mecanica - culegere probleme

As. dr. ing. CONSTANTIN POPA

As. drd. ing. DOREL STOICA As. drd. ing. GEORGE–CĂTĂLIN ION

MECANICĂ

CAIET DE SEMINAR

VOLUMUL I

STATICA ŞI CINEMATICA

2006CAPITOLUL 1

NOŢIUNI DE CALCUL VECTORIAL

1.1. Generalităţi. Definiţii

Mecanica operează cu mărimi fizice scalare şi cu mărimi fizice vectoriale.Mărimea fizică scalară sau scalarul este mărimea fizică, care este caracterizată prin valoare

numerică absolută sau modul.Mărimea fizică vectorială sau vectorul este mărimea fizică, care se caracterizează prin valoare

numerică absolută (modul), şi orientare adică direcţie şi sens.Mărimile fizice scalare (scalarii) şi mărimile fizice vectoriale (vectorii) la un loc se mai numesc şi

mărimi fizice tensoriale sau tensori.Aşadar vectorul este segmentul de dreaptă orientat (fig. 1.1), cu patru elemente caracteristice:

origine sau punct de aplicaţie A, direcţie sau dreaptă suport Δ, sens şi modul (mărime, intensitate, urmă) v.

Fig. 1.1: Componenţa unui vector

Versorul este vectorul de modul unitar şi este dat de relaţia:

Definim componentele pe axele Ox, Oy şi Oz ale versorului din relaţia precedentă astfel:

Un vector oarecare se scrie în funcţie de componentele pe axe ale versorului său astfel:

unde

sau:

A

B Δv

1.2. Proiecţia unui vector pe o axă

Proiecţia unui vector pe o axă se defineşte ca fiind produsul dintre vectorul respectiv şi cosinusul unghiului pe care direcţia acestuia îl face cu axa pe care se proiectează vectorul studiat (fig. 1.2).

1.3. Operaţii cu vectori

1.3.1. Adunarea (compunerea) vectorilor

Fie vectorii:

atunci se defineşte suma celor doi vectori:

Ca mărime, suma celor doi vectori se scrie astfel:

unde α este unghiul dintre cei doi vectori.

α

α

Δ

v

Ο cosvvpr

Fig. 1.2: Proiecţia unui vector pe o axă

A

B

A1 B1

Adunarea mai multor vectori se realizează astfel:

1.3.1.1. Interpretare geometrică

Geometric, adunarea a doi vectori se realizează cu regula paralelogramului sau cu regula triunghiului (fig. 1.3).

Compunerea mai multor vectori se realizează, din punct de vedere geometric, cu regula poligonului (fig. 1.4).

1.3.1.2. Proprietăţi

a) comutativitate;b) are element neutru (vectorul nul).

1.3.2. Scăderea (diferenţa) vectorilor

Fie vectorii:

atunci se defineşte diferenţa celor doi vectori (fig. 1.3):


a

db

a

Fig. 1.3: Compunerea geometrică a doi vectori

c

3a

Fig. 1.4: Compunerea geometrică a mai multor vectori


a) Element neutru: vectorul nul

1.3.3. Descompunerea unui vector după două direcţii

Conform figurii 1.5. avem:

Pentru direcţii ortogonale relaţia de mai sus devine (fig. 1.5.):

1.3.4. Descompunerea unui vector după trei direcţii

Din figura 1.6 avem:

unde vx, vy,vz sunt proiecţiile vectorului studiat pe cele trei axe.

1

v

O O x

y

Fig. 1.5: Descompunerea unui vector după două direcţii

α

β

γ

Ο

x

y

z

Fig. 1.6: Descompunerea unui vector după trei direcţii ortogonale

unde: α, β, γ sunt unghiurile directoare ale vectorului studiat faţă de axele Ox, Oy, Oz; cosα, cosβ, cosγ sunt cosinuşii directori ai vectorului studiat faţă de axele Ox, Oy, Oz.

Din relaţia precedentă rezultă că:

1.3.5. Produsul scalar a doi vectori

Este mărimea scalară care reprezintă produsul modulelor celor doi vectori prin cosinusul unghiului dintre ei.

unde α este unghiul dintre cei doi vectori.Relaţia precedentă este echivalentă cu relaţia:

Dacă:

Atunci:

De asemenea se observă că:


a) Comutativitate;b) Distributivitate faţă de adunare.


1.3.6. Produsul vectorial a doi vectori

Δα

Fig. 1.7: Interpretarea geometrică a produsului scalar a doi vectori

Este un vector perpendicular pe planul celor doi vectori si definit ca fiind de mărime egală cu produsul mărimilor celor doi vectori prin sinusul unghiului dintre ei.


a) Anticomutativitate:

b) Distributivitate faţă de adunare

c) Dacă:

Atunci cei doi vectori sunt paraleli sau coliniari.


Produsul vectorial a doi vectori este egal cu aria paralelogramului determinat de cei doi vectori.

Demonstraţie (vezi figura 1.8)

unde: Atr – aria triunghiului determinat de cei doi vectori;Apar – aria paralelogramului determinat de cei doi vectori.

1.3.6.3. Determinare analitică

αΟ

h

Fig. 1.8: Interpretarea geometrică a produsului vectorial a doi vectori

1.3.6.4. Observaţii

1.3.7. Produsul mixt a trei vectori

Reprezintă mărimea fizică scalară egală cu produsul scalar dintre un vector şi produsul vectorial al celorlalţi doi.


Produsul mixt a trei vectori reprezintă volumul paralelipipedului determinat de cei trei vectori.

Demonstraţie (vezi figura 1.9)

1.3.7.2. Determinare analitică

1.3.8. Dublul produs vectorial

Reprezintă mărimea fizică vectorială egală cu produsul vectorial dintre un vector şi produsul vectorial al celorlalţi doi.

1.4. Probleme rezolvate:

αΟ

h

Fig. 1.9: Interpretarea geometrică a produsului mixt a trei vectori

H

β

1) Fie vectorii:

Se cer:

Rezolvare:

2)

Rezolvare:

Ox

y

1F

Date:

Se cer:

Fig. 1.10

3)

Rezolvare:

Rezultatele obţinute se centralizează în următorul tabel:

α x

y

O

Fig. 1.11.

O

x

y

z

A

B

C

D

E

G

H

Date:

OA=2l; OB=3l; OC=l;

Se cer:

Fig. 1.12

Forţe

F1 P 0 0F2 4P 0 2PF3 0 0 2PF4 0 3P PF5 2P 3P PF6 4P 6P 0∑ 11P 12P 6P

Rezultă:

1.5. Probleme propuse:

1) Fie vectorii:

Se cer:

2)

O

x

y Date:

Se cer:

Răspuns:

Fig. 1.13

Răspuns:

CAPITOLUL 2

STATICA PUNCTULUI MATERIAL


Statica este capitolul mecanicii care studiază echilibrul corpurilor sub acţiunea sistemelor de forţe. Un corp este în echilibru dacă şi numai dacă rezultanta forţelor care acţionează asupra sa este nulă, adică:

Descompunându-se pe axele de coordonate se obţine:

Relaţiile precedente sunt valabile numai în cazul în care punctul material este acţionat de orice alte forţe în afară de forţele de frecare. În absenţa forţelor de frecare avem legea lui Coulomb:

2.2. Statica punctului material liber

2.2.1. Probleme rezolvate

O

x

y

z

A

B

C

D

E

G

H

3F

Date:

Se cer:

Fig. 1.14

3)

1)

Rezolvare:

2.2.2. Probleme propuse

1)

Răspuns:

2.3. Statica punctului material supus la legături

M

O x

y

1y

Mx

N

F

G

Date:

Se cer:Poziţia de echilibru Reacţiunea N=?

