de fotoi care trec timpu t pri S este ega cuum aru de fotoi di ciidru cosiderat:

N = SctEergia ce strabate sect iuea S itervau t este:E = Nh = ScthAtuci itesitatea I va :I = ESt = chAstfe: = IchVariat ia impusuui uui foto ce este absorbit pe suprafat aS este h/. Atuci, itervau de timp t variat ia impusuuituturor fotoior ce sut absorbit i de suprafat a S este:P = Nh = ScthCAPITOLUL 1. ORIGINILE FIZICII CUANTICE 6Fort a exercitata de acesti fotoi pe suprafat a S este:F = Pt = SchPresiuea exercitata de fotoi este:p = FS = ch = Ic1.1.4 Sa se determie presiuea exercitata de o radiat ie eectromagetica cu itesitatea I ce cade orma pe o suprafat acare o reecta totaitate.Sout ieI acest caz variat ia impusuui uui foto este egaa cu 2h/datorita faptuui ca fotou este reectat cu 180o. Atuci:p = 2Ic1.1.5 Sa se determie presiuea exercitata de o radiat ie eectromagetica cu itesitatea I care cade pe o suprafat a care arecoecietu de reexie .Sout ieAceasta nseamna ca presiunea este determinata n doua mo-duri:CAPITOLUL 1. ORIGINILE FIZICII CUANTICE 7a. de fotonii care se reecta si care reprezint a fract ia dintotaitatea fotonior. Astfe presiunea exercitata de acesti fotoni

este:p1 = 2Icb. de fotonii care sunt absorbit i si care reprezinta o fract ie(1 ) din totaitatea fotonior. Presiunea exercitata de acestifotoni este:p2 = (1 )IcRezuta presiunea totaa:p = p1 +p2 = (1 + )Ic1.1.6 Un fascicu parae de umina av and intensitatea I se re-ecta pe o suprafat a pana care are coecientu de reexie . Sase cacueze presiunea normaa exercitata de fascicu pe aceastasuprafat a daca ungiu dintre normaa a suprafat a si direct iafascicuuui este .Solut ieVitez norml pe suprft este c cos . Atunci numrul defotoni ce cd pe suprft S n timpul t este:N

= Sc cos tCAPITOLUL 1. ORIGINILE FIZICII CUANTICE 8Daca fotou este absorbit, atuci variat ia impusuui pe direct iaormaa este h cos , ir dc fotonul este reectt pe suprft S tunci vrit i impulsului este 2h cos . Vrit i totl im-pulsului fotonilor cre se reect este:P = N

2 cos = 2nSc

t cos2Fort exercitt pe suprft S v :F = Pt = 2nSc

cos2Presiune exercitt de fotonii reectt i v ve expresi:p1 = FS = 2nc

cos2 = 2Ic cos2In mod nlog se obt ine si expresi pentru presiune exerci-tt de fotonii bsorbit i:p2 = (1 )Ic cos2ir presiune totl v :p = p1 +p2 = (1 + )Ic cos21.1.7 S se rte, pe bz teoriei corpusculre, c pentru rdit itermic de echilibru este vlbil relt i: p = w/3 (p este pre-siune rdit iei ir w este densitte volumic de energie).CAPITOLUL 1. ORIGINILE FIZICII CUANTICE 9W dqq cos ccFig. 1.2Solut ieConsiderm rdit i dintr-o incint pe peret ii crei rdit ise reect ( = 1) (vezi Fig. 1.2). Numaru de fotoni care cadpe unitartea de suprafat a n timpu dt este:dn(c cos )d

4dtundedn = dwhreprezit a cocetrat ia fotoior cu frecvet a cuprisa itervau (, +d), iar dw este desitatea spectraa de eergie, adicaeergia fotoior cu frecvet a itervau (, + d). Deoarece variat ia impusuui uui foto ce se reecta este 2h cos ,atuci variat ia impusuui tuturor fotoior ce cad pe uitateade suprafat a timpu dt va :dP = dwh c cos d4dt2h cos CAPITOLUL 1. ORIGINILE FIZICII CUANTICE 10Presiuea devie:dp = 2dwcos24 sin ddPentru a determina resiunea nala (totala) se face intera-rea dua toate frecvent ele. Deoarece se considera doar articu-lele care se ndreat a sre surafat a resectiva interarea dua se face ntre limitele 0 si , iar interarea dua se face ntrelimitele 0 si 2: = 2_ 0dw14_ 0cos2 sin d_

2odRezulta: = w31.2 Radiat ia termica1.2.1 Se considera doua surse (cor neru) de radiat ie termica.Una din ele are temeratura T1 = 2500 K. Sa se determine tem-eratura celeilalte surse daca lunimea de unda coresunzatoaremaximului uterii de emisie este cu = 0, 5 m mai mare caungimea e una corespunzatoare maximuui sursei primare. Secunoaste constanta ui Wien A = 0, 2898 102mK.Sout ieSe pun conit iie:T1 = ( +)T2 = ACAPITOLUL 1. ORIGINILE FIZICII CUANTICE 11Din cee oua egaitat i rezuta:_AT1+_T2 = AsiT2 = AT1A +T1 = 1747 oC1.2.2 O bia cu

iametru

se aa ntr

un recipient vi

at aicarui peret i sunt ment inut i a o temperatura apropiata

e zeroabsout. Temperatura init ia a a biei este To. Daca se asimieazasuprafat a biei cu un corp negru, se cere timpu n care tempe

ratura scae e n ori. Se consiera ca bia este confect ionat aintrun materia e ensitate si cadu a specica c.Solut iePute

ea de emisie a unui co

p neg

u este:R(T) = 1

S_ddt_= T4und t nrgia intrna a bili, iar t contanta Stfan-Boltzmann. T inand cont ca S = d2, nrgia mia n unitatad tim t:ddt = T4d2CAPITOLUL 1. ORIGINILE FIZICII CUANTICE 12Dar, nrgia intrn a a bili oat xrimata n funct i dcadura a cica rin rlat ia: = mcT = 43_d2_3cTDaca vom deiva ultima elat ien apot cu timpul si vom t inecont de exp

esia ene

giei emise n unitatea de timp, se obt ine:43_d2_3cdTdt = T4d2Rzulta cuat ia difrnt iala:dt = dc6dTT4car rin intgrar_ t0dt = dc

6_ To/nTodTT4conduc la:t = (n31) dc18T3o1.2.3 Sa calculz lungima d unda corunzatoar intn-

itat ii maxim din ctrul unui cor ngru, tiind ca utra dmii a actuia t R = 5, 67 W/cm2. S cunoat contantaCAPITOLUL 1. ORIGINILE FIZICII CUANTICE 13Win A = 0, 2898 102mK si = 5, 67 108Wm2K4Solut ieConfo

m legii Stefan

Boltzmann:R = T4rzulta tmraturaT = 4_R = 103KConform lgii d dlaar a lui Win:mT = Arezuta ungimea

e un

a corespunzatoare intensit at ii maxime:m = AT = 2, 89 106m1.2.4 Sa se arate ca pentru vaori mici ae raportuui /T formua ui Panck se reuce a formua ui RayeighJeans, iar pen

tru vaori mari ae ui /T a formua ui Wien.Sout ieUtiizam formua ui Panck pentru ensitatea spectraa a energiei eectromagnetice:(, T) = c13ec2/T1CAPITOLUL 1. ORIGINILE FIZICII CUANTICE 14unde c1 si c2 sunt constante.a. Pent

u valo

i mici ale lui /T dezvolt am exponent ialaexp c2/T n se

ie Taylo

si ment inem doa

p

imi doi te

meni:ec2/T 1 +c2Tceea ce conduce la u

matoa

ea exp

esie pent

u fo

mula Planck:(, T) c131 + c2/T 1 = c2Tb. Pentu valoi mai ale lui /T vom avea:ec2/T 1si densitatea spect

ala devine:(, T) c13e

c2/T1.2.5 Sa se aate ca fomula lui RayleighJeans nu este compatibila cu legea StefanBoltzmann.Solut ieDensitatea a enegiei electomagnetice pentu nteg spectul este: =_ 0(, T)dCAPITOLUL 1. ORIGINILE FIZICII CUANTICE 15unde(, T) = c2TSe obt ine: =_ 0c2Td = ceea ce ne aata ca fomula lui RayleighJeans nu este compatibila cu legea StefanBoltzmann = T4, ind valabil a doar ndomniul frcvnt lor mici.1.2.6 Sa tabilaca rlat iil dintr dnitatat il ctral dnrgi a camului lctromagntic (, T) si (, T). Sa separticuarizeze pentru formua ui Panck.Sout ieExprimam iferent iaa ensitat ii spectrae e energie:

= (, T)d = (, T)

Atunci:(, T) = (, T)ddDar: = 2 = 2c

si = 2c2CAPITOLUL 1. ORIGINILE FIZICII CUANTICE 16Atunci:(, T) = 2c2 (, T)Ponind de la fomula lui Planck:(, T) = c13ec2/T1 cu = 2cse obt ine:(, T) = 2c2c1_2c_3ec2 2c /T1(, T) = c

1

5ec

2/(T)11.2.7 Sa se stabieasca reat ia intre temperatura si ungimea eun

a m pentru care (, T)

ensitatea spectraa e energie,ata e formua ui Panck, este maxima.Sout ieConsieram:(, T) = c

15ec

2/(T)1une c

1 si c

2 sunt constante. Prin efectuarea substitut iei = c

2TCAPITOLUL 1. ORIGINILE FIZICII CUANTICE 17va rezuta:() = c

15e1Punem condit ia de maxim a acestei funct ii:dd_ 5e

1_= 054(e1) e5(e1)2 = 0adica:5(51) e= 0Aceasta ultima ecuat ie este satisfacut a pentru 4, 96,adica:T = constceea ce reprezinta egea

e

epasare Wien.1.2.8 Daca se raceste un corp negru, ungimea e una corespunzatoare maximuui ensitat ii spectrae energetice (T) seepaseaza cu 3000 A. Se cere sa se

etermine cu cate gra

ea scazut temperatura corpuui

aca temperatura init ia a a fost1800oC. Se cunoaste constanta Wien A = 0, 2898 102mK.Sout ieConsi

eran

egea

epasarii Wien scrisa pentru cee

ouatemperaturi To si ToT:oTo = A(o + )(ToT) = ACAPITOLUL 1. ORIGINILE FIZICII CUANTICE 18rezuta:T = T

oo + = ToATo+ T = 366 K1.3 Efect fotoeectric1.3.1 Sa se arate, cu ajutoru egii coservarii impusuui si aeergiei, ca u eectro iber u poate absorbi u foto.Sout iePresupuem ca fotou este absorbit de eectro. Atuci eectrou se va pue miscare cu viteza v, iar masa eectrouuiva devei:m = mo_1 v2/c2Impusu si eergia eectrouui vor avea expresiie:p = mv = mov_1 v2/c2E = mc2= moc2_1 v2/c2Vom scrie egie de coservare ae eergiei si impusuui petru procesu de absorbt ie:h = moc2_1 v

2/c2moc2hc = mov_1 v2/c2CAPITOLUL 1. ORIGINILE FIZICII CUANTICE 19adica, eergia fotouui absorbit este egaa cu eergia cietica aeectrouui (care este diferet a ditre eergia totaa si eergiade repaus a acestuia). Di cee doua egi de coservare rezuta:movc_1 v2/c2= moc2_1 v2/c2moc2Rezuta:1 vc =_1 v2/c2Atuci:vc = 0 sau vc

= 1Nici ua di aceste doua situat ii u se poate obt ie di puctde vedere zic, deoarece pri absorbt ia uui foto eectrou upoate ramae repaus si ici u poate cap ata o viteza egaa cuviteza umiii.1.3.2 O bia de cupru stare eectrica eutra, idepedet ade ate corpuri, este iradiata cu umia moocromatica av adugimea de uda = 0, 2 m. Pa a a ce potet ia maximse va carca bia pierzad fotoeectroi? Lucru de extract ie acupruui este ega cu Lextr = 4, 47 eV. (h = 6, 626 10=34Js)Sout iePri pierdere de fotoeectroi bia de cupru se carca a uaumit potet ia. La imita, eergia eectrouui ecesara petru a vige fort a de atract ie eectrostatica si a efectua ucruCAPITOLUL 1. ORIGINILE FIZICII CUANTICE 20mecaic de extract ie este:hc = Lextr +eURezuta:U = hc Lextre = 1, 74 V1.3.3 Pe o suprafat a de aumiiu cade u fascicu de fotoi cu = 200 m. Stiid ca ucru de extract ie a aumiiuui esteega cu Lextr = 4, 2 eV, sa se ae:a. eergia cietica a ceui mai rapid fotoeectrob. tesiuea de stoparec. ugimea de uda de prag petru aumiiuSout iea. Legea de coservare a eergiei petru efectu fotoeectricse scrie:hc = Lextr +Ec,maxRezuta:Ec,max = hc Lextr

