vasile popescu - fizica - probleme 2009[1]

UNIVERSITATEA “POLITEHNICA” BUCUREŞTI

CATEDRA DE FIZICĂ

V. A. POPESCU

PROBLEME REZOLVATE DE FIZICĂ

VOL. I

pentru uzul studenţilor

C U P R I N S

MECANICĂ ANALITICĂ ................................................................ 3

OSCILAȚII ŞI UNDE MECANICE ................................................. 9

TERMODINAMICĂ ........................................................................ 48

FIZICĂ STATISTICĂ ..................................................................... 115

BIBLIOGRAFIE ............................................................................. 162

MECANICĂ ANALITICĂ

1. Să se studieze căderea unui corp pe un plan înclinat folosind ecuațiile

Lagrange de speța I‐a şi a II‐a. R.: sin sin

cos cos

sin cos

2

În cazul căderii corpului pe planul înclinat, când luăm în considerare frecarea, ecuațiile Lagrange de speța I‐a

, 1, 2, … ,

se reduc la o singură ecuație

Deoarece

0 , , obținem: = m g sinα μ m g cosα = sinα μ cosα (mişcare uniform accelerată).

Soluția acestei ecuații este de forma:

2 unde şi se determină din condițiile inițiale.

Ecuațiile Lagrange de speța a II‐a sunt valabile în cazul în care neglijăm frecarea. Deoarece avem un singur grad de libertate, aceste ecuații

, 1, 2, … ,

se reduc la o singură ecuație

, 2

,0

sin sin 0

2 sin

, sin ,

Înlocuind în ecuația Lagrange de speța a II‐a obținem: sin

sin ⇒ 2 sin

Dacă la t = 0, , , rezultă:

2 sin .

2. Să se arate că pentru căderea liberă a unui punct material în câmp gravitațional (z = gt2/2) acțiunea S are o valoare mai mică decât pentru o mişcare virtuală z1 = C1t, unde C1 este o constantă ce se va determina din condiția ca la extremitățile intervalului de timp [0, τ ] între care se calculează acțiunea, mişcarea virtuală să coincidă cu cea reală.

R.:

2

2

2 ⇒ ⇒ 2 · 2 3

⇒ ⇒ 2 2 2

Pentru t = τ rezultă:

2 ⇒ 2

Înlocuind în obținem:

8 438 0,375

Deci , adică valoarea acțiunii corespunzătoare mişcării naturale este minimă.

3. Să se studieze căderea unui corp pe un plan înclinat folosind ecuațiile lui Hamilton.

R.:

2 , sin

2 sin

2 sin 2 sin

2 sin

2 sin Ecuațiile lui Hamilton sunt:

⇒

sin

Eliminând p din cele două ecuații obținem:

⇒ sin ⇒ sin

Mişcarea este complet determinată dacă se cunoaşte coordonata şi impulsul la

momentul inițial.

0 ⇒ ; ⇒ 2 sin 4. Să se arate că problema mişcării a două particule ce interacționează se poate

reduce la aceea a mişcării unui singur corp. R.: Se descompune mişcarea sistemului în două mişcări: cea a centrului de

inerție (centrul de masă sau centrul de greutate) şi cea a particulelor în raport cu acesta. Vectorul de poziție al centrului de inerție al celor două particule este definit prin relația:

Vectorul

exprimă poziția relativă a celor două particule.

Energia potențială de interacțiune a celor două particule depinde numai de distanța dintre ele | |.

Deoarece originea O este arbitrară, putem alege un sistem de coordonate cu originea în centrul de inerție, adică

0 = 0 Înlocuind în ultima relație obținem:

0 ⇒ ,

Funcția Lagrange a sistemului este dată de relația:

2 2| |

2 · 2 ·

2 ⇒

2 unde

se numeşte masă redusă. Funcția Lagrange obținută coincide formal cu funcția Lagrange a unui punct

material de masă m care se mişcă într‐un câmp exterior determinat de . 5. Să se determine traiectoria unei particule care se mişcă într‐un câmp central

de forțe folosind ecuația Lagrange de speța a II‐a. R.: Sistemul este conservativ, deoarece energia potențială a unei particule care

se mişcă într‐un câmp central de forțe depinde numai de distanța r. În coordonate polare, funcția Lagrange este:

2

Din ecuația Lagrange de speța a II‐a:

0

rezultă că impulsul generalizat asociat coordonatei ciclice se conservă:

.

Deoarece energia totală E a unui sistem conservativ este constantă, putem scrie:

2 .

Eliminând din ultimele două relații obținem:

2 2 ⇒ 2

Din relațiile:

, , rezultă:

·

2

Aceasta este ecuația traiectoriei punctului material în coordonate polare. În cazul atracției universale:

0,

expresia de sub radical se poate scrie astfel:

2 2

Notând

λ 2 ,

obținem:

λarccos

λ

2

1

1 2

1 cos

unde

, 12

Astfel am obținut ecuația unei conice cu focarul în originea coordonatelor, p şi e fiind parametrul, respectiv excentricitatea orbitei.

Pentru E 0 (e 1) traiectoria va fi o elipsă, pentru E 0 (e 1) traiectoria va fi o parabolă, iar pentru E 0 (e 1) traiectoria va fi o hiperbolă.

6. Să se arate că pentru un oscilator armonic liniar care oscilează după legea

cos volumul din spațiul fazelor se conservă.

R.: sin

Eliminând timpul între expresiile lui p şi q rezultă că traiectoria punctului figurativ în spațiul fazelor este elipsa

1

La momentul t = 0 avem cos , sin

Astfel putem exprima p şi q în funcție de şi : cos cos sin sin cos

sin

⇒

sin cos sin cos sin cos Determinantul funcțional (iacobianul) este:

,,

cossin

sin cos1

Deoarece ·

rezultă:

adică pentru un sistem conservativ este valabilă teorema lui Liouville.

OSCILAŢII ŞI UNDE MECANICE

1. Un cilindru de secțiune S, înălțime h şi densitate ρc este introdus vertical într‐un lichid cu densitatea ρl, efectuând o mişcare oscilatorie armonică. Să se scrie legea de mişcare ştiind că la momentul inițial t = 0 oscilatorul se află în poziția y0 şi are viteza v0.

R.: La echilibru static FA = G, adică

Pentru o poziție intermediară, forța rezultantă este de natură elastică:

⇒

⇒

Folosind condițiile inițiale pentru ecuațiile: sin cos

obținem: sin , cos

,

sin sin arctg

2. Să se determine soluția ecuației de mişcare a unui oscilator liniar armonic cu ajutorul legii conservării energiei.

R.: Din legea conservării energiei

12

12

rezultă:

22 ⇒

22 ⇒

22

⇒ 21 2

Notând

2

şi folosind relația

arcsin √1

obținem:

2 2

arcsin 2 ⇒

arcsin 2 ⇒ sin 2 ⇒

2sin

Notând

2 , ,

obținem: sin

3. Să se determine ecuația mişcării unui pendul plan de masă m şi lungime l al cărui punct de suspensie execută oscilații orizontale de forma = cosωt. La momentul inițial t = 0 unghiul dintre pendul şi verticală este , iar viteza corespunzătoare este . Oscilațiile pendulului se vor considera mici, iar masa firului neglijabilă.

R.: Alegem drept coordonată generalizată unghiul .

cos sin

cos sin cos

sin

cos

2 2 sin cos 2 sin cos sin

2 sin 2 sin cos

2 sin2 sin cos cos

sin cos

cos cos sin sin

sin sin sin

Înlocuind în ecuația Lagrange

0

obținem: sin cos cos ⇒ sin cos cos

În cazul micilor oscilații

sin , cos 1 , / putem scrie

cos

Soluția generală a acestei ecuații neomogene se exprimă ca suma dintre soluția generală a ecuației omogene

cos şi soluția particulară a ecuației neomogene, care se alege de forma membrului drept

cos Pentru determinarea lui B impunem ca să verifice ecuația de mai sus. Avem:

sin , cos

cos cos cos ⇒

Astfel soluția ecuației este:

cos cos

Constantele A şi se determină din condițiile inițiale:

0 ⇒ cos

sin sin ⇒ sin

cos

sin

arctg

4. Să se determine pulsațiile unui sistem format din două corpuri de masă m ,

cuplate la câte un resort de constantă elastică k . Corpurile sunt legate împreună printr‐un al treilea resort de constantă de elasticitate k’ .

R.: Energia cinetică T , energia potențială U şi funcția lui Lagrange L sunt date de relațiile:

2 2

2 2 2

12

12

12

Din ecuațiile Lagrange

0 , 0

obținem:

, , , ,

,

0 0

⇒

0 0

Impunem soluții de forma: cos , cos

Înlocuind în ecuații rezultă:

sin , cos , sin , cos

cos cos cos 0

0

⇒

cos cos cos 0

0

Pentru a avea soluții nebanale trebuie ca determinantul coeficienților necunoscutelor şi să fie nul.

0 ⇒ 0 ⇒

⇒

⇒

⇒ 2

5. Spotul unui galvanometru oscilează în jurul diviziunii zero. La două oscilații

succesive în acelaşi sens spotul ajunge la diviziunile 20 şi 17. Care va fi deviația spotului la a 5‐a oscilație?

R.: Amplitudinea oscilațiilor se modifică după legea:

, ,

, … , ,

⇒ ,

· · ⇒

Înlocuind valorile numerice obținem:

20 ·1720 10,44

6. Un pendul matematic de lungime l efectuează o mişcare amortizată. Ştiind

că după un timp t de oscilație pendulul a pierdut % din energia sa, să se determine: a) coeficientul de amortizare ; b) perioada proprie şi pulsația proprie ; c) pseudopulsația şi pseudoperioada ; d) decrementul logaritmic Λ ; e) raportul între amplitudinea inițială şi amplitudinea după n oscilații complete. Aplicaţie. I. l = 0,5 m, t = 8’ , = 99 , n = 100 , g = 9,8 m/s2. II. l = 0,5 m, t = 1 s , = 99 , n = 1 , g = 9,8 m/s2. R.: a) Deoarece după timpul t pendulul a pierdut % din energia sa rezultă că

1 100100100

Putem determina raportul amplitudinilor întrucât energia este proporțională cu pătratul amplitudinii:

√10010

Coeficientul de amortizare se determină din relația:

⇒ 10

√100 ⇒ ln 10 ln √100 ⇒

ln 10 ln√100

b) Perioada proprie a pendulului şi pulsația proprie sunt date de relațiile:

2 2

⇒

c) Pseudopulsația şi pseudoperioada se determină astfel:

2

⇒ 2

d) Decrementul logaritmic se determină astfel:

Λ =

e) Raportul amplitudinilor este:

Λ

Înlocuind valorile numerice obținem: I.

4,7970522 · 10 ; 1,4192269 ; 4,4271887 / ;

4,4271861 / ; 1,4192277 ; Λ = 6,8081096· 10 ;

1,9754791

Se constată că:

5,9 · 10 adică oscilația este foarte puțin amortizată.

II. 2,3 ; 1,42 ; 4,43 / ;

3,78 / ; 1,66 ; Λ = 3,82 ;

45,6

În acest caz oscilația este puternic amortizată. 7. Oscilațiile amortizate ale unui punct material sunt descrise de ecuația

cos Să se determine momentele de timp la care punctul material atinge pozițiile

extreme. R.: Momentele de timp la care punctul material atinge poziții extreme sunt date

de condiția ca dx/dt = 0, adică

cos sin 0 ⇒

cos sin 0 ⇒

tg , 0, 1, 2, …

arctg ⇒ 1arctg

8. Un corp cu masa m , suspendat de un resort cu constanta elastică k execută

oscilații într‐un mediu a cărui forță de rezistență este proporțională cu viteza. Cunoscând coeficientul de amortizare , amplitudinea forței armonice perturbatoare , precum condițiile inițiale , să se determine:

a) pulsația proprie ; b) pseudopulsația ; c) legea de mişcare a oscilatorului amortizat în absența forței exterioare; d) legea de mişcare a oscilatorului de la punctul c) pentru ; e) pulsația corespunzătoare rezonanței amplitudinii oscilatorului forțat; f) amplitudinea elongației A şi valoarea acesteia la rezonanță . Aplicaţie. m = 5 kg , k = 500 N/m , = 6 , 10 N , = 10 cm, = 20 cm/s ,

= = 3 = 18 . R.:

a)

⇒

b)

c) Deoarece , ecuația de mişcare are forma

cos La momentul inițial t = 0 avem:

cos 6 cos 8 sin ⇒ 6 8 sin ⇒

sin 834 ⇒ tg 8

34 ⇒

arctg 834

, cos

cos cos arctg 834

d) Deoarece , ecuația de mişcare are forma: |λ | |λ |

unde

λ , λ

Astfel

λ λ La t = 0:

λ λ λ ⇒

λ λ λ λ Adunând relațiile obținem:

λ λ λ ⇒ λ

λ λ ,

e) 2

,4

, 2

Introducând valorile numerice obținem: a)

5005 rad/s 10 rad/s

b

√100 36 rad s⁄ 8 rad s⁄ c)

arctg20

8 · 1034 arctg 1 4 ,

10√22

10√2 , 10√2 cos 8 4 cm

d) 18 , λ 3 , λ = 33

20 3 · 10 33 3

53 cm ,

253 cm

În acest caz mişcarea este aperiodică: 253

53 cm

e) √100 72 rad/s 5,3 rad/s

f) 10 N5 kg 2

Nkg ,

2 m100 64 4 · 36 · 64

0,0195 m 1,95 cm

2 m2 · 6 · 8 0,0208 m 2,08 cm

9. O sursă punctiformă izotropă emite unde sferive de frecvență ν. La distanța față de sursă, amplitudinea de deplasare a particulelor din mediu este şi în

punctul P situat la distanța față de sursă este de η ori mai mică decât . Să se determine coeficientul δ de amortizare al undei şi amplitudinea de oscilație a vitezei particulelor în punctul P. Aplicaţie:

ν 1,45 kHz; 5 m , 5 · 10 m , 10 m , η 3.

R.: Funcția de undă sferică amortizată este:

Partea reală a lui este:

La distanța față de sursă amplitudinea undei este:

iar la distanța

de unde:

η

Logaritmând ultima relație obținem:

lnη

⇒ lnη

Din expresia vitezei:

| | sin

obținem:

| | 2 ν ⇒ | | 2 ν ⇒ | | 2 ν η


0,08 m , | | 1,52 · 10 m/s 10. Un corp execută oscilații forțate. Pentru două valori şi ale pulsației

forței periodice externe, amplitudinea vitezei corpului este jumătate din valoarea maximă a acestei amplitudini. Să se determine:

a) pulsația proprie de oscilație a corpului ; b) coeficientul de amortizare δ ; c) factorul de calitate Q ; d) pseudopulsația în cazul unor oscilații amortizate, în absența forței externe. Aplicaţie. 9 rad/s , 4 rad/s . R.: a) Din expresia elongației:

cos obținem viteza şi amplitudinea vitezei :

sin ,

4

unde:

4 ,

Valoarea maximă a amplitudinii vitezei este determinată de condiția:

0 ⇒ 4

0 ⇒

Valoarea maximă a amplitudinii vitezei este:

4 2

Pulsațiile şi ale forței periodice externe pentru care amplitudinea vitezei este jumătate din valoarea maximă a acestei amplitudini se determină din condiția:

2 ⇒ 4

4 ⇒

4 16 ⇒ 2√3 ⇒

2√3 0 ⇒ √3 3

Deoarece 0 , , vom alege soluțiile:

3 √3 , 3 √3

Se constată că: 3 3 ⇒

b) Deoarece: 2√3

rezultă:

2√3

c) Factorul de calitate este:

2

d) Pseudopulsația oscilațiilor amortizate este dată de relația:


6 rad/s ,52√3

s ,6√35 , 5,82 rad/s

11. Să se determine valorile defazajului dintre forța periodică externă şi

elongația corespunzătoare condiției de rezonanță pentru: a) amplitudinea elongației; b) energia potențială medie; c) amplitudinea vitezei; d) puterea disipată medie; e) energia cinetică medie; f) puterea totală medie.

R.: a) Defazajul ϕ este determinat de relația:

tg2

Amplitudinea elongației este:

4

0 ⇒ 2 ⇒ tg

Am folosit pentru elongație expresia cos . b)

2 2 2 cos

4

0 ⇒ ⇒ tg

c) sin ,

0 ⇒ ⇒ tg2

∞ ⇒ 2

d) · · sin

2 2

0 ⇒ ⇒ 2

e)

2 2 sin , 4

0 ⇒ ⇒ 2

f)

· cos sin 2 sin2 cos sin cos Deoarece

sın2 0 , cos12

rezultă: sin2 , , sin

2 ⇒

0 ⇒ ⇒ 2

12. Să se determine valorile defazajului dintre răspunsul cinetic şi

excitația corespunzând condiției de rezonanță pentru: a) amplitudinea elongației; b) energia potențială medie; c) amplitudinea vitezei; d) puterea disipată medie; e) energia cinetică medie; f) puterea totală medie. R.: Din expresia elongației

cos obținem viteza şi defazajul :

sin cos 2 cos

2

a) , b) Din problema anterioară rezultă:

tg2

⇒ arctg 2

⇒

arctg2

2

c) , d) , e) , f)

2 ⇒ 0 13. Să se scrie direct soluția ecuației oscilațiilor electromagnetice într‐un

circuit RLC serie folosind analogia dintre mărimile electrice şi mecanice. R.: Ecuația oscilațiilor amortizate este:

2 0 unde:

2 ,

În cazul unui circuit RLC serie, ecuația corespunzătoare este: 1

0

Există corespondențele

, , 2 , 1 ,

1 , , .

În cazul amortizărilor intense

, 21

√

soluția ecuației este: λ λ , λ , λ

λ λ , λ 2 41 , λ 2 4

1

Pentru regimul critic

, 21

√

putem scrie:

, În cazul amortizărilor slabe

, 21

√

obținem: cos ,

cos , 1

4

Decrementul logaritmic Λ , timpul de relaxare τ , constanta de timp τ , factorul de calitate Q şi energia totală E sunt date de relațiile:

Λ 2

, Λ

14

τ1 , τ

2 , τ

12 , τ , 2 ,

1

2 sin cos ,

2 sin

1cos ,

14

14. Să se scrie direct mărimile caracteristice şi soluția ecuației oscilațiilor electromagnetice într‐un circuit RLC serie alimentat de o sursă de tensiune , folosind analogia dintre mărimile electrice şi cele mecanice.

R.: Ecuația oscilațiilor forțate este:

2 cos unde

2 , ,

Pentru un circuit RLC serie, ecuația corespunzătoare este: 1

cos

În regim staționar soluția ecuației este:

cos , 4

, tg2

cos ,1

, tg 1

Pulsația a forței exterioare pentru care amplitudinea oscilației forțate este maximă (rezonanța de amplitudine) este:

2 112 ,

12

În acest caz amplitudinea A şi tg devin:

2 , tg

2 ;

14

, tg2 1

2

Rezonanța cinetică a vitezei, a puterii disipate medii, a energiei cinetice medii şi a puterii totale medii are loc pentru:

1√

15. Să se determine amplitudinea, faza şi ecuația mişcării rezultate din

compunerea următoarelor două oscilații paralele: cos 10 4

2 cos 10 2

R.: 2 cos

1 4 4 cos 4 5 4√22

5 2√2

tgsin sincos cos

1 · sin 4 2 sin 21 · cos 4 2 cos 2

√22 2

√22

1 2√2

arctg 1 2√2

5 2√2 cos 10 arctg 1 2√2

16. Să se determine amplitudinea, faza şi ecuația mişcării rezultate din

compunerea a N oscilații paralele de amplitudini egale, care diferă între ele printr‐o diferență de fază constantă ∆ .