Fig. 2.1

O x

y

F

G

Date:M(x,y);

Se cer:M

Fig. 2.2

2.3.1. Statica punctului material supus la legături fără frecare

2.3.1.1. Probleme rezolvate

1)

Rezolvare:

x

y

N

T

G

O

A

M

Date:

Se cer:

Fig. 2.3

Rezolvare:

2.3.1.2. Probleme propuse

1)

2.3.2. Statica punctului material supus la legături cu frecare

MO

x

y

N

Date:

Se cer:

Fig. 2.4

2)

P G

O

M

Date:

Se cer: pentru echilibru.

Răspuns:A

B

Fig. 2.5


Rezolvare:

2)

Rezolvare:

G P

Date:

Se cer:N=?;P=?pentru echilibru

TT

Fig. 2.6

1)

P

T

PTPTFiy 00

N T x

y

NF

TGNF

GFTF

f

iy

fix

0sincos:0

0sincos:0

x y

z

O

G

F

N Date:

Se cere: pentru echilibru

Fig. 2.7


2)

Fy

G

N

z

x

0cos:0

0:0

0sin:0

GNF

FFF

FGF

iz

fyiy

fxix

cos

sin

GN

FF

GF

fy

fx

22222222

22222

sincossincos

cossin

GFGF

GFGNFFF fyfxf

Discuţie:

Date:

Se cere: pentru echilibru.

Răspuns:

P G

O

M

A B

Fig. 2.8

1)

G

ODate:


Fig. 2.9

Răspuns:

CAPITOLUL 3

REDUCEREA SISTEMELOR DE FORŢE OARECARE APLICATE SOLIDULUI RIGID


3.1.1. Cazuri de reducere

3.1.2. Axa centrală

Reprezintă locul geometric al punctelor, în care se obţine torsorul minimal după reducere şi are ecuaţiile:

3.2. Reducerea sistemelor de forţe spaţiale


Rezolvare:

O

x

y

z

A B

C

D

E

G

H

Date:

Se cer: echivalenţa=?; axa centrală?

Fig. 3.1

echilibru;

2) cuplu;

3) rezultantă unică pe axa centrală;

4) a) rezultantă unică pe axa centrală;

b) torsor minimal.

10P 0 0 0 0 0

0 6P - 8P -24Pl 0 0

- 10P - 6P 8P 24Pl - 40Pl 0

_ _ _ 0 0 - Pl

_ _ _ - 2Pl 0 0

0 0 0 - 2Pl - 40 Pl - Pl

Axa centrală nu are sens fizic deoarece rezultanta sistemului de forţe este nulă.Cazul de reducere: Cuplu.

2)

Rezolvare:

O

A

B

C D

E

x

y

zDate:

Se cer: echivalenţa=?; axa centrală=?.

Fig. 3.2

0 -3Pl 4P 12Pl 0 0

2P -3P -4P 0 8Pl -6Pl

P 0 0 0 4Pl 0

_ _ _ 0 0 6Pl

3P -6P 0 2Pl 12Pl 0

Cazul de reducere: torsor minimal.

3.2.2. Probleme propuse1)

Răspuns:

Cazul de reducere: torsor minimal.

2)

Răspuns:

OFig. 3.3: Axa centrală

x

y

O

A

B

C

x

y

z Date:

Se cer:echivalenţa=?; axa centrală=?

Fig. 3.4

OA

B

C

x

z

y

Date:

Se cer:echivalenţa=?; axa centrală=?

Fig. 3.5

3.3. Reducerea sistemelor de forţe coplanare


1)

Rezolvare:

2P 0 -2Pl

-P P 3Pl

-P 2P 2Pl

_ _ 3Pl

0 3P 6Pl

Cazul de reducere: Rezultantă unică pe axa centrală

Ox

y

A

BC

D

Date:

Se cer: echivalenţa=?; axa centrală=?

Fig. 3.6

45

Răspuns:

Cazul de reducere: Rezultantă unică pe axa centrală.

3.4. Reducerea sistemelor de forţe paralele 3.4.1. Probleme rezolvate

Rezolvare:

-P 0 Pl

O x

y

Fig.3.7: Axa centrală

Date:

Se cer: echivalenţa=?; axa centrală=?

O A

BC

x

y

Fig. 3.8

1)


O

x

y

z Date:Cub rigid de muchie l;

Se cer:echivalenţa=?; axa centrală=?;

Fig. 3.9

-P -Pl 0

2P 2Pl -Pl

2P Pl -Pl

2P 0 -Pl

4P 2Pl -2Pl

Rezultantă unică pe axa centrală.


Răspuns:

CAPITOLUL 4

CENTRE DE MASĂ (GREUTATE)

4.1. Generalităţi

4.1.1. Calculul coordonatelor. Centrul de masă pentru elemente geometrice cunoscute

Coordonatele centrului maselor se determină cu următoarele relaţii (în spaţiu şi în plan):a) pentru sisteme de puncte materiale:

O A

B

D xC

Date:

Se cer:

Fig. 3.10

b) pentru linii materiale (bare) omogene:

c) pentru suprafeţe materiale (plăci) omogene:

d) pentru volume materiale (corpuri) omogene:

Pentru diverse elemente geometrice cunoscute, centrul maselor se determină astfel:a) Bară omogenă: b) Bară în formă de sector circular omogen:

c) Placă dreptunghiulară omogenă: d) Placă triunghiulară omogenă:

e) Placă în formă de sector circular omogen:

f) Con circular drept g) Emisferă

C

O xCR

;sin

RxC radiani

C

C

h3h

32h

OxC ;

R

radiani

4.1.2. Teoremele Pappus – Guldin

1) Aria suprafeţei generată de un arc de curbă plană ce se roteşte în jurul unei axe din planul curbei(arcul fiind situat integral de aceeaşi parte a axei), este egală cu lungimea arcului de curbă, multiplicată cu lungimea cercului descris de centrul de greutate al curbei date, presupuse omogenă.

2) Volumul corpului generat prin rotirea unei suprafeţe plane închise, în jurul unei axe din planulei (suprafaţa fiind integral situată de aceeaşi parte a axei), este egal cu produsul dintre aria acestei suprafeţe şi lungimea cercului descris de centrul ei de greutate(arie considerată omogenă).

4.2. Centrul maselor pentru un sistem de puncte materiale


Rezolvare:

Punctul i

1 m 0 0 0 02 2m 2l l 4ml 2ml3 3m 2l 0 6ml 04 4m 1,5l 0,5l 6ml 2ml5 5m 0 l 0 5ml∑ 15m - - 16ml 9ml

h

C

C

R

85R

O A

B

D E

x

yDate:

Se cer:

FFig. 4.1.

1)


1)

Răspuns:

4.3. Centrul maselor pentru linii materiale

4.3.1 Probleme rezolvate1)

Rezolvare:

OA

B

x

y

Date:

Se cer:

Fig. 4.2

Răspuns:

Fig. 4.3 x

OB

A

D

3l; 2m

3m

2m

Date:; A(3m); O(5m); B(3m); D(3m):

Se cer:

BD();

y2)

Fig. 4.4

O

A

x

B

D

E

H

y

zDate:

Se cer:

1

23 4

Bara

1 0 0

2 0 0

3 0 0

4 0 0

∑ _ _ _

2)

Rezolvare:

Bara

1

2

O x

yDate:Bară plană omogenă; l.

Se cer:

l

l Fig. 4.5

1

x

2

xy

∑ _ _

Determinarea ariei AOx nu are sens deoarece bara nu se găseşte integral de aceeaşi parte a axei Ox.


2)

4.4. Centrul maselor pentru suprafeţe materiale

4.4.1 Probleme rezolvate1)

12

3 4

O

x

y

zDate:Bară omogenă; l.

Se cer:

Răspuns:

1)

Ox

y

l4

l

Date:Bară plană omogenă; l.

Se cer:

Fig. 4.7

Răspuns:1

2

3

Fig. 4.6:

Rezolvare:

Placa

1 0 0

2 0 0

3 0 0

4 0 0

Σ _ _ _

2)

l 2l

x

y

z

O

Date:Placă omogenă; l.