= 2 eVCAPITOLUL 1. ORIGINILE FIZICII CUANTICE 21b. Tesiuea eectrica de stopare este tesiuea care aueaza curetu fotoeectric:eUo = Ec,maxRezuta:Uo = 1e_hc Lextr_= 2 Vc. La pragu de absorbt ie:hp = Lextr sau hcp= LextrRezuta:p = hcLextr= 296 m1.3.4 Suprafat a uui meta oarecare este iumiata cu o radiat ieav ad ugimea de uda = 3500 A. Aegad o aumita diferet ade potet ia, fotocuretu este auat. Micsorad ugimea deuda a radiat iei cu 500 A, diferet a de potet ia de fraare atrebuit sa e marita cu U = 0, 59 eV petru a aua di oufotocuretu. Cuoscad costata Pack h = 6, 626 1034Js, sa se determie sarcia eectrouui.Sout ieI cee doua situat ii, coservarea eergiei este:hc = Lextr +eU

hc = Lextr +e(U + U)CAPITOLUL 1. ORIGINILE FIZICII CUANTICE 22Rezuta:e = hc( )U = 1, 6 1019C1.3.5 Lugimea de uda de prag petru u meta oarecare esteegaa cu p = 2700 A. Sa se determie:a. ucru de extract ie a uui eectro di ace metab. viteza maxima a eectroior emisi di metau bombardat curadiat ie eectromagetica cu = 1800 Ac. eergia cietica a acestor eectroiSe cuosc e = 1, 6 1019C si me = 9, 1 1031kg.Sout iea.Lextr = hcp= 4, 6 eVb.h = Lextr +Ec,max = Lextr + mev2max2Rezuta:vmax =

2me_hc Lextr_= 9 105m/sc.Eci = 12mv2max = 2, 3 eVCAPITOLUL 1. ORIGINILE FIZICII CUANTICE 231.3.6 Iumiad succesiv suprafat a uui meta cu radiat iie eectromagetice 1 = 0, 35 m si 2 = 0, 54 m, se costata caviteza maxima a eectroior s

a micsorat de = 2 ori. Sa dtrmin lucrul d xtract i din mtal.Solut iLga d conrvar a nrgii n cl doua ituat ii t:mv212 = c1Lextrmv222 = hc2LextrDeoarece v1/v2 = , atunci:v2

1v22= 2(hc Lextr1)1(hc Lextr2) = 2Rzulta:Lxtr = c(212)(21)12= 1, 9 eV1.3.7 Sa se cacueze viteza maxima a fotoeectronior emisi eo suprafat a argintat a,

aca aceasta se ira

iaza cu:a. ra

iat ii utravioete (1 = 0, 155 m)b. ra

iat ii (2 = 0, 01A)CAPITOLUL 1. ORIGINILE FIZICII CUANTICE 24Se cunoat e ucru e extract ie Lextr = 4, 7 eV si masa

e repausa eectronuui mo = 9, 1 1031kgSout ieConsieram fenomenu in punct e veere nereativist. Reat ia

e conservare a energiei se scrie:mov22 = hc LextrRezuta:v = 2mo_hc Lextr_Daca = 1 = 0, 155 m atunci viteza este egaa cuv = 1, 08 106m/s 3 108m/sceea ce ne arata ca, pentru raiat ia utravioeta, tratarea nereativista este corecta.Daca = 2 = 0, 01 A atunci, conform aceuiasi rat ionament,viteza evine:v = 4, 4 1017m/s > 3 108m/sceea ce este imposibi, astfe ca este necesara o tratare reativistaa fenomenuui. Legea

e conservare a energiei se va scrie:hc2Lextr = Ec = moc2_1 v

2/c2moc2Rezuta:v = c_1 m2oc4_hc2Lextr +moc2_2 = 2, 86 108m/sCAPITOLUL 1. ORIGINILE FIZICII CUANTICE 251.4 Efect Compton1.4.1 Un fascicu

e ra

iat ii X, cu ungimea

e un

a o = 0, 1nm este mpr astiat pe un boc e carbon. Sa se etermine:a. energia fotonior inci

ent ib. ungimea

e un

a a ra

iat iei

ifuzate a = 90ofat a e

irect ia fotonuui inci

entc. energia cinetica a eectronuui

e recu si unghiu facut

eirect ia sa e miscare cu irect ia fotonuui incientSout iea. Energia fotonuui inci

ent este: = co= 12400 eV = 12, 4 keVb. = 2 hmoc

si2 2 = hmoc = o = 2, 43 1012mVaiat ia lungimii de unda pentu fotonul mpastiat este egalacu lungimea de unda Compton.c. Din legea consevaii enegiei:hco+moc2= hco + +mc2eergia cietica este:Ec = mc2moc2= hco hco + = 295 eVCAPITOLUL 1. ORIGINILE FIZICII CUANTICE 261.4.2 Sa se arate ca eergia fotouui mpr astiat a = 90opriefect Compto u poate depasi eergia de repaus a eectrouuimoc2.

Sout ieDi reat ia Compto: = hmoc(1 cos ) = hmocEergia radiat iei mprastiate a 90oeste: = = hc = hco + = hco + hmocDupa cum se observa, aceasta eergiei creste cu scaderea uio. La imita:imo0 = limo0hco + hmoc= moc21.4.3 Sa se

etermine ungimea

e un

a a fotonuui inci

ent

aca se stie ca fotonu mpr astiat are energia egaa cu energiacinetica a eectronuui e recu si se misc a pe irect ii care facntre ee un unghi e 90

o. (Fig. 1.3)CAPITOLUL 1. ORIGINILE FIZICII CUANTICE 27mvj

0

h

h090Fig. 1.3Sout ieLegea e conservare a energiei este:hco+moc2= hc +mc2Rezuta energia cinetica:Ec = mc2moc2= hco hcPunan

con

it ia:Ec = hcrezuta: = 2oCAPITOLUL 1. ORIGINILE FIZICII CUANTICE 28Din Fig. 1.3 se observa ca:cos = h/h/o=

o = 12e une, pentru = 60orezuta: = o = 2sin2 2 = 1, 21 m1.4.4 Sa se determine unhiul sub care este mr astiat electronulde recul si eneria acestuia (vezi Fi. 1.4) ntr-o exerient a dedifuzie Comton.Solut ieScriem conservarea imulsului e o direct ie aralela cu direct iaimulsului incidentmov_1 (v/c)2cos = hoc hc cos (1.1)si pe o direct ie perpedicuara pe direct ia fascicouui icidetmov_1 (v/c)2si = hc si Daca se mpart cee doua reat ii se obt ie:tg = si o cos = o si o

cos = o si o + o cos CAPITOLUL 1. ORIGINILE FIZICII CUANTICE 29mvj

chch0

Fig. 1.4Atuci:tg =ct 21 + /oIn utima reat ie

e mai sus s

a t inut cont

e formua Comp

ton = 2sin2/2. Eneria cinetica a electronului va :Ec = mc2moc2= h_ co c_1.4.5 Un foton cu ungimea e una o = 6 nm este

ifuzat subun unghi

e 90ope un eectron aat n repaus. Sa se etermine:a. ungimea

e un

a a fotonuui

ifuzatb. energia cinetica a eectronuui

e recuCAPITOLUL 1. ORIGINILE FIZICII CUANTICE 30Sout ie

a. Din reat ia Compton obt inem: = hmoc si2/2 = 2, 43 1012mRezuta: = o + = 6, 00243 109mb. Di reat ia de coservare a eergiei:hco+moc2= hc +mc2rezuta eergia cietica a eectrouui de recu:Ec = hco hco + = 1, 34 1020J = 0, 084 eV1.4.6 U fascicu de raze X mooeergetice cade pe u corpmpr astietor. Lugimea de uda a radiat iior mpr astiate subughiurie 1 = 120osi 2 = 60ose aa raportu = 2. Stiindca mr atira fac lctroni libri, a dtrmin lungi-ma d unda a radiat iilor incidnt.CAPITOLUL 1. ORIGINILE FIZICII CUANTICE 31Solut i

Lungimil d unda al fotonilor mratiat i unt:1 = o + 2sin21/22 = o + 2sin22/2Dar:12= o + 2sin21/2o + 2sin22/2 = Rzulta:o = 2(sin22/2 sin21/2) 1 = 0, 607 1012m1.5 Compo

ta

ea ondulato

ie a mic

o

paticulelo1.5.1 Sa se detemine lungimea de unda de Boglie:

a. pentu un neuton cu enegia de 0, 025 eVb. co

espunzatoa

e vitezei te

mice a moleculelo

de hid

ogen a

at la tempeatua t = 20oCSe cunosc masele p

otonului si neut

onului mp mn 1, 671027kg.Solut iea. Lungimea de unda se calculeaza cu elat ia lui de Boglie: = hp une p =2mECAPITOLUL 1. ORIGINILE FIZICII CUANTICE 32Astfe: = h2mnE= 1, 81 Ab. In cazu moecueor e hirogen energia cinetica meie aacestora este:Ec = 3kT2 un

e k = 1, 38 1023J/KAtunci, ungimea

e un

a corespunzatoare va : = h_3mpkT= 1, 47 1010m1.5.2 T inan cont e uaismu unacorpuscu, cum poate interpretat a conit ia e cuanticare Bohr a momentuui cinetic?Sout ieCon

it ia

e cuanticare Bohr a momentuui cinetic este:mvr = n hImpusu are expresia:

p = mv = n hr hsin = 2rCAPITOLUL 1. ORIGINILE FIZICII CUANTICE 33Rezuta ca ntro orbita Bohr este cuprins un num ar ntrege ungimi e una e Brogie.1.5.3 Sa se

etermine

epen

ent a

intre ungimea e una ,masuratan A a unei asociate unui fascicu e eectroni acceerat isub o tensiune U (cunoscuta) masurat a n vot i.Sout ieLungimea e una asociata particuei este: = hp une p =2mEDeoarece E = eU rezuta pentru ungimea e una: = h2meU= 12, 2UA1.5.4 Pentru ce vaoare a energiei cinetice eroarea reativa neterminarea ungimii e una e Brogie, va e 1%, atuncican probema este tratata nereativist:a. pentru un eectronb. pentru un neutronSout ieReat ia nereativista pentru ungimea e Brogie este:o = h2moEcIn cazu reativist, energia cinetica are expresia:Ec = mc2m

oc2CAPITOLUL 1. ORIGINILE FIZICII CUANTICE 34sim = Ec +moc2c2 = Ecc2 +moDeoarecem = mo_1 v2/c2atunci viteza si impusu particuei se pot scrie:v = c_Ec(2moc2+Ec)(Ec +moc2)p = mv = Ec +moc2c2

c_Ec(2moc2+Ec)(Ec +moc2)p =_2moEc

_ Ec2moc2 + 1Atunci ungimea

e un

a, conform

enit iei

e Brogie va : = h2moEc

_ Ec2moc2 + 1= o_ Ec2moc2

+ 1un

e o este ungimea e una nereativista.Eroarea reativa este, conform enit iei: = [[ = o = o 1Astfe, pe baza reat iior aterioare se poate exprima eroareareativa fuct ie de eergia cietica a particuei: =_ Ec2moc2 + 1CAPITOLUL 1. ORIGINILE FIZICII CUANTICE 35Rzulta:2+ 2 + 1 = Ec2moc2 + 1Daca = 0, 01, i nglijam trmnul n 2vom obt in ntrunrgia cintica xria:Ec = 4moc2 Atfl, ntru lctron:Ec(V) = 20, 475 kViar ntru nutron:Ec(V ) = 37, 57 MV

1.5.5 Intr-o xrint a Davi

on i Grmr -a trimi un fa-cicul d lctroni acclrat i ub o tniun contant a d 15 V, un itm d lan atomic aat la ditant a d = 0, 233 nmunul fat a d clalalt, al unui crital d aluminiu. Sa calculzungiul ub car faciculul t difractat urafat a critalului.Solut iCondit ia d difract i Bragg t:2d in = k k =ntregiar = hp = h2mE= h2meUCAPITOLUL 1. ORIGINILE FIZICII CUANTICE 36Atunci:sin k = k h2