R.: Considerăm oscilațiile:

, ∆ , ∆ , … , ∆ Oscilația rezultantă este descrisă de elongația:

… 1 ∆ ∆ … ∆

1 … , ∆

11

1 ∆

1 ∆

∆ 1∆ 1

∆ ∆ ∆

∆ ∆ ∆

Folosind formulele:

sin∆2

∆ ∆

2 , sin∆2

∆

2 obținem:

∆ sin ∆

2sin ∆2

⇒ sin ∆

2sin ∆2

∆

φ ,sin ∆

2sin ∆2

, φ 1∆2

17. Să se scrie ecuația mişcării rezultate din compunerea următoarelor două

oscilații perpendiculare cos 10

2 cos 10 2 Să se arate că raza vectoare a punctului ce descrie mişcarea rezultantă mătură

suprafețe egale în intervale egale de timp. R.: Ecuația mişcării rezultante este:

2 cos sin

1 222 cos 2 sin 2 ⇒ 1 2 1

Traiectoria este o elipsă raportată la axele sale. Viteza areolară este: 12 ,

10 sin 10 , 20 sin 10 2

12 cos 10 · 20 sin 10 2 2 cos 10 2 · 10 sin 10

10 sin 10 cos 10 2 sin 10 2 cos10 10 sin 10 10 2

10 sin 2 10ms

18. Să se determine amplitudinile maximă şi minimă, faza, frecvența bătăilor şi

ecuația mişcării rezultante din compunerea următoarelor două oscilații paralele de pulsații foarte apropiate

2 cos 10 cm cos 11 cm

R.: 2 cm , 1 cm , 10 rad/s, 11 rad/s, 0

2 cos , 1 rad/s

4 1 4 cos √5 4 cos

3 , 1

tgsin 2 sin 2cos 2 cos 2

tg2 sin 2 sin 22 cos 2 cos 2

sin 23 cos 2

13 tg 2

arctg13 tg 2

ν ν ν 2 ⇒ ν12 Hz

Ecuația mişcării rezultante este:

cos , 2 ⇒ 212 rad/s

√5 4 cos cos212 arctg

13 tg 2

19. Să se arate că prin suprapunerea a două mişcări oscilatorii polarizate eliptic

în sensuri contrare se poate obține o oscilație liniară. R.: Considerăm o oscilație polarizată eliptic dreapta

cos , 1

cos 2 sin ,

şi o oscilație polarizată eliptic stânga cos ,

1 cos 2 sin ,

Compunând cele două oscilații obținem o mişcare oscilatorie care se efectuează după axa Ox şi are o amplitudine dublă celei inițiale:

2 cos 0

20. Să se arate că o mişcare periodică nearmonică descrisă de funcția

{, 2 0

, 0 2

poate fi exprimată ca o sumă de mişcări armonice cu pulsațiile , unde este pulsația fundamentală, iar 1 sunt pulsațiile armonicelor.

R.: Considerăm forma reală a seriei Fourier:

2 cos sin

2 ,

2cos ,

2sin

şi forma ei complexă

,

1, 2 ,

12

Calculăm coeficienții Fourier:

2

2 0

2cos

2cos

2

·1

sin2

· 0 sin2

22

·1

sin2

· 2 sin ·2

· 0 0

2 sin

2sin

2·1

cos2

· 0 cos ·2

22

·1

cos2

· 2 cos ·2

· 0

22 1 cos cos 1

21 cos

2· 2sin 2

4sin 2

Rezultă:

{ 0, n par 4, impar

4 sin 4sin

sin 33

sin 55 …

, ,…

0 , 2 , | |2

2 , impar

2 1 impar

21. Se consideră o funcție aleatoare sin în care amplitudinea b este constantă, iar faza inițială este o variabilă aleatoare uniform distribuită în intervalul 0, 2 . Să se determine:

a) valoarea medie ; b) valoarea pătratică medie ; c) funcția de autocorelație ; d) densitatea spectrală de putere . R.: a)

1

1 sin

cos2

· cos2

· 0

cos 2 cos sin 2 sin cos 0

(valoarea medie nu poate caracteriza procesele aleatoare).

b) 1

sin · 2 2

c)

lim1

lim sin sin

limcos cos

2

lim · 2 cos lim 2 cos 2 2

2 cos lim 2 ·12 sin 2 2 2 sin 2 2 2

2 cos lim 4 sin 2 sin 2 2 cos

deoarece

limsin

0 ,

iar şi 2 sunt factori neglijabili față de pentru ∞ . d)

lim 2 ·

2 lim 2 4 lim

4 lim

4 limcos 2 sin 2 cos 2 sin 2

cos 2 sin 2 cos 2 sin 2

4 lim2 sin 2 2 sin 2 ⇒

2

22. Se dă funcția de autocorelație

| | · cos Să se determine şi să se reprezinte grafic densitatea spectrală de putere . R.:

| | · cos

· 2

⇒

Am folosit o integrală de tipul

cos

23. Două unde armonice plane se propagă pe aceeaşi direcție şi în acelaşi sens

având vitezele de propagare şi şi lungimile de undă λ şi λ . Să se determine distanța d dintre două puncte succesive în care oscilațiile celor două unde sunt în fază. Care este viteza de deplasare a unor astfel de puncte?

Aplicaţie. 300 m/s; 280 m/s; λ 0,4 m; λ 0,5 m.

R.: Considerăm două unde descrise de funcțiile de undă

, Presupunem că la distanța se produce o concordanță de fază:

0 Concordanța de fază imediat următoare se produce la acelaşi moment de timp în

punctul de abscisă pentru 2

Scăzând cele două relații obținem: 2 ⇒

2 ⇒ 2 ⇒

2 22λ

2λ

⇒ λ λ

λ λ

Impunând condiția ca cele două unde să fie în fază în punctul de abscisă la momentul t şi în punctul de abscisă la momentul t’ , obținem:

0

0 Scăzând aceste două relații obținem:

0 ⇒ 0 ⇒

⇒ 2λ

2λ

2λ

2λ

λ λ

λ λ λ λλ λ

⇒

λ λλ λ

Înlocuind valorile numerice obținem d = 2 m, v = 380 m/s. 24. Într‐o bară elastică de lungime ℓ se propagă unde longitudinale. Să se

determine soluția ecuației de propagare, lungimea de undă a undelor staționare şi ecuațiile planelor nodale şi ventrale în următoarele cazuri:

a) bara este fixată la ambele capete; b) un capăt al barei este fix, iar celălalt liber; c) ambele capete ale barei sunt libere.

R.: Ecuația de propagare a undelor longitudinale este:

10

unde

este viteza de propagare a undei. Rezolvăm această ecuație prin metoda separării variabilelor:

. Impunând ca această soluție să verifice ecuația, obținem:

,

0 ⇒ 0

unde k = / . Soluția acestei ecuații este:

sin cos

a) În cazul când bara este fixată la ambele capete, soluția trebuie să satisfacă condițiile la limită 0 0 , ℓ 0. În acest caz obținem B = 0 , sin kℓ = 0.

kℓ = n , n = 1, 2, . . . Rezultă:

sin ℓ , . sin ℓ unde

ℓ . Pentru un n dat, este o soluție particulară. Soluția generală se obține

folosind principiul superpoziției:

, , sin ℓ ℓ

Lungimea de undă λ a undei staționare rezultă din condiția de periodicitate spațială:

sin ℓ sin ℓ λ sin ℓ 2 ⇒

λ2ℓ , ℓ

λ2

Rezultă că lungimea barei se exprimă ca un număr întreg de semiunde. Din condiția ca funcția de undă să se anuleze la orice moment t se determină ecuația planelor nodale

sin ℓ 0 ⇒ ℓ , 0, 1, 2, …

deoarece sin 0. Înlocuind ℓ în funcție de lungimea de undă obținem:

λ2

Rezultă că planele nodale sunt perpendiculare pe axa Ox şi sunt distanțate între ele cu λ 2.⁄

Planele ventrale se determină din condiția ca funcția de undă să fie maximă în orice moment

sin ℓ 1 ⇒ 2 1ℓ2 2 1

λ4 , 0, 1, 2, …

deoarece sin 2 1 2 1.

b) La capătul fix 0 0 , iar la cel liber

ℓ 0 , ℓ

0

(deformația fiind nulă). În acest caz rezultă: 0 , cos ℓ 0 ⇒ ℓ 2 1 2 , 0, 1, 2, …

, sin 2 1 2ℓℓ

λ4ℓ

2 1 , ℓ 2 1λ4 ,

2ℓ2 1 ,

λ2

2 1ℓ

2 1 , 2 1λ4 , 0, 1, 2, …

c) În cazul când ambele capete ale barei sunt libere condițiile la limită sunt:

0 , ℓ

0

Rezultă 0 , sin ℓ 0 ⇒ ℓ , 1, 2, …

, cos ℓℓ

λ2ℓ , ℓ

λ2 , 2 1

ℓ2 ,

ℓ ,

2 1λ4 ,

λ2 , , 0, 1, 2, …

25. Fie un tub sonor de lungime ℓ . Cunoscând viteza a sunetului să se

determine numărul modurilor proprii de oscilație a coloanei de aer din tub, a căror frecvențe sunt mai mici decât ν . Se vor analiza două cazuri:

a) tubul este închis la un capăt; b) tubul este deschis la ambele capete. Aplicaţie. ℓ = 0,85 m; =340 m/s; ν = 1250 Hz. R.: a)

ℓ 2 1λ4 2 1 4ν ⇒ ν 2 1 4ℓ , 0, 1, 2, …

Pentru n = 0 rezultă

ℓλ4 , ν 4ℓ .

Diferența frecvențelor consecutive este:

ν ν 2 1 1 4ℓ 2 1 4ℓ 2ℓ

Frecvențele posibile se determină din condiția ν ν ν ν , 0, 1, 2, …

sau

ν 2ℓ ν ν ν2ℓ

Înlocuind valorile numerice obținem: ν 100 Hz , ν ν 200 Hz , 5,75 ⇒ 0, 1, 2, 3, 4, 5.

Astfel avem 6 moduri de vibrație ale căror frecvențe nu depăşesc 1250 Hz: (100, 300, 500, 700, 900, 1100) Hz

b)

ℓλ2 2ν ⇒ ν 2ℓ , 1, 2, …

Pentru 1 rezultă:

ℓλ2 , ν 2ℓ

Diferența frecvențelor a două armonice consecutive este:

ν ν 1 2ℓ 2ℓ 2ℓ

Frecvențele posibile se determină din condiția

ν ν ν ν , 0, 1, 2, …

sau

ν 2ℓ ν ⇒ ν ν2ℓ

Înlocuind valorile numerice obținem: ν 200 Hz , ν ν 200 Hz , 5,25 ⇒ 0, 1, 2, 3, 4, 5

astfel că avem tot 6 moduri de vibrație (200, 400, 600, 800, 1000, 1200) Hz ale căror frecvențe nu depăşesc 1250 Hz.

26. Să se determine valorile proprii şi funcțiile proprii ale undelor staționare formate într‐o membrană dreptunghiulară de laturi a şi b , fixată pe contur. Discutați cazul degenerării:

R.: Într‐un spațiu bidimensional, ecuația undelor este

10

Vom determina soluția acestei ecuații folosind metoda separării variabilelor

, , Rezultă:

, ,

0

Împărțind ecuația cu obținem:

1 10

unde

Ecuația obținută este echivalentă cu următoarele două ecuații: 1

0 ⇒ 0

10 ⇒ 0

Soluțiile acestor ecuații sunt: sin cos , sin cos

Membrana fiind fixată pe contur, din condițiile la limită obținem: 0 0 0 ⇒ 0

0 ⇒ , ; , 1, 2, …

Nu am luat 0 , 0 deoarece în aceste cazuri se obține soluția banală. Se constată că vectorul de undă , pulsația , frecvența ν şi lungimea de undă sunt mărimi cuantificate:

, , , , , ν ,,

2 , λ ,2, ,

unde este densitatea masică superficială a membranei omogene, iar T este densitatea liniară a forței de tensiune care este independentă de direcție. Lungimile de undă ale undelor staționare formate în membrană se numesc valori proprii

λ ,2

, , 1, 2, …

iar funcțiile proprii sunt

, , , sin sin

În cazul în care problema este nedegenerată deoarece unei valori proprii îi corespunde o singură funcție de undă proprie.

Dacă , membrana prezintă o degenerare de ordinul doi, întrucât unei valori proprii îi corespund două funcții proprii.

Ca exemplu considerăm cazul în care

λ , λ ,2

1 2

, sin sin2

, , , sin2

sin ,

27. Să se obțină soluția ecuației undelor transversale într‐o coardă în cazul în care se ține seama de gravitație.

R.: Accelerația în câmp gravitațional va fi:

Condițiile inițiale sunt:

, 0 , , 0

0

Deoarece coarda este fixată la capete avem următoarele condiții la limită: 0, 0 , ℓ, 0

Pentru a înlătura termenul care împiedică separarea variabilelor se face înlocuirea

, ,

, ⇒ ψ

Condițiile la limită devin 0, 0 ⇒ 0, 0 0 ℓ, 0 ⇒ ℓ, ℓ 0

Se alege ψ astfel ca ψ 0 , 0 0 , ℓ 0 . Rezultă:

ψ ⇒ ψ ⇒ 2

ψ 0 0 ⇒ 0 , ℓ 0 ⇒ ℓ

2 ℓ 0 ⇒ ℓ

2 ⇒

ψ 2ℓ

2 2 ℓ

Condițiile inițiale devin , 0 ⇒ , 0 ⇒ , 0

, 0 , 00

Condițiile la limită sunt: 0, 0 , ℓ, 0

Deoarece am ales ψ astfel ca ψ 0 rezultă ecuația 1

0

care are forma ecuației de propagare a undelor transversale în coardă când nu se ține seama de gravitație.

Soluția acestei ecuații este:

,2ℓ sin ℓ

ℓ· sin ℓ cos ℓ

Astfel soluția finală a ecuației în câmp gravitațional este:

,2ℓ 2 ℓ sin ℓ

ℓ· sin ℓ cos ℓ 2 ℓ

28. Care este timpul τ necesar unei unde sonore să parcurgă în aer distanța ℓ dintre punctele A şi B dacă temperatura aerului variază liniar între aceste puncte de la la ?

Aplicaţie. ℓ 1 m , 300 K , 310 K , 1,4 , 8310 J mol K , 29 kg kmol.⁄⁄

R.: Viteza sunetului în aer este:

√

unde

Dependența liniară a temperaturii cu distanța față de punctul A este de forma

unde constantele a şi b se determină din condițiile: 0 ⇒ · 0 ⇒

ℓ ⇒ ℓ ⇒ ℓ

Din expresia vitezei

obținem

√ √2√

ℓℓℓℓ ⇒

2√ ℓ √ ⇒

2ℓ

Înlocuind valorile numerice obținem

2,86 · 10 s 29. O lentilă acustică biconvexă simetrică, din oțel, se află în aer la temperatura

t. Cunoscând raza dioptrilor sferici r , modulul de elasticitate al lentilei E , densitatea lentilei , masa molară a aerului M şi exponentul adiabatic pentru aer, să se determine:

a) viteza sunetului în aer ; b) viteza sunetului în lentila de oțel ț ; c) indicele de refracție acustic al lentilei n ; d) distanța focală a lentilei. Aplicaţie. 0,5 m; 2 · 10 N m ; 7800 kg m ; 20 C ; 1,4 ; ⁄⁄

29 kg kmol ; ⁄ 8310 J kmol K⁄ R.: a)

b)

ț

c)

ț

d) 1

11 1 2 1

, 2 1

Înlocuind valorile numerice obținem 342,9 m s⁄ ; ț 5063,7 m s ; 6,8 · 10 ; 0,3 m⁄

(lentilă divergentă).

30. O undă sonoră armonică plană de frecvență ν se propagă în aer. Cunoscând temperatura aerului t , presiunea şi amplitudinea suprapresiunii să se determine:

a) impedanța acustică Z ; b) intensitatea acustică I a undei ; c) amplitudinea a vitezei de oscilație a particulelor de aer; d) amplitudinea A de oscilație a particulelor de aer; e) presiunea acustică eficace. Aplicaţie.

ν 100 Hz ; 29 kg kmol ; 1,4 ; 8310 J kmol K ;⁄⁄

20 ; 101325 N m ; 1 N m⁄⁄

R.: a)

, 173,15 ,

⇒

b)

2 , 2

c)

| | , ⇒

d)

⇒ 2 ν

e)

√2


342,9 m s ; 1,2 kg m ; 411,5 kg m · s ; 1,2 · 10 W m ;⁄⁄⁄⁄ 2,4 · 10 m s ; 3,8 · 10 m ; 0,7 N m⁄ ⁄

31. Un punct P se află la distanța r față de o sursă sonoră punctiformă

izotropă, cu frecvența ν şi puterea P . Neglijând amortizarea şi considerând că viteza sunetului în aer este , să se determine în punctul P:

a) amplitudinea oscilațiilor presiunii acustice ; b) amplitudinea oscilațiilor particulelor de gaz A ; c) deformația relativă maximă . Aplicaţie.

1 m ; ν 500 Hz ; 1 W ; 340 m s⁄ ; 1,293 kg m⁄

R.: a) Intensitatea undelor sonore poate fi exprimată în funcție de presiunea

dinamică maximă , viteza sunetului şi densitatea aerului :

2

Dar

4

Egalând cele două expresii obținem:

2

b) ⇒ 2 ν ⇒

2 ν

d) Deformația relativă maximă este:

⇒ 2 ν

Înlocuind valorile numerice obținem: 8,4 ; 6,1 · 10 ; 5,6 · 10⁄

32. O sursă de oscilații cu frecvența ν este aşezată în apă. Intensitatea undelor

elastice emise de sursă este I . Să se determine amplitudinea A a oscilațiilor moleculelor de apă, accelerația maximă a acestora şi amplitudinea a vitezei de oscilație. Se cunoaşte viteza undelor în apă şi densitatea apei .

Aplicaţie. ν 1 kHz , 1 W m , 1450 m s ; 10 kg m⁄⁄⁄

R.: Din expresia intensității şi a presiunii dinamice maxime obținem:

2 , ⇒ 2 ⇒ 2 ⇒

1 2 , 2 ν

Viteza moleculelor este: sin

iar accelerația se obține prin derivare:

cos

Accelerația maximă a moleculelor de apă este:

⇒ | |2

Amplitudinea vitezei de oscilație este:

⇒ | |2

Înlocuind datele numerice obținem:

2 · 10 rad s⁄ ; 1,87 · 10 m ;

| | 7,38 m s ; | | 1,17 · 10 m s.⁄⁄

33. O locomotivă Diesel are un claxon cu aer comprimat. Claxonul Diesel produce un sunet de nivel de intensitate sonoră şi de frecvență ν . Cunoscând intensitatea acustică de referință , densitatea aerului şi viteza sunetului în aer , să se determine:

a) intensitatea acustică a sunetului emis I ; b) presiunea acustică maximă ; c) viteza maximă a moleculelor de aer ; d) amplitudinea oscilațiilor moleculelor de aer A . Aplicaţie.

110 dB , ν 250 Hz ; 10 W m ; 1,29 kg m ; 334 m s⁄⁄⁄ la 20 0C

R.: a)

10 log ⇒ · 10

b)

2 ⇒ 2

c)

⇒ ⇒

d)

sin ⇒ | | ⇒ | |2 ν

Înlocuind valorile numerice obținem: 0,1 J m · s ; 9,3 N m ; 431 kg m · s ⁄⁄⁄ ;

0,02 m s , 1,4 · 10 m.⁄

34. Un rezonator Helmholtz este format dintr‐o sferă metalică cu pereții subțiri având două orificii de diametre diferite aşezate diametral opus. Deschiderea principală serveşte la pătrunderea vibrațiilor în interiorul rezonatorului, iar deschiderea de diametru mai mic are rolul de a indica prezența rezonanței cu ajutorul urechii sau a unui instrument electroacustic. Să se determine frecvența proprie ν a unui rezonator Helmholtz cunoscând volumul ocupat de aer la echilibru, densitatea aerului , presiunea aerului , secțiunea tubului cu diametru mai mare S şi lungimea acestui tub l .