Se cer?

Fig. 4.8

Ox

z1

x

z

2

O Oy

z

3

Ox

y

4

Rezolvare:

Placa

1

2

3

Σ _ _

Determinarea volumului VOy nu are sens deoarece placa nu se găseşte integral de aceeaşi parte a axei Oy.


1)

Răspuns:

l2 lO

x

y

Fig. 4.9

Date:Placă plană omogenă; l.

Se cer:

OO Ox x x

yy y

12

3

O x

yDate:Placă plană omogenă; l.

Se cer:

Fig. 4.10

4.5. Centrul maselor pentru volume materiale

4.5.1 Probleme rezolvate

Rezolvare:Corp

1

2

Σ _

O x

yDate:Placă plană omogenă; l.

Se cer:

Fig. 4.11

Răspuns:

O

x

y

z

Fig. 4.12

h

a

Date:Corp omogen; a

Se cer: astfel încât

Observaţie:1

2

1)

2)


CAPITOLUL 5

STATICA RIGIDULUI

5.1. Generalităţi

Condiţia necesară şi suficientă ca rigidul liber să fie în echilibru:

În raport cu un sistem de referinţă considerat se scriu şase ecuaţii scalare de proiecţii:

a2

ax

y

z

O

Date:Corp omogen; a

Se cere:

Fig. 4.13

1

2

Răspuns:

2)

Principalele legături ale solidului rigid sunt: reazemul simplu, articulaţia, încastrarea şi prinderea cu fire în care se introduc următoarele reacţiuni conform tabelului de mai jos:

Legatura Simbol Cu ce se inlocuieste Nr necunoscuteleor pe care le introduce

Reazemul simplu

N1

Prinderea cu fire

1

Articulatia Plana V2

Sferica

Rz

3

Incastrarea Plana

3

Spatiala

6

H

Ru

MiH

V

Frecările care apar în legăturile solidului rigid sunt de mai multe feluri şi anume:

a) frecare de alunecare caracterizată de relaţia:

b) frecare de rostogolire caracterizată de relaţia:

c) frecarea de pivotare caracterizată de relaţia:

d) frecarea în articulaţii şi lagăre caracterizată de relaţia:

e) frecarea firelor caracterizată de formulele lui Euler reunite:

5.2. Echilibrul rigidului cu legături fără frecare

p

l

plAR dreptunghi 1

l

22

qlAR triunghi

q

Fig. 5.1


1)

Rezolvare:

Observaţie:

α=β=θ, rezultă că bara este orizontală

A

B

G

Date:

Se cer: pentru echilibru;

Fig. 5.2

A

B

O

G

x

y

2)

Rezolvare:

F

pq

O

A

B

C

Date:

Se cer:Reacţiuni în O şi C.

3l

2l

l

Fig. 5.3

F O

A

B

C

3l

2l

l

x

y

pl2ql

2

3

HV

0

0

0

iO

iy

ix

M

F

F

3)

Rezolvare:

l

O

A

BC

D

Date:

Se cer:Reacţiuni în O

p

q

Fig. 5.4


1)

Răspuns:

l2

l

O

A

BC

D

0

:0

:0

iO

iy

ix

M

F

F

0322sin

02

3cos

0sin2

MlpllFM

qlFV

HFpl

i

MplFlM

FqlV

FplH

i

26sin2

cos2

3

sin2

O

A B

l l2Date:

Se cer:Reacţiuni în O.

MFig. 5.5

2)

Răspuns:

3)

OA B

CEDDate:

Se cer:Reacţiunile din O şi A.

Fig. 5.6

O

A

B

Date:

Se cer: Reacţiuni în O.

Răspuns:

Fig. 5.7

Rezolvare:

Se alege ca necunoscută intermediară şi se obţine:

Înlocuind în cele două inecuaţii rezultă:

Date:

Se cere:Poziţia de echilibru a barei:

Fig. 5.8

1)

O

Gx

y

1fF

2fF

0

0

0

A

iy

ix

M

F

F

A

B

a

Fh G

O

x

y

Date:

Se cer: pentru echilibru

Fig. 5.9

2)

5.3. Statica rigidului cu legături cu frecare

5.3.1. Frecarea de alunecare


Rezolvare:

Stricarea echilibrului apare din cauza tendinţei de alunecare şi din cauza tendinţei de răsturnare.


Răspuns:

Răspuns:

5.3.2. Frecarea de rostogolire

xO

x

y

fF

GF

:0

:0

:0

iO

iy

ix

M

F

F

N

A

O

C D

D Date:

În A bara nu se sprijină.

Se cere: Pentru echilibrul barei.

Fig. 5.10

G

1)

A B

C F

G

Date:A, B – legături bilatere; placă plană omogenă ABC;G; AB = a; BC = h;

Se cere: pentru echilibru. Discuţie.Fig. 5.11

2)


1)

Rezolvare:

Rezultă:

2)

Rezolvare:

Se scriu ecuaţiile de proiecţii şi de momente.

FG

O

A

rR;Date:


Fig. 5.12

FG

O

A

rR;

0

0

0

iO

iy

ix

M

F

F

x

y

NrMfF NsMerostogolir

NFalunecare

RFFrM

FGN

FF

r

f

fr

f

:

:

0

0sin

0cos

R

F

GC

O

Date:

Se cer: pentru echilibru.Fig. 5.13


1)

2)

R

F

GC

O x

y

alunecareTerostogolirT

rMfF

0

0

0

iO

iy

ix

M

F

F

NsMerostogolir

NFalunecare

FRM

GN

FF

r

f

r

f

:

:

02

0

0

Rezultă:

,2

,

GR

sF

GF

să nu alunece

să nu se rostogolească

G

R

sGF

2;min

A

G

FrR; Date:


Fig. 5.14

Răspuns:

Să nu alunece: cossincossin GFGSă nu se rostogolească:

rR

sRGF

rR

sRG

sincoscossin

G

F

O

Date:


Fig. 5.15

Răspuns:

Să nu alunece: cossincossin GFG

Să nu se rostogolească:

cossin

2cossin

2 R

sGF

R

sG

5.3.3. Frecarea în articulaţii şi lagăre


Rezolvare:

În caz contrar inegalitatea anterioară este satisfăcută pentru orice unghi θ. Rezultă:

Dacă tendinţa de rotaţie este în sens orar atunci se obţine soluţia completă şi anume:

unde:

O G

PADate:

Se cere:(poziţia de echilibru).

Fig. 5.16

Ox

y

HV

fM

G

rotatieTPA

.

;0sin2

cos:0

;0:0

;0:0

2200 VHrM

Ml

GPlM

GVF

PHF

f

fiO

iy

ix

Fie poziţia de echilibru a barei în care se neglijează frecarea în articulaţie adică .

G

Ptg

lGPlM iO

20sin

2cos:0 000

2200sin

2cos GPr

lGPl

Se amplifică cu şi rezultă:

22002sincos

2GP

Gl

r

G

P

Dar

22000

2sincos GP

Gl

rtg

sau

41cos

2sin 0

2

000

0

tg

l

r

Dacă membrul drept este subunitar atunci se notează:


1)

2)

O00 , r

G

A

Date:

Se cere: la echilibru.

Răspuns:

Fig. 5.17

00 ;r R

O

P Q

Date:

Se cere: la echilibru.

Răspuns:

Fig. 5.18

5.3.4. Frecarea firelor


1)

Rezolvare:


Răspuns:

O

R

F

P

Date:

Se cere: pentru echilibru.Fig. 5.19

O

F

P .

.2

;

22

PeFPe

PeFPe

eFF rm

R MO

Date:

Se cer: pentru echilibru; pentru echilibrucând îşi schimbă sensul.

