Ministerul EducaŃiei, Cercetării, Tineretului şi Sportului Centrul NaŃional de Evaluare şi Examinare

Bacalaureat _2010 Varianta 9 Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică-informatică. Filiera vocaŃională, profilul militar, specializarea matematică-informatică.

1

EXAMENUL DE BACALAUREAT – 2010 Proba E c)

Probă scrisă la MATEMATICĂ Varianta 9

Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică - informatică. Filiera vocaŃională, profilul militar, specializarea matematică - informatică. • Minden feladat (I, II, III) kötelezı. 10 pont jár hivatalból. • Munkaidı 3 óra. • Minden feladat részletes megoldását írd a vizsgalapra! I. FELADAT (30 pont)

5p 1. Számítsd ki: ( )( )( )41 1i i− − .

5p 2. Igazold, hogy az 3

: ( 3,3) , ( ) ln3

xf f x

x

−− → =

+ℝ függvény páratlan!

5p 3. Határozd meg az 2 2 8 0x x+ − < egyenlıtlenség egész megoldásait!

5p 4. Az { }1,2,3,...,100A = halmaz hány eleme osztható 4-gyel vagy 5-tel?

5p 5. Az xOy derékszögő koordináta-rendszerben adottak az ( )1, 2M − , ( )3, 1N − − és ( )1,2P − pontok!

Határozd meg a Q pont koordinátáit, ha MNPQ paralelogramma!

5p 6. Az ABC háromszögben 6, 3AB AC= = és 5BC = . Számítsd ki az [ ]AD magasság hosszát!

II. FELADAT (30 pont)

1. Adott a

2 8 65

3 3 22

28

x y z

x y z

x y z

− − = −

+ − = + + =

egyenletrendszer, ahol , ,x y z∈ℝ és

1 2 8

3 1 3

1 1 1

A

− − = −

a rendszer mátrixa.

5p a) Igazold, hogy az A mátrix rangja 2.

5p b) Oldd meg a valós számok halmazán az egyenletrendszert!

5p c) Határozd meg az egyenletrendszer azon megoldásainak számát, amelyek az × ×ℕ ℕ ℕ halmazban vannak!

2. Adott az 5,

a bA a b

b a

= ∈ −

ℤ mátrixhalmaz.

5p a) Határozd meg az A halmaz elemeinek számát!

5p b) Igazold, hogy létezik olyan nullától különbözı M A∈ mátrix, amelyre ˆ ˆ ˆ3 1 0 0

ˆ ˆˆ 0 01 3M

⋅ = −

ɵ

ɵ.

5p c) Oldd meg az A halmazon az 22X I= mátrixegyenletet!

III. FELADAT (30 pont)

1. Adott az { }: \ 1f − →ℝ ℝ ( ) arctg1

xf x

x=

+ függvény.

5p a) Határozd meg az f függvény grafikus képe +∞ felé mutató aszimptotájának egyenletét!

5p b) Tanulmányozd az f függvény monotonitását!

5p c) Határozd meg az f függvény inflexiós pontjait!

2. Adott az ( )1

1

2 1,

n

n nnn

xI I dx

x

+

≥

−= ∫ sorozat.

5p a) Igazold, hogy az ( )1n n

I≥

sorozat szigorúan növekvı!

5p b) Igazold, hogy az ( )1n n

I≥

sorozat korlátos!

5p c) Számítsd ki a ( )lim 2 nn

n I→+∞

− határértéket!