Aplicaţie. 10 m , 1,293 kg m ; 101325 N m ,⁄⁄

10 m , 10 m , 1,4

R.:

La echilibru ( ) pistonul A de secțiune S şi masă m se află în punctul O.

Dacă pistonul este deplasat pe distanța apare o forță ∆

care tinde să readucă pistonul în poziția de echilibru. Volumul variază cu ∆

Dacă deplasarea pistonului are loc rapid, putem considera că gazul suferă o transformare adiabatică

∆ ∆ ⇒ ∆

∆ ⇒

∆ ⇒

Ecuația de mişcare a pistonului este:

0 ⇒ 0 ⇒

Dacă lungimea l a tubului este suficient de mică, putem să considerăm că masa de gaz cuprinsă în acest tub joacă rolul unui piston de masă . Înlocuind m în expresia lui obținem:

, 2 ν ⇒

ν12

Înlocuind valorile numerice obținem ν 167 Hz.

35. Să se determine nivelul de intensitate sonoră dacă intensitatea sunetului este de 10 W m⁄ (vorbirea în şoaptă).

R.:

10 log

10 W m , 10 W m , 20 dB⁄⁄ .

36. Zgomotul unui motor are nivelul de intensitate sonoră de 60 dB. Care este nivelul intensității sonore dacă ar lucra zece asemenea motoare?

R.:

10

10 log 60 ⇒ 10

} ⇒ 10 log 10 70 dB

10 log 10 log10

37. Să se determine amplitudinea suprapresiunii şi intensitatea sunetului dacă nivelul de intensitate sonoră este de 100 dB.

R.:

10 log 20 log

10 W m , 2 · 10 N m⁄ la 20 C

100 20 log 2 · 10 ⇒ 2 N m⁄

100 10 log 10 ⇒ 10 W m⁄ 38. Câte persoane ar trebui să vorbească în şoaptă pentru a produce o senzație

egală cu cea produsă de o singură persoană vorbind normal dacă pentru vorbirea în şoaptă nivelul de intensitate auditivă este de 20 foni, iar pentru vorbirea normală este de 50 foni?

R.:

10 log 1 kHz

} ⇒ 10 log 10 log ⇒ 10 log

50 20 10 log ⇒ 10

Rezultă că intensitatea acustică în vorbirea obişnuită este de 1000 de ori mai mare decât intensitatea acustică la vorbirea în şoaptă. Deci trebuie ca 1000 de persoane să vorbească în şoaptă pentru a produce o senzație egală cu cea produsă de o singură persoană.

39. Să se determine durata ∆ a unei oscilații de pulsație pentru ca

abaterea ∆ să fie de % din . Ce întindere ∆ are pachetul de unde dacă viteza de grup a undei este ?

Aplicaţie. 65 · 10 rad s , 3 · 10 m s , 10⁄⁄

R.: Vom folosi relațiile de incertitudine

∆ · ∆ 2 , ∆ · ∆ 2 unde

∆ 100 , ∆∆

Rezultă:

∆2∆ ⇒ ∆

2· 100

∆2∆ , ∆

∆ ⇒ ∆

2∆


∆65 · 10 rad s , ∆

53 · 10 s , ∆ 5 · 10 m.

40. Un observator imobil percepe oscilațiile emise de două diapazoane dintre

care unul se apropie, iar celălalt se îndepărtează pe aceeaşi direcție şi cu aceeaşi viteză. Observatorul înregistrează bătăi de frecvență ν . Să se determine viteza a diapazoanelor, cunoscând frecvența acestora ν şi viteza sunetului în aer .

Aplicaţie. ν 2 Hz , ν 680 Hz , 340 m · s

R.: Datorită efectului Doppler, observatorul va percepe frecvențele

νν

pentru diapazonul care se îndepărtează şi ν

ν

pentru diapazonul care se apropie. Frecvența bătăilor este

ν ν ν ν1 1

ν ⇒

ν2ν

⇒ ν 2ν ν 0 ⇒ ,

ν ν νν

⇒

νν ν ν

Am ales semnul deoarece 0. Înlocuind valorile numerice obținem:

0,499 m s 0,5m s.⁄⁄ 41. Un receptor şi o sursă de frecvență ν se află pe axa . Sursa efectuează

oscilații armonice de‐a lungul axei cu pulsația şi amplitudinea . Pentru ce valoare a lui lărgimea benzii de frecvență percepute de receptor este ∆ν ? Viteza sunetului este .

Aplicaţie. ν 2000 Hz , 0,5 m , ∆ν 200 Hz , 340 m s.⁄

R.: Când sursa se îndepărtează de observatorul imobil, frecvența minimă

receptată este ν ν

iar când sursa se apropie de receptor frecvența maximă receptată este ν ν

unde

este viteza maximă de oscilație a sursei. Lărgimea benzii recepționate va fi

∆ν ν ν ν1 1 2ν 2ν

⇒

∆ν 2ν ∆ν 0 ⇒ ,ν ν ∆ν

∆ν ⇒

ν∆ν 1

∆νν

1

Am luat semnul deoarece 0. Înlocuind valorile numerice obținem

33,9 rad s⁄ 34 rad s.⁄

TERMODINAMICĂ

1. Folosind ecuația termică de stare a gazului ideal, să se determine coeficienții termoelastici , şi χ .

R.: Din ecuația termică de stare a gazului ideal

obținem:

1 1 1

1 1 1

χ1 1 1

2. Să se arate că energia internă a unui gaz ideal este o funcție de stare. R.: Energia internă a unui gaz monoatomic ideal este:

32

unde este numărul de molecule, iar este constanta lui Boltzmann ( 1,38 · 10 J K .⁄ Dacă exprimăm energia internă în variabilele T şi V

, atunci

32 0 ·

dU este o diferențială totală exactă dacă

Avem:

0 0 ; 32 0

Rezultă că energia internă este o funcție de stare deoarece dU este o diferențială totală exactă.

3. Să se arate că lucrul mecanic este o mărime de proces. R.:

đ 0 ·

1 ; 0 0

Deoarece đ nu este o diferențială totală exactă, lucrul mecanic este o mărime de proces, adică depinde de drum (de stările intermediare).

4. Să se arate că pentru un mol de gaz ideal cantitatea de căldură este o mărime

de proces. Se dau expresiile cantității de căldură elementare:

đ

đ

đ

R.: Folosim relația lui Robert‐Meyer pentru un mol de gaz ideal:

şi ecuația termică de stare

⇒ ,

đ

đ

đ

Impunând condiția ca đ să fie diferențială totală exactă rezultă:

⇒ 0 ⇒ 0

⇒ 0 ⇒ 0

⇒ ⇒

Se poate arăta că numai în cazul apei la 4 0C putem avea . Deci cantitatea de căldură este o mărime de proces. 5. Folosind ecuația termică de stare a gazului ideal să se arate că temperatura

este o funcție de stare. R.: Ecuația termică de stare a gazului ideal este

Diferențiind această relație obținem:

Rezultă

1 ;

1

Aşadar dT este o diferențială totală exactă. 6. Într‐un cilindru cu piston sunt litri de apă la temperatura . Cunoscând

pentru apă coeficientul de dilatare termică şi coeficientul de comprimare izotermă să se calculeze lucrul mecanic efectuat într‐o comprimare izotermă în care presiunea creşte de la la , urmată de o încălzire izobară în care temperatura creşte de la la .

Aplicaţie. 10 l , 300 K , 2 · 10 K , 4 · 10 m N ,⁄

1 atm , 2 atm , 600 K.

R.: 1

⇒

1 ⇒

Lucrul mecanic elementar în variabilele T şi p are expresia

đ

La comprimarea izotermă, 0:

đ ·

2

La încălzirea izobară, 0: đ

⇒ 2

10 · 10 · 4 · 10

2 4 · 10 1 · 10 J 6 · 10 J

2 · 10 · 2 · 10 · 10 · 10 · 300 J 120 J

119,94 J.

7. Un fir de aluminiu de lungime , modul de elasticitate E , secțiune , coeficient de dilatare este supus unei întinderi izoterme prin creşterea forței de la 0 la urmată de o răcire în care temperatura scade de la la . Să se determine lucrul

mecanic efectuat în fiecare din aceste procese. Aplicaţie.

1 , 1,2 · 10 , 10 , 2,3 · 10 ,⁄ 10 , 300 , 299,986 .

R.:

Lucrul mecanic este đ

unde

, 0

Dar 1

⇒ şi

Rezultă:

đ

đ ⇒ 2 2

đ ⇒ Înlocuind valorile numerice obținem:

4,2 · 10 J , 3,2 · 10 J

8. Să se determine coordonatele punctului în care izoterma critică are un punct de inflexiune în planul , pentru un gaz real a cărui ecuație termică de stare este ecuația Van der Waals

.

R.: În diagrama , izoterma critică are reprezentarea din figură:

Pentru izoterma este asemănătoare cu aceea a unui gaz perfect.

În punctul de inflexiune tangenta este orizontală. În punctul critic avem următoarele relații:

, ,0

, ,0

Din ecuația Van der Waals şi din condițiile de mai sus rezultă:

,2

0 , 2 6

0

sau 2

, 3

Împărțind ultimele relații membru cu membru obținem: 23 ⇒ 3

şi se obțin uşor din relațiile de mai sus:

827 , 27

Constantele , şi R pot fi exprimate în funcție de coordonatele punctului critic:

3 , 3 ,

83

Înlocuind , şi R în ecuația Van der Waals obținem:

33

83

Împărțind ecuația cu rezultă „ecuația redusă”

3 13

83

unde

, ,

„Ecuația redusă” este de aceeaşi formă cu ecuația Van der Waals dar are avantajul că nu depinde de natura gazului real.

9. Să se exprime coeficientul de dilatare termică la presiune constantă ,

coeficientul termic al presiunii şi coeficientul de comprimare izotermă pentru un gaz Van der Waals şi să se verifice relația .

R.: Diferențiind ecuația Van der Waals la presiune constantă obținem:

2 ⇒

2 2

sau

2

Coeficientul de dilatare termică 1

devine

2

Diferențiind ecuația Van der Waals la volum constant rezultă:

⇒

Coeficientul termic al presiunii 1

devine

1

sau

Diferențiind ecuația Van der Waals le temperatură constantă obținem

20 ⇒

20 ⇒

2

Coeficientul de comprimare izotermă 1

devine

2

Relația se verifică uşor. 10. Să se arate că între susceptibilitatea izotermă

χ ,

susceptibilitatea adiabatică (izentropă)

χ ,

capacitatea calorică la magnetizare constantă đ

şi capacitatea calorică la câmp magnetic constant đ

există relația

χ χ

R.: Folosim relația ciclică corespunzătoare unui număr par de factori

1

în care se constată o simplificare formală a lui , , şi . Rezultă:

χ · χ · ⇒ χ χ

Această relație poate fi obținută şi în alt mod:

χ,, ·

,, ·

,, · χ · χ

11. Să se determine lucrul efectuat la magnetizarea izotermă a unui corp

paramagnetic dacă magnetizația M satisface legea lui Curie

,

unde este intensitatea câmpului magnetic, iar C este constanta lui Curie.

R.: Lucrul elementar necesar magnetizării corpului se exprimă astfel: đ

unde V este volumul sistemului, iar este permeabilitatea magnetică a vidului. Rezultă:

2

unde V a fost presupus constant. Dacă magnetizarea se face într‐un câmp magnetic constant, atunci

12. Să se determine lucrul efectuat de un câmp electric pentru a modifica polarizarea electrică a unui dielectric.

R.: Vectorul de polarizare se exprimă astfel:

χ 1

unde χ este susceptibilitatea electrică a dielectricului, este permitivitatea electrică a vidului, este permitivitatea relativă a dielectricului sau constanta dielectrică, iar este intensitatea câmpului electric.

Lucrul transferat de la câmpul electric la dielectric este:

11

2

13. Să se arate în ce caz un gaz ideal care suferă o transformare adiabatică urmată de o transformare izocoră are starea finală pe aceeaşi izotermă cu starea inițială. Să se compare panta adiabatei cu panta izotermei.

R.:

Ecuația primului principiu al termodinamicii pentru transformările 1‐2 şi 2‐3 este:

⇒

0 ⇒ | | ⇒

0 ⇒ Deoarece energia internă a gazului ideal depinde numai de temperatură, din

inegalitatea rezultă că . Stările 1 şi 3 se află pe aceeaşi izotermă dacă , adică

| | ⇒ | |

Deoarece , din relația

Rezultă adică adiabata se află sub izotermă în diagrama , .

14. Se comprimă izoterm un volum de gaz ideal de la presiunea până la presiunea . Să se determine lucrul mecanic şi cantitatea de căldură schimbate de gaz cu exteriorul. Cum se modifică aceste mărimi în cazul unei detente izoterme în care presiunea inițială este , iar presiunea finală este ?

Aplicaţie. 20 l , 1 atm , 100 atm.

R.: La comprimarea izotermă

ln

ln

Într‐o transformare izotermă a gazului ideal, energia internă nu se schimbă:

deoarece energia internă a gazului ideal depinde numai de temperatură.

Din ecuația primului principiu al termodinamicii

rezultă:

Astfel gazul cedează o cantitate de căldură mediului înconjurător, egală cu lucrul mecanic primit.

În cazul detentei izoterme:

adică gazul primeşte o cantitate de căldură egală cu lucrul mecanic cedat. Înlocuind valorile numerice obținem:

1 · 10 · 20 · 10 ln100 · 101 · 10 9,21 · 10 J 9,21 kJ

9,21 kJ , 9,21 kJ , 9,21 kJ

15. Un gaz ideal monoatomic de masă m şi volum este comprimat adiabatic de la presiunea la presiunea . Să se calculeze lucrul mecanic şi variația temperaturii gazului. De câte ori este mai mare lucrul mecanic la comprimarea adiabatică decât la comprimarea izotermă?

Aplicaţie. 4 g , 4 g mol⁄ , 20 l , 1 atm , 100 atm , 8,31 J mol · K⁄

R.: Energia internă a unui mol de gaz perfect monoatomic este:

32

Căldura molară la volum constant se determină astfel: 32

Din relația lui Robert‐Mayer

rezultă: 52 ,

53

Din ecuația adiabatei

se obține:

Lucrul mecanic primit de gaz la comprimarea adiabatică este:

1 ⇒

1 1

sau

1 1 ⇒ 1

Variația energiei interne se obține din ecuația primului principiu al termodinamicii

,

Din ecuația adiabatei

rezultă:

1 1 1 · 1 ⇒

1

sau

1 1

Numărul de moli se determină pe baza relației:

La comprimarea izotermă

ln


20 · 101 · 10100 · 10 m 1,26 · 10 m , 15,9 kJ ,

15,9 kJ , 1 mol , 1280 K , 9,2 kJ 1,7⁄

16. Să se compare creşterea temperaturii gazului ideal monoatomic cu a gazului

ideal biatomic într‐o comprimare adiabatică. R.: Din expresiile căldurilor molare

2 , 2

2 , rezultă:

2 ,

2

unde i reprezintă numărul de grade de libertate ale moleculelor gazului şi are valorile: 3 pentru gazele monoatomice, 5 pentru gazele biatomice şi 6 pentru gazele

poliatomice. Astfel, pentru gazul monoatomic

32 ,

52 ,

53

iar pentru gazele biatomice:

52 ,

72 ,

75

Pentru un mol de gaz ideal şi pentru acelaşi lucru mecanic 1

, 1

11

53

17. Să se determine variația energiei interne a unui gaz ideal, lucrul mecanic

efectuat de gaz şi cantitatea de căldură primită la o transformare izocoră urmată de una izobară.

Aplicaţie. 10 N m , 273 K , 1 m⁄

R.:

Scriind ecuațiile de stare corespunzătoare pentru punctele marcate în figură, avem:

⇒

1 ⇒

2 · ⇒

3 · ⇒

Întrucât

2 , variația energiei interne în urma celor două transformări este:

∆ 2 2 2 1

În transformarea izocoră 0 lucrul mecanic efectuat este zero, 0. În transformarea izobară lucrul mecanic efectuat este:

∆ 1 Cantitatea de căldură primită de gaz în cursul celor două transformări este:

2 1 2 1

unde s‐au folosit expresiile pentru căldurile molare în funcție de numărul gradelor de libertate i şi de constanta R .

La acelaşi rezultat se poate ajunge şi pe calea următoare: ⇒

∆ ∆ 2 1 1

Înlocuind valorile numerice pentru cazul 5 , 2 se obține:

∆ 2,2 · 10 J , 5 · 10 J , 2,7 · 10 J

18. Considerăm o transformare ciclică reversibilă a unui mol de gaz perfect, reprezentată printr‐un triunghi în diagrama , .

Să se determine lucrul mecanic şi cantitatea de căldură în transformările 1 2 , 2 3 şi 3 1 în funcție de şi de coordonatele punctelor 1, 2 şi 3 în cazul particular 2 , 2 . Să se arate că lucrul mecanic şi cantitatea de căldură depind de drum, fiind mărimi de proces.

R.:

2 0

s‐a evaluat din aria trapezului de baze şi şi de înălțime . Din relația lui Robert‐Mayer rezultă:

1 ⇒ 1 , , 1

Ecuațiile termice de stare sunt:

, ,

1 ⇒ 1

1 ⇒ 1

Pentru un ciclu reversibil este valabil „principiul de echivalență” 0

0 ⇒

În cazul particular 2 , 2 obținem:

, 32 , 0 ,

1 , 32 , 1

Deoarece

0 2

1 3

2 1

rezultă că L şi Q sunt mărimi de proces. Cazul 1 este exclus, deoarece 1.

19. Se dă ciclul din figură:

Substanța de lucru este un mol de gaz ideal cu i grade de libertate. Să se determine temperatura în funcție de temperatura şi de raportul al volumelor. Să se exprime randamentul ciclului în funcție de temperatura şi de mărimea .

R.: Cantitatea de căldură schimbată pe porțiunea AB a ciclului este dată de:

ln ln 0

Ecuațiile de stare în punctele B şi C sunt: : : ⇒

⇒ ⇒

Cantitatea de căldură schimbată pe porțiunea AB a ciclului este dată de:

22 0

(sistemul cedează căldură exteriorului, iar gazul se răceşte). În fine, cantitatea de căldură schimbată pe porțiunea CA a ciclului este dată de:

2 0

(sistemul primeşte căldură din exterior, astfel că gazul se încălzeşte). Randamentul ciclului este:

η 1| |

unde 0

0 , | |2

2

Introducând aceste expresii în formula pentru randamentul ciclului obținem:

η 12

2ln 2

12

2ln 2

Întrucât ⁄ rezultă:

η 12

2 1 1

ln 2 1 1

20. Să se arate că entalpia reacției chimice

12

variază puțin cu temperatura în intervalul (298‐1000) K. Capacitatea calorică molară a gazelor la presiune normală variază cu

temperatura după legea J mol · K⁄

Pentru temperatura standard, variația entalpiei în cursul reacției este: ∆ 284 kJ mol⁄

Se dau: ‐ pentru : 25,7 J mol · K , 1,3 · 10 J mol · K , 3,86 · 10 J mol · K⁄⁄⁄ ‐ pentru CO: 26,9 J mol · K , 7 · 10 J mol · K , 8,2 · 10 J mol · K⁄⁄⁄

‐ pentru : 26 J mol · K , 4,35 · 10 J mol · K , 1,48 · 10 J mol · K⁄⁄⁄

R.: Reacția chimică este de forma:

în care

12 ,

Vom folosi formula lui Kirchhoff:

∆ ∆

unde: 26 4,35 · 10 1,48 · 10

26,9 7 · 10 8,2 · 1012 25,7 1,3 · 10 3,86 · 10

13,75 3 · 10 1,2 · 10

Înlocuind în formula lui Kirchhoff şi integrând obținem:

∆ ∆ 13,753 · 10

21,2 · 10

3 unde:

1000 K , 298 K Avem:

∆ ∆ 9652,5 13667,9 3894,1 J mol 121,3 J mol⁄⁄ Diferența relativă

∆ ∆|∆ |

121,3284000 4,3 · 10

este foarte mică, ceea ce arată că entalpia de reacție depinde puțin de temperatură.