FFig. 5.20

CAPITOLUL 6

STATICA SISTEMELOR

6.1. Generalităţi

6.1.1. Metoda izolării corpurilor

6.1.2. Teorema solidificării

6.2. Echilibrul sistemelor fără frecare


1)

Rezolvare:

O

Date:

Se cer:Reacţiuni în O, A, B.

p

G F

l

Q1

2

l l l

A C D EFig. 6.1B

Bara 1:

Bara 2:

Rezultă

2)

l l 2

3l2

l1

FplG

NBV

B

2OHOV

QN

Fig. 6.2

Rezolvare:

Bara 1:

Bara 2:

Bara 3:

G2

G

G F

O

A

B

C

Date:

Se cer: pentru echilibru;Reacţiuni în O, A şi B.

Fig. 6.3

12

3

O

G2

AHAV

OH OV

OM

1

AA

BG

AH

AV

BH

BV

2BH

BVB

G F3

Fig. 6.4

Rezultă:


1)

Răspuns:

2)

Răspuns:

O

B

A

C

Date:

Se cer:Reacţiunile din O; B; C.

Fig. 6.5

G

Date:

Se cer: Reacţiunile din:

Fig.6.6

6.3. Echilibrul sistemelor cu frecare


1)

Rezolvare:

Corpul 1:

Corpul 2:

G

Rr O

Date:

Se cer:

pentru echilibru.

Fig. 6.7

P

O

F

PT

HV

1

fF

G

NT

2

Fig. 6.8

Rezultă:

2)

Rezolvare:

Corpul 1:

Corpul 2:

Corpul 3:

a b c

s;1G

22 ;GR33;GR

qDate:

Se cer:, pentru echilibru; reacţiuni.

Fig. 6.9

O

1G

1T

1

1T

2H2V

2G2

2T

3GN

fF

rM

3

OMOH

OV N

rM

fF2H

4

32a

2

qa

Fig 6.10

Corpul 4:

Rezultă:

3)

Rezolvare:

Corpul 1:

O

Q

RG

P sB ;

C

Date:

Se cer:pentru echilibru;Cum începe mişcarea dacă Reacţiuni din O şi B pentru A

Fig. 6.11

P

T

G

T

fF

NrM

OOH

OV

OM Q

NfF

rM12

3

Fig. 6.12

Corpul 2:

Corpul 3:

Rezultă:

Metoda solidificării:

Se foloseşte pentru determinarea reacţiunilor din încastrarea O:

4)

CO

G

Q

GT 05,0

OH

OV

OM

:0

:0

:0

iO

iy

ix

M

F

F

01,04

3

2

0

0

GRlGl

QM

GQV

HT

O

O

O

.1,04

3

2

;

;05,0

GRGlQl

M

QGV

GPTH

O

O

O

Fig. 6.13

Corpul 1:

Corpul 2:

Corpul 3:

Rezultă:

5)

3O

G

A

FO

rR;

Q

Date:

Se cer: pentru echilibru;Reacţiuni.

Rezolvare:

Fig. 6.14

Q

T

fFT

N O H

V

B

F

G

N

fF

3H

3V

1

2

3P

Rezolvare:

Corpul 1:

Q

G

O l2 l2

l

l

A

00 ;r

Fig. 6.15

Date:


B

1

fM l

l

BHBV

OH

G

OV

O

fM Q

BH

BV

fM

l2

Fig. 6.16

2l2

Corpul 2:

Rezultă:

6)

Corpul 1:

Corpul 2:

Corpul 3:

O

rR;

G

D

A

FB

Date:

Se cere: pentru echilibru; Reacţiuni

Rezolvare:

G

1T

1

1T

2T

3TOH

OV2

F

3T

DH

3

DVFig. 6.17

Rezultă:


1)

Răspuns:

2)

1O

B

A

G

2O

P

QrR ;;Date:

Se cer: pentru echilibru; Reacţiunile din

Fig. 6.18

Răspuns:

Dacă numitorul este pozitiv sau nul atunci sistemul se autoblochează.

3)

Răspuns:

4)

O

QrR ;;

P

G

A

B

Date:

Se cer:

pentru echilibru; Reacţiunile din O pentru

Fig. 6.19

QP

G

A

sC ;B

Date:

Se cer: pentru echilibru; reacţiunile din A cu metoda izolării corpurilor şi cu metoda solidificării.

R

Fig. 6.20

F

GrR ;;

PDate:


Fig. 6.21

Răspuns:

O

5)

6.4. Sisteme de bare articulate (Grinzi cu zăbrele)

6.4.1. Generalităţi

Corectitudinea unui astfel de sistem se verifică, cu relaţia:

unde: b – numărul barelor sistemului; n – numărul nodurilor sistemului


1)

Rezolvare:

G P

O

1

rR;2 Date:


Răspuns:

2

2 P

AB

C DDate:

Se cer:Tensiunile din bare.

Fig. 6.23

Fig. 6.22

2)

Rezolvare:

x

y

1

2

34

5AH

AV N 03:0

0:0

0:0

.34254;5:

PllNM

PVNF

HF

nbverificare

iA

Aiy

Aix

P .2

;3

;0

PV

PN

H

A

A

AP2

1T

2T

x

y

22022

2

202

2

11

221

PTPT

PTTT

xy

4T

3T22P

C

PTTP

PTPT

202

202

33

44

B P3

P2P2

5T

023

505

123

5

1cos;

5

2sin

55

PPP

PTTPP

P2

P5P 0

5

15

025

25

PP

PPD

45

45

A

B C

D

P2

Date:


Fig. 6.24

Verificare cu metoda secţiunilor pentru barele 1; 3 şi 4:

3)

AH AV

N

P2

x

y

1

23

4

5

67

PNlPlNM

PVPVF

PHHNF

nbverificare

iA

AAiy

AAix

20222:0

202:0

20:0

.35275;7:

x

y

P2 D

1T2T

22022

2

202

2

11

221

PTPT

PTTT

C

x

y

2T4T 3T0

20

3

442

T

PTTT E

1T6T5T

3T0

220

5

661

T

PTTT

x

y

4TN B

7T 5T0

0

7

4

T

TN

A

6T7T

AH AVy

x

02

12220

2

2

022

1220

2

2

6

6

PPTV

PPHT

A

A

1T

2T4T P2

DC

E

3T 452202

2

2:0

202:0

00:0

11

44

33

PTPllTM

PTPllTM

TlTM

C

E

D

Rezolvare:

Pentru porţiunea din partea de grindă situată în stânga secţiunii 1 se aplică relaţia:

Pentru determinarea tensiunii în secţiunea 2 a grinzii se aplică, în partea stângă a secţiunii, relaţia:

Pentru determinarea tensiunii în secţiunea 3 a grinzii se aplică, în partea dreaptă a secţiunii, relaţia:

45

A

PP

P 2PP2P3

1

2

3

4

Date:Barele perpendiculare au lungimea l; P

Se cer: tensiunile din barele 1; 2; 3 şi 4.

?T

Fig. 6.25

AH

AV

P P

P 2PP2P3

Tk

1T 2T3T

4T

D

E

B

Pentru determinarea tensiunii în nodul 4 se aplică relaţia:


1)

Răspuns:

2)

Răspuns:

CAPITOLUL 7

STATICA FIRELOR

7.1. Probleme rezolvate

30A B

C

D PDate:


Fig. 6.2612 3

4

5

45A

B

C

2P

D

E

F H

P3P P2

P

12 34

Date:

Se cer:Reacţiunile din A şi B; Tensiunile din barele 1, 2, 3 şi 4.

Fig. 6.27

Rezolvare:

Întrucât firul nu are greutate, pe porţiunile AC, CD şi DB tensiunile sunt constante.