2meUPentru k = 1sin 1 = 0, 68Pentru k = 2 ar rezuta ca sin 2 > 1, ceea ce nseamn a camaximu e orin oi nu poate observat.1.5.6 Un fascicu monoenergetic e eectroni cu energia cineticaEc = 48 eV cae pe suprafat a unui monocrista e Ni. Primumaxim e ifract ie se obt ine pe iret ia = 18ofat a

e normaaa crista. Sa se cacueze ungimea e una e Brogie asociataeectronior:a. teoretic cu ajutoru formuei

e Brogieb. experimenta cu ajutoru formuei Bragg, stiin

ca

istant aintre panee cristaine este = 0, 926 A.Sout iea. Energia e repaus a eectronuui este Eo = moc2

= 511keV. Deoarece Ec Eo, putem consi

era eectronii ca in particue nereativiste. Atunci: = hp = h2mEc= 1, 77 1010mb. Din formua Bragg:2 sin = nCAPITOLUL 1. ORIGINILE FIZICII CUANTICE 37Pentru n = 1 se obt ine: = 2 sin = 1, 76 1010m1.5.7 In cazu unui fascicu e eectroni emisi e un tun eectronic, ce tensiuni

e acceerare sunt necesare pentru a pune nevi

ent a comportarea on

uatorie a eectronior prin

ifract ie peun sistem e pane cristaine istant ate cu = 0, 3 nm.Sout iePentru a pune n evi

ent a comportarea on

uatorie a eec

tronior este necesar ca ungimea

e un

a sa e

e or

inu

emarime a constantei ret eei cristaine: Dar ungimea

e un

a o vom exprima conform reat iei ui

eBrogie: = hp un

e p = mvDaca eectronii sunt acceerat i a o iferent a e potent ia U,atunci:mv22 = eUastfe ca viteza este:v =_2eUmCAPITOLUL 1. ORIGINILE FIZICII CUANTICE 38Impusu poate exprimat astfe:p =2meUInocuin cu vom obt ine:

= h2meUAtunci:U = 12me_h

_2 16, 7 V1.5.8 Un fascicu ngust e eectroni monoenergetici cae subun unghi = 30ope suprafat a unui monocrista e auminiu.Distant a intre oua pane atomice ae acestui crista este =0, 2 nm. Pentru o anumita tensiune e acceerare Uo se observaun maxim. Sa se etermine tensiunea Uo stiin

ca maximuurmator se pro

uce can

tensiunea

e acceerare se mareste

e = 2, 25 ori.Solut iCondit iil d obt inr a clor doua maximn cl doua cazuri

unt:2d in = k 2mUo2d in = (k + 1) 2mUoCAPITOLUL 1. ORIGINILE FIZICII CUANTICE 39Eliminand k ntr cl doua rlat ii rzulta:Uo = 28md2

in2( 1)2 = 150 V1.6 Relat iile de ince

titudine1.6.1 Sa se detemine, ponind de la elat iile de incetitudine,o evaluae a maimii enegiei potent iale medii a unui nucleon

ntun nucleu (consideam nucleul ca ind o sfea cu diametuld = 9 1013cm, ia masa nucleonului mn = 1, 67 1027kg).Solut ieMa

imea impulsului nucleonului n inte

io

ul nucleului estede odinul:p h

Deoarece energia cinetica Ec = p2/2m, atunci:Ec 12mn_h

_2 10 MeVDeoarece nuceonu este egat n nuceu, energia potent iaame

ie trebuie sa e negativa si n vaoare absouta mai mare

ecat energia cinetica:Ep 10 MeVCAPITOLUL 1. ORIGINILE FIZICII CUANTICE 401.6.2 Un microscop fooseste eectroni pentru a putea istingeetaii e 1 m. Care este orinu e marime a vitezei eectronior.Sout ieDin reat ia e incertituine:p hx ude x = 1 mDeoarece p = mv rezuta:v hmx 7 103m/sAstfel, odinul de maime al vitezei este:v 104m/s1.6.3 Sa se evaueze energia minima posibia a unui eectronntrun atom e hirogen, precum si raza regiunii n care eectronu

se aa, pecan e a reat iie e incertituine.Sout ieT inan cont e reat ia e incertituine intre impus si pozit ie:p p hr hrCAPITOLUL 1. ORIGINILE FIZICII CUANTICE 41Energia totaa are expresia:E = p22m e24orT inand cont d valuara imulului, rzulta valuara n-tru nrgia totala:E h22m2 e24orPntru dtrminara nrgii minim vom un condit ia:dEdr = h2m

3 + e24or2 = 0Rzulta:r = 24om2 = 0, 529 1010

mAstfel, ene

gia minima este:Emin = me43222o 2 = 13, 6 eV1.6.4 O paticula de masa mse deplaseazantun camp potent ialunidimensional astfel ca enegia potent ial a este Ep = kx2/2. Sase evalueze ene

gia minima posibila a pa

ticulei n acest campponind de la elat iile de incetitudine ale lui Heisenbeg.CAPITOLUL 1. ORIGINILE FIZICII CUANTICE 42Solut ieConside

am:p p hx hxAtunci, energia totaa a particuei va :E = Ec +Ep = p22m + kx22E = h22mx2 + kx22Punem conit ia e minim a energiei:E

x = 0 h2

mx3 +kx = 0Rezuta:x4= h2mkAtunci energia minima este:E = h_km = h = hObservat ie: Cacuu exact reaizat cu ajutoru mecaicii cuatice coduce a o eergie miima egaa cu h/2.CAPITOLUL 1. ORIGINILE FIZICII CUANTICE 431.7 Modeu Bohr1.7.1 Sa se determie razee orbiteor Bohr petru atomu dehidroge. Se cuosc: costata Pack h = 6, 626 1034Js; sarcia eectrouui e = 1, 6 1019C si masa eectrou

ui me = 9, 1 1031kg.Sout ieI sistemu de referit a egat de eectrou care se roteste juru uceuui, fort a cetrifuga este egaa cu fort a de atract ieeectrostatica:mev2r = e24or2Condit ia d cuanticar a momntului cintic ntru lctront:r = n S obt in urmatorul itm d cuat ii:v2r = 24om

rm

v = n 2D aici rzulta:v = n 1m

rirn = n24o 2m

2CAPITOLUL 1. ORIGINILE FIZICII CUANTICE 44Pntru cazul n = 1 obt in valoara rimi orbit Bor dinatomul d idrogn:ao = r1 = 4o 2m

2 = 0, 529 1010mCea de

a n

a o

bita Boh

a

e

aza:

n = n2ao1.7.2 Sa se detemine vitezele pe obitele Boh, pentu atomulde hid

ogen.Solut ieVom t ine cont de ezultatul de la poblema pecedenta si vomexpima vitezele vn:vn

= n h 1me

n= e22o

1n = v1nund:v1 = 22o

= 2, 18 106m/

Vom xrima n continuar vitza n funct i d raza rimiorbit Bor ao:vn = n 21m

(aon)vn = m

ao1n2CAPITOLUL 1. ORIGINILE FIZICII CUANTICE 451.7.3 Sa calculz d cat ori va mari raza orbiti lctro-nului unui atom d idrogn car gat n tara fundamn-tala, daca t xcitat cu o cuant a (foton) d nrgi E

f = 12, 09V. S cunoat nrgia lctronului aat rima orbita BorE = 13, 6 eV.Solut ieConfo

m postulatului II al lui Boh

:Ef = EnE1Da cum:En = E1n2se obt ine:Ef = E1_ 1n2 1_Rezulta:n = 1_1 + EfE1 10, 1111 = 3Da

aza o

bitelo

poate sc

isa:

n = n2

1CAPITOLUL 1. ORIGINILE FIZICII CUANTICE 46Rezulta ca:

n

1= n2

= 9Raza o

bitei se va ma

i de 9 o

i.1.7.4 Sa se calculeze, n lungimi de unda, limitele spectului siintevalul spectal al seiei Balme pentu atomul de hidogen(n = 2). Se cunoaste constanta Rydbeg R = 1, 097 107m1.Solut ieVom utiliza fomula Balme pentu atomiul de hidogen, ncazul n = 2:1 = R_ 122 1m2_Pentru cazu can

m , atunci ia vaoarea minima: = 4R = 3646 APentru cazu can

m = 3, atunci ia vaoarea maxima:M = 1R_122 132_ = 6563 AAstfe: = M = 2917 ACAPITOLUL 1. ORIGINILE FIZICII CUANTICE 471.7.5 U atom de hidroge se aa tro stare excitata carac

terizata pri eergia de egatur a Weg = 1, 51 eV. Atomu executa o trazit ie pe u ive petru care eergia de excitare esteEexc = 10, 18 eV. Se cere eergia fotouui emis.Sout ieCuoasterea eergiei de egatura duce a cuoasterea eergieiiveuui pe care se aa iit ia atomu:Ei = Weg = 1, 51 eVEergia de excitare este eergia trasmisa eectrouui aatpe iveu fudameta petru a ajuge pe u ive excitat. Atomu ajuge starea aa Ef a carei vaoare este:Ef = E1 +Eexciar eergia fotouui emis E va :E = WegE1Eexc = 1, 91 eV1.7.6 U atom de hidroge, excitat pri emisia succesiva a douaiii spectrae de ugimi de uda 1 = 1281, 8 m si 2 = 102, 57m, ajuge starea fudameta a. Sa se determie eergiastarii excitate si um aru cuatic pricipa a acestei stari. Secuosc costata ui Pack h = 6, 626 1034Js viteza umiiic si eergia de ioizare di starea fudameta a E1 = 13, 6 eV.CAPITOLUL 1. ORIGINILE FIZICII CUANTICE 48Sout ieScriem postuatu II a ui Bohr petru cee doua iii spectrae emise:hc1= E

Ekhc

2= EkE1Expresia eergiei iveeor di atomu de hidroge este datade reat ia:E

= mee48h22on2T inand cont d acata ultima xri, rcum i d fatulca nrgia d lgatura a lctronului n atomul d idrogn tWlg = E1,

ezulta:hc1= mee48h22o_ 1k2 1n2_hc2= mee48h

22o_1 1k2_Adunam cele doua ecuat ii de mai sus:hc_ 11+ 12_= Weg_1 1n2_Rezuta pentru numaru cuantic principa n, vaoarea:n = WegWeghc1+212= 5CAPITOLUL 1. ORIGINILE FIZICII CUANTICE 49iar energia corespunzatoare va :E5 = Weg25 = 0, 544 eV1.7.7 Sa se cacueze variat ia ungimii e una a fotonuui emis

e un atom

e hi

rogen care apare

atorita recuuui pe care

sufera atomu n urma emisiei. Ce viteza va capata atomu

e hi

rogen atorita trecerii eectronuui e pe a oua orbita pe primaorbita? Se a masa atomuui e hirogen M = 1, 68 10

27kgSout ieApicam egie e conservare ae energiei si impusuui pentruemisia fotonuui ntrun sistemn care init ia atomu e hirogeneste n repaus:W2 = W1 + Mv22 +h

0 = Mv h

cude W2 si W1 reprezit a eergiie eectrouui atomu dehidroge iaite si dupa emisia cuatei de umia:W2W1 = hUtiizad cee trei ecuat ii rezuta:h h

= h222c2MCAPITOLUL 1. ORIGINILE FIZICII CUANTICE 50sauh_c c

_ = h222c2

M_1 + _2 h222MAstfe, variat ia ungimii e una este: = h2Mc 6, 6 106APent

u a aa viteza atomului de hid

ogen vom utiliza legeade consevae a impulsului:Mv = h

c W2W1c = 3W14cRezulta:v = 3, 2m/s1.7.8 La obsevaea spectului hidogenului atomic, sa obt inutcu ajuto

ul unei

et ele de dif

act ie cu constanta l = 1, 95 m cauna din liniile spect

ale ale se

iei Balme

de o

din k = 2 co

es

punde unghiului 30o. Sa se dete

mine num a

ul cuantic alnivelului ene

getic al atomului de pe ca

e a

e loc t

anzit ia.Solut iePentu deteminaea lungimii de unda vom utiliza condit iade obt ine

e a unui maxim de dif

act ie:l sin = kCAPITOLUL 1. ORIGINILE FIZICII CUANTICE 51Rezuta: = sin kDr, conform formulei Blmer scris pentru seri Blmer(n = 2) vem: = 1

= R_ 122 1m2_ude R = 1, 097677 107m1este costata Rydberg. Priurmare combi ad cee doua expresii rezuta um aru cuaticm:m = 2_ R si Rl sin 4k = 41.7.9 De cate oi se maeste aza atomului de hidogen aatn stae fundamental a, daca este excitat cu un foton cu enegiaegala cu E = 10, 2 eV?Sout ieFie E

eergia iveuui eergetic pe care ajuge eectroudupa absorbt ia fotouui cu eergia E. Atuci:E