21. Căldura molară a unui gaz la presiunea de o atmosferă, în intervalul de temperatură (273‐1500) K, variază cu temperatura după legea empirică

Să se determine căldura molară medie şi variația entalpiei dacă temperatura

creşte de la la . Aplicaţie. 300 K , 400 K , 29,1 J mol · K , 8,37 · 10 J mol · K⁄⁄

2,01 · 10 J mol · K⁄

R.: Căldura molară medie este definită prin relația:

1

Înlocuind din formula empirică obținem:

12 3

2 3

Din definiția capacității calorice la presiune constantă

obținem:

Integrând această relație rezultă:

∆

∆ 2 3

Pentru un mol de gaz:

∆ 2 3

Pentru datele din problemă, care corespund hidrogenului gazos, obținem:

29,1 29,4 · 10 24,67 · 10 J mol · K 29,05 J mol · K⁄⁄

∆ 2905 J mol⁄ .

22. Să se stabilească relația între coeficientul de comprimare izotermă, coeficientul de comprimare adiabatică şi indicele adiabatei.

R.:

1 ,

1

Aceasta este relaţia lui Reech care arată că indicele adiabatei este egal cu raportul între coeficientul de comprimare izotermă şi coeficientul de comprimare adiabatică.

23. Să se exprime viteza sunetului

în funcție de: a) coeficientul de comprimare adiabatică (izentropică) şi de densitatea ; b) coeficientul adiabatic , presiunea şi densitatea corespunzătoare

stării de echilibru. R.: a)

1 1 1 ⇒

1 ⇒

1

Am considerat că masa fluidului este constantă. b) Din ecuația termică de stare a gazului ideal

pentru un proces izoterm rezultă

0 ⇒

Din legea lui Reech

obținem:

1 ⇒

Aceeaşi relație se obține diferențiind ecuația adiabatei: .

0 ⇒ 0 ⇒

Din ⁄ în care masa fluidului este constantă, obținem:

⇒ ⇒

⇒ ⇒

24. Să se determine viteza unui sunet ce se propagă într‐un gaz real descris de

ecuația Van der Waals. R.:

Am folosit formula lui Reech şi relația ⁄ în care m este constant. Pentru un gaz Van der Waals

, 2

2

unde M este masa molară a gazului ( ⁄ ).

25. Un calorimetru din cupru de masă şi căldură specifică este străbătut de o țeavă goală din aluminiu de masă şi căldură specifică . În calorimetru se află o cantitate de apă cu căldura specifică la temperatura . La un moment dat prin țeavă trece apă la temperatura cu un debit de d kilograme pe secundă. Să se determine temperatura de echilibru T după un timp t.

Aplicaţie. 10 kg , 0,2 kg , 20 kg , 0,02 kg s , 300 K ,⁄

370 K , 390 J kg · K , 910 J kg · K , 4185 J kg · K , 60 s.⁄ ⁄⁄

R.: Într‐un interval de timp dt , temperatura calorimetrului creşte cu dT . La echilibru, cantitatea de căldură cedată de apa din țeavă este egală cu cantitatea de căldură primită de țeavă, calorimetru şi apa din calorimetru:

· · unde · este masa de apă ce trece prin țeavă în timpul dt . Rezultă:

Prin integrare obținem:

ln

unde C este constanta de integrare, care se determină din condiția ca la 0 temperatura calorimetrului să fie . Rezultă:

ln 0 ⇒ ln

Practic echilibrul se obține în fiecare moment de timp dacă țeava are forma unei serpentine. Înlocuind valorile numerice obținem:

304 K .

26. Să se determine pentru un gaz perfect randamentul ciclului din figură, format din trei procese: izobar, adiabatic şi izoterm.

Să se arate că variația entropiei pe drumul ABC este egală cu variația entropiei

pe drumul AC. R.: Pe izobara AB sistemul primeşte cantitatea de căldură

0

Pe izoterma CA sistemul cedează căldura

ln 0 ,

Randamentul ciclului este:

η 1| |

1ln

1 ln

Din relația lui Robert‐Mayer

obținem:

1 , 1 , 1

η 1 ln

Pe izobara AB avem:

iar pe adiabata BC

Din ultimele relații obținem:

η 1 ln

Pe izobara AB:

⇒ ∆ ln ln

Pe adiabata BC: ∆ 0

Pe izoterma CA:

∆ ln ln

∆ ∆ ln

∆ ∆ ln

Relația ∆ ∆ ∆

este verificată, deoarece:

ln ln ⇒ ln ln

1 ln ln ⇒ 1 ln ln ⇒

ln ln ⇒ ⇒

Astfel am verificat că entropia este o funcție de stare. 27. Să se determine randamentul unui ciclu format din două izoterme şi două

politrope. Să se particularizeze expresia randamentului pentru cazurile în care în locul politropelor se folosesc adiabate, izobare sau izocore.

R.:

Sistemul primeşte cantitatea de căldură

ln 0

şi cedează cantitatea de căldură

ln 0

Randamentul ciclului este:

η 1| |

1ln

ln

Din ecuațiile politropelor

rezultă:

⇒

şi prin urmare

η 1ln

ln

ln

ln

η

ln

Pentru cazul în care în locul politropelor se folosesc adiabate, atunci 0 şi

η 1

Pentru un ciclu format din două izoterme şi două izocore, şi

η

ln

iar pentru un ciclu format din două izoterme şi două izobare, şi

η

ln

28. Se consideră un motor cu explozie care funcționează după un ciclu Otto care

este format din două izocore şi două adiabate, substanța de lucru fiind un gaz perfect. Să se determine randamentul ciclului Otto din figură.

R.: Randamentul ciclului este:

η 1| |

unde: ,

Astfel:

η 1

Din ecuațiile adiabatelor AB şi CD

rezultă

şi prin urmare

η 11

1 ⇒ η 1 , η 1

sau

η 1

29. Un ciclu Diesel ideal este format din două adiabate, o izobară şi o izocoră. Să

se determine randamentul acestui ciclu în funcție de rapoartele , ⁄⁄ şi de exponentul adiabatic .

R.: Randamentul ciclului este definit ca raportul între lucrul mecanic efectuat şi

căldura primită

η 1 1| |

unde ,

Înlocuind şi în expresia lui η obținem:

η 1 11

Pe izobara BC avem

iar pe adiabatele AB şi CD avem:

Rezultă:

η 11

1

11

1

1 ⇒

η 11

1

1

Ciclul este numit ideal întrucât substanța de lucru este un gaz perfect. 30. Un ciclu Joule după care funcționează o turbină cu gaz sau un pulsoreactor

este format din două izobare şi două adiabate. Să se determine randamentul ciclului Joule din figură în funcție de raportul volumelor ⁄ şi de exponentul adiabatic . Substanța de lucru este un gaz perfect.

R.: Randamentul ciclului este:

η 1| |

unde ,

Rezultă:

η 1

Din ecuațiile adiabatelor AB şi CD obținem:

, ⇒ ⇒

η 11

1 ⇒ η 1

sau

η 1

31. O maşină Carnot funcționează folosind drept sursă caldă un gaz la

temperatura şi capacitatea calorică , iar ca sursă rece un alt gaz la temperatura şi capacitatea calorică . Maşina funcționează până când cele două gaze ating

temperatura comună . Să se determine temperatura . R.: Într‐un proces ciclic reversibil variația entropiei este egală cu 0.

∆ 0 Dar

∆ ∆ ∆đ đ

ln ln ln ln ln 0 ⇒

1 ⇒ ⇒

32. O maşină frigorifică de putere P produce gheață la temperatura prin

răcirea apei aflate la temperatura . Cunoscând durata unui ciclu frigorific t , căldura specifică a apei , căldura specifică a gheții , căldura latentă de topire a gheții să se determine:

a) coeficientul de eficacitate frigorifică e ; b) cantitatea de căldură primită de la sursa rece; c) masa de gheață produsă în unitatea de timp; d) coeficientul de eficacitate caloric e’ al unei pompe termice care ar funcționa

între aceleaşi temperaturi. Aplicaţie. 200 W , 300 K , 263 K , 10 s , 4185 J kg · K ,⁄

2093 J kg · K , 320 kJ kg .⁄⁄

R.: a)

b)

· , ⇒ c)

, 273

d)

Înlocuind valorile numerice obținem: 7,1 ; 2000 J ; 14200 J ; 0,03 kg ; 0,003 kg ; 8,1

Rezultă că într‐o secundă se obțin trei grame de gheață. 33. Să se arate că variația entropiei unui gaz ideal nu depinde de drum în cazul

unui proces izocor în care temperatura şi presiunea se dublează, în cazul unui proces izobar în care temperatura şi volumul se dublează şi în cazul unui proces izoterm în care presiunea se dublează, iar volumul se înjumătățeşte.

R.: Într‐un proces izocor în care 2 , 2 , volumul este constant:

· 22

Variația entropiei este aceeaşi pe trei drumuri diferite:

∆ ln ln 1 ln 2 ln 2 1 ln 2

∆ ln 1 ln 2

∆ ln 1 ln 2 , ∆ 1 ln 2

Într‐un proces izobar în care 2 , 2 , presiunea este constantă: · 22

În acest caz

∆ ln ln 1 ln 2 ln 2 1 ln 2

∆ ln 1 ln 2

∆ ln 1 ln 2 , ∆ 1 ln 2

Într‐un proces izoterm în care 2 , 2⁄ , temperatura este constantă:

2 · 12

În acest caz cele trei drumuri diferite pentru care variația entropiei este aceeaşi sunt următoarele:

∆ ln ln 1 ln 2 1 ln12 ln 2 0

∆ ln ln12 ln 2 0

∆ ln ln 2 0 , ∆ ln 2

Variația entropiei este negativă deoarece la comprimare sistemul primeşte lucru mecanic şi cedează o cantitate de căldură ( 0).

La destindere, 2 , 2 ,⁄ rezultă:

∆ ln 2

Pentru gaze biatomice 1,4 şi avem inegalitățile: ∆ ∆ ∆

34. Un corp cu masa , căldura specifică la presiune constantă şi

temperatura este pus în contact cu un corp cu masa , căldura specifică şi temperatura . După un timp cele două corpuri ajung în starea de echilibru termic. Să se determine variația entropiei fiecărui corp şi variația entropiei sistemului format din cele două corpuri dacă .

Aplicaţie. 1 kg ; 300 K ; 400 K ;

910 J kg · K Al ; 390 J kg · K Cu⁄ ⁄

R.: Din condiția de echilibru termic

rezultă temperatura de echilibru

Încălzirea izobară a primului corp este ireversibilă, dar variația entropiei fiind independentă de drum vom considera o transformare izobară reversibilă între aceleaşi două stări ca şi transformarea reală:

đ ∆ ln

Folosind acelaşi raționament şi pentru corpul care se răceşte obținem:

∆ ln

Entropia fiind o mărime aditivă, variația entropiei sistemului va fi: ∆ ∆ ∆

∆ ln ln

Înlocuind valorile numerice obținem: 330 K , ∆ 86,73 J K⁄ , ∆ 75,02 J K , ∆ 11,7 J K⁄⁄

Deoarece ∆ 0 rezultă că entropia sistemului creşte, procesul fiind ireversibil. 35. În două vase se găsesc cantități egale (n moli) dintr‐un gaz ideal la aceeaşi

temperatură T şi la presiunile , respectiv . Să se determine variația de entropie a acestui sistem dacă vasele sunt puse în comunicație între ele.

Aplicaţie. 1 atm , 2 atm , 1 kmol , 8310 J kmol · K⁄

R.: În starea inițială gazele au entropia 2 ln ln ln 2 2 ln ln 2

În starea finală, după difuzie 2 ln 2 ln 2

unde 2

deoarece , , 2

Variația entropiei gazelor este:

∆ 2 ln2

ln ln 4

Deoarece 4

rezultă ∆ 0 , adică procesul de difuzie este ireversibil. Înlocuind valorile numerice obținem:

∆ 9468,7 J K⁄ 36. Să se determine variația de entropie a unui gaz ideal care suferă o detentă

adiabatică în vid (detentă Joule) cunoscând că inițial gazul ocupă un volum la presiunea şi temperatura , iar în urma destinderii adiabatice gazul ocupă un volum 2 .

Aplicaţie. 10 , 10 , 300 .⁄

R.: La detenta Joule gazul perfect nu schimbă căldură şi lucru mecanic cu mediul

exterior (đ 0 , đ 0). Rezultă: đ đ 0 ⇒ . ⇒ .

Variația de entropie ∆ a gazului care suferă o detentă izotermă ireversibilă este aceeaşi ca în cursul unei detente izoterme reversibile având aceleaşi extremități deoarece entropia este o funcție de stare.

Astfel

∆

unde în cazul unui proces izoterm

ln

Rezultă:

∆ ln ln

∆ ln 2

Înlocuind valorile numerice obținem: ∆ 0,23 J K⁄

37. Un gaz ideal monoatomic suferă o comprimare izotermă reversibilă la

temperatura de la presiunea la presiunea , urmată de o destindere adiabatică reversibilă de la presiunea şi temperatura până la presiunea şi temperatura . Să se determine variația entropiei, variația energiei interne şi temperatura finală după N transformări reversibile succesive de comprimare şi detentă adiabatică.

Aplicaţie. 53 , 1 atm , 100 atm , 300 K ,

1 kmol , 8310 J kmol · K , 2.⁄ R.: La o comprimare izotermă variația entropiei este

∆ ln ln ln

La o detentă adiabatică reversibilă variația entropiei este nulă. Entropia fiind o mărime aditivă, după N transformări succesive de comprimare

şi destindere adiabatică

∆ ln

Ecuația adiabatei în variabilele T şi p este:

. Pentru prima destindere adiabatică această relație devine:

,

Pentru a doua destindere adiabatică avem:

După N transformări

Variația energiei interne este

∆ 1

∆ 1


∆ 76,5 kJ K⁄ , 7,5 K , ∆ 3,6 · 10 J .

38. Un gaz perfect aflat la presiunea şi temperatura este comprimat adiabatic până la presiunea după care este răcit izocor până la temperatura inițială . În continuare gazul este comprimat adiabatic până la şi răcit izocor până la . Să se

determine numărul de comprimări adiabatice necesare pentru ca ⁄ . Aplicaţie.

300 , 1 atm , 10 atm , 1,4 , 1 8 · 10 .

R.:

Punctele , , , … , se află pe izoterma . Starea 1 este caracterizată de

parametrii , , , unde

⇒ ⇒

⇒ ⇒

În starea parametrii gazului sunt , , , unde

⇒ ⇒

În starea 2 avem:

, ⇒

⇒ ⇒

În general

⇒ ⇒ 1

ln ln ⇒

ln lnln

ln 1

Înlocuind datele numerice rezultă 10,034 . Întrucât pentru ∞ rezultă vom lua 11 .

39. Să se exprime entropia unui gaz Van der Waals în funcție de parametrii

, şi . R.: Diferențiala entropiei în variabilele T şi V este:

1

Din ecuația energiei

şi din ecuația termică de stare a gazului Van der Waals

obținem:

, , ⇒

Se constată că energia internă a gazului real depinde de volum. Înlocuind în prima relație obținem:

1

1 ⇒

Integrând ultima relație rezultă:

ln ln unde

ln ln

40. Densitatea volumică de energie u a radiației termice de echilibru este funcție numai de te,peratura T . Dacă ecuația de stare a radiației de echilibru are forma

3⁄ , unde este presiunea „gazului de fotoni”, să se determine: a) dependența de temperatură a lui ; b) densitatea de entropie şi ecuația transformării adiabatice; c) randamentul ciclului Carnot elementar în care temperaturile izotermelor sunt

foarte apropiate (T şi T –dT). R.: a) Energia internă a radiației termice de echilibru care ocupă volumul V este

⇒

Din ecuația energiei

rezultă

·13 3 ⇒

43 3 ⇒ 4

Am trecut de la derivata parțială la derivata totală întrucât depinde numai de T . Integrând obținem:

ln 4 ln ln ⇒ ln ln ln ⇒

Rezultă că densitatea volumică de energie a radiației termice de echilibru este proporțională cu puterea a patra a temperaturii. Deoarece 4 ⁄ , unde este radianța integrală a corpului negru, rezultă

4 ⇒

Am obținut formula lui Stefan Boltzmann. b) Deoarece , din principiul doi al termodinamicii obținem:

đ 4 3

443

43 3

43

43

Constanta de integrare s‐a luat egală cu zero deoarece conform principiului trei al termodinamicii pentru 0 ( 0) entropia este egală cu zero. Densitatea de entropie este:

⇒ 43

Într‐un proces adiabatic

Astfel am obținut ecuația adiabatei în variabilele T şi V . c)

Ciclul Carnot elementar la care este supus „gazul de fotoni” permite calculul lucrului cedat de sistem mediului exterior

đ 3

care s‐a aproximat cu mărimea ariei unui dreptunghi deoarece T şi T –dT sunt foarte apropiate.

Cantitatea de căldură primită de sistem pe izoterma BC este:

đ 3

43

În acest caz am ținut seama că pe izotermă este constant şi deci

ηđđ

3

43

⇒ η 4

Dar

4 ⇒ η

Dacă foloseam direct formula randamentului ciclului Carnot obțineam acelaşi rezultat:

η 1

41. Să se determine diferența pentru un gaz Van der Waals. Aplicaţie.

647,65 K , 5,6 · 10 m mol , 0,55 J · m mol , ⁄⁄

3,05 · 10 m mol ,⁄ 8,31 J mol · K⁄

R.:

Diferențiind ecuația Van der Waals

la volum constant obținem:

Diferențiind aceeaşi ecuație la presiune constantă, rezultă:

2

Astfel

2 1 2

1 2

În variabilele p şi V rezultă:

1 2

Înlocuind valorile numerice obținem: 8,34 J mol · K⁄

Abaterea relativă față de gazul ideal este 3,61 · 10 .

42. Să se arate că la efectul Joule‐Thomson în cazul unui gaz Van der Waals curba de inversie este o parabolă în coordonate , .

R.: În cazul detentei Joule‐Thomson

0 ⇒

Curba de inversie este locul geometric al punctelor pentru care

0 ⇒

Înlocuind căldura latentă h din relația lui Clapeyron

obținem:

Din condiția de inversie rezultă:

⇒ ⇒ ⇒

∗

unde nRT a fost înlocuit din formula Van der Waals

Diferențiind ecuația Van der Waals la presiune constantă obținem:

2 ⇒

2

Înlocuind acest rezultat în ∗ obținem:

2 ⇒

2 ⇒

23

0 ⇒ 23

0 ⇒

2 3 0 ⇒ 323

care este ecuația unei parabole de forma

unde 1

3 , 23 , 0 , ,

Această ecuație se poate pune sub forma

2 0

unde 12

32 ,

44 3 ,

2

Astfel ecuația parabolei cu vârful în punctul

3 ,

în planul , este:

3 3 0

Pentru 0 obținem intersecțiile parabolei cu axa pV

0 şi 2 Diagrama , este numită diagrama lui Amagat. Coeficientul lui Joule‐Thomson

1

este pozitiv în interiorul parabolei şi negativ în exteriorul ei. În cazul în care

0

prin destindere adiabatică ireversibilă 0 , gazul se va răci 0 , iar în cazul în care

0

prin destindere adiabatică ireversibilă gazul se va încălzi 0 .

