problema geometrie

Concursul Gazeta Matematic i ViitoriOlimpici.ro Ediia a IV-a 2012-2013


O abordare analitica a unor probleme de geometrie

Gabriel POPA1, Ioan SERDEAN 2

Cu prilejul elaborarii lucrarii [1], am constatat ca o serie de probleme de geome-trie propuse juniorilor la O.B.M.J. admit rezolvari analitico-trigonometrice ceva maisimple dect cele "ociale". ntruct o parte dintre elevii din cl. a IX-a sunt ncaeligibili pentru lotul juniorilor, iar elevii buni si pasionati de matematica parcurgmateria n avans, consideram utila prezentarea n aceasta maniera a ctorva solutiiale unor probleme care, abordate sintetic (vezi [1]), sunt dicile.

Problema 1. Fie !"# un trapez cu ! k "#, ! $ "# si %( b ) +%( b!) = 90 . Sa se arate ca distanta dintre mijloacele laturilor paralele este egala cusemidiferenta bazelor.

(Problema 132, Lista scurta O.B.M.J., 2007)Solutie. Raportam planul la un reper cartezian

cu originea n , ca n gura. Fie #0, " 0 proiectiilepunctelor #, respectiv " pe !; notam & = %(\# !),' = #0, ( = #0" 0, ) = "0!. Avem ca %(\"! ) =90 & si atunci ##0 = #0 tg & = ' tg &, iar "" 0 =" 0! tg (90 &) =

)

tg &. Deci, ' tg & =

)

tg &, prin urmare

) = ' tg2 &. Vrfurile trapezului vor avea coordonatele (0* 0); !

'1 + tg2 &

+ (* 0

; " ('+ (* ' tg &); # ('* ' tg &), iar mijloacele bazelor

[ !] si ["#] au coordonatele +' 1 + tg2 &+ (

2* 0, respectiv ,

2'+ (2

* ' tg &.

Lungimea segmentului +, este

+, =

s'2tg2 & 1

24

+ '2 tg2 & =

s'2tg2 &+ 1

24

='tg2 &+ 1

2

-

Pe de alta parte, ! "#

2='+ )

2='tg2 &+ 1

2

, de unde concluzia.

Problema 2. Fie !"# patrat, . mijlocul lui ["#], iar + un punct interior

patratului astfel nct %(\+ !) = %(\+!") = %(\!+.) = /. Sa se afle /.(Problema 203, Baraj O.B.M.J., 2003)

Solutie. Raportam planul la un reper cu originean , ca n gura; consideram unitatea egala cu laturapatratului si atunci (0* 0); ! (1* 0); " (1* 1); # (0* 1);. (102* 1). Notam % = tg /, % ! (0* 1) " (1*#);panta dreptei + este %, iar panta dreptei !+ este

tg (90 + /) = 1

tg /=

1

%. Astfel, + : 1 = %/ si

!+ : 1 = 1

%(/ 1), iar prin intersectarea celor doua

1 Profesor, Colegiul National, Iasi2 Profesor, Liceul Teoretic "Aurel Vlaicu", Orastie

Lecia care urmeaz a fost iniial susinut n cadrul pregtirii lotului de juniori al Romniei n vederea participrii la OBMJ. Apoi, materialul a fost publicat n revista Recreaii Matematice, Nr. 1/2008. Lecia este ns la nivelul clasei a X-a, cnd se studiaz n coal Geometria analitic. O prezentm aadar celor interesai, cu sperana c aceste metode se vor dovedi utile n abordarea unor probleme dificile de geometrie.



pe ! ca axa "# si perpendiculara n " pe ! ca axa "$. Consideram ca % (1& 0),' ( 1& 0), ( (cos )& sin )), * (cos +& sin +). Panta lui "( este , = tg ) si atunci panta

lui -! va fi 1

,= ctg ); obtinem ecuatia lui -! : # cos )+ $ sin ) = 1. Analog,

- : # cos ++$ sin + = 1 si, intersectnd cele doua drepte, vom obtine pentru abscisapunctului -

# =sin ) sin +

sin () +)=2 cos !+"

2sin ! "

2

2 sin ! "2cos ! "

2

=cos !+"

2

cos ! "2

.

naltimea din - fiind paralela cu "$, va avea ecuatia # = # , adica # =cos !+"

2

cos ! "2

.

Pentru a afla coordonatele punctului /, vom intersecta dreptele '( :#+ 1

cos )+ 1=

$

sin )si %* :

# 1

cos + 1=

$

sin +. Eliminnd pe $, gasim ca

## =sin ) cos ++ cos ) sin + sin )+ sin +

sin + cos ) sin ) cos ++ sin )+ sin +=

sin ()+ +) (sin ) sin +)

sin () +) + (sin )+ sin +)=

=2 cos !+"

2

sin !+"

2 sin ! "

2

2 cos ! "

2

sin !+"

2 sin ! "

2

= cos !+"2cos ! "

2

.