= E1 + Eude E1 = 13, 6 eV este eergia iveuui fudameta. Re

zuta: =_ E1E1 + E = 3CAPITOLUL 1. ORIGINILE FIZICII CUANTICE 52Atuci, raza oii orbite Bohr devie:r

= 2r1 = 9r1ude r1 este raza atomuui de hidroge aat starea fudame

taa.1.7.10 Care este cea mai mare vaoare a ugimii de uda diseria spectraa Lyma a hidrogeuui.Sout ieLugimie de uda ae seriei Lyma sut date de formua:1 = R_11 1k2_ude R este costata Rydberg. Daca este maxima atuci 1/va miima. Acest ucru se petrece petru k = 2.1 = R_1 14_= 3R4Rezuta: = 43R = 1215 A1.7.11 Ce eergie trebuie comuicat a atomior de hidroge pe

tru ca spectru de emisie a acestora sa cot ia doar doua iiiCAPITOLUL 1. ORIGINILE FIZICII CUANTICE 53di seria Bamer?Sout ieI cazu seriei Bamer dezexcitarea are oc pe iveu = 2.Petru aceasta atomu trebuie excitat pe iveu eergetic = 4,petru a obt ie pri dezexcitare doua iii spectrae. Atuci:E1

2 = E1 + E ude E1 = 13, 6 eVRezuta:E = E1

2

E1 = E1_ 1

2 1_= 12, 75 eV1.7.12 Sa se cacueze ugimie de uda ae iiior spectraeemise de atomii de hidroge excitat i cu u fascicu de eectroimooeergetici cu eergia E = 12, 09 eV. (R = 1.097677107)Sout iePri excitare, eectroii ajug pe iveu eergetic . Atuci:E1

2 = E1 + ERezuta: =_ E1E1 + E = 3CAPITOLUL 1. ORIGINILE FIZICII CUANTICE 54Trazit iie pe care e pot efectua eectroii sut de pe iveu = 3 pe iveu k = 2, de pe iveu = 3 pe iveu k = 1 side pe iveu = 2 pe iveu k = 1. Lugimie de uda emisesut:1 = R_ 1k2 1

2_a. = 3; k = 1 = 1025 Ab. = 3; k = 2 = 6559 Ac. = 2; k = 1 = 1215

ACapitou 2FIZICA CUANTICA2.1 Operatori2.1.1 Sa se gaseasca expresiie expicite ae operatorior:a. A1 = (d/dx +x)2b. A2 = (xd/dx)2Sout iea. Apicam operatorii uei fuct ii :A1 =_ ddx +x_2 =_ ddx +x__ ddx +x_A1 =_ ddx +x__ddx +x_A1

= d2dx2 + 2xddx +x2 +55CAPITOLUL 2. FIZICA CUANTICA 56Atunci, oratorul A1 ar xria:A1 = d2dx2 + 2x ddx +x2+ 1b.A2 =_x ddx_2 =_x ddx__xddx_A

2 = x_ddx +xd2dx2_A2 = xddx +x2d2dx2Atunci, oratorul A2 ar xria:A2 = x2 d2dx2 +x ddx2.1.2 Sa gaac a xria oratorului d tranlat i cartranforma funct ia (x) n (x +a).Solut iFi T oratorul cautat. Atunci:T(x) = (x +a)CAPITOLUL 2. FIZICA CUANTICA 57Dzvoltam n ri Talor funct ia (x +a) n jurul lui x:(x +a) = (x) +addx +

a22!d2dx2 +....(x +a) =

n=0ann!dndxn(x)Atfl, oratorul T va ava xria:T =

n=0ann!dndxnDaca vom t in cont ca:

n=0xnn! = x xRzulta:T = x_a ddx_2.1.3 Sa dtrmin oratorul adjunct oratorului:A = ddxSolut iPntru dtrminara oratorului adjunct conidra rlat iad dnit i a actuia:

_, A_=_A+, _CAPITOU 2. FIZICA CUANTICA 58Rezulta:_ + ddxdx =_ +_A+_dxDar:_ + ddxdx = [+ _ +ddx dx

Deoarece funct ia (x) tinde la zero atunci cand x ,atunci:_ + ddxdx =_ +_ddx_dxRezulta:A+= ddx adica_ ddx_+= ddx2.1.4 Sa se dete

mine valo

ile p

op

ii ale ope

ato

ilo

:a. d/dxb. id/dxSolut iea. Ecuat ia cu valo

i p

op

ii pent

u p

imul ope

ato

se vascie:ddx = CAPITOLUL 2. FIZICA CUANTICA 59Rzulta: = xPentru ca funct ia a marginita la t ncar ca = i, R.. Ecuat ia cu valori proprii este, n acest caz:iddx

= sau ddx = iRezulta: = eixDin aceeasi motive ca mai sus, R.2.1.5 Sa se gaseasc a funct iie si vaorie proprii ae operatoruui

/

.Solut ieVom alica oeratorul unei funct ii :dd = Rezulta: = e(funct iile rorii)Vom imune condit ia de eriodicitate:() = ( + 2)CAPITOU 2. FIZICA CUANTICA 60Atunci:e= e(+2)De aici rezulta:e2= 1i valoril rorii unt: = im m = 0, 1, 2, 3, ....2.1.6 Sa se

etermine vaorie proprii si funct iie proprii cores

punzatoare operatoruui

2

x2 + 2x

xSout ieEcuat ia cu funct ii si vaori proprii este:

2dx2 + 2xddx

= Facem schimarea de variail au = x = ux si ddx = 1xdudx ux2CAPITOLUL 2. FIZICA CUANTICA 61d2dx2 = 1x2dudx + 1xd2udx2 + 2ux3 1x2dudxd2dx2 = 2x

2dudx + 1xd2udx2 + 2ux3Atunci:d2dx2 + 2xddx = 1xd2udx2 = uxRezuta ecuat ia

2u

x2 = uEa are sout iieu1 = c1exsi u2 = c2ex

Deoarece a ambee funct ii trebuie sa e nite este necesarca = 2< 0, unde este un numar real.Solut ia generala este o cominat ie liniara de u1 si u2 astfelca: = c1eix+c2eixxPentru ca sa e nita si n x = 0 este necesar ca:c1 +c2 = 0Atunci:c1 = c2 = cCAPITOLUL 2. FIZICA CUANTICA 62si = cx_eixeix= c

sin xx2.1.7 Sa se calculeze comutatorii dintre operatorii:a. x si d/dx. / si f(r, , )Solut iea._x, ddx

_ = x ddx ddx(x) = Rezulta ca:_x, ddx_= 1._ , f(r, , )_ = (f) f= f = fRezulta:_ , f(r, , )_= fCAPITOU 2. FIZICA CUANTICA 632.1.8 Se dau oeratorii A, B si C. Sa se demonstreze urmatoa-rele relat ii:[ A

B, C] = A[ B, C] + [ A, C] B[ A, B C] = B[ A, C] + [ A, B] CSolut ie[ A B, C] = ( A B) C C( A B) = A B C

C A B + A C B A C B= A( B C) A( C B) + ( A C C A) B = A[ B, C] + [ A, C] BAnalog se demonstreaza si cea de

a doua relat ie.2.1.9 Sa se arate ca prin operat ii algerice cu comutatori, comutatorul sumelor este egal cu suma comutatorilor:_

i

Ai,

kBk_=

i,k_Ai, Bk_Solut ie_

iAi,

kBk_=_

iAi__

kBk__

kBk__

i

Ai_CAPITOLUL 2. FIZICA CUANTICA 64_

iAi,

kBk_=

i

kAi Bk

k

iBk Ai_

iAi,

kBk_=

i

k_Ai Bk Bk Ai__

iAi,

kBk_=

i

k_Ai, Bk_2.1.10 Sa se determine derivata temporala a produsului a doioperatori.Solut iePentru rezolvare se t ine cont ca derivata totala la timp pentru un operator este:dCdt = Ct + 1i h

_C, H_unde H este operatorul Hamilton. Rezulta:ddt_A B_= t_A B_+ 1i h_A B, H_ddt_A B_= AtB + A Bt + 1

i hA_B, H_+ 1i h_A, H_ BCAPITOLUL 2. FIZICA CUANTICA 65ddt_A B_=_ At + 1i h_A, H__ B + A_ Bt + 1

i h_B, H__= d AdtB + Ad Bdt2.1.11 Sa se gaseasca descompunerea operatorului_A B_1n funct ie

e puterie ui , un

e este un numar rea mic.Sout ieConsieram ca operatoru_A B_1se ezvot a n serieastfe:_A B_1=

nn LnApicam a

reapta operatoru_A

B_. Obt inem:I =

nn_A B_ LnI = A L0 B L0 + AL12 BL2 +...I = AL0 +

n=1n_

A Ln BLn1_CAPITOLUL 2. FIZICA CUANTICA 66Prin i

enticareI = AL0Rezuta:L0 = A1Deasemenea:O = A Ln BLn1siA Ln = BLn1Rezuta:

Ln = A1 BLn1Sa gasit o reat ie e recurent a:L1 = A1 BL0 = A1 B A1L2 = A1 BL1 = A1 B A1 B A1

Rezuta:_A B_1= A1+ A1 B A1+2 A1 B A1 B A1+...2.1.12 Daca se cunoaste ca operatorii L si M satisfac reat ia:L M ML = ICAPITOLUL 2. FIZICA CUANTICA 67sa se

etermine L

M2 M2LSout ieL M2 M2L = L M2 ML M + ML M M2L =L M2 M2L =_L M

ML_ M + M_L M ML_=L M2 M2L = 2 M2.1.13 Sa se gaseasc a conjugatu pro

usuui operatorior A si B.Sout iePrin enit ie_ 1_A B_2dv =_ 2__A

B_+1_dvSa consideram prima integrala:Notam: B2 = 3 si introducem A+_ 1_A B_2dv =_ 1A3dv =_ 3_A+1_dvIntroducem o noua funct ie 4 = A+

1 si deoarece 3 = B2CAPITOLUL 2. FIZICA CUANTICA 68_ 3_A+1_dv =_ _B2_4dv_ 3_A+1_dv =_ 4B2dv =_ 2_B

+4_dv_ 3_A+1_dv =_ 2_B+ A+1_dvRezulta:_A B_+= B+ A+2.1.14 Sa se arate ca daca L si M sunt operatori hermitici,operatorii:F = 12_

L M + ML_sif = i2_L M ML_sunt hermitici.Solut ieF+= 12__L M_++_ ML_+_F+= 12_ M+L

++ L+ M+_CAPITOLUL 2. FIZICA CUANTICA 69F+= 12_ ML + L M_= Ff+= i2__L M_+_ ML_+_== i2

_ M+L+ L+ M+_= i2_L M ML_= f2.1.15 Stiind ca operatorii pozit iei si impulsului sunt denit i: x = x

=

z = z px = i h x p

= i h pz = i h zsa se calculeze comutatorii:a. [ x, x], [ x,

], [ x, z]. [ x, px], [ x, p

], [ x pz]c. [ px, p

x], [ px, p

], px, pz]Solut iea.[ x, x] = xx xx = 0CAPITOLUL 2. FIZICA CUANTICA 70[ x, ] = x x = 0[ x, z] = xz zx = 0.[ x, px] = x_i hx_+i h x(x)= i hxx +i hxx +i h[ x, px] = i h[ x, p

] = x_i h

_+i h

(x) = 0[ x, pz] = x_i h

z_+i h z(x) = 0c.[ px, px] = (i h)2 2x2 (i h)22x2 = 0[ px, p

] = (i h)2 2x (i h)2 2

x = 0[ px, pz] = (i h)2 2xz (i h)2 2zx = 0

CAPITOLUL 2. FIZICA CUANTICA 712.1.16 Sa se demonstreze urmatoarele relat ii:[lx, x] = 0; [lx, ] = i h z; [lx, z] = i h [lx, px] = 0; [lx, p