Efectul Joule‐Thomson se anulează dacă

0

adică pe parabola cu axa orizontală.

43. Să se determine temperatura de inversie a unui gaz Van der Waals corespunzătoare anulării efectului Joule‐Thomson.

R.: Efectul Joule‐Thomson se anulează dacă

10

Temperatura care satisface această relație este temperatura de inversie.

0 ⇒ 1

11

Diferențiind ecuația Van der Waals la presiune constantă se obține:

2

2

2

44. Să se determine temperatura de inversie în funcție de constantele şi

din ecuația Van der Waals. Aplicaţie.

3,4 · 10 J · m · mol , 2,37 · 10 m · mol heliu , 8,31 J · mol · K .

R.: În coordonatele lui Amagat , , parabola de inversie întâlneşte axa

în originea axei şi în punctul determinat de relația 2

Izoterma care trece prin punctul 0, 2 ⁄ este izoterma de inversie

2 ⇒

2

În cazul heliului 34,5 K , în acord cu valoarea experimentală 34 K.

Astfel pentru a răci heliul prin efect Joule‐Thomson trebuie ca temperatura să fie sub 34 K.

Temperatura de lichefiere a heliului este de 4,2 K. 45. Să se arate că la detenta adiabatică reversibilă a unui gaz, cu cedare de lucru

mecanic mediului exterior, are loc o răcire a gazului. R. Într‐un proces adiabatic (izentropic)

đ 1 10 ⇒

⇒ ⇒

În cazul unui proces izoterm din diferențiala entalpiei

obținem:

Folosind a patra relație a lui Maxwell

rezultă

⇒ ⇒

Deoarece în procesul destinderii izentrope

0 , 0 , 0 , 0

rezultă 0

adică gazul se răceşte.

46. Să se arate că

R.: Deoarece

1 ,

0

Astfel coeficientul Joule‐Thomson

diferă de coeficientul de variație a temperaturii cu presiunea la entropie constantă

Acest rezultat este în acord cu faptul că metoda de răcire bazată pe un proces de destindere adiabatică reversibilă este mai eficace decât metoda Joule‐Thomson care se bazează pe un proces ireversibil:

47. Să se obțină o expresie aproximativă a coeficientului Joule‐Thomson

în cazul în care produsul constantelor şi b din ecuația lui Van der Waals se neglijează.

R.: Diferențiind ecuația Van der Waals la presiune constantă şi neglijând termenii ce conțin produsul obținem:

2 1 2 2

1 2 12 1 2

⇒

2 ⇒

2

Înlocuind în expresia coeficientului Joule‐Thomson 1

obținem: 2

⇒ 2

Temperatura de inversie se obține din condiția

0 2

48. Să se arate că nu depinde de volum pentru un gaz Van der Waals. R.: Din condiția ca

đ đ ℓ ℓ să fie diferențială totală exactă rezultă

ℓ

Înlocuind căldura latentă ℓ din relația lui Clapeyron

ℓ

obținem:

⇒

Din ecuația Van der Waals

rezultă

⇒ ⇒ 0 ⇒

0 ⇒ .

49. Să se determine energia internă a unui gaz Van der Waals. R.: Exprimăm dU în variabilele T şi V :

Prin definiție

iar pentru un gaz Van der Waals

Rezultă:

Întrucât pentru un gaz Van der Waals nu depinde de volum, prin integrarea relației obținem:

1 1

unde

reprezintă energia internă a gazului real ce ocupă volumul la temperatura . Termenul are semnificația energiei cinetice a gazului, iar ⁄ reprezintă energia potențială de interacțiune dintre moleculele gazului. Energia internă este definită numai până la o constantă aditivă . Se poate determina exact numai variația energiei interne.

50. Să se determine cu cât scade temperatura unui mol de gaz într‐o detentă Joule dacă starea inițială a gazului este caracterizată de volumul şi temperatura . Se va considera că volumul final este de două ori mai mare decât volumul inițial. Se cunosc căldura molară a gazului şi constanta din ecuația termică de stare Van der Waals.

Aplicaţie. 0,024 m , 293 K , 28,46 J · mol · K , 0,366 J · m · mol

R.: În detenta lui Joule

ℓ 0 ⇒ ℓ ⇒

ℓ

Înlocuind căldura latentă ℓ din relația lui Clapeyron

ℓ

obținem:

Diferențiind ecuația Van der Waals

la volum constant rezultă

⇒

Înlocuind în ecuația încadrată obținem:

Deoarece nu depinde de volum, prin integrarea relației de mai sus rezultă:

⇒ 1 1

Pentru 1 mol, , 2 obținem:

2

Înlocuind valorile numerice obținem: 0,27 0,27

Acest rezultat este în acord cu datele experimentale. 51. Un lichid se află în starea determinată de temperatura T , presiunea p şi

volumul molar V . Cunoscând coeficientul de dilatare termică şi coeficientul de comprimare izotermă să se determine căldurile latente ℓ şi , , coeficienții

,

şi constanta din ecuația Van der Waals. Aplicaţie.

300 , 1 , 1,8 · 10 , 2,9 · 10 ,⁄

2,2 · 10 , 8,31 ·⁄⁄ R.: Din relațiile lui Clapeyron

ℓ ,

şi din formulele de definiție a coeficienților şi 1

, 1

rezultă:

, ⇒ ℓ

Deoarece ⇒

obținem:

ℓ

Din ecuațiile

,

şi din relațiile lui Clapeyron rezultă:

ℓ

Pentru un proces izobar

ℓ ⇒ ℓ ⇒

, ℓ ,

Din ecuația Van der Waals

obținem:

, , ℓ

ℓ ⇒ ℓ


ℓ 1,3 · 10 N m 13 atm , 1,6 · 10 m mol , V ⁄ 6,8 · 10 J mol · K ,⁄

12 atm , 1,78 · 10 m mol 1,8 · 10 m mol ,⁄ ⁄

3,9 · 10 J · m mol⁄ Observaţie. Coeficientul

împreună cu ℓ şi p sunt mărimi intensive, iar coeficientul

împreună cu h şi V sunt mărimi extensive.

52. Să se determine variația temperaturii unui lichid într‐un proces reversibil de comprimare adiabatică dacă starea inițială este caracterizată de presiunea şitemperatura , iar în starea finală presiunea este . Se dau: coeficientul de dilatare termică , căldura specifică la presiune constantă şi densitatea a lichidului.

Aplicaţie. 1 atm , 10 atm , 300 K , 2 · 10 K ,

4185 J kg · K , 10 kg m⁄⁄ R.: Într‐un proces adiabatic

đ 0 În problema anterioară am obținut

Deci:

0 sau

0 ⇒ ⇒

Integrând această relație obținem:

ln

ln ln ⇒

∆ În cazul aplicației numerice obținem:

300,013 K , ∆ 0,013 K Deoarece ∆ , puteam trece de la variații infinitezimale la variații finite

∆ ∆ 0,0129 K 0,013 K

şi obținem practic acelaşi rezultat. Deoarece , , , şi ∆ sunt mărimi pozitive, a rezultat că la compresia

reversibilă a lichidului într‐o incintă adiabatică are loc o creştere a temperaturii. Totuşi, pentru apa aflată într‐un anumit domeniu de temperaturi 0 şi deci ∆ 0 , adică are loc o răcire.

53. Să se determine variația elementară a temperaturii dT a unui lichid în

funcție de variația elementară a suprafeței lichid‐vapori dA în decursul unei transformări izentrope.

R.: Pentru a creşte cu dA suprafața liberă a unui lichid în contact cu vaporii săi

saturați, trebuie furnizat lucrul mecanic đ

unde este coeficientul de tensiune superficială. În expresia cantității de căldură

đ este capacitatea calorică a lichidului de suprafață constantă, iar h este cantitatea de

căldură corespunzătoare unei variații izoterme a suprafeței. Din condițiile ca

đ đ ⇒ şi

đ ⇒

să fie diferențiale totale exacte obținem:

⇒ 1 1 1

⇒

Egalând ultimele două relații încadrate obținem:

⇒

Pentru ca h să fie pozitiv este necesar ca

0

adică trebuie să fie o funcție descrescătoare de temperatură. Pentru un proces izentropic

0 ⇒ ⇒

54. O sursă electrică funcționează adiabatic debitând un curent de intensitate I

în timpul ∆ . Cunoscând temperatura inițială , capacitatea calorică a sursei şi coeficientul

unde e este tensiunea electromotoare, să se determine variația temperaturii ∆ . Aplicaţie.

2 , ∆ 50 , 300 , 418 ,⁄

4,8 · 10 ⁄

R.: Energia electrică furnizată de sursă este

đ , unde semnul minus are semnificația că sursa furnizează o sarcină Idt sau că sursa primeşte o sarcină negativă đ .

Cantitatea de căldură se exprimă în funcție de capacitatea calorică a sursei şi de căldura latentă izotermă a sursei

đ Din condiția ca

đ đ ⇒ şi

đ ⇒

să fie diferențiale totale exacte obținem:

⇒ 1 1

⇒

Din relațiile încadrate obținem:

⇒

Pentru un proces izentropic

0 ⇒ 0 ⇒ ⇒ ⇒

1

Prin integrare obținem: ∆

Înlocuind valorile numerice obținem: 299,66 K , ∆ 0.34 K

55. Un fir metalic de densitate volumică , coeficient de dilatare liniară ,

căldură specifică la presiune constantă , de secțiune s , care se află la temperatura T este întins de o forță a cărei variație este df . Presupunând că transformarea este adiabatică, să se determine variația dT a temperaturii firului.

R.: Din formula coeficientului de dilatare liniară

1 1

rezultă:

Diferențiind energia liberă

obținem:

Pe baza primului principiu al termodinamicii đ đ

putem scrie:

Relația lui Maxwell corespunzătoare se obține din condiția ca dF să fie diferențială totală exactă:

Pe baza principiului doi al termodinamicii rezultă: đ

⇒ ⇒

Dacă tracțiunea are loc rapid, atunci transformarea poate fi considerată adiabatică şi deci

đ 0 ⇒ ⇒

⇒ ⇒

Pentru majoritatea corpurilor obişnuite 0 , adică are loc o răcire a firului metalic. Excepție face cauciucul negru, care la o tracțiune adiabatică se încălzeşte.

56. Să se determine variația ∆ a temperaturii unui fir de cupru la o întindere

adiabatică prin creşterea forței de la 0 la f . Se cunosc: densitatea volumică a cuprului , coeficientul de dilatare liniară , secțiunea firului s , căldura specifică la presiune constantă şi temperatura inițială .

Aplicaţie. 10 N , 8900 kg m , 1,5 · 10 K ,⁄

10 m , 390 J kg · K , 300 K ⁄ R.: Din problema precedentă obținem:

Integrând rezultă:

ln ⇒

Înlocuind valorile numerice obținem: 299,986 (temperatura scade) ∆ 0.014 K

57. Să se rezolve problema anterioară fără a folosi energia liberă. R.: Pe baza primului principiu al termodinamicii

đ đ đ ⇒

⇒

Din condiția ca dU să fie o diferențială totală exactă rezultă:

⇒

⇒

Din condiția ca đ

să fie o diferențială totală exactă obținem:

⇒ 1 1

⇒

Comparând relațiile încadrate rezultă

⇒

đ 0 ⇒ ⇒

⇒

Deoarece ∆ putem scrie ultima relație pentru mărimi finite

∆ ∆

58. Să se determine variația energiei libere la o comprimare izotermă a unui gaz

Van der Waals dacă volumul gazului variază de la la . Aplicaţie.

300 K , 5 · 10 m mol , 4 · 10 m mol ,⁄⁄

0,5 J · m mol , 3 · 10 m mol , 8,31 J mol · K⁄⁄⁄ R.: Diferențiala energiei libere are expresia

Într‐o transformare izotermă 0

đ

Pentru un gaz perfect la temperatură constantă

0 ⇒ 0 ⇒ Diferențiala entalpiei libere fiind

rezultă că într‐un proces izoterm al unui gaz ideal

đ Pentru un gaz Van der Waals

∆ ln

ln1 1

Pentru un mol de gaz

∆ ln1 1

Înlocuind datele numerice obținem ∆ 771,98 J mol .⁄

59. Un pendul metalic de torsiune de capacitate calorică C , căldură latentă

izotermă L , unghi de torsiune , constantă de torsiune t(T) , care se află la temperatura T este torsionat cu un unghi ∆ . Considerând că transformarea este adiabatică, să se determine variația ∆ a temperaturii pendulului dacă ∆ .

R.: Diferențiind energia liberă

obținem:

2 Pe baza primului principiu al termodinamicii

đ đ putem scrie:

2 ⇒ Condiția ca dF să fie diferențială totală exactă este

Pe baza principiului doi al termodinamicii đ

rezultă

Din relațiile încadrate obținem

Pentru o transformare adiabatică

đ 0 ⇒ Astfel

Pentru ∆ putem scrie

∆ ∆

60. Să se deducă relațiile lui Maxwell pentru un condensator la care volumul V

dintre armături este umplut cu un dielectric izotrop aflat la presiunea p şi temperatura T . Condensatorul electric este încărcat cu sarcina q prin aplicarea la armături a unei diferențe de potențial .

R.: Condensatorul umplut cu dielectric este caracterizat la echilibru de perechile

de variabile conjugate , , , şi , , în care p , T şi sunt mărimi intensive, iar V , S şi q sunt mărimi extensive.

Lucrul elementar đ este format din lucrul mecanic al forțelor de presiune şi din lucrul datorat forțelor electrostatice :

đ Luând mărimile S , V şi q ca variabile independente, din primul principiu al

termodinamicii obținem: đ đ ⇒

Definind o energie internă

rezultă ⇒

în care variabilele independente sunt S , V şi .

La fel putem scrie relațiile , ,

, ,

, , , , , , , , şi depind numai de mărimile de stare T , S , p ,

V , q şi , fiind deci diferențiale totale exacte. Astfel putem scrie relațiile:

, , ,

, , ,

, , ,

, , ,

, , ,

, , ,

, , ,

, , ,

, , ,

, , ,

, , ,

, , ,

, , ,

, , ,

, , ,

, , ,

, , ,

, , ,

, , ,

, , ,

, , ,

, , ,

, , ,

, ,

Relațiile ce conțin derivata entropiei constituie relațiile lui Maxwell. 61. Să se deducă relațiile lui Clapeyron şi derivatele capacităților calorice în

raport cu variabilele p şi V pentru condensatorul din problema precedentă. R.: Cantitatea de căldură elementară schimbată cu mediul exterior poate fi scrisă

sub forma đ , ℓ ,

Pe baza principiului doi al termodinamicii rezultă

đ , ℓ ,

Din problema precedentă đ , ℓ

đ ,

dS , şi fiind diferențiale totale exacte, putem scrie

,

,

ℓ, ,

, ,

, , , ∗

1 ,

,

ℓ ,

1 ,

, . ⇒ ∗∗

1 ,

,

1 ℓ,

ℓ ,

1 ,

,

1,

⇒

,

,

ℓ,

ℓ , ,

, , ∗∗∗

Comparând relațiile ∗ şi ∗∗∗ obținem relațiile lui Clapeyron

ℓ, ,

, ∗∗∗∗

Din ∗∗ şi ∗∗∗∗ rezultă

1 ,

, . . ⇒

,

, .

1 ,

, . . ⇒

,

, .

62. Să se obțină capacitățile calorice , şi , în funcție de derivatele de

ordinul doi ale energiei interne şi ale entalpiei în raport cu entropia pentru condensatorul electric.

R.: , se obține din relațiile

, ℓ ,.

,.

ℓ

Pentru un proces la volum constant şi la o diferență de potențial constantă

,.

⇒ ,

.

Deoarece

rezultă

.

,

.

, se obține pe baza relațiilor

, ,,

,,

Pentru un proces la ., ., obținem

,,

⇒ ,

,

Din relația

rezultă

,

Astfel

,

.

63. Să se arate că la creşterea diferenței de potențial dintre armăturile unui

condensator electric are loc o contracție a volumului dielectricului (fenomenul de electrostricțiune).

R.: Exprimând elementul de volum dV în funcție de variabilele , şi

obținem

La presiune şi temperatură constantă

,

Pentru

rezultă

, ,

Astfel

,

Din relația

obținem

, , ⇒

,

Integrând ( variază de la 0 la ) obținem

∆, 2

Variația volumului este un efect pătratic care nu depinde de semnul lui .

, deci

,

sunt mărimi pozitive, deoarece la creşterea presiunii dielectricului creşte numărul de molecule polarizabile pe unitatea de volum, care conduce la o creştere a constantei dielectrice a mediului şi deci a capacității condensatorului. Deoarece , acest lucru conduce la o creştere a sarcinii q . Rezultă că q şi p variază în acelaşi sens.

Astfel, dacă potențialul creşte, atunci are loc o micşorare a volumului dielectricului şi invers, la o micşorare a diferenței de potențial, volumul mediului dintre armături creşte (fenomenul de electrostricțiune).

64. Să se arate că în condiții normale (20 0C, 1 atm), energia mecanică şi

cantitatea de căldură au valori mici în comparație cu energia electrică furnizată de generator unui condensator electric.

Aplicaţie (pentru CS2):

1,7 · 10 , 2,4 · 10 ,

2,63 , 101325 , 293,15 .⁄

R.: Din problema precedentă

∆ 2

Pentru un lichid variația volumului este mică, astfel că lucrul mecanic primit este

∆ 2

Energia electrică dată de generator la ., ., este 12

Astfel

Din expresia lui dS ,

rezultă

,

Din

se obține

, ,

Astfel

, ⇒

,

Cantitatea de căldură schimbată de sistem cu exteriorul la încărcarea condensatorului la presiune şi temperatură constante este

đ, ,

Prin integrare rezultă

2

Astfel

Înlocuind valorile numerice obținem 6,5 · 10 , 0,27.⁄ ⁄ Semnul minus din ultimul raport arată că la încărcarea izotermă a

condensatorului sistemul cedează căldură mediului exterior. Energia mecanică primită la

încărcare este o mică fracție din energia internă. Variația energiei interne reprezintă 73% din energia dată de generator. Energia înmagazinată poate fi recuperată la descărcarea izotermă a condensatorului.

65. Să se stabilească relația:

şi să se particularizeze la cazul în care magnetizația M satisface legea lui Curie

χ În relațiile de mai sus

este capacitatea calorică la magnetizare constantă,

este capacitatea calorică la câmp magnetic constant, este permeabilitatea magnetică a vidului, χ este susceptibilitatea magnetică, C este constanta lui Curie, iar V este volumul.

R.:

,,

,,,,

,,

⇒

Diferențiala energiei interne se exprimă astfel

đ đ

unde este lucrul de polarizare magnetică. Diferențiala energiei libere şi cea a entalpiei libere se obțin uşor

Introducând ,

obținem: ,

ş sunt diferențiale totale exacte deoarece depind numai de mărimi de stare. Din condiția ca sau să fie diferențială totală exactă obținem

, ,

Înlocuind în expresia pentru rezultă

, ⇒

Particularizând pentru

obținem

, ⇒ · · ⇒

66. Să se arate că la creşterea intensității câmpului magnetic are loc o variație a

volumului mediului aflat în acest câmp (fenomenul de magnetostricțiune). R.: Exprimând elementul de volum dV în funcție de variabilele , şi

obținem

La presiune şi temperatură constantă

,

Luând entalpia liberă de forma

rezultă

, ,

,

La o substanță paramagnetică

şi deci ∆ 0 .