Rezulta astfel ca punctul / apartine naltimii din -, de unde concluzia problemei.

Rezolvnd problemele de geometrie din [1], am remarcat ca un procent semnica-tiv dintre ele (aproape 20%) admit solutii calculatorii, n maniera celor prezentate naceasta nota. ncheiem prin a propune ca tema trei astfel de probleme.

Problema 5. Fie - ! un triunghi echilateral de centru ", iar 0 ! ( !). Fie/, 1 proiectiile lui 0 pe - , respectiv -!. Sa se arate ca "0 trece prin mijloculsegmentului [/1].

(Problema 135, Lista scurta O.B.M.J., 2006)

Problema 6. Punctele 0 si 2 se gasesc pe laturile (-3) si ( !) ale rom-bului - !3. Dreapta 0! intersecteaza segmentul [ 3] n 4 , iar dreapta 02intersecteaza [ 3] n 5 . Dreapta !5 intersecteaza dreapta - n *, iar *4 in-tersecteaza latura [!3] n ( . Aratati ca triunghiurile *!( si 0!2 au aceeasi arie.

(Problema 232, Baraj O.B.M.J., 2005)

Problema 7. Fie - ! un triunghi dreptunghic n ! si punctele 3, ' pe

laturile [ !], respectiv [!-], astfel nct 3

-!=-'

!3= 6. Dreptele ' si -3 se

intersecteaza n ". Sa se arate ca ,(\ "3) = 60! daca si numai daca 6 ="3.

(Problema 246, Baraj O.B.M.J., 2006)

Bibliografie

1. D. Brnzei, D. Serbanescu, G. Popa, I. Serdean - 10 ani de Olimpiade Bal-canice ale Juniorilor, Paralela 45, Pitesti, 2007.



drepte obtinem coordonatele lui : ! =1

1 +"2, # =

"

1 +"2. Panta dreptei

$ este#! # !! !

=2"2 2"+ 2

"2 1, prin urmare

tg\% $ =

"" " !1 +"" " !

=

2"3 "2 + 2" 1

"3 2"2 +" 2

=

2" 1

" 2

&

Cum tg\% $ = tg ! = ", obtinem ecuatia

2" 1

" 2

= ", cu solutiile " !

1' 2 "3' 2 +

"3. Am vazut ca" 6= 1 si atunci ramne ca" !

2

"3' 2 +

"3,

adica ! ! {15 ' 75 }. Prima solutie nu convine: daca "(\ (%) = "(\ %)) = 15 ,atunci \% $ este unghi obtuz. n concluzie, ! = 75 .

Problema 3. Se considera triunghiul (%) cu (% = (). Un semicerc dediametru [$* ], cu $'* ! [%)], este tangent laturilor (% si () n , respectiv+ , iar ($ retaie semicercul n , . Sa se arate ca dreapta ,* trece prin mijloculcoardei [ + ].

(Problema 94, Lista scurta O.B.M.J., 2003)Solutie. Raportam planul la un reper cartezian cu

originea n mijlocul - al segmentului [%)], avnd dreapta%) drept axa a absciselor si naltimea din ( drept axaa ordonatelor. Consideram ca * (1' 0), $ ( 1' 0), ) (.' 0),% ( .' 0) si fie / = "(\)-+); atunci + (cos /' sin /), ( cos /' sin /). Cum "([()-) = 90 /, avem ca(-

-)= tg([()-) = ctg /, deci (- = . ctg / =

1

sin /, caci

. cos / = -+ = 1 (din triunghiul dreptunghic -+)) si

astfel (0'

1

sin /

. Ecuatia dreptei ($ va fi # =

1

sin /(!+ 1) si, intersectnd aceasta

dreapta cu cercul !2 + #2 = 1, obtinem ecuatia n !:1 + sin2 /

!2 + 2!+

1 sin2 /

= 0# (!+ 1)

1 + sin2 /

!

sin2 / 1

= 0&

Ca urmare, !1 = 1 si !2 =sin2 / 1

sin2 /+ 1, carora le corespund punctele $, respectiv , .

Cum #2 =1

sin /(!2 + 1) =

2 sin /

sin2 /+ 1, avem ,

sin2 / 1

sin2 /+ 1'2 sin /

sin2 /+ 1

.

Daca 0 este mijlocul segmentului [ + ], atunci 0 (0' sin /); scriem imediat ecuatiadreptei 0* : # = (1 !) sin /. Coordonatele (!2' #2) ale punctului , verifica aceastaecuatie si de aici rezulta concluzia problemei.

Problema 4. Un semicerc avnd diametrul [$* ]inclus n latura [%)] a triunghiului (%) este tan-gent laturilor (% si () n 1, repsectiv , . Notam{2} = $, $ *1. Sa se arate ca (2 este naltimen triunghiul (%).

(Problema 15, O.B.M.J., 2000)Solutie. Raportam planul la un reper cartezian

cu originea n - mijlocul segmentului [$* ], avnd

problema geometrie

Documents