] = i h pz; [lx, pz] = i h p

[lx,lx] = 0; [lx,l

] = i hl

z; [lx,lz] = i hl

unde lx, l

si lz sunt componentele momentului cinetic.Solut ieVom folosi rezultatele de la prolema precedent a, denit iamomentului cinetic, precum si proprietat ile comutatorilor:[lx, x] = [

pz z p

, x] = [

pz, x] [ z p

, x]= [ , x] pz +

[ pz, x] [ z, x] p

z[ p

, x] = 0[lx, ] = [ pz z p

, ] = [ p

z,

] [ z p

, ]= [ , ] pz + [ pz, ] [ z, ] p

z[ p

, ] = i h z[lx, z] = [

pz z p

, z] = [

pz, z] [ z p

, z]= [ , z] pz +

[ pz, z] [ z, z] p

z[ p

, z] = i h [lx, px] = [[

pz z p

, px] = [ , px] pz + [ pz, px][ z, pz] p

z[ p

, pz] = 0CAPITOLUL 2. FIZICA CUANTICA 72[lx, p

] = [[ pz z p

, p

] = [ , p

] pz + [ pz, p

][ z, p

] p

z[ p

, p

] = i h pz[lx, pz] = [ pz z p

, pz] = [

, pz] pz +

[ pz, p

z][ z, pz] p

z[ p

, pz] = i h p

[lx,l

] = [ pz z p

, z px x pz] = [

pz, z px] + [ z p

, x pz] = i hlz[lx,lz] = [

pz z p

, x p

px] = x[

, p

] pz

+ z[ p

, ] px= i h( z px x pz) = i hl

Aceste relat ii precum si analoagele lor ot inute prin permut ari circulare, se pot scrie su forma condensata cu ajutorulunui tensor antisimetric de ordin trei, likl, i, k, l = 1, 2, 3:[li, xk] = i hlikl xl [li, pk] = i hlikl pl [li,lk] = i hliklll2.1.17 Sa se arate ca:[lx,l2] = [

l

,l2] = [lz,l2] = 0undel2= l2x + l2

+ l2zSolut ie[lx,l2] = [lx,l2x + l2

+

l2z] = [lx,l2x] + [lx,l2

] + [lx,l2z]= lx[lx,lx] + [lx,lx]lx + l

[

lx,l

] + [lx,l

]l

+ lz[lx,lz] + [lx,lz]lzCAPITOLUL 2. FIZICA CUANTICA 73Se t ine cont ca:[lx,lx] = 0 [l

x,l

] = i hlz[l

,lz] = i hlx [lz,lx] = i hl

Atunci:[lx,l2] = i hl

lz +i hlzl

i hlz

l

i hl

lz = 02.1.18 Se considera operatorii:A = 12_x + ddx_ B = 12_x ddx_Sa se calculeze [ A, B].Solut ieConform denit iei unui comutator:[ A, B] = A B B A = 12_x + ddx__x

ddx_ 12_x ddx__x + ddx_= 12_x2 xddx + +xddx d2dx2 x2 xddx + +xddx + d2dx2_CAPITOLUL 2. FIZICA CUANTICA 74[ A,

B] = Rezulta:[ A, B] = I2.1.19 Sa se determine operatorul conjugat cu operatorul:exp_i _unde este un numr rel.Solut iePrin denit ie:exp_i _=

n=0_i _nn!Deoarece oeratorul conjuat oeratorului nn este (1)n nnatunci:__i _n_+= (i)n_

_n=_i _nAceasta arata ca oeratorul de mai sus este hermitic deoarece = , stfel c:_ei _+= ei CAPITOU 2. FIZICA CUANTICA 752.1.20 Sa se studieze daca oeratoruli ddxeste hermitic.Solut ie_ +1id2dx dx =_ +2__i ddx_+1

_dxi_ +1d2dx dx = i12[+i_ +2d1dx =_ 2_i ddx1_dxAtunci:_i ddx_+= i ddxastfel ca operatorul este unul hermitic.2.2 Ecuat ia Schrodinger2.2.1 La momentul t = 0 starea unei particule cuantice liereeste descrisa de funct ia de unda:(x, 0) = Aexp_

x22a +ikox_unde A, a, ko sunt constante. Sa se determine constanta de nor

mare.CAPITOLUL 2. FIZICA CUANTICA 76Solut ie(x, 0)(x, 0) = AAexp_x22a ikox_ exp_x22a +ikox_Astfel:[[2= [A[2exp_x2a_Condit ia de normare este:_ +[[2dx = [A[

2_ +ex2adx = 1Pentru calculul integralei facem schimarea de variaila:

= xaAtunci, condit ia de normare se va scrie su forma:a[A[2_ +e2d

= 1Dar integrala anterioara este o integrala Poisson al carui rezultat este:_ +e

2d =Rzulta:a[A[2= 1CAPITOLUL 2. FIZICA CUANTICA 77i[A[ = 14a2.2.2 Sa dtrmin olut ia gnrala a cuat ii Scr odingr d-ndnt a d tim ntru o articula libra.Solut iCautam ntru cuat ia Scr odingr tmorala:i (x, t)t

= h22m2 (x, t)x2o solut ie de forma(x, t) = u(x)(t)Rezulta:i hddt = h22mud2udx2 = EDeoarece u(x) treuie sa e nita la [x[ , punem E > 0.Notand cu k2= 2mEh2 , gasim(t) = eiEt hsiu(x) = eikxO solut ie particulara este:CAPITOLUL 2. FIZICA CUANTICA 78 = eiEt h +ikxSolut ia generala este o suprapunere de solut ii particulare(x, t) =+_c(k)eikxiEt

hdkE = h2k22m2.2.3 Sa se determine densitatea de curent de proailitate pentru particula liera care se deplaseaza n sensul axei Ox.Solut ieDensitatea curentului de proailitate estej = h2im_x x_Deoarece = u(x)eiEt hrezulta densitatea curentului de proailitaten funct ie de solut iau(x) a ecuat iei Schr odinger atemporala. Astfel:j = h2im_ududx ududx_DeoareceCAPITOLUL 2. FIZICA CUANTICA 79u(x) = Aeikx= Aei2mE h x= Ae

ipx hrezulta:j = pm[A[2= v [A[2Astfel densitatea de curent de proailitate este proport ionalacu viteza particulei.2.2.4 Sa se determine funct iile proprii si spectrul de energii cores

punzatoare pentru o particula ce se poate misca lier n groapade potent ial cu peret i innit i (vezi Fig. 2.1)V (x) =_ 0, x (0, a)+, x (, 0) (a, +)Solut ieValoarea atriuita lui V (x) n afara intervalului (0, a) faceimposiila par asirea acestui interval. In aceste condit ii, funct iileproprii ale energiei sunt solut ii ale ecuat iei Schr odinger: h22md2dx2 = Ecu proprietatea ca (x) = 0 cand x (, 0) (a, +) . Incazul ca E > 0 ecuat ia de mai sus se poate scrie:CAPITOLUL 2. FIZICA CUANTICA 80O x a

VFig. 2.1d2dx2 + 2mE h2 = 0

Notand cu:k =_2Em h2ecuat ia devine:d2dx2 +k2 = 0a carei solut ie este de forma:(x) = Asin kx +Bcos kx , x (0, a)CAPITOLUL 2. FIZICA CUANTICA 81Deoarece n afara intervalului (0, a) valoarea lui este nula,din condit ia de continuitate a lui :(0) = 0(a) = 0Rezulta:(0) = Asin 0 + Bcos 0 = 0 , adica B = 0(a) = Asin ka = 0Cazul k = 0 se elimina deoarece duce la solut ia (x) =0 x (0, a). Atunci:ka = n, n N0Rzulta ca cuat ia Scrodingr t atifacut a numai ntruvaloril aramtrului d forma:kn = na n N0Atunci, ntru nrgi rzulta valoril:En = n2 2 22ma2 n N0Sctrul nrgtic t dicrt.Funct ia d unda corunzatoar nrgii En t:n (x) = An

in na xCAPITOLUL 2. FIZICA CUANTICA 82Valoara lui An, au mai rci modulul lui dtrmina dincondit ia d normar:+_ (x) (x) dx = 1In situat ia noastra rezulta:_ +[An[2sin2 na xdx = 1Rzulta:[An[2= 2ad und:An =_2a x (i)un

e este un factor

e faza pe care vom aege zero. Atunci:n (x) =_2a sin na x

In cazul n car E = 0 cuat ia Scr odingr dvin: h22md2dx2 = 0CAPITOLUL 2. FIZICA CUANTICA 83si:(x) = Ax +BCondit iile de continuitate ale funct iei de stare suntndeplinitenumai daca A = 0 si B = 0 ceea ce nseamna ca E = 0 nuapart ine spectrului de energii.In cazul n care E < 0 vom nota cu:k

=_2m[E[ h2si ecuat ia lui Schr odinger va deveni n acest caz:+d2dx2 k

2 = 0cu solut ia generala de forma:(x) = Aexp_+k

x_+Aexp_k

x_Condit iile de continuitate ale funct iei sunt ndeplinite si nacest caz numai daca A = 0 si B = 0, deci si n aceasta situat ienu exista valori proprii negative.Oservat ii1.

In cazul acestei proleme nu am facut uz de condit ia generalade continuitate a derivatei. Ea nu este ndeplinit a la capetele intervalului aceasta ind legata de existent a saltului la innit peCAPITOLUL 2. FIZICA CUANTICA 84care

l sufera energia potent iala.2. Se remarca deoseirea fat a de comportarea n condit ii analoage a unei particule clasice. O astfel de particula poate executao miscare oscilatorie cu orice energie ntre cei doi peret i rigizisau poate n repaus cand E = 0. In cadrul mecanicii cuanticemiscarea va avea loc numai pentru anumite valori ale energiei,num arul lor ind . In plus energia starii fundamentale Ei estediferita de zero, adica n interiorul gropii de potent ial particulacuantic a nu poate n repaus. Aceasta concluzie poate privitaca o consecint a a relat iilor de nedeterminare a lui Heisenerg.2.2.5 Sa se determine valorile x = (< x2> < x >2)12 sip = (< p2> < p >2)12 petru o particua tr

o groapa cuperet i iit i de argime a.Sout ieFuct ia de stare petru o particua groapa cu peret i iit ieste: (x) =_2a sin na xAtunci:< x >=a_0_2

a(in na x) (x)_2a in(na x)dx = a2< x2>=a_0(x)x2(x)dx = a23_1 322n2_CAPITOLUL 2. FIZICA CUANTICA 85x = a_ 112 122n2_12 x = iddx

__2a in na x_ x = i_2ana co

na x< x >=+_ px = hi2a_na_ a_0_co

na x__

in na x_dx = 0 2x

= h22x2 = h22x2 = h2_2an22a2 in na x< 2x >= 22an22a2a_0

in2_na2 x_dx = 2n22a

2 = n2

24a2p = h2a2.2.6 I probema 2.2.4 cosideram particua starea fudameta a. Sa se evaueze eergia miima de excitare cazurie:a. a = 1010m si m = 9, 1 1031kgb. a = 1014m si m = 1, 673 1027kgCAPITOLUL 2. FIZICA CUANTICA 86Sout ieEergia miima de excitare este:E = E2E1 = 42 22ma2 2 22ma2 = 32 22ma2Efctuand calcull rzulta:E = 113 VE = 6, 15 MV

Primul caz corund unui lctron aat ntr-o rgiun r-mia al cari dimniuni unt comarabil cu cl al unui atom,iar cl d-al doila caz corund unui roton aat ntr-o rgiunrmia al cari dimniuni unt comarabil cu cl al unuinuclu.2.2.7 Un lctron cu vitza v0 = 106m/ mic a libr ntr-orgiun din at iu, atrunzand aoi ntr-o rgiun und xitaun cam cu nrgia otnt ial a Uo = 4 V (vzi Fig. 2.2). Sa calculz:a. nrgia lctronului n rima rgiun (n V)b. ditant a la car dnitata d robabilitat d localizar alctronului n rgiuna a doua cad d oriSolut ia. Pntru un lctron nrlativit (cazul notru), nrgia acintica t:Ec = mv2o2 = 2, 84 VCAPITOLUL 2. FIZICA CUANTICA 87O xI II0UEFig. 2.2b. Enrgia otnt iala a ar xria (vzi Fig. 2.2):U(x) =_ 0 x < 0Uo x 0In rgiuna n car x 0, cuat ia Scr odingr t: h22md2IIdx2

+UoII = EIIsaud2IIdx2 2m h2 (UoE)II = 0Notam cu:k22 = 2m h2 (UoE)Astfel, ecuat ia Schr odinger se va scrie su forma:d2IIdx2 k22II = 0CAPITOLUL 2. FIZICA CUANTICA 88Solut ia acestei ecuat ii este:II = A2ek2x

+B2ek2xAceasta solut ie treuie sa e marginita la innit. AtunciA2 = 0. Funct ia de unda devine:II = B2ek2xDensitatea de proailitate de a gasi particula n regiunea adoua este:P2(x) = IIII = [B2[2e2k2x pentru x = 0 P2(0) = [B2[2 petru x = a P2(a) = [B2[2e2k2aPuem codit ia ceruta de probema:P2(a) = 1eP2(0)