La o substanță feromagnetică putem scrie χ

unde susceptibilitatea depinde de H şi p . Astfel

χ

,

Integrând ( H variază de la 0 la H ) obținem

∆χ

, 2

Modificarea formei unui corp feromagnetic în timpul procesului de magnetizare se numeşte magnetostricțiune. Dimensiunea liniară a corpului pe direcția magnetizației proprii suferă o variație ∆ℓ ℓ⁄ de ordinul a 10 10 .

67. Să se arate că viteza sunetului într‐un gaz molecular biatomic paramagnetic

depinde de intensitatea câmpului magnetic H . Se va presupune că gazul este un gaz ideal care verifică legea lui Curie

.

R.: Diferențiala entalpiei libere

este

Din această relație rezultă

,

La . şi . obținem

,

Înlocuind

rezultă

2 ,

, 2 ,

Capacitatea calorică la . şi . este obținută astfel

,đ

, ,, , 1

,

Analog se obține capacitatea calorică la . şi .

,,

, 1,

Din definiția indicelui adiabatei obținem

,

, ⇒

1,

1,

Rezultă că viteza sunetului

depinde de intensitatea câmpului magnetic H . Pentru un gaz paramagnetic biatomic ideal,

1,4 , ,72 , 1,4 , ,

52 .

68. Să se determine variația entropiei la presiune constantă a unui corp chimic

pur de masă m , de la 0 K până la temperatura de vaporizare , cunoscând temperatura de topire , căldura latentă de topire , căldura latentă de vaporizare , căldura specifică la presiune constantă a corpului în stare solidă şi căldura specifică la presiune constantă a corpului în stare lichidă ℓ .

Aplicaţie (pentru apă). 1 kg , 273,15 K , 373,15 K , 3,348 · 10 J kg ,⁄

2,253 · 10 J kg ,⁄ 2093 J kg · K , ⁄ ℓ 4185 J kg · K , 1 atm . ⁄ R.: Conform principiului trei al termodinamicii, entropia unui corp chimic pur la

0 K este 0 . Astfel variația de entropie cerută este chiar entropia la presiunea p şi la temperatura de vaporizare .

, ℓ

, ln ℓ ln

Am folosit faptul că la 0 K , 0 . Înlocuind valorile numerice obținem

, 2,032 · 10 J kg .⁄ 69. Să se arate că

lim

,0

unde M este magnetizația, iar H este intensitatea câmpului magnetic.

R.: Lucrul de polarizare magnetică este , unde V este volumul, iar este permeabilitatea vidului.

Lucrul elementar total este đ

Diferențiala energiei interne se exprimă astfel

đ đ

Diferențiind energia liberă

obținem

sau

Deoarece dG depinde numai de mărimi de stare, rezultă că este o diferențială totală exactă şi deci

, ,

Conform principiului trei al termodinamicii la 0 K entropia nu depinde de nici un parametru, adică

lim ,

0

Rezultă că

lim

,0

70. Să se determine variația temperaturii de tranziție a staniului cenuşiu în

staniu alb la presiunea p dacă la presiunea temperatura de tranziție este . Se dau:

densitățile staniului cenuşiu şi a staniului alb , masa atomică a staniului M şi căldura latentă de tranziție .

Aplicaţie. 100 atm , 1 atm 101325 N m ⁄ , 291 K ,

5,75 · 10 kg m , 7,3 · 10 kg m , 118,7 kg kmol ,⁄⁄ ⁄

2,24 · 10 J kmol .⁄ R.: Variația volumului este

∆1 1

Din ecuația lui Clausius Clapeyron

1 1

obținem

∆ ∆ · ∆


∆ 4,38 · 10 m kmol , ∆ 5,8 K .⁄ 71. Un lichid aflat la temperatura şi presiunea este comprimat la

temperatură constantă. Să se determine presiunea la care are loc solidificarea lichidului dacă la presiunea atmosferică topirea are loc la temperatura , iar căldura latentă de topire este . Se cunosc densitățile ℓ şi pentru corpul lichid şi pentru corpul solid în condiții normale. Se presupune că presiunea de echilibru este o funcție liniară de temperatură.

Aplicaţie (la benzen) 279 K , 101325 N m , 278.4 K , ⁄ 1,3 · 10 J kg ,⁄

ℓ 880 kg m , 1031 kg m .⁄ ⁄ R.: Ecuația lui Clausius Clapeyron este

1ℓ

1 , 1

∆ 1ℓ

1 ∆

∆ Solidificarea lichidului are loc la o presiune mai mare decât presiunea normală,

deoarece şi temperatura este mai mare decât cea de topire normală. (Excepție face gheața, la care presiunea şi temperatura au variații opuse şi deci p ∆ ) .

Înlocuind datele numerice obținem

∆ 16,8 · 10 , 17,8 · 10 ⁄⁄ 72. Un lichid aflat la temperatura şi presiunea este comprimat la

temperatură constantă. Să se determine presiunea la care are loc vaporizarea lichidului dacă la presiunea atmosferică vaporizarea are loc la temperatura , iar căldura latentă de vaporizare este . Se cunosc densitățile şi pentru corpul lichid şi pentru vaporii lichidului în condiții normale. Se presupune că presiunea de echilibru este o funcție liniară de temperatură.

Aplicaţie (la apă) 374 K , 101325 N m , 373 K , ⁄ 2,26 · 10 J kg ,⁄

958,8 kg m , 0,60 kg m .⁄ ⁄ R.: Din ecuația lui Clausius Clapeyron

1 1 , 1

obținem ∆ 1 1 ∆

∆ Temperatura de fierbere creşte cu creşterea presiunii 0⁄ . Înlocuind

datele numerice obținem ∆ 3638 , 1,05 · 10 ⁄⁄

73. Să se determine căldura latentă corespunzătoare temperaturii T

cunoscând temperatura critică de trecere a unui metal din starea normală în starea supraconductoare şi câmpul magnetic critic la 0 K.

Aplicaţie (pentru aluminiu) 1,18 K , 1,05 · 10 T , 0,2 K , 2700 kg m .⁄

R.: Intensitatea câmpului magnetic critic variază cu temperatura T după

legea

1

Inducția magnetică , intensitatea câmpului magnetic şi magnetizația (momentul magnetic al metalului pe unitatea de volum) sunt legate prin relația

Lucrul de polarizare magnetică este , unde V este volumul, iar

este permeabilitatea vidului. Lucrul elementar total este

đ

Variația energiei interne este

đ đ

Considerând o unitate de masă din metalul ce suferă transformarea obținem

unde este momentul de dipol pe unitatea de masă. Diferențiind energia liberă a unității de masă

obținem

La presiune constantă

Pentru o variație a temperaturii cu dT corespunzătoare variației d a

intensității câmpului magnetic critic, condiția de continuitate a entalpiei libere la trecerea din starea normală în starea supraconductoare este

⇒ unde indicele N corespunde stării normale, iar indicele S stării supraconductoare.

Rezultă

Căldura latentă a unității de masă este . Înlocuind în relația de mai sus se obține o expresie analoagă formulei lui Clausius‐Clapeyron

În starea normală, magnetizația 0 , iar în starea supraconductoare 0 (efectul Meissner).

0 ⇒ Deci

Dar 2

⇒ 2 1

Pentru rezultă 0 , adică la schimbarea stării nu are loc un transfer de căldură. Deoarece

1

relația de mai sus devine 2

1

Luând , rezultă

21


2 · 1,05 · 102700 · 4 · 10

0,21,18 1

0,21,18 1,81 · 10 J kg⁄

74. Temperatura critică de trecere a unui metal din starea normală în starea

supraconductoare este . Să se determine temperatura T’ la care căldura specifică nu se schimbă la această tranziție de fază.

Aplicaţie (la aluminiu): 1,18 . R.: Pentru unitatea de masă putem scrie

đ , , ,

unde c , şi sunt călduri specifice. Din formula căldurii latente

2

1

obținem 2

1

Din condiția de continuitate a căldurii specifice

rezultă

⇒ 0 ⇒

1 0 ⇒ 12

0 ⇒ 13

0 ⇒

√3

Înlocuind valoarea numerică a lui obținem 0,68

75. La temperatura , entropia stării supraconductoare 0 . Să se determine entropia corespunzătoare stării normale pentru aceeaşi temperatură şi variația

a căldurilor specifice pentru cunoscând câmpul magnetic critic la 0 K . Aplicaţie (la aluminiu):

1,18 K , 1,05 · 10 T , 0,2 K , 2700 kg m , 27 kg kmol .⁄⁄

R.: Căldura latentă de transformare a unității de masă este

Pentru , 0 ⇒

21

Deoarece

dar

21

iar

1 12

13

Astfel 2

1 3

Pentru obținem 4

În acest caz, 0 . Tranziția de la starea normală la starea supraconductoare este o tranziție de fază de ordinul doi, deoarece căldura latentă este nulă, iar căldurile specifice suferă o discontinuitate. Descreşterea entropiei datorită răcirii de la starea normală la starea supraconductoare ne arată că starea supraconductoare este mai ordonată decât starea normală, deoarece entropia este o măsură a dezordinii sistemului. O parte sau toți electronii (excitați termic în starea normală) sunt ordonați în starea supraconductoare. Luând , rezultă

21 ,

4

Înlocuind valorile numerice obținem 9.05 · 10 J kg · K 0,24 J kmol · K⁄⁄

0,11 J kg · K⁄

FIZICĂ STATISTICĂ

1. Considerăm un sistem izolat, alcătuit din două subsisteme la temperaturile apropiate şi , despărțite printr‐un perete adiabatic şi care conțin câte un mol de gaz ideal. Să se determine de câte ori este mai mare probabilitatea termodinamică ca temperatura subsistemelor să devină aceeaşi, decât probabilitatea termodinamică ca subsistemele să rămână la temperaturile avute inițial, în urma îndepărtării peretelui izolant. Volumele celor două compartimente sunt egale.

R.: Raportul celor două probabilități se obține astfel

ln , ln ⁄

⁄

T T

şi sunt entropiile sistemului în starea de echilibru, respectiv de dezechilibru.

2 ln 2 ln 2 , 2

ln ln ln ln ⇒ ln 2 ln 2

2 ln ln 2 ln ln ln ln

ln

Rezultă

, 32

32

4

Rezultă că întrucât 6,023 · 10 part/kmol. 2. La temperatura de 0 K , atomii unui solid sunt perfect ordonați într‐o rețea

cristalină. Odată cu creşterea temperaturii o parte din atomi părăsesc pozițiile de echilibru şi migrează spre suprafața cristalului. Aceste defecte se numesc defecte Schottky. Să se determine dependența de temperatură a concentrației ⁄ de defecte Schottky, considerând că în cristal se află N atomi şi că energia de formare a unui defect este .

R.: Energia cristalului cu n defecte este

unde este energia cristalului ideal, iar n este numărul de defecte.

Entropia cristalului se exprimă astfel

se determină pe baza formulei lui Boltzmann ln

unde P este probabilitatea termodinamică şi reprezintă numărul de configurații distincte compatibile cu macrostarea în care există n defecte.

Din totalul de poziții se obțin toate configurațiile posibile prin permutarea acestor poziții, deci ! , dar care nu sunt toate distincte. Prin permutarea defectelor între ele şi prin permutarea atomilor din nodurile rețelei nu se obțin configurații distincte. Deci

!! !

ln ! ln ! ln !

ln ln ln ⇒ ln ln ln

Am folosit formula lui Stirling deoarece am presupus că N şi n sunt numere foarte mari.

Starea de echilibru e aceea pentru care entropia S este maximă, iar energia liberă F este minimă.

ln ln ln Punând condiția de minim al energiei libere în raport cu numărul n de defecte

obținem

0 ⇒ ln1

ln1

0 ⇒

ln ⇒ 1 ⁄ ⇒ ⁄ 1 ⇒

1⁄ 1

3. Să se determine energia medie a unui oscilator folosind distribuția canonică

dacă energia cuantificată a oscilatorului este 12 ν , 0 , 1 , 2 , . . .

R.: Pe baza distribuției canonice, probabilitatea ca o particulă să se afle în starea

energetică este

∑ ∑ , 1

Energia medie a oscilatorului este

∑∑

∑ 12 ν ν

∑ ν

∑ ν ν ν2 ∑ ν

∑ νν2

∑ ν ν

∑ ν

ν2 ln ν ν

2 ln1

1 ν

ν2 ln 1 ν ν

2ν ν

1 ν ⇒

ν2

νν 1

⇒ ν2

νν

1

La 0 K ν

∞ ⇒ ν⁄ 1 ⇒ ν⁄ 1 ν⁄ ⇒

νν 0 ⇒

ν2

Deci la zero absolut încetează mişcarea de translație a oscilatorului rămânând o energie de vibrație nenulă ν 2 ⁄ numită energie de zero.

4. Să se exprime energia internă U cu ajutorul funcției de partiție

… ⁄

R.:

… ⁄

… ⁄… ⁄

1… ⁄ ⇒ … ⁄

·1

Dar

ln

Astfel

ln

Pentru un sistem de N particule

ln

5. Considerăm un gaz molecular care satisface legea repartiției Maxwell. Să se determine pentru o moleculă:

a) energia cinetică medie ; b) energia cinetică pătratică medie ; c) abaterea pătratică medie a energiei . R.: a)

4 2

⁄

2 2 ·3

⇒ 32

b)

4 4 · 4 2

⁄

Din relația de recurență 1

2 , 2 obținem

52

52 ·

32

154 ·

12

unde

2 , 12

Rezultă 154

c) 154

94 ⇒

32

6. Două molecule de gaz ideal care au masele şi se mişcă cu vitezele

şi . Să se determine viteza medie de mişcare relativă. R.: Ecuațiile de mişcare pentru cele două molecule sunt

⇒

⇒

Conform legii a treia a dinamicii .

1 1

⇒

1 1

Notând

, 1 1 1

rezultă 1

Această relație arată că mişcarea relativă poate fi studiată cu o ecuație de acelaşi tip ca aceea pentru mişcarea unei singure particule de masă (masa redusă) şi de coordonată egală cu coordonata relativă.

În mişcarea relativă una din particule poate fi considerată în repaus, iar cea de‐a doua în mişcare (dar cu masa ) cu viteza .

Dacă moleculele sunt identice atunci

1 1 1 2

⇒ 2

Viteza medie relativă se obține din formula pentru viteza medie în care în loc de m se pune 2⁄ . Deci

8

2 ⇒ √2 .

Astfel viteza medie relativă este mai mare decât viteza medie de agitație termică. 7. Să se determine numărul relativ de molecule de oxigen a căror viteză este

cuprinsă în intervalul , ∆ , la temperatura T . Se dă masa molară a oxigenului M . Aplicaţie.

300 K , 200 m s⁄ , ∆ 210 m s , 32 kg kmol , 8310 J kmol · K⁄⁄⁄

R.:

4 2

⁄

∆4 2

⁄

∆

∆4 2

⁄

∆

Înlocuind datele numerice obținem ∆

0,011 8. Fie un catod metalic plan având secțiunea s şi temperatura T . Considerând

că electronii din interiorul metalului se supun statisticii Maxwell, să se determine intensitatea curentului termoelectronic prin suprafața s . Se dă lucrul de extracție al electronilor din metal W .

R.: Pentru apariția emisiei termoelectronice este necesar ca energia cinetică a

electronilor să fie mai mare sau cel puțin egală cu lucrul mecanic de extracție. Viteza inițială se obține din relația

2 ⇒ 2

unde m este masa unui electron. Intensitatea curentului care trece prin suprafața s în unitatea de timp este egală cu sarcina cuprinsă într‐un cilindru de suprafață s şi înălțime egală cu , unde este componenta vitezei electronilor perpendiculară pe suprafața catodului. Volumul acestui cilindru fiind s , rezultă

unde e este sarcina unui electron, iar este numărul de electroni din unitatea de volum. Intensitatea medie a curentului termoelectronic este

unde

2

⁄ ,

⇒ 2

⁄·2

2

⁄ 2

⁄ 1

2 2 ⇒

2

⁄⁄

Aceasta este formula lui Richardson. Pentru metale această formulă este inaplicabilă în practică. În cazul semiconductorilor, această relație este în concordanță cu rezultatele experimentale.

9. Să se determine numărul mediu de ciocniri ale moleculelor unui gaz

în unitatea de timp cunoscând drumul liber mediu λ şi viteza pătratică medie √ .

Aplicaţie.

λ 4 · 10 m , 900 m s .⁄ R.: Drumul liber mediu este distanța medie parcursă de o moleculă dată între

două ciocniri succesive cu alte molecule.

λ ⇒ λ

1λ

8

83 ·

1λ

3

83 ·

1λ

⇒ 8

3 ·1λ

2 · 10 s 10. Să se determine masa minimă ce poate fi măsurată cu o balanță cu fir de

cuarț, la temperatura T , cunoscând constanta elastică k a resortului. Aplicaţie.

300 K , 6 · 10 N m , 1,38 · 10 J K , 9,8 m s .⁄⁄⁄ R.: Variațiile presiunii aerului înconjurător şi mişcarea termică a mecanismului

balanței fac ca masa măsurată să varieze haotic în jurul unei valori medii. Masa cea mai mică care poate fi măsurată cu ajutorul balanței este cea pentru care alungirea firului nu este mai mică decât abaterea pătratică medie √ .

Probabilitatea ca lungimea firului să varieze cu d este dP .

, · , 2

1 ⇒ 1 , , 2 ,

21 ⇒ 2 ⇒

2 , 12

2 ·22

2 ⇒

⇒


1,6 · 10 kg . 11. O oglindă suspendată de un fir de cuarț suferă oscilații aleatorii în care

unghiul are abaterea pătratică medie . Să se determine modulul de torsiune D. Aplicaţie.

4,18 · 10 , 300 K , 1,38 · 10 J K . ⁄ R.: În cazul micilor oscilații, pe baza principiului echipartiției energiei pe grade

de libertate

2 2 ⇒

Înlocuind datele problemei obținem 9,9 · 10 Nm . 12. Folosind repartiția la echilibru în statistica Maxwell‐Boltzmann

· , , 1

să se scrie expresiile pentru următoarele mărimi termodinamice: energia internă, capacitatea calorică la volum constant, entropia, energia liberă, presiunea, entalpia şi entalpia liberă. Probabilitatea termodinamică în statistica Maxwell‐Boltzmann este

! !

R.: Energia internă este

, ⇒

ln ⁄ ⇒

ln ⇒

ln ⇒

1 ⇒

ln1 ⇒

ln

Capacitatea calorică la volum constant este

⇒ 2ln ln

⇒

2ln ln

Entropia se determină cu ajutorul relației lui Boltzmann

ln ln ! ! ln ! ln ln !

ln ln ln

ln ln ln ln ln

, , ln ln ⇒

ln ln ln ln ln ⇒

ln ·1

⇒ ln , ln

Energia liberă este ⇒ ln

Cunoscând funcția de partiție , putem obține teoretic toate mărimile termodinamice.

Presiunea

⇒ ln

Entalpia

⇒ ln ln

⇒

ln ln

Entalpia liberă este

lnln

⇒

lnln

13. Să se determine funcția de partiție, energia internă, entropia şi capacitatea

calorică la volum constant a unui gaz molecular în care fiecare moleculă are două nivele de energie electronice de aceeaşi degenerescență.

R.:

⁄ ⁄ Notând cu

temperatura caracteristică şi alegând ca energie de referință 0 , obținem

1 ⁄ ⇒ 1 ⁄ Energia internă este

ln

⁄

1 ⁄ ⇒ ⁄

1 ⁄

Entropia se determină pe baza formulei

ln lnln

ln 1 ⁄⁄

1 ⁄ ⇒

ln 1 ⁄ ⁄

1 ⁄

Capacitatea calorică la volum constant este

⁄ 1 ⁄ ⁄ · ⁄

1 ⁄

⁄ ⁄ ⁄

1 ⁄ ⇒

⁄

1 ⁄

14. Să se determine probabilitățile de ocupare a nivelelor de energie, funcția de

partiție z şi energia internă U pentru un sistem molecular ce conține N molecule în care fiecare moleculă are două nivele de energie şi de ponderi statistice şi, respectiv . Acest sistem este în echilibru cu un termostat la temperatura T şi ascultă de statistica Maxwell‐Boltzmann.