Rezultă:

2)

P

Q

CD

1C 1D

1f2f

1T 2T Date:

Se cer:

A B

Fig. 7.1

C

P

x

y1T

DQ

3T

2T

x

y

Rezolvare:

7.2. Probleme propuse

1)

Răspuns:

Ox

A B y

C

f

a

AT BT Date:

Se cer:

Fig. 7.2

A

B

C

O x

y

a2h

1h

Date:

Se cer:

Fig. 7.3

2)

Indicaţie:

Se izolează punctul D al firului, se introduc tensiunile în cele două porţiuni de fir secţionate şi se scriu ecuaţiile de echilibru. Se separă porţiunea de fir BD, tăind firul în D, lângă punctul de fixare a greutăţii Q. Se studiază echilibrul arcului de lănţişor BD, obserervând că punctul D nu se află pe axa Oy, deoarece înclinarea tangentei la fir în acest punct este nenulă.

Răspuns:

CAPITOLUL 8

CINEMATICA PUNCTULUI MATERIAL

8.1. Generalităţi

8.1.1. Studiul mişcării punctului material în coordonate carteziene

A B

DQ

f

Date:

Se cer:

Fig. 7.4

Ecuaţiile parametrice ale traiectoriei sunt:

Ecuaţia implicită se obţine prin eliminarea timpului t din cele trei ecuaţii şi anume:

Rezultă două suprafeţe a căror intersecţie este o curbă plană. În plan ecuaţiile parametrice ale traiectoriei punctului material arată astfel:

Eliminând timpul din ambele ecuaţii rezultă ecuaţia implicită a traiectoriei punctului material care este o curbă plană şi anume:

Vectorial traiectoria unui punct material se scrie astfel:

Mărimea vectorului de mai sus se determină cu următoarea relaţie:

Pentru viteze se scriu următoarele ecuaţii:

De asemenea expresia vectorială şi cea scalară a vitezei se scriu astfel:

Pentru acceleraţii se scriu ecuaţiile:

Expresia vectorială şi cea scalară pentru acceleraţii se scriu astfel:

8.1.2. Studiul mişcării punctului material în coordonate polare

Nu sunt monitorizate decât traiectoriile plane

Pentru viteze şi acceleraţii se scriu ecuaţiile:

8.1.3. Studiul mişcării punctului material în coordonate intrinseci

8.2. Cinematica punctului material în coordonate carteziene

8.2.1. Cinematica punctului material liber


1)

Rezolvare:

u

uO

rx

y

M

Ecuaţiile parametrice ale traiectoriei:(ecuaţia traiectoriei în coordonate polare)

Fig. 8.1

r

O

A P

s

tss (ecuaţia orară a mişcării)

0

0

v

v

sv

vvvsv

0

222

a

vsa

vsa

aaas

ssva

Fig. 8.2

Date:

ty

tx

sin

2cos2Se cer:

Traiectoria mişcării punctului material;Viteza punctului material;Acceleraţia punctului material.

2)

Rezolvare:

8.2.1.2. Probleme propuse1)

Răspuns:

2)

Răspuns:

8.2.2. Cinematica punctului material legat


1)

Date:

tRy

tRx

sin

cosSe cer:


Date:

tby

tax

sin

cos ctba ;;Traiectoria mişcării punctului material;Viteza punctului material;Acceleraţia punctului material.

Se cer:

Date:

ty

tx

2cos

cosSe cer:


Rezolvare:

2)

Rezolvare:

3)

A

B

M

2

P

O

Date:

Se cer:

Fig. 8.3

O

C

1M

A2M

x

Date:

Se cer:

Fig. 8.4

y

Rezolvare:


1)

Răspuns:

2)

Răspuns:

O

x

y

AM

AA yxA ;Date:

Se cer:Fig. 8.5

x

y

P

O

M

A

Date:

Se cer:R

Fig. 8.6

1O

A

1x

xM

O

Date:

Se cer:

Fig. 8.7

8.2.3. Cinematica punctului material în alte sisteme de coordonate


1)

Rezolvare:

Traiectoria punctului material este cercul de centru O şi de rază r=2 deoarece r=ct.

2)

Rezolvare: La pornirea din A: Pentru primul corp:

Pentru al doilea corp:

Date:

2

2

1

2

t

r

Se cer:

Traiectoria mişcării punctului material în coordonate polare;Viteza punctului material în coordonate polare;Acceleraţia punctului material în coordonate polare.

O

vv

a

a

OMa

vtvvv

trv

rv

2

2

022

1222

2422

22

taaa

rra

trra

Fig. 8.8

A BO1M

2M

1v

2v

2a

2a

2a

R

Date:Pornire simultană din A şi sosire simultană în B;

Se cer:

Fig. 8.9

La întâlnirea în B: Pentru primul corp:

Pentru al doilea corp:

3)

Rezolvare:

La pornire: Corpul 1:

Corpul 2:

A

B

1M

2M

12 Date:

Pornire simultană din A şi sosire simultană în B;

Se cer: timpul şi locul întâlnirii.

Fig. 8.10

La sosirea în B:

Corpul 1:

Corpul 2:

Rezultă:

8.2.3.2. Probleme propuse1)

2)

Răspuns:

r

s

Date:

Se cer: pentru t=1s

Fig. 8.11

Răspuns:

R M

0MO

Date:

Se cer:

Indicaţii:

Fig. 8.11

3)

CAPITOLUL 9

CINEMATICA SOLIDULUI RIGID

9.1. Generalităţi. Mişcările simple ale rigidului

9.1.1. Translaţia

Este mişcarea în timpul căreia orice dreaptă a rigidului rămâne paralelă cu ea însăşi.

9.1.2. Rotaţia

Este mişcarea în care două puncte distincte ale rigidului (adică o dreaptă a sa), rămân fixe tot timpul mişcării.

Fie o axă în jurul căreia se roteşte corpul. Atunci fiecare punct are mişcare circulară. Vectorii viteză unghiulară şi respectiv acceleraţie unghiulară au drept suport axa de rotaţie.

9.2. Probleme rezolvate1)

O

rv

a

v

a

B

ADate:

Se cer:

Fig. 8.12

Răspuns:

O

A B

C

M

NP

Date:

Se cer:Vitezele şi acceleraţiile punctelor: A; B; M; N; P.

Fig. 9.1

Rezolvare:

2)

O

AB

C

M

NP

v

Determinarea vitezelor:

vv

2v 2v.

2.

2

;2

vtl

lvv

vtllvvv

PN

BMA

a aaa a a

2a 2a

Determinarea acceleraţiilor:

;222

;4

;22

;2

22

22

ltla

aa

ltlaaaa

al

laa

llaaaa

PN

MBA

PN

MBA

Fig. 9.2

Fig. 9.3

O

A

B

C

x

y

z D

E F

G

Fig. 9.4

O

AB

C

M

NP

Date:

Se cer:

Pentru t=2s.

Rezolvare:

Deoarece punctul F se găseşte pe axa de rotaţie iar vectorii viteză unghiulară şi acceleraţie unghiulară sunt coliniari cu axa de rotaţie atunci viteza şi acceleraţia unghiulară sunt nule adică:

3)

Rezolvare:

O

A

B

C

y

xM

Date:

Se cer:

Fig. 9.5

O

A

B

C

M

y

z

x Aa

.;

;;

;0

0

MMCC

BBAA

MCBA

aaaa

aaaa

aaaa

ct

Fig. 9.6

y

O

A

B

C

M

x

y

z

Av

Bv

Cv

Mv

4)

Rezolvare:

Centrul instantaneu de rotaţie este în punctul I de tangenţă între cele două discuri.

9.3. Probleme propuse1)

O

I

AB

CR

r Date: rostogolire fără alunecare;

Se cer: pentru discul mobil;

Fig. 9.7

O

I

A B

CR

r

.