Rezuta:a = 12k2= 12 h_2m(UoE) 100 A2.2.8 O particua cuantica e masa m se aa ntro groapa epotent ia biimensionaa cu peret ii impenetrabii e aturi a sib (vezi Fig. 2.3). Sa se etermine vaorie proprii ae energieiparticuei si funct iie proprii corespunzatoare.CAPITOLUL 2. FIZICA CUANTICA 89ObayxFig. 2.3Sout ieDeoarece = (x,

) ecuat ia Schr odinger este: h22m_2x2 + 22_= EAlegem funct ia de unda de forma:(x,

) = 1(x)2(

)si ecuat ia Schrodinger se va scrie: h

22m_2(

)d21(x)dx2 +1(x)d22()d

2_= E1(x)2(

)11d21dx2 + 12d22d2 + 2mE h2 = 0CAPITOLUL 2. FIZICA CUANTICA 90Se ot in ecuat iile:1

1d21dx2 = k2112d22d2 = k22unde k21 +k22 = 2m h2 ESolut iile acestor ecuat ii sunt:1 = A1 sin k1x +B1 cos k1x 0 x a2 = A2 sin k2

+B2 cos k2

0

Punem condit iile la limita:1

(0) = 1(a) = 0Din1(0) = 0 rezulta B1 cos 0 = 0 si B1 = 0Din1(a) = 0 rezulta A1 sin k1a = 0 si k1 = n1aund n1 = 1, 2, 3, ... Atfl:1(x) = B1 in n1a x cu n1 = 1, 2, 3...In mod analog vom obt in i ntru olut ia 2 xria:2() = B2 in n2b

k2 = n2

b ; n2 = 1, 2, 3, ...CAPITOLUL 2. FIZICA CUANTICA 91Atunci:n212a2 +n222b2 = 2mE 2Valoril oibil al nrgii unt:E = 222m_n21a2 + n22b2_Funct ia d unda va ava xria:(x,

) = 1(x)2(

) = C in n1a x in n

2b Pntru a dtrmina contanta C vom imun condit ia dnormar a funct ii d unda:_ a0_ b0dxd = 1[C[2_ a0

in2_n1a x_dx _ b0

in2_n2b

_d = 1Rzulta:[C[ =_ 4abAtunci, funct ia d unda va ava forma nala:(x,

) =_ 4ab_

in n1a x

__

in n2b _CAPITOLUL 2. FIZICA CUANTICA 922.2.9 Sa dmontrz ca n cazul n car nrgia otnt ial at funct i ara V (x) = V (x), funct ia proprie (x) corespunzatoare unei valori proprii nedegenerate E este e para, eimpara.Solut ieFie o funct ie proprie (x) corespunzatoare valorii proprii Ece satisface ecuat ia Schr odinger: h22md2(x)dx2 +V (x)(x) = E(x)Daca n ecuat ia de mai sus se schim a x n x si t inem contde simetria energiei potent iale: h22md2(x)dx2 +V (x)(x) = E(x)Aceasta nseamna ca funct ia de unda (x) satisface aceeasiecuat ie ca si funct ia (x). Daca E este valoare proprie nedegenerata atunci avem:(x) = (x)unde este o constanta. Schimban n reat ia e mai sus pe xcu x obt inem:(x) = (x) = 2(x)Rezulta:2= 1 sau = 1CAPITOLUL 2. FIZICA CUANTICA 93

Sout ia (x) ind unica, vom avea:(x) = (x) sau (x) = (x)Oservat ie: Daca E este o valoare proprie degenerata de ordindoi, o solut ie (x) va n general lipsita de proprietat i de paritate. Pornind de la o astfel de solut ie putem construi solut iile:1 (x) = (x) + (x)2 (x) = (x) (x)care sunt respectiv funct ie para si funct ie impara. Funct iile 1si 2 sunt liniar independente si ortogonale.2.2.10 Sa se determine funct iile proprii ale energiei unei particule care se misc antr

un potent ial unidimensional de tip treaptade potent ialU (x) =_ 0 pentru x < 0U0 pentru x 0pentru cazul cand energia E a particulei este mai mica decatn alt imea treptei de potent ial.Solut ieEcuat ia lui Schr odinger n regiunea I n care x < 0 este:d2Idx2 + 2mE h2 I = 0CAPITOLUL 2. FIZICA CUANTICA 94si n regiunea II n care x > 0d2IIdx2 + 2m h2 (E U0

)II = 0Se efectueaza sustitut iile:k21 = 2mE h2 si k22 = 2m(U0E) h2si ecuat iile de mai sus devin:d2Idx2 +k21I = 0sid2IIdx2 k22II = 0Solut iile acestor ecuat ii sunt:I = a1eik1x+a2eik1

xpentru x 0II = a3ek2x+a4ek2xpentru x > 0Funct iile proprii treuie sa e funct ii de modul patrat integraile. Din acest motiv ele nu treuie sa tinda spre valoriinnite. Atunci a3 = 0 siII = a4ek2xCondit iile de continuitate pentru funct ie si derivata se punn punctul x = 0. Astfel:I(0) = II(0)CAPITOLUL 2. FIZICA CUANTICA 95dIdxx=0= dIIdxx=0Rezulta

a1 +a2 = a4siik1a1ik1a2 = k2a4de undea2 = k1ik2k1 +ik2a1 si a4 = 2k1k1 +ik2a1NotamA

= a1k1 +ik2Atunci funct ia proprie a energiei este:I(x) = A

[(k

1 +ik2)eik1x+ (k1ik2)eik1x]II(x) = 2k1A

ek2xx > 0Daca A

este num ar real solut ia este reala. Este convenailsa introducem unghiul denit prin: = rg(k1 +ik2)sin = k2_k21 +k22si cos = k1_k21 +k22=_EU

0CAPITOLUL 2. FIZICA CUANTICA 96Atunci:I = 2A

_k21 +k22 cos(k1x +) pentru x < 0II = 2k1A

ek2xpentru x > 0Notand:2A

_k21 +k22 = CI = C cos(k1x +)II = C_EU0ek2xFunct ia (x) nu este integraila modul patrat. Constanta C

poate determinata dintro condit ie de normare n sens generalizat.2.2.11 Sa se determine spectrul de energii si funct iile propriicorespunzatoare ale unei particule a carei energie potent iala este(vezi Fig. 2.4):V (x) =_ 0 [x[ < aV0 [x[ aSa se normeze funct iile proprii corespunzatoare la valori propriidin spectrul discret.CAPITOLUL 2. FIZICA CUANTICA 97O0VVaa xFig. 2.4Solut ieSpectrul energiei este un spectru mixt: discret cand E < V0si continuu cand E > V0.Notam funct ia proprie astfel:(x) =___I (x) , x aII(x), a < x < aIII (x) , x aI (x) si III (x) sunt solut ii ale ecuat iei: h22md2dx2

+V0 = E , [x[ aiar II este o solut ie a ecuat iei: h22md2dx2 = E, [x[ < aIn plus treuiesc ndeplinite condit iile de continuitate pentruCAPITOLUL 2. FIZICA CUANTICA 98funct ie si derivat a n punctele x = a si x = a.I (a) = II (a)

I (a) =

II (a)II (a) = III (a)

II (a) =

III (a)a. Cand E < V0 spectrul de valori este discret.In acest caz notam cu:k1 =_2mE h2

; k2 =_2m(V0E) h2Cu aceste notat ii ecuat ia Schrodinger pentru cazul [x[ adevine:d2dx2 k22 = 0cu o solut ie generala de forma:(x) = a exp (+k2x) + exp (k2x)iar ecuat ia Schrodinger pentru cazul [x[ < a devine:d2dx2 +k21 = 0, [x[ < acu o solut ie generala de forma:(x) = a cos k1x + sin k1xSolut ia marginit a para este de forma:I (x) = Aexp (k2x)II (x) = Bcos k1xIII (x) = I (x) = Aexp (k2x)

CAPITOLUL 2. FIZICA CUANTICA 99Aceasta solut ie are o astfel de forma deoarece la +si solut ia treuie sa e nita. Din acest motiv la termenul cecont ine pe exp (k2x) nu treuie sa existe, iar la + termenulce cont ine pe exp (k2x) nu treuie sa existe.Solut ia impara marginit a este de forma:I (x) = C exp (k2x)II (x) = Dsin k1xIII (x) = C exp (k2x)In cazul solut iei pare condit iile de continuitate pentru funct iesi derivate n punctul x = a sunt:Aexp (k2a) = Bcos k1ak2Aexp (k2a) = Bk1 sin k1aCondit iile de continuitate pentru funct ie si derivate n punctul x = a sunt identice cu acestea.Sistemul de mai sus are solut ii daca:k1tg k1a = k2Notand cu x = k1a si cu

= k2a, ecuat ia de mai sus devine:

= xtg xIn plus x > 0, > 0 si:x2+

2= k21a2+k22a2= 2ma2 h2 V0Ultimele doua condit ii sunt ndeplinite simultan numai pen

tru anumite valori ale energiei. Aceasta rezulta din rezolvareanumeric a sau graca a acestor ecuat ii.CAPITOLUL 2. FIZICA CUANTICA 1002 / p p 2 / p 3 p 22 / p 5

xx tg = x ctg =Fig. 2.5Vom reprezenta funct ia

= xtg xn domeniilen care aceastaeste pozitiva ( curele continuii din Fig. 2.5).Cura x2+

2= 2ma2h2 V0 este un sfert de cerc. In cazul aces

tei solut ii, spectrul de energii are cel put in o valoare proprie nintervalul (0, V0

) .In cazul solut iei impare condit iile de continuitate pentru funct iesi derivat a n punctul x = a sunt:C exp (k2a) = Dsin k1aCk2 exp (k2a) = Dk1 cos k1aSistemul de mai sus are solut ii daca:k2 = k1ctg k1aCAPITOLUL 2. FIZICA CUANTICA 101Utilizand aceleasi relat ii ca si n cazul anterioar ot inemrelat iile:

= xctg xx2+

2= 2ma2 h2 V0Ecuat iile de mai sus sunt reprezentate n Fig. 2.5.Pentru ca sa existe cel put in o solut ie este necesar ca:_2ma2 h2 V0_1/2> 2

In cazul ca:N2 _2ma2 2 V0_1/2 N + 12 cu N = 0, 1, 2, ... numarul tarilor lgat t gal cu N + 1(ntru N=0 mnul galitat ii xclud).T inand cont d dicut ia antrioar a, din rlat iil d continui-tat ntru funct i i drivat, ntru olut ia ara, rzulta:B = Ax (k2a)cos k1aSolut ia para este:I (x) = Aexp (k2x) x aII (x) = Aexp (k2a)cos k1a cos k1x a < x < +aIII (x) = Aexp (k2x) x aCAPITOLUL 2. FIZICA CUANTICA 102Condit ia de normare se exprima prin relat ia:+_

[(x)[2dx = 1Rezulta:a_[I (x)[2dx +a_a[II (x)[2dx ++_a[III (x)[2dx = 1sau:[A[2a_exp(2k2x)dx +[A[2 exp (2k2a)cos2k1aa_acos2k1xdx+[A[2+_aexp (2k

2x) dx = 1[A[2_ 12k2exp (2k2a) + exp (2k2a)cos2k1a a + 12k2exp (2k2a)_= 1[A[2_ 1k2+ acos2k1a_exp(2k2a) = 1In plus mai avem relat ia:tg k1a = k2k11cos2k1a

= tg2k1a + 1 = k22k21+ 1CAPITOLUL 2. FIZICA CUANTICA 103adica:[A[2exp (2k2a)_ 1k2+ak21 +k22k21_= 1si:[A[2= k2k21 exp (2k2a)k21 +ak1 (k22 +k

21)In mod analog pentru solut ia impara din relat iile de continuitate pentru funct ie si derivate rezulta :D = Cexp (k2a)sin k1aSolut ia impara este:I (x) = C exp (k2x) x aII (x) = Cexp(k2a)sin k1a a < x < aIII (x) = C exp (k2x) x aPunand condit ia de normare pentru aceasta funct ie, rezulta:[C[ = [A[. Cand E > V0 spectrul este continuu:Notam cu:k

2 =_2m(E V0) h2 ; k1 =_2mE h2CAPITOLUL 2. FIZICA CUANTIC

A 104Ecuat iile Schrodinger devin:d2dx2 +k

22 = 0, pentru [x[ ad2dx2 +k21 = 0, pentru [x[ < aSolut ia para este:I = A1 sin k