Aplicaţie. 6,023 · 10 molec. kmol , 2,21 · 10 J , 0 J ,⁄

5 , 10 , 300 K , 1,38 · 10 J K . ⁄

R.: ⁄ , ⁄

⁄ ⇒ ⁄

⁄ ⁄ ⇒

1

1 ⁄

⁄ ⇒ ⁄

⁄ ⁄ ⇒

1

1 ⁄

⁄ ⁄

ln

⇒ ·1 ⁄ ⁄

⁄ ⁄

⁄ ⁄

⁄

⁄ ⇒

⁄

1 ⁄


0,46 ; 0,54 ; 1 ; 7,2 · 10 J kmol 720 J mol .⁄⁄ Pentru 0 ⇒ 0 , iar pentru ∞ ⇒

18,9 · 10 J kmol .⁄

15. Să se determine capacitatea calorică la volum constant pentru un sistem

molecular în care fiecare moleculă are trei nivele de energie , , echidistante de ponderi statistice , , .

Aplicaţie. 6,023 · 10 molec. kmol , 300 K , ∆ 1 eV ,⁄

1 , 2 , 1 , 1,38 · 10 J K . ⁄ R.:

∆ ∆

Pentru a obține o expresie mai simplă pentru z alegem originea energiilor în 0 .

∆ ⁄ ∆ ⁄ Energia internă este

ln

·∆

∆ ⁄ ∆ ⁄

∆ ⁄ ∆ ⁄

∆ ·∆

·

·

∆ ∆ ∆ ∆ ∆ ∆

∆ ∆

∆ ⁄ ∆ ⁄

∆·4

∆ ∆

∆ ⁄ ∆ ⁄

Pentru 1 , 2 rezultă

∆ 4 2 ∆ ⁄ ∆ ⁄

∆ ⁄ 2 ∆ ⁄

Notând cu ∆ ⁄ şi folosind formulele

ch 2 , 1 ch 2ch 2 obținem

∆ 4 2 · 2 ch2 2 ch

∆ 4 1 ch4 1 ch

∆·

11 ch ⇒

∆

2 ch 2 ⇒

∆

2 ch ∆2

Pentru 0 rezultă

∆2 ∞ , ch

∆2

∆ ∆

2 ∆

2 , ch∆2

∆

4

∆

4

∆∆ ⁄

∆

∆ ∆ ∆

Pentru N obținem

, unde ∆ ⁄ este temperatura caracteristică.

Pentru ∞ obținem ∆2 0 , ch

∆2 1

∆2 2

∆

Pentru N rezultă

2 ⇒ variază ca 1 .

Valoarea maximă a lui se obține din condiția

0 ⇒

∆2

2 ch ∆2 · 2ch ∆

2 · ∆21 sh ∆

2ch ∆

20

Numărătorul este nul dacă

2 ch∆2 2

∆2 sh

∆2 ⇒

coth∆2

∆2

Această ecuație are soluția ∆2 1,2 ⇒ 2 1,2 ⇒ 2,4 ⇒

0,42.

Reprezentarea grafică a lui ⁄ în funcție de ⁄ este cea de mai sus. Înlocuind valorile numerice în formula încadrată obținem

3,9 · 10 J K .⁄

16. Într‐un vas cilindric de rază R şi lungime ℓ care se roteşte în jurul axei sale Oz cu o viteză unghiulară , se găseşte un gaz perfect la temperatura T . Numărul de molecule din cilindru este N . Să se determine:

a) repartiția concentrației moleculelor de gaz în funcție de distanța până la axa de rotație r ;

b) repartiția presiunii gazului în funcție de r ; c) presiunea pe axa de rotație şi presiunea pentru . R.: a) Numărul de molecule de gaz aflate într‐un cilindru elementar având

volumul dV este

unde C este o constantă, iar este energia potențială care se determină ținând cont că forța centripetă a unei molecule de masă m derivă dintr‐un potențial.

⇒ ⇒ ⇒

2

Exprimăm dV în coordonate cilindrice cos sin

cos sin 0 sin cos 00 0 1

unde determină repartiția concentrației moleculelor la distanța r .

Constanta C se determină din condiția de normare

⇒ ⇒ℓ

2 ℓ ⇒

2 ℓ ·1

122

2 ℓ ·1

1

Rezultă

2 ℓ 1 ⇒

b) Pentru un gaz perfect presiunea este

Deci ⇒

2 ℓ 1

⁄ c)

2 ℓ ·1

1

⁄ , 2 ν 17. Un gaz se află în câmp gravitațional, considerat omogen. Să se determine: a) repartiția concentrației moleculelor de gaz în funcție de înălțimea z față de

suprafața pământului; b) repartiția presiunii gazului în funcție de z ; c) înălțimea la care presiunea scade de e ori; d) energia potențială a unei molecule şi contribuția sa la capacitatea calorică la

volum constant pentru cazul când înălțimea coloanei de gaz h este mult mai mare decât . R.: a) Numărul de molecule de gaz aflate într‐un cilindru vertical elementar de

volum este

Concentrația moleculelor de gaz este determinată de

Considerând un cilindru vertical de înălțime h care conține N molecule putem obține constanta C astfel

⇒ , 1

1

11 ,

1 ⇒ 1

⁄ 1 ⁄

⁄ 1 ⁄

⁄ , 1 ⁄

b) Pentru un gaz ideal ⁄

⁄ , 1 ⁄

c) Pentru trebuie să avem

⁄ ⇒ ⁄

d) Energia potențială medie a unei molecule este

, , ⁄ ⁄

⇒

⁄ ⁄

⁄ ⁄

Pentru putem lua ∞

⁄ ⁄

1 , ,

1

Rezultă

1

1 ⇒

18. Un atom de argint se deplasează în lungul axei O cu viteza . Pe o distanță

ℓ acționează un câmp magnetic neuniform de inducție B ale cărui linii de câmp sunt orientate în lungul axei Oz şi al cărui gradient este .⁄ Momentul magnetic de spin transportat de electronul optic (de valență) al atomului de argint este egal cu magnetonul Bohr‐Procopiu . Masa atomică a argintului este A . Să se determine deviația pe verticală a atomului de argint la ieşirea din câmpul magnetic.

Aplicaţie.

600 m s , ℓ 6 · 10 m , 1 T , 10 T , 107,87 kg kmol ,⁄

9,27 · 10 A · m , 6,023 · 10 atomi kmol .⁄

R.: Energia potențială U de interacțiune dintre momentul magnetic propriu al electronului optic şi câmpul magnetic de inducție este

· cos ,

Forța care acționează asupra atomului de argint este

cos , Sub acțiunea acestei forțe, atomul suferă

o deviație de‐a lungul axei z .

212 2 cos ,

Înlocuind ⁄ obținem

2 cos ,

Deoarece în experiența lui Stern şi Gerlach se obțin două urme distincte simetrice față de axa O rezultă cos , 1 (valoarea 1 corespunde orientării momentului magnetic de spin în aceeaşi direcție şi acelaşi sens cu pentru care z este pozitiv).

Pentru ℓ rezultă . ℓ

2

Masa unui atom de argint este ,⁄ unde este numărul lui Avogadro. Rezultă

ℓ2 ·

Deviația va fi cu atât mai mare cu cât ℓ şi ⁄ sunt mai mari. Înlocuind valorile numerice obținem 2,6 · 10 m .

19. Să se determine entropia unui sistem format din n atomi de argint pe

metru cub aflați într‐un câmp de inducție B la temperatura T . Aplicaţie.

⁄ 6,023 · 10 atomi kmol · m , 1 T , 300 K ,⁄

9,27 · 10 A · m , 1,38 · 10 J K .⁄

R.: Din cei n atomi, atomi vor avea energia

când momentele magnetice se orientează paralel cu şi atomi vor avea energia

când momentele magnetice sunt antiparalele cu . Pornind de la o repartiție oarecare a celor n atomi, se pot obține alte !

repartiții prin permutarea atomilor între ei. Dar dacă permutăm doi atomi de pe nivelul de energie nu obținem o configurație distinctă. Deci vom împărți ! la ! . La fel dacă permutăm oricare din cei atomi aflați pe nivelul de energie nu vom obține o nouă repartiție. Deci vom împărți şi la ! .

Astfel numărul configurațiilor distincte la echilibru este dat de relația !! !

Folosind formula lui Boltzmann ln

obținem ln ! ln ! ln !

Deoarece n , şi sunt numere foarte mari, putem folosi formula lui Stirling ln ! ln

ln ! ln ln ! ln

Înlocuind în S şi ținând seama că obținem ln ln ln ⇒

ln ln ln Din problema precedentă avem

⁄

⁄ ⁄

⁄

⁄ ⁄

⁄

⁄ ⁄

⁄

⁄ ⁄

Notând cu

obținem

,

ln ln ln ⇒

ln ln ln ln ln

ln 1 ln ln

ln ln

ln 1 ln ln

ln th

La temperaturi foarte joase 0 , ∞

ln ln 1 ln ln 1

∞ ⇒ 0 , ln , th11

Deci 0 , , 0

Acest rezultat este în acord cu principiul III al termodinamicii. La temperaturi foarte mari ∞ , 0

2 , th 0 ln 2 ⇒ ln 2

Comparând relația ln cu rezultatul în cazul temperaturilor mari rezultă 2 . Dar

⁄

Pentru ∞ , 0 ⇒ , adică există aceeaşi probabilitate de apariție a ambelor stări posibile (cu paralel cu şi cu antiparalel cu ).

Înlocuind valorile numerice obținem 5,76 · 10 J K .⁄ În cazul temperaturilor foarte mari se obține practic acelaşi rezultat întrucât este foarte mic (la 300 K ,

2,24 · 10 .

20. Să se determine energia internă în funcție de temperatură pentru un sistem

format din n atomi de argint pe metru cub aflați într‐un câmp de inducție B . Care sunt populațiile celor două nivele de energie?

Aplicaţie. ⁄ 6,023 · 10 atomi kmol · m , 1 T , 300 K ,⁄

9,27 · 10 A · m , 1,38 · 10 J K .⁄ R.: Energia internă U şi numărul de atomi de argint n sunt date de relațiile

, ,

Din aceste două relații putem determina complet şi . ⇒ ⇒

,

Aceste expresii nu sunt funcții explicite de temperatură. Din problema precedentă ln ln ln

Înlocuind şi în S obținem

ln ln ln

Temperatura termodinamică de echilibru este dată de relația 1

,

1ln

1

ln

1

⇒

1ln ⇒

1ln ⇒

ln ⇒ ⇒

⁄

1 ⁄

sau

1 ⁄ ⁄

1 ⁄ ⇒

1 ⁄ 1 ⁄ ⇒

1 ⁄ 1 ⁄

Aceste relații au fost deduse în problema precedentă pe baza distribuției Boltzmann

⁄

⁄ ⁄ 1 ⁄

⁄

⁄ ⁄ 1 ⁄

Înlocuind datele numerice obținem

12,56 J m , 3,0183 · 10 atomi kmol · m ,⁄⁄

3,0047 · 10 atomi kmol · m ⁄ Se constată că . 21. Să se determine magnetizația M şi susceptibilitatea magnetică χ a atomilor

de argint care se deplasează într‐un câmp de inducție B la temperatura camerei T . Se dau: numărul de atomi de argint pe metru cub n şi magnetonul Bohr‐Procopiu .

Aplicaţie. ⁄ 6,023 · 10 atomi kmol · m , 1 T , 300 K ,⁄

9,27 · 10 A · m , 1,38 · 10 J K .⁄ R.: Momentele magnetice se pot orienta paralel sau antiparalel cu . Astfel,

energia potențială de interacție este

pentru atomii care au momentul magnetic paralel cu şi

pentru atomii care au momentul antiparalel cu . Pe baza distribuției Boltzmann putem scrie

. , 1 ⇒ . 1 ⇒ . ⁄ ⁄ 1 ⇒

⁄ ⁄ ⁄

Probabilitatea de a găsi un atom cu momentul magnetic de spin paralel cu la temperatura T este

⁄

⁄ ⁄

iar probabilitatea de a găsi un atom cu momentul magnetic de spin antiparalel cu la temperatura T este

⁄

⁄ ⁄

Rezultă

sau ⁄ ⇒ ⁄

Magnetizația este definită ca momentul magnetic al substanței pe unitatea de volum

unde este momentul magnetic mediu al unui atom

⁄ ⁄

⁄ ⁄

Deoarece ⁄ 1

rezultă ⁄ 1 , ⁄ 1

·22 ⇒

Astfel magnetizația este

Susceptibilitatea magnetică a substanței este

χ ⇒ χ

Se constată că susceptibilitatea magnetică a unei substanțe paramagnetice este invers proporțională cu temperatura absolută a substanței (legea lui Curie).

χ Dacă temperatura creşte, χ şi M scad (agitația termică se opune orientării

momentelor magnetice). Înlocuind valorile numerice obținem

24,5 · 10 , 1,0045 , 12,5 A · m , χ 12,5 A · m T⁄

Rezultă că la temperatura de 300 K numărul de momente magnetice paralele cu este puțin mai mare decât numărul momentelor antiparalele cu .

22. Un gaz ideal format din N atomi de substanță paramagnetică, fiecare atom

având un moment magnetic , este plasat într‐un câmp magnetic extern uniform de inducție . Să se determine dependența momentului magnetic total M al gazului în funcție de temperatura T .

R.: Presupunem că inducția este orientată în lungul axei Oz . Energia unui

atom în câmp magnetic este · cos

Conform distribuției canonice, repartiția atomilor la echilibru este dată de relația: ⁄

unde funcția de partiție z este

⁄

iar este elementul de unghi solid, sin . Calculând funcția de partiție obținem

sin sin

2 cos 2 cos2

2 4 sh , ⁄

Rezultă sin

4 sh

Probabilitatea ca un atom să aibă momentul magnetic orientat după o direcție cuprinsă între şi față de axa Oz este

sin 2 sh

unde am integrat după . 2 Momentul magnetic al substanței paramagnetice este suma

momentelor magnetice ale atomilor

cos

unde cos este proiecția lui pe axa Oz . Rezultă

cos sin 2 sh 2 sh cos cos

Derivând 2 cos în raport cu a obținem

2 cos cos

Rezultă

2 sh ·12 · ,

4sh

4ch sh ⇒

2 sh ·12 ·

4ch sh coth

1 ⇒

coth

Pentru 1 (temperaturi joase sau inducție mare),

coth 1 , 1

0 rezultă . În acest caz toate momentele magnetice ale atomilor sunt aliniate în lungul inducției magnetice (fenomenul de saturație).

În câmpuri magnetice slabe şi la temperaturi obişnuite 1 ,

coth1

3 rezultă

3 3 , 3 Susceptibilitatea este

χ

Aceasta este legea lui Curie, unde C este constanta lui Curie. 23. Să se determine inducția magnetică B aplicată unor atomi de argint pentru

ca temperatura caracteristică a momentelor magnetice ale atomilor să fie egală cu unitatea. Se cunoaşte magnetonul Bohr‐Procopiu .

Aplicaţie.

9,27 · 10 A · m , 1,38 · 10 J K .⁄

R.: Raportul

este o mărime adimensională. Rezultă că mărimea

reprezintă o temperatură numită temperatură caracteristică.

Deoarece , , rezultă

2 ⇒

·2

Pentru 1 rezultă

2

Înlocuind valorile numerice obținem 0,7 . Dacă temperatura sistemului este redusă practic toate momentele

magnetice ale atomilor se află pe nivelul de energie inferior . În acest caz nu există energie suficientă pentru a excita atomii pe nivelul superior. Dacă temperatura este mare

, atunci 2 .⁄

24. Să se determine funcția de partiție z pentru mişcarea de translație a unui gaz perfect aflat într‐o incintă paralelipipedică de dimensiuni a , b , c , cunoscând temperatura T , masa unei molecule m şi valorile proprii permise ale energiei de translație a unei molecule

ħ2 ; , , 1 , 2 , …

R.: Pentru un ansamblu , , dat, ponderea statistică este egală cu 1.

exp , ,

expħ

2 · expħ

2 · expħ

2

Întrucât ħ

2 1 , ħ

2 1 , ħ

2 1

putem aproxima fiecare sumă cu o integrală. Astfel pentru un kilomol de H2 , 2 kg kmol ⁄ , luând 10 m obținem o

temperatură caracteristică ħ

2 8 86,63 · 10 · 6,023 · 108 · 2 · 0,1 · 1,38 · 10 3,8 · 10 K

Deci . Putem scrie

exp exp exp

Dar

exp 12 , exp

12

exp 12

Rezultă

12 ⇒ 2 ħ

⁄

2 ⁄

unde .

25. Să se determine funcția de partiție pentru mişcarea de rotație a unui gaz perfect biatomic.

R.: a) Cazul clasic.

Legătura dintre coordonatele carteziene şi cele sferice este

sin cos sin sin cos

unde r este raza traiectoriei pe care se realizează rotația ( r constant).

Derivând în raport cu timpul aceste coordonate şi ținând seama că raza traiectoriei este constantă (corespunde stării de echilibru) obținem

cos cos sin sin

cos sin sin cos

sin Energia cinetică a mişcării de rotație este

2 unde

este masa redusă. Rezultă

2 cos cos 2 sin cos sin cos sin sin

cos sin sin cos 2 sin cos sin cos sin

2 cos sin sin ⇒

2 sin

Exprimând în funcție de momentul de inerție şi de componentele momentului cinetic şi sin sin obținem

2 Funcția de partiție este

1 ⁄

unde … · … · … · sin … sin

Deoarece

sin cos 2 , 2 ,

rezultă

… sin … sin 4

… …

√2 2

4 2

8

b) Cazul cuantic. În mecanica cuantică energia de rotație a unei molecule biatomice este

1ħ2 , ħ 2 , 0 , 1 , 2 , … ,∞

unde j este numărul cuantic de rotație, iar h este constanta lui Planck. Nivelele de energie de rotație sunt degenerate, ponderea statistică a unui nivel fiind 2 1 .

Funcția de partiție cuantică este

⇒ 2 1ħ

Introducând temperatura caracteristică ħ 2 ⁄ şi considerând un gaz biatomic nehidrogenoid pentru care , putem înlocui suma cu o integrală

2 1

Notând 1 ⇒ 2 1

rezultă

⇒

22

82

Dacă în luăm 1 obținem acelaşi rezultat. Pentru Cl2, 0,35 K , iar pentru K2, 0,08 K în timp ce pentru H2, 85,5 K , ceea ce arată că pentru hidrogen aproximația de mai sus nu este valabilă.

26. Să se determine energia liberă şi entropia pentru mişcarea de rotație a unui

gaz biatomic. R.: a) Cazul clasic. Din problema anterioară rezultă

8 8 ,

ħ2 , ħ 2

ln ⇒ ln

ln1 ⇒

1 ln

b) Cazul cuantic. Din problema precedentă rezultă

2 1

ln 2 1

ln 2 1∑ 2 1 1

∑ 2 1

Pentru molecule nehidrogenoide, temperatura caracteristică este mai mică decât temperatura de lichefiere a gazului şi deci astfel că în acest caz

ln

ln1 ⇒

1 ln Pentru N molecule rezultă

1 ln Deci în acest caz limită entropia

cuantică are aceeaşi expresie cu entropia clasică. Graficul entropiei în acest caz are forma din figura alăturată.