;22;22

0

2

rRa

rRr

rRrICvrRvv

r

rRrrRv

A

CAB

A

Fig. 9.8

Răspuns:

2)

Răspuns:

3)

Răspuns:

O 1O

AB

C

D

MDate:

Se cer:

Fig. 9.9

O

x

y

z

1x

1y1OA B

CE

F

GD Date:

Se cer:

Fig. 9.10

O

A B

C

M

Date:Se cer:

Fig. 9.11

4)

Răspuns:

CAPITOLUL 10

MIŞCAREA PLAN – PARALELĂ A SOLIDULUI RIGID

10.1. Definiţii. Metoda CIR

Un rigid realizează o mişcare plan – paralelă dacă trei puncte necoliniare ale acestuia şi deci planul determinat de acestea rămân tot timpul mişcării într+un plan fix din spaţiu. Centrul instantaneu de rotaţie (CIR=I) este locul geometric al punctelor din planul mobil cu viteză instantanee nulă. O proprietate importantă a CIR este aceea că în raport cu el vitezele tuturor punctelor din planul mobil se determină ca în mişcarea de rotaţie. Pentru a se determina acest punct este nevoie de două elemente şi anume:

a) viteza unui punct al rigidului (modul, direcţie şi sens);b) suportul vitezei altui punct al rigidului.

Determinarea CIR se face astfel: Se ridică perpendiculare pe suporturile vitezelor celor două puncte în punctele respective (fig. 10.1). La intersecţia acestor perpendiculare se găseşte centrul instantaneu de rotaţie (CIR).

O

A

B

CDate:rostogolire fără alunecare.

Se cer: pentru discul mobil;

Fig. 9.12

10.1.1. Probleme rezolvate1)

Rezolvare: Manivela 1 are mişcare de rotaţie (R), biela 2 are mişcare plan – paralelă (PP) iar pistonul 3 are mişcare de translaţie (T).

I

A

BB

M

Av

Bv

Mv

Fig. 10.1

.

;

;

AM

B

A

vIA

IMIMv

IA

IBIBv

IA

v

O

A

B

Date: toate elementele geometrice.

Se cer:

Fig. 10.2

1 2

3

2)

Rezolvare:

3)

O

A

B

MAv1 2

3

I2

Bv

.0

;

;

;

3

2

222

2

222

222

OAAI

MIMIv

OAAI

BIBIv

AI

OA

AI

v

M

B

A

Fig. 10.3

O

A

OvDate:

Se cer:

Fig. 10.4

Observaţie:Mereu în cazul roţilor care au rostogolire fără alunecare, (RFA), centrul instantaneu de rotaţie (CIR) se găseşte în punctul de contact al roţii cu calea de rulare.

B

M

I

A

B

M

O OvFig. 10.5

Rezolvare:

4)

Rezolvare:

Din figura 10.8 rezultă că: elementul 1 are mişcare de rotaţie, elementul 2 are mişcare plan – paralelă, elementul 3 are mişcare de rotaţie, elementul 4 are mişcare plan – paralelă, elementul 5 are mişcare de translaţie.

2R

2R

Ov A

O

R 1 23B

CDate:

Se cer:

Fig. 10.6

2R

2R

Ov A

O

R 1

2

3BC

Fig. 10.7

1 – plan paralelă;2 – plan paralelă;3 – translaţie.

1I

Av

2I 2

Bv

O

AB

C

3O

D

Date:toate elementele geometriceSe cer:

Fig. 10.8

1

2

3

4

5

O

AB

C

3O

D1

23 4 5

2I

2

3

Bv

Cv

Fig. 10.9

AvDv

5)

Rezolvare:

Elementul 1 are mişcare de rotaţie, elementul 2 are mişcare plan – paralelă, elementul 3 are mişcare de rotaţie, elementul 4 are mişcare plan – paralelă, elementul 5 are mişcare de translaţie.

OA

B

C

3O

D

1

2

3

4

5

Date:toate elementele geometrice.Se cer:

1

2

3

4

5

OA

B

C

D

Fig. 10.10

Av

Bv3O

3

Cv

4I4

Dv


1)

Indicaţie:

2)

Indicaţie:

3)

O

AB

3O

12

3

Date: toate elementele geometrice.

Se cer:

Fig. 10.11

M

O

1

2AB

C

3OD

34

5

Date:toate elementele geometrice

Se cer:

Fig. 10.12

Indicaţie:

10.2. Metoda planului vitezelor şi a ecuaţiilor vectoriale. Determinarea acceleraţiilor

O altă metodă de determinare a distribuţiei vitezelor pentru un mecanism plan este metoda planului vitezelor şi a ecuaţiilor vectoriale. Este o metodă grafo – analitică prin care se rezolvă grafic ecuaţii vectoriale de tip Euler.

Pe desen, distribuţia vitezelor se reprezintă la scară cu ajutorul coeficientului de scară pentru viteze:

Pentru determinarea distribuţiei acceleraţiilor se foloseşte metoda planului acceleraţiilor şi a ecuaţiilor vectoriale care este, de asemenea, o metodă grafo – analitică prin care se rezolvă grafic ecuaţii vectoriale de tip Rivals.

Pe desen, distribuţia acceleraţiilor se reprezintă la scară cu ajutorul coeficientului de scară pentru acceleraţii:

Pentru simplificarea calculelor se consideră: kv=1 şi ka=1.10.2.1. Probleme rezolvate

1)

O

AC

B 3O

D

1 2

3

4

5

Date:toate elementele geometrice.Se cer:

Fig. 10.13

Rezolvare:

Elementul 1 are mişcare de rotaţie, elementul 2 are mişcare plan – paralelă, elementul 3 are mişcare de rotaţie.

2)

O

A

B3O

1 2

3


Se cer:

Fig. 10.14

O

A

B3O

1 2

3

vp

Av

aBA

3BO

b

Av

BAv

;;

;

;;

;;

3333

2

3

BO

bp

BO

kbp

BO

v

AB

abBA

kab

BA

vbpkbpv

abkabvvvv

apkapvOAv

vvvB

vBAvvvB

vBA

BA

BAA

BO

B

vvvAA

BA

ap1n

aBA

3BO

BAa

3BOa

2n

b

3BOAa

BAa

BAa

3BOa

3BOaBa

Fig. 10.15

BAv

2BAa

2

Bv

33

3BOa

Rezolvare: Elementul 1 are mişcare de rotaţie, elementul 2 are mişcare plan – paralelă, elementul 3 are mişcare de translaţie, elementul 4 are mişcare plan – paralelă, elementul 5 are mişcare de translaţie.

3)

45

45

O

A

BC

D

1

23

4 5


Se cer:

Fig. 10.16

x x

y

y

O

A

BC

D

Fig. 10.17

x x

y

y

vp

a

d

cb

CB

DA

.;0;0;0

;;;

;;;

;;

4532 DA

da

DA

kda

DA

v

dakdavdpkdpvvvv

cbkcbvcpkcpvvvv

bpkbpOBvapkapOAv

vDA

vDAvvvD

DA

DAA

xx

D

vCBvvvC

CB

CBB

yy

C

vvvBvvvA

DAv

4Aa

ab

Ba

CB

CBa

ap

CBa

CB

1nCBa

yy

cCa

DAa

DAa

DADA

xx d DaDAa2n

2

4

Rezolvare: Elementul 1 are mişcare de rotaţie, elementul 2 are mişcare plan – paralelă, elementul 3 are mişcare de rotaţie, elementul 4 are mişcare plan – paralelă, elementul 5 are mişcare de translaţie.