2x +A2 cos k

2x x aII = Bcos k1x a < x < aIII = I (x) = A1 sin k

2x +A2 cos k

2x x aCondit iile de continuitate pentru funct ie si derivata n punc

tul x = a sunt:Bcos k1

a = A1 sin k

2a +A2 cos k

2aBk1 sin k1a = A1k

2 cos k

2a A2k

2 cos k

2aCondit iile acestea pot ndeplinite pentru orice valoare aenergiei ( acesta este un sistem de 2 ecuat ii cu 3 necunoscute ).Vom exprima A1 si A2 n funct ie de B. Rezulta:A1 = Bk1 sin k1a cos k

2a Bk

2 cos k1a sin k

2ak

2A2 = Bk1 sin k1a sin k

2a +k

2 cos k1a cos k2ak

2CAPITOLUL 2. FIZICA CUANTICA 105Solut ia para este:I (x) = B_cos k1a cos k

2 (x +a) + k1k

2sin k1a sin k

2 (x +a)_x aII (x) = Bcos k1a a < x < aIII (x) = B_

cos k1a cos k

2 (x a) k1k

2sin k1a sin k

2 (x a)_x aSolut ia impara rezulta printrun calcul analog celui anteriorca ind:I (x) = C_sin k1a cos k

2 (x +a) + k1k

2cos k1a sin k

2 (x +a)_x aII (x) = C sin k1a a < x < aIII (x) = C_sin k1a cos k

2 (x a) + k

1k

2cos k1a sin k

2 (x a)_x a2.2.12 Sa se calculeze valorile posiile ale energiei unei particulen groapa de potent ial:V (x) =___ x < 00 0 < x < aV0 x > aSa se determine adancimea minima a gropii de potent ial V0 pen

tru ca sa existe stari legate (Fig. 2.6).CAPITOLUL 2. FIZICA CUANTICA 106Oxa

V0VFig. 2.6Solut ieEnergiile starilor legate se vor ncadra n intervalul (0, V0).In regiunea x < 0, I (x) = 0 ceea ce din punct de vedere zicarata ca regiunea este inaccesiila particulei. Pentru celelalteregiuni funct ia proprie a energiei o vom nota cu:(x) =_ II (x) 0 < x < aIII (x) x > aunde II

este o solut ie a ecuat iei: h22md2IIdx2 = EIIiar III este o solut ie a ecuat iei: h22md2IIIdx2 +V0III = EIIICAPITOLUL 2. FIZICA CUANTICA 107In plus treuiescndeplinite condit iile de continuitate a funct iein punctul x = 0 si de continuitate pentru funct ie si derivat a npunctul x = a.I (0) = II (0)II (a) = III (a)

II (a) =

III (a)Notam: k1

=_2mEh2 si ecuat ia pentru II devine:d2IIdx2 +k21II = 0, 0 < x < aRezulta:II (x) = Aexp (ik1x) +Bexp (ik1x)Notam cu:k2 =_2m(V0E) h2Ecuat ia Schrodinger pentru III devine:d2IIIdx2 k22III = 0, pentru x > aRezulta:III = C exp (k2x) +Dexp (k2

x)Pentru ca solut ia sa e marginita la innit este necesar caC = 0.III = Dexp(k2x)CAPITOLUL 2. FIZICA CUANTICA 108Atunci condit iile de continuitate pentru funct ie si derivat adevin:___A +B = 0Aexp (ik1a) + Bexp (ik1a) = Dexp (k2a)ik1Aexp (ik1a) ik1Bexp (ik1a) = k2Dexp (k2a)Din prima ecuat ie: B = A. Sistemul de ecuat ii de mai susse reduce la:A[exp (ik1a) exp (ik1a)] = Dexp (k2a)ik1A[exp (ik1a) + exp (ik1a)] = k2Dexp (k2a)sau:

2iAsin k1a = Dexp (k2a)2iAk1 cos k1a = k2Dexp (k2a)Sistemul de mai sus are solut ii daca:tg k1a = k1k2Notand cu x = k1a si cu

= k2a, ecuat ia de mai sus se scrieca:tg x = x

sau:

= xctg xIn plus x > 0, > 0 si:x2+

2= 2mV0 h2 a2= k2CAPITOLUL 2. FIZICA CUANTICA 1092 / p p 2 / p 3 p 2

xctg x x =

2 2 22x k + =Fig. 2.7Ultimele condit ii sunt ndeplinite simultan numai pentru anumite valori ale energiei. In Fig. 2.7 sunt reprezentate cele douaecuat ii.Pentru a exista cel put in o solut ie este necesar ca :_2mV0 h2 a2_1/2> 2

au:a2V0 228md und:V0 > 228m1a2CAPITOLUL 2. FIZICA CUANTICA 110Funct ia d unda dtrmina din condit iil d continuitat ntru funct i i drivata.D = 2iAin k1a x (k2a)In lu A = B si atunci:

I (x) = 0 x 0II (x) = 2Acos k2x 0 < x < aIII (x) = 2iAsin k1a exp (k2a) exp (k2x) x aOservam ca:[III[2 exp (2k2x)a

ica n regiunea x > 0 probabiitatea

e a gasi particua sca

eexponent ia cu cresterea ui x.2.2.13 Eectronii e conuct ie in metae sunt ment inut i n interioru acestora e catre un potent ia care, ntrun moe simpicat este (vezi Fig. 2.8):V (x) =_ Vo x < 00 x 0Sa se etermine coecient ii e reexie si transmisie a suprafat ametauui pentru eectronii ce provin

in interioru metauui.Sout ieConsieran (x, t) funct ia de unda a particulei, atunci densitatea de proailitate de localizare este:P(x, t) = CAPITOLUL 2. FIZICA CUANTICA 111x OV0V Fig. 2.8si densitatea curentului proailitat ii de localizare este:j(x, t) = h2mi_

x x_Intro stare de energie ine determinata, funct ia de unda areexpresia:(x, t) = u(x)e i hEtunde u(x) este funct ia proprie corespunzatoare energiei E. Intr

oastfel de stare, P si j nu depind de timp. Astfel:P = uuj = h2mi_ududx ududx_a. Vo < E < 0Notam funct ia proprie a energiei:u(x) =_ uI(x) x < 0uII(x) x 0CAPITOLUL 2. FIZICA CUANTICA 112cu condit iile de continuitate pentru funct ie si derivata n punctulx = 0:uI(0) = uII(0)u

I(0) = u

II(0)unde uI este o solut ie a ecuat iei: h2md2uIdx2 VouI = EuIiar uII este o solut ie a ecuat iei: h22md2uIIdx2 = EuIINotamk1 =_2m h2 (Vo[E[)Atunci, ecuat ia din prima regiune devine:d2uIdx2 +k21

uI = 0Ea are solut ia:uI(x) = Aeik1x+Beik1xx < 0Notam cu:k2 =_2m[E[ h2CAPITOLUL 2. FIZICA CUANTICA 113Atunci, ecuat ia din a doua regiune devine:d2uIIdx2 k22uII = 0cu solut ia:uII(x) = Cek2x+Dek2xx > 0Din condit ia de marginire a funct iei rezulta C 0 siuII(x) = Dek2x

Condit iile de continuitate pentru funct ie si derivata impusen punctul x = 0, conduc la urmatorul sistem:A +B = Dik1A ik1B = k2DAtunci:D = 2A ik1ik1k2B = A(ik1 +k2)(ik1k2)ceea ce nseamn a ca spectrul de energii este continuu si nedege

nerat. Atunci, funct ia de stare va avea forma:u(x) =_ Aeik1x+Beik1xx < 0Dek2xx 0Calculand densitatea curentului de proailitate ot inem,pentru x < 0:j = h2mk1[(A +B)(A B) (A +B)(A

+B)]= hk1m [[A[2[B[2]CAPITOLUL 2. FIZICA CUANTICA 114Daca t inem cont de relat ia dintre A si B ot inut a mai sus,rezulta:j = 0Pentru a interpreta acest rezultat vom t ine cont de faptulca, pentru x < 0 termenul Aeik1xdin solut ia ecuat iei atemporaleSchr odinger descrie partea atemporala din unda ce se propagan sensul axei Ox. Pentru aceasta unda:ji = hk1m [A[2reprezint a densitatea curentului incident. Termenul Beik1xde

scrie partea atemporala din unda ce se propaga n sens inversaxei Ox. Pentru aceasta undajr = hk1m [B[2reprezint a densitatea curentului reectat.Cum [A[ = [B[ rezulta ca densitatea de localizare gloala va :j = ji +jr = 0

In aceasta situat ie, coecientul de reexie R denit ca:R = jrjieste:R = 1CAPITOLUL 2. FIZICA CUANTICA 115Pentru cazul x > 0 va rezulta j = 0, adica densitatea curen

tului de proailitate de localizare transmis n aceasta regiuneeste nul a. Atunci coecientul de transmisie denit ca:T = jtji= 0Ca si n cazul clasic, electronul ce poseda energie cinetica maimica decat n alt imea treptei de potent ial se va reecta. Totusi,spre deoseire de cazul clasic, exista o proailitate de a gasielectronul n regiunea x > 0 (n exteriorul metalului). Aceastaeste:P = uIIuII = D2e2k2x= 4[A[2

Vo[E[Voe2k2xFenomenul este analog cu cel al reexiei totale din optica.Din punct de vedere al opticii geometrice, trecerea luminii dintrun mediu cu indice de refract ie mai mare ntr

un mediu cu indicede refract ie mai mic, nu este posiila daca unghiul de incident adepaseste unghiul limita. In optica ondulatorie se arata ca, ncazul acesta unda luminoasa (caracterizata prin E) patrunde n

cel deal doilea mediu, iar intensitatea ei descreste tot dupa olege exponent iala.. E > 0Funct ia proprie a energiei o vom nota ca si n cazul precedent prin uI si uII ndeplinind aceleasi condit iile de continuitatepentru funct ie si derivata. Notam cu:k1 =_2m(E +Vo) h2CAPITOLUL 2. FIZICA CUANTICA 116iar ecuat ia Schrodinger devine:d2uIdx2 +k21uI = 0 x < 0cu solut ia:uI(x) = Aeik1x+Beik1xx < 0Notam cu:k2 =_2mE h2iar ecuat ia Schrodinger devine:d2

uIIdx2 +k22uII = 0 x 0Ea are solut ia:uII(x) = Ceik2x+Deik2xx > 0Funct ia de unda se va scrie, pentru acest caz:u(x) =_ Aeik1x+Beik1xx < 0Ceik2x+Deik2xx > 0Termenul ce cont ine pe A reprezint a partea atemporala aundei plane ce soseste la treapta de potent ial (unda incident a);termenul cu B reprezinta unda reectata, cel cu C unda trans

misa iar cel cu D unda care soseste din exterior la suprafat ametalului. Deoarece unda care trece de treapta de potent ial numai ntalneste un alt ostacol, aceasta ultima unda nu exista siCAPITOLUL 2. FIZICA CUANTICA 117din acest motiv consideram D = 0. Condit iile de continuitatepentru funct ie si derivata conduc la sistemul:A +B = Ck1(A B) = k

2CRezulta:B = Ak1k2k1 +k2C = A 2k1k1 +k2Notam cu:ui = Aeik1xpartea atemporala a undei incidenteur = Beik1xpartea atemporala a undei reectateut = Ceik2xpartea atemporala a undei transmiseVom ot ine pentru densitatea curentului de proailitate delocalizare expresiile:ji = hk1m [A[2jr = hk1m [B[2j

t = hk2m [C[2Atunci coecient ii de reexie si respectiv de transmisie vor:R = jrji= [B[2[A[2 =_k1k2k1 +k2_2T = jtji= [C[2[A[2 = 4k21(k1 +k2)2CAPITOLUL 2. FIZICA CUANTICA 118T inand cont de expresiile pentru k1 si k2

, coecient ii R si Tvor avea forma:R =_E +VoEE +Vo +E_2= V2o(E +Vo +E)4T = 4_(E +Vo)E(E +Vo +E)2In conformitate cu mecanica clasica, atunci cand E > 0, elec

tronul nu poate reectat, adica acesta poseda sucient a energiepentru a se eliera din interiorul metalului.In cazul prolemei tratata cuantic, rezulta existent a unei proa

ilitat i de reexie diferita de zero (se elimina cazul anal Vo = 0).Daca E VoR V2o16E

2adica, p

obabilitatea de

eexie scade

apid cu c

este

ea ene

giei.Daca E > 0 si E Vo, atunci coecientul de eexie va :R = 1__EVo+ 1 +_EVo_4 _1 _EVo_4 1 4_EVo2.2.14 Sa se dete

mine coecient ii de t

ansmisie si de

eexiepent

u o pa

ticula ce se misc a n sensul axei Ox si nt alnestebaiea de potent ial:CAPITOLUL 2. FIZICA CUANTICA 119a OVx0VFig. 2.9V (x) =___0 x < 0V0 0 x a0 x > an cazuile 0 < E < V0 si E > 0 (vezi Fig. 2.9).Solut ie:a. 0 < E < V