27. Să se determine temperatura de echilibru şi să se exprime energia internă

în funcție de temperatură pentru un cristal format din N atomi identici aşezați într‐o rețea tridimensională. Fiecare atom poate executa oscilații armonice după fiecare din cele trei direcții, independent de atomii vecini. Se va folosi formula lui Boltzmann şi statistica Bose‐Einstein.

R.: Unui atom îi corespund 3 oscilatori unidimensionali de energie

ν 3ν2

Pentru cei N atomi energia de vibrație este

… ν 3ν2

O stare a sistemului este caracterizată de 3N numere cuantice , , … , care pot lua valorile 0, 1, 2, . . . Numărul stărilor cuantice este determinat de numărul de moduri în care se poate forma numărul întreg … cu ajutorul celor 3N numere cuantice. Numărul de modalități de a repartiza particule indiscernabile în 3 compartimente este dat de probabilitatea termodinamică din statistica Bose‐Einstein

1 !! 1 !

3 1 ! ! 3 1 !

Pentru un număr mare de atomi putem neglija unitatea față de 3N astfel că

3 ! ! 3 !

Înlocuind P în formula lui Boltzmann ln şi folosind formula lui Stirling obținem

ln 3 ! ln ! ln 3 ! 3 ln 3 3 ln 3 ln 3 3

Înlocuind

ν

32

rezultă:

ν32 ln

ν32 ν

32 ln

ν32 3 ln 3

νln ν

32

ν32

32 ln

ν32 ν

32 3 ln 3

νln

3 ν2

3 ν2

32 ln 3 ν

12 3 ν

12 3 3 ln 3

νln

3 ν2

3 ν2

32 ln 3 ν

12 3 ν

12

Temperatura termodinamică de echilibru este dată de relația: 1

, ⇒

1 1νln

3 ν2

3 ν2

ν

3 ν2

3 ν2

3 ν2

3 ν2

3 ν2

32

13 ν 3 ν

12 3 ν

12

13 ν

3 ν12 3 ν

12

νln

3 ν2

3 ν2

ν

3 ν3 ν2

3 ν2

32 ·

13 ν

23 ν

3 ν2

3 ν2 · 1

3 ν

⇒

1νln

3 ν2

3 ν2

⇒ ν

ln3 ν2

3 ν2

⇒

3 ν2

3 ν2

ν ⇒

3 ν2

3 ν2

ν ⇒

3 ν2

ν1

ν1

3 ν2 1

2ν

1 ⇒

3ν2

3 νν

1

28. Să se determine capacitatea calorică la volum constant a unui kilomol de

cupru la temperatura T . Aplicaţie.

300 K , ν 4,8 · 10 Hz , 8310 J kmol · K , 6,63 · 10 J · s⁄ R.: Energia internă a unui kilomol de cristal este

3ν2

3 νν

1

3 ν 1

ν1

ν ν ⇒

3 ν ν

ν1

,

Înlocuind valorile numerice obținem o valoare care concordă cu datele experimentale.

2,368 · 10 J kmol · K ⁄

29. Rezolvând ecuația lui Schrödinger pentru o particulă aflată într‐o groapă de potențial paralelipipedică de dimensiuni a , b , c cu pereții infiniți se obțin valori cuantificate ale vectorului de undă

, , unde , , adică , , 1 , 2 , …

Să se determine densitatea stărilor în spațiul impulsurilor , densitatea stărilor în spațiul energiei şi numărul de oscilatori din unitatea de volum a căror frecvență este cuprinsă în intervalul ν , ν ν . Se vor particulariza rezultatele pentru fotoni.

R.: În paralelipipedul de dimensiuni , , există stări

cuantice

Relația dintre impulsul şi vectorul de undă

ħ ħ , ħ , ħ ne permitem să scriem

ħ

8 , ħ 2

Numărul de stări fiind pozitiv vom lua numai o optime din spațiul 0 , 0 , 0 . Deoarece energia depinde numai de vom avea

4

4

Această expresie este foarte generală, fiind valabilă şi pentru particule relativiste.

Deoarece pentru un impuls dat un foton poate avea două stări posibile de polarizare (două direcții independente de polarizare)

2 · 4 ⇒ 8

Pentru foton , unde c este viteza luminii în vid. Rezultă:

8

⇒ 8

Înlocuind ν obținem

ν ν8

· ν · ν ⇒ ν 8 ν

ν

Pentru un interval de frecvențe ν , ν ν egal cu unitatea rezultă

νν

8 ν

Observaţie. poate fi determinat direct ca raportul dintre volumul unui domeniu 4 şi volumul unei celule elementare .

30. Să se determine densitatea de energie spectrală volumică a corpului negru

pe baza statisticii Bose‐Einstein a unui număr nedeterminat de fotoni. R.: Undele electromagnetice dintr‐o incintă aflată la temperatura T sunt

echivalente cu un ansamblu de fotoni care ascultă de statistica Bose‐Einstein. Numărul de fotoni nefiind constant, repartiția la echilibru este dată de relația

1 , ν

Dacă presupunem că energia variază continuu atunci în locul relației precedente vom scrie

1

unde densitatea stărilor în spațiul energiei a fost determinată în problema anterioară 8

Rezultă

8⁄ 1

Înlocuind ν obținem

ν8

ν νν⁄ 1

Energia fotonilor pe unitatea de volum a căror frecvență este cuprinsă între ν şi ν ν este

ν ν ν 8 ν

ν νν⁄ 1 ν, ν

unde ν, este densitatea de energie spectrală volumică

ν,8 ν

·ν

ν⁄ 1

Aceasta este formula lui Planck. 31. Să se determine entropia şi presiunea radiației într‐o incintă aflată la

temperatura T .

R.: Entropia se exprimă în funcție de probabilitatea termodinamică Bose‐Einstein

1 !! 1 !

!! !

Utilizând formula lui Boltzmann ln

rezultă ln ! ln ! ln !

ln ln ln ⇒

ln ln

Repartiția la echilibru în statistica Bose‐Einstein este dată de relația

1 , 0 ⇒

1 1 ⁄ 1 ⁄

11

⁄ 11

1 ⁄ 1⁄ 1

11 ⁄

Înlocuind în S obținem

ln ⁄ ln1

1 ⁄

ln 1 ⁄

Energia totală a radiațieieste

Rezultă:

ln 1 ⁄

Întrucât nivelele de energie sunt foarte apropiate, putem aproxima energia cu o mărime care variază continuu astfel că vom putea înlocui suma cu o integrală

ln 1 ⁄

Dar densitatea de stări în spațiul energiei este 8

Rezultă

·8

ln 1 ⁄ ⇒

8ln 1 ⁄

8ln 1 ⁄

13

8·13 ln 1 ⁄

8 13

1 ⁄

1 ⁄

8 3

⁄

1 ⁄

⁄

8· 3 · 15

Energia totală U este

ν, ν8 ν ν

ν⁄ 18

ν ν

ν⁄ 1⁄

8 · 15

815

Înlocuind U în S obținem

815

83 · 15

815 1

13

43

3245

Energia liberă este

·43

43 3

845

Presiunea radiației în incintă este

845

13

Entalpia liberă este

313 · 0

Acest lucru rezultă şi direct din relația , unde N este numărul de particule, iar este potențialul chimic, care este proporțional cu un multiplicator

Lagrange ce apare în cazul când numărul de particule este fix. Deoarece pentru fotoni acest număr este nedeterminat, se ia 0 şi deci rezultă că 0 .

32. Să se determine energia liberă F pentru un număr de bozoni determinat. R.: În problema anterioară s‐a obținut entropia

ln ln

Înlocuind

1 , 0

în S obținem

1 ⁄

11

1 ⁄

ln ⁄ ln1

1 ⁄

ln 1 ⁄

Dar ,

Rezultă

ln 1 ⁄ ⇒

ln 1 ⁄

ln 1 ⁄

Înlocuind cu , suma cu o integrală, cu 2 ⁄ obținem:

ln 1

· 4

ln 1

4ln 1

4 √2√ ln 1 ⁄

4 √2 √ ln 1 ·

Notând

,

rezultă

√ ln 1

√ 1

√

1

⁄ 1 ⁄ 1· 4 √2

√

⁄ 1

· 4 √2 √ √

1 ⇒

√ 1 · 4 √2 √

Calculele se fac în funcție de valorile lui a . 33. Să se determine numărul de fotoni pe unitatea de volum dintr‐o incintă

aflată la temperatura T . Aplicaţie. 300 K , 1,38 · 10 J K , 6,63 · 10 J · s , 3 · 10 m s .⁄⁄

R.: Repartiția fotonilor la echilibru în statistica Bose‐Einstein este

⁄ 1

Asimilând factorul de degenerescență cu densitatea de stări 8 8

putem determina numărul de fotoni din unitatea de volum

1⁄ 1

1⁄ 1

8⁄ 1

8

⁄⁄ 1

Notând cu ⁄ obținem

1 1

1 22

12,4

2,4 · 8


5 · 10 fotoni m⁄ 34. Să se determine capacitatea calorică la volum constant aunui solid aflat la

temperatura T cunoscând viteza undelor acustice longitudinale ℓ şi viteza undelor acustice transversale .

Aplicaţie. 10 K , ℓ 3,73 · 10 m s⁄ , 1,64 · 10 m s⁄ , 6,63 · 10 J · s ,

1,38 · 10 J K⁄ , 6.023 · 10 fononi kmol ,⁄

1,053 · 10 kg m , 107,87 kg kmol .⁄⁄ R.: Expresia generală a densității stărilor în spațiul impulsurilor este

4

Pentru fonon, la fel ca şi pentru foton, .⁄ Densitatea stărilor undelor longitudinale este

ℓ 4ℓ ℓ

4

ℓ

iar densitatea stărilor undelor transversale este

2 · 4 8

unde factorul 2 se datorează faptului că pentru un vector de undă există două unde transversale. Densitatea de stări a fononilor este

ℓ4

1

ℓ

2

Numărul de stări cuantice diferite fiind egal cu numărul gradelor de libertate ale sistemului 3N , rezultă că energia unui fonon în modelul Debye are o limită superioară .

3 ⇒ 4

1

ℓ

23 ⇒

4 1

ℓ

23 3 ⇒

9

4 1ℓ

2

⁄

Se defineşte temperatura caracteristică ⁄ astfel că

9

4 1ℓ

2

⁄

Funcția 4

1

ℓ

2

este o parabolă pentru şi este nulă pentru . Deoarece numărul de stări este determinat, iar numărul de fononi este

nedeterminat (ca la fotoni) rezultă că probabilitatea de ocupare a unei stări este dată de formula Bose‐Einstein

1⁄ 1

Trecând de la distribuția discontinuă după energii la cea continuă vom determina energia internă U şi capacitatea calorică .

· ·1

⁄ 14

1

ℓ

2⁄ 1

4 1

ℓ

2·1 ⁄

⁄ 1

Notând ⁄ obținem 4

1

ℓ

21

⁄

La temperaturi joase , iar ⁄ tinde la infinit. În acest caz vom înlocui limita superioară a integralei cu ∞ .

1 4 1415

1615

1

ℓ

2

La temperaturi înalte , 1

1 1

⁄ 13 , 3

⁄

Pentru rezultă 3 (legea lui Dulong şi Petit). Înlocuind valorile numerice obținem

9

4 1ℓ

2

⁄

215 K

125 195,5 J kmol · K⁄

35. Să se determine abaterea pătratică medie relativă a energiei

pentru un dielectric aflat la temperatura , unde este temperatura Debye.

R.: Din problema precedentă rezultă 4

1

ℓ

2 ⁄ ⁄⁄ 1

Făcând schimbarea de variabilă

⁄ , ⇒ şi ținând seama că ∞⁄ obținem

4 1

ℓ

21

4 1

ℓ

2· 15

Înlocuind 1

ℓ

2 94

rezultă

35

, 125

⇒ 1 20

3

Întrucât pentru argint 215 rezultă că pentru eşantioane mici la temperaturi scăzute fluctuațiile sunt importante.

36. Să se determine impulsul şi energia corespunzătoare nivelului Fermi în funcție de numărul de electroni din unitatea de volum.

Aplicaţie. 9,108 · 10 kg , 6,63 · 10 J · s ,

63,55 kg kmol , 9 · 10 kg m .⁄⁄ R.: Electronii au spinul 1 2 ,⁄ iar ponderea statistică este 2 deoarece proiecția

spinului pe axa Oz este 1 2 .⁄ După principiul lui Pauli fiecare nivel de energie poate fi ocupat de cel mult doi electroni cu spinii opuşi (un electron are proiecția spinului 1 2 ,⁄ iar celălalt are proiecția spinului egală cu 1 2 ⁄ ). Nivelul Fermi este ultimul nivel ocupat la temperatura de 0 K.

Modulul impulsului electronului este limitat de valoarea energiei Fermi

2 unde m este masa electronului. Numărul de stări cuantice pentru care electronii au impulsul cuprins între p şi este

2 24

unde factorul 2 se datorează multiplicității spinului electronului. Numărul de electroni cu impulsul între 0 şi va fi

2 24 8 8

3 ⇒

2 3

⇒ 23 ⁄

unde ⁄ este numărul de electroni din unitatea de volum. La acelaşi rezultat se ajunge calculând în două moduri diferite volumul din

spațiul fazelor ocupat de N electroni. Acest volum este egal cu produsul dintre volumul din spațiul obişnuit V şi volumul sferei Fermi din spațiul impulsurilor, adică

·4 3

Pe de altă parte, volumul unei celule din spațiul fazelor este şi pe baza principiului de excluziune al lui Pauli nu pot exista decât doi electroni pe celulă, dar care au

spinii antiparaleli. La 0 K toate nivelele de energie până la nivelul Fermi fiind ocupate, rezultă că volumul din spațiul fazelor pcupat de cei N electroni este

2 Egalând cele două volume obținem

·4 3 2 ⇒ 2

3 ⁄

Energia nivelului Fermi este

212 · 4

3 ⁄

⇒ 83 ⁄


6,023 · 10 · 9 · 1063,55 8,5 · 10 electroni kmol⁄

6,63 · 102

34 · 8,5 · 10

⁄

1,3 · 10 kg · m s⁄

6,63 · 108 · 9,108 · 10

3· 8,5 · 10

⁄

1,13 · 10 J 7,1 eV

37. Să sedetermine energia totală a electronilor unui metal la 0 K . R.: Energia totală a gazului electronic la 0 K este

2 · 2 ·4 4 4

5

Din problema precedentă avem

23 ⁄

Rezultă

340

3 ⁄⁄

38. Să se determine impulsul mediu, energia medie şi viteza medie a

electronilor unui metal la 0 K . R.: Numărul de electroni având impulsul între p şi se determină ca

raportul între volumul din spațiul fazelor cuprinse între p şi şi volumul unei jumătăți de celulă din spațiul fazelor care corespunde unui electron cu o anumită orientare a proiecției spinului.

· 4

2

2 ·· 4

2

Impulsul mediu este

34

34 ⇒

38

3 ⁄

Numărul de electroni având energia între E şi se obține pe baza relațiilor

2 , √2

2 ·· 4 2 · · 4 · 2

·√2

⇒

8√2 ⁄ ⁄

Energia medie este ⁄

⁄

35 ⇒

340

3 ⁄

Din relația

rezultă

⇒ 38

3 ⁄

Se constată că

unde E a fost calculat în problema anterioară. Expresia lui poate fi obținută şi din relația

83 ⁄

corespunzătoare energiei Fermi.

· 3 ·32

8 ⁄

·8

8√2 ⁄ ⁄

39. Să se determine presiunea unui gaz electronic la 0 K . Aplicaţie.

1,13 · 10 J , 8,5 · 10 electroni kmol⁄

R.: Presiunea se poate determina pe baza energiei libere F

,

La 0 K , F , deci

Dar U la 0 K este 35

340

3

⁄

23 ·

340

3

⁄⁄ 1

20 3

⁄ 120 · 8 ⇒

25


3,8 · 10 N m 3,79 · 10 atm .⁄ Acest calcul nu ține seama de repulsia coulombiană a electronilor şi nici de

faptul că electronii se află în gropi de potențial finite care ar conduce la o presiune potențială negativă. Altfel presiunea foarte mare obținută ar permite electronilor să părăsească metalul.

40. Să se determine primele două derivate ale funcției Fermi

11 ⁄

pentru . R.:

1

⁄

1 ⁄

14

⁄

1 ⁄ 12 ⁄

1 ⁄

0 Rezultă că este un punct de inflexiune al funcției Fermi. 41. Să se determine densitatea de saturație a curentului termoelectronic emis

de o suprafață metalică omogenă, dacă gazul electronic din metal se supune statisticii Fermi‐Dirac.

R.: Conform legii de distribuție Fermi‐Dirac

⁄ 1

Trecând de la distribuția discontinuă după energii la cea continuă, trebuie să înlocuim gradul de degenerare al nivelului cu Γ ,⁄ unde Γ este elementul de volum din spațiul fazelor, iar este volumul unei celule elementare din spațiul fazelor. Întrucât volumul din spațiul obişnuit este uniform, vom integra după acest volum şi astfel în locul lui vom pune 2 ⁄ , unde factorul 2 a fost introdus pentru a lua în considerare cele două orientări ale spinului electronului (degenerarea de spin). Deoarece va fi înlocuit cu 2 ,⁄ rezultă că numărul de electroni ale căror componente ale impulsului sunt cuprinse între , , , , , este

, ,2

1

Numărul de electroni care au componenta a impulsului cuprinsă între şi se obține integrând , , după toate valorile posibile ale lui şi

. Trecând la coordonatele polare, în spațiul componentelor şi ale impulsului obținem

cos , sin , ,

2

⁄ ⁄ ⁄ 1

Făcând substituțiile

2 ⇒

,

obținem 2

· 2 1

4

4ln

4ln ln 1

4ln

1 4ln 1

1⁄

Numărul de electroni care străbat o suprafață S perpendiculară pe axa într‐un timp dt şi care au viteza este egal cu produsul dintre volumul cilindrului de secțiune S şi înălțime şi numărul de electroni din unitatea de volum ⁄ , adică

·

Intensitatea curentului corespunzător este

unde e este sarcina electronului. Densitatea curentului va fi 4

ln 1 ⁄

Punând 2 ⁄ rezultă

⇒

4ln 1 ⁄

Densitatea curentului de saturație se obține integrând după , ținând seama că .

4ln 1 ⁄

Deoarece electronii nu ies din metal la temperatura camerei rezultă că . În practică se consideră că .

Deci ⁄ ⁄ 1

ln 1 , 1 4 ⁄

4 ⁄ ⇒

4 ⁄

Aceasta este formula lui Dushman. În cazul metalelor vom folosi această formulă şi nu expresia lui Richardson.

BIBLIOGRAFIE

1. I. M. Popescu, G. F. Cone, G. A. Stanciu – Culegere de probleme de fizică, Editura

Didactică şi Pedagogică, Bucureşti, 1982. 2. G. F. Cone – Probleme rezolvate de fizică, vol. I, II, III, Litografia Institutului

Politehnic Bucureşti, 1974, 1975,1976. 3. M. Stan, Şt. Tudorache – Culegere de probleme de fizică, vol. I şi II, Litografia

Institutului Politehnic Bucureşti, 1972. 4. I. Becliu – Culegere de probleme de fizică, vol. I, Litografia Institutului Politehnic

Bucureşti, 1979. 5. C. Chahine, P. Devaux – „Thermodynamique statistique à partir de problèmes et de

résumés de cours”, Dunod, Paris, 1970. 6. C. Chahine, P. Devaux – „Thermodynamique statistique”, Paris, 1976. 7. M. Ignat – Întrebări şi exerciții de termodinamică şi fizică statistică, Editura

Ştiințifică şi Enciclopedică, Bucureşti, 1981.

vasile popescu - fizica - probleme 2009[1]

Documents