LUCRARE METODICO-TIINIFIC PENTRU GRADUL DIDACTIC I

Puncte i drepte remarcabile n geometria triunghiului

Geometria .... ocup un loc central n cadrul matematicii, asigurnd numeroase conexiuni cu alte domenii matematice fundamentale (logica matematic, algebra, analiza matematic). mbin coerent gndirea abstract cu gndirea concret dezvolt gndirea, mai ales gndirea vie, activ i complex, iniiativa personal n gndire

dezvolt deprinderea de a cuta i de a realiza legturi raionale ntre elemente

Istoria geometriei , din cele mai vechi timpuri, este legat de numele lui Euclid ( matematician grec, sec. III . Hr)

Opera sa ELEMENTE a fost timp de 2000 ani principala carte dup care se putea nva geometria ELEMENTE constituie prima expunere sistematic a geometriei i totodat prima dezvoltare axiomatic a unei discipline tiinifice Particularitatea principal a ELEMENTELOR este faptul c ele sunt construite deductiv, dup o schem logic unitar De la Euclid se pstreaz tradiia de a marca sfritul unei demonstraii prin cuvintele: ceea ce era de demonstrat (c.c.t.d. sau q.e.d.). Cu numele su s-au format denumirile de geometrie euclidian, spaiu euclidian; este citat la algoritmul aflrii celui mai mare divizor comun a dou numere ntregi.

Punctele i dreptele remarcabile din triunghi sunt strns legate de problemele de concuren, coliniaritate i conciclitate. Punctele celebre se prezint ca intersecie a unor drepte sau cercuri sau ca aparintoare unor cercuri importante

Dreptele remarcabile ajung n atenie n urma coliniaritii unor puncte

Spre deosebire de patrulatere i cercuri, triunghiurile au multe centre. Vechii greci au descoperit patru:

Centrul cercului nscris n triunghi

Centrul de greutate al triunghiului

Centrul cercului circumscris triunghiului

Ortocentrul unui triunghi

Un al cincilea centru, descoperit mult mai trziu, este punctul lui Torricelli-Fermat

Apoi, puncte pe care acum le numim centrul cercului celor 9 puncte, punctul lui Gergonne, Punctul lui Feuerbach, ca s numim cteva, au fost adugate n literatura de specialitate. n anii 80 ai secolului trecut s-a observat c aceste puncte speciale se bucur de anumite proprieti generale care acum formeaz baza pentru o definiie formal a centrului triunghiului.

n lucrarea de fa am pus in eviden cteva puncte i drepte remarcabile n triunghi utiliznd diverse metode: raionament geometric, metoda vectorial , metoda numerelor complexe metoda coordonatelor

Structura lucrrii

Cap I : PRELIMINARII

Cap II: COLINIARITATE, CONCUREN I CONCICLITATE Cap III: PUNCTE I DREPTE REMARCABILE N GEOMETRIA TRIUNGHIULUI Cap IV: ABORDRI ALTERNATIVE N STUDIUL PUNCTELOR I DREPTELOR REMARCABILE

Cap V : CONSIDERAII METODICE

Cap I : Preliminarii Prezint sistemul axiomatic al lui Birkoff al geometriei euclidiene Introduce noiunile de: vector n planul euclidian, de reper cartezian pe o dreapt i n plan numr complex n geometrie.

Cap II : Coliniaritate, concuren i conciclitateConine instrumentele de investigare a punctelor i dreptelor remarcabile ale triunghiului;Sunt redate noiunile de:

concuren a unor drepte, coliniariate a unor puncte, conciclitate a unor puncte, nsoite fiecare de criterii de realizare.

Cap III : Puncte i drepte remarcabile n geometria triunghiului Cuprinde expunerea unui numr semnificativ de puncte i drepte remarcabile ale triunghiului, la nivelul matematicii colare. Am ncercat s prezint o seam de proprieti pentru a ilustra anumite conexiuni care se pot face ntre aceste elemente remarcabile. Pentru unele alternative. am dat i soluii

{O} AC BD

Dreapta lui Euler

Cercul lui Euler

Punctul lui Feuerbach

Punctul lui Nagel

Dreapta lui Nagel

Punctul lui Spiecker

Dreapta lui Simpson

Punctul lui Gergonne

Punctul simedian (Punctul lui Lemoine)

Punctul lui Torricelli

Punctul lui Vecten

Primul punct al lui Brocard

Dreapta lui Lemoine

Cap IV : Abordri alternative n studiul punctelor i dreptelor remarcabile Se refer la anumite abordri alternative ale punctelor i dreptelor remarcabile folosind metode specifice ale calculului vectorial, metoda coordonatelor i metoda numerelor complexe. Este prezentat de asemenea i calculul unor distane dintre anumite centre remarcabile ale triunghiului.