0Notam funct ia p

op

ie a ene

giei cu:u(x) =___uI (x) x < 0uII (x) 0 x auIII (x) x > 0cu condit iile de continuitate pentu funct ie si deivate n punctulCAPITOLUL 2. FIZICA CUANTICA 120x = 0 si x = a :uI (0) = uII (0)u

I (0) = u

II (0)uII (a) = uIII (a)u

II (a) = u

III (a)uI (x) este o solut ie a ecuat iei: h22md2uIdx2 = Eu

I x < 0uII (x) este o solut ie a ecuat iei: h22md2uIIdx2 +V0uII = EuII 0 x auIII (x) este o solut ie a ecuat iei: h22md2uIIIdx2 = EuIII x > aNotam cu:k1 =_2mE h2 si k2 =_2m(V0E) h2 (2.1)Ecuat iile Sch

odinge

pent

u cele t

ei

egiuni devin:d2u

I (x)dx2 +k21uI (x) = 0, x < 0d2uII (x)dx2 k22uII (x) = 0, 0 x aCAPITOLUL 2. FIZICA CUANTICA 121d2uIII (x)dx2 +k21uIII (x) = 0, x > aSolut iile acesto

ecuat ii sunt:uI (x) = A1 exp (ik1x) + B1 exp (ik1x) , x < 0uII (x) = A2 exp (k2x) +B

2 exp (k2x) , 0 x auIII (x) = A3 exp (ik1x) + B3 exp (ik1x) , x > aIntepetaea acestoa este umatoaea:Temenul A1 exp (ik1x) epezinta patea atempoala a undeiincidente ce se p

opaga n sensul axei Ox.Temenul B1 exp (ik1x) epezint a patea atempoala a undei eectate de baiea cae se popaga n sens inves axei Ox.In

egiunea in ca

e x > a se p

opaga numai unda t

ansmisaa caei pate atempoala este A3 exp (ik1x) .Cumn aceasta egiune nu exista unda cae sa se popage nsens inve

s axei Ox, B3 0. T inand cont de ezultatele de lapoblema pecedent a, obt inem densitatea cuentului de pobabilitate de localiza

e incident:ji = hk1m [A[2densitatea cu

entului de p

obabilitate de localiza

e

eectat:j

= hk1m [B1[2

si densitatea cuentului de localizae tansmis:jt = hk1m [A3[2CAPITOLUL 2. FIZICA CUANTICA 122Coecientul de tansmisie este:T = jtji= [A3[2[A1[2ia cel de eexie este:R = j

ji= [B1[2[A1[2Pentu a detemina coecient ii A1, A2, A3, A4 t inem cont deelat iile de continuitate pentu funct ie si deivate. Rezulta:A1 +B1

= A2 +B2ik1A1ik1B1 = k2A2k2B2A2 exp (k2a) + B2 exp (k2a) = A3 exp (ik1a)k2A2 exp (k2a) k2B2 exp (k2a) = ik1A3 exp (ik1a)Se obt ine:A3A1= 4ik1

k2(k2 +ik1)2exp(k2a) (k2ik1)2exp (k2a)sau:A3A1= 2ik1k2[k22k21]shk2a + 2ik1k2chk2aCoecientul de t

ansmisie este:T =A3A12=

4k21k22(k22k21)2sh2k2a + 4k21k22ch2k2aCAPITOLUL 2. FIZICA CUANTICA 123ch2x = 1 + sh2xAstfel:T =A3A12= 4k21k2

2(k22 +k21)2sh2k2a + 4k21k22Cum:k21 = 2mE h2 si k2 = 2m h2 (V0E)avem:k21 +k22 = 2mV0 h2 si k21k22 = 4m2E (V0E)

h4Rezulta:T = 4E (V0E)V20 sh2k2a + 4E (V0E)Coecientul de

eexie :R = 1 T = V20 sh2k2aV20 sh2k2a + 4E (V0E)Deoa

ece T ,= 0 pa

ticula t

ece p

in ba

ie

a de potent ial cuo anumit a pobabilitate, chia daca enegie ei este insucientadin punct de vedee clasic pentu aceasta. Aceasta se petececa si cum n ba

ie

a de potent ial apa

e un tunel p

in ca

e pa

ticula penet

eaza sp

e cealalta pa

te. Din acest motiv efectul senumeste efect tunel.Sa studiem coecientul de tansmisie atunci cand E V0.Atunci:T 4EV0sh2k1aCAPITOLUL 2. FIZICA CUANTIC

A 124In cazul cand:k2a 1putem apoxima:sh2k2a exp (2k2a)4In aceasta situat ie:sh2k2a 1Rezulta:T 16E (V0E)V20exp (2k2a) 1Daca alegemV0E = 5 MeV putem calcula facto

ul exponent ialpent

u dive

se g

osimi ale ba

ie

ei. Rezultatele sunt p

ezentaten tabelul de mai jos:a(A) 1 1,3 1,5 1,8 2 5 10e2k2a0,1 0,04 0,03 0,016 0,008 5,5 1071,4 1012b. In cazul E > V0 teceea o putem face pin nlocuiea luik2 cu ik

2

unde k

2 =_2m(EV0)h2 .In acest caz, n ezultatul nal shk2a se nlocuieste cu sin k

2asi V0E cu E V0.Atunci:T = 4E (E V0)V20 sin2k

2a + 4 (E V0) V0CAPITOLUL 2. FIZICA CUANTICA 125R = V20 sin2k

2aV20 sin2

k2a + 4 (E V0) V0In acest ultim caz atunci cand:sin k

2a = 0, R = 0adica ba

ie

a

eecta pa

ticula. Rezulta:k

2a = nk22 a2= n222m(E V0) a2 h2 = n22E V0 = n22 22ma2i rin urmar:En = V0 +n22 22ma2

Acata oarta numl d nrgi d rzonant a.Pntru nrgii foart mari (E V0)T = 11 + V 204(EV0)V0sin2k

2a 11 + V04E sin2k

22a 1 V04E sin2k

2asi pactic paticula nu se poate eecta.CAPITOLUL 2. FIZICA CUANTICA 1261x2x) (x VEExVix DFig. 2.10

2.2.15 O paticula de enegie E, patunde datoita efectuluitunel nt

o ba

ie

a de potent ial V = V (x) n punctul de co

odonata x1 si o paaseste n punctul de coodonata x2. Sa sestudieze coecientul de tansmisie (vezi Fig. 2.10).Solut ie:P

esupunem ca ene

gia potent ial a V (x) este o funct ie ne

teda. Impat im domeniul [x1, x2] n intevale xi astfe cat sacosideram trecerea particuei pritro succesiue de bariere depotet ia. Vom aege asa fe itervaee xi astfe cat:_2m[V (x) E] h2 xi 1adica coecietu de trasmisie petru bariera de potet ia deat ime xi sa poata aproximata cu:CAPITOLUL 2. FIZICA CUANTICA 127T = 16E [V (x) E]V20 (x) exp__1 h_8m[V (x) E]_xi_Oricum expoet iaa este termeu predomiat. Atuci pu

tem sa cosideram coecietu de trasmisie:Ti

exp__1 h_8m[V (x) E]_xi_Coecietu de trasmisie tota este:T = Ti exp__1 h_8m[V (x) E]_xi_T exp_

_1 h_8m[V (x) E]_xi_Trec ad a imita rezuta:T = C exp__1 hx2_x1_8m[V (x) E]dx__ude C este o costata.2.2.16 Se costata ca, sub iuet a uui camp eectric putericeectroii cep sa par aseasca metau a temperaturi oricat dejoase. Feomeu a fost umit emisie a rece , iar curetuobt iut, curet autoeectroic. Cosideram ca eectroii afarametauui au eergia potet iaa u a, iar iterioru metauui

se aa tro groapa de potet ia V0 pe ivee eergetice astfeCAPITOLUL 2. FIZICA CUANTICA 128c at eergia miima petru a iesi di groapa este W (ucru deextract ie).a. Sa se cacueze mod casic itesitatea campuui eectric acare ar trebui sa apara curetu autoeectroic.b. Sa se cacueze (cuatic) depedet a curetuui autoeectroic de itesitatea campuui eectric apicat.Sout ie:a. Cosideram metau tru camp eectric de itesitatec. Forta care act ioeaza asupra uui eectro se compue difort a ec cu care campu eectric act ioeaza asupra eectrouui sidi fort a de imagie eectrica. Aceasta di urma apare deoarecesusi eectrou creaza pe suprafat a metauui, pri iuet asarcii eectrice care atrag, ca si cum a o distat a egaa cudistat a eectrouui a meta, iterioru metauui se aa osarcia +e. Atuci:F = ec e2160x2und cu x am notat ditant a lctronului fat a d urafat a m-talului. Enrgia lctrotatica t:V (x) = x_0F (x) dx = x_0ecdx + e2160x_0dxx2V (x) = ecx e21601xValoara maxima a acti nrgii otnt ial obt in acolound:

dVdx = 0CAPITOLUL 2. FIZICA CUANTICA 129E x -EO mxmVW0VxVFig. 2.11Rzulta:ec + e21601x2 = 0i:xm = 14_ 0c_1/2Atunci:Vm = V (xm) = 12_e3c0_1/2Atfl, ub inunt a camului lctric, adancima groii d

otnt ial micoaraza cu valoara (vzi Fig. 2.11):Vm = 12_e3c0_1/2Din unct d vdr claic lctronii cu nrgia E curinan intrvalul (V0, Vm) nu pot iesi din interiorul metalului spreCAITOLUL 2. FIZICA CUANTICA 130deosebire de cei cu energia cuprinsa n intervalul (Vm, 0)Aceasta face ca lucrul mecanic de extract ie sa devina:W

= W [Vm[Atunci curentul ar trebui sa apara cand W

= 0 adica:W = [Vm[ = 12_e3c0_1/2Rzulta:c = W240

3Conidrand cazul wolframului ntru car W = 4, 9 V rzulta:c 2 10

8V/cmCu toate acestea se obt in cuent i neasteptat de mai chiapentu campui de 4 106V/cm.b. In tataea cuantica tebuie sa se t in a seama de efectul tunel. P

obabilitatea de st

apunge

e a ba

ie

ei este data detanspaent a baieei:T = c exp__1 hx2_x1_8m[V (x) E]dx__In situat ia noasta:V (x) = ecx e21601x2CAPITOLUL 2. FIZICA CUANTICA 131E x -OE2x0V -xFig. 2.12Nglijand trmnul datorat fort i imagin nrgia otnt ial ava d forma din Fig. 2.12.Punand [E[ = E obt inem:T = c exp__1 hx

2_x1_8m([E[ ecx)dx__unde x1 = 0 iar x2 este punctul n care E = ecx2, adica:x2 = [E[ecIntegrala de la exponent devine:I =x2_x1_8m([E[ ecx)dx = 8mecx2_0_[E[ ecx(ecdx) =I = 8mec([E[ ecx)3/232x20= 28mec [E[

3/2CAITOLUL 2. FIZICA CUANTICA 132adica:T = c exp_4 h2m3ec [E[3/2_Daca notam cu = 4h2m3eE [E[3/2:T = c exp_c_Atunci densitte de curent de probbilitte urmez pro-ximtiv ceisi form deci:I = I exp_c_In tbelul de mi jos este reprezentt fctorul exp_E_sidensitte de curent pentru E = 2eV.c (V/cm) exp_E_ I_A/cm2

_5 1068 10151, 5 1071071, 3 1061002 1070, 013 4 1063 1071 7 1082.2.17 Denim , constanta e ezintegrare a unui nuci cain

probabiitatea e ezintegrare a nuceuui n unitatea etimp. Sa se emonstreze ca n cazu nuceeor rdioctive estevlbil lege proximtiv (Geiger-Nuttl):ln = A BECAPITOLUL 2. FIZICA CUANTICA 1330RRE) (r VrFig. 2.13un

e A, B = const iar E

este energia cinetica a particuei tunci cnd se forte deprte de nucleu. Se v consider unmodel simplict l nucleului n cre V (r) = V0 daca r < R0,V (r) = e1e240r daca r > R0,( 1 = Z,

2 = 2 ). In lu va conidra ca constanta e ezintegrare este proport ionaacu coecientu e transmisie prin bariera e potent ia ( Energiie particueor sunt mult mi mici dect n lt ime brierei depotent il ).Solut ieSitut i din problem este prezentt n Fig. 2.13. Atunci coe-cientul de trnsmisie se scrie c:T=c exp__8m hR_R0_(V [r]