1

O

A B2

3O

C

3

4D

5x x

Date: toate elementele geometriceSe cer:

Fig. 10.18

1

O

AB

2

3O

C

3

4D

5x x

Fig. 10.19

Bv vp a

BA

b

c

BO3

xx

DC

BAvBv

AvCvDCv

DvdAv

2

3

4DCa

2

34

4)


ap

0aaAa

Aa

Aa

BA

BA1n

3BO

BAa

2n

3BO

BAa

3BOa

b

Ba

c DCDCa3n

DC

xx Da

CaDCa

d

Fig. 10.20

;3 CBaaa aacpbpcpbCBO

3

3

3

3

3

0

3

BO

BO

OB

BO

BOOB

BA

BA

AB

BA

BAAB

aaaa

aaaa

DC

DC

DC

DC

DCC

xx

D aaaa

;

;

;

3

3

dna

nca

dpa

DC

DC

aD

.0

;

;

;

5

34

3

2

3

33

12

DC

dn

DC

a

BO

bn

BO

a

BA

bn

BA

a

DC

BO

BA

O

A B

C

3OD

1

23

45


Se cer:

Fig. 10.21x x

5)


O

A B

C

3OD

1

2

34

5

Fig. 10.22

Av

vp

a

Aa

BA

BAv

Bvbdc

DC vv

DC

Aa

apa BA

BA

1nBAa

Aa

3BOa

3BOa

2n3BO 3BO

3BOa

b

c

Ba

DCa

CaDCa

DCd

DCa

3n

DCBAa

22 3

3

4

x x

BAa

O

A

C

B

D

x x3O

1

2

3

4

5

Date:toate elementele geometrice;

Se cer:

Fig.10.23

O

A

C

B

D

x x3O 5

Fig.10.23

Av

DC

;

;

;

;

DC

cd

DC

kcdv

CB

bc

CB

kbcv

CA

ac

CA

kacv

BA

ab

BA

kabv

vDC

vCB

vCA

vBA

.

;

;

4

3333

2

DC

cd

DC

kcd

DC

v

BO

bp

BO

kbp

BO

vCB

v

CA

v

BA

ab

BA

v

vDC

vvvB

CBCABA

23

4

;

;

;3

DC

DCC

xx

D

CB

CBBC

CA

CAAC

BA

BAA

BO

B

vvv

vvv

vvv

vvv

AaBAa

CAa

CBa

DCa

3BOa

2

3

4

DvCBv 3BO


1)

Răspuns:

a

BABA

1n

3BO

2n3BO

b

BAa

BAa

3BOa

3BOa

3n

CA

CA

CB

4nCB

c

CAa

CBa

CBa

DC5n

DC

xx d

Ca

Da

DCa

DCa

Fig. 10.24

dpkdpa

aaaa

aaaD

DC

DC

CD

DC

DCC

xx

D

;

.

;

;

554

55

5524

DC

dn

DC

kdn

DC

a

dnkdna

nckncDCa

aDC

aDC

aDC

O

A

1 2

3B

x x


Se cer:

Fig. 10.25

2)

Răspuns:

3)

Răspuns:

4)

O

1

A 2 B

3

3O

4

5

C

y

y


Se cer:

Fig. 10.26

O

1

A 2B

C

3O3

4

x

D 5


Se cer:

Fig. 10.27

x

O

A

1

2

x xB

C

3

4 5

5O

Date: toate elementele geometrice

Se cer:

Fig. 10.28

D

Răspuns:

5)

Răspuns:

CAPITOLUL 11

CINEMATICA MIŞCĂRII RELATIVE A PUNCTULUI MATERIAL

11.1. Generalităţi. Definiţii.

1. Mişcarea absolută este mişcarea punctului material în raport cu sistemul de referinţă fix.2. Mişcarea relativă este mişcarea punctului material în raport cu sistemul de referninţă mobil ca şi

cum acesta ar fi fix.3. Mişcarea de transport este mişcarea punctului material solidarizat cu sistemul de referinţă mobil

faţă de sistemul de referinţă fix.Studiul mişcării relative a punctului material se realizează cu ajutorul următoarelor relaţii matematice:


O

1

x x

A C

B

23 4

D

y

y

5

Date: toate elementele geometrice

Se cer:

Fig. 10.29

1)

Rezolvare:

2)

O

s

A

M

B

Date:Se cer:

Fig. 11.1

O

s

A

M

B

Fig. 11.2 rv

tv

av .44

cos

;cos2

;2

;;

22222

22

22

22

ltslttv

sl

l

vvvvv

sltOMv

tsvvvv

a

trtra

t

rtra

O

s

A

M

B

Fig. 11.3

ra

ta

taCa

x y

Rezolvare:

3)

O

M

s

Date:

Se cer:

Fig. 11.4

O

M

s

Fig. 11.5

tv

rv

.sinln

;sinlnsin

;1

;

20

222

00

ttvvv

tsMPvt

svvvv

tra

t

rtra

P

tt

t

tt

rrCtra

aaMPa

tMPaa

tsvaaaaa

0

sinln

;1

;

20

2

2

O

M

s

Fig. 11.6

P

ra

taCazx

y

Rezolvare:

4)

Rezolvare:

M

A B

CD

Date:

Se cer:

Fig. 11.7

M

A B

CD

P

Fig. 11.8

g.

;

;000

;;

2220

222

0

tglvvv

lMPv

gtvCvt

Cgtdtggdtvvvv

rta

t

rr

rtra

;; gvaaaaa rrCtra rv

tv

M

A B

CD

Fig. 11.9

.

;0sin22

;0

40

2222

0

20

2

lgaaa

gtava

MPMPa

lMPaa

tra

CrC

t

tt

ra

ta

tt aa

O

C

M Fig. 11.10

Date:

Se cer:

5)

Rezolvare:

O

C

M

Fig. 11.11

rv

tvav

O

C

M

;32142

sin22

;

2sin22

2sin232

;2

22;

22

22

ttRvava

ROMa

RtOMaa

RRa

tRRaaaaaa

rCrC

t

t

t

r

r

rCtra

ra

rata

ta Ca

x

y

Fig. 11.12

M

O

0M

Date:

Se cer:

Fig. 11.13

6)

Rezolvare:

M

O

0M

Fig. 11.14

rv

tv

0;0

0

tra

t

ratra vvv

tRRv

tRRvvvvv

0

22

0

2

0

22

0

2

;

;

RRa

tRRaa

RRa

tRRaa

aaaa

t

t

t

r

r

r

Ctra

M

O

0MFig. 11.15

ra

ta

ta

ra

Ca xy

00

0

0

;22

sin22

22

22

0

yxyx

try

rtCx

rCrC

aaajaiaa

aaa

aaaa

tRvava

O

A

B

M

l l

Date:

Se cer:

Fig. 11.16

OB

ll Fig. 11.1745

rvtv

45cos2

;2

;2

;2

2

;

22

trtra

t

rr

tra

vvvvv

lOAv

l

t

lvtvltt

vvv

A=M


1)

2)

3)

OB

l l

A=M

ω

45ta

Ca 45

0

2;0;

22

OAa

lOAaavaaaaa

t

t

trrCtra

2

22

2sin22;

ll

vavaaa rCrCtt

x

y

Fig. 11.18

MN

x

Ol

A B

Date:

Se cer:

Fig. 11.19

Răspuns:

O

CAP

v

Date:

Fig. 11.20

RB

Se cer:

Răspuns:

4)

Răspuns:

5)

CAPITOLUL 12

R

M

1O

2Fig. 11.21

Date: Se cer:

Răspuns:

A B

1O2O

l

Ms

Date:

Se cer:

Fig. 11.22

M

O

C

2

1

R

N

Fig. 11.23

Răspuns:Date:

Se cer:

CINEMATICA MIŞCĂRII RELATIVE A SOLIDULUI RIGID


1)

Rezolvare:

Mişcările corpurilor sunt rotaţii în plan 1,2 şi plan – paralelă 2, vitezele unghiulare fiind paralele între ele, adică perpendiculare pe plan, rezultă că mişcarea compusă a corpului 2 este o sumă de rotaţii paralele. Considerând ca sens pozitiv, sensul orar al lui valoarea vitezei unghiulare absolute a corpului 2 se determină cu una dintre relaţiile:

(12.1)

Dar în cazul rotaţiilor paralele rezultă pentru corpul 2 o rotaţie instantanee, în jurul centrului vectorilor paraleli Notând acest punct cu C, se poate aplica vectorilor teorema lui Varignon în raport cu punctul O. Din relaţia precedentă se observă că teorema lui Varignon poate fi aplicată de două ori pentru fiecare sumă de vectori paraleli:

(12.2)

În membrul drept al relaţiilor de mai sus apar distanţele faţă de ale puntelor din plan aflate pe

suporturile celor patru vectori: şi trec prin trece prin A (A reprezintă punctul de viteză

nulă între roţile 2 şi 1, în acest punct neexistând alunecare între cele două roţi); trece prin ponctul O,

M

NA

1

2

3

Date:

Se cer:

30Fig. 12.1

acesta fiind punctul de viteză nulă între corpurile 2 şi 3 (O este articulaţia comună). Deci, relaţiile de mai sus devin:

Înlocuind acest rezultat în relaţiile (12.1), se obţine:

(12.3)

Din sistemul format din ecuaţiile (12.4) şi (12.1) rezultă:

În figura 12.2 se arată distribuţia de viteze a roţii 2, faţă de punctul C, care devine pentru această roată, centru instantaneu de rotaţie faţă de sistemul de referinţă fix. Vitezele reprezentate pe figură pentru roata 2 sunt de forma:

Calculând viteza punctului A al roţii 1 rezultă un vector cu aceeaşi direcţie, sens şi modul cu cea calculată pentru punctul A al roţii 2, deci se verifică faptul că punctul A este centru instantaneu al rotaţiei relative între roţile 1 şi 2.