Cap V: Consideraii metodiceEste un ansamblu de consideraii metodice referitoare la: importana studiului geometriei n coal, locul i rolul punctelor i dreptelor celebre n

programa colar metodica rezolvrii problemelor de geometrie

Am inserat de asemenea: un proiect de CD proiectarea a dou uniti de nvare la gimnaziu i liceu proiectele a dou lecii referitoare la problematica n cauz

Bibliografie [1] I. D. Albu, I. D. Brchi, Geometrie vectorial n liceu, Editura Brchi, Timioara, 2004 [2] I. D. Albu, Geometrie Concepte i metode de studiu, Partea I, Editura Mirton, Timioara, 1998 [3] I. A. Amarandei, Numere complexe n geometrie, Editura Fides, Iai, 2010 [4] D. Andrica, C. Magda, E. Jecan, Geometrie clasele IX-X pentru grupele de excelen, Editura Studia, Cluj Napoca 2010 [5] T. Andreescu, D. Andrica, Complex numbers from A to Z, Birkhauser, Boston, 2006 [6] D. Barthe, E. Busser, Le triangle, Trois points, Cest tout!, Editions Pole, Paris, 2005 [7] D. Brnzei, Geometrie circumstanial, Editura Junimea, Iai, 1983 [8] D. Brnzei, S. Ania, A. Ania, Competen i performan n geometrie, vol. 1 Relaii metrice, Editura Minied, Iai, 1992

[9] D. Brnzei, S. Ania, M. Chirciu, Geometrie clasa a IX-a, Editura Paralela 45, Piteti, 2004

[10] D. Brnzei, E. Onofra, S. Ania, Gh. Isvoranu, Bazele raionamentului geometric, Editura Academiei Republicii Socialiste Romnia, Bucureti, 1983[11] M. Burtea, G. Burtea, Manual pentru clasa a IX-a, Editura Carminis, Piteti, 2004 [12] M. Burtea, G. Burtea, Culegere de matematic clasa a IXa, Editura Carminis, Piteti, 2004 [13] F. Crjan, Didactica matematicii, Editura Corint, Bucureti, 2002 [14] M. Dinc, M. Chiri, Numere complexe n matematica de liceu, Editura All Educational, Bucureti, 1996 [15] M. Ganga, Probleme rezolvate din manualele de matematic pentru clasa a IX-a, Editura Mathpress, Ploieti, 2004 [16] M. Ganga, Matematic manual pentru clasa a IX-a profil M1, M2, Editura Mathpress, Ploieti, 2001

[17] T. Lalescu, Geometria triunghiului, Editura Tineretului, Bucureti, 1958

[18] C. Lupu, D. Svulescu, Metodica predrii geometriei, Editura Paralela 45, Piteti, 2000[19] S. Marcus, Singurtatea matematicianului, n Gazeta Matematic, seria A, nr.3/2008

[20] C. Minescu, C. Minescu, Geometria poligoanelor: un punct de vedere metodic, Editura Universitii de Vest, Timioara, 2005[21] C. Mihalescu, Geometria elementelor remarcabile, Editura Societii de tiine Matematice din Romnia, Bucureti, 2007 [22] N. Mihileanu, Utilizarea numerelor complexe n geometrie, Editura Tehnic, Bucureti, 1968 [23] Gh. Mitroaica, Din peripeiile unui rezolvator de probleme, Editura Albatros, Bucureti, 1987

[24] C. Nstsescu, C. Ni, Manual pentru clasa a X-a TC+CD, Editura Didactic i Pedagogic, Bucureti, 2005[25] L. Nicolescu, V. Boskoff, Probleme practice de geometrie, Editura Tehnic, Bucureti, 1990

[26] V. Nicula, Geometrie plan (sintetic, vectorial, analitic)Culegere de probleme, Editura Gil, Zalu, 2002 [27] N. Oprea, Coliniaritatea unor puncte remarcabile, n Gazeta Matematic, seria B, nr. 4/1991 [28] I. Ptracu, Probleme de geometrie plan, Editura Cardinal, Craiova, 1996 [29] A Popa, Probleme alese de geometrie plan Metode de rezolvare, Editura Sitech, Craiova, 2008 [30] M. Postolache i colectivul, Metodica predrii matematicii n liceu, Editura Fair Partners, Bucureti 2008 [31] A. Revuz, Matematic modern, matematic vie, Editura Didactic i Pedagogic, Bucureti, 1970 [32] E. Rusu, Problematizare i probleme n matematica colar, Editura Didactic i Pedagogic, Bucureti, 1979 [33] I. F. Sharygin, V. Yu. Protasov, Does the school of the 21st century need geometry?, at the 10th ICMI Congress (Copenhagen, July 4-11, 2004) [34] L. V. Shin, How to Study Geometry, la www.lavcmath.com/shin

[35] M. Singer i colectivul, Ghid metodologic pentru aplicarea programelor de matematic primar gimnaziu, Editura Aramis, Bucureti, 2001 [36] F. Turtoiu, Probleme de trigonometrie, Editura Tehnic, Bucureti, 1986

[37] G. ieica, Probleme de geometrie, Editura Tehnic, Bucureti, 1981[38] S. Vladimirescu, Probleme de coliniaritate i concuren n plan, Editura Sitech, Craiova, 2002

[39] V. Gh. Vod, Triunghiul- ringul cu trei coluri, Editura Albatros, Bucureti, 1979[40] V. Gh. Vod, Vraja geometriei demodate, Editura Albatros, Bucureti, 1983

[41] C. Zrn, L. Zrn, Proprieti ale unor puncte remarcabile, n Revista Matematic din Timioara nr. 1 / 2002.

[42]***, Programe colare pentru clasele V-VIII, Matematic i tiinele naturii, MECI, 2009[43]***, Programe colare pentru clasele IX-XII, Matematic i tiinele naturii, MECI, 2009.

[44]***, Ieirea colii romneti din mediocritate, Raportul SARpentru educaie, Martie 2010.