Pentru determinarea acceleraţiilor punctelor M şi N, se scrie:

(12.4)

CA

M

N

M

A

N

1O

A

O

Fig. 12.3 Fig. 12.4

Fig. 12.2

Acceleraţia unghiulară absolută a roţii 2 este:

S-a scris expresia vectorială a acceleraţiei unghiulare absolute a roţii 2 pornind de la relaţiile de mişcare ale celor două corpuri 1 şi 3, cu care corpul 2 este în legătură. Acceleraţia unghiulară este nulă, deoarece vectorii viteză unghiulară de la care se porneşte au direcţii şi mărimi care nu se modifică în timpul mişcării. Relaţiile (12.4) devin:

(12.5)

Se determină:

Acceleraţiile determinate ale punctelor O, M, N, A ( punctul A aparţinând roţii 2) sunt reprezentate în figura 12.3.

Mişcarea roţii 2 cu centrul în O fiind plan – paralelă, cu acceleraţie unghiulară nulă, rezultă că toate acceleraţiile roţii 2 vor converge spre centrul instantaneu al acceleraţiilor (CIA) a cărui poziţie faţă de punctul O este definită de relaţia:

Acceleraţia se calculează în două moduri astfel (figura 12.3):

Acceleraţia , pentru roata 1, este

îndreptată spre centrul deci doar vitezele fiind egale.

Pentru inversarea sensului lui

Din relaţiile (12.2) rezultă: pe care înlocuindu-le în relaţiile (12.1) se

obţine deci mişcarea absolută a roţii 2 este de translaţie. Vitezele, respectiv acceleraţiile tuturor punctelor roţii 2 sunt egale, ele putând fi calculate pentru punctul O:

Observaţie:

Din calculul vitezelor în punctele A şi O se observă că roata 2 are o mişcare de translaţie (figura 12.4) adică:

2)

Rezolvare:

Viteza unghiulară din rotaţia discului 2 faţă de bara 1, are drept suport axa CD. Deoarece discul 2 se roteşte în raport cu acesta, pe axa CD se găsesc toate punctele de viteză nulă ale discului faţă de axă; pentru axa CD, punctele de viteză nulă se găsesc pe axa verticală OD. În aceste condiţii, punctul D este un punct de viteză nulă al discului în raport cu sistemul de referinţă fix. Al doilea punct de viteză nulă al discului faţă de sistemul de referinţă fix este A, deoarece discul se rostogoleşte fără să alunece pe suprafaţa conică. Rezultă de aici că dreapta AD reprezintă suportul vitezei unghiulare a discului 2 faţă de sistemul de referinţă fix, fiind definită la un moment dat de două puncte de viteză absolută nulă ale discului. Pe baza analizei anterioare se poate scrie (fig. 12.6):

Pe baza reprezentării grafice, rezultă:

Pentru calculul vitezei lui A, se ţine seama de rotaţia instantanee a discului faţă de dreapta AD, deci:

1

2

A

C

B

E

O

D

Date:Rostogolire fără alunecare;

Se cer:

Fig. 12.520

Fig. 12.6

Expresia vectorială a acceleraţiei unghiulare absolute a discului 2 este de forma:

unde:

Aşadar:

Expresia vectorială a acceleraţiei lui B faţă de punctul fix D de pe axa instantanee de rotaţie este:

unde:

Rezultă:


1)

,021

t

deoarece fiind o derivată locală, se referă la rotaţia discului în raport cu bara CD, care pentru disc reprezintă un reper fix, deci în raport cu acest reper

12A

C

B

HD

HB 220

10Fig. 12.7

Indicaţie:Faţă de problema 12.1, la care nu se cunoştea punctul prin care suportul lui intersectează

planul figurii, la această problemă el este cunoscut : punctul de tangenţă între roata 2 şi suprafaţa cilindrică fixă, acesta fiind centrul instantaneu de rotaţie absolut al roţii 2.

Răspuns:

2)

Răspuns:

3)

O

B

A

C

M1

2

3

Date:Rostogolire fără alunecare;R; r;

Se cer:

Fig. 12.8

O

A

101

2

B

3 C

x

y

D

Date:

Se cer:

Fig. 12.9

Răspuns:

Ambele sunt orientate spre dreapta.

4)

Răspuns:

Bibliografie

1) Ceauşu V., Enescu N. – „Probleme de Mecanică: vol. 1 Statica şi cinematica”; Editura Corifeu Bucureşti; 2002;

1 2

Date:

Se cer:

Fig. 12.10

10v 20v1 23 Date:

Se cer:, pentru ambele sensuri ale lui

Fig. 12.11

2) Ceauşu V., Enescu N., Ceauşu F. – „Culegere de probleme de Mecanică Statică”; Institutul Politehnic Bucureşti; 1987;

3) Ceauşu V., Enescu N., Ceauşu F. – „Culegere de probleme de Mecanică Cinematică”; Institutul Politehnic Bucureşti; 1988;

4. Dinu I. – „Curs Mecanică”; Universitatea „Politehnica” din Bucureşti; 1997;5. Enescu N. ş.a. – „Seminar de mecanică – Culegere de probleme”; Institutul Politehnic Bucureşti;

1990;6. Magheţi I., Voiculescu L. – „Elemente de mecanică aplicată”; Editura Printech Bucureşti; 2000;7. Sarian M. ş.a. – „Probleme de mecanică”; E.D.P. Bucureşti; 1983;8. Staicu Şt., Voiculescu L. – „Lecţii de mecanică teoretică”; Editura Bren Bucureşti; 2006;9. Staicu Şt., Voiculescu L. – „Probleme rezolvate de statică şi cinematică”; Editura Bren;

Bucureşti; 2005;10. Stroe I. ş.a. – „Probleme de statică pentru studenţii din învăţământul superior tehnic”; Editura

Printech; Bucureşti; 2000;11. Voiculescu L., Busuioceanu I., Magheţi I. – „Mecanică: teorie şi aplicaţii”; Editura Bren

Bucureşti; 2004.

Cuprins

1. Noţiuni de calcul vectorial………………………………………………………………..22. Statica punctului material………………………………………………………………..133. Reducerea sistemelor de forţe oarecare aplicate solidului rigid…………………………194. Centre de masă (greutate)……………………………………………………………......275. Statica rigidului…………………………………………………………………………..366. Statica sistemelor…………………………………………………………………………517. Statica firelor……………………………………………………………………………..698. Cinematica punctului material............................................................................................729. Cinematica solidului rigid...................................................................................................8110. Mişcarea plan – paralelă a solidului rigid...........................................................................8911. Cinematica mişcării reletive a punctului material............................................................10312. Cinematica mişcării relative a solidului rigid...................................................................111

Bibliografie.......................................................................................................................118

Cuprins..............................................................................................................................119

mecanica - culegere probleme

Documents